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1Números reales
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El desarrollo del conocimiento matemático va ligado a los avances tecnológicos de la humanidad. Esto hace necesario realizar
cálculos exactos en numerosas ocasiones.
Para operar con exactitud necesitamos los números
irracionales, además de los racionales. La unión de ambos
forma los números reales.
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Algunos números irracionales
Busca en la web
Números irracionales
e
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Esquema de contenidos
Números reales
Números racionales
Números irracionales
Números reales
Recta real
Propiedades de los números
reales
Relación de orden. Intervalos
Relación de orden
Intervalos
Notación científica
Notación y calculadora
Sumar y restar
Multiplicar y dividir
Aproximación
Errores de aproximación
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El conjunto Q de los números racionales está formado por todos los números que se pueden escribir como una fracción , donde a y b son números enteros y b es distinto de 0.
SIGUIENTE
Números racionales
b
a
Al calcular la expresión decimal, estos números pueden tener:
Un número finito de cifras, y es un número decimal exacto si los únicos divisores del denominador son 2 o 5.
Un número infinito de cifras que se repiten de forma periódica:
A partir de la coma, y es un decimal periódico puro, si 2 y 5 no son divisores del denominador.
A partir de la cifra de las décimas, centésimas,…, y es un decimal periódico mixto, si entre los divisores están 2 o 5 y tiene, además, otros divisores.
4,15
7
119
=1, 222 .. .=1, 2
4330
=1,4333 .. .=1,4 3
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Números racionales
a 4,2 3
b 1,51 3
SIGUIENTE
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Números racionales
4,2 3̂=423−42 90
=38190
=12730
a 4,2 3
b 1,51 3
SIGUIENTE
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Números racionales
4,2 3̂=423−42 90
=38190
=12730
1,51 3̂=1513−151 900
=1362 900
=681450
=227150
a 4,2 3
b 1,51 3
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Números irracionales
El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Son números cuya
expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.
SIGUIENTE
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Números irracionales famosos
El número Es el cociente entre la
longitud y el diámetro de una circunferencia.
...89791415926535,3
El número e
Debe su nombre a un famoso matemático
suizo, Leonhard Euler (1707-1783), y se llama
e por la inicial de su apellido.
...7182818284,2e
El número áureo El número de oro ya era utilizado por los griegos en las proporciones de
sus construcciones.
...6180339887,12
51
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Números reales
SIGUIENTE
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
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Números reales
SIGUIENTE
Números reales
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
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ENTEROS
Números reales
SIGUIENTE
Números reales
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
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NATURALES
ENTEROS
Números reales
SIGUIENTE
Números reales
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
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NATURALES
ENTEROS
RACIONALES
Números reales
SIGUIENTE
Números reales
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
ℝ=I∪ℚ
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NATURALES
ENTEROS
RACIONALES
IRRACIONALES
Números reales
SIGUIENTE
Números reales
REALES (R)
RACIONALES (Q)
IRRACIONALES (I)
ENTEROS (Z)
FRACCIONARIOS
NATURALES (N)CERONEGATIVOS
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ
ℝ=I∪ℚ
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Recta real
La recta real es la representación, en la misma recta numérica, de los números racionales e irracionales.
Representamos:
SIGUIENTE
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Recta real
La recta real es la representación, en la misma recta numérica, de los números racionales e irracionales.
Representamos:
SIGUIENTE
−114
,−56
,56
,113
fracciones impropias56
−56
fracciones propias113
=3+23
−114
=−(2+34 )
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Recta real 2
La recta real es la representación, en la misma recta numérica, de los números racionales e irracionales.
Representamos:
SIGUIENTE
√2 ,√5 ,√13 ,√11
√2=√12+12
√5=√22+12
√13=√32+22
√11=√(√2)2+32
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Propiedades de los números reales
Para operar con los números reales hay que conocer sus propiedades.
PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto/inverso
Conmutativa
Distributiva
SIGUIENTE
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Relación de orden en R
Dados dos números reales a y b:
• Decimos que a es menor que b, y se escribe a < b, cuando b – a es positivo.
• Decimos que a es mayor que b, y se escribe a > b, cuando b – a es negativo.
SIGUIENTE
Notación
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Intervalos
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
),( ba
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
ba,
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
ba,
ba,
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
ba,
ba,
),( a
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
ba,
ba,
),( a
,a
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
ba,
ba,
ba,
),( a
,a
),( b
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
),( ba
[a ,b ]
[ a ,b
a ,b ]
),( a
[ a ,∞
),( b
−∞ , b ]
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.
Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.
Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.
SIGUIENTE
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Intervalos
Expresa mediante intervalos los conjuntos de números reales:
a) Mayores que – 2 y menores que -1
(−2,−1 )= {x / -2< x<-1 }
b) Mayores o iguales que 5
[5,+∞)={ x / 5≤ x }
NOTACIÓN/ se lee tal que
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Aproximación
Existen diferentes métodos de aproximación, siendo los más usuales:
• Por defecto o truncamiento:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado.
• Por exceso:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero añadiendo una unidad a la última cifra.
• Redondeo:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado y se aumenta en una unidad la última cifra si la siguiente es mayor o igual que 5.
SIGUIENTE
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Aproximación
3,1415 es de masdiezmilési las a nto truncamieEl
Existen diferentes métodos de aproximación, siendo los más usuales:
• Por defecto o truncamiento:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado.
• Por exceso:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero añadiendo una unidad a la última cifra.
• Redondeo:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado y se aumenta en una unidad la última cifra si la siguiente es mayor o igual que 5.
SIGUIENTE
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Aproximación
3,1416 es masdiezmilési las a defecto Por
3,1415 es de masdiezmilési las a totruncamien El
Existen diferentes métodos de aproximación, siendo los más usuales:
• Por defecto o truncamiento:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado.
• Por exceso:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero añadiendo una unidad a la última cifra.
• Redondeo:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado y se aumenta en una unidad la última cifra si la siguiente es mayor o igual que 5.
SIGUIENTE
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Aproximación
3,14 es de centésimas las a redondeo El
3,1416 es de masdiezmilési las a redondeo El
3,1416 es masdiezmilési las a defecto Por
3,1415 es de masdiezmilési las a totruncamien El
Existen diferentes métodos de aproximación, siendo los más usuales:
• Por defecto o truncamiento:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado.
• Por exceso:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero añadiendo una unidad a la última cifra.
• Redondeo:
Se eliminan las cifras a partir del orden considerado y se aumenta en una unidad la última cifra si la siguiente es mayor o igual que 5.
SIGUIENTE
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Errores por aproximación
Error absoluto, Ea, es la diferencia (en valor absoluto) entre el valor real y la aproximación.
El valor absoluto de un número entero es el
número que resulta de prescindir de su
signo.
Error relativo, Er, es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
ónaproximacireala VVE
E r=Error absolutoValor real
=|EaV real
|
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Para introducir un número en notación científica en la
calculadora, utilizamos la tecla:
Notación científica
Expresar un número en notación científica consiste en escribirlo como un número con una sola cifra entera (distinta de cero) multiplicada por una potencia de 10.
Un número en notación científica es de la forma:
Donde a es un número del intervalo
Y b es un número entero.
ba 10
10 ,1
A b se le llama orden de magnitud del número.
5102,3
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
SUMAR Y RESTAR
55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
SUMAR Y RESTAR
22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)
55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
SUMAR Y RESTAR
22224 101495,31019,3100,0405 1019,3104,05 c)
55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)
22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)
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Operar con notación científica
SUMAR Y RESTAR
44434 10269,2100,431107,2 104,31107,2 d)
55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)
22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)
22224 101495,31019,3100,0405 1019,3104,05 c)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
MULTIPLICAR Y DIVIDIR
88
535353
10368,11068,13
1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4
a)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
MULTIPLICAR Y DIVIDIR
55
232323
101,1851011,85
1085,1110107,91,5 109,7101,5
b)
88
535353
10368,11068,13
1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4
a)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
MULTIPLICAR Y DIVIDIR
2
242424
1027,1
1027,110:103,19:05,4 1019,3:104,05
c)
Redondeamos a las centésimas
88
535353
10368,11068,13
1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4
a)
55
232323
101,1851011,85
1085,1110107,91,5 109,7101,5
b)
SIGUIENTE
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Operar con notación científica
MULTIPLICAR Y DIVIDIR
3,61063,0
1063,010:1031,4:7,2104,31:107,21
343434
d)
Redondeamos a las centésimas
2
242424
1027,1
1027,110:103,19:05,4 1019,3:104,05
c)
Redondeamos a las centésimas
88
535353
10368,11068,13
1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4
a)
55
232323
101,1851011,85
1085,1110107,91,5 109,7101,5
b)
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Enlaces de interés
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Retos matemáticos
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Actividad: Construcción del número de oro
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1c.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad trabaja con la construcción geométrica del número de oro.
Para desarrollarla, sigue este enlace.
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