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TEOREMA DE BAYES

Explica como considerar matemticamente la nueva

informacin en la toma de decisiones.

)(

)()(

)(

)()(

BP

ABPAP

BP

BAPBAP

=

=

PROBLEMA:

En cierto lugar llueve el 40% de los das y hay cielodespejado el 60%. Un fabricante de barmetrosdetecto una falla en su instrumento porque en das

lluviosos errneamente pronosticaba claro el 10% delas veces, mientras que en das despejadoserrneamente pronosticaba lluvia el 20% de las veces.

CUL SERIA LA PREDICCION OPTIMA DELESTADO DEL TIEMPO AL DIA SIGUIENTE?

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Sin consultar el barmetro se cuenta con las

probabilidades a priori (tabla 1).

Estado del tiempo (A) Lluvia (A1) Claro (A2)

Probabilidad

a priori P (A) 0.40 0.60

Al consultar el barmetro se obtiene una probabilidad

a posteriori, pero primero se debe establecer

formalmente la confiabilidad del barmetro (tabla 2).

Estado A

Prediccin B

Lluvia

A1

Claro

A2

Lluvia B1

Claro B2

0.90

0.10

0.20

0.80

Probabilidades condicionales P (A|B)

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Al combinar las probabilidades a priori con la

informacin del barmetro se obtiene la tabla 3.

Una vez hecha una prediccin (lluvia o despejado), el

espacio muestral se reduce, supongamos que la

prediccin es lluvia:

Estado del tiempo A

Lluvia Lluvia (0.40) Claro (0.60)

Claro

P

r

e

d

i

cc

i

o

n

(0.4)(0.9)=

0.36

(0.6)(0.2)=0.12

(0.4)(0.1)=0.04

(0.6)(0.8)=

0.48

P (Prediccin lluvia) = P (B1) = 0.36+0.12=0.48

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Aplicando el teorema de Bayes se obtiene la probabilidad a posteriori

que se muestra en a tabla 4

Estado A Lluvia A1 Claro A2

Probabilidad

a posteriori

P (A B1)

0.75 0. 25

75.0

48.0

36.0

)Pr(

)Pr()(

1

1111 ==

=

B

BABAP

25.048.0

12.0

)Pr(

)Pr()(

1

1212 ==

=

B

BABAP

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una vez que se conocen los conceptos bsicos de probabilidad ylos mtodos para calcular la probabilidad de un evento es posible

explorar mtodos para calcular la probabilidad de un evento bajocircunstancias ms complicadas. Se estudiaran las relaciones entrelos valores que puede adquirir una variable y sus probabilidadesde ocurrencia que se resumen mediante un mecanismo llamadodistribucin de probabilidad. La distribucin de probabilidad se

puede expresar en forma de tabla, grafica o formula. Conocer ladistribucin de probabilidad para una variable aleatoria

proporciona una herramienta poderosa para simplificar y describirun conjunto de datos, y para llegar a conclusiones acerca de la

poblacin de datos sobre la base de una muestra de datosextrados de la poblacin.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DEVARIABLES DISCRETAS.

Primero se considerar la distribucin de probabilidad de unavariable discreta, que se define como sigue:

La distribucin de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta es una tabla, una grfica, una formula u otro sistemautilizado para especificar todos los valores posibles de unavariable aleatoria discreta y sus probabilidades de ocurrencia

Una de las distribuciones discretas que se estudiaran es ladistribucin binomial.

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DISTRIBUCIN BINOMIAL

Una de las distribuciones ms ampliamente utilizada enestadstica aplicada.

Se deriva del procedimiento conocido como ensayo de Bernoulli,en honor al matemtico suizo James Bernoulli quien realizcontribuciones importantes en el campo de la probabilidad, enespecial la distribucin binomial.

Cuando en algn ensayo de algn proceso o experimento puedeocurrir slo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, comovida o muerte, alivio o enfermedad, macho o hembra, xito ofracaso, el ensayo se llama ENSAYO DE BERNOULLI. Unasecuencia de ensayos de Bernoulli constituye un PROCESO DEBERNOULLIsi se cumplen las siguientes condiciones.

1. En cada ensayo ocurre uno de dos posibles resultadosmutuamente excluyentes uno de los cuales se denota(arbitrariamente) como xito y el otro como fracaso.

2. La probabilidad de un xito denotada por p, permanececonstante de un ensayo a otro y la probabilidad de fracaso 1-

p se denota por q.

3. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado dealgn ensayo en particular no es afectado por el resultado decualquier otro ensayo.

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Ejemplo:Se desea conocer la probabilidad de x xitos en n ensayos deBernoulli. Suponga que en cierta poblacin el 52 por ciento detodos los nacimientos que se registraron son varones. Esto

significa que la probabilidad del nacimiento de un varnregistrado es de 0.52. Si aleatoriamente se escogen 5 registros denacimientos dentro de esa poblacin , Cul es la probabilidad deque exactamente tres de ellos pertenezcan a varones?.

Solucin: Designe la ocurrencia de un registro para el nacimientode un varn como xito, esta es una designacin arbitraria confines de claridad y conveniencia y no refleja de ninguna manera la

preferencia relativa del nacimiento de varones frente a mujeres.

La ocurrencia del registro de nacimiento de un varn se designacomo xito, puesto que lo que se busca son registros denacimientos de varn.

Tambin es conveniente designar el nmero 1 a un xito(registro del nacimiento de un varn) y un 0 para el registro denacimiento de una mujer.

El proceso que finalmente resulta en un registro denacimiento se considera como un proceso de Bernoulli.

Suponga que, de los 5 registros de nacimientos

seleccionados, resulta esta secuencia de sexos:

VMVVM

En forma codificada se escribe de la siguiente manera:

10110

Puesto que la probabilidad de un xito se denota con p y la

probabilidad de un fracaso con q, la probabilidad de la secuenciade los resultados anteriores se calcula por medio de la regla de lamultiplicacin:

P(1.0.1.1.0) = pqppq =

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La probabilidad resultante es la de obtener la secuencia especificaen el orden en que se muestra. Sin embargo, el inters no est enel orden de ocurrencia de los registros de nacimientos de varonesy mujeres, sino, como se ha manifestado previamente, en la

probabilidad de ocurrencia exacta de tres registros de nacimientode varones de entre cinco registros seleccionados aleatoriamente.En lugar de ocurrir en la secuencia mostrada con anterioridad(secuencia nmero 1), los tres xitos y dos fracasos puedenocurrir tambin en alguna de las secuencias adicionales dadas enla siguiente tabla.

Nmero Secuencia2 11100

3 100114 110105 110016 101017 011108 001119 01011

10 01101

Cada una de estas secuencias tiene la misma probabilidad deocurrencia y es q2p3, que es la probabilidad calculada para la

primera secuencia.

Cuando se extrae una sola muestra de cinco elementos apartir de una poblacin especifica, slo se obtiene una secuenciade xitos o fracasos. La pregunta, ahora , es: cul es la

probabilidad de obtener la secuencia nmero 1, la secuencianumero 2...... o la secuencia nmero 10? Con la regla de........se sabe que esta probabilidad es igual a............................Que es equivalente a............Ahora se puede responder la pregunta original cul es la

probabilidad de observar tres registros de nacimiento de varn ydos de mujer? En una muestra aleatoria de 5 elementos extradade la poblacin especificada?

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Dado que en la poblacin p=0.52. entonces q =........Y se resuelve con.......

Conforme crece el tamao de la muestra se hace mas tediosohacer una lista para contar el nmero de secuencias, por lo que esnecesario un mtodo sencillo para contarlas. Para esto podemosutilizar la formula de conteo que nos permite saber cuantossubconjuntos de objetos pueden formarse cuando en diferentessubconjuntos se utilizan nmeros de objetos que componen el

conjunto del cual se extraen. Cuando el orden de los objetosdentro del de un subconjunto no importa, el subconjunto se llamacombinacin de objetos. Si un conjunto cuenta de n objetos y y se

pretende formar un subconjunto de x objetos, sin importar elorden de los objetos dentro del subconjunto el resultado se llamacombinacin

Cuando la combinacin se forma tomando x objetos de unconjunto de n objetos:

La combinacin de n objetos tomados x a la vez se obtiene:

)!(!

!xnx

nCxn

=

donde x! Que se lee x factorial, el es producto de todos losnmeros enteros de x hasta 1.

En el ejemplo se tiene una muestra de n=5 nacimientos y se tieneinters en encontrar la probabilidad de que tres de ellos seannacimientos de varones.

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El nmero de secuencias para el ejemplo es:

==

=

12

120

12123

1234535C

La probabilidad de obtener x xitos en n ensayos se escribe:

f(x)= nCxqn-xp x = nCxp

xq n-x

A esta expresin se le llama distribucin binomial.

Esta distribucin se puede presentar en una tabla como sigue:

Nmero de xitos, x Probabilidad f(x)0 nC0q

n-0p 01 nC1q

n-1p 12 nC2q

n-2p 2

x nCxqn-xp x

N nCNq n-Np NTotal 1

O en una grafica:

0,03

0,14

0,29

0,32

0,18

0,04

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0 1 2 3 4 5

V ariable x

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Ejemplo 2. Suponga que se sabe que 30 % de cierta poblacin es

inmune a alguna enfermedad. Si se escoge una muestra aleatoria

de 10 elementos de entre esta poblacin. cul es la probabilidad

de que dicha muestra contenga exactamente 4 personas inmunes?

Solucin: La probabilidad de elegir una persona inmune es de 0.3.

Al utilizar la ecuacin de la distribucin binomial podemos

obtener:

f(4) =

El uso de la ecuacin binomial puede resultar tedioso, sobre todosi el tamao de la muestra es grande y si nos interesa calcular

probabilidades acumuladas. Afortunadamente las probabilidades

para diferentes valores de n p y x se encuentran tabulados por lo

que solo tenemos que consultar la tabla para obtener las

probabilidades deseadas. La tabla de la distribucin binomial

presenta las probabilidades acumuladas de que x sea menor o

igual a un valor determinado. Es decir, la tabla presenta las

probabilidades acumuladas desde x=0 hasta un numero positivoespecifico de xitos.

Uso de la tabla con el ejemplo 2.

Ejemplo 3. Suponga que se sabe que en cierta poblacin el 10%

es daltnica. Si se extrae una muestra aleatoria de 25 personas de

esa poblacin, con la tabla de la distribucin binomial encuentrela probabilidad de que:

a)Existan 5 o menos daltnicos

b)Existan 6 o mas daltnicos

c)Existan entre 6 y 9 daltnicos

d)Existan 2, 3 o 4 daltnicos.

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Tarea Distribucin Binomial.

Ejercicio 4. Suponiendo que el 26 % de las personas adultas

tienen sobrepeso.

1. Al extraer una muestra aleatoria simple de 20 adultos,encontrar (usando la tabla de distribucin binomial) la

probabilidad de que el nmero de personas con sobrepeso, dentro

de la muestra, sean:

a)Exactamente tres personas

b)Tres o mas personas

c)Menos de tres personas

d)Entre tres y siete personas

2. Cuantos adultos con sobrepeso se espera encontrar en la

muestra de 20?

3. Suponga que de la misma poblacin se extrae una muestra

aleatoria de 5 adultos. Usando la ecuacin binomial encuentre la

probabilidad de que el numero de personas con sobrepeso en la

muestra sea.

a)Cero

b)Entre uno y tres

c)Cinco

d)Ms de una

e)Dos o menos

4.- Plantee y resuelva un problema en el que se use la distribucinbinomial. Puede usar datos reales (pagina del INEGI) o realsticos

(inventados pero que tengan sentido). Plantear al menos dos

preguntas.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir

cualquier valor en un intervalo especifico. Consecuentemente,

entre dos valores asumidos por la variable continua existe un

nmero infinito de valores.

Considerando los datos de la edad de 169 individuos que

participaron en un estudio (es una variable continua).

Intervalo de Clase Frecuencia9.5-19.5 4

19.5-29.5 66

29.5-39.5 47

39.5-49.5 36

49.5-59.5 12

59.5-69.5 4

Total 169

0

10

20

30

40

50

60

70

14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5

Edad

Frecuencia

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Si el nmero de valores de la variable es muy

grande, y la amplitud del intervalo muy pequea........

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Entre mas observaciones tengamos (n se aproxima a

infinito) y la amplitud del intervalo se aproxima a cero, el

poligono se aproxima a una curva.

Representacin grafica de una distribucin continua

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Caractersticas de la distribucin de

probabilidad continua:

El rea total bajo la curva es igual a uno

La frecuencia relativa de ocurrencia de los valores

entre dos puntos cualesquiera, sobre el eje de las x, es

igual al rea total delimitada por la curva, el eje de las

x y las rectas perpendiculares levantadas sobre ambospuntos del eje de las x, como se muestra en la figura.

La probabilidad de cualquier valor especifico de la

variable aleatoria es cero.

Esto es lgico dado que un valor especifico se

representa como un ponto sobre el eje de las x.

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DISTRIBUCION NORMAL

Se considera la distribucin ms importante en toda laestadstica. La formula para esta distribucin fue publicada

por Abraham De Moivre en 1733. Otros matemticos

hicieron contribuciones importantes en el estudio de esta

distribucin incluyento a Carl Friedrich Gauss. A esta

distribucin tambien se le llama distribucin de Gauss

como reconocimiento a las contribuciones de estematemtico.

La densidad normal esta dada por:

= xexf x ,

2

1)(

22 2/)(

La grfica de la distribucin normal produce la conocida

curva en forma de campana.

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Caractersticas de la distribucin normal

1. Es simtrica respecto a su media . Tal como se muestra

en la figura, la curva hacia cualquiera de los lados de es

una imagen de espejo de la del otro lado.

2. La media la mediana y la moda son todas iguales

3. El rea total bajo la curva sobre el eje de las x es una

unidad de rea. Esta caracterstica se deduce del hecho de

que la distribucin normal es una distribucin de

probabilidad. Debido a la simetria mencionada

anteriormente, 50% del area esta a la derecha de laperpendicular levantada sobre la media y el otro 50% a la

izquierda.

4. Si se levantan perpendiculares a una distancia de una

desviacin estndar desde la media hacia ambos lados, el

rea delimitada por esas perpendiculares, el eje de las x y

la curva ser de 68 % del rea total, aproximadamente, si

los limites laterales se extienden a dos desviaciones

estndar en ambos lados de la media estar incluido

aproximadamente el 95 % del rea y extendiendolos a tres

desviaciones estandar aproximadamente el 99.7 %.

5. Los parmetros y determinan completamente la

distribucin normal. En otras palabras, por cada valor

diferente de y se especifica una distribucin normaldistinta.Los valores diferntes de desplazan la grfica de

la distribucin a lo largo del eje de las x. Los valores de

determinan el grado de aplanamiento o levantamiento de la

grfica.

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Suponga que usted esta a cargo de la agencia

nacional de alquiler de un modelo especfico de

automvil. Su agente de servicio en una determinadaciudad no ha sido totalmente digno de confianza

porque en el pasado suspendio el servicio 1 de 10

veces. El efecto de dicha suspension es el

incremento de la probabilidad de que un cliente

cancele el trato de 0.2 a 0.5.

Si un individuo cancelo su pedido cul es la

probabilidad de que alguna vez haya sido afectado

por la suspension del servicio?

Asesoria de Ejercicio de Teorema de Bayes

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Probabilidad a priori (tabla 1).

Servicio (A) Abierto(A1) Cerrado(A2)

Probabilidad

a priori P (A)

Al saber que el agente no es confiable, obtenemos una

nueva probabilidad a posteriori, pero primero se debe

establecer formalmente la confiabilidad del agente

(tabla 2).

Servicio A

Trato B

Abierto

A1

Cerrado

A2

Hecho B1

Cancelado B2

Probabilidades condicionales P (A|B)

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Estado del tiempo A

Hecho Abierto(0.90) Cerrado (0.10)

Cancelado

T

r

a

t

o

Al combinar las probabilidades a priori con la

informacin del barmetro se obtiene la tabla 3.

P (Cancelar trato) = P (B2) =

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Aplicando el teorema de Bayes se obtiene la probabilidad a posteriori

que se muestra en a tabla 4

Estado AAbierto A1 Cerrado A2

Probabilidad

a posteriori

P (A B2)

=

=)Pr(

)Pr()(

2

2222

B

BABAP

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Considerando que el 30% de la poblacin fuma.

Al extraer una muestra aleatoria simple de 15

adultos. Encuentre la probabilidad de que el

nmero de fumadores en la muestra sean:

a) Tres

P(x=3)= p(x