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F inanc ieros
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Se incluyen los siguientes capítulos:
- Conceptos básicos: capital financiero y operación
financiera 1
- Capitalización y actualización simple 9
- Capitalización y actualización compuesta 21
- Rentabilidad de operaciones financieras 35
- Conceptos estadísticos para la teoría de carteras 45
- Análisis de indicadores y ciclos económicos 63
- Análisis e interpretación de indicadores de coyuntura
83
- El sistema financiero 129
- Rentas financieras 205
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Este material formativo ha sido elaborado por técnicos y formadores
del IEF.
Redactores de este tema: Laura González Vila Francesc Ortí Lesma
José Sáez Madrid
Pablo Larraga López
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Corts Catalanes, 670, 2n 08010 Barcelona Telf. 93 412 44 31 Fax 93
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[email protected] Web: www.iefweb.org
Impresión: 2010
El Institut d’Estudis Financers (IEF) ha realizado la revisión de
contenidos de este curso con atención a su adecuación a los
requisitos del programa de certificación de EFA (European
Financial Advisor ) o Asesor Financiero Europeo, de
EFPA.
Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida, sin
la autorización escrita del propietario del copyright, la
reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o
procedimiento, electrónico o mecánico, comprendidos la reprografía
y el tratamiento informático, así como la distribución de
ejemplares mediante alquiler o préstamo público.
8/17/2019 Instrumentos y mercados financieros
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Este capítulo responderá, entre otras, a las siguientes
preguntas:
¿Qué se entiende por capital financiero y por valor temporal del
dinero?
¿Qué se entiende por operación financiera y cuáles son sus
principales elementos?
¿Cuáles son y qué significan los diferentes precios
financieros?
¿Qué significa interés implícito e interés explícito?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes
apartados:
a. Capital financiero
b. Operación financiera
b.1 Sujetos de una operación financiera b.2 Operaciones de
capitalización y operaciones de actualización
c. Precios financieros
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Aunque habitualmente se habla de capital haciendo referencia
exclusivamente a
una cantidad de dinero, financieramente hablando es necesario tener
en cuenta
que la valoración de un capital depende del momento en el tiempo
que se consi-
dere. Así, resulta evidente que 6.000 € de hace 20 años
(en realidad, su equiva-
lente en pesetas) no tienen el mismo valor que 6.000 €
actuales. Es decir, cual- quier cantidad de dinero tiene un
valor intrínseco derivado del número de unidades monetarias que
representa, y otro valor como consecuencia del momento del tiempo
en que esté situado. Este segundo valor es el que se conoce como
valor temporal del dinero.
Así pues, se entiende por capital financiero una cantidad
monetaria situa- da en un determinado instante en el tiempo. Se
representará a partir de
dos componentes (C t , t ), donde
C t es el número de unidades monetarias que
componen el capital financiero y t, el momento de
disponibilidad correspondiente.
Ejemplo:
Si una persona dispondrá de 2.000 € dentro de 3 años,
el capital financiero correspon-
diente sería (2.000, 3).
Los capitales financieros también se acostumbran a representar
sobre un eje temporal, de
forma que el mismo capital anterior, tomando como origen temporal
la fecha de hoy, serepresenta del siguiente modo:
2000
0 3
En cambio, si los 2.000 € estuvieran disponibles dentro
de 2 meses, el capital financiero
2 se representaría como (2.000, ).
12
Aunque ambos capitales tienen la misma cuantía, es preferible este
último al primero. Esta preferencia es lo que da sentido al valor
temporal del dinero.
a. Capital financiero
Resumen:
En el cálculo financiero es necesario acompañar toda cuantía
monetaria de la información del instante en el tiempo en que se
sitúa. Este par (C t , t), formado por
cuantía monetaria e instante temporal, se denomina
capital financiero.
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A partir del concepto de capital financiero, se denomina
operación financiera cualquier intercambio entre sujetos económicos
de capitales financieros situados en diferentes momentos del
tiempo.
El concepto de operación financiera se utiliza para estudiar los
diferentes produc-
tos financieros existentes en el mercado.
Por sujetos económicos se entienden las personas físicas, empresas,
entidades
financieras, el Estado... Por lo tanto, productos financieros como
préstamos, líneas
de descuento a una empresa, Letras del Tesoro, etc., son
operaciones financieras.
Los capitales financieros que se intercambian en una operación
financie-
ra se dice que son capitales equivalentes.
Ejemplo:
Una persona efectúa hoy una imposición de 2.000 € a
plazo fijo de un año, y la entidad
financiera le abonará al vencimiento 2.060 €. Este
intercambio constituye una operación
financiera, que se representa de la forma:
2.000 2.060
0 1 año
En este caso, el capital (2.000,0) es equivalente al capital
(2.060,1).
Ejemplo:
Una persona dispone de un efecto comercial de nominal 2.075 €
y vencimiento al cabo
de 90 días, que descuenta en una entidad financiera obteniendo hoy
2.043 €. Este inter-
cambio es otra operación financiera que se representa:
2.043 2.075
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b.1 Sujetos de una operación financiera
Obsérvese en los dos ejemplos anteriores que, aunque se trata de
dos operaciones
completamente diferentes, hay algunos elementos comunes a ambas. En
realidad,
en toda operación financiera se pueden distinguir los siguientes
sujetos:
Sujeto activo, prestamista o acreedor: es el que cede uno o
varios capita-
les financieros durante un determinado plazo de tiempo y, por esta
cesión,
percibirá un precio llamado interés. Los capitales financieros
que cede el sujeto activo se denominan prestación.
Sujeto pasivo, prestatario o deudor: es el que recibe uno o
varios capita-
les financieros durante un determinado plazo de tiempo,
comprometiéndose
a su devolución futura y al pago de un precio. Los capitales
financieros que retorna el sujeto pasivo se denominan
contraprestación.
En el ejemplo anterior del plazo fijo, la persona que realiza la
imposición es el sujeto acti-
vo, la prestación son los 2.000 € que cede hoy y el
interés que percibe son los 60 €. El
sujeto pasivo es la entidad financiera y los 2.060 €
que abonará dentro de un año cons-
tituyen la contraprestación.
En el ejemplo del descuento del efecto comercial, la persona que
solicita el descuento es
el sujeto pasivo, la contraprestación son los 2.075 € de dentro de
90 días y el precio que
abona (se denomina descuento) son los 32 €
. El sujeto activo es la entidad financiera ylos 2.043
€ que abona hoy constituyen la prestación.
b.2 Operaciones de capitalización y operaciones de
actualización
Cualquier operación en la que el sujeto activo cede un capital en
un deter- minado momento para recuperarlo en un instante posterior,
junto con el interés que ha generado, se denomina operación de
capitalización o de interés.
Capital Capitalización Capital
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Cualquier operación en la que al sujeto pasivo se le anticipa un
capi- tal, disponible en el futuro, a un momento anterior y por
esta antici- pación paga un descuento, se denomina operación de
actualización o de descuento.
Capital Actualización Capital
Capital inicial = Capital final - Descuento
Los ejemplos anteriores, el plazo fijo es una operación de
capitalización y el descuento del
efecto comercial es una operación de actualización.
Resumen: Una operación financiera es todo intercambio de capi-
tales financieros en distintos momentos de tiempo entre un sujeto
activo y un sujeto pasivo.
Los capitales que cede el sujeto activo se denominan prestación y
los que devuelve el sujeto pasivo se lla- man contraprestación.
Este intercambio genera un interés.
La operación financiera se denomina de capitalización
cuando se cede un capital para recuperarlo en un ins- tante
posterior, y se llama de actualización o descuen- to cuando se
dispone anticipadamente de un capital futuro.
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En cualquier operación financiera, puede resultar interesante
valorar su rentabili-
dad o su coste. Para efectuar una primera aproximación, se
introducen los precios
financieros, básicamente los de interés. Por otra parte, teniendo
en cuenta la
forma en que se pacta el interés que retribuirá una operación, el
mercado distin-
gue los intereses implícitos de los explícitos.
Dada una operación financiera elemental, en la que se intercambian
una presta-
ción hoy, (C 0 , 0), y una contraprestación en
t , (C t , t), se pueden definir los
siguientes precios financieros1 de interés:
Precio total (interés o descuento): es la diferencia
C t – C 0 .
Precio unitario (o tanto efectivo) de interés: es el precio
por unidad
C t – C 0monetaria cedida para
todo el plazo de la operación, es decir, . C 0
Precio unitario y medio (o tanto nominal) de interés: es el
precio por
C t – C 0 unidad monetaria cedida
y en promedio anual, es decir, .
C 0 · t
Operación Prestación Contraprestación
A (2.000, 0) (2.120, 2)
B (3.000, 0) (3.120, 2)
C (2.000, 0) (2.120, 4)
Los precios financieros de interés correspondientes a cada
operación son los siguientes:
Operación Precio total Precio unitario Precio unitario y
medio
(tanto efectivo) (tanto nominal)
A C t – C 0 = 120
= 0,06 = 6% = 0,03 = 3%
B C t – C 0 = 120 =
0,04 = 4% = 0,02 = 2%
C C t – C 0 = 120 =
0,06 = 6% = 0,015 = 1,5%
1 Se podrían definir también los precios de descuento, sustituyendo
en el denominador C 0 por
C t .
C t
– C 0
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Obsérvese que:
Las tres operaciones tienen el mismo precio total. Sin embargo,
comparando, por
ejemplo, las operaciones A y B, para el sujeto activo es preferible
la operación A por-
que se obtienen, por todo el plazo de la operación, los mismos 120
€ por colocar una
cantidad inferior. Es decir, para comparar estas dos operaciones no
basta con analizar
el precio total sino que éste se ha de referir a la cuantía
inicialmente aportada. Esta
comparación la realizamos con el cálculo del precio unitario.
Las operaciones A y C tienen el mismo precio unitario; es decir, en
las dos opera-
ciones, por cada euro colocado hoy, se obtendrán, al final del
plazo de la operación,
1,06 €. Sin embargo, resulta evidente que, para el sujeto
activo, es preferible la
operación A porque obtiene la misma cantidad en un plazo inferior.
Estas dos ope-
raciones, para compararlas no basta con analizar el precio unitario
sino que éste se
ha de referir al plazo de la operación. Se realiza con el precio
unitario y medio.
La operación con mayor precio unitario y medio es la operación A
con un 0,03.
Este precio indica que por cada euro colocado hoy, en promedio se
obtendrán
0,03 € cada año.
El precio que recoge el mayor número de magnitudes de las que
intervienen en la
operación (cuantía inicial, plazo,...) es el precio unitario y
medio o tanto nominal.
Por esta razón, éste es el precio que habitualmente se pacta en las
operaciones
financieras en el mercado.
Por otra parte, dependiendo del tipo de producto financiero, en el
mercado se
acostumbra a hablar de interés implícito, en el caso de que
los sujetos de la operación acuerden los precios de adquisición y
amortización del produc- to, y de interés explícito, en el caso que
se acuerde el porcentaje que se debe aplicar.
Ejemplo:
Se dice que una Letra del Tesoro ofrece un interés implícito porque
su valor nominal es de
1.000 € y se adquiere por un valor efectivo determinado, como puede
ser 965,70 €. Por
lo tanto, el interés al que resulta se debe calcular a partir de
esos valores, que son los que establece el mercado.
En cambio, se dice que una imposición a plazo fijo de 3.000 €
durante un año ofrece un
interés explícito porque el pacto especifica que se pagará un
determinado tanto de inte-
rés, por ejemplo, el 2 % anual, sobre la cantidad depositada.
Finalmente, un mismo producto, como un Bono del Estado de nominal
1.000 €, puede
tener simultáneamente interés implícito y explícito ya que ofrece
un cupón anual, por
ejemplo el 4,20 %, que sería el interés explícito; y si se emite
por un valor distinto a su
valor nominal, como podría ser 983,30 €, tendría también un
interés implícito.
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Resumen:
Básicamente, existen los siguientes precios financieros:
C t – C 0precio total
(C t – C 0 ), precio unitario ( ) y
pre-
C 0
C t – C 0cio unitario y medio ( ).
C 0 · t
Asimismo, el mercado financiero suele distinguir entre el interés
implícito (se acuerdan los precios de adquisi- ción y amortización)
y el explícito (se acuerda el por- centaje del interés a
aplicar).
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¿Cuáles son los principales métodos de capitalización y
actualización simples?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés simple
vencido?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a descuento
comercial?
¿Cuál es la relación entre el interés vencido y el descuento
matemático?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a descuento
matemático?
¿Cuál es la relación entre el descuento comercial y el interés
anticipado?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés
anticipado?
¿Cómo se usan los métodos anteriores en algunos productos presentes
en el
mercado?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes
apartados:
a. Interés simple vencido
a.2 Actualización a interés simple vencido: descuento matemático o
racional
b. Descuento simple comercial
b.2 Capitalización a descuento simple comercial: interés simple
anticipado
0
5
1
1
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a.1 Capitalización a interés simple vencido
Se utiliza en operaciones financieras de capitalización en las que
el suje- to activo cede un capital. Como
contraprestación, al final de un plazo con- venido, recuperará
el capital cedido y obtendrá unos intereses por esa
cesión. Estos intereses son proporcionales al capital cedido
(C 0), al tanto nominal
o anual pactado (i ), expresado en tanto por uno, y al plazo
de la cesión ( t ), expre-
sado en años. Es decir, los intereses serán:
Intereses = C 0 · i ·
t
y, por lo tanto, el capital final (C t ) que se obtendrá
será:
C t = C 0 + C 0 ·
i · t
o, de forma equivalente:
C t = C 0 · ( 1 +
i · t )
La idea de proporcionalidad en el interés es
intuitiva, porque significa que cuanto mayores sean la
cantidad invertida, el interés nominal pactado y el plazo, mayores
serán los intereses que genere la operación, y vice- versa.
Esta operación se podría esquematizar de la siguiente forma:
1 + i · t
0 t
donde 1 + i · t es el factor de capitalización a interés
simple vencido y repre-
senta el valor de un euro de hoy dentro de t años,
al tanto nominal i . Es decir:
C 0 · (Factor de capitalización) = C t
El interés simple vencido se utiliza habitualmente en operaciones a
corto plazo (en
general a menos de un año) como, por ejemplo, cuentas corrientes y
repos.
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Ejemplo:
Un cliente invierte 5.000 € en un depósito a tres meses
(91 días), que ofrece un interés
anual del 3,10 %. El capital que percibirá al final del plazo
será:
91 C t = 5.000 · (1+ 0,0310 · ) = 5.038,64
365
365
36.500
Obsérvese que en el primer caso el tipo de interés está expresado
en tanto por uno, mien-
tras que en la última expresión se utiliza en tanto por
ciento.
Además, en este ejemplo el factor de capitalización correspondiente
sería:
91 1 + i · t = 1 + 0,0310 · = 1,0077288
365
Como este factor significa que por cada euro invertido hoy se
obtienen 1,0077288 € al
cabo de 91 días, multiplicando por 5.000 € depositados
se obtienen:
5.000 · 1,0077288 = 5.038,64 €
Ejemplo: cálculo de intereses en cuentas corrientes
Una cuenta corriente que remunera un interés del 1,50 % anual ha
tenido los siguientes
movimientos durante el último trimestre:
Fecha valor Imposición Reintegro Saldo Nº días
1 abril 5.512,29 46
30 junio 4.761,32
Para calcular la liquidación trimestral de intereses a fecha 30 de
junio se procede de la
forma siguiente, a partir del cálculo del saldo medio del
trimestre:
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5.512,29 · 46 + 6.827,29 · 14 + 6.174,01 · 12 + 4.761,32 · 19 Saldo
medio = =
91 = 5.645,06
Cada uno de los términos de la suma del numerador de esta expresión
se conoce con el
nombre de números comerciales.
Los intereses de la cuenta corriente se calcularán como si ésta
hubiese mantenido el saldo
medio durante los 91 días del trimestre. Así:
91 Intereses brutos = 5.645,06 · 0,015 · = 21,11 €
365
Estos intereses brutos, menos la retención fiscal correspondiente,
se acumularán al saldo de 4.761,32 €.
En el caso de que aparecieran saldos negativos durante el periodo
de liquidación de inte-
reses, deberían calcularse por separado los saldos medios positivo
y negativo, aplicando a
cada uno de ellos el tipo de interés correspondiente, que suele ser
distinto.
Ejemplo: cuentas corrientes remuneradas por tramos
Si la cuenta corriente del ejemplo anterior fuese remunerada por
tramos, según el cuadro:
Saldo medio Tanto anual
Más de 3.000 € 1,5 %
la liquidación de intereses se efectuaría, a partir del saldo
medio, de la forma:
Tramos Intereses
365
365
365
Por lo tanto, los intereses totales brutos serían: 0 + 3,74 + 9,89
= 13,63 €
Si se quisiera saber el tanto de interés al que resulta la cuenta
corriente durante este tri-
mestre, procederíamos de la forma siguiente:
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365
13,63 i = = 0,00968 = 0,968%
a.2 Actualización a interés simple vencido: descuento matemático o
racional
El interés simple vencido también puede utilizarse en operaciones
de actualización o descuento. Obsérvese que, despejando a
partir de
C t = C 0 · ( 1 +
i · t ), se obtiene:
C t C 0 = 1 + i ·
t
En este caso se denomina descuento matemático o racional. La
cuantía Ct
suele denominarse valor nominal y C0 es el valor
efectivo.
Su esquema es:
0 t
1 donde es el factor de descuento y representa el
valor actual de un
1 + i · t
euro disponible al cabo de t años, al tanto nominal i .
Así pues:
C t · (factor de descuento) = C 0
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El descuento matemático se utiliza, por ejemplo, en la valoración
de las Letras del
Tesoro que vencen en un plazo inferior a un año natural.
Ejemplo: valoración de Letras del Tesoro
En la subasta de Letras del Tesoro a 12 meses, con vencimiento a
los 364 días, se esta-
blece un interés anual medio ponderado del 1,842 %.
Para calcular el precio medio de adquisición de una Letra del
Tesoro actualizaremos su
valor nominal, 1.000 €, al 1,842 % de descuento matemático
durante los 364 días:
1.000 C 0 = = 981,72
1 + 0,01842 · 360
Se debe tener en cuenta que el descuento de Letras del Tesoro se
realiza tomando como
base el año comercial, es decir, 360 días.
Esquemáticamente:
1 = 0,98172
360
El valor de 0,98172 significa que 1 € disponible al cabo de 364
días es equivalente a 0,98172
€ de hoy. Mediante el producto determinaremos que por una Letra de
nominal 1.000 € se
debe pagar hoy:
1.000 · 0,98172 = 981,72
Resumen:
En una operación de capitalización a interés simple vencido los
intereses son C 0 · i ·
t . Por lo tanto, el capi- tal final obtenido es:
C t = C 0 · (1 +
i · t )
donde 1 + i · t es el factor de
capitalización.
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Resumen:
El interés simple vencido se usa habitualmente en ope- raciones a
corto plazo.
Si se usa en operaciones de actualización, se denomina descuento
matemático o racional:
C t C 0 =
1 + i · t
b.1 Actualización a descuento simple comercial
Se utiliza en operaciones financieras de actualización. El sujeto
pasivo dispondría en el futuro de un capital, denominado valor
nominal, que necesita adelantar a un momento anterior. El
sujeto activo le anticipa esa dis-
ponibilidad, pero por ello el sujeto pasivo deberá pagar un
precio llamadodescuento. Este descuento es proporcional al
valor nominal (C t ), al tanto
nomi-
nal o anual pactado (d), expresado en tanto por uno, y al
plazo (t), expresado en
años. Es decir, el descuento será:
Descuento = C t · d ·
t
y, por lo tanto, el valor efectivo que percibirá el sujeto pasivo
C 0 será:
C 0 = C t –
C t · d ·
t
o, equivalentemente:
Esta operación se podría esquematizar de la siguiente forma:
1 – d · t
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donde 1 – d · t es el factor de
actualización del descuento comercial y repre-
senta el valor actual de un euro disponible al cabo de
t años, al tanto nominal d .
Es decir:
C t · (Factor de descuento) = C 0
El descuento comercial se utiliza habitualmente en operaciones a
corto plazo (en
general, menos de un año), como por ejemplo descuento de ciertos
pagarés de
empresa y de efectos comerciales.
Ejemplo:
Una empresa descuenta un efecto comercial de nominal 3.500 € y
vencimiento a 62 días
en una entidad bancaria, a una tasa de descuento del 8 % anual. El
efectivo que percibi- rá será:
62 C 0 = 3.500 · ( 1 – 0,08 · ) 3.451,78
360
360
62 1 + i · t = 1 – 0,08 · = 0,98622
360
El valor de 0,98622 significa que 1 € disponible al
cabo de 62 días es equivalente a
0,98622 € hoy, mediante el producto determinaremos
que al descontar el efecto
comercial de 3.500 € se obtendrán:
3.500 · 0,98622 = 3.451,78
Se debe tener en cuenta que el descuento de efectos
comerciales se realiza tomando como base el año comercial, es
decir, 360 días.
Ejemplo: efecto de las comisiones en el descuento
Si en el descuento anterior la entidad bancaria cobrase una
comisión del 0,7 % sobre el
valor nominal, el efectivo que percibiría la empresa sería2:
62 C 0 = 3.500 – 3.500 · 0,08 · – 0,007 · 3.500 =
3.427,28
360
2 El efecto de la comisión sobre la tasa de descuento inicialmente
pactada es lo que se conoce como
tirón bancario.
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Si se quisiera saber el tanto de interés simple vencido al que
resulta la operación de des-
cuento del efecto, procederíamos de la forma siguiente:
3,427,28 3.500
365
3.427,28 · 365
El descuento simple comercial también puede utilizarse en
operacionesde interés o capitalización, denominándose en tal caso
interés simple anticipado.
Obsérvese que, si despejamos a partir de C 0 =
C t · (1 – d · t ), y
sustituimos la tasa
de descuento d por una tasa de interés anticipado
i a, se obtiene:
C 0C t = 1 – i a ·
t
Su esquema sería:
0 t
1 donde es el factor de capitalización y representa el
valor de un euro
1 – i a · t de hoy dentro de
t años, al tanto nominal anticipado
i a.
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Es decir:
Ejemplo: préstamo a interés anticipado
Una empresa necesita 5.000 € para llevar a cabo un proyecto
de inversión. Una entidad
financiera le ofrece un préstamo al 6 % nominal de interés
anticipado, a devolver median-
te un solo pago a los 8 meses. Desde el punto de vista de la
entidad, el préstamo es una
operación a interés simple anticipado.
Pero, ¿cuál será el nominal del préstamo que deberá solicitar la
empresa para disponer hoy
de los 5.000 €?
5.000 C t =
8 1 – 0,06 ·
el nominal del préstamo es: C t = 5.208,33
€
Obsérvese que, en el momento de conceder el préstamo, la entidad
percibe unos intere-
ses anticipados de:
12
Por lo tanto, la cantidad neta que recibe la empresa son los 5.000
€ (5.208,33 – 208,33)
que precisaba.
Puesto que, generalmente, el mercado ofrece tipos de interés
vencidos, será interesante
conocer, a efectos comparativos, cuál es la tasa de interés vencido
equivalente a un inte-
rés anticipado para un plazo determinado.
En el ejemplo, el interés simple vencido equivalente se podrá
calcular a partir del siguien- te esquema:
5.000 5.208,33
12
MÓDULO 2
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de donde:
8 5.000 ·
12
Esto significa que, a un plazo de 8 meses, un 6 % de interés simple
anticipado es equi-
valente a un 6,25 % de interés simple vencido.
En general, el tanto de interés simple vencido equivalente a
un tanto de interés simple anticipado ( i a ), o
tasa de descuento comercial, para un plazo
t es:
i ai = 1 – i a · t
8 En el ejemplo anterior, si i a= 6% y
t = , se obtiene:
12
Ejemplo: depósito con retribución en especie
Una entidad ofrece, por un depósito a 6 meses de 1.500 €, una
sandwichera valorada,
según el certificado de retenciones, en 16,50 €. Por lo tanto, la
tasa anual de interés anti-
cipado i a que cobra el cliente es:
6 16,50 = 1.500 · i a ·
12
1.500 · 0,5
Obsérvese que el 2,2 % de interés anticipado sería equivalente al
tanto de interés simple
vencido que podría calcularse a partir del siguiente esquema:
1.500 – 16,50 1.500
0 6 meses
MÓDULO 2
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6 1.500 = (1.500 – 16,50) · 1 + i · = 1.483,50 ·
(1 + i · 0,5)
12
1.483,50 · 0,5
0,022 i = = 0,02224
1 – 0,022 · 0,5
Resumen:
En una operación de actualización a descuento simple comercial, el
descuento es C t · d · t . Por lo tanto,
el valor efectivo obtenido es:
C 0 = C t · (1 – d
· t )
donde 1 – d · t es el factor de
actualización.
El descuento simple comercial se usa habitualmente en operaciones a
corto plazo.
Si se usa en operaciones de capitalización se denomina interés
simple anticipado ( i a ):
C 0 C t =
1 – i a · t
1 – i a · t
El tanto de interés simple vencido equivalente a un tanto de
interés simple anticipado para un plazo
t es:
i a i =
MÓDULO 2
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25/234
¿Cuál es el método usado en capitalización y actualización
compuesta?
¿Cómo se calculan los capitales equivalentes a interés
compuesto?
¿Qué es y cómo se calcula el tanto efectivo anual de una operación
elemental?
¿Qué es y cómo se calcula la TAE de una operación elemental?
¿Qué son y cómo se utilizan los tipos spot y
forward ?
¿Cómo se usan todos estos conceptos en algunas operaciones
presentes en el
mercado?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes
apartados:
a. Interés compuesto
b. Tanto efectivo anual y TAE
b.1 Tanto efectivo anual
c. Tipos spot y forward 3
9
22
2
3
MÓDULO 2
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26/234
a.1 Capitalización a interés compuesto
A diferencia de la capitalización simple, en la capitalización
compuesta el plazo de la operación se divide en periodos de
capitalización, y la cuantía acumulada al final de la operación se
obtiene mediante un proceso de acumulación periódica de capital e
intereses.
Partiendo de un capital inicial C 0, al final de cada uno de
los periodos los intere-
ses se acumulan al capital que había al inicio del periodo, y pasa
a ser el capital
inicial del periodo siguiente.
Ejemplo:
Se realiza un depósito de 10.000 € durante 2 años, que devenga
y acumula semestral-
mente intereses a una tasa nominal del 4 %. Al final del primer
semestre, los intereses que
habrá generado el depósito son:
1 10.000 · 0,04 · = 200 €
2
Puesto que estos intereses se suman al capital que había al inicio
del periodo, la cuantíaacumulada al final del primer semestre es de
10.200€, cantidad que se considerará capi-
tal inicial para el segundo semestre.
Al final del segundo semestre, los intereses que se han generado
son:
1 10.200 · 0,04 · = 204 €
2
Obsérvese que de los 204 € de intereses que se han generado
durante este semestre,
200 € se deben a los intereses del capital inicial (10.000
€) y 4 € se deben a los inte-
reses generados durante el primer semestre (200 €). Es decir, hay
una capitalización de
los intereses del periodo anterior. Con independencia de su origen,
al sumarse dichos intereses al capital existente al inicio del
periodo (10.200 €), la cuantía acumulada al
final del segundo semestre es de 10.404 €, cantidad que se
considera el capital inicial
para el tercer semestre.
Al final del tercer semestre, los intereses que se han generado
son:
1 10.404 · 0,04 · = 208,08 €
2
Estos 208,08 € de intereses generados durante el semestre
incluyen los intereses deven-
gados por el capital inicial y los intereses devengados sobre los
intereses de los dos semes-
© Institut d’Estudis Financers (IEF). Barcelona 2010 22
MÓDULO 2
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27/234
tres anteriores. La cuantía acumulada al final del tercer semestre
es de 10.612,08 €, can-
tidad que se considera como el capital inicial para el cuarto y
último semestre.
Al final del cuarto semestre, los intereses que habrá generado el
depósito son:
1 10.612,08 · 0,04 · = 212,24 €
2
Estos 212,24 € de intereses generados durante el semestre
incluyen los intereses
devengados por el capital inicial y los intereses devengados sobre
los intereses de los
tres semestres anteriores. Por lo tanto, la cuantía acumulada al
final de los dos años es
de 10.824,32 €.
En definitiva, los intereses de cada semestre se obtienen al
aplicar el interés simple sobre
la cuantía al inicio de semestre.
Esquemáticamente, este proceso sería:
0 1 2 3 4 semestres
Evidentemente, si el plazo de la operación fuese de 10 años, este
proceso sería
largo y reiterativo.
Se puede demostrar que, en general, al final de todo proceso de
acumulación periódica de capital e intereses, conocido como interés
compuesto, el capital final C t que se obtiene es:
i C t = C 0 · 1 +
k
donde:
C 0: capital cedido al inicio del plazo por el sujeto
activo;
i : interés nominal pactado en la operación, expresado en
tanto por uno;
k: frecuencia de capitalización o número de veces que se acumulan
intereses en un año;
:representa el tanto de interés efectivo correspondiente a un
periodo de capitalización;
t: plazo temporal de la operación expresado en años. En
consecuencia, el exponente
t · k representa el número total de veces que se han acumulado
intereses durante el
plazo de la operación.
MÓDULO 2
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1 +
0 t
donde 1 + es el factor de capitalización a interés compuesto
y
representa el valor de un euro de hoy dentro de t años, al
tanto nominal i con acu-
mulación de intereses k veces al año.
Ejemplo:
Si aplicamos la expresión general al depósito del ejemplo anterior,
para el plazo de 2 años,
resulta:
C 0 = 10.000
i = 0,04k = 2, puesto que al devengarse intereses semestralmente,
en un año se acumularán
intereses 2 veces.
= = 0,02 = 2% es el tipo de interés efectivo correspondiente a un
semestre,
o tanto efectivo semestral, y representa el aumento que en cada
semestre experimenta un
euro.
t = 2 años
Por lo tanto, el exponente t · k = 2 · 2 = 4 representa el número
total de veces que se han
acumulado intereses durante los 2 años.
Entonces podemos calcular: 0,04
C t = 10.000 · 1 + = 10.824,32 2
Si la operación tuviera una duración de 10 años, en lugar de
repetir el proceso de cálcu-
lo y acumulación de intereses para los 20 semestres, se obtiene
directamente:
0,04 C t = 10.000 · 1 + = 14.859,47
2
4
MÓDULO 2
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Ejemplo:
Una entidad financiera ofrece un producto financiero por el cual,
si se invierten hoy
12.000 €, se recibe al cabo de 4 años la cantidad de 13.400 €. En
este enunciado faltan
dos parámetros: el interés nominal al que se ha pactado el producto
financiero y la fre-
cuencia de pago de los intereses. Cuando no se informa sobre la
periodicidad con que se
acumulan los intereses, se supone que se acumulan una vez al año
(es decir, se toma k =
1). En consecuencia, ya sólo queda por conocer el interés de la
operación, que se obten-
drá a partir de la siguiente ecuación:
13.400 = 12.000 · 1 +
Si se resuelve esta expresión, se obtiene que el valor de i es
0,02797, es decir, un interés
nominal del 2,797 %.
La expresión matemática que permite despejar directamente el valor
de i es:
i = t·k – 1 · k
Ejemplo: interés compuesto a tanto variable
Una persona deposita 10.000 € durante 3 años en un producto
que ofrece un inte-
rés acumulable trimestralmente y variable cada año. Si los tipos de
interés nominales
son del 4 %, 3 % y 2 %, respectivamente, para calcular la cuantía
final acumulada se
considera el siguiente esquema:
10.000 C t
Por lo tanto:
0,04 0,03 0,02 C t = 10.000 · 1 + · 1 + · 1 + =
10.937,80
4 4 4
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Ejemplo: tratamiento de los periodos residuales
Si en el ejemplo anterior la persona decidiera cancelar el depósito
a los 10 meses, para
calcular la cuantía acumulada en ese momento se podrían aplicar las
dos fórmulas
siguientes:
0,04 C t = 10.000 · 1 + = 10.337,24
4
2. Aplicando interés compuesto a los tres trimestres completos e
interés simple al periodo
residual de un mes:
4 12
La segunda forma de cálculo, la práctica de mercado más habitual,
siempre dará una
cuantía C t superior a la primera, coincidiendo ambas al final
de cada periodo com-
pleto, es decir, cuando no haya periodo residual.
Hay que tener en cuenta que en muchas operaciones financieras los
interesesdevengados periódicamente no se acumulan en la propia
operación, sino que se
liquidan al sujeto activo. Por tanto, en cada periodo, los
intereses se calculan sobre
la cuantía inicialmente aportada. En este caso, dicho sujeto deberá
decidir el des-
tino de los intereses.
Ejemplo:
Se realiza un depósito de 10.000 € durante 2 años que devenga y
liquida semestralmen-
te intereses a una tasa nominal del 4 %. Al final del primer
semestre, los intereses que
habrá generado el depósito serán:
1 10.000 · 0,04 · = 200 €
2
que liquidan al sujeto activo. Por tanto, el capital existente al
inicio del segundo semestre
siguen siendo los 10.000 €.
Puesto que al inicio de cada semestre el capital son los 10.000 €,
los intereses devenga-
dos y liquidados semestralmente son de 200 €.
· 49 12
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t·k
- t·k
t·k
0 1 2 3 4 semestres
200 € 200 € 200 € 200 €
El destino de los 200 € de interés semestrales dependerá del propio
sujeto activo.
a.2 Actualización a interés compuesto
La actualización compuesta se realiza a partir de la expresión ya
conocida para el
interés compuesto. En este caso, al despejar a partir de:
i C t = C 0 · 1 +
k
1 + k
o, equivalentemente:
k
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1 donde ó 1 + es el factor de actualización a interés
compuesto y representa el valor actual de 1 € disponible al
cabo de t años, al
tanto nominal i con frecuencia k .
Ejemplo: actualización a interés compuesto
Se adquiere un activo financiero de vencimiento a tres años, que
tiene un valor nominal
de 1.000 €, a un interés del 3,80 % anual. Su precio de compra es
el valor actualizado
de la forma siguiente:
1.000 C 0 = = 894,14 €
En una operación de capitalización a interés compues-
to, al final de cada uno de los periodos los intereses seacumulan
al capital existente. Por lo tanto, el capital final obtenido
es:
Ct = C0 · 1 +
El interés compuesto también se utiliza para actualizar
capitales:
Ct C0 =
i
MÓDULO 2
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12
Teniendo en cuenta que un tanto nominal de interés compuesto se
puede perio-
dificar o acumular de muchas formas (mensualmente,
trimestralmente…), es inte-
resante poder calcular su tipo de interés efectivo anual
equivalente. Si para el cál-
culo del tanto efectivo anual se consideran las comisiones o gastos
de tipo finan-
ciero, aparece la denominada tasa anual equivalente o TAE, de
obligada publica-
ción según la normativa vigente.
b.1 Tanto efectivo anual
En toda operación financiera en la que se acumulen periódicamente
los intereses, puede calcularse el tipo de interés anual
equivalente al tanto nominal pac- tado para dicha operación. Se
denomina tanto efectivo anual y se repre- sentará por l.
Ejemplo:
Si se invierten 1.000€ al 10 % de interés nominal acumulable
mensualmente durante un
año, el capital que se obtiene al final es:
0,10C t = 1.000 · 1 + = 1.104,71 12
Para determinar el tipo de interés efectivo anual se tiene:
1.104,71 = 1.000 · ( 1 + I )1
de donde se deduce que I = 0,10471 = 10,471 %.
Obsérvese que el efecto de la acumulación de los intereses hace que
el interés efectivo
anual equivalente al 10 % nominal acumulable mensualmente sea
superior.
En general, la expresión que permite calcular el tanto efectivo
anual equi- valente al tanto nominal i de frecuencia
k es:
I = 1 + – 1
En el ejemplo anterior, el tanto efectivo anual se hubiese podido
determinar a partir de:
0,10
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Ejemplo:
Si se depositan 3.500 € durante un plazo de 3 años al 5% de interés
nominal acumula-
ble trimestralmente, el capital final que se obtiene es:
0,05 C t = 3.500 · 1 + = 4.062,64
4
El tanto efectivo anual equivalente se podría calcular a partir de
la expresión general, así:
0,05 I = 1 + – 1 = 0,05095 = 5,095%
4
También se podría determinar a partir de los capitales inicial y
final, y en este caso:
4.062,64 = 3.500 · (1 + I )3
de donde se obtiene:
I = – 1 = 0,05095 = 5,095%
El concepto de tanto efectivo anual no es exclusivo de las
operaciones a interés
compuesto. En realidad, puede calcularse para cualquier operación,
independien-temente de cómo haya sido pactada. Para ello, basta con
conocer los capitales ini-
cial y final y el plazo de la operación, en años, y aplicar la
expresión:
I = – 1
Ejemplo:
Un fondo de inversión garantizado ofrece una revalorización del 20
% en 6 años. El tanto
efectivo anual resultante, independientemente de la cantidad
colocada, se calculará a par-
tir de:
de donde: I = – 1 = 0,03085 = 3,085%
Si la revalorización del 20 % fuese en un plazo de 6 años y un mes,
se hubiese tomado
t = 6 + . En este caso el tanto efectivo anual resultante
sería del 3,042 %.
4
4.062,64
3.500
3
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b.2 Tasa anual equivalente (TAE)
Si en operaciones financieras con un único capital en la prestación
y en la contraprestación, el tanto efectivo anual se calcula
teniendo en cuenta las condiciones impuestas por el Banco de
España3, que básicamente hace
referencia a determinados gastos de naturaleza financiera que deben
considerar-
se, entonces se denomina tasa anual equivalente (TAE).
Ejemplo: TAE de una operación de activo con comisiones
Se concede un préstamo de 10.000 € que hay que devolver a los 6
meses en un solo
pago, a un tanto nominal del 8 % que acumula mensualmente
intereses, con una comi-
sión de apertura del 1 %. La cuantía que hay que devolver es:
0,08 C t = 10.000 · 1 + = 10.406,73
12
0,08 I = 1 + – 1 = 0,083 = 8,30%
12
I = – 1 = 0,083 = 8,30%
Sin embargo, para calcular la TAE hay que tener en cuenta la
comisión de apertura. El
prestatario, en realidad, recibirá 10.000 – 0,01 · 10.000 = 9.900
€. Por tanto:
TAE = – 1 = 0,105 = 10,50%
Ejemplo: TAE de una operación de pasivo con comisiones
Una cuenta corriente ha mantenido un saldo constante de 2.514 €
durante todo el año.
Esta cuenta se remunera al 1% de interés nominal y tiene una
comisión de mantenimiento
de 6 € que se liquidan a final de año. La cuantía final, sin tener
en cuenta la comisión,
será:
Ct = 2.514 · (1 + 0,01)1 = 2.539,14
3 Circular 8/90 de 7 de septiembre sobre Transparencia de las
operaciones y protección de la clientela,
y sus modificaciones posteriores.
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El tanto efectivo anual es del 1%. Sin embargo, para calcular la
TAE debe tenerse en cuen-
ta la comisión de mantenimiento. En realidad, el cliente recibirá
2.539,14 – 6 = 2.533,14 €.
Por tanto:
TAE = – 1 = 0,0076 = 0,76%
Puede comprobarse que en la operación de activo las comisiones
hacen que la TAE sea más alta que el interés efectivo anual. En
cambio, en la opera- ción de pasivo, el efecto de las comisiones es
el contrario.
Ejemplo: TAE de una operación sin comisiones
Se constituye una IPF a 9 meses por un importe de 5.000 €, con
abono mensual de inte-
reses al 3,75 % nominal. Al no haber comisiones, coincidirán el
tanto efectivo anual y la
TAE:
12
El tanto efectivo anual de una operación elemental puede
calcularse:
Si se conoce el tanto de interés nominal y su fre- cuencia:
I = 1 + – 1
Si se conocen los capitales inicial y final y el plazo:
I = – 1
Si para el cálculo del tanto efectivo anual se tienen en cuenta los
gastos financieros que especifica la norma- tiva vigente, se
obtiene la TAE.
i
k
k
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El tipo spot asociado a un vencimiento, también
denominado tipo de con- tado, es el tipo de interés anual vigente
hoy para un activo financiero.
Se calcula4 teniendo en cuenta que lo que se establece en el
mercado para cada
vencimiento son los precios de compra y de amortización del activo.
Como el pre-
cio de compra varía diariamente según las condiciones del mercado,
el tipo spot
asociado a cada vencimiento también variará diariamente.
Ejemplo:
Un activo financiero de nominal 1.000 € y con vencimiento a los 18
meses se compra por
953,62 €. El tipo spot asociado al plazo de 18 meses
está determinado por el interés anual del activo, es decir:
1.000 = 953,62 · ( 1 + i )1,5
Por tanto, el tipo de interés spot a 18 meses es:
i = 0,03217 = 3,217 %
Ejemplo:
Un activo financiero de nominal 1.000 €
y con vencimiento dentro de 3 años hoy tieneun valor de mercado del
90,541 %. El tipo spot asociado al plazo de 3 años está
deter-
minado por el interés anual ofrecido por el activo, es decir:
1.000 = 905,41 · ( 1 + i )3
Por tanto, el tipo de interés spot a 3 años es: i =
0,03368 = 3,368 %
Si se representan gráficamente los tipos spot, asociados a
cada uno de los vencimientos, se obtiene una curva de tipos de
interés. El objetivo de esta
curva es conocer hoy las expectativas sobre cómo pueden evolucionar
los tipos de
interés en el futuro.
Por ejemplo, una curva creciente significa que las operaciones a
más largo plazo
ofrecen más interés; por lo tanto, se prevé que los tipos de
interés evolucionen al
alza. En cambio, una curva plana significa que los tipos de interés
se mantendrán
aproximadamente constantes en el futuro.
4 Para vencimientos inferiores a 1 año se calcula a interés simple,
y para vencimientos superiores a inte-
rés compuesto.
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Dados dos tipos spot con diferentes vencimientos, el tipo
forward aso- ciado a dichos vencimientos, también denominado
tipo a plazo, es el tipo de interés anual que permite capitalizar
el tipo spot de menor venci- miento de forma que el
resultado conjunto sea equivalente al tipo spot
de mayor vencimiento.
Ejemplo:
Dados los dos tipos spot a 18 y 36 meses de los ejemplos
anteriores, el tipo forward ( i f ),
vigente dentro de 18 meses y para un plazo de 18 meses, se
representará esquemática-
mente a partir de:
3,368%
Por tanto, será aquel tipo de interés anual que iguale:
(1 + 0,03368)3 = (1+ 0,03217)1,5 · (1 + i f ) 1,5
de donde se deduce que el tipo de interés forward asociado a estos
dos vencimientos es:
i f = 0,03519 = 3,519 %
Este sería el tanto de interés al que se debería reinvertir el
primer activo a su vencimiento,
durante 18 meses, para obtener el mismo tipo de interés que con el
segundo activo al final
del plazo.
Resumen:
El tipo spot asociado a un vencimiento es el tipo de
interés anual vigente hoy para un activo financiero.
El tipo forward asociado a dos vencimientos es el tipo de
interés anual que permite capitalizar el tipo spot de menor
vencimiento, de forma que el resultado conjun- to sea equivalente
al tipo spot de mayor vencimiento.
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Este capítulo responderá, entre otras, a las siguientes
preguntas:
¿Qué se entiende por rentabilidad de una operación
financiera?
¿Cuáles son los factores que afectan a la rentabilidad de una
operación?
¿Cuáles son las medidas de rentabilidad más habituales, dependiendo
de los fac-
tores que se consideren?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes
apartados:
a. Concepto de rentabilidad
b. Medidas de rentabilidad
b.1 Rentabilidad simple b.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR),
Tasa anual equivalente (TAE)
y Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
b.2.1 Tasa interna de rentabilidad
b.2.2 Tasa anual equivalente
b.3 Tasa geométrica de rentabilidad (TGR)
b.4 Rentabilidad real
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En general, la idea de rentabilidad hace referencia a la relación
que se
establece entre los rendimientos obtenidos de una operación y el
capital
invertido en ella. Esta relación, normalmente, se expresa en
porcentaje, ya sea
como rendimiento obtenido por cada 100 unidades monetarias
invertidas
durante todo el plazo de la operación (se trataría de un interés
efectivo) ,
o como rendimiento obtenido en un año por cada 100 unidades
invertidas
(se trataría de un interés nominal o bien de un interés efectivo
anual).
Ejemplo:
Si una persona compra acciones por valor de 5.350 € y
las vende a los 3 años por
6.535 €, ha obtenido los rendimientos dados por la
diferencia:
6.535 - 5.350 = 1.185 €
Por lo tanto, una primera manera elemental de determinar la
rentabilidad que ha obteni-
do el inversor es el interés efectivo:
6.535 – 5.350 = 0,2215 = 22,15%
5.350
y significa que, por cada euro invertido, se han obtenido 0,2215 €
al cabo de 3 años.
Hay que considerar que esta medida no tiene en cuenta el plazo de
la inversión. De
manera que, por ejemplo, si la inversión tuviera un plazo de un
año, el interés efectivo
resultaría el mismo. En cambio, es evidente que esta segunda
posibilidad es claramen-
te favorable para el inversor.
Para tener en cuenta el plazo de la inversión, se suelen calcular
las rentabilidades anuales.
Hay dos formas de anualizar la rentabilidad:
Interés nominal: utiliza la expresión del interés simple para
obtener la rentabilidad.
En el ejemplo anterior:
5.350 · 3 3
La interpretación del interés nominal es que por cada euro inicial
y por cada año de
inversión se han obtenido 0,0738 €.
Interés efectivo anual: utiliza la expresión del interés
compuesto con capitalización
anual de intereses para obtener la rentabilidad. En el
ejemplo:
– 1 = 0,06897 = 6,897%
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La interpretación del interés efectivo anual es que por cada euro
inicial y por cada año
de inversión se han obtenido 0,06897 €, lo que supone una
acumulación anual de
intereses.
Existen diferentes maneras de cuantificar la rentabilidad de una
inversión, en fun-
ción de los factores que se quieran considerar (comisiones,
inflación, fiscalidad,
etc.) y de las hipótesis de trabajo (formas de reinversión de los
flujos intermedios,
forma de anualización,...). En cualquier caso, todas las medidas de
rentabilidad
serán de alguno de los tres tipos de interés mencionados en el
apartado anterior.
A continuación, se estudiarán las principales medidas de
rentabilidad utilizadas en
el mercado.
b.1 Rentabilidad simple
Es un interés efectivo suponiendo que todos los flujos monetarios
inter-
medios generados por la operación, independientemente del instante
en
que se producen, se imputan en el instante final de la misma.
En realidad
esta suposición equivale a que todos los cobros y pagos intermedios
se reinviertan al 0% durante todo el resto de la operación. Es
decir:
(C t + D – G)
– C 0RS = C 0
donde:
C 0 : capital invertido al inicio de la operación
C t : capital obtenido al final de la
operación
D : suma de todos los ingresos generados durante la operación
(dividendos, intereses, cupones,...)
G : suma de todos los gastos asociados a la operación
(comisiones,...)
Resumen:
el capital invertido, los rendimientos obtenidos y el
plazo necesario para generarlos. Se puede medir como
una tasa nominal o como una tasa efectiva.
b. Medidas de rentabilidad
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Por ser un interés efectivo, para interpretar adecuadamente la
rentabilidad sim-
ple, deberá mencionarse el plazo en que se ha generado.
Ejemplo:
Si en la compraventa de acciones a 3 años del ejemplo del apartado
a., el inversor recibe
unos dividendos de 125 € al cabo de 1 año de la compra y
de 150 € a los 2 años, y en
el momento de la venta debe pagar unos gastos de 80 €,
entonces, la rentabilidad sim-
ple RS será:
5.350
En realidad, es como si los dividendos y los gastos se hubiesen
liquidado en el momento de la venta. Es decir, no se tiene en
cuenta el instante en que se producen los cobros y
pagos. Además, como en su cálculo no se toma en consideración el
plazo de la inversión,
debería decirse que se ha obtenido una rentabilidad del 25,79% en
un plazo de tres años.
b.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR), Tasa anual equivalente
(TAE) y Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
A diferencia de la rentabilidad simple, las tres tasas
siguientes tendrán en
cuenta la reinversión de los flujos monetarios que se produzcan a
lo largode la inversión.
b.2.1 Tasa interna de rentabilidad
Una de las medidas de la rentabilidad de una inversión más conocida
y usada, que
considera el instante en que se sitúan cada uno de los cobros y
pagos, es
la Tasa interna de rentabilidad o TIR.
La TIR es un tipo de interés efectivo, generalmente anual que
iguala los
valores actuales de los flujos de cobros y pagos. (En
realidad, iguala el valor
de los cobros y de los pagos en cualquier instante).
En general, para calcular la TIR se tiene que resolver la siguiente
ecuación:
P 1 P 2 C 1 C 2+ + ···· =
+ + ···· (1 + r )t
1 (1 + r )t 2 (1
+ r )T
1 (1 + r )T 2
donde:
P 1 , P 2 ,... : cuantías de los
diferentes pagos
t 1 , t 2 ,... : instantes en que se
hacen efectivos los pagos respectivos (expresados en años)
C 1 , C 2 ,... : cuantías de los
diferentes cobros
T 1 , T 2 ,... : instantes en que se
hacen efectivos los cobros respectivos (expresados en años)
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Ejemplo:
Tomamos de nuevo el ejemplo de la compraventa de acciones a 3 años,
con los dividen-
dos y gastos asociados. Se puede plantear el siguiente esquema de
flujos de cobros y
pagos:
Pagos: 5.350 80
Por lo tanto, la TIR será la tasa efectiva anual de interés,
r , que hace que se igualen los
valores actuales:
80 125 150 6.535 5.350 + = + +
(1 + r )3 (1 + r )1 (1 +
r )2 (1 + r )3
Para resolver este tipo de ecuaciones se necesitan calculadoras
financieras. La solución en
este caso resulta:
r = 0,081274 = 8,1274%
Ejemplo: TIR de un bono
Se adquiere un Bono del Estado a 3 años, con cupón anual del 3,20%,
en el mercado
secundario al 96,75%. Si el Bono se emitió hace 95 días, se
mantiene hasta el vencimiento
y se supone que no hay gastos asociados, se puede calcular la TIR
de la operación a par-
tir del siguiente esquema de flujos de cobros y pagos:
Cobros: 32 32 1.032
Pagos: 967,5
32 32 1.032 967,5 = + +
de donde:
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b.2.2 Tasa anual equivalente
Si la tasa interna de rentabilidad o TIR se calcula tomando en
considera-
ción las condiciones impuestas por el Banco de España, que,
como ya se dijo,
hacen referencia básicamente a determinados gastos de
naturaleza financie-
ra que deben incluirse, entonces se obtiene la medida de
rentabilidad
conocida como Tasa anual equivalente (TAE).
b.2.3 Tasa de rentabilidad efectiva
Como se ha visto, la ecuación que permite obtener la TIR está
basada en el inte-
rés compuesto, lo que significa que es como si todos los flujos
monetarios se reinvirtiesen a un tipo de interés exactamente igual
a dicha TIR. Esta hipótesis,
habitualmente, no tiene porqué verificarse. Por lo tanto, aparece
el denomina-
do riesgo de reinversión.
Ejemplo:
En el ejemplo de la compraventa de acciones a 3 años, cuya TIR es
del 8,1274%, se puede
comprobar que si los dividendos se reinvierten a esa misma tasa, el
capital final que se
hubiese acumulado al final de los 3 años sería:
C t = 125 · (1 + 0,081274)2 + 150 · (1 + 0,081274)1
+ 6.535 – 80 = 6.763,34
Por lo tanto, si por una inversión de 5.350 € se obtienen a los 3
años 6.763,34 €, la ren-
tabilidad efectiva anual es:
5.350 · (1 + r )3 = 6.763,34
de donde r = 0,081274 = 8,1274%.
Si se tiene en cuenta la tasa de interés a que se reinvierten los
flujos monetarios
que se producen durante la inversión, aparece la denominada
Tasa de rentabili- dad efectiva (TRE). Así pues,
la TRE es el tanto efectivo anual al que resul-
ta una operación si consideramos la tasa de reinversión de los
flujos
intermedios.
Ejemplo:
Si en el ejemplo anterior se consideran diferentes tasas de
reinversión y se representa por
i la tasa a que se reinvierten los dividendos, entonces,
el capital final acumulado a los 3
años, será:
C t = 125 · (1 + i )2 + 150 · (1
+ i )1 + 6.535 – 80
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Por lo tanto, si por una inversión de 5.350 € se obtienen a los 3
años C t €, la tasa de ren-
tabilidad efectiva se obtendrá de:
5.350 · (1 + TRE )3 = C t
En la siguiente tabla aparece la TRE para
diferentes tasas de reinversión:
Tasa de reinversión C t TRE
0% 6.730,00 7,949%
3% 6.742,11 8,014%
5% 6.750,31 8,058%
8,1274% 6.763,34 8,1274%
10% 6.771,25 8,170%
12% 6.779,80 8,215%
Se comprueba que, efectivamente, la TIR es un caso particular de la
TRE, cuan-
do la tasa de reinversión coincide con la propia TIR.
Por otra parte, cuanto mayor sea el horizonte de la inversión
y mayores los
flujos y frecuencia monetarios, mayor importancia tendrá el riesgo
de
reinversión.
b.3 Tasa geométrica de rentabilidad (TGR)
La Tasa geométrica de rentabilidad (TGR) de una inversión, cuyo
horizon-
te temporal se divide en periodos, es el tanto efectivo anual que
hace
equivalentes los valores inicial y final de la inversión, teniendo
en cuen-
ta que los flujos intermedios que se producen en cada periodo se
rein-
vierten dentro de la misma inversión.
Asi mismo, al dividir el plazo de la inversión en periodos, se
demuestra que se
puede calcular a partir de una media geométrica de las
rentabilidades simples de
cada uno de los periodos. En general:
TGR = (1 + RS 1 ) · (1 + RS 2
) · ··· · (1 + RS n ) – 1
donde:
t: horizonte temporal de la inversión en años
RS 1 , RS 2 , ..., RS n :
rentabilidades simples de los respectivos n
periodos
t
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Ejemplo:
Hace 2 años y medio se adquirieron 1.000 participaciones en un
fondo de inversión, al
precio de 15 € cada una. Un año después, el valor
liquidativo de las participaciones era
de 18 €, y dos años después, era de 16 €. Si hoy se ha vendido cada
una a 20 €, la tasa
geométrica de rentabilidad se determinará a partir del
esquema:
15.000 18.000 16.000 20.000
0 1 2 2,5 años
Por ser un tanto efectivo anual, podemos calcular la tasa
geométrica de rentabilidad de la
siguiente manera:
15.000 · (1 + TGR) 2,5 = 20.000
de donde: TGR = 0,12196 = 12,196 %
De la misma manera, se puede calcular la TGR a partir
de las rentabilidades simples de
cada periodo:
15.000
18.000
16.000
TGR = (1 + 0,20) · ( 1 – 0,1111) · (1 + 0,25) – 1 = 0,12196 =
12,196%
b.4 Rentabilidad real
Se entiende por rentabilidad real de una inversión la tasa de
rentabilidad
que se obtiene si se descuenta el efecto de la inflación existente
durante
el plazo de la inversión. Se calcula a partir de la
expresión:
R –
: tasa de inflación
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Ejemplo:
Por una inversión de 10.000 € se han obtenido en un año 10.800 €, y
la inflación en este
periodo ha sido del 3,5%. Como la rentabilidad de la inversión es
del 8%, la rentabilidad
real es:
1 + 0,035
Rreal R –
Para que la aproximación sea buena, la inflación debe ser
pequeña.
Ejemplo:
R real 0,08 – 0,035 = 0,045 = 4,5%
Cada una de ellas considera distintos aspectos de la
operación (comisiones, inflación,...) y se basa en dife-
rentes hipótesis para su cálculo (formas de reinversión
de los flujos intermedios, forma de anualización,...).
La rentabilidad simple (RS) supone que los flujos
mone-
tarios se reinvierten al 0%, mientras que en la TIR se reinvierten
a una tasa igual a la misma TIR. La TAE es
una TIR que tiene en cuenta los gastos de naturaleza
financiera. En cambio, en la TRE, los flujos se reinvier-
ten a una tasa cualquiera.
La Tasa geométrica de rentabilidad (TGR) es la
media
geométrica de las rentabilidades simples de los perio-
dos en que se divide el plazo de la inversión.
Por otro lado, la rentabilidad real descuenta el efecto
de la inflación.
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Este capítulo responderá, entre otras, a las siguientes
preguntas:
¿Qué tipo de información permite usar las medidas
estadísticas?
¿Qué significan y cómo se calculan la media y la esperanza a partir
de una mues-
tra de datos? ¿Cuál es la varianza y la desviación tipo?
¿Cómo medir e interpretar el grado de relación que existe entre dos
series de datos?
¿Cómo se obtiene, a partir de una serie histórica de cotizaciones
de un título, su
rentabilidad histórica?
¿Cómo se puede estimar la rentabilidad esperada de un activo?
¿Qué es el riesgo de un activo financiero y cómo se utiliza la
volatilidad como
medida del riesgo de un activo?
¿Cómo obtener la rentabilidad esperada de una cartera formada por
diversosactivos?
Para responder a estas preguntas, se desarrollan los siguientes
apartados:
Introducción
c. Covarianza
d. Rentabilidad
e. Riesgo
e.2 Consecuencias de la hipótesis de normalidad
7
3
4
4
5
5
58
4
8
1
6
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En el campo de las finanzas y de la economía en general, uno de los
objetivos fun-
damentales es la comprensión del comportamiento histórico de los
fenómenos
estudiados para, a partir de ellos y mediante la observación de sus
posibles regu-
laridades, intentar estimar la tendencia futura.
En concreto, en el análisis de inversiones, a partir de los datos
históricos disponi-
bles sobre las cotizaciones, dividendos, derechos, valores
liquidativos, etc., de
acciones, fondos de inversión u otros activos, se procede a
construir una serie his- tórica de rentabilidades. El cálculo de
ciertas medidas estadísticas de esta serie nos permitirá tener un
cierto grado de conocimiento sobre su com- portamiento y, en la
medida en que éste se pueda mantener en el futuro, permitiría
realizar previsiones.
Evidentemente, las previsiones también pueden generarse a partir de
la experien-
cia del gestor, que valorará subjetivamente las posibilidades de
que, en el futuro,
se produzcan diferentes escenarios, a los que se asociará una
probabilidad de ocu-
rrencia en función de toda la información de que disponga.
En ambos casos se acostumbran a utilizar técnicas estadísticas muy
variadas y con
diferentes niveles de complejidad. En este capítulo, se
introducirán brevemente y
de forma elemental, algunas medidas estadísticas fundamentales, que
son las más
usadas en el análisis de inversiones.
Introducción
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Se introducen, en primer lugar, las denominadas medidas de
tendencia central. La idea general de todas ellas es calcular un
valor que represente, en pro- medio, el comportamiento de un
conjunto de datos. A pesar de que existen
otras medidas, se explican únicamente la media aritmética de unos
datos conoci-
dos y la esperanza matemática de unos sucesos con una probabilidad
asignada.
Dado un conjunto de datos x 1 , x 2 ,
..., x n , su media aritmética, x , es:
x 1 , x 2 , ..., x nx = n
Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice durante una semana han
sido 6.951,00;
7.023,80; 7.030,40; 7.119,10 y 7.129,50, su media aritmética
es:
6.951,00 + 7.023,80 + 7.030,40 + 7.119,10 + 7.129,50 x =
= 7.050,76
5
Por otra parte, si una variable X se representa mediante
una serie de resultados
x 1 , x 2 , ..., x n , con unas
probabilidades respectivas asociadas p1 , p2 , ...,
pn ,
entonces, la esperanza matemática, es:
E (X) = p1 · x 1 + p2 · x 2 + ...
+ pn · x n
Ejemplo:
Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la
cotización del índice dentro de un mes:
Escenario Probabilidad Cotización (X)
Pesimista 0,25 7.020
Normal 0,50 7.100
Optimista 0,25 7.250
Entonces, la cotización esperada se calcula a partir de la
esperanza matemática:
E(X) = 0,25 · 7.020 + 0,50 · 7.100 + 0,25 · 7.250 = 7.117,5
a. Media y esperanza
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Resumen:
Las medidas de tendencia central más utilizadas en el análisis y
selección de inversiones son la media aritmé- tica ( x )
y la esperanza matemática ( E(X) ). Su diferen- cia estriba en el
hecho que se conozcan todos los valo- res que ha tomado una
variable o en que se fije la probabilidad de que se den esos
valores. Respectiva- mente, se calculan a partir de las
expresiones:
x 1 , x 2 , ..., x n x =
n
E (X) = p1 · x 1 + p2 · x 2 + ... + pn · x n
b. Varianza y desviación tipo
Si tenemos en cuenta que las medidas anteriores pretenden
representar, en pro-
medio, un conjunto de datos, se introducen otras medidas
estadísticas como
forma de valorar la dispersión de los datos respecto de su media o
espe-ranza. Las medidas de dispersión más utilizadas son la
varianza y la des- viación tipo o estándar.
Dado un conjunto de datos x 1 , x 2 ,
..., x n , su varianza se representa por 2 y
es:
( x 1 – x)2 + ( x 2 – x)2 + ... +
( x n – x)2
2 =
n
donde:
( x i – x ): desviación de cada dato
respecto de la media
( x i – x )2: desviación de cada dato al
cuadrado, para que las
desviaciones positivas y negativas no se compensen
n: número de observaciones
La desviación tipo o desviación estándar del conjunto de datos
anterior se representa por y es la raíz cuadrada de la
varianza:
( x 1 – x)2 + ( x 2 – x)2 + ... +
( x n – x)2
= n
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Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice, durante la semana, han
sido 6.951,00; 7.023,80;
7.030,40; 7.119,10 y 7.129,50, como su media aritmética es de
7.050,76, la varianza y
la desviación tipo se calcularán:
Día Cotización ( x i )
x i – x ( x i – x
)2
1 6.951,00 -99,76 9.952,0576
2 7.023,80 -26,96 726,8416
3 7.030,40 -20,36 414,5296
4 7.119,10 68,34 4.670,3556
5 7.129,50 78,74 6.199,9876
Suma 0 21.963,772
Se comprueba que la suma de las desviaciones es cero, ya que se
compensan las que están
por encima de la media con las que están por debajo. Para evitarlo
se elevan al cuadrado,
y su media es la varianza:
21.963,772
2 = = 4.392,75 5
Para corregir el efecto de haber elevado las desviaciones al
cuadrado, la raíz cuadrada de
la varianza da la desviación tipo, que será una medida comparable
con la media por estar
expresada en las mismas unidades:
= 4.392,75 = 66,28
Por otra parte, si queremos estimar una variable X que se
representa mediante una serie de resultados x 1
, x 2 , ..., x n , con unas probabilidades
res-
pectivas asociadas p1 , p2 , ..., pn , entonces, la
varianza es:
2 (X) = p1 · ( x 1 – E ( X ))2
+ p2 · ( x 2 – E ( X ))2 + ...
+ pn · ( x n – E ( X ))2
donde:
x i – E ( X ): desviación de cada
dato respecto de la esperanza matemática
(x i – E ( X ))2 : desviación de cada dato
al cuadrado
La desviación tipo o desviación estándar del conjunto de datos
anterior se representa por y es la raíz cuadrada de la
varianza:
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Ejemplo:
Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la
cotización del índice dentro de un
mes:
Pesimista 0,25 7.020
Normal 0,50 7.100
Optimista 0,25 7.250
Como su cotización esperada E(x) es 7.117,5, la varianza y la
desviación tipo se calcularán:
Escenario Probabilidad Cotización (X) x i – E(X)
( x i – E ( X ))2 pi ·
( x i – E ( X ))2
Pesimista 0,25 7.020 -97,50 9.506,25 2.376,56
Normal 0,50 7.100 -17,50 306,25 153,13
Optimista 0,25 7.250 132,50 17.556,25 4.389,06
La varianza será la suma de los términos de la última
columna:
2(x) = 2.376,56 + 153,13 + 4.389,06 = 6.918,75
Resumen:
Las medidas de dispersión se utilizan para medir el grado de
oscilación de un conjunto de valores respecto de su media o de su
esperanza matemática. Las más utilizadas son la varianza y la
desviación tipo. Mientras que la varianza se calcula a partir de
las siguientes
expresiones:
( x 1 – x )2 + ( x 2 – x )2 + ... +
( x n – x )2
2 =
n
2(X) = p1 ( x 1 – E(X))2 + p2 ( x 2 –
E(X))2 + ... + pn ( x n – E(X))2
La desviación tipo es la raíz cuadrada de la varianza.
( x 1 – x )2 + ( x 2 – x )2 + ... +
( x n – x )2
= n
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c. Covarianza
Para estudiar el grado de relación entre las variaciones de dos
conjuntos de datos, se introduce la covarianza. Es una medida
estadística que cuantifi- ca el tipo de relación lineal que se
establece entre los movimientos de dos series distintas de
datos.
Dados dos conjuntos de datos asociados de la siguiente forma:
X x 1 x 2 ... x n
Y y 1 y 2 ... y n
su covarianza se representa por XY y es:
( x 1 – x) · ( y 1 – y) +
( x 2 – x) · ( y 2 – y) + ... +
( x n – x) · ( y n – y) XY
=
n
donde:
x i – x : desviación de cada dato de la
serie X respecto de la media x
y i – y : desviación de cada dato de la
serie Y respecto de la media y
(x i – x) · (y i – y): producto de
las desviaciones asociadas a cada par de datos
La interpretación de la covarianza reside básicamente en su
signo:
Si XY > 0 ambas series se mueven, por término
medio, en el mismo sentido.
Si XY < 0 ambas series se mueven, por término
medio, en sentido con- trario.
Si XY = 0 existe independencia lineal entre los
movimientos de ambas
series.
Ejemplo:
Si las cotizaciones de cierre de un índice I y de un activo A
durante una determinada sema-
na se recogen en la siguiente tabla:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
I 6.951,00 7.023,80 7.030,40 7.119,10 7.129,50
A 14,79 14,92 14,88 14,99 15,00
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Como la media de un índice en dicha semana es de 7.050,76, la del
título A es de 14,916
y las desviaciones tipo son, respectivamente, 66,28 y 0,077, la
covarianza entre ambas
se