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Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es
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Integración numéricaIntegración numérica
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 2
ÍndiceÍndice
� Motivación y objetivos� Cuadratura numérica
• Planteamiento general• Clasificación • Orden de convergencia
� Cuadraturas de Newton-Cotes� Cuadraturas de Gauss� Cuadraturas mixtas� Cuadraturas compuestas
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 3
� Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral
� Limitaciones de la integración analítica:• la expresión analítica de f (x) no es conocida: datos
experimentales o función evaluable sólo de forma discreta,
• f (x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida.
MotivaciónMotivación
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 4
ObjetivosObjetivos
� Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica
� Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo
� Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras
� Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 5
Cuadratura numéricaCuadratura numérica
pesospesos puntospuntos
errorerror
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 6
Planteamiento generalPlanteamiento general
1. Aproximar f por un polinomio
2. Integrar (con interpolación de Lagrange)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 7
ClasificaciónClasificación
� Según los puntos de integración:
• Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos experimentales…)
• generalmente puntos equiespaciados• sólo hay que determinar los pesos y el
error
• Gauss: puntos “óptimos” (hábilmente elegidos)• f se puede evaluar donde se desee• se eligen los puntos para que la
cuadratura sea “lo mejor posible” y, después, se calculan y
• Mixtas (Radau, Lobatto): algunos puntos son predeterminados y el resto a elegir
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 8
� Según los extremos:
• cuadraturas cerradas
• cuadraturasabiertas
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 9
Orden de una cuadraturaOrden de una cuadratura
� Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado ≤ q
� Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior.
� Si el error es de la forma
entonces la cuadratura es de orden q
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 10
Cuadraturas de Newton-CotesCuadraturas
de Newton-Cotes
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 11
Fórmulas cerradas de Newton-CotesFórmulas cerradas de Newton-Cotes
� Puntos arbitrarios� Sólo hay que calcular
los pesos
y el error
� Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 12
Cambio de variable
� Los puntos de integración corresponden a α=0, 1, …, n
� Polinomios y resto de Lagrange
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 13
Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados
Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados
� Pesos de integración
� Error
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 14
Fórmula del trapecio (n = 1)Fórmula del trapecio (n = 1)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 15
teorema del valor medio integral
Fórmula del trapecio (n = 1)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 16
Fórmula de Simpson (n = 2)Fórmula de Simpson (n = 2)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 17
Fórmula de Simpson (n = 2)
n=2 par � orden 3 (mayor de lo esperado)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 18
� Si n es impar (orden n)
� Si n es par (orden n+1)
Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes
Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes
Demostración en Ralston & Rabinowitz, “A first course in numerical analysis”, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 19
Fórmulas cerradas de Newton-CotesFórmulas cerradas de Newton-Cotes
(Trapecio)
(Simpson)
(2ª Simpson)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 20
Fórmulas abiertas de Newton-CotesFórmulas abiertas de Newton-Cotes
� La misma idea con x0= a+h y xn = b-h
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 23
Cuadraturas de GaussCuadraturas de Gauss
� Consideramos integrales de la forma
• más general• ω(z) estrictamente positiva en [a, b] (salvo en un conjunto
de medida nula)� Interpolación polinómica con n+1 puntos {z0,… zn}
Li(z): polinomios de Lagrange
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 24
� Integrando se obtiene la cuadratura
y el error
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 25
� Newton-Cotes:• Puntos de integración {z0,… zn} arbitrarios
(equiespaciados)• Se calculan los pesos wi para que la cuadratura sea
de orden n (generalmente): n+1 condiciones para n+1 parámetros
• Caso especial: para n par � orden n+1
� Cuadraturas de Gauss: nos preguntamos• ¿podemos elegir los puntos de integración {z0,… zn}
para tener mayor orden? • ¿qué orden se puede alcanzar?
Se eligen los puntos de integración para que se integren exactamente polinomios de grado ≤ 2n+1
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 26
� Consideramos un polinomio de grado 2n+1
� En este caso,
y el residuo de Lagrange se expresa como
con
Obtención de la cuadraturaObtención de la cuadratura
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 27
� Es decir, el error se escribe como
� Considerando el producto escalar
el error de integración para se expresa como
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 28
Familia de polinomios ortogonalesFamilia de polinomios ortogonales
� Se considera una familia de polinomios
tal que(1)
(2) (ortogonales)
� Propiedades:• Qk tiene k raíces simples reales en ]za, zb[
• ortogonalidad
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 29
� Por lo tanto, si
entonces el error de integración para es
tal como queríamos.
Los puntos de integración de la cuadratura de Gauss son los ceros del polinomio Qn+1
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 30
ResumenResumen
� Producto escalar
� Polinomios ortogonales (generalmente familias de polinomios ortogonales conocidas): Qn+1 tal que
� Puntos de integración: ceros de
� Pesos de integración:
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 31
ObservacionesObservaciones
� La cuadratura es de orden 2n+1
� Los puntos y los pesos de la cuadratura también se pueden calcular imponiendo que la cuadratura de Gauss es exacta
para
(sistema no lineal con 2n+2 incógnitas y 2n+2 ecuaciones)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 32
Cuadraturas de Gauss-Legendre:
Cuadraturas deGauss-Laguerre:
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 33
Cuadraturas de Gauss-Hermite:
Cuadraturas deGauss-Chebyshev:
Los puntos y los pesos están tabulados
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 34
Gauss-LegendreGauss-Legendre
� n=0(orden 1)
� n=1(orden 3)
� n=2(orden 5)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 35
Gauss-HermiteGauss-Hermite
� n=0(orden 1)
� n=1(orden 3)
� n=2(orden 5)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 36
Gauss-LaguerreGauss-Laguerre
� n=0(orden 1)
� n=1(orden 3)
� n=2 (orden 5)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 37
Gauss-ChebyshevGauss-Chebyshev
� n=0(orden 1)
� n=1(orden 3)
� n=2 (orden 5)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 38
Ejemplo de aplicación: Gauss-LegendreEjemplo de aplicación: Gauss-Legendre
� Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b]
se escribe la integral como
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 39
� Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre
o, utilizando la definición de f(z),
� El error es
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 40
Ejemplo de aplicación: Gauss-LaguerreEjemplo de aplicación: Gauss-Laguerre
� Aplicando el cambio
� Aplicando la cuadratura
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 41
Cuadraturas compuestasCuadraturas compuestas
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 42
IdeaIdea
� Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos
y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, …) con n+1 puntos en cada subintervalo.
II11 IImm
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 43
Ejemplo: fórmula compuesta del trapecioEjemplo: fórmula compuesta del trapecio
� En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1).
II11 II22 II33 II44
m=4, n=1
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 44
� Es decir,
con
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 45
� Si los puntos son equiespaciados, con distancia , la fórmula se escribe como
donde el error es
o, equivalentemente,
m→∞→∞→∞→∞0
(si f 2) está acotada)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 46
� En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2).
Ejemplo: fórmula compuesta de SimpsonEjemplo: fórmula compuesta de Simpson
II11 II22
m=2, n=2
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 47
� Es decir,
� Si los puntos son equiespaciados, con
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 48
� El error es
o, equivalentemente,
� Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos:
(si f 4) está acotada)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 49
ConvergenciaConvergencia
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 50
NewtonNewton--CotesCotes
Compuesta GaussCompuesta Gauss--Legendre n=1Legendre n=1
Compuesta GaussCompuesta Gauss--Legendre n=2Legendre n=2
Compuesta TrapecioCompuesta Trapecio
Compuesta SimpsonCompuesta Simpson
GaussGauss--LegendreLegendre
EjemploEjemplo
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 51
� Newton-Cotes:
� Gauss-Legendre:
� Compuesta del trapecio:
� Compuesta de Simpson:
� Compuesta deGauss-Legendre:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 52
NewtonNewton--CotesCotes
Compuesta GaussCompuesta Gauss--Legendre n=1Legendre n=1Compuesta GaussCompuesta Gauss--Legendre n=2Legendre n=2
Compuesta TrapecioCompuesta TrapecioCompuesta SimpsonCompuesta Simpson
GaussGauss--LegendreLegendre
EjemploEjemplo
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 53
ConvergenciaConvergencia
� NO tiene asegurada la convergencia:• Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos
equiespaciados (aumentando n)
� SI tiene convergencia asegurada:• Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n)• Cuadraturas compuestas (aumentando m)
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FINFIN
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 55
Interpolación de LagrangeInterpolación de Lagrange
� Polinomios de Lagrange
� Residuo de Lagrange
INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 56
Interpolación de HermiteInterpolación de Hermite
� Polinomios de Hermite
� Residuo