Ao de las Cumbres Mundiales en el Per

ANALISIS MATEMATICO I I Integral Impropia

CURSO

: ANALISIS MATEMATICO IICARRERA

: INGENIERA INDUSTRIALDOCENTE

: JULIO CARDENASALUMNOS : QUINTO ENRQUEZ, DANTE PABLO TARAPAQUI, LUZTEMA : INTEGRALES IMPROPIAS

CICLO/TURNO : III-NOCHE

AULA

: A306LIMA PERU

2009INDICE GENERAL

Dedicatoria 3Objetivos. 4Metodologa de investigacin. 4Integral impropia 5Carcter y valor de las integrales impropias 8Integral de primera especie.. 8Integral de segunda especie.. 9Integral de tercera especie 10Ejemplos de Integrales Impropias . 10

Integrales Impropias especiales.. 18

Funcin Gamma. 18Funcin Beta.. 23Equivalencia de funcin Gamma y Funcin Beta 27 Conclusiones 31Bibliografa.31Al maestro que da un segundo ms a su existencia, para impartir el conocimiento y hacer ms digna la existencia humana

OBJETIVOS: Incentivar en el estudiante la investigacin y el gusto por ciencias exactas

Afianzar sus conocimientos impartidos en clase

Aumentar su ptica hacia la matemtica, al investigar sobre lo inmenso de las teoras matemticas

Comprender la importancia y la aplicacin de las teoras matemticas

METODOLOGA DE INVESTIGACINLa metodologa usada para hacer este informe monogrfico se basa bsicamente en la recopilacin de informacin publicada en la web y la organizacin segn una secuencia lgica y didctica del tema desarrollado.Al ser la teora matemtica amplia y tener varias pticas bajo diversos especialistas, en el desarrollo de esta monografa la ptica mas aplicativa, dejando de lado la parte axiomtica y rigurosa que exige este tema como todo los dems informes cientficos.

Integral impropia

Introduccin

"Si la funcin f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asntota vertical, o si c=, entonces la integral

Puede ser ms conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera est definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x)dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el lmite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como lmites.

La integral

puede interpretarse como

pero desde el punto de vista del anlisis matemtico no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ). Por otro lado, el uso del lmite de integrales definidas en intervalos finitos es til, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

sta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor est dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de nmeros reales en los cuales debemos utilizar lmites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simblica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como lmite de integracin. Esto no hace ms que "ocultar" el debido proceso de calcular los lmites de la integral. Utilizando la ms avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operacin. Pero si slo se desea evaluar el lmite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es ms o menos esencial en el tratamiento terico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.Definicin de integral impropia:

Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

si los lmites existen.

Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Carcter y valor de las Integrales Impropias

Si la integral que nos ocupa es de fcil resolucin podemos determinar su carcter mediante el clculo de la integral impropia. Segn el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie

Son del tipo:

Para poder determinar su carcter realizamos la siguiente operacin (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):

Si existe el

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si

es + - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

2-Segunda Especie

Son del tipo:

y que f(x) no est definida en el intervalo de integracin o en los extremos de integracin.

Para poder determinar su carcter realizamos la siguiente operacin (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):

Si el

existe y es finito y en este caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

3-Tercera EspecieSon mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integracin y la funcin se hace infinito en uno o ms puntos del intervalo de integracin.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carcter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Ejemplos de Integrales impropias

Ejemplo 1: Encontrar el rea de la regin limitada por la curva la recta y el eje Como la curva es siempre positiva

Area

Es decir que el rea si se puede medir y vale 1. Uno podra pensar que la curva se vuelve asntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la porcin que hay entre la curva y el eje se vuelve muy pequea y llega a ser despreciable.

Integral impropia de 1ra clase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si es convergente

luego es convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que ste valor es el rea bajo la curva

Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el rea bajo la curva con Como para Area =

Entonces el rea no se puede medir porque la integral es divergente.

2) Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir

Ejemplo 4: La regin limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del eje ;encontrar el volumen del slido obtenido.

Utilizando discos

Volumen =

Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente

utilizando fracciones parciales

=

Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la indeterminacin

INCLUDEPICTURE "../../../../../../My%20Web%20Sites/matematicas%20II%20calculo%20integral%20y%20calculo%20vectorial/www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/graphics/04_05_01__38.png" \* MERGEFORMAT As : 3) Este caso sera una combinacin de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetra se puede aprovechar este hecho para que la integral sea impropia en uno solo de los lmites de integracin

Ejemplo 6: Encontrar el rea limitada por la curva y el eje Por lo que la curva es siempre positiva Area=. Pero como la curva es simtrica con respecto al eje Area =2

Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge

como se ve en la grfica es una funcin impar por lo cual si existe

INCLUDEPICTURE "../../../../../../My%20Web%20Sites/matematicas%20II%20calculo%20integral%20y%20calculo%20vectorial/www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/graphics/04_05_01__53.png" \* MERGEFORMAT por lo tanto

INCLUDEPICTURE "../../../../../../My%20Web%20Sites/matematicas%20II%20calculo%20integral%20y%20calculo%20vectorial/www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/graphics/04_05_01__55.png" \* MERGEFORMAT Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente poda haber sido divergente y el resultado no da cero.

Si es una funcin contnua en un intervalo

INCLUDEPICTURE "../../../../../../My%20Web%20Sites/matematicas%20II%20calculo%20integral%20y%20calculo%20vectorial/www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/graphics/04_05_01__60.png" \* MERGEFORMAT existe

Si es discontnua en se hace y si este lmite existe se dir que la integral es convergente si no que es divergente.

Si es discontnua en se hace con la misma observacin anterior

Si es discontnua en algn nmero pero contnua en todos los dems valores

aplicndose sobre el nmero lo que se describi

Integral impropia de 2da clase.(convergentes)Ejemplo 8: Decir si la integral converge o diverge

El integrando es discontnuo en 0 entonces Como siempre, este resultado me est dando el rea bajo la curva

Ejemplo 9: Decir si la integral es convergente o divergente

El integrando es discontnuo en

INCLUDEPICTURE "../../../../../../My%20Web%20Sites/matematicas%20II%20calculo%20integral%20y%20calculo%20vectorial/www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/graphics/04_05_01__76.png" \* MERGEFORMAT luego la integral diverge

Ejemplo 10: Decir si converge o diverge

Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo !!!

Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la funcin es positiva!

Como es discontnua en 0 Como la regin es simtrica con respecto al eje si converge tambin;

luego es divergente

Ejemplo 11: Muestre que el permetro de una circunferencia de radio es La ecuacin de una circunferencia de centro en y de radio es El permetro de la circunferencia ser la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.

El integrando es discontnuo en (el denominador se hace );

En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que hacer uso de integrales impropias.

Integrales Impropias especialesFUNCIN GAMMA Ahora estudiaremos una funcin conocida como la funcin gamma , la cual es de gran importacia en anlisis y en aplicaciones. Esta funcin se define en trminos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en trminos de funciones elementales.

Definicin [Funcin Gamma]

La funcin

INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/img78.gif" \* MERGEFORMATINET dada por

se conoce como la funcin gamma. Su grfica se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9

El siguiente teorema establece una de las propiedades ms importantes de la funcin gamma.

Teorema [Recursividad de gamma]

Para toda se tiene que

Demostracin

Integrando por partes

Ejemplo Calcule .

Solucin

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.

Corolario [Recursividad de Gamma]

Para , y se tiene que

Observacin: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta razn se conoce a esta funcin como el factorial generalizado.

Ejemplo Calcular los valores de , , .

Solucin Usando la propiedad recursiva, tenemos que

Para :

Para :

Para :

De donde

CLCULO FRACCIONARIO

La n-sima derivada de axb (donde n es un nmero natural) se puede ver de la siguiente manera:

Como n! = (n + 1) entonces donde n puede ser cualquier nmero donde gamma est definido o se pueda definir mediante lmites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una constante c = cx0:

FUNCION BETAA siguiente integral

se conoce como la funcin beta.

El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la funcin Beta.

Teorema [Propiedades de la funcin beta]

1. La funcin converge para , .

2. .

3. Para , se tiene que

4. Para , se tiene que

5. Para , se tiene que

Demostracin

1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

Ahora, observe que la primera integral convwerge si

y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable

3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

4. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

5. La demostracin de este resultado es un tanto ms compleja y se sale de los objetivos del curso, por esta razn no la haremos.

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solucin Usando los resultados del teorema anterior

Observe que cuando es muy grande es extremadamente difcil calcular , an con la ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el nmero de posibles formas de barajar un maso de cartas podra tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de . El siguiente teorema establece que es una buena aproximacin de , cuando es muy grande.

Teorema [Frmula de Stirling]

Observacin: del la frmula de Stirling1.4 tenemos que

Y por ltimo el siguiente teorema expresa la relacin entre la funcin y la transformada.

Equivalencia entre la funcin Gamma y Beta

La funcin beta[1] fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques Binet.

En matemtica, dada una funcin f, muchas veces es til expresar f (x + y) en trminos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este anlisis, aplicado a la funcin gamma, conduce a la definicin de la funcin beta. Para x e y, dos nmeros complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto (x)(y):

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u2 y s = v2:

Pasando a coordenadas polares u = rcos, v = rsin esta integral doble arroja

Haciendo t = r2 obtenemos

Definiendo la funcin beta

se obtiene

Propiedades

1. La primera propiedad que satisface la funcin beta, ya se ha mostrado

2. La funcin beta es simtrica

3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la funcin beta

Derivadas

Las derivadas de la funcin beta, pueden expresarse en trminos de la funcin digamma y las funciones poligamma

donde (x) es la funcin digamma.

Aplicacin

Puesto que (1) = 1, se deduce de la definicin de la funcin beta y de la primera propiedad enunciada que

de donde .

Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

Entonces podemos[2]

Usando la primera propiedad de la funcin beta, tenemos

De manera que

CONCLUCIONES:

Al puede concluir con satisfacion que al desarrollar la monografia se aumentos la vision del alumnos al estar en contacto con una informacion vasta solo publicada en la web. Se tiene claro las diversas escuelas matematicas, es decir la matematica aplicada y la matematica pura,que desarrolla la teoria matematica desde el punto de vista axiomatico y riguroso.BIBLIOGRAFIA:

Instituto de matemtica y ciencias afines-Universidad Nacional de Ingeniera Per www.imca.edu.pe Universidad de Zaragoza - Espaa www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../07-impropias.pdf Universidad Catlica de Salta- Argentina www.ucasal.net/recursos/INTEGRALES_IMPROPIAS.pdf Facultad de Ingeniera ;Universidad de Buenos Aires- Argentina www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/II00.pdf Universidad de Alcal Espaa www2.uah.es/josem_salazar/material_docente.../teoria/.../t6.pdf Enciclopedia Libre Wikipedia es.wikipedia.org

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