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INTERÉS COMPUESTO

“OBJETIVO El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores que intervienen en el cálculo de interés compuesto junto con los análisis matemáticos que conducen al desarrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempo” i. INTRODUCCIÓN En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo, y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuestoii. En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final de periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida. FUNCIÓN DEL TIEMPO El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo instante. En la capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimiento continuo. En el crecimiento de un capital a interés compuesto, los intereses ganados se agregan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente; bajo estas condiciones, el monto es función discreta del tiempo. PERIODO DE CAPITALIZACIÓN Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los interesesiii. TASA DE INTERÉS COMPUESTO Es el interés fijado por periodo de capitalización. VALOR FUTURO DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO O MONTO COMPUESTO Es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses. EJEMPLO: Se conviene una deuda de $1000 a 5 años de plazo al interés del 10% con capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. A continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda, el capital acumulado al final de cada periodo, que en este caso es anual.

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Y

1000

$1.100 $ 1.210 $1.331 $1.464 $ 1.611

0 1 2 3 4 5 X periodos

NÚMERO DE

PERIODOS

CAPITAL A

PRINCIPIO DE

PERIODO

INTERESES EN

EL PERIODO

CAPITAL MÁS

INTERESES A FINAL DE

CADA PERIODO

1 $ 1000,00 $ 100 $ 1.100,00

2 $ 1.100,00 $ 110,00 $ 1.210,00

3 $ 1.210,00 $ 121,00 $ 1.331,00

4 $ 1.331,00 $ 133,10 $ 1.464,10

5 $ 1.464,10 $ 146,41 $ 1.610,51

Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO

Sea el capital puesto al interés por periodo de capitalización ( es el tanto por ciento

en el periodo). Calcular el valor futuro al final de n periodos de capitalización.

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Los valores del factor de acumulación pueden hallarse utilizando calculadora,

logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica se utilizan

calculadoras o tablas financieras en las que los valores de están calculados

hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de desde 1 hasta

150 periodos.

NOTA. PARA TRABAJAR CON TABLAS, TEXTO “MATEMÁTICAS FINANCIERAS”

AUTOR “LINCOYAN PORTUS GOVINDEN” CUARTA EDICIÓN, PÁG. 402-430.

EJEMPLO

Un banco ofrece la tasa del 10% para los depósitos en cuenta de ahorros.

Calcular el monto de un depósito de $ 1000 al cabo de 10años utilizando: a)

calculadora b) logaritmos c) tablas.

b) Utilizando logaritmos:

= 3,413930

c) Utilizando tablas: En la Tabla I, se busca la intersección de la columna del 10% con la

fila , y se encuentra el valor 2,59374246

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TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES

La tasa convenida para una operación financiera es su tasa nominal. Tasa efectiva de interés, es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al 8% con capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que corresponden a $100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para el monto, se tiene entonces:

n=4; P =100, = 2% de tasa efectiva en el periodo; i = 0,02

F = = = 100

F = $ 108, 24321 $100 ganan $8,24321 en un año o sea tasa efectiva = 8,24321% Tasas equivalentes: Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. En el texto se utilizarán los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresadas en tanto por ciento: i = efectiva anual (distribución % según # de periodo=Tasa de capitalización del periodo) j = nominal anual (“Tasa Nominal Anual”) m= número de capitalizaciones en el año En la tabla I, las columnas se refieren a las tasas en el periodo de capitalización. Así, para 12% con capitalización trimestral se tiene m para 12% con capitalización trimestral se

tiene m para 12% con capitalización trimestral se tiene m = 4; j = 12, = 3%.

El símbolo i en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo. Relación entre la tasa nominal y efectiva El monto de 1 al i efectivo anual es 1 + i. El

monto de 1 a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es

; la ecuación de equivalencia entre estos dos montos es

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Notación estándar

La formación permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal

capitalizable veces en el año.

Despejando en la fórmula se tiene:

Notación estándar

Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del valor futuro compuesto en = años

para la tasa capitalizable veces en el año, queda así:

Número de periodo de capitalización en el año = ; número de años = ; número total de

Periodos = ; tasa en el periodo = = .

Notación estándar

Para expresar la tasa nominal y el número del periodo de capitalización, se utiliza el

símbolo (m) que indica la tasa nominal con capitalizaciones en el año.

Ejemplo: Calcular el valor futuro de un capital de $6.000 a interés compuesto en 8 años a la tasa del 10% capitalizable semestralmente.

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Estándar

Algebraica

En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459

Solución con calculadora con función

CALCULAR DEL VALOR FUTURO PARA MAYOR QUE 50

En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que 50, el máximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos se pueden aprovechar las propiedades de los productos de potencias; de esta forma el exponente del factor de acumulación se descompone en sumandos, utilizando tantos sumandos de 50 unidades como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por productos de factores cuyos valores figuran en la tabla.

Ejemplo: Calcular el valor al cabo de 20 años para una deuda de $4.000, al 9% de interés, con capitalización bimensual.

120 = 50 + 50 + 20

[Escribir texto]

En la tabla I se encuentra los valores de la columna de 1 ½% para:

Con una calculadora que tenga la función xy, se halla:

4.000 ”

VALOR FUTURO COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan el periodo de capitalización con el supuesto de que sean periodos enteros. Cuando se presentan fracciones de periodos, comercialmente se acostumbra calcular el monto compuesto para los periodos enteros de capitalización, y el interés simple se utiliza para las fracciones de periodos. Teóricamente, el interés simple en las fracciones de periodo es mayor que el compuesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los intereses en un periodo menor que el convenido y, como consecuencia, la tasa efectiva resulta mayor.

La tabla contiene los valores de que es el valor futuro de

1 a interés compuesto para fracciones de periodo. Ejemplo: una deuda de $100.000 convenida al 6% con capitalización anual se paga a los 2 años 4 meses. La costumbre o regla comercial indica cobrar los intereses compuestos para los 2 periodos completos y simples, para los 4 meses.

P = 100.000; periodos completos =2; fracción de periodo =

Valor futuro en 2 periodos = 1 = 100.000

El monto F1 gana interés simple en los 4 meses y su valor futuro es:

F +112.360

F =$ 114.607,20

[Escribir texto]

Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total de periodos, incluida la fracción.

P =100.000,

F=100.000

Tablas

F =100.000

F = $114.563,69 Solución con calculadora que tenga tecla de fracciones y función xx.

F = 100.000

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO En la fórmula del monto a interés compuesto, si se conoce el valor presente p, el valor

futuro F y el tiempo , queda determinado el valor de En la práctica, el cálculo

aproximado de se hace utilizando la tabla El cálculo matemático se efectúa con

logaritmos. En el ejemplo que sigue, se ilustran ambos procedimientos. Ejemplo: Al morir, alguien deja a su hija – de 7 años de edad – un legado de $100.000 para que con sus intereses compuestos le sean entregados cuando cumpla los 18. Si ella al cumplir la edad fijada recibe $190.071,20, ¿Qué interés con capitalización anual ganó la herencia?

(a) Cálculo utilizando la tabla Se busca en esta tabla, en la fija que corresponde

a 11, los valores, por exceso y por defecto, más próximos al que resulte

de despeje en la fórmula del futuro:

F = P

190.071,20 = 100.000000

[Escribir texto]

Este valor se encuentra entre 1,89829856 que corresponde al 6% y 1,99915140 que

corresponde al 6 %. El interés buscado es mayor que el 6 % y menor que el 6 su

valor aproximado se encuentra por interpolación lineal.

a 0,065 corresponde 1,99915140 a 0,06 + x corresponde 1,90071200

a 0,06 corresponde 1,89829856 a 0,06 corresponde 1,89829856

0,005 es a 0,10085284 como x es a

0,00241344

Tasa de interés =6,012%

1,99915140

1,900712

1,89829856

0,06 X 0,065

(b) Cálculo con logaritmo:

190.071,20 = 100.000

Log 190.071,20= log100.000+11log

Log

log190.071,20 =5,278916

log100.000 =5,000000

Log

1+

[Escribir texto]

Tasa de interés = 6,012 %

(c) Cálculo mediante radicales:

190.071,20 = 100.000

Despejando

1,90071

1,060122443 =1+

1,060122443

Tasa de interés = 6,012 %

(d)

190.071. = 100

Respuesta

“CÁLCULO DEL TIEMPO: En forma análoga, el cálculo de , el tiempo, o sea el valor

de puede calcularse utilizando la tabla o mediante la aplicación de logaritmos.

Ejemplo: ¿En qué tiempo un depósito de $ 1.000 se convertirá en $ 1.500 al 6 % con

capitalización semestral?

[Escribir texto]

1.500

En la tabla se buscan en la columna del 3 %, los valores por exceso y por detecto

más próximos a 1,5 Este valor se encuentra entre 1,46853371 que corresponde a 13

periodos y 1,51258972 que corresponde a 14 periodos. Interpolando como en el caso

anterior, se tiene:

a 14 corresponde 1,51258972 a 13 + x corresponde 1,5000000

a 13 corresponde 1,46853371 a 13 corresponde 1,46853371

es a 0,04405601 como x es a 0,03146629

Mediante calculadora con función logaritmo:

[Escribir texto]

En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que tiempo

aproximado es de 7 años y que el valor futuro será literalmente superior al esperado. Si la

capitalización es por periodos completos y la fracción se calcula a interés simple, el

procedimiento consiste en calcular el monto en el número de periodos inmediatamente

inferior y, para la diferencia, se calcula el tiempo a interés simple. En el ejemplo citado, se

calcula así:

Diferencia con el monto propuesto = 1.500- 1.468,53 =31,47

Para $ 31,47 se calcula el tiempo a interés simple sobre $1.468,53

31,47 = 1.468,53

En este caso, la respuesta seria 6 años 10 meses 9 días” iv.

TASA DE INTERÉS:

1. TASA NOMINAL: Es la tasa que expresada para un periodo determinado

(generalmente un año) es liquidable en forma fraccionada durante periodos

iguales. Como su nombre lo indica, la tasa nominal es una tasa de referencia que

existe solo de nombre, porque no nos dice sobre la verdadera tasa que se cobra

en una operación financiera ; simplemente, expresa la tasa anual y que parte de

ella se cobra en cada periodo. Por ejemplo, una tasa del 32% trimestre vencido,

indica que de la tasa anual del 32% se cobra la cuarta parte cada trimestre.

Las instituciones financieras en Colombia suelen utilizar la tasa nominal para referenciar

las tasas de interés en sus operaciones de ahorro y crédito. Esto es, expresan la tasa de

interés en forma anual e indican cada cuánto tiempo menor de un año se hacen las

liquidaciones de los intereses. Esta forma de expresar las tasas de interés y de liquidar

los intereses en periodos menores a un año es común en los países donde el nivel de la

inflación es alto.

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1.1 FORMAS DE EXPRESAR LA TASA NOMINAL

Para bancos comerciales, compañías de financiamiento comercial y corporaciones

financieras:

24% nominal con capitalización trimestral.

24% anual capitalizable trimestralmente.

24% trimestral vencido. (24%TV)

Las expresiones anteriores son equivalentes, a saber: indudablemente, la primera información es la más completa, no obstante que en el lenguaje financiero se acude muchas veces a las simplificaciones como se muestra en las otras tres expresiones. En la segunda se eliminó el término nominal porque se entiende que si la tasa es capitalizable se trata de una nominal ya que las efectivas no se capitalizan sino que resultan de capitalizar las nominales. En la tercera expresión se eliminó el término anual, porque si no se dice lo contrario se asume que la tasa es anual. La cuarta expresión es la más simplificada y corresponde a la forma más usada en el sistema financiero colombiano. Estas cuatro expresiones equivalentes indican que la operación financiera, que puede ser de ahorro o de crédito, se realiza a una tasa de interés anual del 24% pero los intereses se van a liquidar cada trimestre. La tasa nominal expresada de esta forma, comprende:

1. Valor anual de la tasa

2. Frecuencia de liquidación de los intereses (día, mes, trimestre, etc.)

3. Modalidad de liquidación de intereses (vencidos o anticipados).

Ejemplo: Un prestamista desea ganar el 8% efectivo anual sobre un préstamo, con

intereses capitalizables trimestralmente. Hallar la tasa nominal que debe cobrar:

(Fórmulas ).

(21a)

(21b)

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Tabla o calculadora

Ejemplo: ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente convertirá a $ 350.000 de

hoy en $486.000 dentro de 2 años?

486.000

? 2 años

350.000

F = P

486.000 = 350.000

Aplicando radicales, se tiene:

1.178377 = 1+i

1.178377 – 1 = i

0.178377 =i

I = 17.84% efectiva anual

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2. TASA EFECTIVA

Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una

inversión, y resulta de capitalizar la tasa nomial2. Cuando se habla de tasa efectiva se

involucra el concepto del interés compuesto, porque refleja la reinversión de intereses.

Hasta el nacimiento del sistema UPAC (1972), en el sistema financiero colombiano sólo

se utilizaban las tasas nominales de interés. Las tasas efectivas sólo eran una curiosidad

de los estudiosos de las Matemáticas Financieras.

i La mayor parte de este documento es tomado del sitio web http://matefinancierasuni.files.wordpress.com/2010/02/matematicasfinancieras.pdf ii Aparte tomado de http://www.geocities.ws/gyb_torreon/Valor_Dinero_TT.pdf

iii Aparte tomado de http://www.buenastareas.com/ensayos/Matematicas/5987155.html

iv Tomado de http://matefinancierasuni.files.wordpress.com/2010/02/matematicasfinancieras.pdf