Introducao a Computacao Quantica
Evandro Chagas Ribeiro da Rosa
IATeGCQ-UFSC
Setembro de 2019
Conteudo programatico
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Bit QuanticoQubit
|1〉
|0〉+|1〉√2
x
|0〉+i|1〉√2
y|0〉−i|1〉√2
|0〉z
|ψ〉
φ
θ
Figura: Esfera de Bloch.
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Circuitos quantico
|q0〉 X XLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
|q1〉 H Z HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
|q2〉 H •LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
|q3〉 X ⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
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•Figura: Exemplo de circuito quantico.
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Notacao de DiracNotacao braket
I |ψ〉 =
α0...αn
I 〈ψ| = |ψ〉† =[α∗0 · · · α∗n
]
I 〈ψ|ϕ〉 =[α0 · · · αn
]β0...βn
= z
I || |ψ〉 || =√〈ψ|ψ〉
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Postulado 1Espaco do sistema
Postulado 1: Associado a cada sistema quantico fechado ha umespaco de Hilbert, e o estado do sistema etotalmente representado por um vetor unitariopertencente a esse espaco.
Base Computacional
|0〉 =[10
]|ψ〉 = α |0〉+ β |1〉 =
[αβ
]
|1〉 =[01
]|| |ψ〉 || =
√α2 + β2 = 1
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Postulado 4Sistemas composto
Postulado 4: O estado de um sistema composto e dado peloproduto tensorial dos seus componentes, ou seja, umsistema composto por n sistemas quanticos, nosestados |ψ0〉, |ψ1〉, . . . , |ψn−1〉, tem seu estado totalrepresentado por |ψ0〉 ⊗ |ψ1〉 ⊗ · · · ⊗ |ψn−1〉.
Produto tensorial
|ψ〉 ⊗ |ϕ〉 =[α0
α1
]⊗[β0β1
]=
α0
[β0β1
]
α1
[β0β1
]
=
α0β0α0β2α1β0α1β1
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Postulado 2Evolucao do sistema
Postulado 2: A evolucao de um sistema quantico fechado edescrita pela aplicacao de um operador unitario, ouseja, a transicao de um estado |ψ〉0 no tempo t0 parao estado |ψ〉1 no tempo t1 pode ser totalmentedescrita por um operador unitario U , sendoU |ψ〉0 = |ψ〉1.
Operador unitario
U †U = UU † = I
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Portas logicas quanticaPortas de Pauli
X
[0 11 0
]X |0〉 = |1〉X |1〉 = |0〉
Z
[1 00 −1
]Z |0〉 = |0〉Z |1〉 = − |1〉
Y
[0 −ii 0
]Y |0〉 = i |1〉Y |1〉 = −i |0〉
Portas logicas quanticaPortas de fase e Hadamard
S
[1 00 i
]S |0〉 = |0〉S |1〉 = i |1〉
T
[1 0
0 eiπ/4
]T |0〉 = |0〉
T |1〉 = 1+i√2|1〉
H1√2
[1 11 −1
]H |0〉 = (|0〉+ |1〉)/
√2
H |1〉 = (|0〉 − |1〉)/√2
Portas controlada
|ψ〉 • |ψ〉
|ϕ〉 U U |ϕ〉 if |ψ〉 == |1〉 else |ϕ〉
b • b
|ψ〉 U U |ψ〉 if b == 1 else |ψ〉
•X
=•⊕
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Postulado 3: Uma medida quantica e descrita por um conjunto deoperadores de medida {Mm}, onde o ındice m indicao possıvel resultado da medida. Sendo |ψ〉 o estadologo antes da medida, a probabilidade de medir m e
p(m) = 〈ψ|M †mMm |ψ〉 . (1)
E o estado logo apos a medida igual a
Mm |ψ〉√〈ψ|M †mMm |ψ〉
. (2)
Os operadores de medida precisam satisfazer aseguinte equacao de completude
∑
m
p(m) =∑
m
〈ψ|M †mMm |ψ〉 = 1. (3)
Medida na Base Computacional
Operadores de medida
I M0 =
[1 00 0
]
I M1 =
[0 00 1
]
α |0〉+ β |1〉
p(0) = |α|2 ⇒ α
|α| |0〉
p(1) = |β|2 ⇒ β
|β| |1〉
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Estados de BellExemplos de circuitos
|x〉 H •
|y〉 ⊕
|βxy〉
Figura: Circuito para gerar os estados de Bell
Teletransporte quanticoExemplos de Circuitos
|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
X Z |ψ〉
↑ ↑ ↑
|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉
|β00〉
|ψ0〉 = |ψ〉 |β00〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|00〉+ |11〉)]
Teletransporte quanticoExemplos de Circuitos
|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
X Z |ψ〉
↑ ↑ ↑
|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉
|β00〉
|ψ0〉 = |ψ〉 |β00〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|00〉+ |11〉)]
|ψ1〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|10〉+ |01〉)]
Teletransporte quanticoExemplos de Circuitos
|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
X Z |ψ〉
↑ ↑ ↑
|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉
|β00〉
|ψ1〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|10〉+ |01〉)]
|ψ2〉 =1
2[α(|0〉+ |1〉)(|00〉+ |11〉) + β(|0〉 − |1〉)(|10〉+ |01〉)]
Teletransporte quanticoExemplos de Circuitos
|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
•
X Z |ψ〉
↑ ↑ ↑
|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉
|β00〉
|ψ2〉 =1
2[|00〉 (α |0〉+ β |1〉) + |01〉 (α |0〉 − β |1〉)+ |10〉 (α |1〉+ β |0〉) + |11〉 (α |1〉 − β |0〉)]
QSystemA quantum computing simulator for Python
I pip install QSystem==1.2.0b1
I pip install jupyter
I jupyter notebook
Algoritmo de ShorExemplos de circuito
Entrado: n ∈ N a ser fatorado
1. Selecione aleatoriamente um numero a coprimo a n
2. Ache o perıodo r da funcao f(x) = ax mod n
|reg1〉 = |0〉 H
U
QFTLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
|reg2〉 = |0〉LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴
✤✤✤✤✤✤✤
❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴
✤✤✤✤✤✤✤
Figura: U : |x〉 |0〉 → |x〉 |ax mod n〉
3. p = gcd(ar/2 + 1, n), q = gcd(ar/2 − 1, n)
Retorno: p, q
Bit Quantico
Circuitos quantico
Notacao de Dirac
Postulado 1: Espaco do sistema
Postulado 4: Sistemas composto
Postulado 2: Evolucao do sistema
Porta logica quantica
Postulado 3: Medida
Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor
Obrigado
Obrigado