Date post: | 16-Feb-2015 |
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Introducción a Límites de Funciones
Definición heurística de los límites finitos de una funciónEjemplos de cálculo de límitesLímites infinitos y asíntotasResumen
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de
Funciones.
Límites de FuncionesDefiniciónDefinición
EjemploEjemplo
NotaciónNotación
Una función f tiene el límite finito L en el punto x0 si los valores f(x) se acercan al número finito L cuando la x se acerca a x0 pero no es x0.
Observar que el valor de f en x0 no importa para calcular el valor del límite (puede no existir). El límite puede existir incluso si la función no está definida para x =x0.
La función
Tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1.
1s n , 0
f
1, 0
x e xx x
x
0
lim fx x
x L
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Primeros Pasos para Calcular Límites
Para calcular el límite de f para x0, lo primero que hay que hacer es evaluar la función en x = x0. Si el valor de la función es un número definido, entonces, en la mayoría de los casos, este es el límite.
EjemploEjemplo Calcular el límite
2
1
1lim .
1x
xx
SoluciónSolución Evaluando para x = 1, obtenemos el valor 0. 2 1
1xx
Concluimos que 2
1
1lim 0.
1x
xx
Esto es correcto, como puede verse reescribiendo la expresión:
2
1
1 111 0.
1 1 x
x xxx
x x
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Primeros Pasos para Calcular LímitesSustituir el límite no siempre nos lleva a resultados correctos incluso si el valor de la función en el límite está bien definido por la sustitución.
Como ejemplo para una situación así, introduce la función “floor” x definida como x = el mayor entero ≤ x. Tenemos 0.1=0, −0.1= −1, 2.0=2.
El valor −1 para el límite sale de que 0 < x < 1, x = 0, y −x= −1. Por tanto f(x) = −1 para todo x, 0 < x < 1.
Como f(−x) = f(x), f(x) = −1 también para todo x, −1 < x < 0.
Por lo tanto, como la función toma siempre el valor -1 para todo x satisfaciendo que 0 < |x − 0| < 1, el límite de la función f en 0 es −1.
EjemploEjemplo
0
limf 1 f 0 .x
x
Sea f(x) = x + −x. Claramente f(0) = 0, pero
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos
Valor de x
1.1 2.1
1.001 2.001
1.00001 2.000
Valor de x
0.9 1.9
0.999 1.999
0.999999 2.000
En general, podemos encontrar el límite simplemente calculando los valores de la función cerca del punto límite.
EjemploEjemplo Encontrar el valor del límite
Calculando valores de cerca de x = 1.
2
1
1lim
1x
xx
2 11
xx
SoluciónSolución
2 11
xx
2 11
xx
Se concluye que el límite es aparentemente 2. Este es el resultado correcto, como demostraremos más adelante con otros métodos.
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos
Valor de x
0.1 0.4999
0.01 0.5000
0.001 0.0000
No nos podemos fiar siempre de las calculadoras.
EjemploEjemplo Averiguar el valor del límite calculando valores de próximos a x = 0.
4
40
1 1limx
xx
4
4
1 1xx
SoluciónSolución
El límite parece ser 0.
Este resultado es incorrecto.
4
4
1 1xx
Para valores positivos de x menores que 0.001, una calculadora da el valor 0 como resultado.
Estos problemas surgen por los errores de redondeo
Calculando por el método de reescribir, observamos que:
4
40
1 1 1lim .
2x
xx
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Errores de RedondeoLas siguientes gráficas de la función muestran los errores de redondeo en el cálculo de valores de la función.
4
4
1 1f
xx
x
-0.001 < x < 0.001-1 < x < 1
Estas gráficas, obtenidas por un programa informático, muestran el error del redondeo. La gráfica de la izquierda muestra correctamente el comportamiento de la función f cerca de x = 0. Al aproximarnos al origen, observamos que se ha cometido un error por el redondeo.
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Límites InfinitosDefiniciónDefinición
NotaciónNotación
Una función f tiene límite +∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes al aproximarse x al punto x0.
0
lim fx x
x
EjemploEjemplo 20
1limx x
Debido a que, cuanto más se aproxima x a 0, 1/x2 se hace mayor.
Por ejemplo, si x = 0.01, 22
1 110000.
0.01x
Que significa que la gráfica de dicha
función tiene una asíntota vertical en x = 0.
20
1limx x
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Límites InfinitosDefiniciónDefinición
NotaciónNotación
Una función f tiene límite −∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes y negativos al aproximarse x a x0.
0
lim fx x
x
EjemploEjemplo 20
1limx
xx
Debido a que cuanto más se aproxima x a 0, (x−1)/x2 es un número negativo muy grande.
Por ejemplo, si x = 0.01, 22
1 0.1 19000.
0.01
xx
También en este caso, que sea significa que la gráfica de la función
tiene una asíntota vertical en x = 0.
20
1limx
xx
2
1xx
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Límites en el InfinitoDefiniciónDefinición
NotaciónNotación
Una función tiene límite L cuando x se aproxima a +∞ o − ∞, si los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x se hace suficientemente grande (positiva o negativa).
lim fx
x L
EjemploEjemplo 2
1lim 0x x
Debido a que cuando x crece, 1/x2 se aproxima a 0.
Por ejemplo, si x = 1000, 22
1 10.000001.
1000x
Que significa que la gráfica de la
función tiene la asíntota horizontal y = 0.
2
1lim 0x x
y lim f .x
x L
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Cálculo de Límites en el InfinitoPara calcular límites en el infinito, se
pueden seguir los siguientes pasos:
1. ∞ (nº >0) = ∞
2. ∞ (nº <0) = −∞
3. ∞ + (cualquier nº finito) = ∞
4. (cualquier nº)/∞ = 0
¡CUIDADO! Estas son indeterminaciones:
∞ − ∞, ∞ 0
∞0, ∞ /∞
EjemploEjemplo2
2
1lim 1
1x
x xx
ya que
2 2
2
2
1 111
111 1
x
x x x xx
x
Porque tanto 1/x como 1/x2 tienden a 0 cuando x es muy grande.
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
ResumenEl límite de una función cuando x tiende a x0 es el número al que se aproximan los valores de f cuando x x0.
Aproximar quiere decir que los valores de f se acercan al límite cuando x se acerca lo suficiente a x0.
CUIDADOCUIDADO El valor de la función en x = x0 no afecta para nada al límite.
x0
Lεε
δ δ
Acercarse al valor límite significa acercarse más que cualquier distancia positiva dada ε por pequeña que sea.
Acercarse a x0 se expresa como la existencia de un número positivo δ como en la imagen.
Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.
Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa