Investigación & Desarrollo de Mercados – Bolsa de Comercio de Rosario Febrero, 2012

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La aplicación del teorema de expansión de Taylor en finanzas

Estrella Perotti, MG Dirección de Informaciones & Estudios Económicos

El teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció

con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en

1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno

de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error

obtenido mediante dicha estimación.

Explicación matemática

Caso de una variable1

El teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un

punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la

función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable

veces en el intervalo cerrado [ , =dx] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se

cumple que:

Entonces, si estamos interesados en describir los movimientos de una función (variable dependiente), de acuerdo con el cambio en un factor de riesgo, la exposición a este factor puede ser descripta localmente con la fórmula anteriormente mencionada. En finanzas, este teorema queda acotado a la derivada de segundo orden que es aplicable en el caso de instrumentos de inversión donde la exposición al factor de riesgo no es lineal, sino curvilínea. En tal caso, se agrega al análisis de los posibles cambios, el término cuadrático, por lo que la función logra aproximarse a través de polinomios lineales y de segundo orden. El método asume que podemos describir la función de forma polinómica, de la siguiente manera:

1 La presente es sólo una versión muy simplificada del teorema. Queda a cargo del lector realizar la profundización necesaria en términos matemáticos.

...**!3

1**

!2

1**

!1

1 3

3

0

32

2

0

2

00 dx

x

xfdx

x

xfdx

x

xfxfxf

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Necesitamos determinar el precio de un determinado instrumentos ante un cambio Δ en el factor de riesgo.

Para todo no conocidos

Si

Derivando ambos lados de la ecuación en función de

Si nuevamente,

Si al resultado de derivar una vez la función inicial, la volvemos a derivar (es decir, calculamos la derivada segunda de la función) e igualamos

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Aplicación a diferentes instrumentos financieros

1) Acciones

2) Bono Donde NP= N° de Bonos en Cartera (N° de veces que tengo P en Cartera)

DM=Duración Modificada del Bono (derivada primera del cambio en el precio del bono dado un cambio en la tasa de interés)

P=Valor Corriente del Bono C=Convexidad del Bono (derivada segunda del cambio en el precio del bono dado un cambio en la tasa de interés)

dy=Variación de la TIR

3) Futuros

Donde NF= N° de Futuros en Cartera (Tamaño del Nominal Subyacente) ΔF=Delta del Futuro F=Valor Corriente del Futuro dF=Variación de Valor del Futuro

S

dSSNdSNdSNdC SSSS **...*0*

!2

1***

!1

1*

2

Se verifica que

Derivada primera de la función.

Derivada segunda de la función.

(La derivada

de una constante =0)

2

2

2

****2

1****)(*

...***!2

1***)(*

!1

1*

y

dyyPCN

y

dyyPDN

dyPCNdyPDNdC

P

M

P

P

M

P

F

dFFNdFNdFNdC FFFF **...*0*

!2

1***

!1

1*

2

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4) Opciones

Donde

N= N° de Opciones en Cartera (Tamaño del Nominal Subyacente) Δ=Delta de la Opción Γ=Gamma de la Opción K=Vega de la Opción ρ=Rho de la Opción F=Valor Corriente del Futuro σimp=Volatilidad Implícita Corriente de la Opción i=Tasa de Interés dF=Variación de Valor del Futuro dσimp=Variación de Volatilidad Implícita di=Variación de la Tasa de Interés

i

diiN

dKN

F

dFFN

F

dFFN

diNdKNdFNdFNdC

O

imp

imp

impOOOO

OimpOOOO

*********2

1****

******!2

1***

!1

1*

2

2

2