En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un

punto x se denota como f′(x). La función

cuyo valor en cada punto x es esta

derivada es la llamada función

derivada de f, denotada por f′. El proceso

de encontrar la derivada de una función se

denomina diferenciación, y es una de las

herramientas principales en el área de las

matemáticas conocida como cálculo.

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y. En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que

una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x".

En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la linea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.

Esta definicion, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la linea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.

si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el cálculo de límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo cual sería muy laborioso), existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de una función de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez. Tales reglas se deducen sucesivamente de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más

completo posible en torno a la definición de derivada, y con

ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

Sería muy dificil poner todas las aplicaciones que tiene la derivada aquí, pero el sentido de esto que el cálculo infinitesimal(este incluye a la derivada,quees uno de sus conceptos) se dedica al estudio del cambio(en funciones) o sea a ver cuanto cambia una función a medida que cambia "X" y mientras se cumpla que Y=f(X) podrás aplicarlo a funciones sujetas a cambio. Por ejemplo la aceleración es la derivada de la velocidad ya que un cambio en la velocidad nos da la aceleración.