LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA

I. RESUMEN.En la lectura enseanza de la geometra, es muy importante porque es una de las reas de las matemticas en las que hay ms puntos de desencuentro entre matemticos y educadores, no solo en relacin con sus propsitos y contenidos sino tambin con la manera de ensearla. Es probable que esto ocurra debido a los aspectos que abarca por un lado la geometra es considerada como una herramienta para el entendimiento, tal vez la parte de las matemticas ms intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la geometra como disciplina se apoya en un proceso extenso de formalizacin, en niveles crecientes de rigor, abstraccin y generalidad.Tiene como propsito introducir a los maestros en servicio de primaria y secundaria en la problemtica de la enseanza de la geometra, as como presentar un anlisis de los resultados obtenidos por los estudiantes de sexto de primaria y tercero de secundaria en los excale en la asignatura de matemticas. Esta lectura invita a los docentes a reflexionar acerca de toda la riqueza que gira alrededor de la enseanza de la geometra, a que tome conciencia de que su tratamiento en el aula no consiste solo en la transmisin de los contenidos geomtricos sino en adentrar al alumno en todo un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que percibe y en formas de pensamiento propias de la geometra.

II. TEMA O PROBLEMA.

El tema de esta lectura, Frente a la dificultad y complejidad de la temtica abordada, la escasa difusin de propuestas didcticas de la enseanza de la Geometra y considerando las diferencias existentes entre los niveles educativos a los que se dirige este material, su intencin es brindar un panorama que d cuenta de algunos de los componentes que se encuentran presentes en la enseanza de esta disciplina, desde diferentes posturas tericas.La enseanza de la geometra es una lectura que le servir mejorar al docente su metodologa en el nivel de enseanza permitindole as al alumno mejorar sus destrezas y habilidades matemticas.

III. IDEAS:

3.1. PRINCIPALES EXPLICITAS.

Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escultura, la astronoma, los deportes, la carpintera, la herrera, etctera). Se usa en el lenguaje cotidiano (por ejemplo, se dice: calles paralelas, tinacos cilndricos, la escalera en espiral, etctera). Sirve en el estudio de otros temas de las Matemticas (por ejemplo, un modelo geomtrico de la multiplicacin de nmeros o expresiones algebraicas lo constituye el clculo del rea de rectngulos). Permite desarrollar en los alumnos su percepcin del espacio, su capacidad de visualizacin y abstraccin, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geomtricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace. Terminaremos este apartado con una lista de respuestas a la pregunta para qu ensear y aprender Geometra?: Para conocer una rama de las Matemticas ms instructivas. Para cultivar la inteligencia. Para desarrollar estrategias de pensamiento. Para descubrir las propias posibilidades creativas. Para aprender una materia interesante y til. Para fomentar una sensibilidad hacia lo bello. Para trabajar Matemticas experimentalmente. Para agudizar la visin del mundo que nos rodea. Para gozar de sus aplicaciones prcticas. Para disfrutar aprendiendo y enseando.

Bsicamente se pueden categorizar en tres tipos las tareas que se realizan en las clases al estudiar las figuras geomtricas de dos y tres dimensiones: conceptualizacin, investigacin y demostracin, con las que se espera que los alumnos desarrollen su razonamiento geomtrico.

las tareas de conceptualizacin se refieren a la construccin de conceptos y de relaciones geomtricas. Es importante aclarar que no se trata de definir objetos geomtricos sino de conceptualizarlos.

los alumnos son capaces de apropiarse del contenido y de entender su aplicacin en otras situaciones. En definitiva, sta no es la mejor manera para ensear un contenido geomtrico.

Las actividades de demostracin tienden a desarrollar en los alumnos la capacidad para elaborar conjeturas o procedimientos de resolucin de un problema que despus tendrn que explicar, probar o demostrar a partir de argumentos que puedan convencer a otros de su veracidad.

Las tareas de demostracin son esenciales en Geometra y deben estar presentes en la interaccin del aula escolar; la construccin de argumentos lgicos es una habilidad que forma parte esencial de la cultura geomtrica y es deseable que todos los alumnos la desarrollen.

En la Educacin Bsica, tal y como estn actualmente estructurados los programas de Geometra, no se llega a demostraciones rigurosas, slo a explicaciones y pruebas. Se espera que los estudiantes de Educacin Bsica desarrollen habilidades que les permitan explicar y probar por medio de argumentos convincentes; en secundaria es probable que hagan pruebas usando deducciones sencillas.

Las tareas de demostracin constituyen una prctica habitual entre los matemticos, no obstante, los alumnos no siempre ven la necesidad de probar o demostrar algo que para ellos resulta evidente.

Por medio de las tareas de conceptualizacin, investigacin y demostracin que se propongan a los alumnos, las habilidades bsicas por desarrollar en las clases de Geometra son:

Visuales. De comunicacin. De dibujo. Lgicas o de razonamiento. De aplicacin o transferencia.

La Geometra es una disciplina eminentemente visual. En un principio, los conceptos geomtricos son reconocidos y comprendidos a travs de la visualizacin. Por ejemplo, el primer contacto que el alumno tiene con la idea de tringulo es mediante su visualizacin. Como ya se mencion, es importante que los tringulos se exploren de las maneras ms diversas para que el alumno sea capaz de discernir, poco a poco, lo que es inherente al concepto de tringulo (polgono que tiene tres lados) y lo que no lo es (posicin, color, material del que est hecho).

La generalizacin de las propiedades o la clasificacin de las figuras no puede darse a partir nicamente de la percepcin. Es necesario que el alumno se enfrente a diversas situaciones donde los conocimientos adquieran sentido, por ejemplo, a travs de las construcciones geomtricas, en las que se puede variar el tipo de informacin que se les da.

La habilidad de visualizacin est muy relacionada con la imaginacin espacial: la visualizacin puede ser en la mente. Por ejemplo, es importante que los alumnos aprendan a interpretar la representacin plana de un cuerpo de tres dimensiones.

La habilidad de comunicacin se refiere a que el alumno sea capaz de interpretar, entender y comunicar informacin geomtrica, ya sea en forma oral, escrita o grfica, usando smbolos y vocabulario propios de la Geometra.

Las habilidades del lenguaje estn estrechamente relacionadas con el pensamiento y estn presentes en muchos sentidos durante las clases de Matemticas y de Geometra en particular, por ejemplo, cuando:

Se lee e interpreta la informacin de un problema para empezar a resolverlo. Se discute con los compaeros de equipo las posibles estrategias de resolucin. Se presenta ante el grupo el resultado y procedimiento que se sigui para resolver un problema. Se justifica un resultado o un procedimiento. Se valida una conjetura que se hizo.

El desarrollo del lenguaje geomtrico es muy importante para la comprensin, de ah la gran importancia que tiene enfrentar a los alumnos constantemente a situaciones en las que tengan que comunicar informacin geomtrica.

Las habilidades de dibujo estn relacionadas con las reproducciones o construcciones grficas que los alumnos hacen de los objetos geomtricos. La reproduccin se refiere a la copia de un modelo dado, ya sea del mismo tamao o a escala, cuya construccin puede realizarse con base en informacin que se da en forma verbal.

Es necesario enfatizar que las actividades de trazo de figuras geomtricas son de una gran riqueza didctica debido a que promueven en el alumno su capacidad de anlisis de las mismas al buscar las relaciones y propiedades que estn dentro de su construccin.

La construccin de figuras por s misma no slo es un propsito de la enseanza de la Geometra sino que, adems, constituye un medio para que los alumnos sigan explorando y profundizando en los conocimientos que ya tienen e incluso construyan otros nuevos. Asimismo, las actividades de construccin o reproduccin de una figura permiten seguir desarrollando la habilidad para argumentar.

Existen diferentes maneras de trabajar y presentar una serie de pasos para llevar a cabo una construccin geomtrica; a continuacin se muestran algunas:

Se da la serie de instrucciones y se ilustran, el alumno las lleva a cabo apoyndose tanto en la lectura como en las ilustraciones. Por ejemplo, la siguiente es una serie de pasos para construir un tringulo equiltero que mide 2.5 de cada lado. Se da una serie de pasos para una construccin geomtrica, el alumno los lleva a cabo apoyndose slo en el texto escrito. Por ejemplo, las siguientes son las instrucciones para trazar dos rectas perpendiculares. Se dan los pasos de una construccin geomtrica ilustrndolos y los alumnos tienen que reproducirlos y/o redactar lo que se hace en cada paso. Por ejemplo, la siguiente es una secuencia de pasos para trazar dos rectas paralelas. Se da la figura resultante de todo un trazo y el alumno tiene que reproducirlo o redactar la serie de pasos para llegar a esa figura. Por ejemplo, cuando se traza un cuadrado inscrito en una circunferencia se obtiene, como resultado final, la siguiente figura.

Al aprender Matemticas, los alumnos desarrollan su razonamiento, es decir, aprenden a razonar. Esto es particularmente cierto para el caso de la Geometra, con cuyo estudio se pretende desarrollar habilidades de razonamiento como: La abstraccin de caractersticas o propiedades de las relaciones y de los conceptos geomtricos. Argumentar. Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas. Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo. Seguir una serie de argumentos lgicos. Identificar cundo un razonamiento no es lgico. Hacer deducciones lgicas.

las habilidades de aplicacin y transferencia se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido no slo a otros contextos, al resolver problemas dentro de la misma Geometra, sino tambin que modelen geomtricamente situaciones del mundo fsico o de otras disciplinas.

3.2 IDEAS IMPLCITAS.

Las actividades de demostracin tienden a desarrollar en los alumnos la capacidad para elaborar conjeturas o procedimientos de resolucin de un problema que despus tendrn que explicar, probar o demostrar a partir de argumentos que puedan convencer a otros de su veracidad.

Es en este tipo de actividades donde puede apreciarse la socializacin del conocimiento geomtrico, ya que desde el enfoque de resolucin de problemas se concibe al conocimiento como una construccin social.

La Geometra es una disciplina eminentemente visual. En un principio, los conceptos geomtricos son reconocidos y comprendidos a travs de la visualizacin. Por ejemplo, el primer contacto que el alumno tiene con la idea de tringulo es mediante su visualizacin.

Las habilidades del lenguaje estn estrechamente relacionadas con el pensamiento y estn presentes en muchos sentidos durante las clases de Matemticas y de Geometra en particular.

El uso de material concreto, por s mismo, no garantiza un aprendizaje significativo, se requiere que el profesor tenga un propsito especfico para que la actividad que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al aprendizaje de contenidos geomtricos. Permite enriquecer la imagen conceptual de las figuras, ya que van apareciendo en diferente posicin y estn formados por distintas piezas. Tambin prepara a los alumnos para la deduccin de las frmulas de las reas, pues construyen la idea de unas figuras que pueden descomponerse o ser formadas por otras.

Para desarrollar la habilidad de comunicacin es que un alumno construya un cuerpo formado por varios cubos sin que su compaero lo vea y oralmente d las instrucciones para que su pareja arme un cuerpo idntico; despus se comparan.

Con el uso de material concreto no se pretende, de ninguna manera, proponer una enseanza de las Matemticas sensual-empirista basada en la idea de que nada hay en la mente que no haya pasado por los sentidos. Se sabe que los sentidos engaan y que las verdades matemticas estn por encima de las demostraciones empricas y son producto de operaciones mentales.

La geometra modela el espacio que percibimos, es decir, la geometra es la matemtica del espacio por ejemplo la habitacin es muy probable que tenga forma de prisma rectangular con sus caras, aristas y vrtices.

La enseanza de la geometra debe permitir avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, de tal manera que en un momento dado pueda prescindir de l y manjar mentalmente imgenes de figuras y relaciones geomtricas es decir hacer uso de su capacidad de abstraccin.

Este tipo de razonamiento deductivo debe ser la culminacin de una serie de actividades llevadas a cabo a lo largo de toda la Educacin Bsica se espera que los alumnos que egresan de Educacin secundaria puedan hacer razonamientos similares.

En esta tarea de investigacin el contenido matemtico que est en juego es una de las definiciones de la mediatriz: el lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento, es decir, se trata, al mismo tiempo, de una tarea de investigacin que tiende a formar un concepto en los alumnos; ms adelante se podra trabajar la definicin.

3.2. PRINCIPALES POR RELACIN DE PALABRAS.

Dentro de estas habilidades est el proceso de designar por su nombre a las relaciones y a los objetos geomtricos: paralelas, perpendiculares, cuadrado, rombo, crculo, mediatriz, bisectriz, etctera.

El desarrollo del lenguaje geomtrico es muy importante para la comprensin, de ah la gran importancia que tiene enfrentar a los alumnos constantemente a situaciones en las que tengan que comunicar informacin geomtrica.

Promover entre los alumnos el uso continuo de los instrumentos geomtricos: regla, escuadras, comps y transportador.

El alumno transfiera el contenido aprendido en Geometra para resolver otra tarea que tambin pertenece al mbito matemtico, como el lgebra; o bien, que transfiera lo aprendido en Geometra a una tarea que pertenece a otra rea del conocimiento, como la fsica, en cuyo caso se habla de la aplicacin de las Matemticas.

Una situacin problemtica es aqulla en la que se desea obtener un resultado pero no se conoce un camino inmediato para obtenerlo, en este sentido la concepcin de problema es relativa: lo que para unos alumnos puede resultar un problema para otros ya no lo es si cuentan con un camino para su resolucin.

Es un nivel de razonamiento deductivo, sin necesidad de medir, los estudiantes pueden deducir que los ngulos a y b suman 180 y argumentar porque los lados rojos de estos ngulos forman una lnea recta y eso hace ambos formen un ngulo de 180.

Un problema se concibe como una situacin ante la cual no se cuenta con un proceso de resolucin inmediato, si ya se sabe cmo resolverlo, entonces no es un problema.

Una tarea de investigacin puede dar lugar a la construccin del concepto de una relacin geomtrica y a la vez propiciar que los alumnos argumenten los resultados de esa investigacin, esto ltimo como parte de una tarea de demostracin.

Los alumnos construyan el concepto de cuadriltero no es suficiente, ni deseable, que en principio se d la definicin de cuadriltero como polgono de cuatro lados y se ilustre dibujando varios cuadrilteros, creyendo que con ello el alumno aprender lo que son estas figuras.

Cuando no se cuenta con material para todo el grupo se puede organizar de tal manera que cada mesa de trabajo cuente con ciertas tarjetas y materiales y que los alumnos vayan cambindose de mesa hasta pasar por todas.

V.CONCLUSIONES.

Existen diferentes materiales que el maestro puede emplear para realizar actividades que favorezcan el desarrollo de habilidades geomtricas y la adquisicin de conocimiento geomtrico.

Se debe ser muy cauteloso en el empleo de materiales concretos, las actividades que se propongan con ellos deben ser acordes con el enfoque de resolucin de problemas. Con el uso de material concreto no se pretende, de ninguna manera, proponer una enseanza de las Matemticas sensual-empirista basada en la idea de que nada hay en la mente que no haya pasado por los sentidos.

Se sabe que los sentidos engaan y que las verdades matemticas estn por encima de las demostraciones empricas y son producto de operaciones mentales.

Con el uso de material concreto tampoco se pretende hacer pasar a los alumnos por las conocidas etapas concreta, grfica y simblica que suponen que el estudiante copia pasivamente del exterior en una secuencia lineal de abstracciones sucesivas.

La matemtica no se aprende de esta manera, esas etapas nada tienen que ver con un aprendizaje significativo.

El alumno construye conocimiento cuando interacta de manera activa con el objeto de estudio, de ah la importancia de que los ejercicios con el material concreto realmente promuevan la actividad mental de los estudiantes. El material concreto no es la panacea para la enseanza de las Matemticas, tiene sus bondades pero tambin sus limitaciones.

Los docentes deben atender a los niveles de razonamiento geomtrico en los que se encuentran los alumnos y tenga como propsito hacerlos avanzar por estos niveles. Tenga presente que lo ms importante son los alumnos y fomentar en ellos una actitud positiva hacia la Geometra en particular y hacia el conocimiento en general.

Se debe considerar para la enseanza de la geometra los diferentes tipos de tareas que pueden trabajarse con los alumnos: de conceptualizacin, investigacin y demostracin. En donde se Tienda a desarrollar en los alumnos diferentes habilidades: visualizacin, de dibujo, de comunicacin, de razonamiento y de aplicacin.

La enseanza de la geometra ayudar a mejorar el rendimiento del estudiante, y tambin ayuda al docente hacer ms prctico y preciso con todos sus conocimientos. Ya que contiene teora practica para facilitar el razonamiento matemtico.

VI.FUENTES CONSULTADAS.

Garca. S, & Lpez. O (2008). La enseanza de la geometra. 1era edicin. Ed. Teresa Ramrez Vadillo. Recuperado de ttp://www.oei.es/pdf2/ensenanza-geometria-mexico.pdf.