LA Matemáticas...-Redondeo: Consiste en aproximar por exceso si el decimal anterior es mayor o...

DE

LA

Matemáticas

mejores ejercicios Recopilación de los

p u b l i c a d o s p o r D e m r ey o t r a s i n s t i t u c i o n e s

1 . 2 6 1 E J E R C I C I O S

EXPLICATIVOS !!+ 200 VIDEOS

Editorial Centro de Estudios Matemáticos Mauro Quintana Ltda.

Autor : Recopilación de ejercicios, DEMRE y varios autores; Desarrollo de los ejercicios: Centro de Estudios Matemáticos Mauro Quintana Ltda.

Año Impresión 2019

A mis padres,

Ana y Juan

2

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Con el propósito de ayudarte a preparar la PSU de

Matemática, el profesor Mauro Quintana y su equipo, han

compilado una selección de más de 1200 ejercicios.

En los capítulos de este libro encontrarás el desarrollo de

los contenidos establecidos por el DEMRE – Departamento

de Evaluación, Medición y Registro Estudiantil – para el

currículo de esta área.

Con el fin de complementar tu proceso de aprendizaje,

este libro contiene una serie de más de 200 códigos QR,

que puedes leer con tu celular mediante la aplicación

Escáner QR, para acceder a los videos en YouTube del

profesor Mauro Quintana, donde encontrarás sus

Miniclases y la resolución detallada de muchos

ejercicios, para que puedas comprender y ejercitar

todos los Ejes de la PSU.

d e s a r r o l l o

3

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1 EJE: NÚMEROS ...................................................................................................................................... 6

1.1 Videos previos recomendados ...................................................................................................... 9

1.2 Números Enteros ......................................................................................................................... 11

1.3 Números Racionales .................................................................................................................... 17

1.4 Aproximación por redondeo y truncamiento ............................................................................. 22

1.5 Potencias ..................................................................................................................................... 23

1.6 Números Reales .......................................................................................................................... 28

1.7 Aproximación por exceso y defecto ............................................................................................ 30

1.8 Raíces........................................................................................................................................... 34

1.9 Logaritmos ................................................................................................................................... 45

1.10 Números Complejos .................................................................................................................... 52

1.11 Más mini-clases y ejercicios en video ......................................................................................... 74

2 EJE ÁLGEBRA ........................................................................................................................................ 82

2.1 Videos previos recomendados .................................................................................................... 86

2.2 Álgebra básica: Productos Notables y Factorización .................................................................. 87

2.3 Fracciones Algebraicas ................................................................................................................ 88

2.4 Ecuaciones ................................................................................................................................... 89

2.5 Ecuaciones Literales .................................................................................................................... 92

2.6 Función Lineal y función afín ....................................................................................................... 95

2.7 Sistemas de ecuaciones ............................................................................................................... 98

2.8 Función exponencial, logarítmica y raíz cuadrática .................................................................. 106

2.9 Ecuación y función cuadrática ................................................................................................... 108

2.10 Inecuaciones .............................................................................................................................. 113

2.11 Función potencia ....................................................................................................................... 116

2.12 Interés simple y compuesto ...................................................................................................... 116

2.13 Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Función Inversa ................................................... 123

2.1 Más mini-clases y ejercicios en video ....................................................................................... 127

3 EJE: GEOMETRÍA ................................................................................................................................ 133

4

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.1 Videos previos recomendados .................................................................................................. 135

3.2 Área y perímetro ....................................................................................................................... 138

3.3 Vectores en 2D y 3D .................................................................................................................. 139

3.4 Transformaciones Isométricas .................................................................................................. 155

3.5 Circunferencias .......................................................................................................................... 162

3.6 Teorema de Thales .................................................................................................................... 167

3.7 Teoremas de Euclides y Pitágoras ............................................................................................. 171

3.8 Homotecia ................................................................................................................................. 174

3.9 Ecuación de la recta .................................................................................................................. 184

3.10 Geometría en 3D ....................................................................................................................... 188

3.11 Planos en el espacio .................................................................................................................. 196

3.12 Ecuación vectorial de la recta ................................................................................................... 198

3.13 Cuerpos geométricos: área y volúmenes .................................................................................. 212


4 EJE DATOS Y AZAR ............................................................................................................................. 224

4.1 Videos previos recomendados .................................................................................................. 227

4.2 Análisis de gráficos y tablas ....................................................................................................... 231

4.3 Medidas de tendencia central ................................................................................................... 233

4.4 Medidas de posición ................................................................................................................. 242

4.5 Medidas de dispersión .............................................................................................................. 246

4.6 Muestreo aleatorio ................................................................................................................... 254

4.7 Técnicas de combinatoria ......................................................................................................... 256

4.8 Probabilidad: Regla de La Place................................................................................................. 281

4.9 Variable aleatoria discreta ........................................................................................................ 309

4.10 Ley de los grandes números ...................................................................................................... 322

4.11 Función de probabilidad y función de distribución ................................................................... 323

4.12 Probabilidad condicionada ........................................................................................................ 348

4.13 Valor esperado, varianza, desviación típica o estándar ............................................................ 358

4.14 Modelo binomial ....................................................................................................................... 371

4.15 Variable aleatoria continua y función de densidad................................................................... 379

4.16 Distribución normal y tipificación ............................................................................................. 386

4.17 Teorema central del límite ........................................................................................................ 398

4.18 Aproximación de la probabilidad normal a la binomial ............................................................ 402

5

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.19 Intervalos de confianza ............................................................................................................. 404


5 VIDEOS ENTRETENIDOS ..................................................................................................................... 417

6 SOLUCIONES ...................................................................................................................................... 422

6

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1 EJE: NÚMEROS

Para resolver los problemas de este eje es fundamental no solo entender los conjuntos de

números si no también reconocer intuitivamente las diferentes formas de manipularlos, esto es:

Detectar rápidamente que reglas numéricas me permiten responder la pregunta.

Primero que todo es necesario tener claros los conceptos esenciales de este eje:

Números Naturales: Parten desde el 1 y cada número tiene un sucesor. Son aquellos números

que nos permiten contar. La suma de números naturales siempre resulta en un número natural.

Números Enteros: A los Naturales se les agrega el inverso aditivo y el neutro aditivo. Es decir,

todos los naturales con signo negativo y el 0.

Números Racionales: Son los valores que se pueden escribir como fracción de 2 números

enteros.

Números Irracionales: Son valores que no pueden ser expresados de manera exacta pero

pueden ser ubicados dentro de la recta numérica. En forma decimal solo pueden ser

aproximados, pues de lo contrario sus decimales se extienden infinitamente y sin periodo.

Números Reales: Son la unión del conjunto de los racionales e irracionales. Son todos los valores

que pueden ubicarse en la recta numérica.

7

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Números Complejos: Es un conjunto que contiene a los Números Reales y a los múltiplos del

valor que no puede ser ubicado en la recta numérica, denominados Números

imaginarios. La suma de un imaginario y un real es un complejo. Poseen 2 partes:

Métodos de Aproximación: Cuando un número real tiene más decimales de los que son

necesarios, según el problema, es útil elegir un número relativamente cercano, este número se

denomina aproximación del número original y hay diferentes métodos para hacerlo:

-Exceso: Consiste en elegir el número racional inmediatamente mayor considerando hasta el

decimal aproximado. Ejemplo: 1,23 se aproxima por exceso a la décima a 1,3 pues el decimal era

2 y por exceso quedó en 3.

-Defecto o truncamiento: Consiste en eliminar los decimales hasta el punto elegido. Ejemplo:

1,7568 se aproxima por defecto a la centésima a 1,75 pues 5 es el digito de las centésimas, todo

lo que viene después se borra.

-Redondeo: Consiste en aproximar por exceso si el decimal anterior es mayor o igual a 5 y por

defecto si es menor a 5. Ejemplo: 3,167 aproximado por redondeo a la centésima es 3,17 pues el

decimal anterior (Milésima) es 7 que es mayor que 5, por lo que se aproxima por exceso.

3,163 aproximado por redondeo a la centésima es 3, 16 pues el decimal anterior en este caso es

3 que es menor a 5, con lo que se aproxima por defecto.

Logaritmos: Son valores que responden a la pregunta; ¿A qué valor tengo que elevar cierto

número para que me de otro dado? es decir el valor de x en la ecuación

Y se dice que x es el logaritmo de B (Pues B es el resultado) en base A porque elevas A.

No olvidar que cuando hablamos de logaritmos estamos hablando del valor de x.

8

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

A partir de esta definición se deducen las siguientes propiedades:

Sean a, b y c números reales positivos y n un real cualquiera, entonces

9

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1.1 VIDEOS PREVIOS RECOMENDADOS

Encuentra estos videos y muchas otras Miniclases en:

youtube.com/c/mauroquintana

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

10

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

11

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1.2 NÚMEROS ENTEROS

1) Si 2𝑛 representa un número par y 𝑚 un número impar, ¿Cuál de las siguientes opciones

corresponde a un número par?

A) 2𝑛 +𝑚

B) 2𝑛 −𝑚

C) 𝑚 − 2𝑛 + 2

D) 10𝑛 + 3𝑚

E) 𝑚 − 1 + 2𝑛

2) Si 𝑎 y 𝑏 son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica están

representados en la figura 1, entonces siempre se cumple que:

A) 𝑎 ∙ 𝑏 > 0

B) −𝑎: 𝑏 < 0

C) 𝑎 + 𝑏 > 0

D) 𝑎 − 𝑏 > 0

E) 𝑎:−𝑏 > 0

3) ¿Cuántas cifras tiene el resultado de la multiplicación de 21998 ∙ 52000?

A) 1999

B) 2000

C) 2001

D) 2002

E) 2003

4) El producto de tres naturales distintos es 144, ¿Cuál es la mayor suma de ellos?

A) 20

B) 52

C) 72

D) 75

E) 146

d e s a r r o l l o

12

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

5) Si 𝑏 es el triple de 𝑐, con 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0, entonces es verdadero:

A) 𝑐

𝑏= 3

B) 𝑏

𝑐 no pertenece al conjunto de los números enteros

C) 𝑐

𝑏 pertenece al conjunto de los números enteros

D) 𝑏

𝑐 es un número primo

E) 𝑐

𝑏 es un número natural

6) Sean 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 𝑦 𝑡4 cuatro números pares consecutivos. Respecto a esta sucesión,

siempre es correcto afirmar que la suma entre:

I) Todos los términos es un múltiplo de 4.

II) 𝑡2 𝑦 𝑡3 es divisibles por 𝑡4. III) 𝑡2 𝑦 𝑡4 es igual al doble de 𝑡3.

Es (son) verdadera(s):

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

7) ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) falsa(s)?

I) Al sumar dos enteros de distinto signo, se conserva el signo del mayor.

II) Al multiplicar dos enteros de distinto signo, el resultado es negativo.

III) Al dividir dos enteros negativos, el resultado es positivo.

A) Ninguna

B) Sólo I

C) Sólo II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

8) Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene 𝑎3 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐

Entonces, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 es igual a:

A) 10

B) 6

C) 4

D) 0

E) -1

13

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

9) Si 𝑎 es un número compuesto impar menor que 10, entonces 𝑎 − 1 es:

I) Primo

II) Compuesto

III) Impar


A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

10) Si 𝑎 < 0, entonces |𝑎| − 𝑎 =

A) 2a B) 0

C) −2a D) −2

E) −a

11) ¿Cuántos números pares hay entre -6 y 4?

A) 7

B) 6

C) 5

D) 4 E) 2

12) Si 𝑎 ∈ ℤ−y 𝑏 ∈ ℤ+; ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones siempre es (son) menor (es)

que cero?

I) a – b II) a + b III) a( a – b)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

r e f e r e n t e

14

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

13) ¿Cuál es el dígito de la unidad de 232?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 0

14) Si −𝑎 es un entero negativo, entonces:

I) 𝑎 es entero positivo

II) 𝑎 ∈ 𝑁

III) 𝑎 < −𝑎

Es (son) siempre verdadera(s):

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

15) Si 𝑎 y 𝑏 son números reales negativos tales que 𝑎 < 𝑏, ¿Cuál de las siguientes

alternativas también es un número negativo?

A) 𝑏 − 𝑎

B) −𝑎 − 𝑏

C) 𝑎𝑏

D) (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) E) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

16) ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es (o son) falsa(s) si 𝑎 < 0?

I) 𝑎 − 3𝑎 > 0

II) 𝑎3 > 0

III) 𝑎−𝑎

𝑎< 0

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

r e f e r e n t e

15

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

17) Si 𝑚 > 𝑛, 𝑝 > 𝑞 y 𝑞 = 𝑚, entonces es falso que:

A) 𝑝 > 𝑞

B) 𝑝 > 𝑚

C) 𝑞 > 𝑛

D) 𝑛 > 𝑝

E) 𝑚 > 𝑛

18) Se cumple que 𝑝3 ∙ 𝑞3 < 0 si:

A) 𝑝 > 0 𝑦 𝑞 = 0

B) 𝑝 = 0 𝑦 𝑞 < 0

C) 𝑝 < 0 𝑦 𝑞 > 0

D) 𝑠 > 0 𝑦 𝑞 > 0

E) 𝑠 < 0 𝑦 𝑞 < 0

19) Si 𝑚𝑛 < 0 y 𝑚 > 0, entonces siempre es verdad que:

A) 𝑚 + 𝑛 < 0

B) 𝑚 − 𝑛 > 0

C) 𝑛 −𝑚 > 0

D) 𝑚 + 𝑛 > 0

E) −𝑚

𝑛< 0

20) La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

16

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

21) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto al número n 22 +

, si se sabe que n2 8= ?

I) Es divisible por 16

II) Es un múltiplo de 8

III) Es el sucesor par de 30

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

22) Si x es un número entero e y un número entero negativo, ¿cuál(es) de las expresiones

siguientes es (son) siempre enteros no negativos?

I) 3 2x y

II) ( )2

xy + 2

III) 2xy 1−

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

23) Un gasfíter cobro $50.000 por reparar una cocina. Si gastó $27.000 en repuestos y cobra

$7.500 por la hora de trabajo, ¿Cuántas horas se demoró en hacer el trabajo?

A) 2 horas 4 minutos

B) 3 horas

C) 3 horas 2 minutos

D) 3 horas 6 minutos

E) 3 horas 4 minutos

17

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1.3 NÚMEROS RACIONALES

24) Se puede determinar que la expresión 𝑎−𝑏

𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números enteros y 𝑐 ≠ 0 ,

representa un número entero positivo, si:

(1) (𝑎 − 𝑏) es múltiplo de 𝑐. (2) 𝑏 ≤ 𝑎.

A) (1) Por si sola

B) (1) Por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

25) 7,007

8,008

A) 0,785

B) 0,875

C) 0,876

D) 0,857

E) Ninguna de las anteriores

26) 0, 3 ∙ 9 + 0,03 ∙ 90 + 0,003 ∙ 900 =

A) 9

B) 0, 9

C) 0,09

D) 6

E) 0,003

27) Si 𝑃 = 0,0001; 𝑄 = 0,001 y 𝑅 = 0,1; entonces el valor de 𝑃 + 𝑅 ∙ 𝑄 es:

A) 0,0011

B) 0,0001

C) 0,0002

D) 0,00011

E) 0,00021

r e f e r e n t e

18

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

28) (0,1: 0,001) − 0,1 =

A) 99,0

B) 99,9

C) 90,9

D) 0,9

E) 0,09

29) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 0,42 −1

45 resulta un número decimal finito.

II) 0, 7: 0, 5 resulta un número decimal infinito periódico.

III) 2,339 + 0, 9 resulta un número decimal infinito.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

30) 1−

2

3

1+1

1−23

=

A) 1

12

B) 1

6

C) 1

4

D) 1

2

E) 1

31) ¿Cuál de los siguientes números está entre 1

4 𝑦

2

3?

A) 1 9⁄

B) 1 5⁄

C) 4 5⁄

D) 3 14⁄

E) 3 10⁄

r e f e r e n t e

19

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

32) ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a un número racional?

A) 0,7070070007…

B) √8

C) √3 − √5

D) 𝜋2 E) 0,123321123321…

33) Sean 𝑎 y 𝑏 números irracionales distintos. ¿Cuál de los siguientes números es siempre

un irracional?

A) 𝑎 + 𝑏

B) 𝑎 ∙ 𝑏

C) 𝑎

𝑏

D) 𝑎 − 𝑏

E) Ninguno de ellos

34) Si 𝑎 es un número racional, entonces: ¿Cuál de los siguientes es SIEMPRE un número

Irracional?

A) 1

𝑎+20

B) 1

𝑎−20

C) 1

𝑎+√2

D) 1

𝑎+2,3

E) 1

𝑎−0,3

35) Si 𝑃 =2

5 y 𝑄 =

3

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la menor?

A) 𝑃 𝑄⁄

B) 𝑄𝑃⁄

C) 𝑃 ∙ 𝑄

D) 𝑄 − 𝑃

E) 𝑄2 + 𝑃2

r e f e r e n t e

r e f e r e n t e

20

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 36) Si = 0,5 y = 0,25, ¿Cuál de las siguientes desigualdades es (o son) verdadera(s)?

I) >II) >III) <

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

37) Si = 1 ∶ , = 2 ∶ y = 3 ∶ . ¿Cuál de las siguientes alternativas siguientes indicaun orden decreciente?

A) > >B) > >C) > >D) > >E) > >

38) ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera si = ,, ?

A) =B) < 0,2C) <D) = 2E) > 4

39) es la mitad de si:

A) La mitad de es de

B) de es de P

C) La cuarta parte de es de 2D) La cuarta parte de es de

E) de es de

r e f e r e n t e

21

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

40) Al resolver

1

9+1

18+1

27+1

361

4+1

8+1

12+1

16

se obtiene:

A) 1 2⁄

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) 4 9⁄

E) 9 4⁄

41) ¿Cuál de los siguientes pares de números, no permite que se ubique un número racional

entre ellos?

A) 0 y 1

B) 0,89 𝑦 0, 9

C) 2,39 𝑦 2,40

D) 1

3 𝑦

1

2

E) √23

y √2

42) Al simplificar el producto 1 1 1 1

1 1 1 ... 12 3 4 n

− − − −

se obtiene:

A) 1

n

B) 2

n

C) ( )2 n 1

n

−

D) ( )

2

n n+1

E) 1

n+1

43) ( )− =0,2 0,2 0,002:0,02

A) –0,20

B) –0,08

C) 0

D) 0,18

E) 0,20

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

22

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

44) Doña Juanita desea repartir 4.800 gr de semillas a sus gallinas, pavos y patos. La cuarta

parte se las reparte a las gallinas, los dos tercios del resto a los pavos y lo que queda a los

patos. ¿Qué grupo de aves recibe mayor cantidad de semillas?

A) Patos

B) Pavos

C) Gallinas

D) Gallinas y patos

E) Todos reciben la misma cantidad de alimento

45) Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son tres racionales positivos, se puede saber cuál es el menor si:

(1) 𝑎 − 𝑏 =−1

4

(2) 𝑎 − 𝑐 =−1

2

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) y (2)


46) Si se redondea a la milésima el número 7,1445 obtengo:

A) 7,14

B) 7,15

C) 7,144

D) 7,145

E) 7,150

1.4 APROXIMACIÓN POR REDONDEO Y

TRUNCAMIENTO

47) ¿Cuánto se obtiene al truncar a la centésima el número 5,2359?

A) 5,23

B) 5,24

C) 5,25

D) 5,235

E) 5,236

23

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

48) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por redondeo a la milésima el número 2,9995?

A) 2,999

B) 2,990

C) 2,900

D) 2,000

E) 3,000

49) Si a es igual a 2

3 truncado a la décima y b es igual a

5

6 truncado a la centésima, entonces

el producto entre a y b, truncado a la centésima es igual a

A) 0,50

B) 0,48

C) 0,49

D) 0,58

E) 0,55

1.5 POTENCIAS

50) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) −24 + 32 = −7

II) (9

4)2: 0, 6 = (1,5)5

III) Todo número racional multiplicado por su recíproco resulta igual a 1.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

51) ¿En cuál de las siguientes expresiones el resultado es un número entero?

I) (0,2)−1

II) 32∙56∙7∙11−2

3−7∙5∙11−3

III) 0,0068

0,02

A) Sólo en I

B) Sólo en II C) Sólo en I y en II

D) Sólo en I y en III

E) Sólo en II y en III

24

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

52) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) (0,4)−2: (0,2)−2 =1

4

II) (25 ∙ (−3)5)2 ∙ (−6)4 = (−6)14

III) 812 + 811

416= 2 ∙ 32

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

53) El resultado de (6 ∙ 1011)(1,3 ∙ 1012) es:

A) 7,3 ∙ 1023 B) 7,8 ∙ 1023 C) 7,8 ∙ 1012 D) 7,8 ∙ 10−1 E) 7,8 ∙ 10123

54) Si 𝑎 = 1,2 ∙ 1099 y 𝑏 = 9 ∙ 1099 entonces, 𝑎 + 𝑏 en notación científica es:

A) 1,02 ∙ 1099 B) 1,02 ∙ 10100 C) 1,2 ∙ 10100 D) 1,02 ∙ 10198 E) 10,2 ∙ 1099

55) Si 𝑟 y 𝑠 son números reales negativos, con 𝑟 ≠ 𝑠, entonces ¿En cuál de las siguientes

alternativas el resultado es siempre positivo?

A) 𝑟𝑠2 B) 2(𝑟 + 𝑠) C) (𝑟𝑠)−1 D) 𝑟2 − 𝑠2

E) 1

𝑟−𝑠

r e f e r e n t e

25

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

56) ¿Qué expresión equivale a 64 + 63?

A) 62 B) 63 ∙ 5

C) 63 ∙ 7

D) 63 ∙ 5 ∙ 7

E) 63 ∙ 3 ∙ 2

57) ¿Cuál es la relación correcta entre los números 𝑎 = 2010, 𝑏 = 1020 y 𝑐 = 405?

A) 𝑎

𝑏= 1 𝑦

𝑐

𝑏> 1

B) 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑏= 1

C) 𝑎

𝑏> 1 𝑦

𝑐

𝑎> 1

D) 𝑏

𝑎> 1 𝑦

𝑎

𝑐> 1

E) 𝑏

𝑐> 1 𝑦

𝑐

𝑎> 1

58) Si 𝑥 = 22 + 22 𝑦 𝑤 = 44 + 44 + 44 + 44, entonces 𝑤

𝑥 es igual a:

A) 212 B) 213 C) 27 D) 228 E) 28

59) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa (s)?

I) 48 ∙ 163 = 225 II) El promedio entre 230 + 260 es 229(1 + 230) III) (−22)3 = −26

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) Sólo I y III

26

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

60) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es o son verdadera(s)?

I) 8 ∙ 232= 29

II) 325 ∙ 83 + 325 ∙ 83 = 235 III) 650 = 425 ∙ 925

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

61) Si 24 ∙ 38 = 𝑛 ∙ 64, entonces 𝑛 =

A) 12

B) 24

C) 27

D) 54

E) 81

62) ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A) (1

−2)4=

1

24

B) 0: (1

2)2= 0

C) −24 = −42

D) 5 ∙ 30 = 1

E) 7−3 =1

343

63) −23

2+(

1

2)−2

2

3

2 =

A) −45

B) −381

C) −135

D) −1.143


27

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

64) [(0,111… )−2]0,25

A) 0,3

B) 1

C) 3

D) 9

E) 27

65) El valor de 42002 ∙ 32002

62002 ∙ 22002 es:

A) 1

B) 2

C) 12

D) 4

E) 1 2⁄

66) (0,1)−1+(0,9)3

(0,12)−1=

A) 0,2

B) 1, 2

C) 1,2

D) 1, 3

E) 1,3

67) ¿Cuál de las siguientes alternativas es el resultado de reducir la expresión

6𝑛−2 ∙ 3𝑛+2 ∙ 22? A) 9𝑛

B) 18

C) 18𝑛

D) (1

36)𝑛

E) (1

36)−𝑛

28

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

68) Sean dos números 𝑎 y 𝑏 tales que 𝑏 > 1 y 0 < 𝑎 < 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones

es mayor?

A) 𝑎2𝑏

B) 𝑎𝑏+1 C) 𝑎𝑏

D) 𝑏𝑎𝑏

E) (1 + 𝑎)𝑏

69) 72𝑛−1 − 49𝑛−1 − (1

49)−𝑛+1

A) 5 ∙ 49𝑛−1 B) 5 ∙ 7𝑛−1 C) 72𝑛−1 D) 49𝑛−1 E) 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

1.6 NÚMEROS REALES

70) El resultado de 1

1+1

1+11+1

a qué conjunto(s) pertenece(n)?

I) Naturales

II) Racionales

III) Reales

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

71) El resultado de (1

5)2+1

5

(1

5)−1 ∙ 5

3 a qué conjunto(s) pertenece(n)?

I) Naturales

II) Enteros

III) Reales

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

29

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

72) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si 𝐴 y 𝐵 son números irracionales, y 𝐴 es el opuesto de 𝐵, entonces −𝐴

𝐵 es un

número irracional.

II) Si 𝐴 y 𝐵 son números irracionales, y 𝐵 es el inverso multiplicativo de A, entonces 𝐵

𝐴

es un número racional.

III) Si 𝐴 es un número irracional y 𝐵 es un número entero positivo, entonces 𝐴𝐵 es un

número irracional.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

73) Al efectuar la siguiente operación 0,1010010001…+ 0,0101101110… se obtiene como

resultado, un número:

A) Natural

B) Irracional

C) Entero

D) Real

E) Ninguno de los anteriores

74) Si “𝑝” es un número real distinto de cero, entonces siempre se cumple que:

I) 3𝑝 < 4𝑝

II) 3 − 𝑝 < 4 − 𝑝

III) 1 < 2𝑝2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

30

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

75) El número racional 22

7 es una muy buena aproximación del número irracional

𝜋 = 3,14159…. Al poner ambos números en una calculadora se obtendrá una igualdad

cuando:

I) Trunque ambos números a la segunda cifra decimal.

II) Redondee ambos números a la segunda cifra decimal.

III) Aproxime por defecto ambos números a la segunda cifra decimal.


A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

1.7 APROXIMACIÓN POR EXCESO Y DEFECTO

76) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por exceso a la centésima el número 3,8642

A) 3,864

B) 3,87

C) 3,80

D) 3,90

E) 3,88

77) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por defecto a la milésima el número 𝑒?

Sabiendo que 𝑒 = 2,71828…

A) 2,700

B) 2,710

C) 2,718

D) 2,719


78) Respecto del número 62

7 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Redondeado a la unidad es 8.

II) Truncado a la décima es 8,8.

III) Redondeado a la milésima por exceso es 8,857.

A) Sólo II

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

31

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

79) Considerando el número irracional 𝐴 = 0,987221443279… ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝐴 truncado a la décima es menor que A aproximado por defecto a la décima.

II) 𝐴 aproximado por exceso a la milésima es 0,988

III) 𝐴 aproximado por defecto a la centésima es 0,98

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

80) Los primeros números del desarrollo decimal de 𝛑 son 3,141592653. Al aproximarlo a

𝟑, 𝟏𝟒 es falso que se esté realizando por:

I) Una aproximación por exceso

II) Una aproximación por defecto

III) Una aproximación por redondeo

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

81) La diferencia entre 0,12 y 0, 1, en ese orden, aproximada por defecto a la centésima es:

A) 0,1

B) 0,01

C) 0,001

D) 0

E) 1

82) El resultado de: 1

3+1

3:1

3+1

3∙1

3 aproximado por exceso a la décima es:

A) 1,6

B) 1,5

C) 1,44

D) 1,4


d e s a r r o l l o

32

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

83) El resultado de (1

3+1

6+2

7), truncado a la décima es

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,8

E) 0,7

84) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto a la expresión

decimal 1

8?

I) El dígito de la milésima es un número impar.

II) Es un número decimal finito.

III) El número truncado al dígito de la décima es 0,1.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

85) Si 𝑋 es la mejor aproximación por defecto a la décima de 2,64575131 e Y es la

aproximación por exceso a la décima de 3,16227766, entonces el valor de (X + Y)

aproximado a la unidad por redondeo es:

A) 5,84

B) 5,74

C) 6

D) 5,8

E) 5,7

33

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

86) ¿Cuál es el error que se produce al aproximar 3

8 por exceso a la décima?

A) -0,025

B) -0,25

C) 0,25

D) 0,025

E) 0,5

87) Al usa una calculadora para el calcular el valor de √7 se obtiene:

2,645751311064591

De este número se tienen los siguientes valores:

𝑎 = Aproximación a la décima por exceso

𝑏 = Aproximación a la décima por defecto

𝑐 = Redondeo a la décima

𝑑 = Truncamiento a la décima

Con esta información, es correcto que:

A) 𝑎 = 𝑏

B) 1 − 𝑎 = 1,7

C) 𝑐 − 𝑑 = 0

D) 𝑐 − 𝑑 = 1

E) 𝑎 = 𝑐

88) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) Falsa(s)?

I) Aproximar por truncamiento un número positivo corresponde a una aproximación

por defecto del mismo número

II) Al redondear un número, éste es siempre mayor que el número original

III) La semisuma de la aproximación por exceso con la aproximación por defecto de

un número es siempre igual al número original

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

34

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

89) Si 9

M 0,62

= −

, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El recíproco de M es 6

23

−

II) Al redondear M a la décima resulta lo mismo que truncarlo a la misma posición.

III) Al aproximar M por exceso a la centésima resulta 3,84.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

90) Tres personas multiplican los números 0,26 y 0,666. El primero de ellos trunca el producto

a la milésima, el segundo de ellos lo redondea a la décima y el tercero lo aproxima por

exceso a la centésima. ¿Cuál es la suma de todas las aproximaciones?

A) 0,553

B) 0,551

C) 0,453

D) 0,543


1.8 RAÍCES

91) Si 𝑝 = 25√73

, entonces √𝑝 es igual a:

A) 25√75

B) 25√76

C) 5√73

D) 5√77

E) 5√76

92) Si √7 es aproximadamente 2,6457, entonces √0,28 redondeado a la milésima es:

A) 2,645

B) 0,2646

C) 0,53

D) 0,529

E) 5,291

35

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

93) 94) Si √1,2 = 𝑎, entonces √1200

A) 𝑎√10

B) 10𝑎

C) 100𝑎

D) 10𝑎√10


94) [1

√3+

1

√6] :√3

2

A) 4

√27

B) 1 + √2

C) 12+2√6

3

D) 2√3

3

E) 2+√2

3

95) (2√3 − 3√2)2=

A) 6(5 − √6)

B) 18√6

C) 6(5 − 2√6)

D) √6 + 18

E) −6(1 + √6)

96) √𝑎2𝑏3

∙ √𝑎𝑏2

A) 𝑎𝑏

B) √𝑎𝑏3

C) √𝑎𝑏6

D) 𝑎𝑏√𝑎𝑏3

E) 𝑎𝑏√𝑎𝑏26

r e f e r e n t e

36

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

97) ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) √2 < 2,1

B) √10 < 3,2

C) √40 < 6,5

D) √57 < 6,9

E) √72 < 9,1

98) Para que la expresión 𝑏 ∙ (3 − √3) corresponda a un número racional, el valor de 𝑏

puede ser:

I) (3 − √3)

II) 6 + 2√3

III) 1

3 − √3

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

99) Sean los números 𝑝, racional y 𝑞 = √𝑝4 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝑝 + 𝑞 es siempre irracional

II) 𝑞2 puede ser entero

III) 𝑞𝑝 puede ser un número real

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

100) Si 𝐴 = √11, 𝐵 = |−8

3|, 𝐶 =

√65

2 y 𝐷 = 2√3, entonces el orden de los números de

mayor a menor es:

A) C, D, A, B

B) D, A, B, C

C) C, B, A, D

D) C, D, B, A

E) D, C, A, B

37

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

101) Si 𝑎 = 1, 9; 𝑏 = 3√2 y 𝑐 = 2√3, ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A) 𝑏 < 𝑎

B) 𝑎 ∙ 𝑏 <𝑐

𝑎

C) 𝑏 ∙ 𝑐 < 𝑎

D) 𝑏

𝑐< 𝑎

E) 𝑏+𝑐

𝑎=

𝑏2+𝑐2

𝑎2

102) ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es o son falsa(s)?

I) 21

3 = √23 II) √163

= 8√23

𝐼𝐼𝐼) 2√25

= √265

IV) (2√3)2= 6

A) Sólo III

B) Sólo II, III y IV

C) Sólo I, II y IV

D) Sólo I, II y III

E) Todas son falsas

103) ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es o son verdadera(s)?

I. √−27𝑎3𝑏5𝑐63

= 3𝑎𝑏𝑐2 √𝑏23

II. √0,000325 = 5−1

III. √(√3 − 3)2= √3 − 3

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

104) El valor de √35+35+353

√36+36+36+36

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 6⁄

D) 3 2⁄

E) 9 2⁄

38

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

105) Al aplicar propiedades en el siguiente ejercicio √𝑎4𝑥−43

: √𝑎𝑥−13

se obtiene:

A) 𝑎3𝑥−3 B) 𝑎𝑥+1 C) 𝑎3𝑥

D) 𝑎𝑥−1 E) √𝑎3𝑥−5

3

106) Reducir: 2√3 − 3√32 + √75 − 3√8

A) 7√3 − 18√2

B) 7√3 − 6√2

C) 7√3 − 60√2

D) 27√3 − 18√2

E) 27√3 + 6√2

107) Al resolver: 2√2√2√23

se obtiene:

A) 2 ∙ √12812

B) 2 ∙ √84

C) 4 ∙ √84

D) 2 ∙ √24

E) 2 ∙ √64

108) Resolver: √63

∙ √218

∙ √3

A) √315 ∙ 2618

B) √27 ∙ 31018

C) √315 ∙ 2718

D) √39 ∙ 218

E) Ninguna de la anteriores

r e f e r e n t e

39

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

109) 2

√43 =

A) √23

B) √33

C) √2

D) √43


110) Racionalizar: 2+√2

√6

A) 6

B) 2√18

3

C) 2√3+2√6

3

D) √6+√3

6

E) √6+√3

3

111) √3+2√2

2√2−√3=

A) 4√6

B) 2√6+17

11

C) 4√6+11

5

D) 4√6+11

11


112) Si √ √𝑎𝑚𝑛

= 𝑝 y 𝑞 = √𝑝𝑚 , con 𝑚, 𝑛 y 𝑎 ∈ 𝑍+. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

correcta?

A) 𝑎 = 𝑞𝑛𝑚

B) 𝑎 = 𝑞𝑚

𝑛

C) 𝑎 = 𝑞𝑛

𝑚

D) 𝑎 = 𝑞𝑛𝑚2

E) 𝑎 = 𝑞𝑚𝑛2

r e f e r e n t e

40

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

113) Si se considera que el valor aproximado de √5 dado por la calculadora es

2,236067978, 𝑛 es √5 aproximado por exceso a la décima, 𝑚 es √5 aproximado por

defecto a la décima y

𝑟 = √(𝑚 − √5)2+√(√5 − 𝑛)

2, entonces 𝑟 es igual a:

A) -0,1

B) 0,1

C) 0,01

D) -0,0001

E) 0

114) Al ordenar en forma decreciente los números

𝑎 = 3 + √5, 𝑏 = √8 + 2 y 𝑐 = 3√2 − 1, se obtiene:

A) 𝑐, 𝑏, 𝑎

B) 𝑎, 𝑏, 𝑐 C) 𝑏, 𝑎, 𝑐 D) 𝑐, 𝑎, 𝑏

E) 𝑏, 𝑐, 𝑎

115) Sean 𝑎, 𝑏 números positivos y √𝑎𝑏 = 1, entonces √𝑏 + 1=

A) 1

√𝑎+1

B) 1+√𝑎

√𝑎

C) √𝑎+1

𝑎

D) √𝑎 + 1

E) 1 +1

𝑎

116) Si √23

es aproximadamente 1,25992 y √3 es aproximadamente 1,73205, entonces

√4 ∙ 276

aproximado por redondeo tiene como primera cifra decimal:

A) 9

B) 8

C) 3

D) 2

E) 1

41

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

117) Si 𝑝 es un número primo, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 2√𝑝 ∙ √𝑝 es un número irracional.

II) 2√𝑝 − √𝑝 es un número irracional.

III) √𝑝

2𝑃12

es un real.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

118) ¿Cuál(es) de los siguientes números es (o son ) irracionales?

I) √0, 9 II) √0, 4 III) √0, 2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

119) ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a √2 en la recta numérica?

A) 1,0

B) 1,2

C) 1,4

D) 1,7

E) 2,0

120) Si 𝐴 = 2 + √6, 𝐵 = √15 y 𝐶 = √26 − 3, entonces:

A) 𝐴 < 𝐵 < 𝐶

B) 𝐴 < 𝐶 < 𝐵

C) 𝐶 < 𝐵 < 𝐴

D) 𝐶 < 𝐴 < 𝐵

E) 𝐵 < 𝐴 < 𝐶

42

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

121) ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

A) √9

4

B) √16

25

C) √5

4

D) √121

100

E) √169

196

122) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) √(−8)−2 =1

−8

II) √(3 − 𝜋)2 = 0,14

III) √23

∙ √24

> √12712

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

123) ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es o son FALSA(S)?

I) √𝑎𝑛𝑏

∙ √𝑝𝑏𝑛

= √𝑎𝑛 ∙ 𝑝𝑏𝑏𝑛

II) (√𝑎 − 𝑏 + √𝑏 + 𝑎)2= 2(𝑎 + √𝑎2 + 𝑏2)

III) 2

√10<

√10

5

A) Solo I

B) Sólo III

C) Solo I y II

D) I, II y III

E) Ninguna

43

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

124) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre número(s) irracional(es)?

Sabiendo que 𝑎 es un número racional?

I) (𝑎 + √7)2 II) (𝑎 − 𝜋)(𝑎 + 𝜋) III) (√3 ∙ 𝑎)

2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

125) Sea 𝑝 = 5 − √7, entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) 𝑝 > 2,5

II) 𝑝 es irracional

III) El recíproco de 𝑝 es un número racional

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

126) ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 3 pero menor o igual que 4?

A) √9

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) √3,5

E) √10

127) El valor de √13 − 4√3 ∙ (1 + 2√3) es:

A) −11

B) 11

C) 12

D) 5√3

E) 22√3 − 11

r e f e r e n t e

44

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

128) Con respecto al número √0,25 se puede afirmar que es:

I) Racional

II) Irracional

III) Real

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

129) El valor de la expresión ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4

2 2 2 2 2 2 2 2+ − + − + , es un número:

A) Irracional negativo

B) Entero negativo

C) Racional no entero

D) Irracional positivo

E) Entero positivo

130) Si 3 1 3 1 m+ − − = , entonces el valor de 2m

2 es:

A) 2 3 2 2−

B) 3 2−

C) 1

D) 2 3−

E) 4 3 4 2−

131) Si 𝑥 es un número irracional, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) siempre verdadera(s)?

I) 𝑥2 es positivo

II) 𝑥2 es racional

III) 𝑥−1 es irracional

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

d e s a r r o l l o

45

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

132) En la figura, el punto O representa al 0 en la recta numérica real y además es el

centro de la semicircunferencia. Si B se ubica en el punto √3 y el segmento AC mide 1.

¿Qué número representa A en la recta numérica?

A) 1

B) √3 − 1

C) √3

2

D) 2

E) √2

133) La expresión √84 + 84 es equivalente a:

A) 8

B) 12

C) 32

D) 32√2

E) 64√2

134) Sea 𝑟 = 𝑥√3 y 𝑠 = 𝑥 + √3. Los números 𝑟 y 𝑠 son racionales, si:

(1) 𝑥 es un número irracional negativo.

(2) 𝑥 es el inverso aditivo de √3.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




1.9 LOGARITMOS

135) Determine el valor de 𝑙𝑜𝑔3(0, 1) es:

A) −1 3⁄

B) −2

C) 1 3⁄

D) 2

E) √93

46

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

136) log 0,1 + log 1 − log 100 =

A) log(0,1 + 1 + 100) B) log(0,1 ∙ 1 ∙ 100) C) −2 D) −2,5 E) −3

137) Si log 2 = 𝑥 y log 7 = 𝑦, entonces el valor de log 140 es:

A) 1 + 𝑥 + 𝑦

B) 10 + 𝑥 + 𝑦

C) 𝑥 + 𝑦

D) 10 + 𝑥𝑦

E) 10𝑥𝑦

138) Si log 2 = 0,3010, entonces log 8 =

A) 0,93

B) 0,6020

C) 2,408

D) 0,903

E) No puede ser calculado con la información dada.

139) ¿Determine cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsas?

I) 2 𝑙𝑜𝑔3√345

=5

2

II) log 24 = 3 log 2 + log 3

III) log𝑎

𝑏=

𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑏

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

47

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

140) 𝑙𝑜𝑔 √3

𝑙𝑜𝑔 (1

3)=?

A) 1 2⁄

B) −1 2⁄

C) 1 6⁄

D) 3√3

E) Otro valor

141) ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) log 1 ∙ log 25 = 2 log 5

B) log 15 : log 2 = log 7,5

C) log1

3∙ log 6 = log 2

D) log5

log4= log 5 − log 4

E) log1

1.000< −2

142) Si log5 3 =7

10, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, entonces log5 375 es igual a:

A) 57

10

B) 27

10

C) 35

2

D) 37

10

E) 7

5

143) El valor de 𝑥 en la ecuación 𝑎𝑥 = 𝑏𝑐 es:

A) 𝑙𝑜𝑔𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 − 𝑙𝑜𝑔𝑎

B) 𝑙𝑜𝑔𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑐

C) 𝑙𝑜𝑔𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑐

D) 𝑙𝑜𝑔𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎


48

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

144) 𝑙𝑜𝑔216−𝑙𝑜𝑔3

1

27

𝑙𝑜𝑔636=

A) 7 2⁄

B) 7 6⁄

C) 17 6⁄

D) 11 2⁄

E) 1 2⁄

145) Si log 𝑥 = 𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 log 0,1𝑥3

A) -1 + 3x

B) -1 + 3y

C) -10 + 3y

D) 10 + 3x

E) 30y

146) Si log 2 = 𝑚, log 3 = 𝑛 y log 5 = 𝑝, entonces 𝑙𝑜𝑔 (24

√55 )=

A) 𝑛 +𝑚 − 𝑝

B) 3𝑛 +𝑚 −𝑝

5

C) 15𝑚+5𝑛−𝑝

5

D) 3𝑚 + 𝑛 + 5𝑝


147) Si log 𝑎3 = 6, entonces 1 − log 𝑎 es:

A) 0

B) – 1

C) – 2

D) – 5

E) – 6

49

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

148) 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑑𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑑2 =

A) 1

B) 2

C) 0

D) b

E) Otro valor

149) La expresión 𝑙𝑜𝑔 (𝑎

𝑏2𝑐) es equivalente a:

A) log 𝑎 − 2 log 𝑏 + log 𝑐 B) log 𝑎 − 2 log 𝑏 + 2 log 𝑐 C) log 𝑎 − 2 log 𝑏 − log 𝑐 D) log 𝑎 − 2 log 𝑏 − 2 log 𝑐 E) log 𝑎 + 2 log 𝑏 + log 𝑐

150) La siguiente expresión: 2 log 𝑎 −3

4log 𝑏 − 5 log 𝑧 + log 10𝑧, es equivalente a:

A) log𝑎2

√𝑏34

∙𝑧

B) log𝑎2

√𝑏34

∙(2𝑧)5

C) log√𝑏34

∙ 𝑧4

𝑎2

D) log𝑎2 ∙ 10𝑧

√𝑏34

∙𝑧5

E) log (2𝑎 −3

4𝑏 − 5𝑧 + 𝑧)

151) Siendo log 5 = 𝑎, entonces ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) log 50 = 1 + 𝑎

B) log 125 = 3𝑎

C) log 2 = 1 − 𝑎

D) log 25 = 𝑎2

E) log (1

2) = 𝑎 − 1

r e f e r e n t e

50

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

152) Calcula el valor de 𝑥 si 𝑥 = 4𝑙𝑜𝑔48

A) 4

B) 8

C) -8

D) -4

E) Otro valor

153) Si 5 𝑙𝑜𝑔 94

𝑥 − 3 𝑙𝑜𝑔94

𝑦 + 2 𝑙𝑜𝑔94

𝑧 =1

2, entonces el valor de

𝑥5∙ 𝑧2

𝑦3 es:

A) 2 3⁄

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) 3 2⁄

E) No se puede determinar

154) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I) log 6 log10 log 6 =

II) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

III) El valor de log 6 = 0,7781, si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

155) ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) 𝑙𝑜𝑔3 > 𝑙𝑜𝑔5

B) 2𝑙𝑜𝑔5 < 3𝑙𝑜𝑔2

C) 𝑙𝑜𝑔√73

> 𝑙𝑜𝑔√11

D) 𝑙𝑜𝑔23 > 𝑙𝑜𝑔47

E) 𝑙𝑜𝑔10

𝑙𝑜𝑔2= 𝑙𝑜𝑔5

51

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

156) Si 𝑙𝑜𝑔√1003

= 𝑝, 𝑙𝑜𝑔𝑞 (8

125) = −3 y 𝑙𝑜𝑔 2

3

𝑟 = −2. ¿Cuál es el valor de 𝑝𝑞𝑟?

A) 4 15⁄

B) 15 4⁄

C) 3 5⁄

D) 5 3⁄


157) Si 𝑙𝑜𝑔32 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔57 = 𝑏 y 𝑙𝑜𝑔278 = 𝑐, entonces: ¿Cuál es la relación correcta?

A) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 B) 𝑎 < 𝑐 < 𝑏

C) 𝑐 < 𝑎 < 𝑏

D) 𝑎 = 𝑐 < 𝑏

E) 𝑏 < 𝑐 = 𝑎

158) Si 𝑙𝑜𝑔√𝑎3

= 𝑝 y 𝑙𝑜𝑔𝑏4 = 𝑞. ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a

𝑙𝑜𝑔√𝑎𝑏?

A) 12𝑝+𝑞

4

B) 12𝑝+𝑞

8

C) 3𝑝+𝑞

8

D) 3𝑝

2+𝑞

4

E) 3𝑝

2−𝑞

4

52

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 1.10 NÚMEROS COMPLEJOS

159) Sea la ecuación de la forma + + = 0 una ecuación con coeficientes reales,donde ≠ 0. Suponga que las soluciones y son raíces de esta ecuación y sonimaginarias puras. Entonces:

I) ( + ) es solución de la ecuación.II) ( + ) es un número imaginario puro.III) ( + ) es un número real.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

160) Al resolver 13 − √−4 − −5 + √−9 obtengo:

A) 18 − 5B) 18 +C) 18 −D) 8 +E) 8 −

161) ¿Cuál de los siguientes números complejos se ubicaría en el tercer cuadrante delplano de Argand?

A) 1 + 3B) 2 − 4C) −4D) −2 + 3E) −2 − 10

162) Si = 3 + 4 , entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) = 3 − 4II) ∙ = 25III) | | = 25

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) I, II y IIIE) Ninguna

r e f e r e n t e

53

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

163) Al resolver: 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 obtenemos:

A) 0

B) 𝑖5 C) 𝑖2 D) −𝑖 E) 𝑖9

164) Al resolver √5

√−10 se obtiene:

A) 2𝑖

B) √2𝑖

2

C) −√2𝑖

2

D) √2

2


165) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?

A) 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧)

B) Si 𝑤 ≠ 0, entonces |𝑧|

|𝑤|= |

𝑧

𝑤|

C) Si 𝑧 ≠ 0, entonces 𝑧−1 =𝑅𝑒(𝑧)−𝐼𝑚(𝑧)

|𝑧|

D) 𝑖5 = 𝑖


166) Las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 6 = 2𝑥, son:

A) Reales iguales

B) Reales distintas

C) Complejas conjugadas

D) Una real y la otra compleja


54

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

167) ¿Dónde se comete un error en el siguiente desarrollo?

(1) − 36 = (6𝑖)2 (2) = 6𝑖 ∙ 6𝑖

(3) = √−36 ∙ √−36

(4) = √−36 ∙ −36

(5) = √1296 (6) = 36

A) En (1)

B) Al pasar de (1) a (2)

C) Al pasar de (2) a (3)

D) Al pasar de (3) a (4)

E) Al pasar de (4) a (5)

168) Sea el número complejo 𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎 y 𝑏 números reales distintos de cero, ¿Cuál

de las siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) || = 𝑎2 + 𝑏2 B) 𝑝 ∙ (1 + 0𝑖) = 𝑎

C) 𝑝−1 =𝑎−𝑏𝑖

𝑎2+𝑏2

D) 𝑝 − = 0

E) 𝑝 ∙ = 𝑝2

169) Si 𝑘 es un número real, ¿Para qué valor de 𝑘 la parte real e imaginaria del número

complejo 2+𝑖

𝑘+𝑖 son iguales?

A) -3

B) 1

C) 2

D) -1

E) 3

170) ¿Cuál de las siguientes opciones tiene como resultado un número imaginario puro?

I) 21 zz + . Si iz 321 += y iz 522 +−=

II) 21 zz . Si iz 211 −−= y iz 22 =

III) ( )2

1z . Si iz +=11

A) Sólo I

B) Sólo II

C) I y III

D) II y III

E) I, II y III

55

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

171) El inverso multiplicativo de i21+ es:

A) i5

2

5

1−−

B) i5

2

5

1−

C) i5

2

5

1+−

D) i21−

E) i21−−

172) El valor de 112i es:

A) 0

B) 1

C) -1

D) I

E) -i

173) El valor de 13−i es:

A) 0

B) 1

C) -1

D) i

E) -i

174) El valor de ( )6511 −+ ii es:

A) 64

B) -64

C) 32

D) -32

E) 16

d e s a r r o l l o

56

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

175) El valor de ( )212617 ii +− es:

A) 1

B) -1

C) i

D) –i

E) 2i

176) Si iz 31+−= entonces 2z es:

A) 8 – 6i

B) -8 + 6i

C) -8 – 6i

D) 6 + 8i

E) -6 + 8i

177) Si iz 53+−= , entonces 21 zz ++ es:

A) 18 – 25i

B) -18 - 25i

C) 18 + 25i

D) 20 + 25i

E) -20 + 25i

178) El valor de 5432

11111

iiiii++++ es:

A) 0

B) 1

C) -1

D) i

E) -i

57

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

179) Si iz −= 21 , iz 22 −= y iz 243 += , entonces ( )32

1

1zz

z+

A) i5

4

5

8+

B) i5

4

5

8−−

C) i5

8

5

4+

D) i5

8

5

4−−

E) i5

8

5

4−

180) Si 𝑧1 = 4 − 2𝑖 y 𝑧2 = 5 + 6𝑖, entonces 𝑅𝑒(𝑧1𝑧2) es:

A) 9

B) 12

C) 14

D) 20

E) 32

181) Son soluciones de la ecuación 0522 =+− xx

I ( )i21+ II ( )i21− III 2

A) I y II

B) I y III

C) II y III

D) Sólo III E) Ninguna

182) La diferencia entre los complejos 1z y

2z es: i63+ , si 𝑧2 = 2𝑧1; entonces 2z vale:

A) - 3 – 6i

B) - 6 -12i

C) 3 – 6i

D) 6 – 12i

E) 6 + 12i

r e f e r e n t e

58

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

183) Si iz −=1 y 12 = zA , entonces A vale:

A) i2

1−

B) i2

1

C) i21+

D) i21−

E) i−−1

184) El valor de ( ) 212 −−− − ii es:

A) i2

B) i2−

C) i2

1−

D) i2

1

E) i−1

185) En la igualdad iix +=+− 312 , x vale

A) 0

B) 1

C) 2

D) -1

E) 3

186) En la igualdad ( )( ) iiyix +=−− 712 los valores de x e y respectivamente son:

A) 2 y 3

B) 3 y 2

C) 2 y -3

D) 3 y -2

E) -2 y -3

59

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

187) Para que i

ix

+

+

1 sea un imaginario puro, x debe valer:

A) 1

B) -1

C) 0

D) 2

E) -2

188) En la ecuación ( ) ziiz 22131 +−=+− , z vale:

A) 2

B) -2

C) 2i

D) -2i

E) 1-2i

189) El valor de Cz que satisface la ecuación 01=−

zz

A) Cualquier complejo

B) 1 y -1

C) 1-2i

D) i

E) -i

190) Si iz 211 −= y iz 32 = , entonces 2

1

z

z es:

A) 2

5

B) 3

5

C) 3

1

D) 3

2

E) 1

60

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

191) El valor absoluto de 34

10

ii

i

+ es:

A) 2

B) 2

1

C) 2

2

D) 1

E) 2

2

192) El conjugado de ( ) 1125 −−− + ii es:

A) i+1

B) i−1

C) i2

1

2

1+

D) i2

1

2

1−

E) i2

1

2

1−−

193) Un complejo cuya parte real es 3 y cuyo valor absoluto es 13 es:

A) i23+−

B) i23+−

C) i23−

D) i33−

E) i33+

194) ¿Cuáles son las raíces de la ecuación 1782 −= xx ?

A) 62 y

B) 35 y

C) iyi 26

D) iyi −+ 44

E) 334433 −−− y

61

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

195) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación ( ) 8632

=−+ xx

A) 11 −y

B) iy1

C) iy −1

D) iy −−1

E) iyi −

196) Se define la operación entre dos números imaginarios, a y b, dada por ( )ibaba =

Respecto a la operación , ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es SIEMPRE verdadera?

A) ba es un número real.

B) ba es un número imaginario.

C) Si dbyca entonces dcba , para dc, imaginarios.

D) Si ba = entonces 0ba


197) Dados dos números complejos, iz 351 −= y iz 242 += , se afirma que:

I) ( ) 9Re 21 =+ zz

II) ( ) izz =+ 21Im

III) ( ) ( ) 8ImRe 2121 =+++ zzzz

¿Cuál(es) de las siguientes es (son) correcta(s)?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

62

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

198) ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a i

i

32

23

+

+?

A) i13

5

13

12+

B) i13

5

13

12−

C) 13

12

13

5−i

D) i13

12

13

5+

E) i13

12

13

5−

199) ¿Bajo qué condición la expresión ( ) ( )dicbia +−+ es un número imaginario?

A) da =

B) db

C) ca =

D) cb

E) ba

200) Sea z el conjugado de un número complejo biaz += . Respecto a z se afirma que:

I) Es de la forma bia−

II) Gráficamente corresponde a una simetría respecto al eje imaginario del plano de Argand

III) ( )zz Re)Re( =

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) correcta(s)?

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

r e f e r e n t e

63

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

201) El módulo de un número complejo z se define como:

( ) ( )22ImRe zzz +=

Al respecto, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) Si 21 zz entonces 21 zz .

B) El módulo del conjugado de z es mayor que el módulo de z .

C) El módulo del conjugado de z es igual que el módulo de z

D) El módulo del conjugado de z es menor que el módulo de z

E) Ninguna de las anteriores.

202) ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ( )( )( )1

11

−

−+

i

ii?

A) i+1

B) i−1

C) 1−i

D) i−−1

E) 2

203) Sean a, b, c y d números reales positivos tales que dcba , al respecto se afirma

que:

I) dicbia ++

II) ( ) ( )dicbia −+ ReRe

III) ( ) ( )dicbia −+ ImIm

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) correcta(s)?

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

64

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

204) Si 1

𝑧= 3 + 𝑖, ¿cuál es el valor de z ?

A) 3

10 10

i+

B) 3

10 10

i−

C) 1 3

10 10

i−

D) 1 3

10 10

i+

E) 5

i

205) Si ,a b y se verifica la igualdad 2a i

ib i

+= +

+, entonces a b+ =

A) -1

B) -3

C) 2

D) -4

E) Otro valor

206) Si a un punto z del plano de Argand se le aplica una rotación en 90° en sentido anti

horario y posteriormente se traslada al origen, se obtiene el punto:

A) zi z−

B) zi i−

C) zi−

D) iz iz−

E) Ninguno de los anteriores.

65

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

207) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. Al sumar un número real con un número complejo se obtiene un número imaginario

puro.

II. Al sumar dos números imaginarios puros no conjugados, se obtiene un número

imaginario puro.

III. Al multiplicar un número imaginario puro con un número real distinto de cero, se

obtiene un número imaginario puro.

A) Sólo II

B) Sólo III

C) I y II

D) II y III

E) I y III

208) El recíproco de la parte imaginaria de 2 8

2 3 2 3i i+

− + es:

A) 18

13

−

B) 13

18

−

C) 1

18

−

D) 18

13

E) Otro valor

209) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a los números

complejos?

A) La suma entre un número complejo y su conjugado coincide con el doble de su parte

real.

B) El producto entre un número complejo y su conjugado coincide con el cuadrado de

su módulo.

C) El cociente entre el conjugado de un complejo no nulo y el cuadrado de su módulo

coincide con su recíproco.

D) Si un número complejo coincide con su conjugado, entonces es un número real.

E) La diferencia entre un número complejo y su conjugado coincide con el doble de su

parte imaginaria.

66

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

210) Sean ,b c . En la ecuación 2 0x bx c+ + = , una de las raíces es 2 3i+ . ¿Cuál es

el valor de b ?

A) 3

B) -3

C) 4

D) -4

E) -5

211) Sean ,a b . Si z a bi= + es un número complejo tal que 2 7 24z i= + , entonces 2b =

A) 3

B) 9

C) -9

D) -5

E) Otro valor.

212) (−1 + 𝑖)20 =

A) 1 + 𝑖20 B) 20𝑖 C) −20𝑖 D) 1024

E) −1024

213) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (1 + 2𝑖)𝑧 − 5 = 0. Entonces 𝑥𝑦=?

A) -1

B) 1

C) -2

D) 2

E) 3

67

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

214) 4 3 7 4z i+ = + . El módulo de z es:

A) 1

B) 3

C) 2

D) 15


215) Si 𝑧1 = (3𝑥 − 4𝑦) + 𝑖 y 𝑧2 = 24 + (𝑥 + 𝑦)𝑖 , 𝑧1 = 𝑧2 entonces 2 2x y+ es:

A) 1

B) 7

C) 13

D) 20

E) 25

216) Se dan los complejos 1z y

2z por el diagrama. Entonces es o son verdaderas:

I) 1 2z z=

II) 1 2z z=

III) 1 2 0z z+ =

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

217) Dada la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tal que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, con 𝑎 ≠ 0 y

𝑎(3 − 5𝑖)2 + 𝑏(3 − 5𝑖) + 𝑐 = 0, donde (3 − 5𝑖) es un número complejo. El producto de las

soluciones es:

A) 34

B) −3 − 5𝑖 C) 34 − 15𝑖 D) −2

E) Indeterminable con los datos dados.

-b

Z2 z

P

X

Y

a

b

-

0

z

Q

0 a

b P

Q

Z1

X

Y

68

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

218) Para que el producto de los complejos 1z b ai= + y 𝑧2 = 𝑏 + (𝑎 −5

𝑏) 𝑖 sea real,

entonces:

A) 2 2 5a

a bb

− =

B) 2 2 5a

b ab

− =

C) 5ab =

D) 2 5ab =

E) 2 5ab− =

219) Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, y se verifica la igualdad

𝑎 + 𝑖

𝑏 + 𝑖= 2 + 𝑖

Entonces 𝑎 + 𝑏 =

A) -1

B) -3

C) 2

D) -4

E) Otro valor

220) Si 𝑓: 𝐶 → 𝐶 y 𝑔: 𝐶 → 𝐶 son funciones de variable compleja tales que 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧 y

𝑔(𝑧) = 𝑧, ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la función identidad en C?

A) (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑧) B) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑧) C) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑧) D) (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑧) E) Ninguna de ellas

69

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

221) El número complejo 𝑧 =2𝑚−2𝑖

1−𝑖 , con 𝑚 un número real e 𝑖 la unidad imaginaria, se

puede expresar como:

A) ( 𝑚 + 1) + ( 1 – 𝑚) ∙ 𝑖

B) ( 𝑚 – 2)

C) ( 𝑚 – 1) + ( 𝑚 – 1) ∙ 𝑖

D) ( 𝑚 + 1) + ( 𝑚 – 1) ∙ 𝑖

E) ( 𝑚 – 2) ∙ 𝑖

222) Si 4𝑖 ∙ ( 𝑥 + 𝑦𝑖) = 8 entonces 𝑥 + 𝑦 =

A) -2

B) 8 + i

C) 2

D) 6

E) 0

223) El valor de la expresión (1 + 𝑖) + (2 + 𝑖2) + (3 + 𝑖3) + (4 + 𝑖4) +⋯+ (15 + 𝑖15) es:

A) 121

B) 120

C) 119

D) 120 – i

E) 120 + i

224) Sea z un número complejo. Si el conjugado de z se multiplica por el inverso aditivo de

z, siempre resulta

A) El inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.

B) El módulo de z.

C) El cuadrado del módulo de z.

D) El inverso aditivo del módulo de z.

E) Ninguno de los resultados anteriores.

70

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

225) Si 𝑧1 = 5 − 3𝑖, 𝑧2 = 2 + 4𝑖 y 𝑧3 = 8 − 𝑖, entonces

𝑅𝑒(𝑧1) + 3 ∙ 𝐼𝑚(𝑧3) − 𝐼𝑚(𝑧2) =

A) -2

B) -1

C) 0

D) 4

E) 12

226) Dados los números complejos 𝑢 = 2(3 + 𝑖) − 𝑖 + 5𝑎 y 𝑤 = 5(5 + 𝑖) + 𝑏𝑖 − 3. Si 𝑢 = 𝑤,

entonces los valores de 𝑎 y 𝑏 son respectivamente.

A) 15

5 𝑦 6

B) 3 𝑦 6

C) 31

5 𝑦 4

D) 16

5 𝑦 − 4

E) 32

5 𝑦 − 4

227) La gráfica del complejo 3 − 4𝑖, está representada en la opción:

71

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

228) Para que el número complejo (3𝑘 + 2𝑖)(3 − 𝑖) sea imaginario puro 𝑘 debe ser:

A) 0

B) 9

2

C) 2

9

D) −9

2

E) −2

9

229) El número equivalente a (1 + √3𝑖)4 es:

A) 8 + 8√3𝑖

B) 8 − 8√3𝑖

C) −8 + 8√3𝑖

D) −8− 8√3𝑖

E) −2 − 8√3𝑖

230) Si “i” es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación se obtiene:

A) –i

B) 0

C) 1

D) 256

E) 512i

231) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es verdadera para los complejos 𝑧1, 𝑧2 y 𝑧3 de

la figura?

I) 𝑧1 = 𝑧3 II) |𝑧2| = |𝑧1| III) −𝑧1 = 𝑧2

A) Solo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

( ) ( )+ − −16 16

2 1 i 1 i

72

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

232) Sea 𝑧 un número complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖. Al operar 2𝑧2 + 𝑧𝑧 se obtiene:

A) 3𝑎2 − 𝑏2 − 4𝑎𝑏𝑖 B) 3𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 C) 3𝑎2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 D) 3𝑎2 + 3𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 E) 3𝑎2 − 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖

233) El producto de (𝑖𝑛+1)2 ∙ 𝑖𝑚+1 es igual a -1, si:

(1) 2𝑛 +𝑚 = 0

(2) 𝑛 =1

2 y 𝑚 = 2

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola


D) Cada una por si sola, (1) y (2)


234) El número complejo z es un número imaginario puro si:

(1) Re( ) Im( )z z

(2) Re( ) Im( ) Im( )z z z− =

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

235) Si 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶 , se puede determinar el valor de z w+ si:

(1) w z=

(2) Re( ) 4z =

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




73

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

236) Se puede determinar el valor de n si:

(1) 1n n − es un número imaginario puro

(2) n es primo

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




237) Se puede determinar el valor de 𝑧 que pertenece al conjunto de los números

complejos si:

(1) 𝑅𝑒(𝑧) = 0

(2) 𝑧 ∈ 𝑅

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola


D) Cada una por si sola (1) y (2)


238) Se puede determinar el valor de 𝑧 ∈ 𝐶 si:

(1) |𝑧| = 1

(2) 𝑅𝑒(𝑧) =√2

2

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




239) Se puede determinar el valor de 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁

(1) 𝑖𝑚 = 𝑖𝑛

(2) 𝑚 + 𝑛 = 6

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




74

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1.11 MÁS MINI-CLASES Y EJERCICIOS EN VIDEO

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

75

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

76

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

77

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

78

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

79

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

80

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

81

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

82

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

2 EJE ÁLGEBRA

El álgebra es una de las ramas más diversas de las matemáticas. En este eje se pretende abarcar

las nociones básicas del álgebra clásica.

La invención y desarrollo del álgebra ha sido uno de los triunfos de la mente humana y aunque

las matemáticas preuniversitarias no logran rozar sus más abstractas ramificaciones, sería un

error subestimar el alcance de estos conocimientos.

Se suele identificar al álgebra con el reemplazo de números o cantidades conocidas con símbolos

cuyo valor no ha sido determinado. Esta es una noción no muy lejana de como empieza el estudio

del álgebra. Para hacer más rigurosa esta noción es bueno presentar ordenadamente los

conceptos con que juega el álgebra:

• Constantes: Son valores conocidos o valores fijos que pertenecen al conjunto numérico en el

cual se está trabajando. No se pretenden determinar sus valores ya sea porque son dados o

porque no constituyen la solución del problema planteado.

• Incógnitas o variables: Son números cuyos valores desconocidos se pretenden determinar.

Para identificarlos se suelen denotar con letras. Ejemplo x, y, z.

La esencia del Algebra clásica consiste en poder concluir valores o conjuntos de valores que

correspondan con estas incógnitas a partir de reglas comunes a todos los números del conjunto

en el que se esté trabajando que sean independientes del valor desconocido, es decir reglas que

se cumplan para cualquier valor.

• Relaciones de orden: Con respecto a un Real dado “y” cualquier número Real “x” siempre

cumple solo una de estas 3 comparaciones:

Equivalentemente x siempre cumple exactamente 2 negaciones.

• Operaciones: Son formas de relacionar elementos de un conjunto. En los Reales usualmente*

se definen el producto (·) y la suma (+). Sus reglas básicas son:

83

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

*(Tanto la resta (-), la división (÷), potenciación (x) o radicación (√) se consideran contenidos en la suma o el producto,

o no constituyen leyes de composición interna en los Reales.)

• Monomios y Polinomios: También denominados términos algebraicos, los monomios se

refieren al término que define el producto de constantes e incógnitas.

La suma de 2 o más monomios se denomina polinomio y pueden ser clasificados según la

cantidad de términos que lo compongan y por el grado del polinomio que es el valor del

exponente mayor entre todas las incógnitas:

• Operaciones: Son formas de relacionar elementos de un conjunto. En los Reales usualmente*

se definen el producto (·) y la suma (+). Sus reglas básicas son:

*(Tanto la resta (-), la división (÷), potenciación(x) o radicación (√) se consideran contenidos en la suma o el producto,

o no constituyen leyes de composición interna en los Reales.)

• Ecuaciones e inecuaciones: En general cuando entre 2 polinomios se plantea una relación de

igualdad estamos hablando de una Ecuación algebraica.

Los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación, es decir los números que al reemplazar

por la incógnita respetan la igualdad planteada se denominan soluciones o raíces de la ecuación.

Las ecuaciones son clasificadas según el grado del polinomio de mayor grado:

Cuando la relación planteada entre los polinomios es una desigualdad se denomina Inecuación y

sus soluciones suelen ser intervalos; subconjuntos de los Reales que cumplen las desigualdades.

En este libro nos enfocaremos en las inecuaciones de primer grado.

84

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

• Sistemas de ecuaciones lineales: Cuando una ecuación lineal tiene 2 incógnitas entonces la

solución dada por una incógnita depende del valor de la otra. Al conjunto de todos los pares de

valores posibles de incógnitas que satisfacen la igualdad se le denomina recta pues si se

graficaran los puntos definidos por cada par se formaría una línea recta en el plano.

• Sistemas de ecuaciones: Varias ecuaciones lineales para la misma cantidad de incógnitas se

denominan Sistemas de ecuaciones. En el caso de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas cada

una entonces existen 3 posibles casos:

• Existe un solo par (x,y) que satisface ambas ecuaciones.

• Ningún par (x,y) cumple ambas ecuaciones al mismo tiempo.

• Todos los pares (x,y) que cumplen una ecuación cumplen la otra.

Para entender esto hay que imaginar cada ecuación como una recta en el plano. Para que un par

(x,y) cumpla las 2 ecuaciones el punto que define tiene que estar en ambas rectas, es decir las

rectas deben cruzarse en ese punto.

Existen 3 casos posibles:

• Las rectas se cruzan en un solo punto. Una solución

• Las rectas no se cruzan (Son paralelas). Sin solución

• Las rectas son iguales. Infinitas soluciones

Una sola solución para el sistema de ecuaciones:

• Funciones: Una función es un tipo de relación entre los elementos de 2 conjuntos dados

llamados Dominio y Codominio de la función.

Aunque hay infinitas funciones todas comparten las siguientes características:

• Todos los elementos del Dominio tienen una sola imagen, es decir, cada uno se relaciona con

un solo elemento del Codominio.

85

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

• Los elementos del Codominio que son imágenes de los elementos del Dominio forman el

Recorrido.

Una función puede ser representada mediante una fórmula que indica que operaciones se deben

aplicar en los valores del Dominio para obtener los valores del Recorrido. Por ejemplo una función

𝑓 que tiene por Dominio al conjunto 1, 2, 3 tal que 𝑓 (1) = 2 ; f (2) = 4 ; 𝑓 (3) = 6 se puede

representar en la fórmula: 𝑓 (x) = 2 x.

El siguiente diagrama resume esto mismo:

Función inversa: La función inversa de una función 𝑓 denominada 𝑓−1 es la función que tiene

por Recorrido al Dominio de f, como Dominio al Recorrido de f y que cumple que:

No es obvio que la función inversa siempre cumpla con las características de ser función. Es por

eso que para que una función 𝑓 tenga una función inversa válida le pedimos 2 cosas:

• El Codominio de 𝑓 debe ser igual a su Recorrido. En tal caso la función 𝑓 se denomina

epiyectiva.

• Cada elemento del Dominio tiene su propia imagen, es decir 2 o más elementos no pueden

tener la misma imagen. En tal caso la función se denomina inyectiva.

Cuando se cumplen ambas características 𝑓 se denomina Biyectiva.

86

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

87

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

2.2 ÁLGEBRA BÁSICA: PRODUCTOS NOTABLES

Y FACTORIZACIÓN 240) Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 y 3𝑏 − 𝑎 + 𝑐 = 5. ¿Cuánto vale 𝑏 − 𝑎?

A) 5

B) 10

C) 5 2⁄

D) 2 5⁄

E) 2

241) Si el área de una figura plana está representada por la expresión:

I) 𝑥3 − 𝑦3, entonces la figura puede ser un rectángulo donde sus lados son (𝑥 + 𝑦) y (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2).

II) 2𝑥2 − 25𝑦4, entonces la figura puede ser un rectángulo de lados (2𝑥 − 5𝑦2) y (𝑥 + 5𝑦2).

III) 𝑥2 + 6𝑥 + 9, entonces la figura puede ser una cuadrado de lado (𝑥 + 3).


A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Sólo I y III

E) Ninguna de ellas

242) En los rectángulos en que el largo (𝑥) es igual al triple del ancho, el área de ellos en

función del largo es:

A) (3𝑥)2 B) 3𝑥2

C) 1

9𝑥2

D) 𝑥2

E) 1

3𝑥2

r e f e r e n t e

88

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

243) La expresión (𝑥2 + 2𝑥 − 15) representa el área, en unidades cuadradas, del

rectángulo ABCD de la figura adjunta, cuyo largo es (𝑥 + 5) unidades. Si el largo aumenta

en 2 unidades y su ancho disminuye 1 unidad, entonces una expresión que representa la

variación del área del nuevo rectángulo con respecto del rectángulo original, en unidades

cuadradas es:

A) 𝑥 + 7

B) 𝑥2 − 2𝑥 − 8

C) 𝑥 − 13

D) −4𝑥

E) −23

244) Si 𝑎 + 𝑏 = 10 y 𝑎𝑏 = 9, entonces el valor de (𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 𝑏2) es:

A) 54

B) 109

C) 154

D) 172


2.3 FRACCIONES ALGEBRAICAS 245) En los números reales, ¿Cuál es el conjunto de todos los números 𝑥, para los cuales

la expresión 𝑥2−3𝑥−10

𝑥2+9 se indetermina?

A) 5, −2

B) −5,2

C) −3,3

D) −9

E) ∅

246) En un terreno rectangular de largo (6𝑥 + 4) metros y ancho (3𝑥 + 2) metros se

construye una piscina rectangular de (3𝑥 − 2) metros de largo y (𝑥 + 2) metros de ancho

y se embaldosa el resto del terreno. Si 𝑥 >2

3 y el área de la región embaldosada es 125

metros cuadrados, ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de 𝑥?

A) 15𝑥2 + 20𝑥 + 12 = 125

B) 15𝑥2 + 28𝑥 + 4 = 125

C) 15𝑥2 + 28𝑥 − 4 = 125

D) 15𝑥2 − 20𝑥 + 12 = 125

E) 15𝑥2 + 28𝑥 + 12 = 125

89

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

247) Determine cuál o cuáles de las siguientes alternativas es falsa(s)

I) La fracción 𝑥2−16

5−2𝑥 se anula para 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −4 .

II) La fracción 4𝑥+1

𝑥2−1 se indetermina solo para 𝑥 = 1.

III) La fracción 𝑥2+6𝑥+9

𝑥2+2𝑥−15 se indetermina para 𝑥 = −3

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

248) Dado los números reales positivos 𝑥 e 𝑦, tales que 𝑥2 + 9𝑦2 = 10𝑥𝑦 con 𝑥 > 3𝑦,

¿Cuál es el valor de la expresión 𝑥+3𝑦

𝑥−3𝑦?

A) -4

B) -2

C) 2

D) 4

E) No se puede determinar un valor numérico

2.4 ECUACIONES 249) Suponiendo que 𝑥 e 𝑦 son reales distintos de cero, y que:

𝑥𝑦 =𝑥

𝑦= 𝑥 − 𝑦, luego 𝑥 + 𝑦 es igual a:

A) −3 2⁄

B) −1 2⁄

C) 0

D) 1 2⁄

E) 3 2⁄

250) Si x 0 es un número real tal que 1

x 3,x

+ = ¿cuáles son los valores de 2

2

1P x

x= +

y de 4

4

1Q x

x= + , respectivamente?

A) 9 y 81

B) 7 y 49

C) 7 y 47

D) 7 y 5

E) Ninguno de los pares anteriores

90

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

251) ¿Para qué valor de x la expresión 𝑥2+𝑥−12

2𝑥2+7𝑥−4 se anula?

A) 0

B) 3

C) −4

D) 1

E) 3 y -4

252) Si 𝑎 ≠ −1, 𝑎𝑥+1−𝑎𝑥−1

𝑎+1=

A) 2

1

a

a +

B) 2

1

a

a +

C) 2

1a +

D) 1x xa a ++

E) 1x xa a −−

253) Para 𝑥 ≠ 0, la expresión (1 +1

𝑥2:1

𝑥) +

1

𝑥2 es igual a:

A) 𝑥3+𝑥+1

𝑥2

B) 1+𝑥(𝑥+1)

𝑥2

C) 1+𝑥2+𝑥

𝑥

D) (𝑥+1)2

𝑥2

E) 𝑥2+𝑥+2

𝑥2

254) Sean 𝑎 , 𝑏 y 𝑝 números reales, tales que 𝑎 > 𝑏 y 𝑝 =𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

𝑎2−𝑏2. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝑝 = −1 B) 𝑝 = 0

C) Si 𝑏 < 0, entonces 𝑝 > 1

D) 𝑝 > 1

E) 𝑏 < 0, entonces 𝑝 < 1

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

91

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

255) Si 𝑥 es distinto de 𝑎, de −𝑎 y de 0, entonces 2𝑥2−2𝑎2

𝑥2−𝑎𝑥:4𝑥+4𝑎

𝑥−𝑎+2𝑎

𝑥 es igual a:

A) 2(𝑥−𝑎)

𝑥

B) −𝑎

𝑥

C) 𝑥+𝑎

𝑥−𝑎

D) 2

E) 3𝑎+𝑥

2𝑥

256) En la ecuación 𝑥𝑎2 − 𝑥𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2, con 𝑎 y 𝑏 números reales tal que 𝑎 ≠ 𝑏,

se puede determinar el valor numérico de 𝑥, si se sabe que:

(1) 𝑏 = 2𝑎

(2) El 50% de (𝑎 + 𝑏) es 6.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




257) La edad de un padre es tres veces la edad de su hijo, hace 6 años la edad del padre

fue 5 veces la edad del hijo. ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del

padre sea dos veces la edad del hijo?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

258) ¿Cuál de las siguientes opciones no es una ecuación con una sola solución?

A) 2 + 4𝑥 − 2𝑥 − 1 = 1

B) 4𝑥 + 6 = 6(𝑥 + 2) − 4𝑥

C) (𝑥 + 4)(𝑥 + 2) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 6) D) 5(𝑥 + 2) = 4𝑥 − 1

E) 4(𝑥 − 1) − 2𝑥 = −4 + 2𝑥

92

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

259) ¿Cuál es el valor de 𝑥 si 𝑥

2+

𝑥

22+

𝑥

23+

𝑥

24= 15?

A) 8

B) 15

C) 16

D) 32

E) 64

2.5 ECUACIONES LITERALES


I) 2, 3 ∈ ]21

10 ,16

5[

II) 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6

III) 𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥

𝑎𝑥+𝑎𝑥= 𝑎2𝑥

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

261) Para qué valor de 𝑝 , la ecuación 2−𝑥

𝑥+4= 𝑝, no tiene solución

A) 3

B) 2

C) 1

D) 0

E) -1


I) La ecuación 3𝑥 + 1 = 5𝑥 − 3, tiene única solución.

II) La ecuación 2𝑥 + 𝑥 + 5 = (2𝑥 + 1) + (𝑥 − 9) no tiene solución

III) La ecuación 4𝑥 + 8 = 4(2 + 𝑥) tiene infinitas soluciones

A) Sólo I

B) Solo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) Sólo I, II y III

93

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

263) Sean 𝑝 y 𝑞 números reales no nulos y 𝑝 ≠ 1, el valor de 𝑥 en la ecuación

1

𝑞−𝑝

𝑥=

1

𝑝𝑞−

1

𝑥 es:

A) 0

B) 1

C) −𝑞

D) 𝑝𝑞

E) −𝑝𝑞

264) ¿Qué condición debe cumplir el parámetro 𝑎 , para que la ecuación

𝑎(𝑥 + 𝑎) − 𝑥 = 𝑎(𝑎 + 1) + 1 no tenga solución?

A) 𝑎 = −2

B) 𝑎 = 2

C) 𝑎 = 0

D) 𝑎 = −1

E) 𝑎 = 1

265) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a “𝑥” en la ecuación de primer grado

5𝑝 = 10𝑝𝑥 − 5𝑥, con 𝑝 ≠ 1 2⁄ ?

A) 𝑝

2𝑝+1

B) 𝑝

2𝑝−1

C) 𝑝

5𝑝−1

D) 2𝑝

2𝑝−1


266) En la ecuación con 𝑛 ≠ 1: 2 + 𝑛𝑥 = 𝑛 + 𝑥 + 1 , el valor de 𝑥 es:

A) 2𝑛−1

2

B) 𝑛−1

𝑛

C) 𝑛−1

2𝑛

D) 1

E) 0

94

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

267) ¿Qué valor(es) debe tener “𝑝” para que la ecuación en 𝑥, 7

2𝑥 − 𝑝𝑥 = 3 −

𝑥

2 tenga

solución única?

A) 𝑝 < −4 B) 𝑝 > 4

C) 𝑝 ≠ 4

D) 𝑝 < 4 E) 𝑝 = 4

268) ¿Para qué valor de m la ecuación 2mx x− = , no tiene solución?

A) 1

B) -1

C) 0

D) 2

E) -2

269) Si 𝑥2 + 52 = (𝑝 − 𝑥)2 , entonces x es igual a:

A) 𝑝2−52

2

B) 𝑝2−52

2𝑝

C) 𝑝−5

2

D) 𝑝2−5

2𝑝

E) 𝑝+5

2

270) Si 2𝑝−3𝑏

2=

2(𝑏+𝑝)

3 , entonces 𝑝 es siempre igual a:

A) 13𝑏

2

B) −5𝑏

2

C) 13𝑏

10

D) 5𝑏

2


95

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

271) ¿Cuál es el valor de 𝑚 si se cumple que: (2𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑚?

A) 𝑎𝑏

B) −𝑎𝑏

C) 2𝑎𝑏

D) −2𝑎𝑏

E) −4𝑎𝑏

2.6 FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN

272) Los datos de la tabla adjunta representan una función lineal 𝑓(𝑥). Si 𝑎 ≠ 0 , ¿Cuál es

el valor de 𝑏

𝑎?

𝒙 𝒇(𝒙) 9 3 −15 −5

𝑎 𝑏 A) 3

B) -3

C) 1

3

D) −1

3

E) √3

273) Si A es el área de un círculo y P su perímetro, entonces P en función de A se expresa

como:

A) =A

P(A)2

B)

=2 A

P(A)

C)

=2A

P(A)

D) =P(A) 2A

E) =P(A) 2 A

d e s a r r o l l o

96

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

274) Sea 𝑎 un número real distinto de cero y 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , con

dominio los números reales. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es FALSA, respecto

a 𝑓 para algún valor de 𝑎?

A) La imagen de 𝑎 es un número real no negativo.

B) La imagen del triple de un número es el triple de la imagen del número

C) La preimagen del cero es cero.

D) La preimagen de un número entero es un número entero.

E) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes.

275) Si se supone que un modelo para la temperatura T en grados Celsius (°𝐶), de un

líquido recién vertido en un recipiente está dado por 𝑇(𝑡) = 80 − 10𝑡 , donde 𝑡 es el

tiempo transcurrido en minutos desde el instante en que fue vertido. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La temperatura disminuye en función del tiempo.

II) La temperatura del líquido disminuye a razón de 10°C por segundo.

III) El líquido fue vertido a 80°C.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

276) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones con dominio el conjunto de los números reales definidas por

𝑓(𝑥) =2𝑥−5

2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, entonces 𝑔(𝑓(𝑥)) es igual a:

A) 2(𝑥 − 3) B) 2𝑥 + 6

C) 2(𝑥 − 2) D) (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) E) 𝑥 − 6

97

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

277) ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se puede(n) escribir como una función de la

forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, con 𝑘 una constante y con dominio el conjunto de los números reales

positivos?

I) El área de una circunferencia en función de su radio.

II) La altura de un triángulo equilátero en función de su lado.

III) El cateto de un triángulo rectángulo isósceles en función de su hipotenusa.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

278) Sean las funciones 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ, todas con dominio el conjunto de los números reales,

definidas por 𝑓(𝑥) =−1

2𝑥 , 6𝑥 − 3𝑔(𝑥) − 3 = 0, 6𝑥 + 5ℎ(𝑥) − 15 = 0 . ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera?

A) 𝑓(𝑥) es inversamente proporcional a 𝑥.

B) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 son paralelas

C) La recta que representa la gráfica de 𝑔 intersecta al eje de las ordenadas en el punto

(0,1)

D) 𝑔(3) = ℎ(5) + 8

E) 2𝑓(2) = ℎ(5)

279) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones, ambas con dominio en conjunto de los números reales,

definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 6 y 𝑔(𝑥 − 3) = 4𝑥 − 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es

igual a (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)?

A) 4𝑥 + 16

B) 4𝑥 + 34

C) 4𝑥 + 22

D) 4𝑥 − 22

E) 4𝑥 − 34

98

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

280) Sea 𝑓 una función, con dominio el conjunto de los números reales, definida por

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 un número real distinto de cero y 𝑛 un número entero positivo, tal que

0 < 𝑛 ≤ 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Para cualquier 𝑚 y 𝑛, las gráficas de las funciones son simétricas respecto al origen.

B) Si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces 𝑎 = 𝑏, para todo 𝑛 y 𝑚.

C) La función 𝑓 no puede ser decreciente.

D) Si para 𝑛 = 1 se tiene que 𝑓 se denota por 𝑔, para 𝑛 = 2 se tiene que 𝑓 se denota por

ℎ y para 𝑛 = 3 se tiene que 𝑓 se denota por 𝑡, entonces hay al menos un punto donde

se intersectan las gráficas de 𝑔, ℎ y 𝑡.

E) Para 𝑚 > 0 y para 𝑛 un número par, el recorrido de 𝑓 es el conjunto de los números

reales positivos.

281) Sea 2𝑓(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 − 𝑔(𝑥) + 1 = 0 y ℎ(𝑥 + 1) = 2𝑥 + 3. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 son

perpendiculares.

II) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑔 y ℎ se intersectan

en el punto (0,1).

III) ℎ (−1

2) = 0

A) solo I

B) solo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

2.7 SISTEMAS DE ECUACIONES

282) Dado el sistema de ecuaciones 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑚𝑐𝑥 − 𝑑𝑦 = 𝑛

. ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (o son) siempre verdadera(s)?

I) Si 𝑎

𝑐≠

𝑏

𝑑, el sistema tiene única solución.

II) Si 𝑎

𝑐=

𝑑

𝑏=

𝑚

𝑛, el sistema tiene infinitas soluciones

III) Si 𝑎

𝑐=

𝑏

𝑑≠

𝑚

𝑛, el sistema no tiene solución

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

99

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

283) Hallar el valor de 𝑝 de modo que el sistema no tenga soluciones:

(𝑝 − 1)𝑥 + 2𝑦 = −3(𝑝 + 2)𝑥 + 4𝑦 = −1

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8


284) ¿Cuánto debe valer 𝑝 si el sistema: 𝑝𝑥 = 3 + 2𝑦 − 𝑥𝑝𝑥 + 𝑦 = 1

no tiene solución?

A) −1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 2⁄

D) −1 3⁄

E) No existe tal valor de 𝑝

285) ¿Cuánto debe valer 𝑘 si el sistema: (𝑥 − 𝑦)𝑘 + 𝑥 = 2(𝑦 + 1)

6𝑥 − 8𝑦 − 4 = 0 tiene infinitas

soluciones?

A) 4

B) -3

C) 3

D) 2

E) -2

286) ¿Cuánto debe valer “𝑟” si el sistema 𝑟𝑥 − 𝑟𝑦 = 2 + 2𝑦 − 𝑥

6𝑥 − 8𝑦 = 4 tiene única solución?

A) 𝑟 ≠ −2

B) 𝑟 = 2

C) 𝑟 ≠ 2

D) 𝑟 = 3

E) 𝑟 ≠ 3

100

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

287) En el sistema 𝑥 = 1 − 5𝑦𝑘𝑥 = 6 − 2𝑦

determine el valor de 𝑘 para que el sistema no sea

compatible:

A) 2

B) 1 6⁄

C) −5 2⁄

D) 10

E) 2 5⁄

288) El sistema 2𝑥 − 𝑦 = 36𝑥 − 3𝑦 = 9

A) Tiene solución única

B) Tiene infinitas soluciones

C) Tiene dos soluciones

D) No tiene solución


289) Los valores de 𝑥 e 𝑦 respectivamente del siguiente sistema de ecuaciones son:

12

𝑥+15

𝑦= 6

3

𝑥+4

𝑦=2

3

A) −3

10 y

3

14

B) 3

14 y

−3

10

C) 3

7 y

−3

10

D) 3

14 y

3

10


290) ¿Qué relación deben cumplir 𝑎 y 𝑏 en el sistema 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 5𝑏𝑥 + 2𝑦 = 6

para que éste no

tenga solución?

A) 𝑎 = 3𝑏

B) 𝑎 = 2𝑏

C) 𝑎 =2

3𝑏

D) 𝑎 =3

2𝑏

E) 𝑎 =1

3𝑏

101

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

291) En el sistema 2√𝑦 + 𝑥 − 3√𝑦 − 𝑥 − 3 = 0

3√𝑦 − 𝑥 + 5√𝑥 + 𝑦 − 18 = 0, 𝑥 e 𝑦 valen, respectivamente:

A) 4 y 5

B) 5 y 4

C) 3 y 2

D) -2 y 5

E) 4 y -2

292) ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas no tiene(n) solución?

I) 𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 − 8𝑦 = 1

II) 2𝑥 − 𝑦 = 54𝑥 − 2𝑦 = 10

III) 𝑥 − 3𝑦 = 2

5𝑥 − 15𝑦 = 10

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

293) ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) solución única?

II) 2𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 − 𝑦 = 1 − 𝑦

II) 4𝑥 − 𝑦 = 5

2(2𝑥 − 1 + 𝑦) = 10 + 2𝑦 III)

4𝑥 − 𝑦 = 93𝑥 + 𝑦 = 7

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

294) El sistema

=−+

=−+

01236

042

yx

tyx , tendrá infinitas soluciones si 𝑡 es igual a:

A) – 4

B) – 1

C) 1

D) 2

E) 4

102

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

295) ¿Cuál es el valor de m para que el siguiente sistema dado tenga infinitas

soluciones?

5𝑥 − 𝑦 = 9

(𝑚 + 1)𝑥 − 4𝑦 = 36

A) 4

B) 5

C) 19

D) 20

E) 36

296) ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 43 =+− yx con

0=+− yx ?

A) B) C)

D) E)

297) En un cajón solo hay fichas blancas y rojas. De estas, 𝑎 son rojas y 3𝑏 son blancas. Si

se saca la quinta parte de las fichas rojas, entonces el cajón queda con un total de 70

fichas. En cambio, si se agrega un 50% del total de fichas blancas y se quitan 2 fichas

rojas, entonces el cajón queda con un total de 93 fichas. ¿Cuál es el total de fichas que

había inicialmente en el cajón?

A) 50

B) 60

C) 80

D) 81

E) 82

103

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

298) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 𝐿1: 5𝑥 − 𝑦 = 9

𝐿2: (𝑎 − 1)𝑥 − 5𝑦 = 45

Si se resta el valor de “𝑎” que hace que el sistema tenga infinitas soluciones, con el valor de

la pendiente de 𝐿1 y el resultado, se resta con el coeficiente de posición de 𝐿1. ¿Qué valor

se obtiene?

A) 12

B) 20

C) 22

D) 30

E) 45

299) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 3𝑥 +𝑚𝑦 = 𝑛1,5𝑥 + 2𝑦 = 5

, si 𝑚 y 𝑛 toman los valores

que hacen que el sistema tenga infinitas soluciones. ¿Cuál es el resultado de 𝑚2

𝑛 ?

A) 1,4

B) 1,6

C) 2,1

D) 2,4


300) Sea el siguiente sistema de ecuaciones 2𝑥 − 𝑦 = 4𝑥 + 𝑎𝑦 = −3

. ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (o son) verdadera(s)?

I) Si 𝑎 =−1

2, el sistema no tiene solución.

II) Si 𝑎 =1

2, el sistema tiene única solución y además las rectas se intersectan

perpendicularmente.

III) Si 𝑎 = 2, el sistema tiene única solución.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

301) El sistema 𝑎𝑥 + 6𝑦 = 26𝑥 + 𝑏𝑦 = 3

tendrá infinitas soluciones si y sólo si:

A) 𝑎 = 6

B) 𝑎 = 6 y 𝑏 = 6

C) 𝑎 = 4 y 𝑏 = 9

D) 𝑎 = 12 y 𝑏 = 18

E) 𝑎 = 9 y 𝑏 = 4

104

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

302) En el sistema de ecuaciones 𝑎 ≠ −𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 1

, luego (𝑥 + 𝑦)−1 =

A) 1

B) 𝑎 − 𝑏

C) 𝑎 + 𝑏

D) 1

𝑎+1

𝑏

E) 𝑎𝑏

303) El sistema de ecuaciones mostrado a continuación, con 𝑎 y 𝑏 no nulos, verifica que

𝑥 + 𝑦 es igual a:

(𝑎𝑥)2 − (𝑏𝑦)2 = 1𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1

A) 𝑎−1 B) 𝑎−1 + 𝑏−1 C) 0

D) 4𝑎 +1−4𝑎2

𝑏

E) 1 +1−𝑎

𝑏

304) Sea el sistema 𝑥 − 𝑦 − 𝑢 = 0𝑥 − 2𝑦 − 3𝑢 = 0

determine 𝑥: 𝑦

A) 2 1⁄

B) 2 3⁄

C) −1 2⁄

D) 1 2⁄


305) Se tienen $15.500 en monedas de $100 y $500. Si en total hay 75 monedas, Entonces

la cantidad de monedas de 100 menos la cantidad de monedas de 500 es:

A) 15

B) 20

C) 30

D) 35

E) 55

105

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

306) Un vehículo ha recorrido 𝑝𝑞 kilómetros, donde 𝑝 es el dígito de las decenas y 𝑞 el dígito

de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es 10. Quince kilómetros

más adelante ha recorrido 𝑞𝑝 kilómetros, donde 𝑞 es el dígito de las decenas y 𝑝 el dígito de

las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas permite determinar los kilómetros recorridos?

A) 𝑝 + 𝑞 = 10𝑝 − 𝑞 = 15

B) 𝑝 + 𝑞 − 10 = 0

𝑝𝑞 = 15

C) 𝑝 + 𝑞 = 109𝑝 − 9𝑞 = 15

D) 𝑝 + 𝑞 = 10

𝑝 − 𝑞 =−5

3

E) 𝑝 + 𝑞 = 10

𝑞 − 𝑝 =3

5

307) El par de números 𝑥 =−5

2 e 𝑦 =

3

5 es solución del sistema

𝑎𝑥 − 𝑦 = 43𝑥 − 𝑏𝑦 = 2

El valor de √(25𝑎 − 6𝑏)

A) 5

B) 7

C) 49

D) 64

E) No está definido en los reales

308) Mateo retira del banco $5.750.000.- en billetes de $5.000 y $20.000.- Si le entregaron

en total 550 billetes, ¿Cuántos billetes de $20.000 recibió?

A) 120

B) 150

C) 200

D) 350

E) 400

309) La solución del sistema de ecuaciones 𝑥 − 2𝑦 = 52𝑥 − 𝑦 = 7

es el punto:

A) (4,-1)

B) (3,-1)

C) (-3,1)

D) (-3,-1)

E) (1,-3)

d e s a r r o l l o

106

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

2.8 FUNCIÓN EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y

RAÍZ CUADRÁTICA

310) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función 𝑦 = √𝑥2?

311) Sean 𝑓 y 𝑔, tales que, 𝑔(𝑥) = 4, para 𝑥 ≥ 3; 𝑔(𝑥) = −4 para 𝑥 < 3 y 𝑓(𝑥) = √𝑥, para

𝑥 ≥ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑓(𝑔(𝑥)) no está definida para 𝑥 < 3.

II) 𝑓(𝑔(4)) = 𝑔(𝑓(4))

III) 𝑔(𝑓(𝑥)) está definida para todos los números reales.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

312) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥2 +√𝑥2 + 21, entonces 𝑓(−2) es igual a:

A) 1

B) 2 + √17

C) 3

D) 7

E) Ninguno de los valores anteriores

313) Si 𝑓(𝑥) = 4 ∙ 2𝑥−2, entonces 𝑓(−1) es:

A) 2

B) 2−1

C) 1 4⁄

D) 4

E) 1 8⁄

r e f e r e n t e

107

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

314) Si 𝑓(𝑥) = 2−1𝑥2 tiene como dominio el conjunto de los números reales, ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El gráfico de 𝑓 intersecta a la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 en dos puntos.

II) El gráfico de 𝑓 es el mismo que el de 𝑔(𝑥) = 2−1𝑥4. III) El gráfico de 𝑓 tiene su vértice en el origen (0,0).

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Solo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

315) Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 𝑘, cuyo dominio es el intervalo [−𝑘

2, ∞[. Si

la pre-imagen de 4 es 3, ¿Cuál es el valor de 𝑘?

A) -14

B) -6

C) 10

D) 4

E) 16

316) Sea la función 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 − 1. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la

función, respectivamente?

A) ]−∞,−1] 𝑦 [−1,+∞[ B) ]−∞,−1] 𝑦 [1, +∞[ C) ]−∞, 1] 𝑦 [−1,+∞[ D) ]−∞, 1] 𝑦 [1, +∞[ E) ]−∞,−1] 𝑦 [0, +∞[

317) La función real que está mejor representada en la figura del gráfico de la figura

adjunta es:

A) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑝 − 𝑞

B) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 𝑞 − 𝑝

C) ℎ(𝑥) = √𝑥 + 𝑝 + 𝑞

D) 𝑗(𝑥) = √𝑥 + 𝑞 + 𝑝

E) 𝑘(𝑥) = √𝑥 − 𝑝 + 𝑞

108

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

2.9 ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

318) La ecuación 𝑦 − 𝑎 = 0, representa una función constante, ¿Cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Su dominio es el conjunto de los números reales.

II) Su recorrido es 𝑎. III) Su representación gráfica es una recta paralela al eje de las ordenadas.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

319) Sea la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0. ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si 0a , entonces la función tiene un máximo.

II) Si 0c = , la gráfica de la función pasa por el origen.

III) Si 0, 0 0b a y c= , entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos

puntos.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

320) La función 273)( 2 +−= xxxf se representa gráficamente. ¿Qué gráfico le representa

mejor?

d e s a r r o l l o

109

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

321) La altura ℎ de un clavadista (en metros) en función 𝑡 del tiempo que transcurre desde

que salta del trampolín (en segundos) está dada por la ecuación ℎ = 100 + 𝑡 − 5𝑡2. ¿En

qué momento se encuentra a una altura de 58 metros?

A) 3 segundos después del lanzamiento

B) 4 segundos después del lanzamiento

C) 14 segundos después del lanzamiento

D) 16 segundos después del lanzamiento

E) 3 y 14 segundos después del lanzamiento

322) El vértice de la parábola que representa a la función ( ) ( )2

4 1 3f x x= − +

corresponde al punto:

A) ( )1, 3

B) ( )2, 7

C) ( )4, 2

D) ( )1, 3−

E) ( )1, 19−

323) Para que la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, definida por ( ) ( )2

3 2 1= − +f x x , sea biyectiva,

¿cuál debe ser el dominio y cuál el recorrido, respectivamente?

A) IR y IR+

B) 2, + y 1, +

C) 2, − + y 1, − +

D) 2, + y 1, − +

E) 2, − + y 1, +

324) Daniel para una tarea debe cortar, en forma rectangular, un cartón cuya área debe ser

de 1.000 𝑐𝑚2, donde el largo (𝑥) debe exceder al ancho en 25 𝑐𝑚. ¿Cuál de las siguientes

ecuaciones permite a Daniel determinar el largo y el ancho del cartón en 𝑐𝑚?

A) 𝑥2 − 25𝑥 − 1000 = 0

B) 𝑥2 + 25𝑥 − 1000 = 0

C) 𝑥2 − 25 = 1000

D) 𝑥2 + 25 − 1000 = 0

E) 4𝑥 + 25 − 1000 = 0

d e s a r r o l l o

110

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

325) Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 2, con 𝑎 ≠ 0 y dominio el conjunto de

los números reales. El valor de 𝑥 donde la función alcanza su valor mínimo es:

A) −1

B) 2𝑎

C) −2𝑎

D) −4𝑎2 + 2

E) 4𝑎2 + 2

326) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las

funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑝, con dominio los números reales?

I) Si 𝑝 = 0 la gráfica de 𝑓 tiene su vértice en el origen (0,0).

II) Si 𝑝 < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica 𝑓 intersecta al eje de las

ordenadas es positiva.

III) Si 𝑝 > 0, entonces la gráfica intersecta al eje X en dos puntos.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

327) Las soluciones de la ecuación 2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) = 5 están representadas en:

A) 3 ±√5

2

B) −3 ±√5

2

C) 3±√10

2

D) −3±√10

√2

E) 3 ±√10

2

328) ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de 𝑝, para que la ecuación en 𝑥,

(𝑥 − 2𝑝)2 + 4𝑝 = 0 ; tenga dos soluciones reales y distintas?

A) ]0,∞[ B) ]−∞, 0] C) ]−∞, 0[ D) [0,∞[ E) ∅

111

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

329) Se amarra con un cordel una vaca en la esquina de una reja con el objetivo de que

paste en un prado que se representa en la zona achurada de la figura 2. ¿Cuál debe ser

la longitud del cordel para que al alargarlo 12 m, el área en que pueda pastar la vaca se

cuadruplique?

A) 4 m

B) 6 m

C) 10 m

D) 12 m

E) 24 m

330) Un profesor tiene una cuerda de largo M 𝑐𝑚 y con la totalidad de la ella construye los

bordes de un rectángulo no cuadrado de área 𝐴 𝑐𝑚2. ¿Cuál de las siguientes expresiones

representa la longitud del lado menor de dicho rectángulo, en 𝑐𝑚?

A) 𝑀−√𝑀2−4𝐴

2

B) 𝑀+√𝑀2−4𝐴

2

C) 𝑀−√𝑀2−16𝐴

4

D) 𝑀+√𝑀2−16𝐴

2

E) 𝑀−√𝑀2−16𝐴

2

331) La altura 𝑓(𝑡) alcanzada, medida en metros, de un proyectil se modela mediante la

función 𝑓(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡2, donde 𝑡 se mide en segundos desde que se lanza hasta que

toca el suelo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta

información?

I) El proyectil cae a 10 metros de distancia de donde fue lanzado.

II) A los 10 segundos desde que el proyectil es lanzado, éste alcanza su altura

máxima.

III) A los 10 segundos el proyectil cae al suelo.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

112

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

332) Si la ecuación (3𝑝 − 3)𝑥2 + 2(3𝑝 − 1)𝑥 + 3𝑝 − 1 = 0, en 𝑥, con 𝑝 un número real

distinto de 1, tiene dos soluciones reales distintas, entonces:

A) 𝑝 =1

3

B) 𝑝 = 3

C) 𝑝 >1

3

D) 𝑝 < 3

E) 𝑝 <1

3

333) La parábola que representa a la gráfica de una función cuadrática, cuyo domino es el

conjunto de los números reales, intersecta al eje de las ordenadas en el punto 𝐴(0,3) y

tiene su vértice en el punto 𝐵(−2,−1). ¿Cuál de las siguientes funciones, con dominio el

conjunto de los números reales, está asociada a esta parábola?

A) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

B) ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 2

C) 𝑝(𝑥) =𝑥2

2− 2𝑥 + 2

D) 𝑚(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3


334) Sean las funciones 𝑓 y 𝑔, ambas con dominio en conjunto de los números reales,

definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 y 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) Las gráficas de 𝑓 y 𝑔 se intersectan en el segundo cuadrante.

II) Si 𝑥 = 4, entonces 2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥) + 700 = 40.

III) Las pre-imágenes del 7 según la función 𝑓 son 3 y -3.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

113

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

335) ¿Cuál(es) de la siguientes relaciones se representa(n) como una función cuadrática?

I) El radio “𝑟” de un cono de altura 6 en función de su volumen.

II) El lado de un rectángulo de área 25 𝑐𝑚2 en función del otro lado 𝑥.

III) El lado de un cuadrado en función de du diagonal 𝑑.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas

336) Si 0 ya a b , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) a b a b+ −

II) a b b a+ −

III) a b b a− −

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

2.10 INECUACIONES 337) ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos contiene elemento(s) que satisfacen la

inecuación 2 7 12x x+ + ?

I) El conjunto de los números reales menores que 5

II) El conjunto de los números reales mayores que 5

III) El conjunto formado solo por el número 5

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

338) Ivan tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $500. Si le regalaran otras 4

de estas monedas, tendría menos de $30.000, pero si gastara $5.000 le quedarían más

de 10 monedas de $500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera, con

respecto al dinero que tiene Ivan?

A) Tiene $10.000

B) Tiene $28.000

C) Tiene más de $28.000

D) Tiene más de $10.000 y menos de $28.000

E) Tiene más de $5.000 y menos de $30.000

114

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

339) La solución gráfica del sistema de inecuaciones 53

514

−

+

x

x es:

340) En un ∆ 𝐴𝐵𝐶 , 𝐵𝐶 = 𝑛, 𝐴𝐶 = 𝑥 + 1 y 𝐴𝐵 = 2𝑥 + 1. Si 𝑥 ≥ 1, entonces 𝑛 pertenece al

intervalo:

A) ]𝑥; 3𝑥 + 2[ B) ]−𝑥; 3𝑥 + 2[ C) ]𝑥; 3𝑥 − 2[ D) ]1; 3𝑥 + 2[ E) ]1 + 𝑥; 3𝑥 + 2[

341) Si a los números mayores que -4 y menores que -1 se les resta −𝑎 y luego se divide

por el número entero negativo 𝑝, entonces los números que se obtienen son siempre

mayores que:

A) 1−𝑎

𝑝

B) 𝑎+1

𝑝

C) 𝑎−4

𝑝

D) 4−𝑎

𝑝

E) 𝑎−1

𝑝

115

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

342) Sean 𝑎 y 𝑏 números reales tales que 0 < 𝑎 < 𝑏 . El intervalo solución para 𝑥 en el

sistema de inecuaciones 𝑏𝑥 + 𝑎 < 𝑏𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑎

es:

A) ]−∞,𝑏−𝑎

𝑏[

B) ]𝑎−𝑏

𝑎,𝑏−𝑎

𝑏[

C) ]𝑎−𝑏

𝑎, +∞[

D) ]𝑏−𝑎

𝑏, +∞[

E) ]−∞,𝑎−𝑏

𝑎[

343) Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son)

verdadera(s)?

I) 2 – 2x < 2 + 2x

II) 3 – 2x < 3 – x

III) 1 + 2x < (1 + x) 2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

344) Si 0 x 1 , entonces se cumple que:

A) x x

B) 1

xx

C)

1x

x

D) 4 2x x

E) 3x x

345) ¿Cuáles son todos los valores de “𝑥” que satisfacen simultáneamente las

inecuaciones 1

𝑥+2> 1 𝑦 2𝑥 + 1 ≤ 3 − 𝑥 ?

A) 𝑥 < −1 𝑦 𝑥 ≠ −2

B) −2 < 𝑥 < −1

C) 𝑥 ≤2

3 𝑦 𝑥 ≠ −2

D) −2 < 𝑥 ≤2

3

E) −1 < 𝑥 ≤2

3

116

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

2.11 FUNCIÓN POTENCIA

346) Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, con 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0, entonces su función inversa esta dado por

A) 𝑓−1(𝑥) =𝑥

𝑏− 𝑎

B) 𝑓−1(𝑥) =1

𝑎𝑥+𝑏

C) 𝑓−1(𝑥) =𝑥

𝑎− 𝑏

D) 𝑓−1(𝑥) =𝑥−𝑏

𝑎

E) 𝑓−1(𝑥) =1

𝑎𝑥+1

𝑏

347) ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la función real 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)5 +1?

2.12 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 348) Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital total

después de dos años?

A) $ 60.000

B) $ 60.500

C) $ 70.000

D) $ 90.000

E) $ 110.000

r e f e r e n t e

d e s a r r o l l o

117

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

349) Si un capital C se invierte a una tasa anual de 𝑟 por ciento de interés compuesto 𝑛

veces al año, entonces la cantidad P en al cuenta al final de 𝑡 años está dada por:

𝑃 = 𝐶 (1 +𝑟

100𝑛)𝑛𝑡

Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se

tendrá, en pesos, una cantidad de:

A) 50.000 ∙ (1,06)4 B) 50.000 ∙ (1,06)3 C) 50.000 ∙ (1,18)4 D) 50.000 ∙ (1,015)3 E) 50.000 ∙ (1,015)4

350) Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2% de interés compuesto mensual.

¿Cuál es el valor más cercano a lo que ganará al cabo de tres meses, si no hace retiros ni

depósitos en ese período?

A) $ 106.000

B) $ 106.121

C) $ 6.000

D) $ 8.080

E) $ 6.121

351) Una persona dispone de un capital inicial 𝐶0 y desea efectuar un depósito a plazo. En

un banco le ofrecen duplicar su capital al cabo de 3 años con una tasa de interés

compuesta anual, pero no le indican el valor de ella. ¿Cuál sería el valor de dicha tasa de

interés?

A) 100(√23

+ 1)%

B) 100(√23

− 1)%

C) 100(√𝐶03 )%

D) 100(√2𝐶03 − 1)%

E) 100(√𝐶0

2

3− 1)%

118

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

352) Agustina depositó $ 800.000 en un banco al 5% de interés compuesto anual. ¿Cuál de

las siguientes expresiones permite calcular el tiempo, en años, en que su dinero se

duplicará, sin hacer depósitos ni retiros en ese tiempo?

A) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000−800.000

1,5)

B) log1.600.000−log800.000

log1,5

C) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000

800.000∙1,05)

D) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000−800.000

1,05)

E) 𝑙𝑜𝑔1.600.000−𝑙𝑜𝑔800.000

𝑙𝑜𝑔1,05

353) Pedro gana $200. 000. 000 en un juego de azar y decide depositar la mitad de este

dinero en un banco a régimen de interés compuesto. Si el interés acordado con el banco

es del 1,02% por períodos de 90 días; entonces, luego de 4 períodos de capitalización,

¿a cuánto asciende el capital acumulado de Pedro, suponiendo que no hace retiros ni

depósitos adicionales de dinero y que la tasa de interés se mantiene fija?

A) A $ (4 ∙1,02

100∙ 100.000.000)

B) A $ (1,02

100∙ 100.000.000)

C) A $ ((1,02

100)4∙ 100.000.000)

D) A $ (100.000.000 ∙ (1 + 4 ∙1,02

100))

E) A $ (100.000.000 ∙ (1 +1,02

100)4)

119

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

354) ¿Cuánto debe invertir una persona, en régimen de interés compuesto, para obtener

$ 5. 000. 000 en un período de 3 meses, si la tasa de interés es del 1,5% mensual?

A) $5∙106

(1,015)3

B) $5∙106

(1,15)3

C) $5 ∙ 106 ∙ (1,015)3

D) $5 ∙ 106 ∙ (1,15)3


355) Un capital de $P se deposita en un banco que ofrece el 0,5% de interés compuesto

mensual. Si no hay retiros ni depósitos adicionales de dinero, ¿Cuál es el capital

acumulado al cabo de 3 meses?

A) $(𝑃 + 1,005)

B) $3,015 𝑃

C) $1,015 𝑃

D) $1, 005 𝑃

E) $(1, 005)3 𝑃

356) Un capital de $P se coloca en un banco de interés simple. Si el interés acordado con

el banco es del 0,85% por períodos de 35 días; entonces, luego de 6 períodos de

capitalización, ¿a cuánto ascienden las ganancias obtenidas por este capital, suponiendo

que no hay depósitos adicionales de dinero y que la tasa de interés se mantiene fija?

A) A $ (6 ∙0,85

100∙ 𝑃)

B) A $ (0,85

100∙ 𝑃)

6

C) A $ (0,85

100)6∙ 𝑃

D) A $ [𝑃 ∙ (1 + 6 ∙0,85

100)]

E) A $ [𝑃 ∙ (1 +0,85

100)6]

120

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

357) Se depositan $350. 000 en un banco al 10% mensual simple. ¿En cuánto tiempo el

monto acumulado es el triple de lo depositado inicialmente?

A) 2 meses

B) 5 meses

C) 10 meses

D) 20 meses

E) 24 meses

358) En una tienda comercial, se pagaron 10 cuotas de $28. 000 por un articulo. ¿Cuál fue

la tasa de interés simple aplicada si el artículo tenía un precio contado de $200. 000?

A) 0, 04 %

B) 0,4%

C) 4%

D) 25%

E) 0,25%

359) Se depositan $100. 000 con 5% de interés compuesto mensual. ¿Cuánto dinero se

habra ganado una vez que transcurran 2 meses?

A) $ 10. 250

B) $110. 250

C) $ 11.025

D) $111. 025

E) Otro valor

360) Si $20.000 se invierten al 2% de interés simple mensual. ¿Cuál es el capital acumulado

al cabo de 2 años?

A) $20. 800

B) $21. 480

C) $29. 600

D) $48. 960


121

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

361) Constanza deposita $ 3. 650. 000 en una entidad bancaria a un interés compuesto

trimestral del 3%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que tendrá

Constanza, al cabo de 24 meses?

A) $3. 650. 000 ∙ (1, 3)8 B) $3. 650. 000 ∙ (1,03)24 C) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)8 D) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)4 E) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)3

362) Emilia abre una cuenta de ahorro con $100. 000, a un interés del 7%. Se puede

determinar el dinero que tendrá al cabo de 5 años si:

(1) El interés es simple anual.

(2) El interés es compuesto.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).


363) ¿Cuál es la tasa de interés compuesto que permite acumular un capital de $ 1.331.000

al cabo de 3 meses, siendo el capital inicial de $ 1.000.000?

A) 5 %

B) 7 %

C) 10 %

D) 12 %

E) 15 %

364) ¿A qué interés simple anual debe depositarse un capital de $ 1.000 durante 4 años,

para obtener una ganancia de $700?

A) 1,75 %

B) 17 %

C) 17,5 %

D) 17,7 %

E) 18 %

122

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

365) Si $40.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿Cuál es el capital total

despues de 3 años?

A) $44.000

B) $50.000

C) $52.000

D) $53.000

E) $53.240

366) Un capital de $500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual.

Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿Cuánto es el nuevo capital?

A) $535.000

B) $545.000

C) $590.000

D) $630.000

E) $635.000

367) Aldo realiza un depósito de $3.500.000 en un banco a un interés simple mensual de

un 2,5%. ¿Qué ganancia obtendrá en un período de medio año?

A) $402.000

B) $515.000

C) $525.000

D) $625.000

E) $635.000

368) ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% de interés simple anual,

para obtener $2.400.000 de utilidad en 4 años?

A) $ 400.000

B) $ 460.000

C) $4.000.000

D) $4.500.000

E) $6.000.000

123

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

369) Juan deposita en un Banco $10.000.000 a un interés simple trimestral del 4%. Al cabo

de 9 meses, ¿Cuánto es el capital final?

A) $11.200.000

B) $11.810.000

C) $11.180.000

D) $11.108.000

E) $11.080.000

370) Hernán tiene 18 años y deposita un capital al 8% de interés simple anual. ¿Qué edad

tendrá Hernán cuando el capital se triplique?

A) 25 años

B) 43 años

C) 48 años

D) 54 años

E) 68 años

371) Al invertir $900.000 a un interés compuesto del % 6 anual, al término de 5 años, se

tendrá, en pesos, una cantidad de

A) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)4

B) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)5

C) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)6

D) 9 ∙ 105 ∙ (1,06)6

E) 9 ∙ 105 ∙ (1,06)5

2.13 FUNCIÓN INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y

BIYECTIVA. FUNCIÓN INVERSA

372) Sea 𝑓: ]−∞, 3] → 𝐴, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) 𝑓 es inyectiva

II) Si 𝐴 es [0,∞[ entonces 𝑓 es epiyectiva.

III) Si 𝑓 es biyectiva, entonces su inversa es 𝑓−1(𝑥) = −𝑥 + 3 con 𝑥 ∈ 𝐴.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

m i n i - c l a s e

124

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

373) De la función ( )x x 2= −f , definida en IR , se puede afirmar que:

I) Está definida para todos los números reales mayores o iguales que 2.

II) 𝑓(𝑥) es inyectiva en el intervalo [2,∞ +[

III) El punto de coordenadas ( )5, 3 pertenece al gráfico de ( )xf .

Es(son) verdadera(s)?

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

374) Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , definida por 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 3 , ¿cuál(es) de las siguientes


I) f es inyectiva si 𝐴 = ]−∞,2] II) f es sobreyectiva si 𝐵 = ]−∞, 3]

III) Si f es biyectiva, entoces su inversa puede ser 𝑓−1 = √𝑥 − 3 + 2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II, III

D) Solo I y III

E) I, II y III


I) La función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥3 , cuyo domino es el conjunto de los

números reales, es biyectiva.

II) Sean 𝑓(𝑥) y 𝑓−1(𝑥) entonces (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥

III) Si ℎ: 𝑆 → 𝑆 es una función sobreyectiva, entonces ℎ es inyectiva.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

125

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

376) Sea : IR 5− −f → IR 1− , definida por 𝑓(𝑥) =𝑥−4

𝑥+5 . Entonces la función inversa

de 𝑓 es:

A) ( )1 4

5

− −=

+

xf x

x

B) ( )1 5

4

− +=

−

xf x

x

C) ( )1 5 4

1

− −=

−

xf x

x

D) ( )1 4 5

1

− +=

−

xf x

x

E) ( )1 5 4

1

− +=

−

xf x

x

377) Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥−5

3 definida para todos los reales, hallar el valor de 𝑓−1(−3)?

A) 2

B) -2

C) −11 3⁄

D) -1

E) 1 2⁄

378) Se tiene la siguiente función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 . ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta que pasa por el vértice y un punto cualquiera de la

parábola tiene pendiente positiva.

II) Si se traza una recta paralela al eje x corta a la parábola en dos puntos.

III) El vértice pertenece al eje y.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Ninguna

126

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

379) En la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥 +1

9. ¿En qué intervalo debe estar 𝑎 para que

este corte al eje X en dos puntos?

A) ]−∞,−2

3[ ∪ ]

2

3, ∞ +[

B) ]−∞,−2

3] ∪ [

2

3, ∞ +[

C) ]2

3, ∞ +[

D) ]−2

3,2

3[

E) 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

380) Dada la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Su vértice tiene coordenadas (1,2)

II) Intercepta al eje y en el punto (3,0)

III) Tiene dos soluciones complejas

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III


I) La función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2, cuyo dominio es el conjunto de los número

reales, es inyectiva.

II) Si las funciones 𝑓 y ℎ son inyectivas, ambas con dominio el conjunto de los

números reales, entonces (𝑓 𝑜 ℎ )es inyectiva.

III) La función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 es biyectiva.

A) Sólo II

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I , II y III

127

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

128

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

129

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

130

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

131

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

132

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

133

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3 EJE: GEOMETRÍA

Todos tenemos nuestra propia forma de imaginarnos la idea de un punto, un círculo o incluso

un triángulo.

Para la resolución de problemas de este eje es necesario que intenten, en lo posible, no agregar

nada a sus desarrollos que no provenga de una conclusión lógica a partir de las definiciones. Sin

embargo, la idea no es que vean a su propia intuición como una enemiga, si no como una

potencial herramienta que poco a poco vamos aprendiendo a utilizar a nuestro favor.

Primero revisemos las nociones básicas de la Geometría.

Conceptos primitivos:

1. Punto: Es la idea fundamental de una posición en el espacio. Un punto es el elemento mínimo

del espacio.

2. Recta: Es una línea continua e infinita que no cambia su dirección.

3. Segmento de Recta: Un segmento es una porción finita de una recta.

4. Plano: Es una superficie de 2 dimensiones (ancho y largo) que contiene infinitas rectas con

direcciones diferentes.

5. Circunferencia: Figura formada por todos los puntos de un mismo plano que están a una

misma distancia (llamada radio) de un punto llamado centro.

6. Ángulo: Magnitud positiva que describe la apertura entre 2 rectas o segmentos de recta que

se cruzan. Se miden en grados (°) que van desde 0° a 360° y se pueden clasificar en:

Agudo: Aquel que mide menos de 90°.

Perpendicular: Aquel que mide exactamente 90°.

Obtuso: Aquel que mide más de 90°.

Extendido: Aquel que mide 180°.

Completo: Aquel que mide 360°.

134

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Polígonos:

Un Polígono es una figura geométrica plana formada por segmentos de rectas que encierran una

cierta región. Los segmentos se denominan lados, los puntos donde se unen los lados se

denominan vértices.

Los Polígonos más destacados son los llamados regulares que son aquellos cuyos lados miden

todos igual distancia.

Algunos ejemplos de Polígonos son:

1. Triángulos: Polígonos de 3 lados. La suma de los ángulos interiores (La apertura interior entre

los segmentos) es siempre un ángulo extendido.

(a) Isósceles: Aquel que posee al menos 2

ángulos iguales.

(b) Escaleno: Aquel que posee todos sus

ángulos diferentes entre sí.

(c) Rectángulo: Aquel que posee un ángulo

recto.

(d) Equilátero: Triangulo regular.

2. Paralelogramos: Polígonos de 4 lados cada uno paralelo a su opuesto.

(a) Rombo: Paralelogramo regular.

(b) Rectángulo: Aquel que posee 4 ángulos

rectos.

(c) Cuadrado: Aquel que es Rombo y

Rectángulo a la vez.

(d) Romboide: Aquel que no posee ángulos

rectos.

3. Trapecios: Polígonos de 4 lados con solo 2 lados paralelos.

4. Trapezoides: Polígonos de 4 lados no paralelos entre sí.

135

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

136

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

137

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

138

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.2 ÁREA Y PERÍMETRO

382) La figura ABCD es un cuadrado y E es punto medio del lado AB , siendo AC

diagonal y DE un segmento. ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura achurada?

A) 2 2 5+

B) 3 2 2 5+ +

C) 6 2 2 5+ +

D) ( )2 3 2 2 5+ +

E) 3 2 2 5+ +

383) El área del triángulo con vértices en los puntos ( ) ( ) ( )3, 4 , 3, 1 y 1, 3− − −A B C es:

A) 16

B) 13 61

2

C) 13 53

2

D) 12

E) 10

139

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

384) Un jardín circular de 12 m de diámetro está sembrado de pasto; pero es atravesado

por un camino pavimentado recto de 3 m de ancho, de modo que uno de sus bordes

pasa por el centro. En consecuencia, el área sembrada, en metros cuadrados, es:

A) +35 9 3 [m2]

B) +30 9 3 [m2]

C) −30 6 3 [m2]

D) −30 9 3 [m2]

E) −35 9 3 [m2]

385) Se tiene un triángulo 𝐴𝐵𝐶 donde 𝐴(−2,3), 𝐵(4,3) y 𝐶(6, 𝑎). ¿Cuál debe ser el valor de

𝑎 para que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea 36?

A) 6

B) 12

C) 15

D) 18

E) 36

386) Si las coordenadas de los vértices de un triángulo son 𝐴(1,1), 𝐵(5,1) y 𝐶(3,3), ¿Cuál

es el área del triángulo, en unidades cuadrada?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

3.3 VECTORES EN 2D Y 3D

387) Si en el plano cartesiano de la figura adjunta se representan y , entonces (2 − ) es:

A) (5,9)

B) (3,9)

C) (-4,0)

D) (9,5)

E) Ninguno de los valores anteriores.

140

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

388) Si 𝑝 < 0, entonces la magnitud del vector (−𝑝)(𝑝2, 𝑝2) es:

A) √2𝑝2 B) −𝑝5 C) −𝑝

D) 2𝑝3

E) −√2𝑝3

389) Dados = (𝑎, 2) y = (3,4). ¿Cuál de los siguientes números puede ser el valor de 𝑎 para que

la longitud de sea el doble de la longitud de ?

A) √96

B) √104

C) √46

D) √21

E) 1

390) Si = (3

2, 6) y = (−

3

2, −6), entonces 4 − 2 es igual a:

A) (3,0)

B) (9,0)

C) (9,12)

D) (3,12)

E) (9,36)

391) En el plano cartesiano de la figura adjunta, se ubican los vectores y . ¿Cuál(es) de las


I) 3 = (12,15)

II) + = (7,1)

III) − = (−3,−4)

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

141

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

392) Se pueden determinar las coordenadas del extremo de un vector dado , que tiene la misma

dirección y origen que de la figura adjunta, si se sabe que:

(1) y tienen el mismo sentido.

(2) El módulo de es igual al doble del módulo de .

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




393) Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes

relaciones es INCORRECTA?

A) + + 𝑐 = 0

B) 𝑒 + 𝑑 = −

C) 𝑒 − 𝑐 =

D) 𝑑 + = −2𝑐

E) 𝑒 − 𝑑 = 3𝑐

394) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Dos vectores son distintos si tienen sentidos opuestos.

II. Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud.

III. Si dos vectores son iguales entonces tienen el mismo sentido.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo I y III.

E) Sólo II y III.

395) Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como indica la figura. El módulo de la fuerza

resultante es:

A) 3 𝑁

B) 15 𝑁

C) 21 𝑁

D) 225 𝑁


𝑒

𝑑

𝑐

𝑎

𝑏

9 𝑁

12 𝑁

142

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

396) En el romboide 𝐴𝐵𝐶𝐷 de la figura, el vector 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 es igual al vector:

A) 𝐴𝐶

B) 𝐷𝐶

C) 𝐵𝐶

D) 𝐴𝐵

E) 𝐴𝐷

397) Si = (2, 1); = (0, 1) entonces ∙ =

A) 1

B) 2

C) 3

D) (2, 1)

E) (0, 1)

398) La ponderación entre 𝜆 = 5 y = (1, 5) es:

A) 5

B) 25

C) ( 1, 5)

D) ( 5, 25)


399) En la figura, el vector resultante de + − tendrá la dirección y sentido indicado en:

A) ←

B)

C) ↑

D)

E)

𝐴 𝐵

𝐶 𝐷

𝑢 𝑣

𝑤

143

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

400) El vector 3 se muestra en la figura, entonces el vector es el que se muestra en:

A)

B)

C) →

D) ←

E)

401) 𝑎 tiene la misma dirección que 𝑏 , pero su módulo es el doble y su sentido es opuesto,

entonces el vector 𝑎 − 𝑏 es igual a:

A) −𝑎

B) −𝑏

C) 𝑏 − 𝑎

D) −3𝑏

E) 3𝑏

402) Sean vectores 𝑎 = (2, 3), 𝑏 = (−7, 2) y 𝑐 = (2,−4) entonces 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 :

A) (−3, 1)

B) (11, 9)

C) (−11, 9)

D) (7, −3)

E) (−1, 3)

403) El módulo o magnitud del vector 𝑤 = (−2,−3):

A) √−13

B) √13

C) √6

D) −5

E) 5

3𝑥

144

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

404) Sean los vectores 𝑢 = (−14, 8), 𝑣 = (4, 0) y 𝑤 = (−2, 6). ¿Cuál es el valor de la expresión

((𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 )?

A) (−12, 2)

B) (−8, 14)

C) (−12, 14)

D) (−8,−2)

E) ( 8, 2)

405) En la figura, 𝑂𝐴𝐵𝐶 es un cuadrado de lado 4 𝑚, 𝑂𝐵 y 𝐴𝐶 son diagonales. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 𝐶𝐵 y 𝑂𝐴 son equivalentes.

II. 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑂 es un vector nulo

III. 𝑂𝐵 se puede representar por 4𝑖 + 4𝑗

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

406) Sean 𝑢 = (4, 2), 𝑤 = (3, −3) ¿Cuál es el valor de la expresión (𝑤 − 𝑢 ) + (𝑤 + 𝑢 )?

A) (1, 0)

B) (2, 3)

C) (6, −6)

D) (−6, 6)


407) Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 9 unidades, y la ordenada de su extremo

es 3. ¿Cuál es la coordenada de la primera componente, sabiendo que está ubicado en el segundo

cuadrante?

A) 6

B) 6√2

C) −6

D) −6√2

E) −12

𝐶

𝑂 𝐴

𝐵

145

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

408) Los vectores de la figura tienen la misma magnitud.

Si 𝑟 = 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 , entonces el vector que mejor representa la dirección de 𝑟 es:

A)

B)

C)

D)

E) ↑

409) Un vector está caracterizado por:

I. Su longitud. II. Su dirección. III. Su sentido. IV. Su origen.

A) Sólo I y II.

B) Sólo I y III.

C) Sólo I y IV.

D) Sólo I, II y III.

E) I, II, III y IV.

410) Sea el vector 𝐴𝐵 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. ‖𝐴𝐵 ‖ = ‖𝐵𝐴 ‖ II. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 III. 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo I y II.

E) Sólo I y III.

411) Sean los puntos 𝑃 = (2,−1) y 𝑄 = (−2, 4). ¿Cuál es el valor de ‖𝑃𝑄 ‖?

A) 13

B) 49

C) √13

D) √97


𝑏 𝑎 𝑐

146

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

412) En una planicie, un niño de 1,4 m de altura sostiene un volantín que se encuentra a una altura

de 25 m, con un hilo en línea recta hacia él, en ángulo de elevación 45º. El largo del hilo extendido

es:

A) 23,6√2𝑚

B) 24√2𝑚

C) 25√2𝑚

D) 50√2𝑚

E) 47,2√2𝑚

413) Dados los vectores 𝑎 = (3, −4) y 𝑏 = (−5, 3), entonces la suma de ellos es:

A) ( 6, 9) B) (−2,−1)

C) (−2, 6)

D) (−9,−1)

E) ( 8, 7)

414) Si 𝑢 = ( 1, √5) y 𝑣 = ( 𝑥, 2), ¿Qué valor debe tener 𝑥 para los vectores tengan igual

magnitud?

A) 2

B) −√2

C) ±√2

D) √2

E) ±2

415) ¿Qué ángulos forman los vectores unitarios y ?

A) 0°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

E) 180°

147

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

416) La norma del vector 𝑒 = ( −15,−8) es:

A) 23

B) −23

C) −17

D) 15

E) 17

417) Sean 𝑢 = (√5, √7) y 𝑣 = (√45, √63). ¿Cuál es el valor de 𝑢 ∙ 𝑣 ?

A) −6

B) 36

C) ( 21, 15)

D) ( 15, 21)


418) En el vector 𝑎 = ( 3

2 , 𝑦), y para que su norma sea 2,5 el valor de 𝑦 debe ser:

A) 5

B) 2

C) −2

D) 2 ó −2

E) 4

419) Sean 𝑘 = √3 y los vectores 𝑢 = (√3 + 1, 2) y 𝑣 = (2, √3 + 1). ¿Cuál es el valor de

𝑘(𝑢 + 𝑣 )?

A) (3 − √3, 3 − √3)

B) (3 − √3, √3 − 3)

C) (3 + √3, 3 + √3)

D) (3 + 2 √3, 3 + 3√3)


148

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

420) En la figura, N es el punto medio del lado TR, entonces 𝑆𝑁 equivale a:

A) 𝑠 +𝑟

2

B) 𝑠

2+

𝑟

2

C) 𝑠 −𝑟

2

D) 𝑠

2−

𝑟

2

E) 𝑠 − 𝑟

421) En una semicircunferencia de centro O, se dibujan los vectores 𝑂𝑅 = 𝑠 y 𝑂𝑇 = 𝑡. Según esto

la alternativa FALSA es:

A) 𝑆𝑇 = 𝑠 + 𝑡

B) 𝑅𝑇 = 𝑡 − 𝑠

C) 𝑠 = 𝑡

D) 𝑂𝑅 + 𝑂𝑆 =

E) 𝑆𝑇 + 𝑅𝑇 = 2𝑡

422) Si = (1,1) , = (1,2) y 𝑐 = (3,6) , entonces ¿Cuáles de los siguientes vectores son

linealmente dependientes?

I) , 𝑐

II) ,

III) , 𝑐

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

423) Si = (3,1) y = (2,5), entonces + es:

A) (5,6)

B) (1,-4)

C) (-1,4)

D) (5,7)

E) (3,6)

149

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

424) Si = (−2,3) y = (3, −1), entonces el vector unitario de 2 − 3 es:

A) −11𝑖 + 9𝑗 B) −13𝑖 + 3𝑗 C) −13𝑖 + 9𝑗 D) −5𝑖 + 3𝑗 E) Otro valor

425) El valor de 𝑘 para que = (𝑘, −2) y = (2,3) posean igual módulo es:

A) 0

B) 3

C) -3

D) 3 o -3

E) Falta información

426) De los vectores = (2, −1); = (−1,−2); = (−4,2) y = (4,2) son perpendiculares.

A) ,

B) ,

C) ,

D) ,

E) ,

427) Dados = (−2, 𝑝) y = (𝑞, 𝑝 + 1), los valores de p y q para que + = (−3,7)son:

A) 𝑝= 4; 𝑞= -5

B) 𝑝=3; 𝑞=1

C) 𝑝=3; 𝑞= -1

D) 𝑝=4; 𝑞= 1


150

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

428) ¿Cuál es el módulo del vector 𝑃𝑄 , Si P(7,2) y Q(9,-4)?

A) 4√5

B) √60

C) 16√5

D) 2√10


429) La magnitud del vector = (6, 𝑥) es de 10 unidades. Si el vector está ubicado en el primer

cuadrante del plano cartesiano. ¿Cuál es el valor de x?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

430) En el siguiente plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del vector resultante de la

adición de los vectores 𝐴 y ?

A) (-3,5)

B) (4,-9)

C) (-6,-1)

D) (1,-4)

E) (-7,2)

431) La suma de los vectores (4,7) y (-1,1) no tiene la misma dirección del vector:

A)(3,6)

B)(3,8)

C)(1,8/3)

D)(9,24)

E) (-3,-8)

151

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

432) En la figura, el triple de la suma entre 𝑟 y 𝑠 es:

A) (-4,3)

B) (-12,6)

C) (-8,-4)

D) (4,16)

E) (-6,-12)

433) Sean los vectores = (3,5) , = (𝑣, 𝑤) y 𝑐 = (8,6) . ¿Qué valores deben tener 𝑣 y 𝑤 ,

respectivamente, para que (( + ) sea el doble de 𝑐 ?

A) 5 y 1

B) 1 y 5

C) 13 y 7

D) 7 y 13

E) 13 y 1

434) El siguiente vector tiene componentes:

A) ⟨4,11,3⟩ B) ⟨3,12,3⟩ C) ⟨3,4,12⟩ D) ⟨4,3,11⟩ E) Ninguna de las anteriores

435) Las componentes del vector 𝐴𝐵 , con 𝐴= (3,-2,7) y 𝐵=(-6,7,5) son:

A) ⟨−3,−5, 3⟩ B) ⟨−9,−9, 2⟩ C) ⟨−9,−9,−2⟩ D) ⟨3, −5, 2⟩ E) Ninguna de las anteriores

152

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

436) ¿Cuál es la longitud del vector = (4, 𝑦), si + (−3,−8) = (1, −4)?

A) 4

B) 4√2

C) 8

D) 8√2

E) 16

437) ¿Cuáles son las coordenadas del vector 𝐴𝐶 que traslada un punto A(-4,5) hasta B(-9,6) y desde

B lo traslada 3 unidades paralelamente al eje X en sentido positivo y 7 unidades paralelamente al

eje Y en sentido negativo, transformándolo así en el punto C?

A) (3,-7)

B) (-13,11)

C) (-1,-2)

D) (-2,-6)

E) (2,6)

438) Se definen los vectores = (2,4), y = (−1,3) y 𝑐 = (𝑥, 𝑦), entonces ¿Cuál de las siguientes

opciones 𝑥 + 𝑦 = 6?

A) 3 + 2 = 𝑐

B) 2 − 3 = 𝑐

C) 3 + 2 = 2𝑐

D) 2 + 3 = 𝑐

E) 3 − 2 = 𝑐

439) Sean los vectores = (2,−3) y = (−1,1). Si 𝑚 ∙ + 𝑝 ∙ = (3,2), con 𝑚 y 𝑝 números reales,

¿Cuál es el valor de 𝑝?

A) -13

B) -9

C) -7

D) -5

E) 17

153

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

440) En la figura, PQRS es un rombo ubicado en el espacio. Las coordenadas del vértice R son:

A) (-1,1,1)

B) (1,1,2)

C) (-1,2,2)

D) (1,1,1)

E) (2,2,-1)

441) Sean = (−2,1) y 𝑝 = (𝑎, −1) vectores en el plano cartesiano, con 𝑎 un número real.

Si 2 ∙ 𝑝 − 𝑏 ∙ = (4,2), con 𝑏 un número real, ¿Cuál es el valor de 𝑎?

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

442) Sean los vectores = (3,5) , = (𝑣, 𝑤) y 𝑐 = (8,6) . ¿Qué valores deben tener 𝑣 y 𝑤 ,

respectivamente, para que ( + ) sea el triple de 𝑐?

A) 5 y 1

B) 1 y 5

C) 13 y 7

D) 7 y 13

E) 21 y 13

443) Dados los vectores 𝑝 = (0, −1), 𝑞 = (1,0), 𝑟 = (2, −4), 𝑠 = (−3,2) y 𝑡 = (4, −8). ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) 𝑡 − 2𝑟 , se ubica en el primer cuadrante.

II) 𝑠 −1

2𝑟 , se ubica en segundo cuadrante.

III) 𝑞 − 𝑝, se ubica en el eje de las ordenadas.

A) Solo I

B) Solo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

154

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

444) Dados = (𝑚, 3) y = (4,3), ¿Cuál de los siguientes números puede ser el valor de 𝑚 para

que la longitud de sea el doble de la longitud de ?

A) √41

B) √99

C) √91

D) √109

E) √129

445) Si 𝑎 < 0, entonces la magnitud del vector (−𝑎)(𝑎4, 𝑎4) es:

A) 𝑎√2

B) 𝑎2√2

C) −𝑎5√2

D) −𝑎2√2

E) −𝑎5

446) Si en el plano cartesiano de la figura adjunta se representan y , entonces (3 −

2) es:

A) (4,6)

B) (−4,6)

C) (−2,12)

D) (−2,−6)

E) (−4,−6)

447) Considere los vectores 𝑝(5,−2), (2,8), 𝑟(10,4) y 𝑠(−4,2). ¿Cuál(es) de las siguientes


I) El vector (2𝑝 − 𝑟) pertenece al tercer cuadrante.

II) El vector ( − 𝑠) pertenece al primer cuadrante.

III) 𝑝 + = 𝑟 + 𝑠

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

155

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.4 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

448) En la figura, los triángulos PTR y SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) TR es paralelo a VQ

II) PT es paralelo a SV

III) < RQV ≅< RPT

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

Demre

449) En el cuadrado de la figura 4, si ∆𝐷𝑃𝐴 ≅ ∆𝐶𝑃𝐵, entonces se puede concluir que el ∆𝐴𝑃𝐵 es

siempre

A) Rectángulo

B) Isósceles rectángulo

C) Isósceles

D) Obtusángulo

E) Equilátero

Demre

450) Dos triángulos son congruentes cuando ellos tienen:

A) Los tres pares de ángulos correspondientes iguales

B) Los tres pares de lados correspondientes iguales

C) El mismo perímetro

D) La misma forma

E) La misma área

Demre

451) En la figura, PRQ TSU, donde los vértices correspondientes son P y T; R y S; Q y U. Si el

ángulo QPR mide 40° y el ángulo TSU mide 80°, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El ángulo TUS mide 60°.

II) El STU es escaleno.

III) PQ < TU

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Demre

r e f e r e n t e

156

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

452) En la figura 1, 𝑀𝑁𝑃𝑄 es un trapecio isósceles, 𝑆 pertenece a 𝑄𝑁 y 𝑅 pertenece a 𝑀𝑃. Si 𝑂 es

la intersección de las diagonales, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) ∆𝑀𝑅𝑄 ≅ ∆𝑁𝑆𝑃

II) ∆𝑂𝑆𝑃 ≅ ∆𝑁𝑆𝑃

III) ∆𝑀𝑂𝑄 ≅ ∆𝑁𝑂𝑃

A) Sólo II

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Demre

453) En la figura 2, 𝐶𝐷 es una altura del triángulo 𝐴𝐵𝐶. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO

permite concluir que el triángulo 𝐴𝐷𝐶 sea congruente con el triángulo 𝐵𝐷𝐶?

A) 𝛼 = 𝛽

B) 𝐷 es punto medio de 𝐴𝐵

C) 𝛼 + 𝛽 = 90° D) 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵

E) 𝐶𝐷 es un eje de simetría del triángulo 𝐴𝐵𝐶

Demre

454) En un triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐶 se traza la altura 𝐶𝐷 , luego este segmento se prolonga de

manera tal que 𝐶𝐸 = 2𝐶𝐷 y 𝐷 pertenece a 𝐶𝐸 . ¿Cuál(es) de las siguientes es (son) siempre

verdadera(s)?

I) ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐵𝐸 II) ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐸 III) ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Demre

157

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

455) Los puntos 𝑀,𝑁, 𝐺 𝑦 𝐻 están en los lados de los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐸𝐷𝐹 a la vez, como se

muestra en la figura adjunta. Si 𝐷 pertenece a 𝐵𝐶 , 𝐴𝑀 = 𝑀𝑁 = 𝑁𝐵 y 𝐸𝐹

𝐵𝐶 , entonces es siempre

verdadero que:

A) ∆𝐴𝑀𝐻 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹

B) ∆𝐵𝑁𝐷 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹 C) ∆𝐺𝐷𝐶 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹

D) ∆𝐸𝐺𝐻 ≅ ∆𝐺𝐶𝐷

E) ∆𝐴𝑀𝐻 ≅ ∆𝐺𝐷𝐶

Demre

456) En la figura adjunta el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles, 𝐷 𝑦 𝐸 son puntos en la base 𝐵𝐶 . Se puede

determinar que ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐸, si se sabe que:

(1) El triángulo 𝐴𝐷𝐸 es isósceles.

(2) < 𝐵𝐴𝐷 =< 𝐸𝐴𝐶

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por si sola




Demre

457) En el ABC de la figura, se tiene que RBC SCB . ¿Cuál(es) de las siguientes


I) = RBC BSC

II) = SBC RCB

III) BR CS

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

158

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

458) En el triángulo escaleno ABC de la figura adjunta, se dibuja la mediana 𝐷𝐸 . ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝐶𝐹 ≅ 𝐷𝐸

B) 𝐴𝐸 ≅ 𝐴𝐷

C) 𝐷𝐶𝐹 ≅ 𝐷𝐸𝐹

D) 𝐴𝐷𝐸 ≅ 𝐷𝐶𝐹

E) ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐵𝐹𝐸

459) ¿Cuál es el punto simétrico de (-3,4) con respecto a la recta 𝑦 = −1?

A) (-4,3)

B) (-4,-1)

C) (-3,-6)

D) (-2,3)

E) (-4,-3)

460) Se rota el triángulo de la figura izquierda en torno al origen del sistema de ejes

coordenados, en 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj, y luego se traslada

dos unidades en forma vertical hacia abajo. La nueva figura que se obtiene es:

159

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

461) Si el punto P(-1 , 4) rota 90º con centro en el punto ( 0 , 2 ) y sentido negativo, queda

ubicado en las coordenadas:

A) (1,4)

B) (4,1)

C) (2,3)

D) (-2,1)

E) (-1,-4)

462) Sea 𝑅(𝑥, 𝑦) la rotación con centro en (1 , 2) con un ángulo de rotación de 90° en

sentido negativo. Sea 𝑇(𝑥, 𝑦) la traslación según el vector (−2 , −1). Al efectuar primero

𝑅, y luego 𝑇 sobre el punto (-2 , 5) se obtiene como resultado:

A) (2,4)

B) (3,-3)

C) (-7,1)

D) (3,7)

E) (-1,-3)

463) Al cuadrado PQRS de la figura, con dos lados paralelos al eje x , cuyo centro está

en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en

90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x . ¿En cuál de las

siguientes opciones la figura NO puede ser imagen de PQRS después de aplicar una o

varias de estas transformaciones isométricas?

d e s a r r o l l o

160

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

464) Si al punto (𝑝, −𝑞), con 𝑝 y 𝑞 números positivos, se le aplica una simetría con respecto

al eje Y y luego una rotación de 270° con centro en el origen, entonces se obtiene

siempre el punto.

A) (𝑞, 𝑝)

B) (−𝑞, 𝑝) C) (−𝑝,−𝑞) D) (𝑞, −𝑝) E) (𝑝, 𝑞)

465) Sea 𝐿: 𝑦 = 𝑥 una recta en el plano. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Una simetría de 𝐿 con respecto al eje 𝑋 da el mismo resultado que una simetría de 𝐿

con respecto al eje Y.

II) Si a 𝐿 se le aplica una simetría con respecto al punto (1,0) , resulta una recta

perpendicular a 𝐿. III) Si al punto (1,0) se le aplica una simetría con respecto a 𝐿, se obtiene el punto

(-1,0).

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

466) Al punto (2, −5) se le aplica una traslación obteniéndose el punto (−4,6). Si al punto

(3

2,1

5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto:

A) (−9

2;56

5)

B) (9

2;6

5)

C) (−1

2;6

5)

D) (−9

2;6

5)

E) (−1

2;56

5)

161

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

467) De acuerdo a la figura 4, ¿Con cuál de las siguientes transformaciones isométricas en

el plano se puede obtener el triángulo B a partir del triángulo A?

I) Con una simetría y luego una traslación

II) Con una rotación con centro (3,0)

III) Con una simetría, una traslación y dos simetrías

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

468) Si al triángulo de vértices 𝑀(1,−2), 𝑁(−2,9) y 𝑃(2,−5) se le aplica una rotación con

centro en el origen del sistema de ejes coordenados, se obtiene un triángulo de tal forma

que el vértice homólogo a 𝑀 es 𝑀´(−2,−1) . ¿Cuáles de los siguientes puntos

corresponden a los otros dos vértices del triángulo homólogo?

A) (−2,9) 𝑦 (5,2)

B) (9,2) 𝑦 (5, −2)

C) (9,2) 𝑦 (−5,−2)

D) (−9,−2) 𝑦 (5,2)

E) (−9,−2) 𝑦 (−5,2)

469) Considere el triángulo ABC, donde dos de sus vértices son 𝐴(−2,3) y 𝐵(1,3). Si a este

triángulo se le aplica una traslación de modo que la imagen del punto A pertenece al eje

de las ordenadas y está a la misma distancia del origen que se encuentra A. ¿Cuál de las

siguientes coordenadas podrían corresponder a la imagen del punto B?

A) (−3,√13)

B) (−3,−√13)

C) (1, √13)

D) (3,−√13)

E) (3, √13 + 3)

162

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

470) El triángulo rectángulo de la figura adjunta, se rota sucesivamente con centro en el

origen del sistema de ejes coordenados, en 30° y en sentido antihorario. ¿En cuál de las

siguientes opciones se muestra mejor la opción en que queda el triángulo después de

90 rotaciones?

471) En la figura se tiene un triángulo ABC rectángulo en C. Además se tiene que

AC = BC = 1. La medida del radio de la semicircunferencia de centro O es:

A) 1

√2

B) 3 − 2√2

C) 0,5

D) 2√2 − 2

E) √2 − 1

3.5 CIRCUNFERENCIAS 472) La figura representa una circunferencia de centro en O. Si 4 , 6= =AC cm CD cm

y ⊥DC AB , entonces CO es igual a:

A) 2 cm

B) 2,5 cm

C) 4 cm

D) 6,5 cm

E) 9 cm

163

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

473) En la figura, A, B, C son puntos en el círculo de centro O y radio 4 cm.

Si 𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝐶 𝑦 𝑃𝐶 = 1 , la medida de 𝐴𝐵 =

A) √7

B) 2√3

C) √3

D) 2√7

E) 2

474) En la figura, O es un punto interior del triángulo ABC, AO OC OB .

Si OBA 40 = , entonces el ACB mide:

A) 20°

B) 40°

C) 50°

D) 70°

E) 90°

475) En la circunferencia de centro O de la figura, 𝑃𝐷 y 𝑃𝐴 son secantes.

Si AP = 16 cm, CP = 8 cm y BP = 6 cm, entonces la medida de 𝐷𝐶 es:

A) 4 cm

B) 6 cm

C) 8 cm

D) 10 cm

E) 12 cm

d e s a r r o l l o

164

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

476) En la figura adjunta, los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 pertenecen a la circunferencia de centro O. Si

𝛼: 𝛽: 𝛾 = 1: 2: 3 y < 𝐵𝑂𝐴 = 120°, entonces el arco 𝐶𝐵 mide:

A) 50°

B) 90°

C) 100°

D) 120°

E) 130°

477) En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella, 𝐴𝐶 y

𝐵𝐹 se intersectan en E, el punto D está en 𝐴𝐶 y 𝐶𝐵 es tangente a la circunferencia en B.

Determine cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA.

A) Si 𝐹𝐸 = 4 𝑐𝑚, 𝐸𝐵 = 6 𝑐𝑚 y 𝐴𝐸 = 2 𝑐𝑚 entonces 𝐸𝐷 = 12 𝑐𝑚.

B) Si 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐷 = 5 𝑐𝑚, entocnes 𝐶𝐷 = 4 𝑐𝑚.

C) Si el arco AB mide 50° y el arco 𝐵𝐷 mide 30°, entonces el ángulo 𝐵𝐶𝐷 mide 10°.

D) Si el arco 𝐹𝐴 mide 70° y el arco 𝐵𝐷 mide 30° , entonces e ángulo 𝐵𝐸𝐴 mide 50°.

E) < 𝐴𝐹𝐵 ≅< 𝐴𝐷𝐵

478) En la circunferencia de centro O y radio 10 cm de la figura 5, 𝐶𝐷 = 5 𝑐𝑚. ¿Cuánto

mide el segmento 𝐴𝐵?

A) √3 𝑐𝑚

B) 5√3 𝑐𝑚

C) 10√3 𝑐𝑚

D) 15√3 𝑐𝑚

E) 5 𝑐𝑚

165

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

479) En la figura 7, 𝐴𝐵 es diámetro de la circunferencia de centro O, 𝐴𝐷 es una cuerda, el

ángulo 𝐷𝐴𝐵 = 40° y la recta 𝐹𝐷 tangente a la circunferencia en el punto 𝐷 intersecta a la

prolongación de 𝐴𝐵 en 𝐹. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los triángulos 𝐴𝑂𝐷 𝑦 𝐹𝐵𝐷 son semejantes entre sí.

II) El triángulo 𝐴𝑂𝐷es isósceles.

III) El triángulo 𝐹𝑂𝐷 es rectángulo y semejante al triángulo 𝐴𝐷𝐵.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

480) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 se intersectan en 𝑃,

𝐴𝑃 =1

3 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 =

3

4 𝑐𝑚. Si 𝑃𝐶: 𝑃𝐷 = 4: 1. Entonces la medida de la cuerda 𝐶𝐷 es:

A) 4

5 𝑐𝑚

B) 1

4 𝑐𝑚

C) 1

16 𝑐𝑚

D) 1 𝑐𝑚

E) 5

4 𝑐𝑚

481) En la circunferencia de centro O, 𝑃𝑆 y 𝑃𝑅 la intersectan en los puntos Q, S y R, el

punto O está en 𝑃𝑆 y 𝑇 está en la circunferencia, tal como se muestra en la figura

adjunta. Si la medida de 𝑃𝑄 es igual al radio de la circunferencia y 𝑆𝑃𝑅 = 20°, entonces

la medida del 𝑄𝑇𝑆 es:

A) 70°

B) 90°

C) 80°

D) 75°

E) 85°

r e f e r e n t e

r e f e r e n t e

166

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

482) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, los puntos A, B, C y D pertenecen

a ella, 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 y los puntos M y N pertenecen a los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 ,

respectivamente. ¿Cuál de las siguientes relaciones puede ser FALSA?

A) 𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐴

B) 𝐵𝑀 ≅ 𝑀𝐴

C) 𝐴 ≅ 𝐷

D) 𝑂𝑁 ≅ 𝑂𝑀

E) COD≅ 𝐴𝑂𝐵

483) En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella, 𝐴𝐶 y

𝐵𝐹 se intersectan en E, el punto D está en 𝐴𝐶 y 𝐶𝐵 es tangente a la circunferencia en B.

Si

𝐸𝐹 = 8 𝑐𝑚, 𝐸𝐷 = 4 𝑐𝑚, 𝐴𝐸 = 1 𝑐𝑚 y 𝐶𝐵 = 6. Entonces (𝐷𝐶 + 𝐸𝐵) es igual a:

A) 9

2 𝑐𝑚

B) 9

4 𝑐𝑚

C) 1

2 𝑐𝑚

D) 80

7 𝑐𝑚

E) 4 𝑐𝑚

484) En la figura adjunta 𝑃𝑅 y 𝑆𝑈 son diámetros de la circunferencia que se intersectan en

O, el punto Q pertenece a ella y los segmentos 𝑄𝑆 y 𝑃𝑅 se intersectan en 𝑇. Si 𝑄𝑇𝑅 =

126° y 𝑄𝑂𝑈 = 78°, entonces la medida de 𝛼 es:

A) 87°

B) 39,5°

C) 43,5°

D) 54°

E) 43°

r e f e r e n t e

167

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

485) En la figura, O es el centro de la circunferencia. Se puede conocer el valor del x ,

si se conoce la medida de:

(1) OCB

(2) AOC

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola


D) Cada una por si sola, (1) ó (2)


3.6 TEOREMA DE THALES

486) En la figura adjunta, 𝐴𝐷 = 30; 𝐶𝐷 = 16 𝑦 𝐴𝐵 = 15. ¿Cuánto mide 𝐵𝐸 ?

A) 8

B) 17

C) 18

D) 30

E) 31

487) En el ABC de la figura, una expresión que representa a x en términos de a,

b y c es:

A) 𝑎𝑏

𝑐

B) 𝑐𝑎

𝑏

C) 𝑏(𝑏+𝑐)

𝑎

D) 𝑎𝑏

𝑏+𝑐


488) En el triángulo 𝐴𝐵𝐸 de la figura adjunta,

𝐴𝐵

𝐶𝐷 . Si 𝐴𝐵 = 3𝑏, 𝐴𝐶 = 3𝑎 y 𝐶𝐸 = 𝑎, entonces

𝐶𝐷 es igual a:

A) 3

4𝑏

B) 3

4𝑎𝑏

C) 4

3𝑎𝑏

D) 𝑎

E) 4

3𝑎

d e s a r r o l l o

r e f e r e n t e

168

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

489) En el triángulo de la figura adjunta, el punto D pertenece al segmento AB y el punto E

pertenece al segmento BC, 𝐷𝐵 = 12 𝑐𝑚 y 𝐵𝐸 = 13 𝑐𝑚. Si el área del triángulo ABC es

cuatro veces el área del triángulo BED, entonces ¿Cuál de las siguientes medidas se

cumplen en la figura?

A) 𝐶𝐸 = 39 𝑐𝑚

B) 𝐴𝐷 = 40 𝑐𝑚

C) 𝐴𝐵 = 26 𝑐𝑚

D) 𝐴𝐶 = 20 𝑐𝑚

E) 𝐵𝐶 = 52 𝑐𝑚

490) En la figura 3, 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚, 𝐴𝐸 = 13 𝑐𝑚 y 𝐵𝐶 = 36 𝑐𝑚. La medida de 𝐴𝐷 es:

A) 26 𝑐𝑚

B) 30 𝑐𝑚

C) 39 𝑐𝑚

D) 52 𝑐𝑚

E) 60 𝑐𝑚

491) Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹, donde 𝐴𝐵 es homólogo con 𝐷𝐸 , 𝐴𝐵 = 𝑎 𝑐𝑚 y 𝐷𝐸 = 4𝑎 cm, ¿Cuál de

las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Si el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 8 𝑐𝑚2, entonces el área del triángulo 𝐷𝐸𝐹 es 32 𝑐𝑚2

B) El perímetro del triángulo 𝐷𝐸𝐹 es la cuarta parte del perímetro del triángulo 𝐴𝐵𝐶.

C)

𝐴𝐵

𝐷𝐸 ,

𝐴𝐶

𝐷𝐹 y

𝐵𝐶

𝐸𝐹

D) La altura trazada desde C a la base AB, es la cuarta parte de la altura trazada desde F

a la base DE


169

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

492) El plano de un dormitorio rectangular está a una escala 1: 10. Si el largo del dormitorio

en el plano es de 0,8 m y el ancho 60 cm, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) El largo del dormitorio es de 8 m.

II) Si en el dormitorio hay una cama de 2 m de largo, entonces en el plano la

representación de la cama tiene un largo de 0,02 m.

III) Si se quiere ampliar el largo del dormitorio es 1,5 m, entonces el largo del dormitorio

en el nuevo plano sería de 95 cm.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

493) ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de condiciones, por separado, permite(n)

determinar que un triángulo PQR es semejante a otro triángulo TUV?

I) 𝑅𝑃𝑄 = 50°, 𝑄𝑅𝑃 = 60°, 𝑈𝑉𝑇 = 60° y el ángulo exterior al 𝑈𝑇𝑉 mide 130°.

II) 𝑃𝑅 = 2 𝑐𝑚, 𝑃𝑄 = 3 𝑐𝑚, 𝑅𝑄 = 4 𝑐𝑚, 𝑇𝑉 = 6 𝑐𝑚, 𝑇𝑈 = 9 𝑐𝑚 𝑦

𝑉𝑈 = 8 𝑐𝑚.

III) 𝑃𝑄 = 5 𝑐𝑚, 𝑃𝑅 = 4 𝑐𝑚, 𝑄𝑃𝑅 = 50° , 𝑇𝑈 = 15 𝑐𝑚, 𝑇𝑉 = 12 𝑐𝑚, 𝑈𝑇𝑉 = 50°

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

494) En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a 𝐴𝐶 , E pertenece a 𝐵𝐶 y

𝐷𝐸

𝐴𝐵 . Si

𝐴𝐵 = 36 𝑐𝑚 , 𝐵𝐶 = 18 𝑐𝑚 , 𝐶𝐸 = 12 𝑐𝑚 y 𝐶𝐷 = 9 𝑐𝑚, entonces el perímetro del trapecio

𝐴𝐵𝐸𝐷 es:

A) 69

2 𝑐𝑚

B) 141

2 𝑐𝑚

C) 21

2 𝑐𝑚

D) 151

2 𝑐𝑚

E) 45 𝑐𝑚

170

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

495) En la figura adjunta, 𝐸𝐹 ∥ 𝐷𝐺 ∥ 𝐴𝐵 . ¿En qué razón divide interiormente D al segmento

𝐸𝐵 ?

A) 4:3

B) 2:4

C) 3:5

D) 3:4

E) otra razón

496) En el trazo 𝑃𝑄 de la figura, PR : PQ = 2 : 5 y RS : RQ = 1 : 4. Entonces, PR : SQ =

A) 1 : 4

B) 3 : 8

C) 5 : 9

D) 8 : 3

E) 8 : 9

497) En la figura 4, 𝐴𝐶 = 32 𝑐𝑚 y 𝐴𝐶: 𝐴𝐷 = 2: 5. La medida del segmento 𝐶𝐷 es igual a:

A) 16 cm

B) 32 cm

C) 48 cm

D) 80 cm

E) 96 cm

498) En el trazo 𝐴𝐵 de la figura 6, 𝐴𝐵: 𝐶𝐷 = 8: 1 y 𝐴𝐶:𝐷𝐵 = 4: 3. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es verdadera?

A) 𝐴𝐵:𝐷𝐵 = 8 ∶ 5

B) 𝐴𝐷: 𝐶𝐷 = 4 ∶ 3

C) 𝐶𝐷: 𝐶𝐵 = 1 ∶ 3

D) 𝐶𝐵: 𝐴𝐷 = 4 ∶ 5

E) 𝐴𝐵:𝐴𝐶 = 8 ∶ 5

d e s a r r o l l o

171

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

499) ¿Con cuál de las siguientes condiciones el trazo 𝐴𝐵 de la figura adjunta NO es divido

interiormente por el punto 𝑃 en la razón 3: 2. Con 𝐴𝑃 > 𝑃𝐵?

A) 𝐴𝑃 = 6 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = 4 𝑐𝑚

B) 𝑃𝐵

𝐴𝐵=

6

15

C) 0, 6𝐴𝑃 = 𝑃𝐵

D) 𝐴𝑃 = 15𝑎 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = 10𝑎 𝑐𝑚

E) 𝐴𝑃 = (3 + 6 )𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = (2 + 6) 𝑐𝑚

3.7 TEOREMAS DE EUCLIDES Y PITÁGORAS

500) En el triángulo ABC rectángulo en A, de la figura; ADCD ⊥ . Entonces CD =

A) 25

B) 144

C) 65

12

D) 25

12

E) 60

501) En la figura se muestra un triángulo rectángulo en A y un rectángulo construido sobre

el segmento BD cuya área es de 36 cm2, B, D y C son puntos colineales y 𝐴𝐷 es altura.

Se puede determinar la medida de la altura AD si:

(1) 𝐷𝐹 = 𝐷𝐶

(2) 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información

adicional

172

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

502) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, 𝐷𝐸 es perpendicular a 𝐶𝐵, 𝐶𝐷 es

perpendicular a 𝐴𝐵 y 𝐸𝐹 es perpendicular a 𝐶𝐷. Si 𝐶𝐹 = 1 y 𝐹𝐸 = √3, entonces 𝐴𝐷 =

A) 3

4√3

B) 3

2√2

C) 2

3√2

D) 1

3√3

E) 4

3√3

503) En un triángulo ABC rectángulo en C cuya hipotenusa mide 𝑝 , la medida de la

proyección de un cateto sobre ella es 𝑚. ¿Cuál de las siguientes expresiones siempre

representa al cuadrado de la medida del otro lado y de la altura relativa a la hipotenusa

respectivamente?

A) 𝑝2 −𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 −𝑚2

B) 𝑝2 +𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 −𝑚2

C) 𝑝2 −𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 +𝑚2

D) 𝑚𝑝 − 𝑝2 y 𝑚𝑝

E) 𝑚𝑝 − 𝑝2 y 𝑚𝑝 −𝑚

504) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 de la figura 9 es rectángulo en 𝐶, 𝑀 y 𝑁 son los puntos medios de los

lados respectivos, 𝐷 está en 𝐴𝐵 , 𝑃 en 𝐶𝑁 , 𝑅 en 𝑀𝑁 y 𝐷𝑃 ⊥ 𝐶𝐵 . Si 𝐶𝐷 = 6 y

𝐷𝐵 = 8√2 𝑐𝑚, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área del triángulo 𝐶𝐷𝐵 es 24√2 𝑐𝑚2

II) 𝑁𝐵 = √41 𝑐𝑚

III) ∆𝐴𝐶𝐵~∆𝑃𝑅𝑁

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

173

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

505) En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura adjunta, D pertenece a 𝐴𝐵 . ¿Cuánto es (𝑎 + 𝑏)?

A) 9 5⁄

B) 18 5⁄

C) 24 5⁄

D) 42 5⁄

E) 48 5⁄

506) En la figura adjunta, ABCD es un trapecio rectángulo en A y en D, con

𝐷𝐸𝐴 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝐶𝐹𝐵 = 90°, E pertenece al segmento AC y F pertenece al segmento

AB. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) 𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐷𝐸

II) 𝐷𝐸 ∙ 𝐹𝐵 = 𝐶𝐹 ∙ 𝐸𝐶

III) 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐹2 = 𝐴𝐹 ∙ 𝐴𝐵

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

507) En la figura, 𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 = 10. Se puede determinar la magnitud AC si se sabe que:

(1) 8AD =

(2) 5EC =

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola




174

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.8 HOMOTECIA 508) Si al triángulo ABC de vértices 𝐴(0,2), 𝐵(2,1) y 𝐶(1,1) se le aplica una homotecia de

centro (4,4) y razón de homotecia −1

2 , ¿Cuál es la imagen de 𝐴?

A) (6,5)

B) (8,6)

C) (12,8)

D) (-8,-6)

E) (2,3)

509) A un triángulo de coordenadas A(3,4); B(1,1) y C(5,-2) se le aplica una homotecia con

centro en el origen del sistema cartesiano y de razón -2. La distancia entre los puntos 𝐵´ Y 𝐶 es:

A) 3

B) 6

C) 9

D) 7

E) 5

510) La arista de un cubo mide 1 m al aplicar una homotecia a cada una de las aristas con

razón 2 lo que se obtiene es un cubo de volumen igual a:

A) 4 𝑚3

B) 8 𝑚3

C) 2 𝑚3

D) 1 𝑚3

E) 16 𝑚3

511) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdaderas para una homotecia de razón 1

3?

A) La figura homotética tiene el triple del área de la figura original.

B) Cada lado de la figura homotética mide el triple de los lados respectivos de la figura

original.

C) La figura homotética tiene un tercio del área de la figura original.

D) Cada lado de la figura homotética mide un tercio de lados respectivos de la figura

original.

E) Nada se puede decir acerca de la figura homotética sin saber su centro de homotecia.

175

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

512) La figura homotética de A con respecto al punto O y de razón 3

4 está dada

correctamente en:

513) Para que un hexágono homotético a otro dado se encuentre dentro de la figura original

y no invertido, la homotecia debe cumplir que:

A) Tenga razón mayor que 1 y el centro de homotecia esté fuera del hexágono original.

B) Tenga razón positiva y menor que 1 y el centro de homotecia esté fuera del hexágono

original.

C) Tenga razón positiva menor que 1 y el centro de homotecia esté en uno de sus vértices

o dentro de la figura original.

D) Tenga razón mayor que 1 y el centro de homotecia esté en uno de sus vértices o

dentro de la figura original.

E) Nunca su figura homotética estará dentro de la original.

514) ¿Cuál de las siguientes figuras representa(n) una homotecia de razón negativa?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

a) b) c)

d) e)

. O . O A A

. O

A

. O

A A . O

I. II. III.

r e f e r e n t e

176

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

515) En la figura se muestra una homotecia de centro O que transforma el triángulo ABC

en el triángulo DEF. Si OC > OF, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta

respecto a esta homotecia?

A) La razón de homotecia es menor que -1

B) La razón de homotecia es igual a -1

C) La razón de homotecia es mayor que -1 y menor que 0.

D) La razón de homotecia es mayor que 0 y menor que 1.

E) La razón de homotecia es mayor que 1.

516) Se ha efectuado una transformación homotética al triángulo ABC, a partir del centro

de homotecia O que se encuentra al exterior de dicha figura para obtener el triángulo

homotético A´BĆ´. Si OA = 10 y OA´ = OA + 15, entonces la razón de homotecia es:

A) 2 : 5

B) 4 : 25

C) 5 : 2

D) 10 : 15

E) 15 : 10

517) El extremo A de un trazo es el punto (4,2). Si se le aplica una homotecia de razón 2 y

de centro en el punto (-1,1), entonces, el punto homotético de A será el punto de

coordenadas:

A) (9,3)

B) (3,9)

C) (-9,-3)

D) (11,-1)

E) (-11,-1)

177

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

518) Con respecto a una homotecia, es verdadero que:

I) La figura homotética se superpone con la figura original siempre que la razón de

homotecia sea 1, independiente de donde se encuentre el centro de homotecia.

II) La figura homotética contiene a la original siempre que la razón de homotecia sea

mayor que 1, sin importar donde encuentre el centro de homotecia.

III) La figura homotética contiene a la original siempre que la razón de homotecia sea

mayor que 1, solo si el centro de homotecia se encuentra en uno de sus vértices

o al interior de la figura original.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

519) Dado el ABC y al aplicar una homotecia de factor 2 se obtuvo el GHI y una de

factor 0,5 para obtener el DEF

¿Cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si 6=OA cm entonces 3=OD cm.

II) Si 4=OC cm entonces 8=CI cm.

III) Si GH = 8 cm y 10=GI cm entonces el área del triángulo ABC es 212cm .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

178

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

520) En la figura se observa una homotecia de factor 2,5. Si el perímetro del triángulo

𝐴´𝐵´𝐶´ es de 35 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?

A) 7 cm

B) 14 cm

C) 17,5 cm

D) 87,5 cm

E) 107 cm

521) En la figura P´Q´R´S´ es el homotético del polígono PQRS, con origen en el punto O y

razón de homotecia r. Si QR=10, Q´R´=4 y RS=8, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) 𝑟 =5

2

II) PQ//P´Q´

III) R´S´=16

5

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

522) En la figura el polígono ABCD es base de homotecias de origen O. Si OB=3, BB´=2 y

OB´´=10, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La homotecia A´BĆ´D´ se logra con razón 5/3.

B) En las dos homotecias, r > 1.

C) Perímetro de A´BĆ´D´= 2 ∙ 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, de ABCD.

D) 5𝐴𝐵 = 3𝐴´𝐵´

E) B´Ć´´//BC

179

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

523) Si la razón de homotecia de dos polígonos es (2:3), ¿Cuál es la razón entre sus

áreas?

A) 2:3

B) 4:9

C) 4:3

D) 3:2

E) 9:4

524) Si a un triángulo ABC de coordenadas A(-3,-2), B(3,-2) y C(3,6) se le aplica una

homotecia con factor 𝑘 =1

3 con centro en uno de sus vértices, el nuevo perímetro medirá:

A) 72 unidades

B) 8 unidades

C) 12 unidades

D) 36 unidades

E) No es posible determinarlo

525) Dado el triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia con centro P y razón 𝑘 =−1

2

y se obtiene el triángulo A´BĆ´. La figura que mejor representa esta transformación es:

180

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

526) A un cuadrado de vértices A(2,2), B(2, -2), C(-2, -2) y D(-2 , 2) se le aplica una

homotecia de factor 𝑘 = 3, con centro en el origen (0,0). Con respecto a las siguientes

afirmaciones, marque la alternativa que determine la(s) verdadera(s) y falsa(s):

i) La figura resultante es un cuadrado

ii) La figura resultante es una ampliación de la original

iii) La figura resultante contiene el vértice A´(3,3)

A) V – F – V

B) F – F – F

C) F – V – F

D) V – V – V

E) V – V – F

527) A un pentágono de área 108 𝑐𝑚2 se aplica una homotecia de razón 𝑘 =1

3,

obteniéndose un pentágono de área:

A) 12 𝑐𝑚2

B) 324 𝑐𝑚2

C) 36 𝑐𝑚2

D) 972 𝑐𝑚2

E) 108 𝑐𝑚2

528) Si al triángulo equilátero de la figura se le aplica una homotecia de razón menor

que -1, ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor un resultado posible de

obtener?

181

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

529) Si en el gráfico de la figura 10, el triángulo DEF es el homotético del triángulo ABC

con centro de homotecia el punto (4,-1), ¿Cuál es la razón de homotecia?

A) 1 ∶ 2

B) √13: 1

C) 2 ∶ 1

D) 1 ∶ √2


530) En la figura se muestra una homotecia de centro 0 y razón – 2,5 que transforma al

triángulo ABC en el triángulo DEF. Si < 𝐴𝐵𝐶 = 60° y BC = 8, ¿Cuál es la medida del

segmento FG?

A) 10√3

B) 10√2

C) 8√3

5

D) 20√2

E) 20√3

531) Una homotecia de razón 3𝑥 + 3𝑥+1 + 32𝑥 con centro en (2,3) transforma el punto (3,4)

en el punto (23,24). Si x es un número real. ¿Cuál es el valor de 𝑥?

A) 7

B) 3

C) 1

D) -7

E) 𝑙𝑜𝑔37

d e s a r r o l l o

182

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

532) En la figura, el triángulo ABC, rectángulo en C, genera la figura homotética A`B`C`con

centro en O y razón de homotecia r.

De acuerdo a la figura, es verdadero que:

I) ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴`𝐵`𝐶`

II) 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴`𝐶`

III) r<0

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

533) En la siguiente figura se muestran dos cuadriláteros 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑀𝑁𝑃𝑄 homotéticos con

centro O de homotecia, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si la razón de homotecia es 1

3, entonces

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷

Á𝑟𝑒𝑎 𝑀𝑁𝑃𝑄=

1

3

II)

𝐵𝐶

𝑁𝑃

III) Si la razón de homotecia es 2

3 y el perímetro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 es 20, entonces el perímetro

de 𝑀𝑁𝑃𝑄 es 30.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo II y III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

183

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

534) En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2

que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que

transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝐻𝐺

𝑆𝑅

II) Si 𝐹𝑄 es igual 15 cm, entonces 𝑂𝐹 es igual a 5 cm

III) 𝑂𝐶 =1

2𝑂𝑅

A) Sólo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

535) En los cuadrados OABC y KLMN de la figura 27, los perímetros son 4 y 8 cm

respectivamente. Se puede determinar la distancia entre A y K, si se conoce:

(1) La razón de homotecia

(2) El centro de homotecia

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




184

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.9 ECUACIÓN DE LA RECTA

536) En la figura, y a b son números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de L es negativa

II) El punto ( ),a b pertenece a la recta L

III) La recta de ecuación a

y xb

= es perpendicular a L.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

537) La ecuación que representa a la recta de la figura es:

A) 2 3 6 0x y a+ − =

B) 3 2 6 0x y a+ − =

C) 2 3 6 0− − =x y a

D) 3 2 6 0x y a+ + =

E) 2 3 6 0− + =x y a

538) El punto (2,-3) es el centro de una circunferencia que pasa por el punto (5,3), ¿Cuál

es el radio de esta?

A) 3

B) 3√5

C) 6

D) √85

E) 4√5

185

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

539) La recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 representada en la figura siguiente intersecta al semieje

positivo Y, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑎 > 1

II) Corta al eje Y en (0,-1)

III) 𝑎(1 − 𝑎) < 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Sólo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

540) Si la ecuación de la recta 𝐿1 es 𝑥 +𝑦

2−1

2= 0, la recta 𝐿2 intersecta al eje 𝑌 en el punto

(0, −2) y

𝐿1

𝐿2, entonces 𝐿2 intersecta al eje 𝑋 en el punto:

A) (1,0) B) (−1,0) C) (−2,0) D) (2,0) E) (0,0)

541) Si la ecuación de recta es 𝑥

2−

𝑦3

2

− 5 = 0, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es 3

4.

II) La gráfica intercepta al eje de las abscisas en el punto (10,0).

III) Su coeficiente de posición es -5

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

542) Si 𝑃 y 𝑄 son dos puntos ubicados en el eje de las ordenadas que están a una distancia

de √34 del punto (3,1), entonces la distancia entre 𝑃 y 𝑄 es:

A) 4

B) 5

C) 6

D) 10

E) √10

186

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

543) Si (𝑎, 𝑏) son las coordenadas del punto de intersección de las rectas 𝐿1: 𝑥 − 2𝑦 = 6 y

𝐿2: 5𝑥 − 5𝑦 = 15 entonces (𝑎 + 𝑏) es igual a:

A) 0

B) -3

C) 3

D) -5


544) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que contiene a 𝐴𝐵 en la

figura adjunta?

A) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

B) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

C) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

D) 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 1

E) 𝑥 + 𝑦 − 7 = 0

545) Sea la recta 𝐿 de ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Si 𝑚 ≠ 0 , ¿Cuál(es) de las siguientes


I) La recta de ecuación −𝑚𝑥 + 𝑦 − 𝑝 = 0, se puede obtener mediante una traslación de

la recta 𝐿.

II) La recta de ecuación −𝑝𝑥 + 𝑦 − 𝑛 = 0 se puede obtener mediante una rotación

centrada en (0, 𝑛) de la recta 𝐿.

III) La recta 𝐿 pudo haberse obtenido mediante una traslación de la recta de ecuación

−𝑚𝑥 + 𝑦 = 0.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

r e f e r e n t e

187

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

546) Sean 𝐴(𝑎, 𝑏) 𝑦 𝐵(𝑐, 𝑑) dos puntos en el plano cartesiano con, 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 números

reales y 𝑎 ≠ 𝑐. Si 𝐿 es la recta que pasa por ambos puntos y 𝑚 su pendiente, ¿Cuáles de

las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝑚 =𝑐−𝑎

𝑑−𝑏

B) El punto (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) pertenece a 𝐿.

C) 𝐿 intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,𝑚𝑎 + 𝑏)

D) 𝐿 intersecta al eje de las abscisas.

E) Una ecuación de 𝐿 está dada por 𝑦 − 𝑑 −𝑚𝑥 +𝑚𝑐 = 0

547) Sean 𝐿1: −𝑝𝑥 + 3𝑦 = 1 y 𝐿2: −3𝑥 + 𝑝𝑦 = −3 dos rectas del plano cartesiano, con 𝑝 un

número real distinto de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si 𝑝 ≥ 3 entonces 𝐿1 y 𝐿2 intersectan en infinitos puntos.

II) Si 𝑝 = −3 entonces 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas.

III) Si 𝑝 = 1 entonces 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

548) Sea 𝐴 y 𝐵 puntos del plano, 𝐴(𝑎, 𝑐) y 𝐵(𝑏, 𝑑). Se puede decir que la pendiente de la

recta que pasa por A y B es negativa si:

(1) 𝐵 está en el segundo cuadrante y 𝐴 está en el tercer cuadrante.

(2) 𝑏 < 𝑎 y 𝑑 > 𝑐

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




188

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

549) Sean los puntos 𝑅(1, 𝑝) y 𝑆(𝑝, 1) en el plano cartesiano, con 𝑝 un número real mayor

que 1. Se puede determinar el valor númerico de 𝑝, si se conoce:

(1) La distancia de 𝑅 al origen.

(2) La longitud del segmento 𝑅𝑆.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




550) En el espacio, el punto (2,3,4) corresponde a:

A) Abscisa 3, ordenada 4 y cota 2

B) Abscisa 2, ordenada 2 y cota 3

C) Ordenada 3, abscisa 4 y cota 2

D) Ordenada 3, cota 4 y abscisa 2

E) Cota 4, ordenada 2 y abscisa 3

3.10 GEOMETRÍA EN 3D 551) En el cubo en la figura, el punto Q tiene coordenadas (0,4,0). Entonces: ¿Cuál(es) de

las siguientes alternativas es o son FALSA(S)?

I) Las coordenadas de 𝑃 son (4,0,4). II) Las coordenadas de T no son (4,4,4). III) Las coordenadas de 𝑉 son (0,0,4).

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

552) Considere el siguiente paralelepípedo. Si la medida de 𝐴𝐵 es el doble de la de 𝐷𝐻.

Entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes alternativas es o son verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝐸 son (5,0,6). II) Las coordenadas del punto 𝐵 son (6,10,0). III) Las coordenadas del punto 𝐺 son (0,10,6).

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

r e f e r e n t e

189

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

553) Dado el triángulo 𝑃𝑄𝑅 posicionado con sus vértices en los ejes. Determine las

coordenadas del punto 𝐴 , sabiendo que la distancia del segmento 𝑃𝐴 es igual a la

distancia del segmento 𝐴𝑄 .

A) (3

2, 0,1)

B) (1,3

2, 0)

C) (3

2, 1,0)

D) (5

2,3

2, 0)


554) Respecto a la figura 5: Se ha trazado un segmento paralelo al segmento 𝑆𝑃 , donde 𝑁

es el punto medio del segmento 𝑃𝑈 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son

verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝑃 son (3,2,0). II) Las coordenadas del punto 𝑈 son (0,5,2).

III) Las coordenadas del punto medio del segmento 𝑀𝑁 son (3

2, 0,

5

2)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

555) En la figura 6 se muestra un paralelepípedo recto con tres de sus aristas en los ejes

coordenados. Si 𝐴 y 𝐵 son los puntos medios de dos de las aristas y el vértice 𝑃 tiene

coordenadas (4, −6,−10), entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝐴 son (4,0, −5). II) Las coordenadas del punto 𝐵 son (0,0,−5). III) Las coordenadas del punto 𝑅 son (4, −6,0)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

190

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

556) En la figura 7 se muestra un cubo de arista 1. Si el vértice 𝑄 está en el eje de las

Ordenadas, el vértice 𝑅 está en el origen y el vértice 𝑆 en el eje de las abscisas. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝑃 son (1, −1,1).

II) El punto medio del segmento 𝑃𝑆 tiene coordenadas (−1

2,−1

2,1

2).

III) Las coordenadas del punto 𝑆 son (−1,0,0).

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

557) En la figura adjunta se presentan cuatro cubos congruentes entre sí de manera

que poseen caras en común, en un sistema de coordenadas de tres dimensiones. Si uno de

los vértices de estos cubos coincide con el origen del sistema de coordenadas, mientras que

algunas de las aristas coinciden con los ejes, y el vértice 𝐴 tiene por coordendadas (3,3,3), entoces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del vértice 𝐵 son (3,6, −3).

II) La distancia entre el vértice 𝐶 y el origen es 3√6.

III) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles en 𝐴.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

191

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

558) En la figura 9 se tiene un paralelepipedo de vértices A, B, C, D, E, F, G y H, de manera

que los vértices B, D y E están en los ejes coordenados y el vértice A está en el origen. Si

P es el punto medio de 𝐹𝐻 y las coordendas del punto 𝐺 son (6,10,4). Entoces: ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El punto medio del segmento 𝐸𝐶 es (3,5,2). II) Las coordenadas del punto 𝑃 son (3,5,4).

III) La distancia del segmento 𝐻𝐶 es 2√13.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

559) Considere el paralelepípedo de la figura 10, si 𝑃 tiene coordenadas (3,0,0), 𝑄 tiene

coordenadas (0,4,0) y 𝑅 tiene coordenadas (0,0,5). ¿Cuál es la distancia del segmento

𝑅𝑆 ?

A) 2√5

B) 5√2

C) 3√5

D) 5√3


560) En la figura 11 se muestra un cubo de arista 6 con tres de sus vértices en los ejes

coordenados y uno en el origen. Si la cara lateral derecha está dividida en tres franjas

congruentes, entonces la distancia del segmento 𝑃𝑄 es:

A) 2√11

B) 4√22

C) 2√22

D) 6√2


561) En la figura 12 el triángulo 𝑃𝑄𝑅 tiene vértices 𝑃(5,0,0), 𝑄(0,5,0) y 𝑅(0,0,5). ¿Cuál es el

área del triángulo 𝑃𝑄𝑅?

A) 25

2√3

B) 5

2√3

C) 2√3

D) 5√3

E) 5√2

192

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

562) En el sistema tridimensional de la figura se ubican los puntos A(1,0,0), B(0,1,0),

C(0,0,1) y D(1,0,1). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

I) El punto medio del segmento 𝐷𝑂 tiene coordenadas (1

2, 0,

−1

2).

II) 𝐴𝐷 es perpendicular a 𝐴𝐵

III) El perímetro del triángulo 𝐶𝐵𝐷 es (1 + √2 + √3)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

563) En la figura 14 se muestran siete cubos en el espacio con sus caras coincidentes y

sus aristas en los ejes coordenados. Si las aristas de los cubos miden una unidad.

¿Cuántas unidades de distancia hay entre el punto 𝑃 y el punto 𝑄?

A) √17

B) √19

C) √22

D) √24

E) √26

564) Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la figura 15 son

𝐴(2,0,0), 𝐵(0,2,0) y 𝐶(0,0,2). Si 𝐶𝐷 es altura, entonces ¿Cuáles son las coordenadas del

punto D?

A) (1,1,1) B) (0,1,1) C) (1,1,0)

D) (√2, √2, 0)

E) (√2, √2, 2)

193

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

565) En la figura 16 se muestra el cubo de arista a. El ∆𝐸𝐵𝐷 es:

A) Equilátero

B) Isósceles no equilátero

C) Isósceles rectángulo

D) Rectángulo en D

E) Rectángulo en B

566) El triángulo ABC de la figura 11 tiene sus vértices ubicados en las coordenadas

𝐴 = (1,0,0), 𝐵 = (0,1,0) y 𝐶 = (0,0,1). Su área y su perímetro miden, respectivamente.

A) 1

2√2 y 3√2

B) 1

2√3 y √2

C) √3 y 3√2

D) 1

2√3 y 3√2

E) 1

2√2 y √2

Demre

567) En el cubo de la figura 15, la longitud de la arista es 3 y un vértice está en el origen

(0,0,0). Si el punto M tiene coordenadas (3,1,0) y cada arista se ha dividido en tres partes

iguales, ¿Cuáles son las coordenadas del punto S?

A) (2,3,3) B) (3,3,3) C) (3,3,2) D) (2,2,3) E) (3,2,3)

Demre

568) En la figura 17 se muestra el cubo de arista a. El ∆𝐸𝐵𝐷 es:

A) Equilátero

B) Isósceles no equilátero

C) Isósceles rectángulo

D) Rectángulo en D

E) Rectángulo en B

Demre

194

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

569) En la figura 17, las coordenadas de los puntos D y F son (0,5,2) y

(3,0,2) respectivamente. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El perímetro del rectángulo AOEF es 10 unidades.

II) El área del rectángulo OCDE es 10 unidades cuadradas.

III) El segmento AC mide √34 unidades.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

Demre

570) En la figura 17 se muestra un cubo de arista 2. Si el vértice A está en el punto (0,0,0),

la arista 𝐴𝐷 está en el eje Z y el vértice B está en el eje Y, entonces las coordenadas del

vértice E son:

A) (0,2,0)

B) (0,-2,0)

C) (2,-2,0)

D) (-2,2,0)

E) (-2,0,2)

Demre

571) En la figura 18, se tienen los puntos A(0,0,1), B(1,0,0) y C(0,1,0). Si M es el punto

medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes coordenados. ¿Cuál(es) de las


I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C.

II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C.

III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Demre

195

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

572) El cubo de la figura tiene vértices A, B, C, D, E, F, G y H. Si AE= 5 cm, ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es FALSA?

A) BG= 5√2 cm

B) 𝐸𝐻 ⊥ 𝐺𝐻

C) BH= 5√3 cm

D) 𝐴𝐷 // 𝐹𝐺

E) 𝐵𝐺𝐻 es isósceles.

573) Las coordenadas de los vértices del triángulo 𝐴𝐵𝐶 de la figura 22 son 𝐴(4,0,0) ,

𝐵(0,4,0) y 𝐶(0,0,4). Si 𝐶𝐷 es altura, entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) La altura 𝐶𝐷 mide 2√3.

II) El perímetro del triángulo 𝐴𝐷𝐶 es [2√2(3 + √3)].

III) La medida del ángulo 𝐷𝐶𝐵 es 30°.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

574) En la figura 23, las coordenadas de los vértices del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son 𝐴(2,0,0) ,

𝐵(0,2,0) y 𝐶(0,0,5). La altura del triángulo 𝐴𝐵𝐶 que cae sobre el lado 𝐴𝐵 mide:

A) 2√6

B) 5

C) 3√3

D) √29

E) √31

575) El paralelepípedo recto se sitúa en un sistema cartesiano tridimensional tal como lo

ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐷?

A) (𝑎, 𝑏, 𝑐) B) (0, 𝑎, 𝑐) C) (𝑎, 0, 𝑐) D) (𝑏, 0, 𝑐) E) (0, 𝑏, 𝑐)

196

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

576) Las coordenadas del triángulo de la figura son las siguientes: 𝐴(4,0,0) ; 𝐵(0,1,0) y

𝐶(0,02), entonces:

I) La distancia entre 𝐴 y 𝐵 es 17.

II) El punto medio del segmento 𝐴𝐶 está determinado por las coordenadas (4,0,2). III) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es escaleno.

Es(son) verdadera(s):

A) Sólo II

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) Ninguna de ellas

577) En la siguiente figura se muestran los puntos 𝐵(4,0,0) , 𝐴(1,0,0) y 𝐸(4,3, 𝑎) en el

espacio, el cuadrilátero 𝐴𝐵𝑄𝐶 es un cuadrado, entonces la distancia de 𝑀 a 𝑄 es:

A) √𝑎2 + 18

B) √𝑎2 + 6

C) 𝑎 + 9

D) 𝑎 + 3√2

E) 3𝑎

3.11 PLANOS EN EL ESPACIO 578) Sean los puntos 𝑃(1,𝑚,−𝑛) y 𝑄(0, 𝑛,𝑚) en el espacio. Se puede determinar la

longitud del segmento 𝑃𝑄 si:

(1) 𝑚 + 𝑛 = 6

(2) 𝑚2 + 𝑛2 = 22

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




579) Sea el triángulo de vértices 𝑃(𝑎, 0,0), 𝑄(0, 𝑎, 0) y 𝑅(0,0, 𝑏) en el espacio. Se puede

determinar la medida del ángulo 𝑅𝑄𝑃 si:

(1) < 𝑃𝑅𝑄 = 100° (2) < 𝑄𝑃𝑅 = 40°

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




197

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

580) Un plano queda determinado mediante:

I) Tres puntos cualesquiera

II) Una recta y un punto no contenida en ella

III) Dos rectas paralelas no coincidentes.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

581) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Dos planos en el espacio siempre se intersectan

II) Dos rectas en el espacio o son paralelas o se intersectan.

III) Una recta es paralela o intersecta a un plano.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

582) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Tres puntos determinan un plano

B) Dos rectas determinan un plano.

C) Dos rectas no paralelas determinan un plano.

D) Una recta y un punto que no pertenezca a la recta, determinan un plano.

E) Todas las anteriores.

583) Determine la posición relativa de los siguientes planos 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 + 4 = 0

−3𝑥 − 3𝑦 + 15𝑧 − 1 = 0

A) Paralelos

B) Perpendiculares

C) Secantes

D) Coincidentes


198

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

584) Al intersectar dos planos no paralelos y no coincidentes se obtiene:

A) Un plano

B) Una recta

C) Un punto

D) Dos rectas

E) El conjunto vacío

585) Si el punto (2𝑚,−3, 1 −𝑚) pertenece al plano 𝑃: 5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0. ¿Cuál es el

valor numérico de 𝑚?

A) 1

B) −5 7⁄

C) −7 9⁄

D) 2

E) −9 7⁄

586) El punto (2, 𝑘, −1) pertenece al plano (𝑥,𝑦,𝑧)

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0 si:

A) 𝑘 = 1

B) 𝑘 =−1

2

C) 𝑘 =1

2

D) 𝑘 =5

2

E) 𝑘 = −5

2

3.12 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

587) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación

4𝑥 + 7𝑦 − 46 = 0

A) (𝑥, 𝑦) = (2,−6) + 𝜇(−4,−46)

B) (𝑥, 𝑦) = (4,2) + 𝜇(46,4)

C) (𝑥, 𝑦) = (2,−6) + 𝜇(4,7)

D) (𝑥, 𝑦) = (−6,10) + 𝜇(7,−4)

E) (𝑥, 𝑦) = (−8,7) + 𝜇(4,−7)

199

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

588) La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (1,0,1) y (2,1,0),

considerando 𝑡 ∈ 𝑅.

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,1) + 𝑡(2,1,0)

B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,−1,1) + 𝑡(2,0,1)

C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,1,1) + 𝑡(−1,1 − 1)

D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,1) + 𝑡(−1,−1,1)

E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,1,−1) + 𝑡(1,0,1)

589) Dada La ecuación cartesiana de la recta 𝑥−5

2=

𝑦−1

3; 𝑧 = 4, su ecuación vectorial es:

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,1,4) + 𝑡(2,3,0)

B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,0) + 𝑡(5,1,4)

C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,1,0) + 𝑡(2,3,0)

D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5,−1,4) + 𝑡(2,3,0)

E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5,−1,−4) + 𝑡(2,3,0)

590) Sea la recta 𝐿 de ecuación: (𝑥, 𝑦) = (1,1) + 𝑡(2,1) , luego ¿Cuál de las siguientes

alternativas representa a otra recta perpendicular a 𝐿?

A) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(2,1)

B) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(1,1)

C) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(1,−2)

D) (𝑥, 𝑦) = (2,2) + 𝑡(−2,−1)


591) Dadas las siguientes ecuaciones vectoriales, con 𝑡 ∈ ℝ, ¿cuál de ellas contiene al

punto P(-4 , 6)?

A) (𝑥, 𝑦) = (6,−4) + 𝑡(−1,2) B) (𝑥, 𝑦) = (−5,4) + 𝑡(−4,6) C) (𝑥, 𝑦) = (−4,5) + 𝑡(−2,4) D) (𝑥, 𝑦) = (4,6) + 𝑡(1,1) E) (𝑥, 𝑦) = (0,0) + 𝑡(−4,6)

200

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

592) Si = (1,2,3) y 𝑑 = (2,4,2), entonces ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa

a la recta con vector de posición y vector director 𝑑?

A) 𝑥−2

1=

𝑦−4

2=

𝑧−2

3

B) 𝑥−1

2=

𝑦−2

4=

𝑧−3

2

C) 𝑥−1

1=

𝑦−2

2=

𝑧+1

3

D) 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2) + 2(𝑧 − 3) = 0


593) Sean los puntos 𝐴(−3,2,5) y 𝐵(2,−4,−6) dos puntos en el espacio. ¿Cuál de los

siguientes puntos pertenece a la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A

y B?

A) (12,−16,−28) B) (7, −10,27) C) (2, −4,6) D) (3, −2,8) E) Ningún punto pertenece

594) En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para 𝑡 variando en los números

reales, ¿En cuál de ellas la recta asociada NO pasa por el origen?

A) (𝑡) = 𝑡(−1,−2,−3) B) 𝑝(𝑡) = (2,4,8) + 𝑡(1,2,4) C) (𝑡) = (−5,10,−15) + 𝑡(1,−2,3) D) (𝑡) = (9,−3,12) + 𝑡(−3,−1,−4) E) (𝑡) = (8,2, −10) + 𝑡(4,1, −5)

595) La ecuación vectorial de la recta que pasa por P= ( -1, 2, 4) y Q= ( 1, 7, 1) corresponde a:

A) (x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( -2, 5, -3)

B) (x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( 1, 7, 1)

C) (x, y, z)= ( 1, 7, 1) + λ ( 2, 9, -5)

D) (x, y, z)= ( 1, 7, 1) + λ ( 2, 5, -3)

E) x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( 1, 7, 1)

201

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

596) Para que las rectas dadas a continuación sean paralelas,

L1 : x – y – 2 = 0 y L2 : ( x , y)= ( 1, 2) + λ (k, 2) el valor de k debe ser:

A) K= 1

B) K= 2

C) K= 0,5

D) K= -2

E) K= -1

597) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación cartesiana

3x – 5y + 59= 0

A) (x, y) = (8, -7) + λ ( -5, -3)

B) (x, y) = (-3, 10) + λ ( -5, 59)

C) (x, y) = (-8, 7) + λ ( 5, 3)

D) (x, y) = (-3, 10) + λ ( 3, -5)

E) (x, y) = (-8, 7) + λ ( 59, 5)

598) ¿Cuál es la ecuación cartesiana asociada a ( x, y) = ( -2, 4) + λ ( 1, 7)?

A) 7x + y + 18= 0

B) -2x + 4y + 17 = 0

C) 7x – 2y + 18 = 0

D) -2x + 4y = 0

E) -7x + y – 18 =0

599) La ecuación simétrica de la recta (x, y) = ( 2, 7) + λ ( -2, 5) es:

A) x−2

2=

y−7

5

B) 2−x

2=

y−7

5

C) 2−x

2=

7−y

5

D) 2−x

−2=

y−5

7

E) x−2

−2=

5−y

7

202

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

600) ¿Qué punto NO pertenece a la recta (x, y) = ( 1, -4) + λ ( -1, -1)?

A) ( 1, -4)

B) ( 0, -5)

C) ( -1, -6)

D) ( 0, 0)

E) ( 4, -1)

601) Respecto de la ecuación vectorial de la recta que se muestra:

( x, y, z) = (-3, 2, -1) + λ (4, -1, 0), con λ R

¿Qué afirmación (es) es (son) verdadera(s)?

I. El punto ( 1, 1, -1) pertenece a la recta.

II. Las coordenadas del vector posición son ( -3, 2, -1)

III. Las coordenadas del vector director son (4, -1, 0)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

602) Si las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio vienen dadas por:

x= 2 - 3λ y= 1 + λ z= -2 + 5λ

¿Qué ecuación vectorial representa la recta?

A) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ ( 3, 1, 5)

B) ( x, y, z) = ( 2, 1, 2) + λ ( 3, 1, 5)

C) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ (-3, 1, 5)

D) ( x, y, z) = (-2, 1, 2) + λ (-3, 1, 5)

E) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ ( 3,-1,-5)

603) ¿Cuál de los siguientes pares de rectas son paralelas? Con λ R

A) L1 : ( x, y, z) = ( 1, 2, 3) + λ ( 5, 3, -1)

L2 : ( x, y, z) = ( 4, 0, 1) + λ ( 3, 5, -1)

B) L1 : ( x, y, z) = ( 9, 0, 0) + λ ( 12, 9, 6)

L2 : ( x, y, z) = ( 9, 0, 0) + λ ( 1, 2, 3)

C) L1 : ( x, y, z) = ( 5, 1, -2) + λ ( 6, -2, 0)

L2 : ( x, y, z) = ( 0, 4, 2) + λ (4,−4

3, 0)

D) L1 : ( x, y, z) = ( 1, 0, 8) + λ ( 3, 4, 7)

L2 : ( x, y, z) = ( 6,-7, 1) + λ ( -3, 4, -7)

E) L1 : ( x, y, z) = ( 5, -2, 12) + λ ( 5, -2, 12)

L2 : ( x, y, z) = λ ( 1, 1, 1)

203

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

604) Si A es un punto de la recta CD y B es un punto que no pertenece a ella, ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

A) A, C y D son colineales.

B) Existe una recta perpendicular a CD que pasa por B.

C) Existe un plano que pasa por B y CD.

D) Existe un único plano que contiene CD.

E) Existe un plano que pasa por A, B y C.

605) ¿A qué recta pertenecen los puntos A ( -3, 2), B ( 0, -7) y C ( -4, 5)? Con λ R

A) ( x, y) = ( 1 + 2 λ, -1 + 3 λ)

B) ( x, y) = ( 2 - λ, -1 + 2 λ)

C) ( x, y) = (-1 + 2 λ, 3 - 2 λ)

D) ( x, y) = (-2 - λ, -3 + 2 λ)

E) ( x, y) = (-3 + λ, 2 - 3 λ)

606) Para determinar la ecuación vectorial de una recta en el espacio es necesario conocer:

(1) Dos puntos en el espacio.

(2) Un punto y un vector director.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.


D) Cada una por sí sola, (1) o (2).


607) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial

𝑝(𝑡) = (3,4,1) + 𝑡(−1,2,1)?

A) ( 0, 0, 0)

B) ( 5, 0, 0)

C) ( 0, 3, 4)

D) ( 0, 10, 4)

E) ( 2, 0, 2)

204

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

608) De las siguientes ecuaciones vectoriales, con k ℛ, ¿En cuál de ellas la recta asociada pasa por

el origen?

A) 𝑝(𝑡) = (3,4,1) + 𝑡(−1,2,1) B) 𝑠(𝑘) = (2,6) + 𝑘(4, −2)

C) 𝑡(𝑘) = (2, −1) + 𝑘(6, −3) D) 𝑝(𝑘) = (4,2) + 𝑘(−4,2) E) (𝑘) = (−6,10) + 𝑘(3,10)

609) ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta paralela al vector = (3,2) y que pasa por el punto

P ( 1, 5)?

A) 2x – 3y + 13 = 0

B) 2x + 3y + 13 = 0

C) 2x + 3y – 13 = 0

D) 2x – 3y + 17 = 0

E) 2x – y + 17 = 0

610) ¿Cuál de las siguientes alternativas es SIEMPRE verdadera?

A) Si dos rectas en el espacio no se intersectan entonces son paralelas.

B) Tres puntos determinan un plano.

C) La intersección entre un plano y una recta es un punto.

D) La intersección de dos planos es una recta.

E) La intersección de tres planos distintos perpendiculares entre sí, es un punto.

611) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la recta de ecuación vectorial

(x, y, z) = ( 2, 0, -1) + k ( 0, 5, 1)?

I) ( 2, 0, -1) II) ( 2, 5, 0) III) ( 2, -5, -2)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) Todas

205

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

612) Determinar el valor del parámetro k para que el punto A ( 5, 9, 13) pertenezca a la recta de

ecuación ( x, y, z) = ( -1, 0, 1) + k ( 2, 3, 4).

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

613) Dadas la siguientes recta 𝐿1: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4, 2) + 𝑘(4, −2),

𝐿2: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (2,5) + 𝑘(2, −1), 𝐿3: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4,5) + 𝑘(6,4), se puede afirmar que es(son) verdadera(s):

I) 𝐿1 ⁄ 𝐿2 ⁄ II) 𝐿1 ⊥ 𝐿3 III) 𝐿2 ⊥ 𝐿3

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo II y III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

614) Si la recta pasa por el punto ( -1, 2, 3) y tiene como vector director ( 2, 1, 3), entonces tiene

por ecuación paramétrica:

A) ( x, y, z) = ( -2k, k, 3k)

B) ( x, y, z) = ( -k, 2k, 6k)

C) ( x, y, z) = ( 1 + 2k, -2 + k, -3 + 3k)

D) ( x, y, z) = ( -1 - 2k, 2 - k, 3 + 3k)

E) ( x, y, z) = ( -1 + 2k, 2 + k, 3 + 3k)

615) La ecuación vectorial de una recta L en el espacio es (x, y, z) = ( 1, 1, 1) + ( 2, 0, 4). Al

respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La ecuación cartesiana de L es 2x – z – 1= 0 para y = 1

II) El punto de coordenadas ( 7, 1,13) pertenece a L

III) Una recta paralela a L es ( x, y, z) = ( 3, 1, 5) + ( 2, 0, 4)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

206

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

616) ¿Cuál es el punto de intersección de las rectas (x, y) = (1, 3) + t(-3, 0)

y ( x, y) = ( -3, 5) + 𝑘( -2, -1)?

A) ( -7, 3)

B) ( -2, 1)

C) ( 0, 0)

D) ( 5, 4)

E) (8

3, 3)

617) Sea la ecuación vectorial de la recta, L: ( x, y) = ( p1, p2) + k(v1, v2). ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Sus ecuaciones paramétricas están dadas por: x= 𝑝1 + k𝑣1 y= 𝑝2 + k𝑣2 .

II) Sus ecuaciones paramétricas están dadas por: x= 𝑝1 + k𝑝1 y= v2 + k𝑣2 .

III) Si v1, v2 son distintos de cero, se cumple que 𝑥−𝑝1

𝑣1=

𝑦−𝑝2

𝑣2.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

618) ¿En qué punto del espacio, una recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = 1 – t, y = t, z = 1 + t intersecta al plano 2x – y + z = 1?

A) ( 0, 0, 0)

B) ( 0 ,1, 2)

C) ( 1, 1, 0)

D) ( 1, 2, 0)

E) ( 1, 2, 1)

619) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta que pasa por

los puntos (2, 1) y (7, -2)?

A) ( 2, 1) + ( 5, 1)

B) ( 2, 1) + ( 5, 3)

C) ( 7, -2) + ( 2, 1)

D) ( 2, 1) + ( 7, -2)

E) ( 2, 1) + ( -5, 3)

207

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

620) La ecuación cartesiana de la recta de ecuación vectorial V(t) = ( 3, -1) + t( 4, -2) es igual a:

A) x – 2y + 1 = 0

B) 7x – 3y – 4 = 0

C) x + 2y – 1 = 0

D) x – 2y – 5 = 0

E) x + 2y – 5 = 0

621) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta cuya

ecuación cartesiana es 2x – y + 3 = 0?

A) ( 1, 2) + ( 0, 3)

B) ( 1, -1) + ( 2, 3)

C) ( 1, -1) + ( 1, 2)

D) ( 0, 3) + ( 1, 2)

E) ( 1, 2) + ( 0, -1)

622) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta de ecuación vectorial

v(t)= ( 2 – t, 3 + 2t)?

A) ( 1 – t, 3 – 2t)

B) ( 5 – 3t, 3 + 6t)

C) ( 2 + t, 3 + 3t)

D) ( 2 + 2t, 3 + t)

E) ( 2 – 4t, 3 – 12t)

623) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta de ecuación

6x – 3y + 40 = 0?

A) ( 1, -1) + t( -2, 1)

B) ( 3, 1) + t( -1, -2)

C) ( 3, -1) + t( 1, -2)

D) ( 0, 0) + t( 2, 1)

E) ( 1, 2) + t( -2, -1)

208

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

624) ¿Para qué valor de t, el punto A(13, -7) pertenece a la recta de ecuación

V(t)= ( 9, -5) + t( 2, -1)?

A) 1

2

B) 1

C) -1

D) 2

E) -2

625) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación de la recta

x + 2y – 1= 0?

A) ( 3 - 2, 1 - )

B) ( 4, 1 - 2)

C) ( 3 + 4, 4 + 2)

D) ( 3 + 2, -1 - )

E) ( -1 - 2, )

626) Respecto a la recta de ecuación ( -5, 1) + t( 1, 4) se puede afirmar que:

I) El punto ( -4, 5) no pertenece a la recta.

II) El punto ( 0, 0) no pertenece a la recta.

III) Tiene la misma dirección que la recta de ecuación y – 4x = 2.

IV) Cuando t= -1, el punto de la recta es ( -6, -3).

A) Sólo I y II

B) Sólo III y IV

C) Sólo I y IV

D) Sólo II, III y IV

E) Todas

627) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a la ecuación de la recta que pasa

por los puntos (3, -1, 2) y ( 2, 1, 1)?

I) r()= ( 3, -1, 2) + ( 2, 1, 1)

II) r()= ( 3, -1, 2) + ( 1, -2, 1)

III) r()= ( 2, -1, -1) + (−1

2, 1,

−1

2)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

209

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

628) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la recta de ecuación vectorial

r()= ( -1, 3, -2) -( 2, 3, -1)?

I) ( -5, -3, 0)

II) ( -1, 3, -2)

III) (1,3

2,−1

2)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

629) La pendiente de la recta de ecuación vectorial r()= ( -2, 1) + ( 1, -3) es:

A) -3

B) −1

2

C) −1

3

D) 1

E) 3

630) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación

(-5, 8, 3) + t( -2, -1, 4), con t ℜ?

A) ( 1, 2,5)

B) ( -4, 15, 1)

C) ( 7, 4, 27)

D) ( -9, 12, 11)

E) ( -1, 10, -5)

631) Si t varía en los reales, entonces la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa

por los puntos ( 1, 0, 2) y ( -2, -1, 1) es:

A) ( 1, 0, 2) + t( -2, -1, 1)

B) ( -2, -1, 1) + t( -1, -1, 3)

C) ( 1, 0, 2) + t( -3, -1, -1)

D) ( -2, -1, 1) + t( 3, 1, -1)

E) ( -2, -1, 1) + t( 1, 0, 2)

210

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

632) Si la recta L en el espacio pasa por los puntos ( -4, 1, 3) y ( 1, -5, 0), ¿Cuál es la ecuación

continua de la recta L?

A) 𝑥+4

5=

−𝑦+1

6=

−𝑧+3

3

B) −𝑥+4

3=

𝑦−1

4=

−𝑧+3

3

C) 𝑥−4

5=

𝑦−1

6=

𝑧−3

3

D) −𝑥−4

3=

−𝑦+1

4=

𝑧+3

3

E) −𝑥−4

5=

𝑦+1

6=

𝑧+3

3

633) La ecuación simétrica de la recta de ecuación vectorial ( 2, 1, 3) + ( 3, -1, 3) es:

A) 𝑥−2

3=

1−𝑦

1=

𝑧−3

3

B) 𝑥−2

3=

𝑦−1

1=

𝑧−3

3

C) 2−𝑥

3=

1+𝑦

1=

𝑧−3

3

D) 𝑥−2

3=

𝑦−1

1=

𝑧+3

3

E) 𝑥−2

3=

𝑦+1

1=

3𝑧−1

3

634) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta de la ecuación vectorial

(x, y) = (3, 1) + k( 2, 0)?

I) ( 3, 0) II) ( 1, 1) III) ( 7, 1)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

211

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

635) Si la recta ℒ ∈ ℝ3 pasa por el punto 𝑃(−1, 2, 3) y tiene como vector director = (2, 1, 3)

entonces tiene por ecuación paramétrica:

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2𝑘, 𝑘, 3𝑘)

B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑘, 2𝑘, 6𝑘)

C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2𝑘, −2 + 𝑘,−3 + 3𝑘)

D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1 − 2𝑘, 2 − 𝑘, 3 − 3𝑘)

E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( −1 + 2𝑘, 2 + 𝑘, 3 + 3𝑘)

636) Dado el triángulo de vértices 𝐴(2,1,0) , 𝐵(−2,3,2) , 𝐶(−2,3,4) , ¿Cuál de las siguientes

ecuaciones corresponde a una recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de 𝐴𝐵 ?

A) 𝑥+2

2= 3 − 𝑦 =

4−𝑧

2

B) 𝑥+2

2= 3 + 𝑦 =

4−𝑧

3

C) 𝑥+2

2= 3 − 𝑦 =

4−𝑧

3

D) 𝑥 + 2 = 3 − 𝑦 =4−𝑧

3


637) Se tienen dos rectas en el plano, 𝐿1 y 𝐿2, cuyas ecuaciones son

𝐿1: (𝑥, 𝑦) = 𝑡(1, 𝑎 + 2) + (2, 𝑏) y 𝐿2: (𝑥, 𝑦) = 𝑢(−2, 𝑏 − 1) + (1, 𝑎), con 𝑡 y 𝑢 números reales.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Si 𝑎 + 2 = 1 − 𝑏 entonces 𝐿1 es paralela a 𝐿2.

B) Si 𝑎(𝑎 − 𝑏) = 2(2 − 𝑏) entonces 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2.

C) 𝐿1 intersecta al eje 𝑌 en el punto (0 , 2𝑎 + 4 + 𝑏).

D) El punto (3, 2𝑏 − 2 + 𝑎) pertenece a la recta 𝐿2.

E) 2(𝑎 + 2) =4

𝑏−1, entonces 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2.

212

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

3.13 CUERPOS GEOMÉTRICOS: ÁREA Y

VOLÚMENES

638) Considere los puntos 𝐴 y 𝐵 de la figura adjunta. Si el punto (𝑥0, 5, 𝑧0) pertenece a la recta que

pasa por los puntos A y B. ¿Cuáles son los valores de 𝑥0 y 𝑧0?

A) 𝑥0 = 0, 𝑧0 = 14

B) 𝑥0 = 14, 𝑧0 = 4

C) 𝑥0 = 14, 𝑧0 = 0

D) 𝑥0 = −12, 𝑧0 = 0

E) 𝑥0 = 12, 𝑧0 = 3

639) ¿Cuál es el volumen en unidades cubicas del cuerpo geométrico que resulta al girar

el triángulo sobre el eje z?

A) 75𝜋 B) 45𝜋 C) 25𝜋 D) 15𝜋

E) 15

2𝜋

640) En la siguiente figura se muestran un cuarto de circunferencia de radio 2𝑟 y una

semicircunferencia de radio 𝑟 . Estas figuras se hacen rotar indefinidamente en torno al

eje X y forman una semiesfera y una esfera, respectivamente. ¿Cuál es la relación correcta

entre el volumen de la semiesfera y la esfera?

A) Los volúmenes son iguales

B) El volumen de la esfera es el doble de la semiesfera

C) El volumen de la semiesfera es el doble de la esfera

D) El volumen de la esfera es el cuádruple del volumen de la semiesfera

E) El volumen de la semiesfera es el cuádruple del volumen de la esfera

213

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

641) En la figura 12, se tiene una semicircunferencia de radio 3 cm y diámetro 𝐴𝐵 , donde

el triángulo isósceles 𝐴𝐵𝐶 está inscrito en ella. Si se hace girar la región achurada, en

forma indefinida, en torno a la recta L, se genera un cuerpo cuyo volumen, es centímetros

cúbicos, es:

A) 18𝜋

B) 9𝜋

C) 9𝜋

2

D) 18𝜋 − 2

E) 4

3𝜋

642) Se obtiene un solo cono recto si se hace girar indefinidamente un

I) Triángulo equilátero en torno a uno de sus ejes de simetría.

II) Triángulo rectángulo en torno a su hipotenusa.

III) Triángulo rectángulo en torno a un determinado cateto.


A) Solo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

643) Se tiene un cuadrilátero de vértice (3, 𝑝), (3,0), (8,0) y (8,4𝑝), con 𝑝 un número real

positivo. Si el volumen del cuerpo generado al rotar indefinidamente este cuadrilátero en

torno al eje de las abscisas es 140𝜋 unidades cúbicas, entonces 𝑝 es:

A) 1

√3 unidades

B) 2 unidades

C) 1

2 unidades

D) 1

4√2 unidades

E) Indeterminable con los datos entregados

214

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

644) En la figura adjunta, ABFG y BCDF son cuadrados congruentes, con F el punto medio

de 𝐸𝐵 . Si el polígono ACDEFG se hace girar indefinidamente en torno a 𝐴𝐶 , entonces se

tiene un cuerpo formado por:

A) Dos cubos y un triángulo

B) Un cilindro y un cono

C) Un cono truncado

D) Un cilindro y un cono truncado

E) Un cilindro y una pirámide

645) El círculo de centro (0,0,0) y radio 5 cm de la figura adjunta está totalmente contenida

en el plano 𝑦𝑧. Si este círculo se desplaza según el vector (8,0,0), entonces el volumen del

cuerpo generado por el barrido de este círculo es:

A) 100π cm3

B) 120π cm3

C) 200π cm3

D) 220π cm3

E) 320π cm3

215

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

216

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

217

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

218

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

219

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

220

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

221

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

222

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

223

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

224

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4 EJE DATOS Y AZAR

Tal como su nombre indica, este eje contiene 2 grandes enfoques:

1. Manejo de datos: En toda clase de problemas es fundamental entender cuál es la mejor

manera de contar, organizar y analizar datos. Para esto se han creado todo tipo de métodos,

diagramas y gráficos.

2. Predicción y azar: Cuando queremos predecir el futuro casi siempre existen factores

desconocidos que pueden afectar nuestra predicción. El azar es, en cierto sentido, el hecho de

que no podemos predecir con exactitud cuál será el rumbo que tomará la naturaleza. Sin

embargo, podemos observar que la realidad tiende al resultado que más posibilidades tiene de

suceder.

En la práctica estos dos conceptos se complementan naturalmente.

Combinatoria: Es la rama de las matemáticas que estudia la enumeración de las cosas, es decir,

técnicas para contar. Aunque pareciera que contar es bastante básico existen muchas

situaciones en donde se requieren métodos más elaborados que simplemente ir uno por uno.

Principio multiplicativo: Consiste en multiplicar la cantidad de posibilidades de cada situación a

contar. La idea es agrupar los elementos que quiero contar, de forma que pueda contar los grupos

y luego multiplicar por el tamaño de los grupos.

Por ejemplo: si quisiera saber cuántos números de 2 dígitos existen, entonces puedo agruparlos

por el primer dígito, lo que me entrega 9 grupos distintos, y en cada grupo hay 10 números

distintos, por lo que simplemente multiplico 9 · 10 = 90 (9 grupos de 10 números cada uno, son

90 números de 2 dígitos).

A partir de este principio las diferentes situaciones se pueden clasificar en 3 tipos:

1. Permutaciones: La cantidad de formas en las que se pueden ordenar de maneras distintas un

conjunto de cosas.

2. Combinaciones: La cantidad de conjuntos de cierto tamaño a partir de un conjunto mayor.

3. Variaciones: Es cuando se quieren contar las posibles permutaciones de cada una de las

combinaciones de un conjunto de cosas.

225

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Estadística descriptiva:

Es la rama de las matemáticas que se encarga de organizar y describir las diferentes formas en

que se comportan un grupo de datos.

Una Población es el conjunto de datos, resultados o individuos del cual se quiere estudiar alguna

característica. Una Muestra es un subconjunto de la población, es decir un conjunto que se formó

al seleccionar elementos de una población dada. Si el método de selección es al azar entonces

la muestra se denomina muestra aleatoria.

Los datos de una muestra pueden ser descritos mediante los siguientes tipos de medida:

1. Medidas de posición: Son los datos que dividen en partes iguales una muestra ordenada. Por

ejemplo: si la muestra se divide en 5 grupos iguales el dato que estaría entre el primer quinto de

datos y los cuatro quintos restantes se denomina primer quintil.

2. Medidas de tendencia central: Son aquellos datos que suelen relacionarse con valores

representativos de la muestra. Destacan la moda: el dato que más se repite, la media: el valor

obtenido al sumar todos los datos y luego dividirlos por el total de datos, y la mediana: El valor

que ocupa la posición central en la muestra.

3. Medidas de dispersión: Es posible también que se necesite saber cómo se distribuyen los

datos de una muestra, es decir, desde que todos puedan ser iguales hasta que estén muy

dispersos entre sí.

Para cuantificar estas diferencias se ocupan las denominadas Medidas de dispersión tales como

la varianza, la desviación estándar y el rango de la muestra. En la siguiente tabla se muestran

las formas de calcular cada una de ellas:

Donde 𝑥𝑖 es el dato número 𝑖 y es la media de los datos. Entre mayor sean las medidas de

dispersión se dice que los datos son más heterogéneos, entre menor sean estas medidas se dice

que los datos son más homogéneos.

226

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Probabilidades:

Las probabilidades son el grado de certeza que se puede tener a la hora de predecir un suceso

asociado a un experimento aleatorio.

Un experimento aleatorio es un experimento cuyos resultados dependen del azar. (Tirar dos

dados, lanzar una moneda, ganar un bingo, etc..).

Cada experimento puede tener una variable aleatoria que es alguna característica medible del

resultado experimental. Por ejemplo, si yo lanzo dos dados puedo definir la suma de los números

obtenidos como mi variable. Al conjunto de todos los posibles resultados se le denomina Espacio

muestral.

Hay que tener cuidado de no confundir el valor de la variable aleatoria con el resultado del

experimento. Por ejemplo, si al lanzar 2 dados me aparece un 1 y un 4, la suma es 5. En este caso

el resultado es el par (1,4) y el valor de la variable es 5, si me salieran el 2 y el 3 el resultado sería

el par (2,3) pero mi variable aleatoria seguiría tomando el mismo valor. Dos resultados distintos

pueden dar un mismo valor para la variable aleatoria.

Según la naturaleza del experimento las variables pueden ser de 2 tipos:

1. Variable aleatoria discreta: Cuando se pueden contar los elementos del espacio muestral.

(Posibles resultado al tirar un dado por ejemplo)

2. Variable Continua: Cuando no se pueden contar los elementos del espacio muestral. (Todas

las alturas posibles de una persona elegida al azar por ejemplo.)

En el caso discreto para calcular el grado de certeza que tengo de que mi variable aleatoria 𝑦

vaya a tomar algún valor 𝑥, es decir, la probabilidad de que 𝑦 = 𝑥 , se ocupa la regla de Laplace:

En el caso continuo no se pueden definir la cantidad de resultados, por lo que la regla de Laplace

pierde sentido. En este caso se define la Función de densidad de probabilidad, donde ya no se

pretende saber el grado de certeza de que la variable tome un valor exacto, si no el grado de

certeza de que la variable aleatoria esté entre 2 valores dados, es decir:

𝑓(𝑎 < 𝑌 < 𝑏) = Probabilidad de que 𝑌 tome cualquiera valor entre 𝑎 y 𝑏.

227

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

228

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

229

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

230

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

231

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

INSTRUCCIÓN ESPECÍFICA:

Si 𝑍 es una variable aleatoria continua, tal que 𝑍~𝑁(0,1) y donde la parte sombreada de la

figura representa a 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧), entonces se verifica que:

4.2 ANÁLISIS DE GRÁFICOS Y TABLAS

646) El gráfico adjunto muestra el registro de las masas de los sacos guardados en una

bodega, de manera que todos los intervalos son de la forma [𝑎, 𝑏[, excepto el último que

es de la forma [𝑐, 𝑑]. Según la información del gráfico, es FALSO afirmar que:

A) Menos del 25% de los sacos se encuentra en el intervalo [5,10[. B) 65 sacos tiene una masa mayor o igual a 15 kilos

C) Hay 20 sacos más en el tercer intervalo que en el quinto intervalo.

D) Hay 160 sacos guardados en la bodega.

E) 35 sacos tienen una masa menor a 5 kilos.

232

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

647) En el histograma de la figura adjunta se muestra la distribución de las masas

corporales, en kg, de un grupo de personas, donde los intervalos del histograma son de la

forma ]𝑎, 𝑏]. Según este gráfico, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 58 personas tienen una masa corporal menor o igual que 60 kg.

B) El rango de las masas corporales es menor o igual que 50 kg.

C) En total hay 80 personas en el grupo.

D) Menos de la mitad de las personas tienen una masa corporal de a lo menos 50 kg.

E) Un 35% de las personas tienen una masa corporal menor o igual que 40 kg.

648) El histograma de la figura 15 muestra la distribución de las edades de un grupo de

personas, en donde no se han indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media

aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce:

(1) El valor de la mediana de la distribución

(2) La suma de todas las marcas de clases de los intervalos de la distribución.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




649) El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma

de los 4 primeros es 302?

A) 78

B) 68

C) 62

D) 58

E) 72

233

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

650) La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Edad (años) 15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

I) La moda es 17 años

II) La mediana es mayor que la media

III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

651) Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control

se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg. ¿Cuál es el peso del niño

al que le perdieron la ficha?

A) 39 kg

B) 29 kg

C) 21 kg

D) 20 kg

E) 19 kg

4.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

652) De 50 controles acumulativos, Juan lleva promedio 6,3. Si le dan la posibilidad de

borrar las tres peores pruebas, que son: 3,1; 2,7 y 3,7; entonces, su nuevo promedio

será:

A) 6,5

B) 6,4

C) 6,3

D) 6,2


653) En un curso de 50 personas, 25 alumnos obtuvieron promedio 5,2; 20 alumnos

obtuvieron promedio 5,7 y los demás promedio 6,4. El promedio del curso fue:

A) 5,70

B) 5,76

C) 5,52

D) 5,60

E) 5,80

234

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

654) Los datos corresponden al número de alfajores que se venden diariamente en un

quiosco durante 18 días. De las siguientes afirmaciones ¿Cual(es) es(son) verdadera(s)?

31 22 13 19 6 31 9 19 16

7 22 25 11 28 18 30 15 31

I) La moda es menor que la mediana y que la media

II) La media es menor que la moda y la mediana

III) La media es mayor que la mediana.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Ninguna

655) La tabla de distribución de frecuencias de la figura corresponde a las estaturas de un

grupo de 100 personas. 𝐶 = 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒, 𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. La moda, media y mediana se

encuentran, respectivamente, en las clases:

𝐶 Estatura (cm) 𝑓

𝑎 [1,2 − 1,4[ 10

𝑏 [1,4 − 1,6[ 34

𝑐 [1,6 − 1,8[ 28

𝑑 [1,8 − 2,0[ 24

𝑒 [2,0 − 2,2] 4

A) 𝑏, 𝑏, 𝑏

B) 𝑐, 𝑏, 𝑐 C) 𝑏, 𝑑, 𝑐 D) 𝑏, 𝑐, 𝑐 E) 𝑐, 𝑐, 𝑏

656) Si las notas de Esteban en una asignatura son: 3, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 3, 4 y de estas notas

se cambia un 6 por un 7. ¿Cuál(es) de las siguientes medidas de tendencia central

cambia(n)?

I) La moda

II) La mediana

III) La media aritmética

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) Ninguna

235

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

657) La distribución de notas de un curso de 100 estudiantes es la indicada en la tabla.

Entonces, con la información disponible, es posible estimar que el promedio aritmético

de las notas es:

Intervalo Frecuencia Absoluta

1,5 ≤ 𝑁 < 2,5 5

2,5 ≤ 𝑁 < 3,5 22

3,5 ≤ 𝑁 < 4,5 30

4,5 ≤ 𝑁 < 5,5 31

5,5 ≤ 𝑁 < 6,5 12

Total 100

A) 3,73

B) 4,23

C) 4,53

D) 5,03

E) 5,53

658) La siguiente tabla muestra los valores de una variable 𝑋 y sus respectivas frecuencias.

¿Cuál es el valor de la mediana?

𝑿 Frecuencia

4 4

5 8

6 10

7 20

8 8

A) 5,5

B) 6

C) 6,5

D) 7

E) 7,5

659) De acuerdo a la siguiente muestra: 𝑎 + 2, 𝑎 + 4, 𝑎 + 6, 𝑎 + 6, 𝑎 + 6, 𝑎 + 4, 𝑎 + 2, la

suma de la mediana y la moda es:

A) 2(𝑎 + 6) B) 2𝑎 + 10

C) 𝑎 + 12

D) 2𝑎

E) 𝑎 + 2

660) Los datos de una muestra son todos números naturales consecutivos, si no hay ningún

dato repetido y la mediana de la muestra es 11,5, entonces ¿Qué cantidad de datos no

puede ser?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

E) 8

236

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

661) Si los resultados de una muestra estadística son todos ellos pares consecutivos y hay

un total 102 datos, entonces ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) El promedio es par.

II) La mediana es impar.

III) La amplitud es par.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Ninguna

662) Si una muestra estadística es formada por datos numéricos enteros positivos

consecutivos, entonces dado que hay una cantidad par de datos y no se repite ninguno, la

mediana puede ser:

A) 10

B) 10,5

C) 10,7

D) 10,8

E) 11

663) La siguiente tabla muestra un estudio de edades hecho en un grupo de lectores,

¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa (s)?

I) La amplitud o rango de la muestra es 11 años.

II) La moda es 8

III) La media es aproximadamente 14 años.

Edades N° de alumnos

10 a 12 años 5

13 a 15 años 7

16 a 18 años 8

19 a 21 años 5

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III


237

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

664) La tabla adjunta muestra la distribución de frecuencias de una variable estadística 𝑋.

Si 𝑚 y 𝑝 son números enteros positivos tales que 𝑝 > 4𝑚, entonces es correcto afirmar

que:

I) La mediana de la distribución se encuentra en el segundo intervalo.

II) La distribución tiene dos modas.

III) El promedio de 𝑋, obtenido a partir de la marca de clase, es 5

2(𝑝 −𝑚).

𝑿 Frecuencia

[𝑝 − 4𝑚; 2𝑝 − 3𝑚[ 𝑝 + 1

[2𝑝 − 3𝑚; 3𝑝 − 2𝑚[ 𝑝 − 1

[3𝑝 − 2𝑚; 4𝑝 −𝑚] 𝑝 + 1

Es (son) verdadera(s)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

665) A un grupo de mujeres se les preguntó acerca de su masa corporal. Sus respuestas

se resumen en el histograma de la figura adjunta, donde los intervalos son de la forma

[𝑎, 𝑏[ y el último de la forma [𝑐, 𝑑]. Según la información del gráfico es verdadero que:

A) Sólo una mujer de las entrevistadas tiene una masa corporal menor que 64 kg.

B) Exactamente, un 20% de las mujeres entrevistadas tiene una masa corporal entre [60,64[.

C) La mediana de las masas corporales está en el intervalo [64,66[. D) La moda de las masas corporales es 7.

E) Exactamente, un 32% de las mujeres entrevistadas tiene una masa entre [68,72[.

238

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

666) La tabla adjunta muestra algunos datos que corresponden a una encuesta sobre el

porcentaje de satisfacción por un producto, que manifestó el total de personas

encuestadas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) El intervalo modal es [80,85[. B) 50 personas contestaron la encuesta.

C) El 50% de los encuestados tiene menos de un 80% de satisfacción por el producto.

D) El 10% de los encuestados tiene menos de un 70% de satisfacción por el producto.

E) Ninguna de las personas encuestadas tiene un 100% de satisfacción por el producto.

667) Si la tabulación del peso de 40 niños recién nacidos se muestra en la tabla adjunta,

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La mediana se encuentra en el tercer intervalo

II) Un 5% de los recién nacidos pesó 4 o más kilogramos.

III) La moda se encuentra en el intervalo 3,5 – 3,9.

Peso

(kg)

N° de

niños

2,5 – 2,9 5

3,0 – 3,4 16

3,5 – 3,9 17

4,0 – 4,4 2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

239

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

668) La tabla adjunta muestra algunos de los datos que resultan de encuestar a un grupo

de adultos mayores sobre la edad que tienen. Con respecto a los datos de esta tabla,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La marca de clase del tercer intervalo es 67,5

B) El rango de la variable edad es 15 años.

C) La frecuencia relativa porcentual del segundo intervalo es 18%

D) La moda se encuentra en el intervalo [66,69[ E) La mediana se encuentra en el intervalo [66,69[

669) Al observar los grupos de datos P y Q de la tabla adjunta, se puede deducir que:

P 2 4 6 6 10 12

Q 2 4 6 6 10 11

A) Las modas y medias aritméticas de P y Q son iguales.

B) Las medias aritméticas y las medianas de P y Q son iguales.

C) La media aritmética de P es menor que la de Q.

D) La mediana es la misma en P y Q.

E) La moda y mediana de P y Q son distintas.

670) De acuerdo a la información dada por la tabla de distribución de frecuencias de la

figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Para algún valor de p, el promedio puede ser 6

II) Para cualquier valor positivo posible de p menor que 7, la mediana es 5

III) a = 0,2 solo si p = 7

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

x Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

4 6 5 4 a 6 p 7 3

240

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

671) El gráfico adjunto muestra la distribución de frecuencias de una variable discreta X.

En esta distribución es posible calcular la media aritmética de X, si:

(1) 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 4; 𝑥3 = 5; 𝑥4 = 6 (2) 4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 41

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




672) El tercer cuartil de los datos 3; 2; 5; 5; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 10; 11; 20 es:

A) 10,5

B) 8

C) 8,5

D) 9,5


673) Si la tabla adjunta muestra intervalos de minutos diarios que un grupo de 80

personas habla por teléfono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdaderas?

I) El primer cuartil se encuentra en el mismo intervalo que el percentil 20.

II) La mediana se encuentra en el tercer intervalo.

III) El tercer intervalo se encuentra en el mismo intervalo que el percentil 75.

Minutos N° de

personas

[0,10[ 25

[10,20[ 23

[20,30[ 15

[30,40[ 10

[40,50] 7

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

241

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

674) La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de

un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

Intervalo de

puntaje

Frecuencia

10-19 6

20-29 8

30-39 12

40-49 5

50-59 9

I) La moda es de 35

II) La mediana es 34,5

III) El tercer cuartil es 47,2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

675) La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa.


Tramo Número

de

personas

Sueldo en pesos: Desde-

hasta

A 3 ]650.000 − 750.000]

B 2 ]550.000 − 650.000]

C 5 ]450.000 − 550.000]

D 15 ]350.000 − 450.000]

E 13 ]250.000 − 350.000]

F 7 ]150.000 − 250.000]

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $350.000 de sueldo.

II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D.

III) El primer cuartil es 284.615

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

242

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.4 MEDIDAS DE POSICIÓN

676) La distribución de pensiones en miles de pesos que recibe un grupo de adultos

mayores se presenta mediante el siguiente diagrama de caja y bigote. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) correctas?

I) El 25% de los pensionados gana más de $750.000

II) El promedio de las pensiones es $650.000

III) El 25% de las personas gana a lo menos $300.000

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

677) La tabla siguiente muestra los valores aproximados de la distribución en quintiles del

ingreso familiar per cápita en Chile. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) El 60% tiene un ingreso mayor a 71 mil pesos

B) El 20% tiene un ingreso entre 118 mil y 333 mil pesos

C) El 20% tiene un ingreso mayor a 182 mil pesos

D) El 40% tiene un ingreso no mayor a 71 mil pesos.

E) El 60% tiene un ingreso a lo menos de 118 mil pesos.

678) El ingreso de Felipe está ubicado entre el segundo y tercer decil. ¿Cuál (es) de las

siguientes afirmaciones respecto a este ingreso en relación a la población es (son)

verdadera (s)?

I) Es inferior al 25%.

II) Es superior al 20%.

III) Es superior al 22%.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

243

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

679) A continuación, se presenta una tabla que indica la cantidad de agua consumida

mensualmente por las familias de una ciudad. En base a lo anterior. ¿Cuál(es) de las


I) Si 𝑥 es 70, entonces el percentil 74 se encuentra en el intervalo [12,18[.

II) Si 𝑥 es 20, entonces el decil 4 se encuentra en el intervalo [6,12[.

III) Si 𝑥 es 10, entonces el cuartil 2 se encuentra en el intervalo [12, 18[

Cantidad de

agua

Consumida (𝒎𝟑)

Cantidad

de

personas

[0,6[ 40

[6,12[ 𝑥

[12,18[ 120

[18,24[ 20

A) Sólo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

680) En la tabla adjunta se muestran los resultados de la longitud de unos troncos cortados

en un aserradero. Según los datos de la tabla, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones No

se puede deducir?

Longitud

(cm)

Frecuen

cia

(𝒙𝒊)

Marca de

Clase

(𝒇𝒊)

Marca de clase

por

frecuencia

(𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊) [30,32[ 4 31 124

[32,34[ 7 33 231 [34,36[ 9 35 315

[36,38[ 12 37 444

[38,40] 8 39 312

Total: 1.426

A) El intervalo modal es [36,38[.

B) La media de la variable es 35,65.

C) El intervalo donde se encuentra el primer cuartil se encuentra en el intervalo [32,34[.

D) Un 10% de los troncos mide más de 30 cm y menos de 32 cm.

E) El tercer cuartil se encuentra en el intervalo [36,38[.

244

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

681) En un grupo de datos la mediana es 𝑚 y la media es . ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es siempre verdadera?

A) El percentil 80 es mayor que .

B) El primer cuartil es 𝑚

2.

C) El dato más repetido es 𝑚.

D) El percentil 70 es mayor o igual que m.

E) 𝑚 =

682) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a un conjunto de datos con media igual a

5,1 y primer cuartil igual a 2?

683) De acuerdo a los 100 datos de la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes


I) El segundo cuartil se ubica en el intervalo [50,55[. II) El intervalo donde se ubica el percentil 50 coincide con el intervalo modal.

III) Los datos que son mayores o iguales a 55 corresponden a menos de un 50% del total

de los datos

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

245

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

684) La tabla adjunta representa un estudio estadístico acerca de la producción de las

parcelas de una región, agrupándolas en intervalos dependiendo de las toneladas de

hortalizas que producen por temporada.

De acuerdo con esta información. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) informaciones es(son)

falsas?

I) La mediana está en el intervalo 31 - 40

II) La moda está en el intervalo 51 – 60

III) El tercer cuartil se encuentra en el intervalo 51 - 60

A) Solo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

685) El rango del siguiente conjunto de datos es:

3,7,8,11,1,10,15,20,21,22,24,23

A) 12

B) 20

C) 21

D) 22

E) 23

686) ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?

I) La desviación estándar es un número real no negativo.

II) La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser negativa.

III) El rango es una medida de dispersión que puede ser negativa.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

246

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

687) Debido a los malos resultados de la prueba de Matemática el profesor decide subir

las notas en dos décimas. ¿Cuál de los siguientes estadígrafos no cambia?

I) Media

II) Rango

III) Varianza

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

688) En un supermercado todo los fines de semana los artículos están rebajados en un

10%, si se considera una muestra de 100 artículos, entonces ¿Cuál(es) de los

siguientes estadígrafos de la muestra también variarían en el mismo porcentaje?

I) Media

II) Rango

III) Desviación estándar

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

4.5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

689) La desviación estándar de los datos 4𝑎, 4𝑏 y 4𝑐 es 0,16, entonces la desviación

estándar de los datos 𝑎, 𝑏 y 𝑐 es igual a:

A) 0,1

B) 0,04

C) 0,16

D) 0,64

E) 1

690) Si se consideran dos muestras, en una de ellas el peso promedio de un mamut adulto

se estimaba en 7.500 kg, y en la otra, el peso promedio de un ratón es de 30 gramos, con

una desviación estándar de 5 gramos. De acuerdo con estos datos, se puede determinar

que:

A) Ambas muestras tiene igual dispersión

B) La muestra de los mamuts es más homogénea que la de los ratones

C) La muestra de los ratones es más homogénea que la de los mamuts.

D) Una muestra para el peso de los mamuts siempre tendrá mayor dispersión que una

muestra para el peso de los ratones.

E) No es posible comparar su dispersión

247

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

691) Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 números positivos con varianza 𝜎2 y media , entonces es FALSO

afirmar que:

A) Si 𝑛 > 0, entonces la varianza de 𝑎 + 𝑛, 𝑏 + 𝑛, 𝑐 + 𝑛 y 𝑑 + 𝑛 es (𝜎2 + 𝑛). B) Si 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑, entonces 𝜎2 = 0. C) La varianza de 3𝑎, 3𝑏, 3𝑐, 3𝑑 es de 9𝜎2. D) Si 𝑞 > 0, entonces la media aritmética de 𝑎 + 𝑞, 𝑏 + 𝑞, 𝑐 + 𝑞, 𝑑 + 𝑞 es ( + 𝑞). E) La varianza y la desviación estándar pueden ser iguales.

692) Se tiene cuatro números naturales de la forma (2𝑝 − 1), (2𝑝 + 1), (2𝑝 + 3) y (2𝑝 + 5). La media aritmética y la desviación típica de ellos, son respectivamente:

A) (2𝑝 + 2) y √6

B) (2𝑝 + 2) y √5

C) (2𝑝 + 1) y 2√3

D) (8𝑝 + 8) y √5

E) (8𝑝 + 2) y 2√6

693) Se tiene un conjunto formado por el número positivo “𝑛”, por la mitad de 𝑛 y por el

doble de 𝑛 La desviación estándar del conjunto dado, es siempre:

A) √7

6 𝑛

B) √1

2 𝑛

C) 1

3√7

2 𝑛

D) √5

6 𝑛

E) Independiente del valor de 𝑛

694) Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (son) verdadera(s)?

Edad

(años)

N° de

niños

[0 − 4[ 2

[4 − 8[ 1

[8 − 12[ 2

I) El promedio es 6.

II) El total de datos es 5.

III) La desviación estándar es √12,8

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

248

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

695) En una familia las edades de sus hijos son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las


I) Si todos aumentaron un año, entonces la media sería 5 unidades mayores.

II) La muestra es amodal.

III) La desviación estándar es de √10,8 años.

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

696) La varianza de los datos de la tabla es:

Dato Frecuencia

12 3

13 1

14 4

15 2

A) 0,5

B) 0,575

C) 1,11

D) 1,25

E) 1,438

697) Una prueba consta de 40 preguntas y fue respondida por 70 alumnos obteniéndose

un promedio de 30 respuestas correctas con una varianza igual a 9. Si el puntaje de la

prueba se calcula mediante la fórmula:

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 = 4 ∙ 𝑛°𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 + 64

¿Cuál es la desviación estándar para el puntaje?

A) 6

B) 10

C) 12

D) 36

E) 100

698) Se tienen cuatro números 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 cuya varianza es 𝜆 , entonces la varianza de

𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 𝑦 𝑘𝑤, siendo 𝑘 un número natural, es:

A) 4𝑘𝜆

B) 𝑘4𝜆

C) 𝑘2𝜆

D) √𝑘𝜆

E) 4(𝑘 + 𝜆)

249

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

699) De acuerdo a la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝐴 + 𝐵 = 3

II) La desviación estándar es √2.

III) La varianza es 2. 𝑥𝑖 (𝑥𝑖 − )2

4 𝐵

5 1

6 0

7 𝐴

8 4

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) I, II y III


700) Si todos los datos de una muestra se incrementan en 4 unidades, entonces la

varianza:

A) Se incrementa en 4 unidades

B) Se incrementa en 2 unidades

C) Queda igual

D) Se incrementa en un 25%

E) Se incrementa en un 50%

701) Si todos los datos de una muestra se multiplican por 4, ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) El promedio se cuadruplica.

II) La desviación típica se cuadruplica.

III) La varianza se duplica.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

250

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

702) Al analizar los puntajes de los 4 controles realizados por Juan y Pedro, se tuvieron

los siguientes resultados.

Juan Pedro

Promedio 613 613

Desviación

estándar

54,47 168,74

De acuerdo con esta información, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son)

siempre verdadera (s)?

I) Juan tiene puntajes más cercanos a su promedio.

II) Ambos han obtenido los mismos puntajes en los controles.

III) Existe un error en el cálculo de las desviaciones estándar de Pedro o de Juan,

porque ambos tienen el mismo promedio.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

703) En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5, Si a cada

elemento de la muestra se agregan 10 unidades entonces la nueva desviación estándar

y varianza son, respectivamente:

A) 101,5 102,25

B) 101,5 12,25

C) 11,5 12,25

D) 1,5 102,25

E) 1,5 2,25

704) ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Una desviación estándar pequeña, significa que los datos están concentrados cerca

de la media aritmético.

B) Una desviación estándar grande, indica poca confianza en la media aritmética.

C) La desviación estándar siempre es no negativa.

D) Dos muestras con igual número de datos y con la misma media aritmética, tienen

desviaciones estándar iguales.

E) La desviación estándar siempre se mide en la misma unidad que los datos.

251

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

705) Se tiene una muestra de datos 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 y 𝑛4, donde 𝜇 es el promedio. Si a la muestra

se le agrega un dato 𝑝. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I) Si 𝑝 = 𝜇 la desviación estándar aumenta.

II) Si 𝑝 = 0 la desviación estándar disminuye.

III) Si 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4 y 𝑝 son enteros consecutivos, la desviación estándar es √2.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

706) ¿Cuál es la correcta relación de las desviaciones estándar entre los datos de las tablas

A y B?

Tabla B

Variable Frecuencia

555.553 3

555.555 4

555.557 2

Total 9

Tabla A

Variable Frecuencia

3 3

5 4

7 2

Total 9

A) 𝑆𝐴 = 1.000 ∙ 𝑆𝐵

B) 𝑆𝐴 = 555.555 ∙ 𝑆𝐵

C) 𝑆𝐴 < 𝑆𝐵

D) 𝑆𝐵 > 𝑆𝐴

E) 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵

707) Si el promedio y la varianza de una población compuesta por los números 1, 3, 𝑝, 𝑞

son 3 y 2 respectivamente, entonces el valor de (3𝑝2 + 3𝑞2) es:

A) 12

B) 34

C) 64

D) 102

E) 202

708) Si las edades en años, de una población de 8 niños son 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11 y 19,

entonces su desviación estándar, en años es:

A) √26

B) √13

C) √13

2

D) √26

2


r e f e r e n t e

252

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


I) Si todos los datos numéricos de una población son iguales, entonces la desviación

estándar de esta población es 0.

II) Si dos poblaciones de datos numéricos tienen igual promedio, entonces sus

varianzas son iguales.

III) Si todos los datos de una población son aumentados en 𝑘, con 𝑘 un entero

positivo, entonces su varianza no se altera.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo II y III

D) Sólo I y III

E) I , II y III

710) Se tienen los siguientes valores de una variable X:

1 1 5 9

¿Cuál de los siguientes estadísticos de X es Falso?

A) La mediana es 3

B) La media aritmética es 4

C) El rango es 8

D) La varianza es 11

E) La desviación estándar es 8

711) Se define la variable aleatoria X como la cantidad de minutos de atraso de una persona

a su trabajo en un cierto día. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de

𝑋. Dado que el valor esperado de 𝑋 es 1,35 minutos entonces su desviación estándar es:

𝑘 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑘) 1

3

1

4

1

5

1

6

1

20

A) √3,35 minutos

B) √1,8225 minutos

C) √1,5275 minutos

D) √1,95 minutos


r e f e r e n t e

253

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

712) Si 𝑎 , 𝑏 y 𝑐 son tres números enteros cuya desviación estándar es 𝜎 , entonces la

desviación estándar de 𝑛 + 𝑎, 𝑛 + 𝑏, 𝑛 + 𝑐 con 𝑛 un número entero positivo, es:

A) 𝑛2𝜎

B) 𝜎

C) √𝑛𝜎

D) 𝑛𝜎

E) 2𝑛𝜎

713) Se tienen los siguientes datos de una variable X.

10, 12, 14, 16

Respecto de los estadígrafos de X se afirma que:

I) Mediana (X) = 13

II) Varianza (X) = 5

III) Rango (X) = 6

Es(son) verdadera(s):

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

714) Se tiene una muestra de 𝑛 elementos con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎. Considere

una nueva muestra formada por el doble de cada elemento de la muestra original,

aumentada en 5. Con respecto a la nueva muestra, se puede afirmar que:

A) Su media es 2𝜇 + 5 y su varianza 2𝜎.

B) Su media es 𝜇 + 5𝑛 y su desviación estándar 2𝜎.

C) Su media es 2𝜇 y su desviación estándar 2𝜎 + 5.

D) Su media es 2𝜇 + 5 y su varianza 4𝜎2. E) Su media es 𝜇 + 5𝑛 y su varianza estándar es 2𝜎 + 5.

715) Se puede determinar la mediana de una población de 100 datos si:

(1) La media aritmética es 39

(2) La varianza es 0

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




254

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.6 MUESTREO ALEATORIO

716) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) características de una muestra

aleatoria simple?

I) Todos los elementos de la muestra tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

II) El muestreo se puede obtener reponiendo o no reponiendo los elementos.

III) El promedio de la muestra es siempre igual al promedio de la población.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

717) Si en una tómbola hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10 y se quiere seleccionar una

muestra de tamaño 3. ¿Cuántas muestras de ese tamaño se pueden seleccionar, sin

reposición?

A) 30

B) 103 C) 310 D) 120

E) 240

718) Sea A un conjunto cuyos elementos son los números primos entre 10 y 30. ¿Cuántas

muestras de tamaño 2 se pueden obtener con los elementos del conjunto, con

reposición?

A) 15

B) 21

C) 64

D) 4

E) 49

r e f e r e n t e

255

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

719) En una población de 𝑛 habitantes el promedio de edad es de 32 años. Se extrae un

determinado número de muestras de igual tamaño y se calcula la media muestral de cada

una de ellas. Si 𝑝 es el resultado de promediar las medias muestrales, entonces, ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) El valor de 𝑝 se aproxima a 32 años.

II) La moda de la población es 𝑝 años.

III) De la población se pueden extraer sin reposición 𝑛!

5!∙(𝑛−5)! Muestras distintas de

5 personas cada una.

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

720) Respecto al muestreo aleatoria simple, se puede afirmar que:

I) Los elementos de la población de estudio se extraen al azar.

II) Cada elemento extraído de la población de estudio tiene la misma probabilidad

de ser parte de la muestra.

III) La población se divide en grupos de características similares.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

721) En la población 𝑃, 𝑄, 𝑅 y 𝑆 se han extraído todas las muestras de tamaño 2 y se ha

calculado el promedio de cada muestra, los que se muestran en la tabla siguiente. ¿Cuál

es la media de la población? Promedio de la

muestra

𝑃, 𝑄 53

𝑃, 𝑅 54

𝑃, 𝑆 55

𝑄, 𝑅 57

𝑅, 𝑆 59

𝑄, 𝑆 58

A) 53

B) 55

C) 56

D) 58

E) 60

256

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.7 TÉCNICAS DE COMBINATORIA

722) Dada una población compuesta por 𝑛 números enteros, ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Si de esta población se pueden extraer en total 10 muestras de tamaño 3, sin

reemplazo y sin orden, entonces 𝑛 = 5.

II) Desde la población se extraen todas las muestras posibles, sin orden y sin

reposición, de tamaño 2, y a cada una de ellas se les calcula su promedio. Si el

promedio de todos estos promedios es 𝐴, entonces el promedio de los 𝑛 datos de

la población es 𝐴.

III) Desde una población se extraen todas las muestras posibles, con reemplazo de

tamaño 5 y a cada una de ellas se calcula su promedio siendo el promedio de

todos esos promedios igual a P. Ahora, desde la población se extraen todas las

muestras posibles, sin reemplazo, de tamaño 6 y a cada una de ellas se calcula su

promedio, siendo el promedio de todos estos promedios igual a T. Luego 𝑇 ≠ 𝑃.

A) Sólo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

723) Sea la población 𝑃 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 . Si desde P se extraen

todas las muestras posibles, sin reposición y sin orden, de tamaño 10, y a cada una de

ellas se les calcula el promedio. ¿Cuál es la suma de todos estos promedios?

A) 8.008 ∙ 7,5

B) 8.008 ∙ 8

C) 3.003 ∙ 8

D) 3.003

E) 8.008

724) De una población de 10 elementos se consideran todas las M muestras de tamaño 6,

sin orden y sin reposición, que se pueden seleccionar. Si el promedio aritmético de cada

una de ellas es 𝑓(𝑥) =1

𝑥−

1

𝑥+1, cuando 𝑥 ∈ 1,2,… ,𝑀 , donde 𝑓(1) corresponde al

promedio de la primera muestra, 𝑓(2) al promedio de la segunda muestra, y así

sucesivamente. ¿Cuál es la media aritmética de la población?

A) 210

211

B) 210

C) 1

211

D) 210

212

E) 1

257

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

725) Sea una población 𝐴 = 2,4,6,8,10. Si desde 𝐴 se extraen todas las muestras posibles,

sin reposición y sin orden, de tamaño 2 y a cada una de ellas se le calcula el promedio,

¿Cuál es la suma de todos estos promedios?

A) 10

B) 12

C) 6

D) 60


726) ¿Cuántos números menores que 400 se pueden formar con las cifras 2,3,5,6,7,9 si

no repite ninguna?

A) 76

B) 70

C) 20

D) 40

E) 400

727) Una persona debe viajar desde Maipú a la reina, para ello dispone de 3 buses de

acercamiento a la estación de metro de las rejas, luego se puede bajar en la estación

Baquedano y tomar la línea 5 o en Tobalaba y tomar la línea 4, entonces ¿de cuántas

maneras lo puede hacer?

A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

E) 10

728) Un joven dispone de dos pantalones distintos y cinco poleras diferentes, entonces

¿De cuantas maneras distintas se puede vestir con dichas prendas?

A) 2

B) 4

C) 7

D) 10

E) 25

258

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

729) En una universidad se forma una comisión de 4 personas integrada por 3 profesores

de matemática y 1 de física. Si se pueden elegir entre 8 y 4 profesores respectivamente.

¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

A) 4

B) 56

C) 66

D) 224

E) 1344

730) Si se cuenta con 5 hombres y 6 mujeres para formar un equipo de trabajo compuesto

por dos hombres y dos mujeres. ¿De cuantas maneras distintas se puede hacer?

A) (112) ∙ (

112)

B) (114)

C) (52) ∙ (

62)

D) (112)

E) 2 ∙ (112)

731) ¿Cuántos números distintos pueden formarse entre 1.000 y 2.000 con los dígitos del

conjunto 1,3,4,7, si estos no se repiten?

A) 4! B) 3! C) 2! D) 1

E) 3! ∙ 4!

732) En un cumpleaños habían 24 personas las que al llegar se saludaron entre sí, luego el

número de saludos fue:

A) 12 ∙ 23

B) 24 ∙ 23

C) 48

D) 24 ∙ 24

E) 6 ∙ 24

259

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

733) ¿Cuántos números de 3 cifras, divisibles por 5, se pueden formar con los dígitos del

conjunto 0,1,2,3,4?

A) 4! B) 4! ∙ 3! C) 12

D) 3! E) 20

734) Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir

a dos de ellas para realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el máximo número de

combinaciones de parejas que se puede formar con estas cuatro niñas?

A) 8

B) 2

C) 6

D) 12

E) 16

735) Si 6 personas se ordenan en una fila al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de

ellas queden una junto a otra?

A) 1/6

B) 2/3

C) 5/6

D) 1/2

E) 1/3

736) En el restaurante “Arnaldo Carin”, se ofrece una cena de fin de año donde el menú

consiste en: entrada (palta reina, tomate relleno o camarón con salsa), plato de fondo (bife

de chorizo, salmón a la mantequilla o pato silvestre) y postre (copa de helado 2 sabores o

postre de frutas al natural). Si el menú está conformado por una entrada, un plato de fondo

y un postre, ¿Cuántas combinaciones distintas se pueden formar?

A) 8

B) 9

C) 18

D) 27

E) 36

d e s a r r o l l o

260

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

737) ¿De cuantas maneras se pueden ordenar 2 libros de matemáticas y 3 de castellano,

si los de la misma materia deben estar juntos?

A) 6

B) 5

C) 12

D) 18

E) 24

738) ¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar en una banca de 6 asientos, 4

personas?

A) 60

B) 24

C) 120

D) 360


739) ¿Cuántos planos distintos determinan 6 puntos en el espacio si nunca hay más de 3

puntos en un mismo plano?

A) 20

B) 120

C) 6

D) 42


740) ¿Cuántos números hay entre 2000 y 3000 que tengan todas sus cifras distintas?

A) 3024

B) 504

C) 24

D) 720

E) 336

261

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

741) Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿Cuántos números distintos de tres cifras distintas se

pueden formar de modo que el 5 siempre ocupe el lugar de las decenas?

A) 60

B) 10

C) 27

D) 20

E) 12

742) ¿Cuántas palabras cualquiera de 8 letras, pueden formarse con permutación de las

letras de la palabra “TENNESSE”?

A) 1609

B) 1068

C) 1960

D) 1680


743) Luis tiene 10 amigos, de los cuales invitara a su matrimonio solamente a 7. ¿De

cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos no pueden asistir juntos?

A) 56

B) 64

C) 36

D) 44

E) 128

744) En una clase hay 10 niños y 5 niñas. ¿De cuantas maneras puede escoger el profesor

un grupo de 3 alumnos?

A) 70

B) 2730

C) 455

D) 130


262

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

745) Con la misma clase del problema anterior, ¿Cuántos grupos se pueden formar con

una sola niña?

A) 14

B) 275

C) 75

D) 225


746) ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario

y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 10 candidatos?

A) 120

B) 720

C) 55

D) 504

E) 84

747) ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar cinco personas alrededor de una

mesa circular si todos se pueden sentar?

A) 24

B) 15

C) 120

D) 25

E) 10

748) Un amigo le quiere regalar a otro a lo más dos libros y los quiere elegir entre 10 que

le gustan. ¿De cuantas formas puede hacerlo?

A) 90

B) 55

C) 45

D) 30

E) 10

r e f e r e n t e

263

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

749) ¿De cuantas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en

fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

A) 864

B) 684

C) 1726

D) 1278


750) Se tienen 7 personas, ¿De cuantas maneras se pueden sentar 4 de ellas en una

mesa circular?

A) 840

B) 210

C) 360

D) 35


751) A una reunión asisten 15 personas y todos intercambian saludos, ¿Cuántos saludos

se han intercambiado?

A) 210

B) 182

C) 91

D) 105

E) 24

752) Con los dígitos 1, 3, 5 y 7 ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden

formar?

A) 8

B) 2

C) 6

D) 12

E) 24

264

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

753) ¿Cuántas palabras, de 6 letras diferentes, con la “O” en el cuarto puesto, pueden

hacerse con las letras de la palabra “MEDICO”?.

A) 6

B) 24

C) 48

D) 120

E) 146

754) ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos del presidente,

vicepresidente y tesorero de un club de futbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

A) 220

B) 1320

C) 396

D) 660

E) 1728

Use el mismo grupo para los problemas 755, 756 y 757.

El grupo está compuesto por 5 hombres y 7 mujeres.

755) Se quiere formar un comité de 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuantas formas puede

formarse si cualquier hombre o mujer puede pertenecer al comité?

A) 350

B) 792

C) 368

D) 390


756) ¿De cuantas formas puede formarse si una mujer determinada debe pertenecer al

comité?

A) 70

B) 200

C) 350

D) 150

E) 140

265

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

757) ¿De cuantas maneras se puede formar el comité si dos hombres determinados no

pueden estar en el comité?

A) 630

B) 315

C) 105

D) 210

E) 35

758) Con las cifras 1, 2 y 3, ¿Cuántos números de 5 cifras pares pueden formarse?

A) 243

B) 81

C) 405

D) 36

E) 120

759) ¿De cuantas formas pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres, 2 mujeres y

un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer?

A) 12

B) 18

C) 8

D) 36

E) 24

760) ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas español,

inglés, francés, portugués y alemán?

A) 2

B) 5

C) 10

D) 9

E) 7

266

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

761) Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas

de igual color no se distingue entre sí, ¿De cuantas formas posibles pueden ordenarse?

A) 4320

B) 2520

C) 1440

D) 2160


762) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números del 1 al 9?

A) 9!/3! B) 999

C) 93 D) 9!/6! E) 9!/(6!3!)

763) En una localidad, la patente de un auto se forma con una vocal en la primera posición

y a continuación tres de los dígitos ordenados de distinta forma sin repetirlos. ¿Cuántas

patentes como máximo existirían en la localidad?

A) 30 patentes

B) 32 patentes

C) 720 patentes

D) 2520 patentes

E) 3600 patentes

764) ¿De cuantas maneras distintas pueden ordenarse 5 libros distintos, uno al lado del

otro?

A) 20

B) 60

C) 120

D) 5

E) 240

267

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

765) Se tienen 6 libros de historia, física, arte, manualidades, mecánica y cocina. ¿Cuántas

formas hay para ubicarlos en una repisa, uno al lado del otro, si se quiere que los libros

de historia y arte estén siempre en los extremos?

A) 16

B) 16∙3! C) 2∙3! D) 2∙4! E) 8!

766) ¿Cuántos números distintos de 4 cifras pueden escribirse con los dígitos pares, si

estos no pueden repetirse?

A) 96

B) 8

C) 12

D) 24

E) 48

767) ¿De cuantas formas se pueden agrupar las letras de la palabra SALERO de modo que

las vocales siempre permanezcan en lugares pares?

A) 6

B) 10

C) 18

D) 36

E) 9!

768) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos del conjunto

0,2,3,5,7 pudiendo repetirse estos números?

A) 19

B) 100

C) 500

D) 125

E) 250

268

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

769) Se tienen 720 elementos. ¿Cuántos grupos de 6 elementos se pueden formar sin

reposición y sin orden?

A) 720 ∙ 719 ∙ 718 ∙ 717 ∙ 716 ∙ 715

B) 720 ∙ 6! C) 714! D) 720! E) 719 ∙ 718 ∙ 717 ∙ 716 ∙ 715

770) De un grupo formado por 6 físicos y 5 químicos, se quiere formar una comisión, la cual

estará integrada, en total por 3 físicos y 2 químicos. ¿Cuántas comisiones distintas se

pueden formar?

A) 30

B) 200

C) 256

D) 300

E) 462

771) De un conjunto de 𝑛 elementos distintos, con 𝑛 > 3, se extraen todas las muestras

posibles, sin orden y sin reposición, de tamaño 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones

representa siempre el número total de estas muestras?

A) 𝑛(𝑛 − 1) B) 3𝑛

C) 𝑛3

D) 𝑛!

3! ∙(𝑛−3)!

E) 𝑛!

3!

772) De un grupo de 6 médicos generales y 5 cirujanos, todos de distintas edades, se quiere

formar una comisión presidida por el cirujano de más edad del grupo, la cual estará

integrada en total, por 3 médicos generales y 3 cirujanos. ¿Cuántas comisiones distintas

se pueden formar?

A) 100

B) 110

C) 120

D) 121

E) 200

269

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

773) El número de todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de

tamaño 3 que se pueden formar con un total de 10 elementos, es:

A) 45

B) 120

C) 210

D) 252

E) 720

774) Un programa computacional genera números de cuatro dígitos distintos entre sí y

ningún dígito puede ser cero. ¿Cuántos de estos números están formados con

exactamente 3 números primos?

A) 4! (43) (51)

B) 3! (43) (51)

C) 4! (53) (41)

D) 4! (42) (53)


775) Se tiene una población compuesta por las fichas 1, 2, 3, 4, 4, 5, y 6. ¿Cuál es la

cantidad de todas las posibles muestras (sin reposición y sin orden) de tamaño 2 que

pueden extraerse desde esta población?

A) 7

B) 14

C) 15

D) 21

E) 35

776) Un taller fabrica fichas plásticas y le hacen un pedido de fichas impresas con todos los

números de tres dígitos que se pueden formar con el 0, el 1, el 2, el 3 y el 4. ¿Cuál es el

triple del pedido?

A) 100

B) 125

C) 180

D) 300

E) 375

d e s a r r o l l o

270

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

777) Si se forman palabras de 5 letras (con o sin significado) con las letras de la palabra

PROBLEMA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 120 palabras contienen solo consonantes

II) 240 palabras tienen a E y A en los extremos

III) 7! palabras empiezan con L

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

778) El número de todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de

tamaño 4 que se pueden formar con un total de 10 elementos, es

A) 10

B) 1000

C) 70

D) 210

E) 5040

779) ¿Cuántos números pares de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 0, 1,

2, 3, 4 y 5?

A) 30

B) 52

C) 72

D) 90

E) 120

780) Al lanzar un dado y una moneda, ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

E) 36

d e s a r r o l l o

271

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

781) En un local de comida rápida, Patricio puede escoger un combo que contiene una de

5 hamburguesas distintas y una bebida entre 4 sabores distintos ó bien un jugo entre 2

sabores distintos y todo esto acompañado de papas fritas. ¿Cuántos combos distintos

puede armar Patricio?

A) 11

B) 13

C) 18

D) 30

E) 40

782) ¿Cuál es el valor de (𝑚 + 𝑛), si se sabe que 8!

𝑚! ∙ 𝑛! Es igual a 14?

A) 5

B) 7

C) 9

D) 12

E) 18

783) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a !4 ?

I) !2!2

II) !1!1!1!1 +++

III) 212

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) Ninguna de ellas

784) ¿Cuál de los siguientes números no es divisor de ?!6

A) 8

B) 9

C) 10

D) 14

E) 18

272

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

785) Sea p

el sucesor de q

. Entonces !p es

A) ( )!1−q

B) ( )!ppq+

C) ( ) !1 qq +

D) ( )!1++ qp

E) ( )!1−+ qp

786) Cuatro parejas de esposos se sientan en torno a una mesa para jugar a las cartas. Si

las parejas deben quedar juntas entonces. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar?

A) 7!

B) 149

C) 124

D) 100

E) 96

787) ¿De cuantas maneras se pueden ubicar 5 autos en una fila en un estacionamiento?

A) 5

B) 10

C) 25

D) 120

E) 125

788) ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabra

ELEMENTO?

A) 3!

B) 5!

C) 8!

D) !5

!8

E) !3

!8

273

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

789) ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededor

de una mesa circular?

A) !4!3 +

B) !4!3

C) !6

D) !7

E) !1!7 −

790) Si se lanza un dado 3 veces consecutivas y en cada ocasión se anota el resultado, la

cantidad de combinaciones posibles es:

A) 6!

B) (3+6)!

C) 18!

D) 63

E) 36

791) En un campamento de fútbol participan 8 equipos locales. ¿De cuántas maneras

distintas pueden ser ocupados los tres primeros lugares?

A) 6

B) 21

C) 56

D) 336

E) 512

792) ¿Cuál es el valor de ?6

3

4

2 CC +

A) 26

B) 72

C) 136

D) 252


274

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

793) Una señora tiene 9 amigos de confianza, ¿De cuántas maneras puede invitar a comer

a 5 de sus amigos?

A) 5!

B) 9!

C) 45

D) 105

E) 126

794) ¿Cuántas formas distintas hay de ordenar la palabra PATATA?

A) 12

B) 60

C) 720

D) 890


795) Si una población se compone de 7 elementos, entonces el número de muestras de

tamaño 4, sin reposición, es:

A) 12

B) 25

C) 35

D) 210

E) 840

796) ¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar, de manera que todas

ellas sean impares?

A) 5

B) 25

C) 60

D) 125

E) 625

r e f e r e n t e

275

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

797) Una tómbola contiene cinco bolitas azules y cuatro bolitas rojas. ¿De cuantas formas

se pueden escoger tres bolitas azules y dos bolitas rojas?

A) 60

B) 120

C) 12

D) 126

E) 10

798) El rey David, con sus nueve fieles caballeros, se sientan en la famosa mesa redonda.

¿De cuántas formas se puede sentar el rey con sus caballeros?

A) 8!

B) 9!

C) 10!

D) 11!

E) 9! ∙ 11!

799) Un grupo de ocho estudiantes deben hacer una fila. Si hay seis mujeres y en los

extremos se ubican los hombres, ¿Cuántas filas diferentes pueden formarse?

A) 120

B) 126

C) 720

D) 1.440

E) 40.320

800) ¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la

palabra MAIMONIDES?

A) 10!

B) 10 ∙ 2 ∙ 3

C) 10 + 2 + 3

D) 10!

2!∙2!

E) 10!

4!

d e s a r r o l l o

276

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

801) Si el número de combinaciones de n objetos tomados de dos en dos es igual a 15,

¿Cuál es el valor de n?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

802) En la final de un concurso hay seis hombres y ocho mujeres, de los que pueden ganar

sólo tres hombres y cuatro mujeres. ¿Cuántos grupos de ganadores distintos se pueden

formar?

A) 1.800

B) 1.400

C) 90

D) 3.432

E) 400

803) En una junta de vecinos de 10 personas se debe elegir un presidente, un

vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas maneras distintas puede formarse este comité?

A) 504

B) 5.040

C) 120

D) 720

E) 1.000

804) En un barco hay seis banderas, cuatro rojas y dos azules. ¿Cuántas señales diferentes

se pueden formar con estas seis banderas, ubicadas en una línea vertical?

A) 15

B) 720

C) 30

D) 48

E) 26

d e s a r r o l l o

277

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

805) Todos los años se selecciona una delegación de cuatro estudiantes de un colegio,

para asistir al concurso anual de atletismo. Si hay doce estudiantes, siendo dos de ellos

hermanos, que no están dispuestos a asistir el uno sin el otro. ¿De cuantas maneras puede

escogerse la delegación?

A) 255

B) 210

C) 70

D) 135

E) 45

806) En una heladería hay 5 variedades de sabores para escoger: chocolate, vainilla,

lúcuma, frutilla y naranja. Para un cono se pueden escoger tres de estos sabores, sin orden

específico y sin repetirlo. ¿Cuántas combinaciones distintas de sabores se pueden

escoger?

A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

807) Una persona tiene 8 pares diferentes de zapatos. Tomando en cuenta que nunca repite

la elección del mismo par de zapatos durante la semana. ¿De cuántas formas diferentes

puede elegir los zapatos que usará durante una semana?

A) 1

B) 5

C) 7

D) 8

E) 10

808) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de

química y cinco de matemática en un estante lineal, si los libros de cada asignatura deben

estar siempre juntos?

A) 4! ∙ 3! ∙ 5! B) 4! ∙ 3! ∙ 5! ∙ 3

C) 4! ∙ 3! ∙ 5! ∙ 3! D) 4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 3

E) 12!

278

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

809) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden

elegir 4 pasteles? Considere que puede repetir su elección.

A) 10

B) 15

C) 25

D) 125

E) 126

810) Con las letras A,B,C,D,E,F y G se desea formar códigos de tres letras. ¿Cuál(es) de las


I) Es posible formar un total de 210 códigos diferentes, sin repetición de letras.

II) Es posible construir 343 códigos, si en un mismo código se permite la repetición

de letras.

III) Es posible construir sólo 5 códigos, en los cuales aparece la letra A en primer lugar

y la letra E en el último lugar y se permite la repetición de letras.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

811) Una familia compuesta por: un papá, una mamá y dos hijos se sienta a la mesa para

almorzar, si solo el papá siempre mantiene su lugar, entonces: ¿De cuántas maneras

distintas se pueden sentar a la mesa para almorzar?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 24

812) Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y 7 blancas. ¿Cuál es el menor número

de extracciones para tener la certeza que hay a lo menos una de cada color?

A) 3

B) 19

C) 21

D) 26

E) 28

279

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

813) Siendo 𝑛 distinto de cero, si (𝑛+1)!−𝑛!

(𝑛−1)!= 7𝑛, entonces 𝑛 es igual a:

A) 7

B) 0 y 7

C) 10

D) 1

E) 2

814) ¿Para qué valor de 𝑥 de tal modo que se cumpla que (𝑥2) = 10?

A) 4

B) 5

C) 4 y 5

D) 10

E) 12

815) ¿Cuántos grupos de 5 personas se pueden formar entre 4 niños y 7 niñas si debe

haber por lo menos 2 niñas incluidas?

A) 445

B) 450

C) 452

D) 455


816) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) (𝑛𝑝) = (

𝑛𝑞), si 𝑝 + 𝑞 = 𝑛

II) 2!+3!+4!

16= 2!

III) (𝑛0) = 0

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

r e f e r e n t e

280

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

817) Se entregan dos premios a un grupo de personas. Se puede saber el número de

formas en que se reparten, si:

(1) El grupo está formado por dos hombres y tres mujeres.

(2) Una persona no puede recibir los dos premios.

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola




818) Se puede saber el número de formas distintas como se deben disponer alrededor de

una mesa un grupo de seis personas, si:

(1) La mesa tiene forma circular.

(2) La mesa tiene dispuestas seis sillas.

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola




819) Con las letras de una palabra, se puede saber la cantidad de palabras de cinco letras

con o sin sentido que se forman, si:

(1) La palabra tiene 3 consonantes diferentes.

(2) La palabra tiene 2 vocales distintas.

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola




281

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

820) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es son verdadera(s)?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

4.8 PROBABILIDAD: REGLA DE LA PLACE 821) Si P es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen dos

sucesos A y B, con ( ) 0AP y 0)( BP , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅.

II) 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴). III) Si A y B son complementarios y 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω (Ω es todo el

espacio muestral).

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

822) Si dos sucesos A y B tienen intersección no vacía, entonces la probabilidad de que no

ocurran ambos a la vez es lo mismo que:

A) 1 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) B) 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) C) 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) D) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) E) Ninguna de las anteriores

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

282

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

823) Si 𝐴 y 𝐵 son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de 𝐴 es 0,2 y la

de 𝐵 es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

A) 0,7

B) 0,01

C) 0,3

D) 0,1

E) 0

824) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones permiten afirmar que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son

independientes?

I) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 (𝐵

𝐴)

II) 𝑃 (𝐴

𝐵) = 𝑃(𝐴)

III) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

825) Dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, ¿Cuál(es) de las siguientes


I) 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴) II) 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) III) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

283

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

826) De acuerdo a la regla de Laplace de cálculo de probabilidades. Si se tienen dos

probabilidades P(A) Y P(B) de suceso para los eventos A y B, respectivamente y además

se cumple que 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). ¿Qué podemos conjeturar sobre los eventos

A y B?

A) Es más probable que ocurran de manera conjunta, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴) +

𝑃(𝐵).

B) Es más probable que ocurran de manera disjunta, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) < 𝑃(𝐴) +

𝑃(𝐵).

C) Es igual de probable que ocurran ambos, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

D) Es menos probable que ocurra A que B, es decir 𝑃(𝐴) < 𝑃(𝐵).

E) Es menos probable que ocurra B que A, es decir𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴)

827) Dados los sucesos A y B ¿Cuál de las alternativas representa al suceso

“Ocurra A pero no B”.

A) 𝐴 ∪ 𝐵𝐶

B) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 C) 𝐴 ∩ 𝐵

D) 𝐴 ∪ 𝐵

E) 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶

828) Si la probabilidad de que ocurra un suceso D es 1

7. ¿Cuál es la probabilidad de 𝐷𝐶 ∪

𝐷?

A) 1 7⁄

B) 3 7⁄

C) 6 7⁄

D) 8 7⁄

E) 1

d e s a r r o l l o

284

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

829) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Se verifica que si los sucesos A y B son independientes entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙𝑃(𝐵).

II) Se verifica que si los sucesos A y B son dependientes entonces

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 (𝐵

𝐴).

III) Se verifica que si A y B son sucesos no excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

830) Al tener el siguiente suceso: “Se tiene una urna con 5 bolitas rojas y 2 azules, se extrae

una bolita y no se devuelve a la urna. Determinar la probabilidad que al realizar dos

extracciones estas sean del mismo color”.

¿Con qué fórmula debo calcular la probabilidad solicitada?

I) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

II) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P (B

A)

III) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

831) Respecto al siguiente suceso: “Se lanza un dado normal, se registra su número y luego

se vuelve a lanzar el dado y se suma su número con el del primer lanzamiento”

Es verdadero afirmar siempre que:

I) Son sucesos complementarios

II) Son sucesos independientes

III) Son sucesos dependientes

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

285

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

832) Considere el siguiente suceso: “Lanzar un dado normal y definir el evento A como

obtener un número par y el suceso B como obtener un número menor a 2”. Es correcto

afirmar que:

I) Son eventos independientes

II) Son eventos excluyentes

III) Son eventos no excluyentes

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

833) Una bolsa contiene galletas de tres sabores distintos: 8 de chocolate, 9 de frambuesa

y 13 de manzana, todas de igual peso y tamaño. Si una persona saca galletas al azar,

una a una, y luego se come la galleta extraída, ¿Cuál es la probabilidad de que las

primeras dos galletas sean de manzana y la tercera de chocolate?

A) 13

30∙13

30∙8

30

B) 13

30+12

29+

8

28

C) (13

30+12

29) ∙

8

28

D) 13

30∙12

29∙8

28

E) 13

30+13

29+

8

28

834) En una bolsa hay 5 fichas rojas, 2 azules y 3 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de que

al sacar dos de ellas la primera sea azul y la segunda sea roja?

A) 8

10∙5

10

B) 2

10∙5

9

C) 2

10∙4

9

D) 1 −2

9∙5

9


286

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

835) En un cofre hay 10 aros de perlas de igual peso y tamaño, de los cuales 5 son blancos,

4 son rosados y 1 negro. Si se extraen 3 aros al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer

un aro blanco, un aro negro y nuevamente uno blanco en ese orden y sin reposición?

A) 1,5%

B) 2%

C) 2, 7%

D) 3%


836) Un grupo de estudiantes de cuarto medio realizó una encuesta que arrojó los

siguientes resultados: El 40% de los encuestados ve películas por Netflix, el 33% las ve

por Internet y el 20% en utiliza ambos medios para ver películas, el resto no ve películas.

Determine cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s).

I) La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar y este vea solo películas

por cable es un 0,13.

II) La probabilidad de que al escoger una persona al azar y esta vea solo películas por

netflix es un 20%.

III) Existe un 53% de probabilidad de escoger una persona al azar y esta no vea

películas.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Solo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

837) En una tómbola hay diez bolitas blancas, seis azules y dos rojas. Si se sacan al azar

dos bolitas una tras otra sin reposición, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que ambas

no sean blancas?

A) 8

18∙7

18

B) 8

18+

7

17

C) 8

18∙7

17

D) 10

18∙9

17

E) 10

18+

9

17

287

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

838) Se tiene una caja 𝐴 que contiene cuatro tarjetas rojas y cinco azules, y una caja B que

contiene tres tarjetas rojas y seis azules, todas las tarjetas de igual forma y tamaño. Si

desde cada caja se extrae una tarjeta al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sean de

distinto color?

A) 13 27⁄

B) 8 28⁄

C) 10 27⁄

D) 5 27⁄

E) 14 27⁄

839) En una caja hay 6 bolitas verdes, 10 rojas y 4 azules. Si se sacan tres bolitas sin

reposición, ¿Cuál es la probabilidad de que saque una verde, después una azul y

finalmente una roja?

A) 6

20+

4

20+10

20

B) 6

20+

4

19+10

18

C) 6

20∙4

19∙10

18

D) 1

20∙1

19∙1

18

E) 1

20+

1

19+

1

18

840) Se tienen diez tarjetas numeradas del 0 al 9. Si se extrae una de ellas, se repone y se

extrae una segunda tarjeta, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas tarjetas estén

numeradas por el mismo valor?

A) 0,01

B) 0,01

C) 0,1

D) 0,2

E) 0,5

841) Se quiere crear una clave secreta compuesta por cuatro dígitos. Si solo se pueden

utilizar los números 2, 3, 4, 5 y 6, pudiendo repetir dígitos, ¿Cuál es la probabilidad de que

una clave comience con el número 5?

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

288

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

842) Para un concurso se debe elegir un jurado de tres personas. Si hay ocho candidatos

y Juan es uno de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no sea jurado?

A) 0

B) 5 8⁄

C) 1 2⁄

D) 3 8⁄

E) 1

843) Si en un costurero hay siete botones de diferentes colores y se pondrán en fila, en un

chaleco, ¿Cuál es la probabilidad de que el botón rojo quede en primer lugar?

A) 1 7⁄

B) 2 7⁄

C) 3 7⁄

D) 5 7⁄

E) 6 7⁄

844) ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) En el experimento aleatorio “lanzar tres veces una moneda”, tiene un espacio

muestral de tres elementos.

II) En el experimento aleatorio “lanzar dos monedas distintas”, su espacio muestral

tiene 6 elementos.

III) El suceso complementario del espacio muestral es el conjunto vacío.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Ninguna de ellas

845) Isabel tiene 15 fichas en una caja y va a escoger aleatoriamente cinco de ellas. ¿Cuál

es la probabilidad de que entre las cinco fichas escogidas esté su favorita?

A) 2 3⁄

B) 1 2⁄

C) 1 3⁄

D) 1 6⁄

E) 1 9⁄

289

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

846) En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, ¿Cuál (es) de las siguientes

proposiciones es (son) ejemplo (s) de evento (s) mutualmente excluyente (s)?

I) “Obtener exactamente dos caras” y “Obtener exactamente dos sellos”

II) “Obtener a lo más una cara” y “Obtener a lo más un sello”

III) “Obtener exactamente un sello” y “Obtener a lo menos una cara”

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Ninguna de ellas.

847) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado normal, no salga un número

primo?

A) 1/3

B) 1/4

C) La misma que salga par

D) La misma que salga un 3

E) La misma que salga un múltiplo de 4

848) Se lanza una moneda 3 veces y se obtienen 3 caras, ¿Cuál es la probabilidad que la

cuarta vez se obtenga cara?

A) 1

2

B) 1

4

C) 3

4

D) 3

8

E) 7

16

849) Si se lanzan tres monedas, ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible?

A) Obtener al menos una cara.

B) Obtener como máximo un sello.

C) Obtener exactamente dos caras.

D) Obtener un sello y tres caras.

E) Obtener como máximo dos caras.

r e f e r e n t e

290

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

850) Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?

A) 2

36

B) 3

36

C) 7

36

D) 11

36

E) 12

36

851) En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas de 1 al 12, las tarjetas que tienen

impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son

amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, esta sea de

color rojo?

A) 1

4

B) 1

3

C) 5

12

D) 7

12

E) 2

3

852) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan 3 caras al lanzar una moneda 4 veces?

A) 1

3

B) 1

4

C) 2

3

D) 3

4

E) 1

64

853) Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera (s)?

I) La probabilidad de que sean 4 hijos varones es 1

4

II) La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es 3

8

III) La probabilidad de que sean a lo menos dos hijos varones es 11

16

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

291

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

854) Al lanzar 5 monedas, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera

(s)?

I) La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la de obtener 3 sellos.

II) La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de

obtener a lo menos 2 sellos.

III) La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de

obtener 3 sellos.

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

855) Si se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un

número mayor que 4 o a un número primo?

A) 1

6

B) 1

3

C) 2

3

D) 5

6


856) Se tiene una moneda cargada, en que la probabilidad de obtener cara es 1 3⁄ . ¿Cuál

es la probabilidad que salga cara en solo uno de los tres lanzamientos?

A) 4 9⁄

B) 1 3⁄

C) 3 8⁄

D) 4 27⁄

E) 2 3⁄

857) En el curso 4°A hay el doble de mujeres que de hombres y en 4°B hay 5 hombres

menos que mujeres. Si la probabilidad de elegir un alumno que sea hombre es la

misma en ambos cursos, entonces. ¿Cuántos alumnos en total tiene el 4°B?

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

292

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

858) En un mazo de cartas inglesas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una pica, un

corazón, un diamante, un trébol, y nuevamente un corazón, en ese orden y sin

reposición?

A) 13

52∙13

51∙13

50∙13

49∙13

48

B) 13

52∙ 4 +

12

48

C) 13

52+13

51+13

50+13

49+12

48

D) 13

52∙13

52∙13

52∙13

52∙12

51

E) 13

52+13

52∙13

52∙13

52∙12

51

859) Una compañía de seguros debe elegir a una persona para desempeñar cierta función

de entre 50 aspirantes. Entre los candidatos, algunos tienen título universitario, otros

poseen experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos

como se indica en la tabla adjunta:

Título Sin título

Con experiencia 5 10

Sin experiencia 15 20

Si se elige un aspirante al azar entre los 50, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) La probabilidad de que el elegido tenga experiencia es 3

10

II) La probabilidad de que el elegido tenga título es 2

5

III) La probabilidad de que el elegido no tenga experiencia es 5

10

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I , II y III

860) En un viaje de gira de estudio 1.200 alumnos deben escoger entre dos opciones, un

crucero por Oceanía y/o un viaje a Europa. Si 1

4 escoge solo Oceanía,

2

3 escoge solo

Europa y 1

12 ambos, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al

azar escoja sólo uno de estos viajes?

A) 11 12⁄

B) 1 12⁄

C) 1 4⁄

D) 5 12⁄

E) 7 12⁄

293

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

861) Al lanzar un dado cargado, la probabilidad de que salga un número impar es el triple

de la probabilidad de que salga un número par. Si se lanza un dado dos veces,

entonces ¿Cuál es la probabilidad de que ambos lanzamientos se obtenga un número

impar?

A) 1

4

B) 1

16

C) 3

16

D) 9

16

E) 12

16

862) Se tienen 5 bolitas blancas y 3 negras en una urna y 5 blancas y 7 negras en otra urna.

¿Cuántas bolitas blancas es necesario traspasar desde una urna a la otra para que la

probabilidad de sacar una bolita negra sea la misma en ambas urnas?

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

863) En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una

ficha azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes

entonces ¿Cuál es el número de fichas rojas?

A) 6

B) 5

C) 4

D) 2

E) 3

294

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

864) Un concurso consiste en elegir una de tres cajas que se encuentran tapadas dentro

de las cuales hay sobres y solo uno de ellos contiene el premio. La caja 1 tiene 8

sobres, la caja 2 tiene 5 sobres y la caja 3 tiene 4 sobres ¿Cuál (es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera (s).

I) La probabilidad de ganar si escoge la caja 3 es 1

12

II) Si el concursante ganó, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 2 es 8

23

III) Si el concursante pierde, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 1 es 35

97

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

865) En una población hay 1.000 jóvenes entre hombres y mujeres, los cuales practican un

solo deporte, entre Futbol y Tenis. De los hombres 340 practican Futbol y 230 Tenis.

Además 180 mujeres practican Futbol. Si escogemos un joven al azar, entonces

¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y practique Tenis?

A) 25

48

B) 22

25

C) 1

4

D) 23

100

E) 43

100

866) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 sellos, si se lanza una moneda 5

veces?

A) 1

16

B) 1

32

C) 4

32

D) 5

32

E) 10

32

295

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

867) En un grupo de 80 deportistas, la cuarta parte de ellos juega tenis, la quinta parte

práctica natación y la décima parte práctica ambos deportes. ¿Cuál es la

probabilidad de que un deportista escogido al azar practique tenis o natación?

A) 16

80

B) 20

80

C) 28

80

D) 36

20

E) 44

80

868) En cada una de dos bolsas hay fichas rojas y blancas. En la primera bolsa las fichas

rojas duplican a las blancas y en la segunda bolsa las fichas blancas son 5 menos que

las rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha blanca, es la misma en ambas bolsas,

¿Cuántas fichas hay en la segunda bolsa?

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

869) Al contestar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál (es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) La probabilidad de contestar erróneamente solo 2 preguntas es 3

8

II) La probabilidad de contestar correctamente a lo menos 2 preguntas es 3

8

III) La probabilidad de no contestar ninguna pregunta correctamente es 1

8

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

296

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

870) Si se lanzan n monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas

muestre un sello?

A) 1

2

B) 𝑛

2

C) (1

2)𝑛

D) (1 −1

2)𝑛

E) 1 − (1

2)𝑛

871) Se tienen dos urnas A y B con pelotas blancas y rojas. En la urna A hay 3 pelotas

rojas y 6 blancas, en la urna B hay 5 rojas y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de

que una persona con los ojos vendados escoja una pelota roja de cualquier urna?

A) 1/2

B) 1/4

C) 5/14

D) 11/21


872) En la bolsa A hay 5 bolitas rojas y 6 azules, mientras que en la bolsa B hay 4 rojas y

5 azules. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) falsa (s)?

I) La probabilidad de sacar una roja en ambas bolsas es la misma.

II) La probabilidad de sacar una azul de la bolsa A más la probabilidad de no sacar

azul en la bolsa B, es 1/2

III) Si todas las bolitas se reúnen en una sola bolsa, entonces la probabilidad de

sacar una azul es 55%

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Todas

297

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

873) Si se lanzan 3 monedas normales, entonces ¿Cuál es la probabilidad de sacar a lo

menos una cara?

A) 1/8

B) 1/3

C) 3/8

D) 5/8

E) 7/8

874) En una caja hay dos bolitas rojas, 3 azules y 5 amarillas, ¿Cuál es la probabilidad de

sacar una bolita que no sea roja?

A) 0,2

B) 0,3

C) 0,5

D) 0,7

E) 0,8

875) Para ganar un concurso una persona debe extraer 4 bolitas de una tómbola que

contiene 12 bolitas verdes y 5 rojas, todas de igual peso y tamaño. ¿Cuál es la

probabilidad que tiene de ganar si para ello ninguna de las tres primeras extracciones

debe ser una bolita roja?

A) 11

34

B) 12

17∙11

16∙10

15∙9

14

C) 5

17∙4

16∙3

15

D) 12

17∙11

17∙10

17∙13

17


876) Una persona contesto cada una de las 75 preguntas de la PSU de matemática al azar.

¿Cuál es la probabilidad que haya tenido todas las respuestas correctas?

A) 5

75

B) (1

5)−75

C) (1

5)75

D) √755


r e f e r e n t e

298

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

877) De un matrimonio que tuvo 5 hijos. ¿Cuál es la probabilidad que de ellos hayan sido

a lo menos 4 hombres?

A) 1

8

B) 5

32

C) 3

16

D) 5

16

E) 16

16

878) ¿Cuál es la probabilidad de acertar con clave correcta en un candado de 4 “ruedas”,

donde cada “rueda” cuenta con los dígitos del 0 al 9? Conociendo además que la

clave correcta solo tiene dígitos pares sin repetir.

A) 120

94

B) 4!

104

C) 1

120

D) 60

104

E) 5!

10!

879) ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado 4 veces seguidas no se obtenga

ningún 4?

A) 1

64

B) 1

44

C) (5

6)4

D) 125

126

E) (2

3)4

880) Una caja contiene 8 bolitas rojas y 5 negras, todas de igual peso y tamaño. Si se

extraen dos bolitas. ¿Cuál es la probabilidad de que no sean del mismo color?

A) 8

13∙5

12

B) 8

13+

5

12

C) 8∙5

13

D) 13

12

E) 20

39

299

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

881) Al extraer dos cartas al azar de un naipe ingles de 52 cartas. ¿Cuál es la

probabilidad que ambas sean ases?

A) 4

52+

3

51

B) 1

26

C) 4

52∙4

51

D) 2

663

E) 1

221

882) Se tienen dos cajas idénticas que contienen cada una bolitas de igual peso y tamaño.

En la primera hay dos bolitas blancas y tres azules, mientras que la segunda tiene 4

blancas y una azul. Al extraer una bolita de la caja al zar, ¿Cuál es la probabilidad que

la bolita sea blanca?

A) 2

3

B) 1

5

C) 3

5

D) 1

2

E) 4

5

883) Un juego consiste en lanzar sucesivas veces un dado, hasta que la cara

superior muestre seis puntos, en cuyo caso el juego termina. ¿Cuál es la

probabilidad que el juego termine en el tercer lanzamiento?

A) 25 216⁄

B) 1 18⁄

C) 1 36⁄

D) 1 216⁄

E) 1

6+1

6+1

6

300

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

884) De un naipe inglés, que consta de 52 cartas de cuatro tipos; corazón, diamante,

espada y trébol con números del 1 al 13, se toman 4 cartas. ¿Cuál es la probabilidad

que todas correspondan a números distintos?

A) 51

52∙50

51∙49

50

B) 5

16

C) 3

51

D) 3

52

E) 16

17∙22

5∙8

49

885) En un curso de 60 alumnos de habla hispana, 1 3⁄ habla inglés, 1 4⁄ habla francés y

110⁄ los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno elegido al azar hable

aparte del idioma español, solo un idioma?

A) 1

2

B) 29

60

C) 1

4

D) 23

60

E) 7

12

886) Cierta tarde, en una pastelería que solo vende torta de pila o lúcuma, 38 personas

compraron una torta. Aquellos que llevaron la de lúcuma excedieron en 6 a los que

prefirieron piña. Si de los compradores, 12 fueron mujeres y 4 de ellas llevaron torta

de piña, ¿Cuál es la probabilidad que al revisar las boletas de compra, una de ellas

corresponda a un cliente hombre que prefirió torta de piña?

A) 2 19⁄

B) 6 19⁄

C) 4 19⁄

D) 7 19⁄

E) 10 19⁄

887) Al lanzar tres dados, ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 3?

A) 1 2⁄

B) 215 216⁄

C) 25 216⁄

D) 1 36⁄

E) 125 216⁄

301

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

888) En una tómbola hay 20 bolitas, entre rojas, verdes y azules. La probabilidad de

extraer una roja es de 1/5 y de sacar una verde es 1/4 ¿Cuántas bolitas son azules?

A) 9

B) 4

C) 5

D) 11

E) 10

889) Formando palabras con o sin sentido con las letras de la palabra PADRE, ¿Cuál es la

probabilidad que las vocales queden juntas?

A) 9/10

B) 2/3

C) 3/5

D) 1/5

E) 4!∙2!

5!

890) Esteban, José, Daniela y Pedro, deben formar parejas, para que cada una de ellas

realice un trabajo de matemáticas o de historia. Si las parejas o los trabajos se

reparten al azar ¿Cuál es la probabilidad de que Esteban y Daniela realicen el

trabajo de matemáticas?

A) 1/6

B) 1/12

C) 1/2

D) 1/3

E) 1/24

891) En una bolsa hay cuatro bolitas, de color verde, rojo, amarillo azul, todas de igual

peso tamaño. Si se sacan al azar una a una todas las bolitas, ¿Cuál es la

probabilidad de extraer la roja antes que la amarilla?

A) 1/2

B) 2/3

C) 3/4

D) 5/6

E) 4/5

302

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

892) Una tómbola contiene 5 bolitas blancas y 6 negras. Si se extraen 2 bolitas al azar,

la probabilidad que ambas sean negras es:

A) 3/11

B) 360/121

C) 36/121

D) 2/11


893) Si se responde al azar una prueba de verdadero y falso, de 4 preguntas. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de responder 3 correctas es 1 4⁄ .

II) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 15 16⁄ .

III) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 5 16⁄ .

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

894) Al lanzar una moneda 5 veces seguidas, ¿Cuál es la probabilidad que salga cara en

los primeros tres lanzamientos y sello en los dos últimos?

A) 1/3

B) 2/3

C) 1/4

D) 1/8

E) 1/32

895) Si al lanzar una moneda ha salido cara, ¿Qué probabilidad hay que al lanzar un dado

salga un seis?

A) 1/2

B) 3/4

C) 2/5

D) 2/3

E) 1/6

303

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

896) Juan y María tienen 6 hijos, ¿Cuál es la probabilidad que de ellos hayan tenido a lo

menos 4 hombres?

A) 1/8

B) 22/32

C) 15/64

D) 5/32

E) 22/64

897) Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o

múltiplo de 3.

A) 1/2

B) 2/3

C) 1/3

D) 1/6

E) 5/6

898) Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas.

Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean revés.

A) 1/100

B) 1/5

C) 1/130

D) 23/130

E) 1/20

899) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga

ningún 6:

A) 0

B) 1/1296

C) 10/3

D) 2/3

E) 625/1296

304

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

900) En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de

que sean números distintos.

A) 1/64.000

B) 3/40

C) 1/59.280

D) 4/3.705

E) 192/247

901) El 25% de los habitantes de una villa de 200 personas son jubilados, otro 25% son

estudiantes. Si al 80% de los jubilados, al 10% de los estudiantes y al 20% del resto

de la población les gusta la música clásica entonces, la probabilidad de que elegida

una persona al azar le guste este tipo de música es:

A) 13

40

B) 1

3

C) 2

3

D) 1

120

E) 3

4

902) La probabilidad de que una pareja compre una casa o un auto, o ambos son 0,20;

0,15 y 0,03 respectivamente, ¿Cuál es la probabilidad de que compre al menos uno

de estos bienes?

A) 0,38

B) 0,32

C) 0,35

D) 0,62

E) 0,68

903) En una bolsa hay en total 30 bolitas del mismo tipo numeradas en forma correlativa

del 1 al 10. Si se extrae al azar una bolita de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de

que esta tenga un número de un dígito o un número múltiplo de 10?

A) 1

9∙1

2

B) 9

30+

3

29

C) 1

9+1

2

D) 9

30+

3

30

E) 9

30∙3

30

305

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

904) En una caja se tiene una tarjeta con el número 1, otra con el número 2 y una tercera

con el número 3, todas de igual forma y tamaño. Se extraen dos tarjetas al azar, una

tras otra y sin reposición, anotando el valor de cada una de ellas. Si alguno de los

valores extraídos es un número par, entonces el resultado del experimento será

igual a la suma de ambos valores; en cambio, si ambos valores extraídos son

números impares, entonces el resultado del experimento será igual al producto de

ambos valores. El espacio muestral del experimento es:

A) 3,5 B) 2,4,6 C) 1,4,9 D) 1,3,4,5,9 E) 2,3,4,5,6

905) Se lanza una moneda y dos dados comunes, uno a continuación del otro. ¿Cuál es la

probabilidad de que en la moneda salga sello y de que el número del primer dado

sea el doble que el número del segundo?

A) 1 12⁄

B) 1 24⁄

C) 21 36⁄

D) 2 3⁄

E) 1 2⁄


I) Al lanzar un dado común, para que salga un 5 es necesario lanzarlo como mínimo 5

veces.

II) Al lanzar una moneda tres veces, los casos favorables de obtener dos caras es la misma

de obtener dos sellos.

III) Al lanzar ocho dados comunes a la vez, la probabilidad de que en todos ellos aparezca

un 6 es 0.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

306

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

907) Se tienen tres cajas con tres bolitas, una de color azul y dos de color blanco, en

cada una de ellas y todas las bolitas son del mismo tipo. Si se extrae al azar una

bolita de cada caja, ¿Cuál es la probabilidad de que éstas sean dos azules y una

blanca?

A) 2 3⁄

B) 2 27⁄

C) 2 9⁄

D) 4 27⁄

E) 1 9⁄

908) Si 𝑃 es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen

los sucesos A y B, con 𝑃(𝐴) ≠ 0 y 𝑃(𝐵) ≠ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 (𝐴

𝐵) = 0.

II) Si A y B son independientes, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

III) Si A y B son eventos independientes 𝑃 (𝐴

𝐵) = 𝑃 (

𝐵

𝐴)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

909) Se cuenta con una caja con 3 monedas: una normal, una donde la probabilidad de

obtener cara es de 1

6 y otra con 2 caras. Se selecciona una moneda al azar y luego

se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?

A) 1

2

B) 2

5

C) 5

9

D) 2

9


307

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

910) Tres niños escriben al azar una de las siguientes vocales: a, e, i. ¿Cuál es la

probabilidad que los tres hayan escrito la misma vocal?

A) 1

9

B) 1

27

C) 2

27

D) 1

3


911) Una enciclopedia tiene 5 tomos (numerados), si se colocan al azar en un librero,

¿Cuál es la probabilidad de que queden ordenados numéricamente (en sentido

creciente o decreciente)?

A) 1 30⁄

B) 1 60⁄

C) 1 15⁄

D) 3 14⁄


912) Dentro de una bolsa hay 𝑥 bolas blancas e 𝑦 bolas negras, tales que 𝑥 + 𝑦 = 30. Si la

probabilidad de sacar una bola blanca es 2

15. ¿Cuántas bolas negras hay?

A) 2

B) 4

C) 13

D) 14

E) 26

913) En una caja hay en total 40 bolitas del mismo tipo, unas de color rojo, otras de color

azul y otras de color negro. Al sacar una bolita al azar de la caja, se puede

determinar la probabilidad de que esta sea de color negro, si se sabe que:

(1) Al extraer al azar una bolita de la caja, la probabilidad de que sea negra es igual a la

probabilidad de que sea roja.

(2) La cantidad de bolitas azules que hay en la caja es la mitad de la cantidad de bolitas

rojas que hay en la caja.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




308

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

914) En una caja hay 22 fichas de color azul, rojo y blanco, de las cuales 10 son rojas. Se

puede determinar la probabilidad de sacar una ficha azul, si:

(1) La probabilidad de sacar una ficha roja o blanca es 9 11⁄ .

(2) La probabilidad de sacar una ficha blanca es 4 11⁄ .

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




915) Al lanzar dos dados, podemos conocer los números, si:

(1) El producto de ellos es 12 y a lo más hay un número impar.

(2) La diferencia entre el mayor y el menor es el neutro multiplicativo.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




916) Un estudiante tiene un estuche con lápices de pasta, mina y a tinta. Si saca un lápiz

sin mirar, se puede determinar la probabilidad de que se un lápiz pasta, si:

(1) La probabilidad de sacar un lápiz mina es 1 3⁄ .

(2) Hay 6 lápices en total y uno de ellos es tinta.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




917) En una bolsa hay 6 chocolates entre rellenos y no rellenes. Si se saca un chocolate

al azar, entonces se puede saber la probabilidad de que este sea relleno, si:

(1) Se sacaron 2 chocolates y eran rellenos.

(2) La razón entre rellenos y no rellenos es 1: 2

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




309

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

918) La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es 1 4⁄ . La probabilidad de

extraer una bola azul se puede calcular, si:

(1) El total de bolas que hay en la caja es 12.

(2) En la caja hay bolas rojas, blancas y azules.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




919) Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede

determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:

(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes

(2) El número total de fichas es 36

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola




920) Una variable aleatoria es:

A) Una propiedad

B) Un suceso

C) Una función

D) Un conjunto

E) Un experimento

4.9 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 921) ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias es discretas?

A) Tiempo de espera en la fila de una caja de supermercado

B) Temperatura máxima registrada diariamente en una ciudad

C) Masa de un recién nacido

D) Cantidad de combustible que una persona le coloca a su vehículo semanalmente

E) Número de reclamos diarios que recibe una empresa de telecomunicaciones

310

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

922) ¿Cuál (es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria discreta?

I) Consumo de kilos-watt hora durante una semana.

II) Número de clientes que esperan pagar en la caja de un supermercado.

III) Número de llamadas que recibe un celular en una hora.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

923) ¿Cuál (es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria continua?

I. Cantidad de gasolina consumida por un vehículo.

II. Tiempo necesario para armar un puzle de 1.500 piezas.

III. El consumo diario de agua potable de un condominio.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

924) En un test de 5 preguntas de verdadero y falso, se define la variable aleatoria X

como el número de preguntas falsas que se obtiene. ¿Cuál (es) de las siguientes

proposiciones es (son) verdadera (s)?

I) El recorrido de la variable aleatoria es 1,2. II) El espacio muestral del experimento tiene 32 casos posibles.

III) Los resultados para la variable aleatoria X son equiprobables.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

311

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

925) En el experimento de lanzar un dado común se define la variable aleatoria 𝑋 como la

cantidad de números impares obtenidos, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) El recorrido de 𝑋 es 1,3,5 II) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 1)

III) El valor esperado de 𝑋 es 1

2.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

926) Se lanzan dos dados no cargados y se define la variable aleatoria 𝑋 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 de la diferencia de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 =5?

A) 1 9⁄

B) 1 12⁄

C) 1 36⁄

D) 5 36⁄

E) 1 18⁄

927) Una caja contiene dos tarjetas numeradas con el 1 y el 2 y se define la variable

aleatoria 𝑋: 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑠𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, con reposición.

¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑋 es una variable aleatoria discreta

II) El espacio muestral tiene 3 elementos

III) 𝑅𝑒𝑐𝑋: 2,3,4

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

312

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

928) Al lanzar un dado de seis caras no cargado y considerando la variable aleatoria

𝑋: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟. ¿Cuál de los

siguientes valores tiene una sola preimagen?

A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

E) 7

929) En el experimento de lanzar dos dados comunes, se define la variable aleatoria 𝑋

como el valor absoluto de la diferencia de los números que se obtienen. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es falsa?

A) 𝑃(𝑋 ≥ 0) = 1

B) 𝑃(𝑋 ≥ 2) =10

21

C) 𝑃(𝑋 = 0) =6

36

D) El recorrido de 𝑋 es 0,1,2,3,4,5 E) 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 1

930) Una bolsa tiene 30 tarjetas, de las cuales tres de ellas tienen un DOS, cuatro de ellas

tienen un CINCO, cinco de ellas tienen un SEIS, siete de ellas un DIEZ, cinco de ellas

un ONCE y seis de ellas un CATORCE. Se realiza el experimento de extraer una tarjeta

al azar y se define la variable aleatoria 𝑋 es 𝑃 . ¿Cuál (es) de las siguientes


I) 𝑃(𝑋 = 10) > 𝑃(𝑋 = 11)

II) 𝑃(𝑋 = 6) = 1 6⁄

III) 𝑃(𝑋 = 14) = 1 5⁄

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

313

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

931) Se realiza un experimento que consiste en laza simultáneamente tres monedas de

distinto color y se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de sellos obtenidos

Si 𝑋 toma el valor 2. ¿Cuántos elementos del espacio muestral de este experimento

cumplen con esta condición?

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

932) Se lanza una moneda cuatro veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como el

número de sellos obtenidos. ¿Cuál es el valor de 𝐹(2)?

A) 0,3125

B) 0,3750

C) 0,6250

D) 0,6875

E) 0,9375

933) Se define la variable aleatoria 𝑋, como el valor absoluto de la diferencia de los

puntos en el lanzamiento de los dos dados, entonces 𝑃(𝑋 ≤ 3) es:

A) 1 9⁄

B) 2 6⁄

C) 3 6⁄

D) 4 6⁄

E) 5 6⁄

934) En una caja se tiene 5 bolitas numeradas con el número 1; cuatro con el número 2;

tres con el número 3; dos con el número 4 y una bolita con el número 5, todas de

igual tamaño y peso. Si se escoge una bolita al azar de la caja y la variable aleatoria

𝑋 corresponde al número marcado en la bolita ¿Cuál de las siguientes expresiones

representa a la función de probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑛)?

A) 1

𝑛

B) 2

5−

𝑛

15

C) 𝑛

15

D) 6 −𝑛

15

E) 5

𝑛

314

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

935) En una bolsa hay 10 fichas, todas de igual peso y tamaño; 4 fichas son de color

blanco y 6 son rojas. Si se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de fichas

de color blanco que se obtienen en las extracciones indicadas a continuación,

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si se extraen 3 fichas a la vez, los valores de 𝑋 son 0,12,3,4 II) Si se extraen 6 fichas a la vez los valores de la variable aleatoria 𝑋 son 0,1,2 III) Si se extraen 5 fichas a la vez los valores de 𝑋 son 0,1,2,3,4

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

936) Una bolsa contiene 10 cubitos de igual tamaño, 4 dorados, 3 plateados y 3 blancos.

Si se extraen, sin reposición, 3 cubitos y se definen las siguientes variables

aleatorias con sus recorridos, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es

(son) verdadera(s)?

I) El recorrido es 1,2,3 si la variable aleatoria 𝑋 es número de cubitos plateados.

II) El recorrido es 1,2,3,4 si la variable aleatori 𝑌 es número de cubitos dorados.

III) El recorrido es 3,4 si la variable aleatoria 𝑍 es un cubito de cada color.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I, II y III


937) Una bolsa contiene 5 fichas enumeradas del 5 al 9. Si se extraen 3 fichas una tras

otra sin reposición y se define la variable aleatoria 𝑍 como el menor valor de fichas

sacadas, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) FALSA(S)?

I) El espacio muestral tiene 6 elementos.

II) 𝑃(𝑋 = 5) = 2𝑃(𝑋 = 6) III) El recorrido de 𝑍 es 5,6,7,8,9

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

315

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

938) Se lanza dos veces un dado y se define una variable aleatoria 𝑋 de la siguiente

manera: Se designa el valor 1 cuando el primer número es mayor que el segundo; o

si los dos números son iguales y -1 si el primer número es menor que el segundo.

Entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 𝑃(𝑋 = 0) =6

36

B) El recorrido de la variable aleatoria es −1,0,1 C) 𝑃(𝑋 = −1) = 𝑃(𝑋 = 1)

D) 𝑃(𝑋 = 1) =5

36


939) Se tiene un dado cargado donde la probabilidad de obtener un número par es un

tercio de la probabilidad de obtener un número impar. Se define la variable aleatoria

𝑋 como el número obtenido, entonces. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la

correcta?

A) La probabilidad de obtener un número primo es 5

6

B) 𝑃(𝑋 = 2) = 3𝑃(𝑋 = 5) C) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 > 4) D) 𝑃(𝑋 = 6): 𝑃(𝑋 = 1) = 3: 1


940) En dos cubos se han impreso, en cada uno de ellos, dos números uno, dos números

cero y dos números -1. Si se lanza uno tras otro, y se define la variable aleatoria 𝑊

como la suma de los cuadrados de los números obtenidos por las caras obtenidas,

entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) El recorrido de la variable aleatoria es −2,−1,0,−1,−2. II) 𝑃(𝑊 = −1) = 𝑃(𝑊 = 1) III) 𝑃(𝑊 = 1) = 𝑃(𝑊 = 2)

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo II y III

D) I, II y III


316

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

941) Una caja contiene 13 bolitas de la misma forma y tamaño, enumeradas del 1

al 13. Si se extraen 6 bolitas al azar una tras otra, sin reposición, y se define la

variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de bolitas que tienen un número

compuesto, ¿Cuál es el recorrido de la variable aleatoria?

A) 1,2,3,4,5,6

B) 0,1,2,3,4,5,6

C) 2,3,4,5,6

D) 0,2,3,4,5,6

E) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

942) Con respecto a la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)

verdadera(s)?

𝑿 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙𝒊) 10 0,11 0,11

20 0,19 0,3

30 𝑀 𝑁

40 0,23 0,67

50 0,17 0,84

60 𝑄 1

I) 𝑁−𝑄

2= 𝑀

II) 𝑀 +𝑄 = 𝑃(𝑋 ≤ 20) III) 𝑃(𝑋 > 40) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 30)

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

943) Según las estadísticas en el centro de la ciudad el 20% de las familias no tienen

hijos, un 35% tienen hijos, un 30% tienen 2 hijos y un 15% tienen tres hijos. Si se

define la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos de una familia escogida al azar

en el centro de la ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 > 1?

A) 0,30

B) 0,35

C) 0,45

D) 0,55

E) 0,80

317

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

944) Un estuche contiene solo 10 lápices del mismo tipo, de los cuales 3 son azules, 2

son rojos y 5 negros. Si se extraen simultáneamente, al azar 6 lápices del estuche y

se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de lápices azules extraídos, ¿Cuáles

son todos los posibles valores de 𝑋?

A) 0, 1, 2 y 3

B) 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6

C) 1, 2 y 3

D) 1, 2, 3, 4, 5 y 6

E) 0, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

945) Una caja contiene en total 10 fichas del mismo tipo y solo de dos colores, 𝑚 son

azules y 𝑛 son rojas. Si se extraen a alzar 5 fichas a la vez de la caja y se define la

variable aleatoria 𝑋 como el número de fichas azules que se obtienen, ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si 4𝑚 = 6𝑛, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3,4,5.

II) Si 𝑛 = 𝑚 + 4, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3.

III) Si 𝑚

𝑛= 1, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3,4,5.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

946) Una urna contiene 10 bolitas, todas del mismo tipo, cuatro están marcadas con el 1,

dos con el número 2 y el resto con el número 3. Se saca una bolita al azar de la urna

y se registra su número y se devuelve a la urna, luego se saca otra bolita al azar y se

registra su número. SI se define la variable aleatoria 𝑋 como “La suma de los

números de las bolitas extraídas”. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Los valores que puede tomar la variable aleatoria 𝑋 son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

II) 𝑃(𝑋 = 3) =2

25

III) 𝑃(𝑋 = 4) =9

25

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III


318

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

947) En el experimento de lanzar dos dados comunes se define la variable aleatoria 𝑋

como el valor absoluto de la diferencia delos números que se obtienen. ¿Cuál de las


A) 𝑃(𝑋 > 0) =5

6

B) 𝑃(𝑋 = 2) > 𝑃(𝑋 = 3)

C) 𝑃(𝑋 = 0) =1

6

D) El recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4,5 E) 𝑃(𝑋 > 0) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0)

948) Se lanza dos veces un dado, y se define la variable aleatoria X como el producto

de los puntos obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el recorrido de la variable

aleatoria X?

A) 9

B) 12

C) 15

D) 18


949) En el experimento de lanzar tres monedas, se define una variable aleatoria como el

número de caras que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la variable

aleatoria tome el valor 0 y q es la probabilidad de que la variable aleatoria tome

el valor 2, entonces ( )p q+ es:

A) 3

8

B) 3

4

C) 1

2

D) 2

3


319

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

950) Se define la variable aleatoria X como el número de llamadas de urgencia a un

servidor y se sabe que P(X = 3) = 0,1; P(X = 2) = 0,2; P(X = 1) = 0,4; siendo 3

el número máximo de llamadas posibles. ¿Cuál es la probabilidad que se reciba a lo

más una llamada?

A) 0,70

B) 0,60

C) 0,40

D) 0,30

E) 0,21

951) Si definimos la variable aleatoria X como la cantidad de ases obtenidos al extraer 4

cartas, sin reposición, de una baraja inglesa, entonces 𝑃(𝑋 = 4)

A) 4

52

B) (4

52)4

C) 4! ∙ 48!

52!

D) 1

12

E) 1

13

952) Se lanza una moneda no cargada 3 veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como el

número de caras obtenidas. ¿Cuál(es) de los siguientes valores corresponden a

posibles resultados que pueda tomar la variable 𝑋?

I) 0

II) 1

III) 2

IV) 4

A) Sólo I y II

B) Sólo I, II y IV

C) Sólo II, III y IV

D) Sólo I, II y III

E) I, II, III y IV

320

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

953) Un bolso contiene 14 bolitas del mismo tipo, de las cuales 10 son blancas y 4 son

rojas. Si se extraen simultáneamente, al azar, 5 bolitas del bolso y se define la

variable aleatoria X como el número de bolitas blancas extraidas, ¿cuáles son todos

los posibles valores de X?

A) 1, 2, 3, 4 y 5

B) 0, 1, 2, 3 y 4

C) 1, 2, 3 y 4

D) 0, 1, 2, 3, 4 y 5

E) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

954) Se lanzan dos dados normales y se define la variable aleatoria 𝑋 com la diferencia

en valor absoluto de los resutlados obtenidos. 𝑃(𝑋 = 0) es:

A) 0

B) 1 6⁄

C) 1 12⁄

D) 1

E) Otro valor

955) En un lapicero hay 3 tipos de lápices , 4 rojos, 5 azules y 1 verde.Si se extraen

simultaneamente, 3 lápices y se define la variable aleatoria X como el número de

lápices rojos extraidos, ¿Cuáles son todos los posibles valores de X?

A) 1, 2 y 3

B) 0, 1, 2 y 3

C) 0, 1, 2, 3 y 4

D) 1, 2, 3 y 4

E) 0, 1, 2, 3, 4 y 5

321

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

956) En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de jóvenes que asistió a

una graduación.

Edad (años) Frecuencia

16 2

17 12

18 10

19 2

Se eligen dos jóvenes al azar y se define la variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto de la

diferencia de sus edades. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmación(es) es o son falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 0) =113

325

II) 𝑃(𝑋 = 3) =4

325

III) 𝑃(𝑋 = 2) =44

325

A) Sólo I

B) Solo II

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna

957) De los siguientes ejemplos de diferentes variables aleatorias: ¿cuál(es) es(son)

discreta(s)?

I) Cantidad de hermanos de una persona.

II) Número de hijos de una familia del colegio.

III) Tiempo para armar un rompecabezas.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

322

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.10 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS 958) Si se lanza 3.600 veces una moneda, entonces el número de caras que saldrá será:

A) Exactamente 1.800 veces

B) Exactamente 3.600 veces

C) Exactamente 1.300 veces

D) Aproximadamente 1.800 veces

E) Aproximadamente 3.600 veces

959) Si se lanza una moneda 1000 veces seguidas, registrándose sus resultados. ¿Cuál

es la probabilidad en este conjunto de lanzamientos de haber obtenido cara?

A) 50%

B) Menos del 50%

C) Cercana al 50%

D) Más del 50%

E) No es posible determinar

960) Si se lanza 1.200 veces un dado común, entonces el número 3 saldrá

A) Exactamente 240 veces

B) Exactamente 200 veces

C) Exactamente 120 veces

D) Aproximadamente 240 veces

E) Aproximadamente 200 veces

961) Si se lanzan 2.000 veces dos dados comunes, entonces según la Ley de los Grandes

Números, ¿En qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones ocurrirá que

el producto de los números obtenidos será un número par?

A) 25%

B) 30%

C) 50%

D) 75%

E) 80%

323

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

4.11 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE

DISTRIBUCIÓN

962) Se realiza el siguiente experimento: se lanza un dado no cargado 3000 veces y en 500

de ellas se obtiene un número 1. Al respecto se puede afirmar siempre que

A) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado es menor que la

probabilidad experimental de obtener el número 1 al lanzar el dado.

B) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado es mayor que la

probabilidad experimental de obtener el número 1 al lanzar el dado

C) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado coincide con la


D) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado coincide con la



963) Se lanzarán simúltaneamente 4 monedas, definiendo la función de variable aleatoria 𝑓

como el número de caras que resultan.


I) 𝑓 es una función de variable aleatoria continua

II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 − 𝑓(0) III) La probabilidad de que resulte a lo más 1 cara es igual a 𝑓(0) + 𝑓(1)

Es (son) correcta(s):

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

324

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

964) En una variable aleatoria discreta 𝑋 que tiene la siguiente función de

probabilidad:

𝑓(𝑥) =

𝑘(𝑥2 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 = 2, 3,4𝑘𝑥

4𝑠𝑖 𝑥 = 1, 5

0 𝐸𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de 𝑘 es:

A) 3 2⁄

B) 2 55⁄

C) 2 90⁄

D) 2 29⁄

E) 1 26⁄

965) En el experimento de lanzar una moneda tres veces, se define la variable aleatoria 𝑋

como el número de sellos obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de los siguientes

gráficos representa la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋?

A) B)

C) D)

E)

r e f e r e n t e

325

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

966) En una variable aleatoria discreta X que tiene la siguiente función de probabilidad

𝑓(𝑥) = 𝑘(9 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 5,6,7,8

0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de k es:

A) 2 3⁄

B) 1 9⁄

C) 1 15⁄

D) 1 10⁄

E) 1 5⁄

967) La función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋 viene dada por la tabla.

𝑋𝐼 -2 -1 0 1 2

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 0,08 0,32 0,05 a 0,32

Entonces, cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es o son verdadera(s):

I) 𝑃(𝑋 = 1)= 0,23

II) 𝑃(𝑋 ≥ 1) =0,55

III) 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 0,4

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

968) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋.

𝑥𝑖 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑘

2

3𝑘 5𝑘

3

2𝑘

¿Cuál debe ser el valor de 𝑘?

A) 1 43⁄

B) 6 43⁄

C) 8 43⁄

D) 9 43⁄


326

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

969) La siguiente tabla muestra la distribución de una variable aleatoria discreta

𝑥 0 1 2

𝑓(𝑥) 0,2 3𝑎 2𝑎

¿Qué valor debe tener 𝑎 para que 𝑓(𝑥) sea una función de probabilidad?

A) 1

B) 0,8

C) 0,16

D) 0,32

E) 0,48

970) ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función de probabilidad?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas

971) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa con respecto al gráfico?

A) 𝑃(𝑋 = 10) = 0

B) 𝑃(𝑋 = 3) = 0,2

C) 𝑃(𝑋 = 1) < 𝑃(𝑋 = 2) D) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 1

3𝑖=0

E) 𝑃(𝑋 > 1) = 0,6

0.4

0.15

0.25 0.2

P(X

= x

)

327

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

972) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋.

𝑥𝑖 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 2𝑎 3𝑎 4𝑝 6𝑝 2𝑎

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Si consideramos que 𝑝 =𝑎

2 entonces 𝑃(𝑋 = 3) = 0,25.

II) Si consideramos que 𝑎 = 3𝑝, entonces 𝑃(𝑋 = 4) =6

31.

III) Si consideramos que 𝑎 = 𝑝, entonces 𝑃(𝑋 = 2) =2

17

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

973) El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una

variable aleatoria discreta 𝑋. Si el recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4 y 𝑃(𝑋 = 1) = 0,1. ¿Cuál es

el valor de 𝑃(𝑋 = 2)?

A) 2 5⁄

B) 3 5⁄

C) 1 10⁄

D) 1 15⁄


974) Se mide el tiempo de respuesta de un grupo de personas frente a una pregunta de

cálculo mental y se encontró que tardaban 1, 2, 3, 4 ó 5 segundos en contestar. La

función de probabilidad asociada al tiempo 𝑡 que demoran en responder es 𝑓(𝑡) =𝑡

15.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona demore menos de 4 segundos en

contestar?

A) 4 15⁄

B) 6 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

328

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

975) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución 𝐹,

la que se define como:

F(x) =

2

15 , si x = 1

8

15, si x = 2

5

6, si x = 3

1, si x = 4

Para 𝑥 en el conjunto 1,2,3,4. ¿Cuál es el valor de 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3)?

A) 1

6

B) 3

10

C) 7

15

D) 7

10

E) 41

30

976) Sea 𝐹(𝑥) la función de distribución de la variable aleatoria 𝑋, entonces 𝑓(2) es igual

a:

𝐹(𝑥) =

0 , 𝑠𝑖 𝑥 < 00,125 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10,5 , 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 20,875 , 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3

1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

A) 0,875

B) 0,75

C) 0,5

D) 0,375

E) 0,25

977) Sea 𝑋 u na variable aleatoria cuyo dominio es 𝐴 = 0,1,2,3, entonces la función de

distribución para esta variable aleatoria siempre cumplirá con las afirmaciones:

I) 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) II) 𝑃(𝑥 < 3) = 1 − 𝑃(𝑥 ≥ 3) III) 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 1

IV) 𝑃(1 < 𝑥) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3)

A) Solo I y III

B) Solo II y IV

C) Solo I, II y III

D) Solo I, II y IV

E) Todas

329

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

978) Si 𝐹(𝑥) es una función de distribución y 𝑓(𝑥) la función de probabilidad de la variable

aleatoria 𝑋 con 𝐷𝑜𝑚(𝑋) = 1,2,3,4,5. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) 𝐹(5) = 1

B) 𝐹(3) > 0

C) 𝐹(1) > 𝑓(1) D) 𝐹(2) = 𝑓(2) + 𝑓(1) E) 𝐹(4) − 𝐹(3) = 𝑓(4)

979) Según el gráfico de la función de distribución 𝐹(𝑥), se puede afirmar que:

I) Los valores de 𝑋 son: 1 y 2

II) 𝑓(1) = 0,5

III) 𝑓(2) = 1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

980) La siguiente tabla muestra la distribución de una variable aleatoria discreta:

¿Cuál es el valor de 𝑓(2)? 𝑥 0 1 2

𝑓(𝑥) 0,3 3𝑎 2𝑎 A) 0,14

B) 0,8

C) 0,16

D) 0,32

E) 0,28

330

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

981) El siguiente gráfico representa la función de probabilidad asociada a la variable

aleatoria

𝑋 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

verdadera con respecto al gráfico?

A) Los resultados son equiprobables

B) La distribución es simétrica

C) 𝑃(𝑋 > 2) = 0,7

D) 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) = 0,4

E) La probabilidad de obtener un par es igual a la de obtener un impar.

982) Se tiene una función de probabilidad 𝑓: 𝐴 → [0,1], donde 𝑓(𝑥) =𝑥3−3𝑥

1170 y 𝐴 =

4,5,6,7,8. ¿Cuál es el valor de 𝐹(7)?

A) 0,58

B) 0,51

C) 0,49

D) 0,45

E) 0,32

983) Según el gráfico de la función de distribución 𝐹(𝑋), se puede afirmar que:

I) 𝐹(𝑋) = 0,35; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2

II) 𝑓(1) = 𝐹(1) III) 𝐹(3) − 𝐹(1) = 𝐹(2)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

0.3

0.075

0.2 0.2

P(X

= x

)

0.1 0.125

r e f e r e n t e

331

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

984) Sea 𝑓 una función probabilidad de la variable aleatoria 𝑋, definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑡(5 − 2𝑥); 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑡𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 20 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

Luego el valor de 𝑡 es:

A) 1 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 11⁄

D) 1 7⁄

E) Otro valor

985) La distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta, viene dada por

la tabla:

𝑥 1 2 3 4 5

𝑃(𝑋) 0,15 14⁄ 0,2 𝑚 0,15

Entonces el valor de 𝑃(𝑋 ≥ 3) es:

A) 0,750

B) 0,250

C) 0,600

D) 0,400

E) Otro valor

986) Respecto al experimento 𝐸 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒, si se define la variable

aleatoria 𝑋 como cantidad de sellos obtenidos, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) 𝑋(𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎) = 0

II) 𝑃(𝑋 = 1) = 0,5

III) 𝑃(𝑋 = 1) = 2 ∙ 𝑃(𝑋 = 2)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

332

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

987) Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras, todas exactamente iguales y solo

se diferencian en su color. Una persona saca simultáneamente tres de esas bolas. Se

define la variable aleatoria 𝑋 como el número de bolas negras que obtuvo en la

extracción. Con respecto a 𝑋 , ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 0) = 0,1

II) 𝑃(𝑋 = 1) = 0,2

III) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,7

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III


988) Si 𝑝 es una función de probabilidad definida por

𝑃(𝑋 = 𝑥) =

2𝑘

9 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝑘

12 𝑠𝑖 𝑘 = 4 ó 5

2𝑘 𝑠𝑖 𝑘 = 1 ó 2 ó 3𝑘

9 𝑠𝑖 𝑥 = 6

Entonces el valor de 𝑘 es

A) 5 13⁄

B) 25 26⁄

C) 27 53⁄

D) 2 13⁄

E) 3 26⁄

989) Diego lanza 2 dados comunes y define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los

números que se obtienen al lanzar dichos dados. Si 𝑃 es la función de probabilidad.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋=3) =1

18

II) El dominio de la función 𝑃 es ]2,12]

III) 𝑃(𝑋≥3) =35

36

IV) El valor de 𝑥 solo puede ser 2, 3, 4, 5 ó 6

A) Solo II

B) Solo I y III

C) Solo III y IV

D) Solo I, II y IV

E) Solo II y IV

r e f e r e n t e

333

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

990) Se tiene un dado de cuatro caras, con sus caras marcadas del 1 al 4. Un experimento

consiste en lanzar el dado dos veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de

los resultados de ambos lanzamientos. Si 𝑃 corresponde a la función de probabilidad en

el experimento descrito, ¿Cuál es el valor de 𝑃(3 ≤ 𝑋 ≤ 5)?

A) 1 7⁄

B) 3 16⁄

C) 3 7⁄

D) 1 2⁄

E) 9 16⁄

991) La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋 viene dada por la

tabla

𝑥𝑖 1 2 3 4 5

𝑃𝑖 0,1 0,3 𝑎 0,2 0,3

¿Cuál es el valor de 𝑃(𝑋 = 3)?

A) 0,2

B) 0,5

C) 0,9

D) 0,1

E) 1

992) La siguiente función 𝑓 se define para una variable aleatoria discreta 𝑋 como

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 3𝑘𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ó 1

𝑘(8 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 2 ó 3 ó 40 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

¿Cuál debe ser el valor del parámetro 𝑘, para que 𝑓 pueda ser una función de probabilidad?

A) 1 14⁄

B) 1 15⁄

C) 1 18⁄

D) 1 22⁄

E) 1 21⁄

334

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

993) La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑌.

𝑌 1 2 3 4 5

𝑓(𝑌) 1

2𝛼

𝛼 0,15 2𝛼 3

4𝛼

Entonces, el valor de 𝛼 es:

A) 0,05

B) 0,02

C) 0,024

D) 0,2

E) 0,24

994) El gráfico adjunto muestra la función de probabilidad 𝑓 de un experimento aleatorio

asociado a la variable aleatoria 𝑋. Si los valores que puede tomar 𝑋 son 1,3,5,7. ¿Cuál

de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si 𝐹 es la función de distribución asociada a 𝑋, entonces 𝐹(5) = 0,5.

B) El valor esperado de 𝑋 es 5.

C) La desviación estándar de 𝑋 es 4

3√3.

D) Si 𝐹 es la función de distribución asociada a 𝑋, entonces 𝐹(3) = 0,16.

E) 𝑓(7) = 0,5.

335

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

995) En el experimento de lanzar una moneda y un dado común, se define la variable

aleatoria 𝑋 como la suma entre el número de sellos y la cantidad de números primos

obtenidos. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función de probabilidad de

variable aleatoria 𝑋?

996) Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta y F su función de distribución de probabilidad

acumulada. Si 𝐹(−2) =1

4 y 𝐹(1) = 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre

verdadera?

A) El recorrido de 𝑋 es el conjunto −2,1. B) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = −1) C) 𝐹(−2) = 0

D) 𝑃(𝑋 = −1) =1

3


997) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 , con 𝑘 una constante, la función de probabilidad de una variable

aleatoria discreta 𝑋 que tiene como recorrido el conjunto 1, 3, 6, 8, 12. Si 𝑔 es la función

de distribución de probabilidad acumulada de 𝑋, entonces 𝑔(6) es:

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 1 5⁄

E) 1 6⁄

336

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

998) En el experimento de lanzar dos dados comunes 200 veces, se define la variable

aleatoria 𝑋 como el número de veces en los cuales la suma de los dos dados es menor

que 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a 𝑃(𝑋 > 1)?

A) 1 − [(5

6)200

+ 200 ∙ (1

6) ∙ (

5

6)199

]

B) 1 − [(5

6)200

+ (1

6) ∙ (

5

6)199

]

C) 1 − [(1

6)200

+ 200 ∙ (1

6) ∙ (

5

6)199

]

D) 1 − (1

6)200

E) 1 − (5

6)200

999) El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una

variable aleatoria discreta 𝑋. Si el recorrido de 𝑋 es 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑃(𝑋 = 𝑏) = 0,2. ¿Cuál es el

valor de 𝑃(𝑋 = 𝑎)?

A) 2 10⁄

B) 3 10⁄

C) 6 10⁄

D) 8 10⁄

E) 5 10⁄

1000) Sea 𝑓 la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋 definida por:

𝑓(𝑥) 𝑘(5 − 𝑥), 𝑠𝑖 𝑥 = 1, 2, 3𝑘𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 4

0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de 𝑘 es:

A) 1 10⁄

B) 1 13⁄

C) 1 15⁄

D) 1 26⁄


337

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1001) En el experimento de lanzar una moneda tres veces, se define la variable aleatoria 𝑋

como el número de sellos obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de los siguientes

gráficos representa la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋?

A) B)

C) D)

E)

1002) El gráfico de la figura muestra la función de distribución acumulada de probabilidad

de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) ( ) ( )P X 2 P X 3 =

II) ( )P X 3 0,5 =

III) ( )P 0 X 2 0,3 =

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

338

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1003) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua cuya función de probabilidad es:

𝑓(𝑥) 2𝑘𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 36𝑘 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 50 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑘 es:

A) 1

24

B) 1

12

C) 1

21

D) 1

30


1004) Sea f la función de probabilidad de la variable aleatoria X definida por:

=

=

=−

=

casootroen

xsikx

xsikx

xsikx

xf

0

32

2

1)5(

)( Determine el valor de “𝑘”

A) 2

1

B) 8

1

C) 10

1

D) 12

1


1005) Se lanza una moneda 4 veces y se define la variable aleatoria discreta X: número de

sellos obtenidos. ¿Cuál es el valor de ( )3F ?

A) 0,3125

B) 0,375

C) 0,625

D) 0,6875

E) 0,9375

d e s a r r o l l o

339

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1006) Si f es una función de probabilidad asociada de distribución F, ¿Cuál es el valor de

a y b , respectivamente?

A) 0,10 y 0,75

B) 0,15 y 0,35

C) 0,15 y 0,75

D) 0,05 y 0,75

E) 0,5 y 0,85

1007) El siguiente gráfico representa la función de distribución de una variable aleatoria X.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I.- ( ) 9,02 =F

II.- ( ) 6,012 −=f

III.- ( )2)2()3( fFF =−

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

1008) Para la variable aleatoria 𝑋 se define la función de probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑚) =𝑘

𝑚, con

𝑚 en el conjunto 1,2,3 y 𝑘 un número real. El valor de 𝑘 es:

A) 1 6⁄

B) 1 3⁄

C) 1 2⁄

D) 6 11⁄

E) 3 5⁄

1009) La siguiente tabla representa los valores de la función de probabilidad asociada a una

variable aleatoria X. ¿Cuál es el valor de 𝑃(𝑥 = 4)?

𝑥𝑖 1 2 3 4 5 6

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 6𝑘 𝑘 2𝑘 4𝑘 5𝑘 6𝑘

A) 1 24⁄

B) 1 12⁄

C) 1 4⁄

D) 1 6⁄

E) 5 24⁄

( )

=

=

=

=

=

31

2

125,0

01,0

xsi

xsib

xsi

xsi

xF( )

=

=

=

=

=

325,0

25,0

1

01,0

xsi

xsi

xsia

xsi

xf

340

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1010) Una ruleta de 4 sectores numerados del 1 al 4 se divide de tal forma que posee la

siguiente función de probabilidad:

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) =

0,3 , 𝑠𝑖 𝑥 = 10,4 , 𝑠𝑖 𝑥 = 20,1 , 𝑠𝑖 𝑥 = 3 0,2 , 𝑠𝑖 𝑥 = 4

0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝐹 es la función de distribución de la ruleta, ¿Cuál es el valor de F(3)?

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,5

D) 0,7

E) 0,8

1011) Sea 𝑋 una variable aleatoria, con recorrido 1,2,3,4 tal que su función de

probabilidad es:

𝑃(𝑋 = 𝑛) =

2

11 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1

3𝑘

22 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2

𝑘

11 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 3

3

22 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4

0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝐹es la función de distribución asociada a P, entonces 𝐹(2) es igual a:

A) 19 22⁄

B) 13 22⁄

C) 9 11⁄

D) 9 22⁄

E) 3 11⁄

1012) Se da cierto suceso en el cual se define una variable aleatoria 𝑋 con función de

probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑥) =3𝑥

26+

1

13 cuyo dominio es el conjunto 0,1,2,3. Si 𝐹 es la función

de distribución asociada a 𝑃 entonces 𝐹(2) es igual a:

A) 1 13⁄

B) 5 26⁄

C) 15 26⁄

D) 1


341

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1013) Un experimento consiste en extraer dos bolitas, una tras otra y sin reposición, de una

caja que contiene una bolita blanca, una bolita negra y una verde. Se define la variable

aleatoria 𝑋 como la cantidad de bolitas verdes obtenidas después de realizar el

experimento. Si 𝑃 es la función de probabilidad del experimento, entonces 𝑃(𝑋 = 1) es

igual a:

A) 1 9⁄

B) 1 6⁄

C) 1 3⁄

D) 4 9⁄

E) 2 3⁄

1014) Se lanzan dos dados normales y se define a variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto

entre la diferencia de los resultados obtenidos. Si la función de probabilidad de 𝑋 es 𝑃.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋 > 5) =1

18

II) 𝑃(𝑋 = 1) > 𝑃(𝑋 = 2)

III) 𝑃(𝑋 = 0) =1

6

A) Solo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) I, II y III

E) Ninguna

1015) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución

𝐹(𝑋 = 𝑎) =𝑎2

25 , para 𝑋 en el conjunto 1,2,3,4,5. El valor de 𝑃(𝑋 = 3) es:

A) 1 25⁄

B) 3 25⁄

C) 7 25⁄

D) 9 25⁄

E) 1 5⁄

342

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1016) La función de probabilidad se expresa como 𝑃(𝑥) =𝑥2+5

50, para 𝑥 = 1,2,3 𝑜 4. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones con respecto a la función mencionada es(son)

verdadera(s)?

I) La expresión no corresponde a una función de probabilidad.

II) 𝑃(𝑥 < 4) < 0,58

III) 𝑃(𝑥 = 4) = 42%

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

1017) Se mide el tiempo de respuesta de un grupo de personas frente a una pregunta de

cálculo mental y se encontró que tardaban 1, 2, 3, 4 ó 5 segundos en contestar. La función

de probabilidad asociada al tiempo 𝑡 que demoran en responder es 𝑓(𝑡) =𝑡

15. ¿Cuál es la

probabilidad de que una persona demore menos de 3 segundos en contestar?

A) 4 15⁄

B) 6 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

1018) Considere X una variable aleatoria discreta, cuya función de probabilidad es la

siguiente:

𝑓(𝑥) =

𝑝 + 0,1 𝑠𝑖 𝑥 = 10,26 𝑠𝑖 𝑥 = 20,2 + 3𝑝 𝑠𝑖 𝑥 = 30 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

De acuerdo a la función anterior, ¿Cuál es la probabilidad asociada a 𝑥 = 3?

A) 0,15

B) 0,20

C) 0,50

D) 0,53

E) 0,55

re

fe

re

nt

e

343

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1019) La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable 𝑋.

𝑿 1 2 3 4 5

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,15 0,2 0,35 n 2n


I) El recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4,5. II) El valor de 𝑛 es 0,3.

III) 𝑃(𝑋 > 3) = 0,65.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

1020) Sea 𝑓 una función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋, definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑡(5 + 2𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑡𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Entonces el valor de 𝑡 es:

A) 1 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 11⁄

D) 1 7⁄

E) Otro valor

1021) Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar dos

cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos

azules obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores de la variable aleatoria son 0,1,2

II) El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es

cuatro.

III) 𝑃(𝑋 = 1) =4

7

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I , II y III

344

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1022) Se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos (varones) que puede tener

un matrimonio que tiene tres hijos. Esta situación se representa gráficamente de la

siguiente manera:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) El dominio tiene 4 elementos.

II) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 2⁄

III) 𝐹(2) = 7 8⁄

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

1023) El gráfico de la figura muestra la función de distribución acumulada de probabilidad

de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) ( ) ( )P X 2 P X 3 =

II) ( )P X 3 0,5 =

III) ( )P 0 X 2 0,3 =

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

345

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1024) Se tiene en una tómbola cuatro bolitas azules y tres bolitas rojas, todas de igual peso

y tamaño. Un experimento consiste en extraer tres bolitas al azar, una a una y sin

reposición, y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de bolitas azules

extraídas. Si 𝑓 es la función de probabilidad asociada a 𝑋 y 𝐹 es la función de

distribución de probabilidad de esta variable, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes


I) El recorrido de 𝑋 es el conjunto 0,1,2,3

II) 𝑓(2) =18

35

III) 𝐹(2) =31

35

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

1025) La gráfica de una función de probabilidad de una variable aleatoria es la siguiente:

Considerando 𝑓 su función de probabilidad y 𝐹 su función de distribución:


I) 𝐹(2) = 0,3

II) 𝐹(5) = 0,8

III) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 0,6

A) Sólo II

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

346

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1026) Se tiene un dado con forma de tetraedro regular, con sus caras numeradas del 1 al 4.

Un experimento consiste en lanzar el dado dos veces y se define la variable aleatoria

𝑋 como la suma de los resultados de ambos lanzamientos. Si 𝑃 corresponde a la

función de probabilidad en el experimento descrito. ¿Cuál es valor de 𝑃(3 < 𝑋 ≤ 6)?

A) 0,600

B) 0,625

C) 0,750

D) 0,875

E) 0,950

1027) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑓(𝑥) =𝑎

𝑥2. Si 𝑋 solo puede

tomar valores 2,3 y 6. ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 tome el valor 3 ó 6?

A) 2 3⁄

B) 9 11⁄

C) 45 49⁄

D) 7 18⁄

E) 5 14⁄

1028) Sea x una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad se muestra

en la tabla adjunta

𝑥 -3 -2 0 1 2

𝑓(𝑥) 2𝑝2 1

9

𝑝 2

9

𝑝2

Entonces, el valor de 𝑝 es:

A) 1 6⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 5 6⁄

E) 1 9⁄

d e s a r r o l l o

347

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1029) Se tiene una variable aleatoria 𝑋 en el conjunto 1,2,3,4 de función de probabilidad 𝑃

y función de distribución 𝐹. Es posible determinar el valor numérico de 𝐹(𝑋 = 3), si:

(1) 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) =4

7

(2) 𝑃(𝑋 = 1) = 2(𝑃𝑋 = 4)

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




1030) Sea 𝑋 una variable aleatoria en el conjunto 0,1,2,3 con función de probabilidad 𝑓 y

función de distribución 𝐹. Se puede determinar el valor numérico de 𝐹(2) si:

(1) 𝑓(3) = 0,2

(2) 𝐹(1) = 0,3

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




1031) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋

𝑥 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 0,1 𝑎 0,3 𝑏

Entonces, se puede determinar el valor de 𝑎 y 𝑏 si:

(1) 𝐹(2) = 0,6

(2) 2𝑓(1) = 𝑓(3)

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




348

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1032) La variable aleatoria 𝑋 tiene como recorrido el conjunto 0,1,2,3,4 y 𝐹 es la función

de distribución de probabilidad asociada a la variable 𝑋. Se puede determinar el valor

de 𝐹(3), si:

(1) 𝐹(2) = 0,26

(2) La probabilidad de que 𝑋 tome el valor 3 es 0,23

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




4.12 PROBABILIDAD CONDICIONADA

1033) Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se

observa que la suma de los números que aparece es de por lo menos siete. La

probabilidad de que en el segundo dado aparezca el cuatro es:

A) 4

21

B) 5

21

C) 6

21

D) 7

21

E) 8

21

1034) Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad que la suma de sus caras sea menor

que 8 si se sabe que dicha suma ha sido múltiplo de 4?

A) 1/4

B) 1/3

C) 1/12

D) 1/8

E) 16

1035) Si al lanzar un dado ha salido 5, ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente

sume con el primer resultado un número mayor o igual a 8?

A) 1/2

B) 3/4

C) 2/5

D) 2/3

E) 1/6

349

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1036) Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume

con el primer resultado un número menor que 9?

A) 1 9⁄

B) 5 6⁄

C) 7 36⁄

D) 4 9⁄

E) 2 3⁄

1037) Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea

menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4?

A) 1/3

B) 1/4

C) 5/18

D) 3/10


1038) Se lanza un dado común y aparece un 4, ¿Cuál es la probabilidad de que en un

segundo lanzamiento se obtenga un número que sumado con 4 sea primo?

A) 1

6

B) 1

4

C) 1

3

D) 1

2

E) 2

3

1039) Si una automotora sortea uno de sus vehículos, donde sus características se

especifican en la tabla adjunta. ¿Cuál es la probabilidad que sea automático, sabiendo

que es una camioneta?

Tipos de automóviles

Mecánicos Automáticos

Camioneta 10 2

Auto 12 6

A) 0,06

B) 0,16

C) 0,17

D) 0,26

E) 0,3

350

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1040) Un colegio ofrece a sus estudiantes varias actividades culturales, entre ellas teatro y

danza. El 20% de los estudiantes del colegio participa en danza, el 12% participa en

teatro y el 8% de los estudiantes del colegio participa en danza y teatro. Si se escoge

al azar un estudiante del colegio, ¿Cuál es la probabilidad de que éste participe en

danza si se sabe que participa en teatro?

A) 4 25⁄

B) 2 5⁄

C) 2 3⁄

D) 1 3⁄

E) 1 5⁄

1041) La probabilidad de que un feriante venda fruta un día determinado dado que está

lloviendo es 2

3. Si la probabilidad de que venda y llueva ese día es

1

6, ¿Cuál es la

probabilidad de que NO llueva ese día?

A) 2 3⁄

B) 1 3⁄

C) 3 4⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

1042) Se cuenta con dos monedas, una común y una que está acuñada con dos sellos. Se

escoge una moneda al azar y se lanza. Si sale sello, ¿Cuál es la probabilidad de que

se haya lanzado la moneda acuñada con dos sellos?

A) 2

3

B) 1

2

C) 1

4

D) 1

3

E) 3

4

1043) La probabilidad de que una pareja vaya al cine un día determinado dado que fueron a

cenar es 1

3. Si la probabilidad de que vayan al cine y a cenar ese día es

1

4, ¿Cuál es la

probabilidad de que NO vayan a cenar?

A) 3 4⁄

B) 1 4⁄

C) 1 12⁄

D) 2 5⁄


351

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1044) En el experimento que consiste en extraer una carta de la baraja inglesa (cartas de 4

pintas; trébol, pica, corazón y diamante, 13 de cada pinta) y los sucesos sean

𝐴 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 y 𝐵 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑜𝑠. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) veradera(s)?

I) 𝑃 (𝐴

𝐵) > 𝑃 (

𝐵

𝐴)

II) 𝑃 (𝐴

𝐵) =

1

4

III) 𝑃 (𝐵

𝐴) <

1

13

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

1045) En una tómbola están todos los números naturales comprendidos entre el 4 y el 55,

incluidos. Si se saca un número al azar y se obtiene un divisor de 80. ¿Cuál es la

probabilidad que ese número sea primo?

A) 1 5⁄

B) 1 7⁄

C) 3 7⁄

D) 3 10⁄


1046) Se tienen dos urnas A y B. La urna A contiene cuatro bolitas rojas y seis negras, y la

urna B contiene dos bolitas negras y ocho rojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer

una bolita roja, dado que proviene de la urna A?

A) 1 5⁄

B) 1 3⁄

C) 2 5⁄

D) 3 5⁄

E) 4 5⁄

1047) Una urna tiene 20 fichas, numeradas del 1 al 20. Si se extrae una ficha al azar y este

es un número par, entonces. ¿Cuál es la probabilidad que sea múltiplo de seis?

A) 3 20⁄

B) 1 2⁄

C) 3 5⁄

D) 3 10⁄

E) 1 10⁄

352

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1048) Para un curso avanzado de Matemática se matriculan 40 estudiantes, de los que solo

30 asisten regularmente a las clases. Aprueban el curso el 80% de los que asisten

regularmente y el 10% de los que no lo hacen. Si de los estudiantes que aprobaron el

curso se escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido

regularmente a las clases?

A) 13%

B) 48%

C) 60%

D) 87%

E) 96%

1049) En un curso universitario, el 20% de los estudiantes tiene un promedio de notas

suficiente para aprobar el ramo. El profesor, preocupado por esta situación, decide

dar una bonificación a los alumnos reprobados que asisten a clases regularmente.

Con esta bonificación un 40% de los que reprobarían lograrán aprobar el ramo.

Al escoger un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga bonificación dado que

aprobó el ramo?

A) 8/13

B) 5/13

C) 5/8

D) 7/13

E) 7/8

1050) Cuando dos amigas salen a divertirse, el 30% de las veces van al cine y el resto de las

veces van a comer. Cuando van al cine, el 60% de las veces van a bailar después y el

resto de las veces vuelven inmediatamente a su casa. En cambio, cuando van a comer,

solo el 20% de las veces vana a bailar después y el resto de las veces vuelven

inmediatamente a su casa. Si las dos amigas fueron a bailar, ¿Cuál es la probabilidad

de que primero hayan ido al cine?

A) 18%

B) 30%

C) 42,5%

D) 56,25%

E) 75%

353

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1051) Un negocio que vende cámaras digitales obtiene la mitad de sus productos en una

fábrica chilena, otro 15 % de sus productos los obtiene de una fábrica china y el resto

en una fábrica inglesa. Se sabe además que las mujeres compran 30 % de las cámaras

provenientes de la fábrica chilenas, 60 % de los productos provenientes de la fábrica

china y un 40 % de las cámaras de la fábrica inglesa. ¿Cuál es la probabilidad de que

una persona compre una cámara digital proveniente de la fábrica china, dado que es

hombre?

A) 1 31⁄

B) 2 31⁄

C) 3 31⁄

D) 4 31⁄


1052) Marco, está próximo a dar la PSU y después de un estudio, llegó a la conclusión que

la probabilidad de que le vaya bien en la PSU dado que haya estudiado es de 3

4 y la

probabilidad de que no haya estudiado es de 2

7 . Entonces: ¿Cuál es la probabilidad

de que le vaya bien y haya estudiado?

A) 20 21⁄

B) 15 28⁄

C) 5 7⁄

D) 6 28⁄


354

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1053) La tabla adjunta muestra el resultado obtenido en una encuesta realizada por unos

estudiantes de un colegio, donde quisieron averiguar si las personas preferían ganarse

un premio de una rifa para veranear en cuba o en chile. La tabla resume los resultados,

según ella: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Cuba Chile Total

Hombre 240 360 600

Mujer 350 250 600

Total 590 610

I) Al elegir una persona al azar y esta es mujer, la probabilidad de que prefiera Cuba

para veranear es 7

12.

II) Al elegir al azar entre las personas que prefieren Chile para veranear, la

probabilidad que sea hombre es 36

61.

III) Al elegir una persona al azar. La probabilidad que prefiera Cuba, sabiendo que es

hombre es 0,4.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

1054) En un colegio a los alumnos de un curso se les fijaron dos pruebas el mismo día, el

54% de los estudiantes estudió matemática, el 69% estudió sociales y el 35%

estudiaron para ambas evaluaciones. Al seleccionar un estudiante que estudió

matemática. ¿Cuál es la probabilidad que también haya estudiado sociales?

A) 35%

B) 64,81%

C) 50,72%

D) 54%

E) 69%

1055) Se ha realizado un estudio y se llegó a la conclusión que Alexis Sánchez cuando

llueve, la probabilidad de que haga un gol es 1 5⁄ . Si la probabilidad de que no llueva

es 2 3⁄ , ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y Alexis haga un gol?

A) 1 15⁄

B) 2 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄


355

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1056) Se lanza un dado común y si sale uno, se extrae una bolita de la bolsa “A”; y si no sale

uno, la extraemos de “B”. La bolsa “A” contiene 3 bolas rojas y 5 verdes, la bolsa B

contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la probabilidad que una bolita sea sacada

de la bolsa A, si se sabe que es roja?

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 9⁄

D) 9 16⁄

E) 15 16⁄

1057) La probabilidad de sufrir cierta enfermedad es de 1

8. Cuando una persona padece esta

enfermedad, la probabilidad de que los médicos la detecten es de 9

10, y si no la padece,

la probabilidad de que los médicos la detecten (falso positivo) es de 1

30. Si una persona

fue al médico y le detectaron la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad que la padezca?

A) 25 34⁄

B) 26 34⁄

C) 27 34⁄

D) 9 80⁄


1058) El pronóstico del tiempo para el fin de semana en Santiago, indica que existe un 75%

de probabilidad de que llueva. En la autopista que atraviesa la ciudad existe una curva

peligrosa, en la que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando está lloviendo

es de un 10%, mientras que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando no

llueve es de un 2%. Si ese día ocurrió un accidente en dicha curva de la autopista,

¿Cuál es la probabilidad de que no haya estado lloviendo?

A) 5%

B) 15%

C) 6,25%

D) 8%

E) 7,25%

356

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1059) Una urna contiene 3 bolitas rojas numeradas del 1 al 3 y 6 bolitas amarillas numeradas

del 1 al 6. Al extraer una bolita al azar resultó ser un número par, ¿Cuál es la

probabilidad que la bolita sea roja?

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 9⁄

D) 4 9⁄

E) 1 4⁄

1060) Se tiene una caja con 3 monedas, de igual forma y peso: se tiene una normal, una

cargada donde la probabilidad de obtener sello es 5

6 y otra con 2 caras. Se selecciona

una moneda al azar y luego se lanza. Si se sabe que ha salido cara. ¿Cuál es la

probabilidad de que haya sido de la moneda normal?

A) 1 3⁄

B) 1 10⁄

C) 1 5⁄

D) 3 10⁄

E) 1 2⁄

1061) Al realizar un estudio estadístico, se concluyó que el 50% de la población fuma

cigarros y que el 10% fuma cigarros y es hipertensa. Si se escoge una persona al azar

y esta fuma: ¿Cuál es la probabilidad de que sea hipertensa?

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

1062) Sean los sucesos dependientes 𝐴 y 𝐵 . Si 𝑃(𝐴) =1

3 , 𝑃(𝐵) =

1

4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

5.

Entonces 𝑃 (𝐴

𝐵) es:

A) 4 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 4⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

357

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1063) Se lanzan dos dados normales, y se suman sus puntos. Si la suma ha sido 5. ¿Cuál es

la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un 4?

A) 1 18⁄

B) 1 6⁄

C) 1 3⁄

D) 1 2⁄

E) 1 5⁄

1064) La probabilidad de que Daniel se levante temprano es 3

5 y la probabilidad de que si se

levantó temprano, alcance a desayunar es de 5

6. Mientras que si no se levanta a tiempo,

la probabilidad de que alcance a tomar desayuno es de 3

8. Si se sabe que Daniel

desayunó. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya levantado temprano?

A) 10 13⁄

B) 9 13⁄

C) 1 2⁄

D) 13 20⁄


1065) Se realiza una encuesta a los habitantes de Las condes, para saber su preferencia por

el transporte público. Los resultados fueron tabulados así:

Transporte Público Micro Metro Uber Taxi

Hombre 10 15 20 5

Mujer 5 20 30 1

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea mujer dado que usa Uber es:

A) 0,4

B) 0,5

C) 0,6

D) 0, 6

E) 0,7

358

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1066) En Iquique después de un estudio estadístico se llegó a constatar que: la probabilidad

de que una persona obesa tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad de que un

individuo sea obeso es de 0,5. Si se escoge una persona que resulta estar obeso,

entonces ¿Cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto?

A) 0,8

B) 0,6

C) 0,5

D) 0,2

E) 0,1

4.13 VALOR ESPERADO, VARIANZA, DESVIACIÓN

TÍPICA O ESTÁNDAR 1067) Se define una función de probabilidad, donde la variable aleatoria 𝑋 es “número de

vehículos que llegan a un estacionamiento en una hora”. De acuerdo a la tabla adjunta,

¿Cuántos autos se esperaría que lleguen al estacionamiento en una hora, durante los

próximos meses?

𝒙 4 8 12 16

𝑷(𝑿 = 𝒙) 0,2 0,3 0,38 0,12 A) 8

B) 9,68

C) 10

D) 10,25

E) 11

1068) De la producción de un cierto artículo en una empresa, el 5% es defectuoso,

incidiendo en una pérdida de $10.000 por cada uno de ellos y en una utilidad de

$30.000 por cada uno de los no defectuosos. ¿Cuál es la utilidad esperada por la

empresa a largo plazo?

A) $28.000

B) $28.500

C) $25.000

D) $30.500

E) $31.000

1069) Al lanzar un dado cargado una gran cantidad de veces, se obtiene que los números

con mayor probabilidad de salir se encuentran en el intervalo [1,94; 5,14] y se sabe

que la varianza de la muestra es 2,56. ¿Cuál es el valor esperado al lanzar el dado?

A) 3,46

B) 3,5

C) 3,54

D) 3,6

E) 3,64

359

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1070) La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

discreta 𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

𝒙 2 4 6 8 10

𝑷(𝑿 = 𝒙) 5𝑎 5𝑎 5𝑎 5𝑎 5𝑎

I) 𝑎 = 0,04

II) La varianza es 0.

III) El valor esperado de 𝑥 es 2.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

1071) Se define la variable aleatoria 𝑋:”Cantidad de goles marcados por un equipo de futbol

por partido”. En la tabla se muestra su función de probabilidad. Su desviación estándar

es:

𝒙 0 1 2 3

𝑷(𝑿 = 𝒙) 112⁄ 0,5 0,25 1

6⁄ A) √13

5

B) √3

4

C) √12

4

D) √13

4

E) √11

5

1072) Una variable aleatoria discreta 𝑋 tiene la distribución de probabilidad que se muestra

en la tabla. Entonces es(son) verdadera(s):

𝒙 0 1 2 3 4

𝑷(𝑿 = 𝒙) 38⁄ 2𝑝 1

4⁄ 4𝑝 516⁄ I) El valor de 𝑝 es 1 96⁄

II) 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3) =5

8

III) La esperanza de la variable es 1.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) Solo I y II

E) I, II y III

r e f e r e n t e

360

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1073) En el gráfico adjunto se muestra la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria discreta 𝑋. ¿Cuál es el valor esperado para 𝑋?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 3,5

E) 3 o 4

1074) En la tabla adjunta la distribución de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋. Si el

valor esperado de 𝑋 es 2,9, entonces el valor de (𝑝 − 𝑞) es:

𝒌 1 2 3 4

𝑷(𝑿 = 𝒌) 𝑞 0,1 𝑝 0,4

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

1075) Un garzón por concepto de propinas estima que la probabilidad de recibir $130.000

en una semana es de 40%, o $100.000 en otro caso. ¿Cuál es el valor que espera

recibir de propina semanal en el largo plazo?

A) $115.000

B) $160.000

C) $130.000

D) $112.000

E) $122.000

1076) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad para una variable

aleatoria 𝑋, definida como el número de horas que una persona escucha música

durante un día. La varianza es:

A) 1 hora Horas (𝒌) 0 1 2

𝑷(𝑿 = 𝒙) 0,3 0,4 0,3 B) 0,5 horas

C) 0,6 horas

D) 0,9 horas

E) 1,2 horas

361

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1077) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El valor esperado de 𝑋 es 0,3𝑎 + 0,7𝑏.

II) La varianza de 𝑋 es (𝑎 − 𝑏)2(0,7)(0,3). III) 𝑏 > 𝑎. 𝒌 𝑷(𝒙 = 𝒌)

𝑎 0,3

𝑏 0,7

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

1078) Se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de consultas médicas que una

persona realiza durante un año. En la tabla adjunta se muestra la función de

probabilidad de 𝑋, entonces el valor de la esperanza matemática, aproximada por

defecto al entero es:

Visitas (𝒌) 1 2 3 4 5

𝑷(𝑿 = 𝒙) 12⁄ 1

3⁄ 16⁄ 1

2⁄ 16⁄

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

1079) De acuerdo al gráfico de la distribución de probabilidad acumulada para una cierta

variable aleatoria 𝑋, el valor esperado para 𝑋 es:

A) 5,2

B) 2,7

C) 3,6

D) 4,2

E) 3,1

362

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1080) Se realiza el experimento de lanzar dos veces una moneda, cargada, y se define la

variable 𝑋 como “número de sellos obtenidos” registrando los resultados en el gráfico

adjunto. Si el valor esperado es 1,2 el valor de 𝑛 es:

A) 0,4

B) 0,3

C) 0,2

D) 0,6

E) 0,1

1081) ¿Cuál es la desviación estándar de la variable aleatoria 𝑋, si se sabe que 𝐸(𝑋) = 2,1

y 𝐸(𝑋2) = 5,5?

A) -3,4

B) -1,09

C) 1,09

D) 3,4

E) 1,04

1082) En la siguiente tabla se muestra la función de probabilidad de variable aleatoria 𝑋

𝑥 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,4 0,2 0,3 0,1

Respecto a la tabla anterior, es cierto que:

I) El valor esperado de 𝑋 es 2,5

II) La varianza es 1,09

III) La desviación estándar es aproximadamente 1,04

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

1083) Una caja contiene 3 bolitas rojas, 5 verdes y 7 negras, con la cual se realiza el siguiente

juego: Un jugador saca de la caja una bolita al azar; si es roja gana $400, si es verde

gana $180, pero si es negra pierde $Y. ¿Cuál es el valor de Y para que el juego se

considere justo?

A) $200

B) $250

C) $300

D) $450

E) $500

363

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1084) ¿Cuál es la desviación estándar de los puntajes obtenidos al lanzar un dado común

no cargado?

A) 0

B) 1,71

C) 2,92

D) 3,5

E) 15,17

1085) Si se lanza un “dado” de ocho caras, ¿Cuál es la esperanza matemática para tal

evento?

A) 1 8⁄

B) 19 8⁄

C) 9 4⁄

D) 9 2⁄

E) Otro valor

1086) Mateo lanza dos monedas. Gana $150 o $500 si sale una o dos caras respectivamente,

pero pierde $1.300 si aparecen dos sellos. ¿Cuánto esperaría Mateo ganar o perder

en este juego?

A) $100

B) $125

C) $300

D) -$125

E) -$200

1087) Un estudio determinó la cantidad de computadores que hay en un grupo de hogares.

En la siguiente tabla se muestra la función de probabilidad de dicho estudio.

𝑋 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

¿Cuál es el valor de la esperanza de la variable aleatoria 𝑋?

A) 2

B) 10

C) 0,8

D) 1,2

E) 0,16

r e f e r e n t e

364

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1088) Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen dificultad para

memorizar. Experiencias anteriores han consistido en exponer 5 palabras ante los

estudiantes durante 10 segundos al comienzo de la clase y luego preguntar por ellos

al final de la clase, obteniéndose la siguiente distribución de probabilidad:

X 0 1 2 3 4 5

P(X=x) 0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05

En la muestra aleatoria de 64 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que en promedio

recuerden por lo menos 3 palabras?

A) 4,38%

B) 5,24%

C) 3,82%

D) 5,94%

E) 6,3%

1089) En el experimento lanzar un dado, se define la variable aleatoria 𝑋 como el número

obtenido en el lanzamiento del dado. La tabla adjunta muestra la función de

probabilidad 𝑓 de 𝑋. Según esta información, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) El valor esperado de 𝑋 es 3,2.

II) La probabilidad de obtener un número primo es 0,7

III) La probabilidad de obtener un número menor o igual a 5 y mayor que 2 es 0,55.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I , II y III

365

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1090) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

𝒌 1 2 3 4 5

𝑷(𝑿 = 𝒌) 𝑝 2𝑝 𝑝 2𝑝 𝑝

I) El valor de 𝑝 es 1 7⁄ .

II) El valor esperado de 𝑋 es 3.

III) La desviación estándar de 𝑋 es 2

7√21.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

1091) Se lanza un dado común y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número que indica

la cara superior. Si 𝐸(𝑋2) =91

6, 𝑉(𝑋) =

A) 35

3

B) 179

12

C) 35

12

D) 90

6

E) Otro valor

1092) Se lanza una moneda hasta obtener sello y se define la variable aleatoria 𝑋 como el

número de monedas lanzadas. La función de distribución de 𝑋 está dada por 𝐹(𝑥) =2𝑥−1

2𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑁. Calcule 𝑃(𝑋 = 3).

A) 3

8

B) 7

8

C) 1

8

D) 1

2

E) Otro valor

366

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1093) Un padre decide que la cantidad de dinero que le dará a su hijo cada semana será

equivalente a $1.000 por cada punto que aparezca al lanzar un dado normal. Según

esto, ¿Cuál será el promedio de dinero que le dará a su hijo a lo largo de su vida?

A) $1.000

B) $2.000

C) $3.500

D) $4.500

E) $5.000

1094) La tabla muestra los valores que toma una variable aleatoria discreta X y los

respectivos valores de su función de probabilidad 𝑓. ¿Cuál es el valor de la

esperanza de X?

𝑥𝑖 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥𝑖) 0,5 0,3 0,1 0,1 0 A) 0,16

B) 0,2

C) 0,25

D) 0,8

E) 2

1095) Según la información de la siguiente tabla, determine cuál de la(s) siguientes


𝑥𝑖 0 1 2 3

𝑃(𝑥𝑖) 0,3 0,2 0,4 0,1

I) La esperanza matemática es 1,6

II) La varianza es 1,01

III) La desviación estándar es 1

10√101

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

d e s a r r o l l o

367

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1096) Se realiza un experimento aleatorio donde uno de los posibles resultados es

que ocurra un evento A, y se define la variable aleatoria 𝑋, que toma el valor (𝒎 − 𝟏) si ocurre el evento A y el valor 𝒎 si no ocurre dicho evento, con 𝑚 >1. Si dentro del experimento la probabilidad de que ocurra el evento A es igual

a 𝒑 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el valor esperado

(esperanza matemática) de 𝑿?

A) 𝑚 − 𝑝

B) 2𝑚𝑝 −𝑚 − 𝑝

C) 𝑚𝑝

D) 𝑚 + 𝑝

E) 2𝑚𝑝

1097) En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres. Se escogen al azar dos personas

del curso, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria 𝑋

como la cantidad de mujeres escogidas. ¿Cuál es el valor esperado (esperanza

matemática) de 𝑋?

A) 0,6

B) 0,96

C) 1

D) 1,1

E) 1,2

1098) En una bolsa hay cuatro tarjetas marcadas con la letra A y seis tarjetas marcadas con

la letra B, todas de igual forma y tamaño. Un juego consiste en sacar dos tarjetas al

azar, una a una y con reposición, donde si ambas corresponden al tipo A, entonces

se gana $1.000; si ambas tarjetas son distintas, se gana $200; y si ambas tarjetas

tienen la letra B, entonces se pierde $1.500. Si se desea participar del juego, entonces

se estima, a partir del cálculo de esperanza, que el resultado del juego será:

A) Perder $256

B) Perder $284

C) Ganar $100

D) Ganar $256

E) Ni ganar ni perder

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

368

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1099) Un dado especial de seis caras tiene en tres de sus caras el número 2, en una de sus

caras el número 3 y en dos de sus caras el número 6. Se lanza el dado y se define la

variable aleatoria 𝑋 como el resultado del lanzamiento. El valor esperado de 𝑋 es:

A) 2

B) 2,83

C) 3

D) 3,5

E) 3, 6

1100) Se escogen al azar tres letras distintas de la palabra RESTA y se define la variable

aleatoria 𝑋 como la cantidad de constantes obtenidas. El valor esperado de 𝑋 es:

A) 0,6

B) 1

C) 1,2

D) 1,5

E) 1,8

1101) Una variable aleatoria 𝑋 tiene una esperanza de 1,4 y la esperanza de 𝑋2 es 2,0. ¿Cuál

es su desviación estándar?

A) 0,04

B) 0,2

C) 0,6

D) 0,3

E) 0,4

1102) De los números: 1, 2 y 3 se toman muestras de tamaño dos (con repetición). Se define

la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los números de la muestra. ¿Cuál es el valor

esperado para 𝑋?

A) 2,0

B) 3, 8

C) 1,0

D) 2, 7

E) 4,0

d e s a r r o l l o

d e s a r r o l l o

369

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1103) Para un dado cargado de cuatro caras en forma de tetraedro regular, se define la

variable 𝑋 para el número que resulta al lanzarlo. La función de probabilidad para 𝑋

se muestra en la siguiente tabla:

¿Cuáles son respectivamente la esperanza y la desviación estándar para 𝑋?

A) 2 y 2

B) 1 y 2

C) 2 y 1

D) 2,5 y 1

E) 2,5 y 2

1104) 𝑋 es una variable aleatoria cuyo recorrido es 1,2,3,4, la función de probabilidad

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) está definida por 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑥. ¿Cuál es el valor esperado 𝑋?

A) 1

B) 2

C) 2,5

D) 3,0

E) 2,8

1105) Las probabilidades para la variable aleatoria cuyo recorrido es el 1, 2 y 3 son las

siguientes:

𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖)

1 0,4

2 𝑎

3 𝑏

Si el valor esperado de 𝑋 es 2,0, ¿Cuál es el valor de 𝑎?

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,6

d e s a r r o l l o

370

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1106) Una variable aleatoria 𝑋 tiene por función de probabilidad los datos de la tabla adjunta.


𝑋 1 2 3

𝑃(𝑋 = 𝑥) 2𝑝 2𝑝 𝑝

I) La esperanza de 𝑋 es 1,8

II) La desviación estándar de 𝑋 es √14

5

III) La varianza de 𝑋 es 0,56

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

1107) En una moneda cargada, la probabilidad que saga sello es 1 4⁄ .

¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más una cara, al lanzarla 5 veces seguidas?

A) 1 36⁄

B) 1 64⁄

C) 3 128⁄

D) 5 256⁄

E) 1 256⁄

1108) Diego es un empleado de una empresa que le exige vender cada día 10 o más

artículos, siendo la probabilidad de logarlo un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que

Diego NO logre la meta diaria en a lo más 1 día de los 20 trabajados en el mes?

A) 30 ∙ (3

5)20

B) 31 ∙ (2

5)18

C) 2 ∙ (2

5)20

D) 31 ∙ (2

5)20

E) 28 ∙ (2

5)18

371

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1109) La probabilidad de aprobar una asignatura es 0,7. Entonces, la probabilidad de que 3

de 5 estudiantes aprueben la asignatura es:

A) 0,3087

B) 0,1323

C) 0,3125

D) 0,6913

E) 0,6666

1110) Se sabe que 1 de cada 5 personas que asiste al estadio posee abono por todo el

campeonato de futbol, si se toma una muestra al azar de 10 personas, la probabilidad

de encontrar exactamente dos que lo posean es:

A) 5 ∙ 0,82 ∙ 0,28 B) 10 ∙ 0,22 ∙ 0,88 C) 45 ∙ 0,22 ∙ 0,88

D) 1

5∙ 0,28 ∙ 0,82

E) 1

5∙ 0,210 ∙ 0,82

4.14 MODELO BINOMIAL

1111) Un estudiante contesta al azar una prueba de 80 preguntas de Verdadero o Falso. La

probabilidad que conteste 20 de las preguntas correctamente es:

A) (8020) ∙ 280

B) (8020) ∙ 4−80

C) (8020) ∙ 294

D) (8020) ∙ 2−80

E) Otro valor

1112) Se lanza un dado común 100 veces, entonces, la probabilidad de obtener

exactamente 30 veces el número seis es:

A) (10030

) ∙ 6−100 ∙ 570

B) (10030

) ∙ 4−100 ∙ 510

C) (10030

) ∙ 6100 ∙ 5−70

D) (10030

) ∙ 670 ∙ 5−100

E) (10030

) ∙ 6−100 ∙ 5−70

372

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1113) Si 𝑋 es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial 𝑋 → 𝐵(10; 0,7) , entonces 𝑃(𝑥 = 8) es:

A) 45 ∙ 78 ∙ 10−10 B) 45 ∙ 9 ∙ 78 ∙ 10−10 C) 45 ∙ 9 ∙ 78 ∙ 1010 D) 45 ∙ 9 ∙ 76 ∙ 10−10 E) 45 ∙ 9 ∙ 710 ∙ 1010

1114) El pronóstico del tiempo para cierta localidad, indica que la probabilidad de que llueva

en un determinado día es de 0,3. Se escogen 100 días al azar ¿Cuál es la probabilidad

que llueva en 20 de estos?

A) (10020

) ∙ (3

100)20∙ (

7

100)80

B) (10020

) ∙ (3

10)20∙ (

7

10)80

C) (10080

) ∙ (3

10)80∙ (

7

10)20

D) (10020

) ∙ (3

10)80∙ (

7

100)20

E) (20100

) ∙ (3

100)80∙ (

7

100)20

1115) En una empresa de televisores, la probabilidad de extraer uno defectuoso de una

muestra es del 10%. Si se eligen al azar 30 muestras distintas, ¿Cuál de las siguientes

expresiones representa la probabilidad que aparezca a lo más un televisor

defectuoso?

A) ∑ (30𝑖) (0,1)𝑖(0,9)30−𝑖1

𝑖=0

B) ∑ (30𝑖) (0,1)𝑖(0,9)10−𝑖10

𝑖=0

C) ∑ (30𝑖) (0,9)𝑖(0,9)30−𝑖1

𝑖=0

D) ∑ (301) (0,1)𝑖(0,9)10−𝑖30

𝑖=0

E) ∑ (29𝑖) (0,9)𝑖(0,9)29−𝑖29

𝑖=0

r e f e r e n t e

373

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1116) Si 𝑋 es una variable aleatoria que tiene una distribución 𝑋 → 𝐵(10; 04) , entonces

𝑃(𝑋 = 3) está representado por:

A) (310) ∙ (0,4)7 ∙ (0,6)10

B) (103) ∙ (0,6)3 ∙ (0,4)7

C) (310) ∙ (0,6)10 ∙ (0,4)7

D) (103) ∙ (0,4)3 ∙ (0,6)7

E) (103) ∙ (0,6)7 ∙ (0,6)3

1117) El ítem de selección múltiple de una prueba tiene 10 preguntas y cada uno de ellas 5

alternativas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno(a) conteste no más de 3

preguntas correctas?

A) 0,678

B) 0,322

C) 0,879

D) 0,121

E) 0,201

1118) En un partido de tenis entre los jugadores A y B, la probabilidad de que gane A es de

0,8. Si disputan en total 6 partidos, ¿Cuál es la probabilidad de que B gane más de 4

partidos?

A) 0,16%

B) 2,5%

C) 65,54%

D) 84%

E) 34,36%

1119) Si se considera que el 15% de los chilenos son hinchas de algún equipo de fútbol y

se pregunta a 7 chilenos al azar si lo son, la probabilidad de que contesten

positivamente tres de ellos, viene dada por la expresión:

A) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,154 ∙ 0,853

B) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,153 ∙ 0,854

C) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,152 ∙ 0,855

D) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,155 ∙ 0,852

E) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,157

r e f e r e n t e

374

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1120) Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que

sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no había preparado la materia

responde completamente al azar, marcando una respuesta aleatoriamente. La

probabilidad de que acierte 4 preguntas es:

A) (64) 0,254 ∙ 0,752

B) (64) 0,300 ∙ 0,704

C) (64) 0,250 ∙ 0,754

D) (64) 0,254 ∙ 0,755

E) (64) 0,300 ∙ 0,704

1121) El último libro de un autor ha sido leído por un 77% de los lectores. En un grupo de 5

amigos aficionados a la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que lo hayan leído al

menos uno de ellos?

A) (52) 0,772 ∙ 0,233

B) (52) 0,773 ∙ 0,232

C) (53) 0,772 ∙ 0,233

D) 1 − (52) 0,772 ∙ 0,233

E) 1-(50) 0,770 ∙ 0,235

1122) El 85% de las personas que se han postulado para un crédito estudiantil lo han

obtenido. Una semana anterior se han presentado cinco postulaciones para créditos.

¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los créditos sean aprobados?

A) (45) ∙ (0,85)4 ∙ (0,15)

B) (45) ∙ (0,15)4 ∙ (0,85)

C) (54) ∙ (0,85)4 ∙ (0,15)

D) (54) ∙ (0,15)4 ∙ (0,85)

E) (54) ∙ (0,015)4 ∙ (0,085)4

375

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1123) Una empresa importa y vende pendrives de 4 GB. Si la probabilidad de que ellos

vendan un pendrive defectuoso es del 0,5%, ¿Cuál es la probabilidad de que al vender

100 de ellos, cinco resulten defectuosos?

A) (505) ∙ 0,0055 ∙ 0,99545

B) (1005) ∙ 0,0055 ∙ 0,99595

C) (1005) ∙ 0,00595 ∙ 0,9955

D) (1005) ∙ 0,595 ∙ 0,55

E) (1005) ∙ 0,55 ∙ 0,595

1124) Una cierta variable X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro 0,7. Si el

experimento que induce a 𝑋 se repite 100 veces de manera independiente, ¿Cuál es

la probabilidad de que en las 100 repeticiones se registren 27 éxitos?

A) (273) ∙ (0,7)3 ∙ (0,3)27

B) (10027

) ∙ (0,7)27 ∙ (0,3)73

C) (7327) ∙ (0,7)27 ∙ (0,3)73

D) (10073

) ∙ (0,7)100 ∙ (0,3)73

E) (10027

) ∙ (0,7)100 ∙ (0,3)27

1125) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la función de probabilidad de la

distribución binomial 𝐵(4; 0,4)?

A) (4𝑥) ∙ 0,4𝑥 ∙ 0,64−𝑥

B) (4𝑥) ∙ 0,6𝑥 ∙ 0,44−𝑥

C) (𝑥4) ∙ 0,4𝑥 ∙ 0,64−𝑥

D) (𝑥4) ∙ 0,6𝑥 ∙ 0,44−𝑥

E) (4𝑥) ∙ 0,44−𝑥 ∙ 0,6𝑥

376

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1126) La probabilidad de que Juan convierta un gol en un tiro penal es de 0,6. Se define la

variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de goles convertidos en tres lanzamientos.


I) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 3) II) 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2) III) 𝑃(𝑋 ≥ 0) = 1

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

1127) En una población el 40% ve una serie determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que

al escoger a 20 personas al azar de esa población, 12 de ellas vean la serie?

A) 0,412

B) (208)

C) (2012) ∙ 0,48 ∙ 0,612

D) (208) ∙ 0,412 ∙ 0,68

E) (2012) ∙ 0,412 ∙ 0,68

1128) La actual PSU es una prueba de selección múltiple que consta de 80 preguntas, cada

una de 5 opciones. Si un postulante a la universidad decide contestar todas las

preguntas al azar, ¿Cuál de las siguientes expresiones indica la probabilidad de que

obtenga 80 aciertos?

A) (800) (

1

5)80

B) (801) (

1

5) (

4

5)80

C) (801) (

1

5)80(4

5)

D) (8080) (

1

5)80(4

5)

E) (8080) (

1

5) (

4

5)80

d e s a r r o l l o

377

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1129) Un juego de azar consiste en lanzar un dado común, donde el jugador que lanza el

dado pierde si obtiene un número par o un divisor de 5 y en otro caso gana. Si un

jugador lanza el dado 𝑛 veces, con 𝑛 > 4 , ¿Cuál es la probabilidad de que gane

exactamente en cuatro de ellos?

A) (1

6)4∙ (5

6)𝑛−4

B) (𝑛4) ∙ (

1

3)4∙ (2

3)𝑛−4

C) (𝑛4) ∙ (

1

6)4∙ (5

6)𝑛−4

D) (1

6)𝑛−4

∙ (5

6)𝑛

E) (1

3)4∙ (2

3)𝑛−4

1130) Si se lanza un dado común 100 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener

exactamente 30 veces un divisor de 6?

A) (10030

)(1

3)30(2

3)70

B) (10030

)(2

3)30(1

3)70

C) (10020

)(2

3)70(1

3)30

D) (2

3)30(1

3)70

E) (2

3)30

1131) En una página de citas, la probabilidad de que a una determinada persona le

respondan un mensaje es 1

10. Si esa persona envía 8 mensajes. ¿Cuál es la

probabilidad de que exactamente 3 de ellos sean respondidos?

A) (53) (

1

10)3(9

10)5

B) (83) (

1

10)3(9

10)5

C) (83) (

1

10)3

D) (83) (

1

10)8

E) (83) (

1

10)3(1

10)5

378

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1132) Marcelo contesta totalmente al azar un examen de 10 preguntas de verdadero o falso.

¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas correctamente?

A) 18100,5

2

B) 10100,5

2

C) 11100,5

10

D) 12100,5

2

E) 10100,5

10

1133) Un zancudo pica a 100 seres humanos en una noche. Si la probabilidad de que una

víctima se moleste es 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que 95 de sus víctimas se

molesten?

A) 0,995

B) (10095

) ∙ (0,99)95 ∙ (0,01)5

C) (10095

) ∙ (0,01)95 ∙ (0,99)5

D) (1005) ∙ (0,1)5 ∙ (0,99)95

E) (0,99)95 ∙ (0,01)95

1134) Una prueba tiene 15 preguntas con 5 alternativas cada una, de las cuales sólo una es

la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga 7 aciertos si contesta la

prueba al azar?

A) (1

5)7

B) (1

5)7∙ (4

5)15−7

C) 7

15

D) 𝐶715 ∙ (

1

5)7∙ (4

5)15−7

E) 7

15∙8

15

379

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1135) Si se lanza un dado común 120 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener

exactamente 20 veces el número 1?

A) (10020

)(1

6)20(5

6)100

B) (12020

)(1

6)20(5

6)100

C) (12020

)(1

6)20

D) (10020

)(1

6)120

E) (1

6)20

1136) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) en relación a la función

densidad de una variable aleatoria 𝑋 que se distribuye en forma normal con media 𝜇

y desviación estándar 𝜎?

I) Está definida para −∞ < 𝑋 < ∞+. II) Es simétrica con respecto a la recta 𝑥 = 𝜇.

III) El área que comprende bajo la curva es igual a 1.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

4.15 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Y FUNCIÓN

DE DENSIDAD 1137) Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución triangular si su función

de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

1

2𝑝𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2

𝑝 𝑠𝑖 𝑥 = 2

𝑝 (2 −1

2𝑥) 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 4


¿Cuál es el valor de 𝑝, sabiendo que es un número real positivo?

A) 1

2

B) 1

C) 2

D) √2

E) 3

4

380

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1138) A partir de la función cuya gráfica está en la figura, definida en el intervalo [−0,5; 1], ¿Cuál es la probabilidad 𝑃(−0,5 < 𝑋 < 0,5)?

A) 50%

B) 30%

C) 25%

D) 20%

E) 75%

1139) Si 𝑓 es una función de densidad, ¿Cuál de las siguientes características debe tener

esta función?

I) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 real.

II) El área bajo la curva es igual a 1.

III) Si 𝑎 y 𝑏 son dos constantes reales, con 𝑏 ≥ 𝑎 entonces

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎).

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

1140) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

3𝑝𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 26𝑝 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 6

0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝑝 es un número real positivo, entonces 𝑝 es:

A) 1 30⁄

B) 1 18⁄

C) 1 36⁄

D) 1 22⁄


d e s a r r o l l o

381

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1141) ¿Cuál debe ser el valor de ℎ para que la gráfica de la figura sea función de densidad?

A) 3 2⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 1 2⁄


1142) ¿Cuál(es) de las siguientes funciones puede(n) ser función de densidad de una

variable aleatoria continua?

I. 𝑓(𝑥) = 0,5 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,1] II. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [1,3] III. 𝑓(𝑥) = 1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,0] IV. 𝑓(𝑥) = |𝑥| ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,1]

A) Solo VI

B) Sólo I y IV

C) Sólo I, II y III

D) Sólo I, III y IV

E) I, II, III y IV

d e s a r r o l l o

382

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1143) Determine cuál o cuáles de las siguientes gráficas corresponde a una función de

densidad de probabilidad.

A) Solo 2 y 3

B) Solo 2, 3 y 4

C) Sólo 3, 5 y 6

D) Sólo 2, 3, 5 y 6

E) todas

1144) La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de un

intervalo, se puede calcular como el área bajo la curva de su función de densidad para

ese intervalo. A partir de la gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria

continua X. ¿Cuál es la probabilidad de que tome valores en el intervalo [0,6 − 1,4]?

A) 0,24

B) 0,40

C) 0,46

D) 0,54

E) 0,60

383

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1145) Sea 𝑓 la función de densidad de la variable aleatoria continua X. ¿Cuál es la

probabilidad de que X pertenezca al intervalo [0,1] ?

𝑓(𝑥) =

𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0,5 𝑠𝑖 0,5 < 𝑥 ≤ 2 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 2,5

𝑠𝑖 2,5 < 𝑥

A) 0,125

B) 0,250

C) 0,375

D) 0,625

E) 0,750

1146) Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución triangular si su

función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

1

2𝑘(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2

1

2𝑘 𝑠𝑖 𝑥 = 2

1

2𝑘(3 − 𝑥) 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 3


¿Cuál es el valor de 𝑘, sabiendo que es un número real positivo?

A) 1 2⁄

B) 2

C) 1

D) √2

E) 3 4⁄

1147) En la figura adjunta, ¿Qué valor debe tomar 𝑎 para que la gráfica represente una

función de densidad de una variable aleatoria continua?

A) 1,2

B) 1,3

C) 1,4

D) 0,6

E) 0,4

𝑥

0,5

2,5− 𝑥

0

384

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1148) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es

𝑓(𝑥) = 3𝑘, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑘𝑥 + 𝑘, 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 40, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si k es un entero real positivo, entonces k es:

A) 2 3⁄

B) 1 12⁄

C) 1 14⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

1149) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) = 2𝑘𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 12𝑘, 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 40 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si, k es un número real positivo, entonces 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) es igual a:

A) 1 7⁄

B) 3 7⁄

C) 2 7⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

1150) Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad es

𝑓(𝑥) = 4𝑘𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 312𝑘 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 40 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si, k es un número real positivo, entonces 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3) es igual a:

A) 0,75

B) 0,25

C) 0, 3

D) 0,125

E) 0,83

385

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1151) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está

dada por el siguiente gráfico:

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑘 es:

A) 1 14⁄

B) 1 12⁄

C) 1 6⁄

D) 2 3⁄

E) 1 2⁄

1152) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está

dada por el siguiente gráfico:

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3)

A) 1 3⁄

B) 5 12⁄

C) 3 4⁄

D) 1 12⁄


1153) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua con distribución normal estándar. ¿Cuál es la

probabilidad que 𝑋 tomo un valor mayor que 1,15?

A) 0,15

B) 0,67

C) 0,749

D) 0,125

E) 0,875

386

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1154) Dada una variable aleatoria continua 𝑋 → 𝑁(0,1). ¿Cuál es la probabilidad que 𝑥 tome

un valor entre 1 y 2?

A) 0,15

B) 0,136

C) 0,164

D) 0,841

E) 0,977

4.16 DISTRIBUCIÓN NORMAL Y TIPIFICACIÓN

1155) ¿Cuáles son valores de la media 𝜇 y la desviación estándar 𝜎 para una distribución

normal estándar?

A) 𝜇 = 1 𝑦 𝜎 = 0

B) 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1

C) 𝜇 = 1 𝑦 𝜎 = 1

D) 𝜇 = 0,5 𝑦 𝜎 = 0

E) 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 0.5

1156) Sea 𝑋 → 𝑁(22,20). ¿Cuál es la probabilidad que 𝑥 tome un valor menor a 45?

A) 0,900

B) 0,839

C) 0,749

D) 0,841

E) 0,875

1157) La gráfica de la figura representa la función de densidad de una variable aleatoria

continua que distribuye 𝑁(0,1), donde el área achurada es igual al 90% del total. ¿Cuál

es el valor de 𝑎?

A) 1

B) 1,15

C) 1,28

D) 1,64

E) 1,96

0 𝛼

r e f e r e n t e

387

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1158) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua. Si 𝑋 se distribuye normalmente, con desviación

típica igual a 𝛿 . Si se sabe que 𝑃(𝑋 < 1) = 𝑃(𝑋 > 5), entonces la media de esta

distribución siempre es:

A) 1 + 𝛿

B) 5 − 𝛿

C) 3

D) 2 𝛿⁄

E) 8 𝛿⁄

1159) El peso de un paquete de cereales se distribuye normalmente con media 750 gramos

y desviación típica 25 gramos. Si se selecciona un paquete al azar, considerando que

𝑋 es el peso del paquete en gramos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 < 725) = 2𝑃(𝑋 < 700) II) 𝑃(𝑋 > 725) = 𝑃(𝑋 < 775) III) 𝑃(𝑋 < 725) + 𝑃(𝑋 < 775) = 2𝑃(𝑋 < 750)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

1160) Juan dio tres pruebas A, B, C y cuyos resultados se distribuyeron normalmente de la

siguiente manera, 𝐴~𝑁(50,2), 𝐵~𝑁(60,4), 𝐶~𝑁(100,10). Si Juan en la prueba A

obtuvo 54 puntos, en la prueba B obtuvo 64 puntos y en la prueba C obtuvo 115

puntos. ¿En cuál prueba le fue mejor?

A) En lar tres pruebas le fue igual

B) A

C) B

D) C

E) En la A y C le fue igual y mejor que en la B

1161) En el año 2010 las estaturas de los alumnos de un curso se distribuían normalmente

con media 1,5 m y varianza 0,1. En el año 2015, la media de estos mismos aumento

en un 20%. ¿Cuál será la nueva desviación de la muestra?

A) 0,2 ∙ 0,1

B) 0,22 ∙ 0,1

C) 1,2 ∙ 0,1

D) 1,22 ∙ 0,1

E) 1,22 ∙ 0,12

388

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1162) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar igual a 1, entonces

𝑃(𝑋 > 1,64) es igual a:

A) 0,05

B) 0,5

C) 0,67

D) 0,95

E) 0,957

1163) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 20 y desviación estándar igual a 2,

entonces la probabilidad que 𝑃(𝑋 < 24) es igual a:

A) 0,9

B) 0,977

C) 0,985

D) 0,990

E) 0,995

1164) Una máquina con listones de 30 cm de largo se ha determinado que los largos siguen

una distribución normal con media 30,2 cm y desviación 2 cm. Si se elige al azar un

listón, ¿Cuál es la probabilidad que mida menos de 32, 5 cm?

A) 0,15

B) 0,375

C) 0,5

D) 0,875

E) 0,957

1165) Sea 𝑋 una variable aleatoria con distribución normal de promedio siete, Si

𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 0,4 y 𝑃(4 ≤ 𝑋 ≤ 10) = 0,7, entonces el valor de 𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 10) es?

A) 0,625

B) 0,650

C) 0,575

D) 0,550

E) 0,525

389

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1166) Si la distancia promedio en metros, recorrida por un grupo de 1.500 partículas, se

distribuye de la forma 𝑁(2,6; 0,5), ¿Cuántas de ellas, aproximadamente, es probable

que recorran entre 1,6 m y 3,6 m?

A) 75

B) 720

C) 750

D) 1.020

E) 1.425

1167) El promedio de notas de un curso en Matemática es una variable aleatoria que

distribuye en forma normal 𝑁(4,8; 0,7) . ¿Entre que promedios de notas de

matemáticas se encuentra aproximadamente el 95,4% de los estudiantes del curso

cuyos promedios son los más cercanos a 4,8?

A) ]1,3 ; 6,3[ B) ]3,4 ; 6,2[ C) ]4,0 ; 6,0[ D) ]4,1 ; 5,5[ E) ]2,3 ; 6,3[

1168) Si Ricardo extrae una tarjeta donde se lee: 𝑋~𝑁(90,9) y 𝑃(80 ≤ 𝑥 ≤ 95), entonces la

probabilidad pedida es:

A) 𝑃(−1,1 ≤ 𝑧 ≤ −0,5)

B) 𝑃(1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 0, 5)

C) 𝑃(1,1 ≤ 𝑧 ≤ −1,5) D) 𝑃(−1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 0, 5)

E) 𝑃(−1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 15)

1169) Sea 𝑋 una variable aleatoria con función de probabilidad normal tipificada 𝑃. Si

𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) =5

8, entonces el valor de 𝑃(−𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎) es:

A) 1 4⁄

B) 5 16⁄

C) 3 8⁄

D) 3 4⁄

E) 13 16⁄

390

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1170) Sea 𝑧 una variable aleatoria con distribución normal tipificada y 𝑋 una variable

aleatoria que se distribuye de manera normal con una media aritmética 𝜇 y desviación

estándar 𝜎. Si 𝑃 es la función de probabilidad, ¿Cuál de las siguientes expresiones

equivale a

𝑃(𝜇 − 3𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3𝜎)?

A) 𝑃(𝑧 ≤ 3) − 𝑃(𝑧 ≥ −3) B) 𝑃(𝑧 ≤ 3) + 𝑃(𝑧 ≤ −3) C) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) D) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) − 1

E) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) + 1

1171) La longitud en cm, de las varillas que fabrican una empresa, tiene una distribución

𝑁(10; 0,3). ¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que una varilla mida menos

de 9,1 cm?

A) 100,0%

B) 49,865%

C) 34,13%

D) 15,87%

E) 0,135%

1172) En una distribución normal estándar si 𝑃(𝑋 ≤ −𝑎) = 𝑡; entonces 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) =

A) −𝑡 B) 𝑡 C) 𝑡 − 1

D) 1 − 𝑡 E) No se puede determinar

1173) Si 𝑋~𝑁(0,1) , entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) La probabilidad 𝑃(𝑋 < 0) es 50%

II) 𝑃(𝑋 > 1,5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,5) III) 𝑃(𝑋 = 0,5) = 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

391

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1174) Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre de

cuarto medio, tiene una distribución 𝑁(5,0; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes


I) Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8.

II) Aproximadamente, el 2% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4.

III) Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

1175) Se estima que los resultados de la prueba de selección Universitaria (PSU) tienen una

distribución normal 𝑁(500,100). Si en el 2013 rindieron la prueba 240.000 y para

postular a las universidades se exige un mínimo de 400 puntos. Entonces, ¿Cuál(es)

de las siguientes es (son) verdadera(s)?

I) 38.088 alumnos tienen menos de 400 puntos.

II) 324 alumnos tienen más de 800 puntos.

III) 32.616 alumnos tienen entre 600 y 700 puntos.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

1176) Sean 𝑋,𝑊 variables aleatorias con distribución 𝑁(80,4) y 𝑁(120,10)

respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑤 ≥ 130) > 𝑃(𝑋 ≥ 84) II) 𝑃(𝑋 ≥ 92) = 𝑃(𝑊 ≤ 90) III) 𝑃(𝑊 ≥ 120) > 𝑃(𝑋 ≥ 80)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

392

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1177) Si 𝑍~𝑁(0,1). ¿Cuál de las siguientes operaciones tienen y un valor igual a 𝑃(𝑍 ≤ −𝑧)?

A) 𝑃(𝑍 ≥ 2) B) 𝑃(𝑍 ≤ 2) C) 𝑃(𝑍 ≥ −2) D) 1 − 𝑃(𝑍 ≥ 2) E) 1 − 𝑃(𝑍 ≤ −2)

1178) Si 𝑍~𝑁(0,1), el valor de 𝑃(−1,96 ≤ 𝑍 ≤ 1,96) corresponde a:

A) 0,990

B) 0,975

C) 0,950

D) 0,900

E) 0,800

Para responder las preguntas 1179, 1180, 1181 Y 1182 utilizaremos una compañía que

produce lavadoras, el número de control de calidad de sus lavadoras se distribuye

normalmente con media 𝜇 = 430 y 𝜎 = 6.

1179) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor a 442?

A) 2,3%

B) 1,5%

C) 15%

D) 85%

E) 8,5%

1180) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor que

436?

A) 84,1%

B) 15,9%

C) 50%

D) 68,3%

E) 84%

393

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1181) ¿Entre que lavadoras se encuentra el 95,4% que aprobaron el control de calidad?

A) ]430,436[ B) ]418,442[ C) ]428,436[ D) ]420,466[ E) ]428,442[

1182) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lavadoras aprobadas sea mayor que

430?

A) 70,1%

B) 59,78%

C) 64,05%

D) 50,15%

E) 50%

1183) Si 𝑍~𝑁(0,1), ¿Qué valor es igual a 𝑃(𝑍 < −1,5)?

A) 𝑃(𝑍 > −1,5) B) 𝑃(𝑍 = −1,5) C) 𝑃(𝑍 > 1,5) D) 1 − 𝑃(𝑍 > 1,5) E) 𝑃(𝑍 > −0.5)

1184) El peso de los equipajes de un avión comercial sigue un comportamiento normal con

un promedio y una desviación estándar de 20 y 4 kg respectivamente. Si el límite de

la carga total del equipaje de un avión que transporta 100 pasajeros es de 2092,8kg,

entonces ¿Cuál es la probabilidad de que el límite sea excedido por estos 100

pasajeros?

A) 0,645

B) 0,6217

C) 0,9991

D) 0,01

E) 0,313

394

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1185) Una población sigue un comportamiento normal en su calzado. El calzado promedio

es de 38 con una desviación estándar de 1, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a

una persona al azar, que su talla de calzado sea menor a 39?

A) 34,13%

B) 68,26%

C) 84,13%

D) 50%

E) 15,87%

1186) Se define X como el puntaje obtenido por un alumno en la prueba de ciencias sociales.

Si se sabe que P(X>700) = 0,35 y que P(X<600) = 0,44, entonces P(600≤X≤700) es

A) 0,11

B) 0,21

C) 0,56

D) 0,65

E) 0,89

1187) El tiempo, en minutos, en que los estudiantes contestan una prueba de lenguaje tiene

una distribución N(55,10); con relación a esta situación, es verdadero que:

I) El 68,3% de los jóvenes demora entre 45 y 65 minutos.

II) El 4,5% de los jóvenes demora menos de 35 minutos.

III) En un curso de 40 estudiantes quedan aproximadamente 6 de ellos después de 65

minutos de haber comenzado.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

1188) En un colegio de 4.000 estudiantes, las notas en matemáticas se distribuyen

N (5.2, 0.6). ¿Alrededor de cuantos estudiantes tienen promedio sobre 6?

A) 903

B) 100

C) 500

D) 96

E) 367

395

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1189) En un consultorio se realizó un estudio para determinar la masa corporal de la

población femenina de su comuna, y se obtuvo una distribución N(62,5) en kg.

¿Aproximadamente, que porcentaje de mujeres de la comuna tiene una masa corporal

en 57 kg y 62 kg?

A) 99%

B) 68%

C) 24%

D) 95%

E) 34%

1190) En la selección de personal para un museo de historia se realizará una prueba de

conocimientos básicos de historia de Chile. Se sabe que los puntajes distribuyen

N(132,18) y solo el 10% de los puntajes más altos será seleccionado.

Aproximadamente, ¿A partir de qué puntaje se aceptará a los candidatos?

A) 109

B) 155

C) 159

D) 190

E) 195

1191) La vida media de una pila (en horas) tiene una distribución N (150, 50). ¿Cuál es la

probabilidad de que dure menos de 50 horas?

A) 2%

B) 16%

C) 68%

D) 4%

E) 8%

1192) El error en una medición puede modelarse con una distribución normal estándar

N(0,1) en milímetros. Si se realiza una medición, ¿Cuál es, aproximadamente, la

probabilidad de que el error cometido sea mayor que 0,2 mm?

A) 0,42

B) 0,43

C) 0,44

D) 0,57

E) 0,58

396

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1193) El tiempo, en minutos, que un estudiante de cuarto año medio dedica al estudio en su

casa, cada día hábil, tiene una distribución N (141,41). Respecto de la situación es

verdadero que:

I) El 68,26% de los jóvenes estudia entre 100 y 182 minutos.

II) Alrededor del 16% de los días estudia menos de 100 min.

III) Aproximadamente 3 días hábiles al mes estudia más de 182 min.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

1194) Sea X una variable con distribución normal estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que

X tome un valor mayor que 1?

A) 0,9

B) 0,8413

C) 0,5

D) 0,1587

E) 0,1

1195) En una población de 1.500 personas la variable 𝑋 tiene una distribución normal,

aproximadamente: ¿Cuántas personas están entre 𝜇 + 𝜎 y 𝜇 + 2𝜎?

A) 100

B) 200

C) 204

D) 210

E) 250

1196) Sea 𝑋 una variable estadística continua que se distribuye de manera normal tipificada.

Si 𝑃(𝑋 ≥ −𝑚) =4

5, con 𝑚 un número real, ¿Cuál es el valor de 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑚)?

A) 3 10⁄

B) 1 5⁄

C) 2 5⁄

D) 3 5⁄

E) 4 5⁄

397

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1197) Una variable aleatoria continua 𝑋 tiene distribución normal de media 1,5 y desviación

estándar 0,5. La probabilidad de que 𝑋 tome un valor menor o igual que 2,32 es:

A) 0,900

B) 0,950

C) 0,975

D) 0,985

E) 0,990

1198) Cuando Andrea visita al nutricionista, este le indica que su masa corresponde al

percentil 95 de la distribución de las masas de la población de mujeres de su edad y

estatura en el país. Si se sabe que la masa de esta población se modela a través de

una distribución normal con varianza igual a 4 𝑘𝑔2, y Andrea tiene una masa de 60

kg, ¿Cuál es, aproximadamente, la media de esta distribución?

A) 50,02 kg

B) 56,40 kg

C) 56,72 kg

D) 53,44 kg

E) 58,20 kg

1199) Un ingeniero de una fábrica debe inferir sobre el diámetro medio (𝜇) de los

rodamientos de su producción, y para ello tomará una muestra al azar de rodamientos

para construir un intervalo de confianza del 95% para 𝜇 . Si los diámetros de los

rodamientos se modelan a través de una distribución normal, con varianza 16 𝑚𝑚2,

¿Cuál es el mínimo número de rodamientos que debe tener la muestra, para que el

margen de error del intervalo construido sea menor o igual 1 𝑚𝑚?

A) 62

B) 16

C) 61

D) 80

E) 8

1200) Si una variable aleatoria 𝑋 tiene distribución normal con media 𝜇 igual a 2 y varianza

igual a 3 ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución de media 0 y

varianza 1?

A) 𝑌 =𝑋−2

3

B) 𝑤 =𝑋−√2

3

C) 𝑉 =𝑋−2

√3

D) 𝐾 =2−𝑋

3

E) 𝐿 =𝑋+2

3

398

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1201) Una población tiene una distribución normal con 𝜇 = 27 y 𝜎 = 9 . Si se escogen

muestras de 9 individuos, ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales y su

desviación estándar respectivamente?

A) 27 y 9

B) 27 y 1

C) 27 y 3

D) 3 y 9

E) 3 y 3

1202) Una variable aleatoria se distribuye en forma normal. ¿Qué información se necesita

para determinar la probabilidad de que esta tome un valor menor que 10?

(1) 𝜎 = 15

(2) 𝜇 = 64

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




1203) Sea 𝑋 una variable aleatoria con distribución normal estándar. Que información se

necesita para determinar la probabilidad de que 𝑋 tome un valor menor que 𝑃.

(1) 𝑃 = 0,9

(2) 𝜎 = 1 + 𝜇

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




4.17 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Considere para las siguientes preguntas 1204, 1205, 1206 Y 1207 una población formada por

todos los números primos menores o iguales que 7 y todas las muestras de tamaño 2 que

pueden hacerse si se realiza con reposición y con importancia de orden.

1204) ¿Cuántas muestras en total se pueden extraer?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 16

E) 20

d e s a r r o l l o

399

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1205) ¿Cuál es la media poblacional?

A) 17

B) 17 2⁄

C) 17 4⁄

D) 17 7⁄

E) 17 9⁄

1206) ¿Cuál es la media de las medias muestrales?

A) 0,425

B) 2,125

C) 4,25

D) 21,15

E) 42,15

1207) ¿Cuál es la probabilidad, aproximada a la décima, de que = 5?

A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

1208) Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en

llevar un paquete, con una desviación estándar de 8 minutos. Suponga que el día de hoy se

han repartido doscientos paquetes. Obtenga una aproximación para la probabilidad de que

el promedio de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos.

A) 0,2

B) 0,3

C) 0,4

D) 0,5

E) 0,6

400

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1209) Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población

tiene una temperatura media de 37°C y una desviación estándar de 0,85°C. Si se eligen al

azar 100 personas y se registra su temperatura corporal, ¿Cuál es la desviación estándar de

la muestra?

A) 0,0085°C

B) 0,085°C

C) 0,85°C

D) 8,5°C

E) 85°C

1210) La duración de las ampolletas que produce una fábrica sigue una distribución normal

con una media de 1.200 horas y una desviación estándar de unas 400 horas. Si se compran

nueve de estas ampolletas, que puede considerarse como una muestra aleatoria de la

producción del fabricante. ¿Cuál es la probabilidad de que esas nueve ampolletas tengan, en

promedio, una duración superior a 1.050 horas?

A) 0,352

B) 0,38

C) 0,648

D) 0,875

E) 0,125

1211) Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma

normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros.

Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine cual media

y desviación estándar de la distribución de medias:

A) 185,5 cm y 1,28 cm

B) 174,5 cm y 1,38 cm

C) 173,5 cm y 1,28 cm

D) 180 cm y 1,2 cm

E) 173,5 cm y 1,2 cm

1212) Dado el problema anterior, cuantas medias muéstrales se encontrarán entre 172,5 y

175,8.

A) Aproximadamente 163

B) Aproximadamente 153

C) Aproximadamente 133

D) Aproximadamente 151

E) Aproximadamente 110

r e f e r e n t e

401

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1213) De acuerdo a una distribución binomial, si un dado se lanza 540 veces, entonces la

desviación estándar del número de CINCOS que se espera que salgan, es:

A) 3√5

B) 25√3

C) 75

D) 90

E) 5√3

1214) La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si se repite el

experimento 15 veces, entonces la media (𝜇) es:

A) 0,6

B) 0,06

C) 6,0

D) 60

E) Otro valor

1215) Para el mismo ejercicio, el valor de la desviación estándar es, aproximadamente:

A) 1,90

B) 1,41

C) 0,60

D) 3,60

E) 6,00

1216) Una variable aleatoria discreta tiene distribución binomial 𝐵(80; 0,2). ¿Cuál es el valor

de 𝜇 al aproximarla a una distribución normal?

A) 8

B) 3,6

C) 12,8

D) 16

E) 4

d e s a r r o l l o

402

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1217) Al lanzar una moneda no cargada 64 veces. Utilizando la distribución normal, ¿Cuál es

la probabilidad de obtener menos de 36 caras?

A) 0,0793

B) 0,1590

C) 0,8410

D) 0,9564

E) 0,0500

4.18 APROXIMACIÓN DE LA PROBABILIDAD

NORMAL A LA BINOMIAL

Para las preguntas 1218, 1219 y 1220 utilice un examen de 48 preguntas con la variable

aleatoria “cantidad de respuestas correctas respondiendo al azar” y cada pregunta tiene 4

alternativas posibles con igual probabilidad de ser contestada y solo una respuesta correcta.

1218) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria?

A) 𝑁 (48,1

2)

B) 𝑁(48,3)

C) 𝑁 (12,1

4)

D) 𝐵 (48,1

4)

E) 𝐵(48,4)

1219) ¿Cuál es la desviación estándar aproximada de la distribución?

A) 𝜎 = 3

B) 𝜎 = 3,582

C) 𝜎 = 4,4

D) 𝜎 = 6,7

E) 𝜎 = 5

1220) ¿Cuál es la probabilidad, aproximadamente, de responder correctamente menos de 6

preguntas?

A) 0,056

B) 0,3154

C) 0,3745

D) 0,6255

E) 0,023

403

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1221) En una tómbola hay 16 bolitas azules y 9 bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño.

Un experimento consiste en extraer una bolita al azar, registrar el color obtenido y devolverla

a la tómbola. Si el experimento se realiza 10.000 veces y se define la variable aleatoria 𝑋

como el número de bolitas azules que se obtienen, y 𝑓 como su función de probabilidad,

¿Cuál es la desviación estándar de 𝑓 cuando se aproxima a una distribución normal?

A) 24

B) 48

C) 60

D) 64

E) 80

1222) Sea 𝑋 una variable aleatoria tal que 𝑋~𝐵(60; 0,4). Si la distribución de 𝑋 es aproximada

por una distribución normal con media 𝜇 y una desviación estándar 𝜎 , ¿Cuáles de los

siguientes valores corresponden a los valores de 𝜇 y 𝜎, respectivamente?

A) 24 y 6

5√5

B) 24 y 6

5√10

C) 24,5 y 6

5√10

D) 24 y √72

5

E) 24,5 y √72

5

1223) Si 𝑋~𝐵𝑖𝑛 (200,1

5) , Al aproximar 𝑋 mediante una distribución normal, ¿Cuál de estas

variables sigue una distribución normal estandarizada?

A) 5(𝑋 − 200)

B) √5(𝑋 − 200)

C) 𝑋−40

4√2

D) 𝑋−40

32


r e f e r e n t e

404

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1224) Si 𝑋~𝐵𝑖𝑛 (100,3

10), al aproximar 𝑋 mediante una distribución normal, el valor de 𝜎

será.

A) 21

100

B) 21

C) √21

D) √21

10

E) √21

10

1225) Se lanzan 40.000 monedas y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de caras

obtenidas. Si se aproxima la distribución binomial de 𝑋 mediante una distribución normal,

¿Cuál es la probabilidad de obtener 20.115 caras o menos?

A) 0,749

B) 0,839

C) 0,841

D) 0,875

E) 0,900

1226) Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta con distribución 𝐵~(𝑛, 𝑝), se puede determinar

la media y la desviación estándar de la distribución normal que aproxima a la binomial si:

(1) 𝑛 = 8

(2) 𝑝 = 0,4

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




4.19 INTERVALOS DE CONFIANZA

1227) Se realizó un estudio del consumo de bebidas gaseosas a una muestra de 100 personas

durante un mes, sabiendo que el consumo medio es de 10 litros, con distribución normal,

cuya desviación estándar es de 2 litros, entonces ¿Cuál es el intervalo de confianza para la

media poblacional con un nivel de confianza del 95%?

A) [9,608; 10,392] B) [9,508; 10,592] C) [9,408; 10,392] D) [9,08; 10,892] E) [9,08; 10,092]

405

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1228) De un grupo de datos distribuidos normalmente 𝑁(𝜇, 𝜎), se ha obtenido que el intervalo

de confianza de la media poblacional, con un nivel de confianza del 90% es [5,12; 8,44]. El

valor de la media muestral es:

A) 5,12

B) 6,78

C) 3,32

D) 8,44

E) 13,5

1229) Se han estudiado las estaturas de un grupo de 400 estudiantes de un colegio con una

media aritmética de 1,72 cm y una desviación típica de 0,4. Si se construye un intervalo de

un 95% de confianza, entonces el intervalo es:

A) [1,72 ± 1,96 ∙0,4

20]

B) [1,72 ± 1,96 ∙0,4

400]

C) [1,96 ± 1,72 ∙0,4

20]

D) [1,96 ± 1,72 ∙0,2

20]

E) [1,72 ± 1,96 ∙0,2

20]

1230) La edad de una población de personas que sigue una distribución 𝑁(𝜇, 2) y una

muestra de 36 personas, tiene una media de 14,1 años, ¿Cuál es el intervalo de confianza

para 𝜇 con un 95% de confianza?

A) [14,1 − 1,96 ∙ 0, 3; 14,1 + 1,96 ∙ 0, 3]

B) [14,1 − 2,01 ∙3

10; 14,1 + 2,01 ∙

3

10]

C) [14,1 − 1,96 ∙ 3; 14,1 + 1,96 ∙ 3] D) [14,1 − 1,96 ∙ 0,3; 14,1 + 1,96 ∙ 0,3] E) [14,1 − 1,84 ∙ 0, 6; 14,1 + 1,84 ∙ 0, 6]

1231) En una encuesta se obtiene una media muestral , además se sabe que la desviación

estándar de la población es 𝜎, el tamaño es 𝑛 y la variable en estudio tiene una distribución

normal. El intervalo de confianza con un 99,7% de confianza para la media 𝜇 esta dado por:

A) [ − 3𝜎, + 3𝜎] B) [ − 2𝜎, + 2𝜎]

C) [ −3𝜎

√𝑛, +

3𝜎

√𝑛]

D) [ −2𝜎

√𝑛, +

2𝜎

√𝑛]

E) [ −𝜎

√𝑛, +

𝜎

√𝑛]

406

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1232) ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) acerca de un intervalo

de confianza para una media 𝜇 cuando es conocida la desviación estándar de 𝜎 y que se

construye a partir de una muestra de tamaño 𝑛, con un nivel de confianza (1 − 𝛼) ∙ 100%?

I) El margen de error está dado por la expresión 𝜎

√𝑛.

II) Mientras mayor es el tamaño de la muestra, la estimación del parámetro es más

confiable.

III) Si la desviación estándar es mayor, la amplitud de intervalo de confianza es mayor.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

1233) La masa media de una muestra elegida al azar de 196 manzanas es de 320 gr y la

desviación estándar de la población de manzanas es de 35 gr, ¿Cuál es el intervalo de

confianza de la media poblacional para un nivel de confianza del 95%?

A) [315,1; 324,9] B) [319,65; 320,35] C) [315,1; 320,35] D) [315,1; 319,65] E) [319,65; 324,9]

1234) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de una población con una

distribución 𝑁(125,7) se encuentre en el intervalo [115,1; 124,9], si el tamaño de la muestra

es de 25 y su media es de 124,2?

A) 90%

B) 95%

C) 96%

D) 98%

E) 99%

1235) Para estimar el valor de la media 𝜇 se tomó una muestra de tamaño 400 y un nivel de

90%. Si el error de estimación es del 2% entonces. ¿Cuál es el valor de la desviación

estándar 𝜎?

A) 10

49

B) 8

33

C) 20

129

D) 16

125

E) 12

21

407

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1236) Una firma constructora desea estimar la resistencia media de las barras de acero en la

construcción de edificios. ¿Qué tamaño de muestras se requiere para que el error de

estimación no sobrepase los 5kg con un 99% de confianza? (Indicación: Considere

𝜎 = 25 𝑘𝑔).

A) 124

B) 145

C) 153

D) 167

E) 135

1237) Desde una determinada población con distribución normal de media 𝜇 y varianza 16,

se extrae una muestra con la cual se determina el intervalo de confianza [67,02 ; 68,98 ] con

un nivel de confianza del 95%. ¿De cuántos elementos se compone la muestra utilizada para

determinar dicho intervalo de confianza?

A) 8

B) 32

C) 64

D) 96

E) 144

1238) Los datos de una población se modelan mediante una distribución normal, con media

𝜇 y varianza 9. Se toma una muestra de esta población de tamaño 64, cuyo promedio es 84.

Si de esta muestra se obtiene un intervalo de confianza para 𝜇 igual a [83,13; 84,87]. ¿Cuál

de los siguientes valores es el coeficiente asociado al nivel de confianza de este intervalo?

A) 1,28

B) 1,64

C) 1,96

D) 2,32

E) 2,58

1239) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una

distribución normal con media 𝜇 y varianza 1

9. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias

de esta ciudad, obteniéndose una media de 3 televisores. Para los resultados de esta muestra,

¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para 𝜇?

A) [3 − 1,96 ∙1

30; 3 + 1,96 ∙

1

30]

B) [3 − 1,96 ∙1

90; 3 + 1,96 ∙

1

90]

C) [−1,96 ∙1

30; 1,96 ∙

1

30]

D) [3 − 1,64 ∙1

90; 3 + 1,64 ∙

1

90]

E) [3 − 2,58 ∙1

30; 3 + 2,58 ∙

1

90]

408

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1240) Se desea estimar el diámetro, en milímetros del cabello humano. Para ello, se construye

un intervalo de confianza para el diámetro medio a partir de una muestra de 225 personas. Si

la media obtenida fue de 70 y la varianza poblacional es de 400, el intervalo obtenido al

trabajar con nivel de confianza 0,95 es:

A) [70 ∙ 0,95; 70 ∙ 1,15]

B) [70 −80

3∙ 1,64; 70 +

80

3∙ 1,96]

C) [70 −80

3∙ 1,96; 70 +

80

3∙ 1,96]

D) [70 −4

3∙ 1,64; 70 +

4

3∙ 1,64]

E) [70 −4

3∙ 1,96; 70 +

4

3∙ 1,96]

1241) Se desea estimar la estatura promedio de una especie de dinosaurios a partir de sus

fósiles. Si se sabe que la varianza de la población es de 900 𝑐𝑚2 y se trabaja al nivel de

confianza 95%. ¿Cuál es el valor que debe superar el tamaño muestral para que el margen

de error sea menor a 1 cm?

A) 900 ∙ 1,962 B) 900 ∙ 1,642 C) 30 ∙ 1, 962 D) 30 ∙ 1,642 E) Otro valor

1242) El IMC de los alumnos de cuarto medio de la ciudad de Chacabuco es una variable

aleatoria que se modela por medio de distribución normal con media 𝜇 y desviación estándar

𝜎 = 1,2. Una muestra de 36 estudiantes arroja un promedio de 25 de IMC, ¿Cuál es el intervalo

de confianza de nivel 95% para la media poblacional 𝜇?

A) [25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

−1,2

√46[

B) [25 − 1,64 ∙1,2

6; 25 + 1,64 ∙

−1,2

6]

C) [25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

1,2

√36]

D) ]25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

1,2

√36[

E) ]25 − 1,64 ∙1,2

6; 25 + 1,64 ∙

1,2

6[

409

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1243) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una

distribución normal con media 𝜇 y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100

familias de esta ciudad, obteniéndose con media de 2,75 televisores. Para los resultados de

esta muestra, ¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para

𝜇?

A) [2,75 − 1,96 ∙1

40; 2,75 + 1,96 ∙

1

40]

B) [2,75 − 0,95 ∙1

200; 2,75 + 0,95 ∙

1

200]

C) [−1,96 ∙1

400; 1,96 ∙

1

400]

D) [−0,95 ∙1

20; 0,95 ∙

1

20]

E) [2,75 − 1,96 ∙1

20; 2,75 + 1,96 ∙

1

20]

1244) Si la media de una población se encuentra en el intervalo de confianza

+−

nzx

nzx

22

, , la expresión

2

z es:

A) El nivel de confianza

B) El error estándar

C) El nivel de significación

D) Un coeficiente asociado al nivel de confianza


1245) Las estaturas de los alumnos de un colegio se distribuyen de forma normal con media

𝜇 y desviación estándar igual a 0,25. Se toma una muestra de 36 alumnos con media de 130

centímetros. Considerando un nivel de confianza del 90%. ¿Cuál es el intervalo de confianza

que contiene a la media de las estaturas de los alumnos?

A) [130 − 0,95 ∙0,25

6; 130 + 0,95 ∙

0,25

6]

B) [130 − 1,96 ∙0,25

6; 130 + 1,96 ∙

0,25

6]

C) [130 − 1,96 ∙0,25

36; 130 + 1,64 ∙

0,25

36]

D) [130 − 1,64 ∙0,25

36; 130 + 1,64 ∙

0,25

36]

E) [130 − 1,64 ∙0,25

6; 130 + 1,64 ∙

0,25

6]

410

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1246) La cantidad de hijos por familia en una cierta ciudad, se modela a través de una

distribución normal con media 𝜇 y varianza 0,36. Se considera una muestra aleatoria de 100

familias y se calcula un intervalo de confianza con un nivel de 0,954. Si el menor valor del

intervalo de confianza que contiene a la media de la cantidad de hijos 2,12, ¿Cuál es la media

de esta muestra?

A) 2,24

B) 2,192

C) 2,132

D) 2,048

E) 2

1247) En una plantación, el peso de las paltas se ajusta a una distribución normal cuya

desviación estándar es de 75 gramos. Se extrae una muestra de 9 paltas al azar y se

determina que el promedio de dicha muestra es de 230 gramos. Considerando un nivel de

confianza del 90%, el peso promedio de las paltas de la plantación, en gramos, se encuentra

en el intervalo.

A) [163,297] B) [189,271] C) [178,282] D) [207,253] E) [155,305]

1248) Si una muestra de cierta variable aleatoria, cuyo comportamiento es una distribución

normal, tiene un intervalo de confianza 0,95 igual a [478,524], entonces la media de la muestra

es igual a:

A) 496

B) 497

C) 501

D) 505

E) 506

411

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1249) Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo permanecen

hospitalizados los pacientes con problemas cardiacos. Extraen una muestra de 80 pacientes

obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellos sabían que la desviación típica era de 4 días.

Si el nivel de confianza es de un 95%. ¿Cuál es el intervalo?

A) [2,5 −1,96√5

20 , 2,5 +

1,96√5

20]

B) [2,5 −1,69√5

5 , 2,5 +

1,69√5

5]

C) [2,5 −1,96√5

5 , 2,5 +

1,96√5

5]

D) [2,5 −1,96√5

5 , 2,5 +

1,64√5

5]

E) [2,5 − 1,96 ∙80

√4 , 2,5 + 1,96 ∙

80

√4 ]

1250) Con respecto al intervalo de confianza para una cierta media poblacional, ¿Cuál de las


A) Si aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la amplitud del intervalo de confianza.

B) Mientras mayor sea la media, mayor será la amplitud del intervalo de confianza.

C) Si disminuye el nivel de confianza, disminuye la amplitud del intervalo de confianza.

D) Mientras menor sea la desviación estándar, menor será la amplitud del intervalo de

confianza.

E) A menor error, menor amplitud de intervalo.

1251) La edad de una población de personas sigue una distribución 𝑁(𝜇, 3) y una muestra de

36 personas tiene una media de 14,1 años. Determina el intervalo de confianza para 𝜇 con

95% de confianza.

A) ]13,28; 14,92[ B) ]13,12; 15,08[ C) [13,28; 14,92] D) [13,12; 15,08] E) [15,92; 15,92]

412

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1252) Una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes responden a una prueba de

inteligencia espacial, obteniendo una media de cien puntos. Se sabe que la variable

inteligencia espacial de todos los alumnos es una variable normal con una desviación típica

igual a diez, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera

inteligencia espacial media de todos los alumnos, con un nivel de confianza de 0,99?

A) [94,84; 105,16] B) [93,85; 105,20] C) [96,08; 103,92] D) [96,72; 103,28] E) Ninguno de los intervalos anteriores

1253) Sabemos que una variable estadística se comporta como una normal 𝑁(𝜇, 10). Para

estimar 𝜇 extraemos una muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Estima 𝜇

mediante un intervalo de confianza del 90%

A) [35,36; 38,64] B) [35,64; 38,96] C) [31,06; 37,45] D) [34,42; 39,58] E) Ninguno de los intervalos anteriores

1254) La puntuación media obtenida en una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de

secundaria en el examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que la

distribución de las puntuaciones de la población es normal con desviación típica igual a

20,25 puntos. Calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un

nivel de significación de 0,01.

A) [25 ± 2,58 ∙20,25

√9]

B) [25 ± 2,58 ∙ 2,25] C) [5 ± 2,58 ∙ 225]

D) [25 ± 2,58 ∙20,25

3]

E) Ninguno de los intervalos anteriores

413

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1255) Se supone que los años de vida de una determinada especie de tortuga es una

variable aleatoria con distribución normal cuya desviación estándar es igual a 10 años.

Se toma una muestra aleatoria simple de los registros de 10 tortugas y se obtienen los

siguientes datos, en años.

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34

Determina un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dicha especie de tortuga.

A) [37,5 ± 1,96 ∙ √10]

B) [37 ± 1,96 ∙1

√10]

C) [37,5 ± 1,96 ∙ 10]

D) [38 ± 1,64 ∙ √10]


1256) Un estudio realizado sobre una muestra de 200 automóviles indica que la antigüedad

media de la muestra es de 7,85 años. Determine un intervalo de confianza para la

antigüedad media de la población con un nivel de confianza del 95% y teniendo en cuenta

que la desviación estándar es de 2,9 años.

A) [7,85 ± 1,64 ∙2,9

100√2]

B) [7,85 ± 1,96 ∙2,9

√2]

C) [7,85 ± 1,96 ∙2,9

10√2]

D) [7,85 ± 1,96 ∙29

100√2]

E) [78,5 ± 1,96 ∙29

100√2]

1257) En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para

estimar su temperatura media. La media de la muestra ha sido 37,1°C y la desviación

estándar de la población, 1,04°C. ¿Cuál de los siguientes representa intervalo de

confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99%?

A) [64 ± 2,58 ∙37,1

√1,04]

B) [37,1 ± 0,3354]

C) [37,1 ± 2,58 ∙1,04

64]

D) [37,1 ± 2,58 ∙64

1,04]


414

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1258) Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de la batería de un

modelo de juguete electrónico se elige una muestra aleatoria de 36 juguetes de ese

modelo y se obtiene una duración media de 97 horas. Sabiendo que la duración de la

batería de los juguetes electrónicos de ese modelo se distribuye normalmente con una

varianza de 100 horas, encuentra el intervalo de confianza del 98% para la duración

media de la batería de los juguetes electrónicos de ese modelo.

A) [97 ±11,6

3]

B) [97 ±232

6]

C) [97 ±11,6

6]

D) [97 ±232

3]


1259) En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatura de los

niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 1,5

cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5

cm. ¿Al menos cuantas personas se deben seleccionar en la muestra?

A) 50

B) 59

C) 60

D) 62


1260) Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95% de una variable

es [6,66; 8,34]. Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para

obtener el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3.

A) La media es 7,5 y el tamaño de la muestra es 49.

B) La media es 7,5 y el tamaño de la muestra es 64.

C) La media es 0,84 y el tamaño de la muestra es 49.

D) La media es 8 y el tamaño de la muestra es 50.


415

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

1261) Una muestra aleatoria de 81 televisores determinó que el intervalo de confianza para

el tiempo promedio (en años) hasta presentar la primera falla fue de [2,113; 2,287]. Se

puede calcular el nivel de confianza de ese intervalo si:

(1) La desviación es de 0,4 años.

(2) El número de televisores que se producen tiene una distribución binomial.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




416

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l


¿Enserio terminaste el libro?

¡¡Felicitaciones!!

min

i-cla

ses

m

ini-cla

ses

m

ini-cla

ses

417

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

5 VIDEOS ENTRETENIDOS

Gauss y su fórmula mágica para sumar números consecutivos.

¿Por qué no me enseñaron esto en el colegio? - Atentado a la intuición!

Trucos matemáticos para mejorar tus finanzas - Interés Compuesto entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

418

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

TRUCO! - multiplicar por 11

¿En qué se parece Mister Chile, una piscina y el ADN?...

La increíble técnica matemática para detectar fraudes !!

EL TRIÁNGULO DE PASCAL: Una de las llaves de la Matemática.

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

419

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

EL LIBRO DE LOS ELEMENTOS. Centro de Estudios Matemáticos.

EL NÚMERO PI: "El Rey de Reyes, el Señor de Señores".

Paradoja de una figura con superficie infinita y espacio finito.

RAMANUJAN: El hombre - el mito.

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

420

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

Los Problemas del Milenio.

¿Sabes por qué no hay Nobel de Matemáticas? Yo te lo cuento.

Matemática y Revolución, la vida de Evariste Galois.

Grigori Perelman, ¡El genio que no quería un millón de dólares!

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

421

w w

w .

m a

u r

o q

u i

n t

a n

a .

c l

w w

w .

d e

s a

f í

o p

s u

. c

l

¿Qué tiene TAU que no tenga PI?

¿Qué son las Derivadas? Te lo cuento todo.

Probabilidades y La Ley de los Grandes Números.

entretenid

o

entretenid

o

entretenid

o

424

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 1 E 46 D 91 E 136 E 181 A 226 D 271 D

2 E 47 A 92 D 137 A 182 B 227 C 272 C3 B 48 E 93 D 138 D 183 B 228 E 273 E4 D 49 C 94 E 139 D 184 C 229 D 274 D5 D 50 C 95 C 140 B 185 C 230 D 275 D6 C 51 C 96 E 141 E 186 D 231 E 276 A7 B 52 E 97 D 142 D 187 B 232 C 277 D8 D 53 B 98 E 143 D 188 A 233 B 278 D9 B 54 B 99 E 144 A 189 B 234 C 279 B10 C 55 C 100 A 145 B 190 B 235 C 280 D11 D 56 C 101 D 146 C 191 C 236 E 281 D12 A 57 D 102 C 147 B 192 D 237 C 282 C13 C 58 C 103 B 148 B 193 C 238 E 283 B14 D 59 A 104 C 149 C 194 D 239 E 284 D15 D 60 D 105 D 150 D 195 E 240 C 285 D16 E 61 E 106 A 151 D 196 B 241 C 286 C17 D 62 D 107 B 152 B 197 D 242 E 287 E18 C 63 B 108 C 153 D 198 B 243 C 288 B19 B 64 C 109 A 154 E 199 C 244 C 289 B20 D 65 A 110 E 155 D 200 C 245 E 290 D21 E 66 B 111 C 156 B 201 C 246 A 291 A22 B 67 C 112 D 157 D 202 D 247 E 292 A23 E 68 E 113 B 158 B 203 B 248 C 293 E24 E 69 A 114 B 159 C 204 B 249 A 294 C25 B 70 D 115 C 160 A 205 D 250 C 295 C26 A 71 E 116 D 161 E 206 D 251 B 296 B27 C 72 E 117 D 162 C 207 D 252 E 297 C28 B 73 D 118 C 163 A 208 B 253 B 298 D29 A 74 B 119 C 164 C 209 E 254 E 299 B30 A 75 E 120 C 165 C 210 D 255 E 300 C31 E 76 B 121 C 166 C 211 B 256 A 301 C32 E 77 C 122 C 167 D 212 E 257 D 302 C33 E 78 A 123 D 168 C 213 C 258 E 303 A34 C 79 E 124 B 169 A 214 C 259 C 304 D35 D 80 A 125 B 170 C 215 E 260 C 305 D36 B 81 B 126 E 171 B 216 C 261 E 306 D37 B 82 B 127 B 172 B 217 A 262 E 307 B38 D 83 E 128 D 173 E 218 D 263 D 308 C39 E 84 E 129 A 174 B 219 D 264 E 309 B40 D 85 C 130 B 175 E 220 D 265 B 310 D41 C 86 D 131 C 176 C 221 D 266 D 311 A42 A 87 C 132 E 177 B 222 A 267 C 312 D43 D 88 D 133 E 178 E 223 C 268 A 313 B44 B 89 D 134 B 179 A 224 A 269 B 314 C45 C 90 A 135 B 180 E 225 A 270 A 315 C

425

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 316 C 361 C 406 C 451 B 496 E 541 C 586 E

317 E 362 A 407 D 452 C 497 C 542 D 587 D318 B 363 C 408 D 453 C 498 D 543 B 588 D319 C 364 C 409 D 454 B 499 E 544 B 589 A320 D 365 E 410 E 455 B 500 D 545 E 590 C321 A 366 E 411 E 456 B 501 A 546 E 591 E322 A 367 C 412 A 457 E 502 E 547 B 592 B323 B 368 C 413 B 458 D 503 A 548 B 593 A324 A 369 A 414 C 459 C 504 E 549 D 594 D325 C 370 B 415 D 460 B 505 D 550 D 595 D326 E 371 E 416 E 461 C 506 D 551 D 596 B327 E 372 E 417 B 462 A 507 C 552 B 597 C328 C 373 B 418 D 463 A 508 A 553 C 598 E329 D 374 D 419 E 464 B 509 D 554 A 599 B330 C 375 C 420 B 465 A 510 B 555 E 600 D331 C 376 E 421 C 466 A 511 D 556 E 601 E332 C 377 B 422 C 467 D 512 B 557 E 602 C333 D 378 C 423 A 468 C 513 C 558 E 603 C334 D 379 A 424 C 469 D 514 D 559 B 604 D335 E 380 D 425 D 470 D 515 C 560 C 605 E336 D 381 D 426 D 471 E 516 C 561 A 606 D337 D 382 D 427 C 472 B 517 A 562 A 607 D338 D 383 A 428 D 473 D 518 E 563 D 608 C339 D 384 D 429 D 474 C 519 A 564 C 609 A340 A 385 C 430 B 475 A 520 B 565 A 610 E341 E 386 B 431 A 476 C 521 D 566 D 611 E342 B 387 A 432 B 477 D 522 C 567 E 612 D343 D 388 E 433 C 478 C 523 B 568 A 613 A344 B 389 A 434 C 479 B 524 B 569 E 614 E345 B 390 E 435 E 480 E 525 B 570 D 615 D346 D 391 B 436 B 481 C 526 E 571 C 616 A347 D 392 C 437 D 482 C 527 A 572 E 617 D348 B 393 C 438 B 483 A 528 A 573 D 618 B349 E 394 D 439 A 484 C 529 A 574 C 619 E350 E 395 B 440 A 485 C 530 A 575 B 620 C351 B 396 A 441 C 486 A 531 C 576 B 621 D352 E 397 A 442 E 487 D 532 B 577 A 622 B353 E 398 D 443 B 488 A 533 C 578 B 623 A354 A 399 B 444 C 489 C 534 E 579 D 624 D355 E 400 A 445 C 490 C 535 B 580 D 625 D356 D 401 D 446 B 491 D 536 D 581 C 626 D357 D 402 A 447 B 492 D 537 A 582 D 627 B358 C 403 B 448 D 493 D 538 B 583 A 628 C359 A 404 C 449 C 494 B 539 D 584 B 629 A360 C 405 E 450 B 495 A 540 B 585 B 630 E

426

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 631 C 676 A 721 C 766 A 811 D 856 A 901 A

632 A 677 E 722 C 767 D 812 D 857 A 902 B633 A 678 B 723 A 768 C 813 A 858 A 903 D634 D 679 C 724 C 769 E 814 B 859 C 904 A635 E 680 D 725 D 770 B 815 D 860 A 905 B636 C 681 D 726 A 771 D 816 C 861 D 906 B637 E 682 B 727 D 772 C 817 C 862 D 907 C638 C 683 E 728 D 773 B 818 B 863 D 908 D639 D 684 B 729 D 774 A 819 E 864 E 909 C640 E 685 E 730 C 775 D 820 C 865 C 910 A641 B 686 B 731 B 776 D 821 D 866 D 911 B642 D 687 D 732 A 777 C 822 A 867 C 912 E643 B 688 E 733 E 778 D 823 E 868 A 913 C644 D 689 B 734 C 779 B 824 D 869 D 914 D645 C 690 B 735 E 780 D 825 E 870 E 915 C646 D 691 A 736 C 781 D 826 B 871 D 916 C647 D 692 B 737 E 782 C 827 B 872 D 917 B648 E 693 C 738 D 783 C 828 E 873 E 918 E649 A 694 E 739 A 784 D 829 C 874 E 919 E650 E 695 E 740 B 785 C 830 B 875 A 920 C651 B 696 D 741 E 786 E 831 B 876 C 921 E652 A 697 C 742 D 787 D 832 D 877 C 922 D653 C 698 C 743 B 788 E 833 D 878 C 923 E654 C 699 C 744 C 789 C 834 B 879 C 924 B655 D 700 C 745 D 790 E 835 C 880 E 925 E656 B 701 C 746 B 791 D 836 C 881 E 926 E657 B 702 A 747 A 792 A 837 C 882 C 927 E658 D 703 E 748 B 793 E 838 A 883 A 928 B659 B 704 D 749 E 794 B 839 C 884 E 929 B660 D 705 C 750 B 795 C 840 C 885 D 930 E661 A 706 E 751 D 796 D 841 B 886 B 931 D662 B 707 D 752 E 797 A 842 B 887 E 932 D663 D 708 A 753 D 798 B 843 A 888 D 933 E664 D 709 D 754 B 799 D 844 C 889 E 934 B665 E 710 E 755 A 800 D 845 C 890 B 935 C666 D 711 C 756 D 801 C 846 C 891 A 936 E667 B 712 B 757 C 802 B 847 C 892 A 937 D668 D 713 E 758 B 803 D 848 A 893 E 938 D669 D 714 D 759 A 804 A 849 D 894 E 939 C670 D 715 C 760 C 805 A 850 B 895 E 940 B671 D 716 A 761 B 806 B 851 B 896 E 941 B672 C 717 D 762 C 807 D 852 B 897 B 942 C673 D 718 B 763 E 808 C 853 D 898 C 943 C674 D 719 D 764 C 809 E 854 B 899 E 944 A675 B 720 D 765 D 810 B 855 C 900 E 945 E

427

w w

w .

m a

u r

o q

u i n

t a

n a

. c l

w w

w .

d e

s a f

í o p

s u

. c l 946 C 992 C 1038 C 1084 B 1130 B 1176 B 1222 B

947 D 993 D 1039 B 1085 D 1131 B 1177 A 1223 C948 D 994 D 1040 C 1086 D 1132 E 1178 C 1224 C949 C 995 E 1041 C 1087 A 1133 B 1179 A 1225 D950 A 996 E 1042 A 1088 D 1134 D 1180 B 1226 C951 C 997 B 1043 B 1089 D 1135 B 1181 B 1227 A952 D 998 A 1044 D 1090 E 1136 E 1182 E 1228 B953 A 999 A 1045 B 1091 C 1137 A 1183 C 1229 A954 B 1000 B 1046 C 1092 C 1138 E 1184 D 1230 A955 B 1001 C 1047 D 1093 C 1139 E 1185 C 1231 C956 E 1002 B 1048 E 1094 D 1140 A 1186 B 1232 E957 C 1003 C 1049 A 1095 D 1141 D 1187 D 1233 A958 D 1004 D 1050 D 1096 A 1142 D 1188 E 1234 D959 C 1005 E 1051 C 1097 E 1143 D 1189 E 1235 B960 E 1006 C 1052 B 1098 B 1144 C 1190 B 1236 D961 D 1007 A 1053 E 1099 D 1145 C 1191 A 1237 C962 C 1008 D 1054 B 1100 E 1146 B 1192 A 1238 D963 C 1009 D 1055 A 1101 B 1147 C 1193 C 1239 A964 B 1010 E 1056 C 1102 E 1148 C 1194 D 1240 E965 C 1011 B 1057 C 1103 C 1149 B 1195 C 1241 A966 D 1012 C 1058 C 1104 D 1150 C 1196 A 1242 C967 E 1013 E 1059 E 1105 B 1151 A 1197 B 1243 E968 B 1014 A 1060 D 1106 E 1152 B 1198 C 1244 D969 C 1015 E 1061 B 1107 B 1153 D 1199 A 1245 E970 C 1016 C 1062 A 1108 D 1154 B 1200 C 1246 A971 E 1017 C 1063 D 1109 A 1155 B 1201 C 1247 B972 C 1018 D 1064 A 1110 C 1156 E 1202 C 1248 C973 A 1019 A 1065 C 1111 D 1157 C 1203 A 1249 C974 B 1020 C 1066 D 1112 A 1158 C 1204 D 1250 B975 D 1021 D 1067 B 1113 B 1159 D 1205 C 1251 D976 D 1022 E 1068 A 1114 B 1160 B 1206 C 1252 A977 E 1023 B 1069 C 1115 A 1161 D 1207 B 1253 A978 C 1024 C 1070 A 1116 D 1162 A 1208 D 1254 A979 B 1025 D 1071 B 1117 C 1163 B 1209 B 1255 B980 E 1026 B 1072 A 1118 A 1164 D 1210 D 1256 A981 D 1027 E 1073 D 1119 B 1165 D 1211 B 1257 C982 A 1028 B 1074 A 1120 A 1166 E 1212 D 1258 B983 D 1029 C 1075 D 1121 E 1167 B 1213 E 1259 A984 D 1030 A 1076 C 1122 C 1168 D 1214 C 1260 C985 C 1031 D 1077 A 1123 B 1169 A 1215 A 1261 A986 E 1032 C 1078 D 1124 B 1170 D 1216 D 1262 A987 B 1033 A 1079 C 1125 A 1171 E 1217 C988 D 1034 B 1080 C 1126 B 1172 B 1218 D989 E 1035 D 1081 E 1127 E 1173 E 1219 A990 E 1036 E 1082 D 1128 A 1174 E 1220 E991 D 1037 A 1083 C 1129 C 1175 A 1221 B

“Las matemáticas se basan en explicación y práctica, para

sentarse y saborearlas. Al igual que las letras, los números

quieren transmitir algo, pero de manera distinta. Al final, los

alumnos entienden que no hay nada difícil”, explica el

profesor Mauro Quintana.

“Mi idea es que las matemáticas estén siempre conectadas

con la realidad. Aquí no hay tecnicismos, sólo historias,

ejemplos y términos cotidianos. Explicar se debe hacer en

fácil. Les hago ejercicios entretenidos porque la memoria es

selectiva y sé que les va a quedar grabado lo que

aprendieron”.

¿No tienes tiempo para

asistir a un Preu?

Prepárate onlinecon la mejor app

Date post:	20-Apr-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	8 times
Download:	0 times

LA Matemáticas...-Redondeo: Consiste en aproximar por exceso si el decimal anterior es mayor o...

Documents