La noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la … · 2012. 6. 18. · Relime...

Relime Vol 8 Nuacutem 1 marzo 2005 pp25-68

La nocioacuten de prediccioacuten Anaacutelisis y propuesta didaacutectica para la educacioacuten universitaria

Josefina Marta Marcolini Bernardi

F Javier Perales Palacioslowastlowast

RESUMEN

Este artiacuteculo discute el fundamento teoacuterico de una propuesta didaacutectica Parte de la consideracioacuten de que las dificultades en el proceso de aprendizaje de la matemaacutetica entre los estudiantes universitarios de las aacutereas de ciencias e ingenieriacutea no soacutelo obedecen a causas de orden pedagoacutegico o teacutecnico al momento de transmitir conocimientos sino fundamentalmente en la manera en que se selecciona articula y organiza el saber matemaacutetico con fines didaacutecticos Se piensa como problema didaacutectico el concerniente a la determinacioacuten del queacute ensentildear no del coacutemo ensentildear (postura claacutesica positivista) Tal buacutesqueda ha permitido formular una conjetura plausible es posible reconstruir el discurso didaacutectico de una parte del anaacutelisis matemaacutetico tomando como idea central a la nocioacuten de prediccioacuten en sus viacutenculos con la serie de Taylor En otro sentido dicha hipoacutetesis sentildeala que es posible redisentildear el curriacuteculum y su discurso didaacutectico en torno a aquello que fue indispensable en la geacutenesis del conocimiento Por ellos los autores centran su atencioacuten en la serie de Taylor sus antecedentes motivaciones situaciones contextuales evoluciones temporales presentaciones en textos claacutesicos y posibilidades de uso ndashalgunas auacuten inexploradasndash en los textos actuales El trabajo proveyoacute de la base teoacuterica que sustentoacute una investigacioacuten doctoral en el campo de la didaacutectica de la fiacutesica en Espantildea PALABRAS CLAVE Socioepistemologiacutea idea germinal variacional prediccioacuten

The notion of prediction Analysis and didactic offer for the university education

ABSTRACT

This paper discusses the theoretical basis of a didactic proposal It begins from the consideration that the difficulties in the learning process of mathematics among university students of sciences and engineering areas not only obey to causes of pedagogical or technical order but fundamentally in the way in which the mathematical knowledge is selected articulated and organized with didactical aims We considered then that the determination of what to teach and not only how to teach -positivist classic posture is a didactic problem This search has allowed us to formulate

Fecha de recepcioacuten septiembre de 2004 Departamento de Matemaacuteticas Aacuterea Matemaacutetica Aplicada Universidad de Jaeacuten Espantildea lowastlowastDepartamento de Didaacutectica de las Ciencias Experimentales Facultad de Ciencias de la Educacioacuten Universidad de Granada Espantildea

a reasonable gtconjecture it is possible to reconstruct the didactic discourse of a part of the mathematical analysis taking as a central idea the prediction notion gtand its links with the Taylors serie In another sense this hypothesis indicates that it is possible to redesign the curriculum and its didactic discorse around of that we considered was indispensable for the genesis of the knowledge We will consider to the Taylors serie its contextual antecedents motivations situations temporary evolutions presentations on classic texts and possibilities of use some still unexplored in current texts The article provided with the theoretical base that sustained a Doctoral research in the field of Physics Didactis in Spain KEYWORDS Socioepistemology germinal idea variational prediction

A noccedilatildeo de prognoacutestico Anaacutelise e proposta didaacutetica para a educaccedilatildeo universitaacuteria

RESUMO

Neste artigo se discute a fundamentaccedilatildeo teoacuterica de uma proposta didaacutetica Parte da consideraccedilatildeo de que as dificuldades no processo de aprendizagem da matemaacutetica entre os estudantes universitaacuterios das aacutereas de ciecircncias e engenharia natildeo soacute obedece a causas de ordem pedagoacutegica ou teacutecnicas no momento de transmitir conhecimentos mas fundamentalmente na maneira em que se seleciona articula e organiza o saber matemaacutetico com fins didaacuteticos Pensamos entatildeo como problema didaacutetico o que concerne a determinaccedilatildeo do que eacute ensinar e natildeo soacute de como ensinar ndash postura claacutessica positivista Esta busca nos tem permitido formular uma conjectura plausiacutevel eacute possiacutevel reconstruir o discurso didaacutetico de uma parte da anaacutelise matemaacutetica tomando como ideacuteia central a noccedilatildeo de prediccedilatildeo e seus viacutenculos com a seacuterie de Taylor Em outro sentido esta hipoacutetese destaca que eacute possiacutevel reelaborar o curriacuteculo e seu discurso didaacutetico em torno daquilo que consideramos o que resultou indispensaacutevel na gecircnese do conhecimento Nos ocuparemos da seacuterie de Taylor seus antecedentes motivaccedilotildees situaccedilotildees contextuais evoluccedilotildees temporais apresentaccedilotildees nos textos claacutessicos e possibilidades de uso algumas ainda inexploradas nos textos atuais O artigo vem da base teoacuterica que sustentou uma pesquisa de doutorado no campo da didaacutetica da fiacutesica na Espanha PALAVRAS CHAVE Socioepistemologia ideacuteia germinal variacional prediccedilatildeo

La notion de preacutediction Analyse et proposition didactique pour lrsquo eacuteducation universitaire

REacuteSUMEacute

Dans cet article on discute les fondements theacuteoriques drsquo une proposition didactique On part de la consideacuteration suivante les difficulteacutes dans le procegraves drsquo

apprentissage en matheacutematiques entre les eacutetudiants universitaires dans les domaines des sciences et du geacutenie ne sont pas seulement de lrsquoordre peacutedagogique ou technique au moment de transmission des connaissances mais fondamentalement dans la faccedilon ougrave le savoir matheacutematique est seacutelectionneacute articuleacute et organiseacute au propos didactique On considegravere alors comme problegraveme didactique celui de la seacutelection des mateacuteriaux drsquo enseignement et pas seulement la faccedilon dont ont enseigne ndashposture classique positiviste Cette recherche nous a permis de formuler une conjecture plausible il est possible de reconstruire le discours drsquo une partie de lrsquo analyse matheacutematique en prenant comme ideacutee central la notion de preacutediction dans les liens associeacutes avec la seacuterie de Taylor En autre sens cette hypothegravese indique qursquo il est possible de redessiner le curriculum et son discours didactique autours du quel nous avons consideacutereacute indispensable la genegravese des connaissances On srsquo occupera de la seacuterie de Taylor ses anteacuteceacutedants motivations situations contextuelles eacutevolutions temporaires preacutesentations en textes classiques et ses possibiliteacutes drsquo utilisation certaines drsquo elles encore inexploreacutees Cet article a preacutevu dans la base theacuteorique soutenue une recherche doctorale reacutealiseacutee dans le domaine de la didactique de la physique en Espagne MOTS CLEacuteS Socioepistemologie ideacutee germinale variationnel preacutediction

1 INTRODUCCIOacuteN Entre los aspectos que caracterizan a la ensentildeanza de la matemaacutetica y de los procesos de matematizacioacuten de las ciencias consideramos en particular la ensentildeanza y el aprendizaje del caacutelculo infinitesimal dado que ocupa un lugar privilegiado en la educacioacuten superior Los viacutenculos que guarda tanto con la matemaacutetica elemental como con la avanzada asiacute como el papel que desempentildea en el resto de las ciencias lo convierten en un conjunto de saberes con valor teoacuterico y empiacuterico considerables el cual es indispensable en dicho nivel educativo Tradicionalmente la ensentildeanza de las ciencias baacutesicas en los primeros cursos de instruccioacuten universitaria asigna un papel formativo puramente teoacuterico a asignaturas como matemaacuteticas y fiacutesica en titulaciones como Ingenieriacuteas Teacutecnicas licenciaturas en Ciencias Experimentales u otros estudios cientiacutefico-teacutecnicos Por ello la metodologiacutea docente consiste en la explicacioacuten de un largo temario bajo la modalidad de clases magistrales donde el estudiante suele ser considerado como un sujeto pasivo que asimila ideas de ldquoforma naturalrdquo mediante el estudio de apuntes de clase y textos escolares Aunque los problemas de la educacioacuten en matemaacuteticas son muchos y muy dispares la ensentildeanza del caacutelculo ha sido reconocida como una de las fallas mayores en la educacioacuten superior (Artigue 1998 Steen 1987) Internacionalmente las investigaciones hechas sobre la didaacutectica del caacutelculo han abarcado un amplio espectro Si se lleva a cabo una revisioacuten extensa de las fuentes observamos que en su mayoriacutea no consideran que el discurso matemaacutetico escolar[1] sea susceptible de modificaciones pertinentes confirieacutendole en consecuencia un cierto caraacutecter de inmutabilidad a los conceptos y procesos matemaacuteticos en cuestioacuten (Cantoral 2001 Farfaacuten 1997) Por otra parte hay una creencia generalizada de que el aprendizaje uacuteltimo del caacutelculo debe poner eacutenfasis en los aspectos tradicionalmente formales de la disciplina marginando la intuicioacuten y los aspectos heuriacutesticos que en conjunto generan la construccioacuten del

conocimiento (Tall y Vinner 1981) La ensentildeanza de las matemaacuteticas en Espantildea especialmente en el nivel universitario se caracteriza por un deductivismo exagerado un exceso de formalizacioacuten y generalizacioacuten y una presentacioacuten centradas en ellas mismas sin referencia a otras ciencias (Cantoral y Reseacutendiz 2003 Cubillo y Ortega 2002 Cantoral y Farfaacuten 1998 Nuacutentildeez y Font 1995) Sin embargo gran parte de los descubrimientos en matemaacuteticas han sido resultado del desarrollo de determinadas teacutecnicas en contextos concretos que se relacionan con otras praacutecticas de referencia como es el caso del caacutelculo infinitesimal asociado con la mecaacutenica en los trabajos de Newton Por ello la escasa presencia de uniones en el aacutembito de la ensentildeanza de las matemaacuteticas con otras disciplinas cientiacuteficas y tecnoloacutegicas puede privarla de sus caracteriacutesticas baacutesicas desde el punto de vista cientiacutefico haciendo maacutes difiacutecil su asimilacioacuten para los estudiantes (Saacutenchez Garciacutea y Saacutenchez-Peacuterez 1999) Otro problema en la comprensioacuten de los conceptos y teoriacuteas cientiacuteficas reside en la descontextualizacioacuten Gran parte de los investigadores en didaacutectica de las ciencias reconoce que es una de las dificultades en la ensentildeanza durante los primeros cursos de las universidades espantildeolas (Nuacutentildeez y Font 1995 Gil et al 1991 Saacutenchez Garciacutea y Saacutenchez-Peacuterez 1999) En esta investigacioacuten diferimos de algunas posturas ya que partimos de la base de que aquello que actualmente se ensentildea a los alumnos en el aula no logra transmitirles ideas matemaacuteticas para encarar los problemas que plantea el campo de las ciencias experimentales Tal premisa nos ha llevado a realizar una propuesta diferente apoyada en la recuperacioacuten de los significados inherentes al concepto y las intuiciones primarias del sujeto que le permitan acceder al concepto aunque provengan de diversas fuentes de referencia Un enfoque asiacute es conocido actualmente como socioepistemoloacutegico (Cantoral y Farfaacuten 2004 Buendiacutea y Cordero 2005) Queremos rescatar en alguacuten sentido la idea baacutesica que propusieron hace algunos antildeos los integrantes del Grupo Zero (Azcaacuterate 1990) la cual afirmaba que la ensentildeanza de las matemaacuteticas deberiacutea fundamentarse en la relacioacuten dialeacutectica existente entre las matemaacuteticas como instrumento de conocimiento y como objeto de conocimiento Azcaacuterate sentildeala que el caraacutecter de los programas vigentes (exhaustivos excesivamente formales y totalmente separados de la vida cotidiana y de los planes de otras materias) asiacute como la propia estructura de los estudios ha inducido una ensentildeanza de las matemaacuteticas en la que se ha descuidado su papel como instrumento de conocimiento De igual manera una ensentildeanza de las matemaacuteticas como ldquoobjeto de conocimientordquo ha resultado tambieacuten distorsionada por el caraacutecter de estos mismos programas pensados casi exclusivamente en funcioacuten de las necesidades de los niveles de ensentildeanza superior dejando poco espacio a la reflexioacuten sobre las propias matemaacuteticas su contenido meacutetodos y evolucioacuten Estas reflexiones hechas por expertos en la ensentildeanza para el nivel medio tienen mucho en comuacuten con aqueacutellas a las que nosotros tambieacuten hemos llegado por caminos diferentes y son aplicables a nuestro contexto la ensentildeanza en los primeros cursos universitarios dentro de las Facultades de Ciencias Experimentales y las Escuelas Politeacutecnicas de Espantildea

Asimismo este trabajo propone un cambio en la centracioacuten Asiacute en vez de estudiar coacutemo llevar al alumno hacia un discurso teoacuterico inmoacutevil caracterizado por su excesivo formalismo y rigor expone una forma diferente de mostrar el saber ensentildeado a partir de las intuiciones que dieron origen a los diversos conceptos del caacutelculo Para ello nos apoyamos en un estudio de Cantoral (1995) sobre el desarrollo de la serie de Taylor donde parte del antecedente inmediato a dicha serie el binomio de Newton con exponentes racionales seguacuten la forma en que originalmente la concibioacute el mismo Newton (la importancia que tiene en este caso el teorema del binomio es como herramienta de conocimiento para construir la serie de Taylor) Luego Cantoral presenta las contribuciones que relacionadas con la serie de Taylor hiciera LrsquoHocircspital en su texto de caacutelculo De tal contribucioacuten interesa la identificacioacuten graacutefica de los diferenciales sucesivos de una variable continua ya que con ella es posible concebir a la serie de Taylor en una variable como una expresioacuten que se presenta en el problema de estimar el valor de una ordenada proacutexima a otra conocida A continuacioacuten se presentan los trabajos de Taylor y de MacLaurin en los que desarrollan la serie y las condiciones para la localizacioacuten de maacuteximos y miacutenimos Estas razones permiten afirmar que asiacute se tiene a la serie de Taylor para una variable construida mediante procedimientos ausentes en los textos actuales Por todo ello haremos uso de elementos tales como la visualizacioacuten la prediccioacuten el reconocimiento de patrones el recurso de la analogiacutea la induccioacuten los diversos modos de validacioacuten y todo aquello que permitioacute en alguacuten momento de la elaboracioacuten del conocimiento construir y transmitir informacioacuten socialmente uacutetil y que hoy puede estar omitida en la ensentildeanza Es decir queremos reconocer y usar aquellas ideas germinales[2] para poder explorar su funcioacuten en el contexto actual Un recorrido por las ideas que han incidido en la historia de las ciencias muestra la estrecha relacioacuten entre las ciencias experimentales y las matemaacuteticas siendo notorio coacutemo aqueacutellas han servido de motor para el desarrollo de una parte de las matemaacuteticas Podemos afirmar que a lo largo de la historia de la humanidad el conocimiento de la naturaleza realizado por las ciencias experimentales y el desarrollo de su lenguaje que es el de las matemaacuteticas ha contribuido enormemente al desarrollo tecnoloacutegico 11 Problema didaacutectico Estamos acostumbrados a considerar los fenoacutemenos de cambio como hechos cotidianos Los fiacutesicos por ejemplo usan ideas y procesos matemaacuteticos para investigar el movimiento de los planetas la desintegracioacuten de sustancias radioactivas la velocidad de las reacciones quiacutemicas las corrientes oceaacutenicas o los patrones meteoroloacutegicos Los ecoacutelogos exploran los patrones de contaminacioacuten y los cambios en las poblaciones que implican complejas relaciones entre las especies En aacutereas como la economiacutea la medicina o la poliacutetica se usan modelos matemaacuteticos en los que la clave del estudio recae en la nocioacuten de cambio Asiacute el estudio del cambio nos conduce a la nocioacuten de variacioacuten cuyo anaacutelisis se lleva a cabo por medio del caacutelculo diferencial e integral Si se recurre a esta visioacuten podremos replantear el estudio de algunos elementos del caacutelculo y contribuir a la reconstruccioacuten del discurso matemaacutetico escolar Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas en general y del caacutelculo en particular inhiben las ideas variacionales entre los alumnos El sistema de ensentildeanza no promueve el estudio y anaacutelisis de la variabilidad de fenoacutemenos sujetos al cambio donde la funcioacuten

encontrariacutea una especial significacioacuten estrechamente ligada a sus oriacutegenes epistemoloacutegicos (Ruiz 1994) ni tampoco favorece el desarrollo de un pensamiento y un lenguaje variacional (Cantoral y Reseacutendiz 2003 Dolores et al 2002) Un anaacutelisis sobre manuales de caacutelculo arrojoacute que la serie de Taylor (ver anexo) se estudia maacutes como un asunto de convergencia ya se trate de residuo de orden de magnitud o de error Esto pone de relieve que la nocioacuten de prediccioacuten que originalmente era descrita por la serie ha sido desplazada de la ensentildeanza actual Se opera una especie de predacioacuten de una idea la convergencia por sobre otra la prediccioacuten lo cual obedece a un fenoacutemeno de transposicioacuten Didaacutectica (Cantoral 2001)[3] Esta consideracioacuten acerca de la idea de prediccioacuten y de la nocioacuten de convergencia en su relacioacuten con la serie de Taylor se presenta como una dificultad de naturaleza didaacutectica lo cual se pone de manifiesto cuando se pretende trabajar una didaacutectica sustentada en los fenoacutemenos ndashcomo seriacutea deseablendash para la formacioacuten que se imparte a estudiantes de las licenciaturas enmarcadas dentro de las ciencias experimentales y la ingenieriacutea Debemos tener en cuenta tambieacuten que la nocioacuten de prediccioacuten resulta ser una de las caracteriacutesticas esenciales de las teoriacuteas fiacutesicas (Holton 1979 pp51-53) Para centrar nuestra atencioacuten en el movimiento en la naturaleza debemos plantear estrategias que nos permitan describir su evolucioacuten entendida como el pasaje sucesivo entre estados primarios y secundarios Como ello precisa de la determinacioacuten de los aspectos que caracterizan a los estados y a los traacutensitos sucesivos tambieacuten plantea la necesidad de establecer el conjunto de variables que en mutua dependencia se relacionan en el fenoacutemeno Ademaacutes hay que reconocer aquellos aspectos invariables asociados a los fenoacutemenos de movimiento en la naturaleza los cuales suelen descansar en la naturaleza misma del movimiento en la forma en que se alteran las variables Este fue el meacuterito de las estrategias de estudio del movimiento que se conocen bajo el nombre de la constantificacioacuten ya que al analizar los cambios sucesivos de las variables asociadas al fenoacutemeno son identificadas como constantes Asimismo permite buscar la relacioacuten de dependencia funcional ya no entre las variables en siacute ndashlo cual es el objetivo del estudiondash sino tambieacuten entre sus sucesivas variaciones instantaacuteneas pues soacutelo mediante esas ecuaciones habremos de recobrar la primera relacioacuten entre las variables Si deseamos conocer la variacioacuten de es decir )(xf )( hxf + el problema se centra en conocer el desarrollo en serie que tiene dicha expresioacuten Ahora bien en teacuterminos del modelo didaacutectico para la ensentildeanza de la fiacutesica y de las matemaacuteticas esta investigacioacuten da a conocer la aproximacioacuten sugerida desde los trabajos de Newton donde la serie es un recurso de simplificacioacuten y al mismo tiempo un meacutetodo de descubrimiento aplicable al estudio de los fenoacutemenos que fluyen continuamente con el transcurso del tiempo De ahiacute que Newton reflexionara sobre la velocidad de cambio de las magnitudes estudiadas y llamara mi meacutetodo a la asociacioacuten entre el manejo de las series infinitas (potencias) con el estudio de la velocidad de cambio de las que a su vez se sirve para determinar la propia cantidad que fluye en el transcurso del tiempo Del mismo modo hallamos en el eacutexito del caacutelculo diferencial de LrsquoHocircspital la idea de diferencial en que aumenta o disminuye la variable Y asiacute buscando la relacioacuten entre los aumentos o disminuciones sucesivas de la variable se aproxima a la expresioacuten en serie que antildeos maacutes tarde Taylor utilizara de nuevo

Centraacutendonos un poco en la presentacioacuten que Taylor hiciera de su serie vemos expresada sutilmente la nocioacuten de la serie como instrumento de prediccioacuten De este modo si conocemos el estado inicial de la magnitud a estudiar es decir la ordenada y sus variaciones sucesivas es posible predecir el comportamiento del estado vecino con la ayuda del meacutetodo de los incrementos finitos (Cantoral 1995) Esta forma de exposicioacuten donde la expresioacuten de la serie contiene intriacutensecamente un significado propio de las ciencias fiacutesicas es lo que la hace una construccioacuten natural en una vasta diversidad de fenoacutemenos Como tal esquema se maneja en diversos contextos es usual hallar argumentos del siguiente tipo ldquosi representa un cierto paraacutemetro fiacutesico en un instante dado de tiempo un instante despueacutes

qt dtt + este paraacutemetro seraacute q+dqrdquo Sin

embargo estaacute ausente en los toacutepicos transmitidos en la ensentildeanza escolar del caacutelculo Este acercamiento al estudio de la serie de Taylor se caracteriza por una idea principal la prediccioacuten A esta presentacioacuten la ubicaremos dentro de lo que llamaremos paradigma newtoniano que se apoya en los fenoacutemenos de naturaleza fiacutesica de flujo La idea de prediccioacuten se refiere al estudio de la cuantificacioacuten de las formas variables en la naturaleza partiacuteculas moacuteviles cuerpos terrestres y celestes y naturalmente los fenoacutemenos de flujo continuo En este ambiente la pregunta planteada indaga en el comportamiento del estado vecino sobre la base de datos que aporta el estado de hecho (Cantoral 1990 p 200)

Figura 1 Planteamiento del problema de prediccioacuten

El planteamiento produce como respuesta la expresioacuten

f(x0+h) = f(x0) + frsquo(x0) h + frsquorsquo(x0) h22 + frsquorsquorsquo(x0) h33 + hellip

donde se conocen los datos iniciales x0 h f(x0) frsquo(x0) frsquorsquo(x0) frsquorsquorsquo(x0) y es necesario encontrar el valor de f(x0+h) como ilustra la Figura 1 Con estas consideraciones la serie de Taylor se expresa de la siguiente forma Si p representa cierto paraacutemetro fiacutesico en el instante (t) un momento despueacutes (dt) dicho paraacutemetro seraacute p + dp Si se conoce el estado inicial del fenoacutemeno esto es f(0) frsquo(0) frsquorsquo(0) se tiene que un instante despueacutes

f(t) = f(0) + frsquo(0) t + frsquorsquo(0) t22 + frsquorsquorsquo(0) t33 +

En los libros de fiacutesica e ingenieriacutea es frecuente hallar este tipo de ideas que estaacuten vinculadas estrechamente a las nociones precauchianas de la serie de Taylor Su conceptualizacioacuten requiere que la serie sea pensada como un instrumento de prediccioacuten no como un objeto de convergencia tal como aparece en los manuales de matemaacuteticas Vamos a trabajar en un ejemplo Sabemos que las ecuaciones de la cinemaacutetica para el movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado tienen la forma siguiente

s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

Para deducir estas ecuaciones seguacuten hemos visto en distintos textos escolares se recurre a argumentos tiacutepicos como el geomeacutetrico el algebraico y el de caacutelculo integral Este acercamiento convencional posee el defecto de concebirse como un mero recurso aislado sin conexioacuten con el resto de los problemas ni en concepcioacuten ni en ejecucioacuten Nuestra propuesta consiste en plantearlo bajo la consideracioacuten de que pretendemos encontrar una relacioacuten que permita determinar la dependencia entre las variables asociadas en su estado inicial Esto es establecer

s = s(s0 v0 a t0 t) En tanto que se trata de un problema de prediccioacuten pensamos en el fenoacutemeno de movimiento y lo representamos por su instrumento natural de conocimiento la serie de Taylor Asiacute el valor futuro de la posicioacuten estaraacute dado por

s(t) = s(0) + srsquo(0) t + srsquorsquo(0) t22 + srsquorsquorsquo(0) t33 + hellip

Pero s(0) = s0 srsquo(0) = v0 srsquorsquo(0) = a srsquorsquorsquo(0) = 0 y como suponemos que esta uacuteltima igualdad se da para cualquier tiempo ndashporque la aceleracioacuten es una constantendash entonces srsquorsquorsquo(0) = 0 siv(0) = 0 = 0 De ahiacute que

s(t) = s0 + v0 t + a t22

Asiacute se procede para determinar v(t) y a(t) es decir

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

Para estudiar el caso del movimiento con aceleracioacuten variable tenemos

Pero s(0) = s0 srsquo(0) = v0 srsquorsquo(0) = a0 srsquorsquorsquo(0) = a1 Como suponemos que esta uacuteltima igualdad se da para cualquier tiempo es decir la a1 es una constante entonces siv(0) = 0 sv(0) = 0 = 0 De ahiacute que

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

2 LA EPISTEMOLOGIacuteA DE LOS OBJETOS MATEMAacuteTICOS INVOLUCRADOS EN LA INVESTIGACIOacuteN Consideremos el binomio de Newton que se escribe por vez primera como ( )n

mPQP +

no como Sentildeala Cantoral (1998) que las expresiones aunque equivalentes matemaacuteticamente son distintas conceptualmente debido a una concepcioacuten alternativa que se apoya en una epistemologiacutea sensiblemente diferente de la que hoy ensentildeamos en clase De hecho sostiene que ella obedece a un programa emergente en aquella eacutepoca una alternativa en el campo de las ciencias que busca modelar anticipar o predecir fenoacutemenos naturales con el respaldo matemaacutetico

nba )( +

En ciertas situaciones necesitamos conocer el valor que tomaraacute una magnitud B con el paso del tiempo Sabemos por ejemplo que B depende a su vez de otra magnitud P que fluye incesantemente De modo que si P evoluciona de una cierta manera la cuestioacuten central consiste en saber coacutemo seraacute B(P) si conocemos el inicio de P el cambio que sufre P el cambio del cambio de P etceacutetera Pero el caso de mayor intereacutes se presenta cuando no se dispone en forma expliacutecita de la relacioacuten entre B y P Aquiacute habraacute que hacer emerger progresivamente una nueva nocioacuten que permita de alguacuten modo la generacioacuten de la solucioacuten considerando tanto la diversidad de contextos en los que puede suceder la variacioacuten como la variedad de fenoacutemenos estudiados con estrategias similares En su momento este programa newtoniano de investigacioacuten llevoacute al surgimiento de una progresiva cadena de elaboraciones teoacutericas cada vez maacutes abstractas que culmina por asiacute decirlo en el programa de Lagrange (Cantoral 1990 y 2001) Esta nueva nocioacuten la prediccioacuten se construye socialmente a partir de las vivencias cotidianas de los individuos ya que en ciertas situaciones necesitamos conocer el valor que tomaraacute una magnitud con el paso del tiempo Se requiere determinar entonces el valor que asumiraacute la variable dependiente antes de que la independiente pase del estado uno al dos Sin embargo a causa de nuestra imposibilidad de adelantar el tiempo a voluntad debemos predecir en tal caso no disponemos de razones para creer que el verdadero valor buscado esteacute distante de las expectativas que nos generan los valores en un inicio de la forma en que cambian y evolucionan sus transformaciones y asiacute sucesivamente Por ejemplo el flujo de agua se induce por la presencia de una diferencia de presioacuten en sitios vecinos )()( xpdxxp minus+ que en caso de ser nula indicaraacute equilibrio y por tanto ausencia de movimiento en caso contrario anuncia la presencia del flujo el cual habraacute de darse en alguna direccioacuten preferencial Anaacutelogamente la propagacioacuten del calor se determina por la presencia de una diferencia efectiva de temperaturas en puntos proacuteximos )()( xTdxxT minus+ La transferencia de calor a un cuerpo obedece a la accioacuten de la diferencia neta de la variacioacuten de la temperatura en puntos vecinos La naturaleza de los fenoacutemenos de flujo sentildeala la necesidad de estudiar expresiones del

tipo donde puede representar una amplia gama de paraacutemetros fiacutesicos particulares Esta diferencia fundamental es el instrumento cognitivo por excelencia y participa de la naturaleza del fenoacutemeno La manera de anunciar su valor es proporcionada por el ambiente fiacutesico donde tiene lugar el fenoacutemeno y estaraacute completamente determinada por el comportamiento de sus variaciones en el punto x

)()( xfdxxf minus+ f

3)(

2)()()()(

32

+++=minus+hxfhxfhxfxfhxf

En nuestra opinioacuten estos hallazgos favorecen la discusioacuten y elaboracioacuten de propuestas que traten sobre el queacute ensentildear y no ndashcomo ha sido habitualndash sobre coacutemo ensentildear A manera de siacutentesis nuestra liacutenea de investigacioacuten toma como objeto de estudio la socioepistemologiacutea de los saberes matemaacuteticos e incluye las intuiciones primarias del alumno con el fin de redisentildear el discurso matemaacutetico escolar (Cantoral y Farfaacuten 1998) 21 La idea germinal relativa a la nocioacuten de funcioacuten analiacutetica Al iniciar esta investigacioacuten tuvimos en cuenta una revisioacuten histoacuterica de las ideas que nos permitiera establecer la fenomenologiacutea intriacutenseca del concepto de serie de Taylor en su geacutenesis (Cantoral 1989) y en cuanto a la didaacutectica de antantildeo (Cantoral 1995) En dicha revisioacuten identificamos que la nocioacuten de prediccioacuten en los fenoacutemenos de flujo continuo en la naturaleza se ubicoacute como la base de significacioacuten primaria para el concepto matemaacutetico de serie de Taylor Un proceso de naturaleza simbioacutetica permitioacute el traacutensito de una nocioacuten a otra entre dominios cientiacuteficos contiguos como la prediccioacuten propia de las ciencias experimentales y lo analiacutetico de la matemaacutetica esta significacioacuten de naturaleza fiacutesica sufre un proceso predador de transposicioacuten didaacutectica que oculta su significacioacuten primera El nuevo paradigma del caacutelculo asigna a la serie la significacioacuten propia de un resultado matemaacutetico es decir aquel que se nutre de la relacioacuten con otros objetos matemaacuteticos (Cantoral 1991) Este anaacutelisis permitioacute reconocer la existencia de dos modelos didaacutecticos para la ensentildeanza del caacutelculo que en cierto sentido coexisten en el discurso escolar contemporaacuteneo Uno es sugerido por los trabajos de Newton Euler y Laplace entre otros donde la expresioacuten de la serie lleva consigo un significado perteneciente a las ciencias experimentales y que se introduce mediante una construccioacuten natural para una gran variedad de problemas El otro se desprende de los trabajos hechos por Cauchy donde las series son un resultado maacutes de la teoriacutea una consecuencia del concepto de liacutemite y del teorema fundamental del caacutelculo Como sabemos bien el segundo esquema estaacute presente en los cursos de caacutelculo actual mientras que el primero aunque se usa en varios contextos no es contemplado en los temas que se imparten en la ensentildeanza secundaria no en la universitaria A continuacioacuten consideremos un problema matemaacutetico que se planteoacute hacia el uacuteltimo decenio del siglo XVIII y fue resuelto en el primer tercio del XIX iquestEs posible representar cualquier funcioacuten real de variable real mediante una serie de potencias Dada una funcioacuten f iquestexisten coeficientes ai reales tales que sum == 10)( ixaxf i

i Lagrange argumentoacute que siacute era posible mientras que Cauchy mostroacute que no

Hacia el ocaso del siglo XVIII se generalizoacute la discusioacuten sobre los principios del caacutelculo diferencial o como era habitual entonces sobre la metafiacutesica del caacutelculo infinitesimal En esta atmoacutesfera surgieron las propuestas de DrsquoAlembert con su definicioacuten de liacutemite y el estudio de los coeficientes finitos de los elementos infinitesimales la de Carnot sobre la idea de la compensacioacuten de errores y la de Lagrange sustentada en el desarrollo en series de potencias de las funciones Nos detendremos en esta uacuteltima por el uso que hace de la serie de Taylor ya que desde la perspectiva de nuestro trabajo resulta indispensable desentrantildear los argumentos que hicieron posible tal programa (Lagrange 1797) En el primer capiacutetulo de Theorie des fonctions analityques Lagrange explica la forma en que se obtiene el desarrollo en series de potencias de una funcioacuten Si se toma a la funcioacuten y se incrementa de )(xf x a hx + donde h es una cantidad cualquiera indeterminada la funcioacuten devendraacute en )( hxf + Por la teoriacutea de series se tendriacutea

donde es la funcioacuten primitiva y etc )()( 32 ++++=+ rhqhphxfhxf )(xf rqp las funciones derivadas de la primitiva A continuacioacuten argumenta que excluye los

teacuterminos de la forma nm

uh en la serie porque dariacutean distintos valores para el sumando del cual forman parte y al combinarlo con aquellos valores de surgiriacutea una contradiccioacuten En el siguiente artiacuteculo del mismo capiacutetulo Lagrange observa que

tendraacute por valor a para el valor particular

n)(xf

)( hxf + )(xf 0=h de ahiacute que deba ser de la forma

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

donde P es una funcioacuten tanto de x como de h que no tiende a infinito cuando Lo mismo ocurre para P pues

0rarrhhQpP += donde hQ se anula cuando y es

funcioacuten de 0rarrh Q

x y Asiacute sucesivamente se tendraacute h

)()()()( 322 RhqhhpxfQhhpxfhPxfhxf +++=++=+=+ etc Del desarrollo anterior aclara que para cada caso se proporciona el valor exacto del residuo y soacutelo el nuacutemero de sumandos que se quieran Este comentario asiacute como el paacuterrafo siguiente en el escrito original describen por siacute solos su concepcioacuten en cuanto al uso que se espera tener de la serie y por ende del papel que en ella desempentildea el residuo Consideramos que esta observacioacuten arroja una informacioacuten distinta sobre la evolucioacuten de las concepciones asociadas a la serie de potencias En el artiacuteculo 6 del capiacutetulo mencionado Lagrange fundamenta lo que considera la principal ventaja de su meacutetodo (1797 p 14) que los primeros teacuterminos de las series para valores pequentildeos de las variables dominan al resto de los teacuterminos de la serie

)etc( 32 RhQhPh

En los siguientes capiacutetulos muestra la relacioacuten que guardan rqp con la funcioacuten

adquiriendo entonces la forma en derivadas )(xf

3

)(2

)()( xfxfxf

Finaliza su libro con una gama de aplicaciones en las que efectivamente se observa la

serie truncada en alguacuten sumando Tales argumentos fueron impugnados por otros investigadores A continuacioacuten presentamos a efectos de contraste el acercamiento que hace Cauchy de la serie de Taylor y de su convergencia Cauchy precedioacute al estudio de las series infinitas el anaacutelisis de su convergencia de tal suerte que las series de Taylor seraacuten entonces un ejemplo del estudio de series Las series numeacutericas infinitas son el cuerpo del que se desprenderaacuten entre otras las series de potencias Cauchy rechazoacute la propuesta lagrangiana de fundamentacioacuten del caacutelculo diferencial porque demostroacute la existencia de funciones que aunque su serie de Taylor converge no tienen por liacutemite a la funcioacuten propuesta (Cauchy 1829 p 398) A continuacioacuten ponemos ejemplos de tales funciones

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

Cauchy manifiesta una preocupacioacuten por la convergencia o dicho de otro modo por la garantiacutea del acoplamiento de las graacuteficas del polinomio de Taylor y de la funcioacuten en todo el intervalo centrado en el punto de contacto En el caacutelculo diferencial de Cauchy las series de Taylor se presentan principalmente en el contexto de un teorema son un resultado de la teoriacutea mientras que en la teoriacutea de las funciones analiacuteticas de Lagrange constituyen el punto de partida de todo el desarrollo ulterior Con su teoriacutea Cauchy inaugura el discurso matemaacutetico escolar vigente en nuestros diacuteas sin embargo los libros de texto (Lacroix 1797) continuaron suponiendo durante algunos antildeos despueacutes de sus trabajos que toda funcioacuten era susceptible de desarrollarse en serie Un anaacutelisis profundo sobre los trabajos originales de Lagrange y Cauchy efectuado por Cantoral (1990 1995 2001) ha proporcionado los elementos para un posible redisentildeo del discurso matemaacutetico escolar ya que lejos de calificar a Lagrange de algebrizante o limitado se vio que detraacutes de su epistemologiacutea hay un robusto cuerpo conceptual que podriacutea dar lugar a nuevos acercamientos didaacutecticos los cuales soacutelo seraacuten adecuados a sus fines si muestran que efectivamente pueden vivir entre los estudiantes en situacioacuten escolar En dicho cuerpo conceptual encontramos que la nocioacuten de prediccioacuten de los fenoacutemenos de flujo continuo en la naturaleza se ubicoacute como la base de significacioacuten primaria para el concepto matemaacutetico de serie de Taylor Cuando se pone la atencioacuten en el fenoacutemeno por encima del concepto se trata de buscar la prediccioacuten de la posicioacuten vecina (futura) que se tendraacute una vez que transcurra el tiempo siempre que se posea informacioacuten del estado inicial del movimiento Es decir si se conoce la posicioacuten inicial y la forma en que variacutea con el tiempo entonces el objetivo consiste en predecir el estado vecino con los datos que inicialmente se poseen Asiacute se tiene

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

Es preciso observar la variacioacuten en su conjunto Tal proceso necesariamente debe involucrar un mecanismo que nos permita decidir queacute parte de la informacioacuten total es suficiente para la descripcioacuten satisfactoria del fenoacutemeno Sin lugar a dudas esto exige aceptar la posibilidad de predecir de reconocer que el comportamiento del fenoacutemeno (siempre que mantenga cierta regularidad) posee herencia bastaraacute conocer coacutemo variacutea en un inicio para indicar coacutemo lo haraacute posteriormente Queremos sentildealar que si se trabaja en los fenoacutemenos con el soporte exclusivo de las clases de las funciones analiacuteticas no se pierde nada de lo que el discurso matemaacutetico escolar logra actualmente por el contrario se enriquece sobremanera al tomar como objeto de estudio la base fenomenoloacutegica de los significados de los entes matemaacuteticos a partir de las intuiciones primarias del sujeto (Cantoral 1990 y 2001) La incesante relacioacuten entre el pensamiento fiacutesico y el pensamiento matemaacutetico brinda la oportunidad de contar con elementos ausentes en la matemaacutetica escolar pero presentes en la del periacuteodo histoacuterico correspondiente El objetivo es explorar e investigar la posibilidad de beneficiar las praacutecticas escolares a partir del conocimiento de la naturaleza y funcionamiento de tales relaciones

bull Responder por ejemplo por queacute Lagrange creyoacute en la posibilidad de representar a toda funcioacuten como una serie de Taylor y por queacute auacuten cuando Cauchy proboacute su imposibilidad los textos de matemaacuteticas y las praacutecticas de los cientiacuteficos no excluiacutean de sus cuerpos teoacutericos los acercamientos precauchianos

bull Modificar las praacutecticas sociales de ensentildeanza tomando como elementos los

hallazgos de una cierta epistemologiacutea la cual permite asegurar que las razones de Lagrange para creer que toda funcioacuten podriacutea expresarse como serie de Taylor fueron maacutes profundas que el soacutelo sentildealamiento de su obsesiva visioacuten algebraica como se aprecia en la opinioacuten de Grattan-Guinness (1970)

Esta buacutesqueda permitioacute formular la hipoacutetesis de que es posible reconstruir el discurso didaacutectico del caacutelculo tomando como idea central de su desarrollo a la serie de Taylor En otro sentido dicha hipoacutetesis sentildeala que es posible redisentildear el curriacuteculum y su discurso didaacutectico en torno a aquello que consideramos resultoacute epistemoloacutegicamente indispensable en su geacutenesis Por otra parte cabe esperar de acuerdo con las concepciones constructivistas del aprendizaje (Resnick 1983) que las dificultades en la construccioacuten de las ciencias tengan su correlato en el proceso de aprendizaje En esta investigacioacuten se examinan los mecanismos de construccioacuten de conceptos y procesos matemaacuteticos del caacutelculo infinitesimal orientados por los aspectos del pensamiento fiacutesico de la prediccioacuten en los fenoacutemenos de flujo continuo en la naturaleza Es decir se estudian aquellos mecanismos que operan el traacutensito entre las nociones de prediccioacuten y lo analiacutetico en dominios cientiacuteficos contiguos la prediccioacuten propia de las ciencias experimentales y la funcioacuten analiacutetica peculiar de las matemaacuteticas Para ello

nos basamos en el anaacutelisis que realizoacute Cantoral (1990 y 2001) sobre el concepto de serie de Taylor en su geacutenesis histoacuterica 22 Desarrollo de la propuesta Si los valores de un paraacutemetro son conocidos en un uacutenico sitio espacial o temporal digamos que para un valor ax = iquestcoacutemo podremos saber con estos datos el estado posterior de dicho paraacutemetro es decir en un valor ha + Para ello consideremos la siguiente expresioacuten

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

donde las Ci son las variaciones Es decir

bull C1 = frsquo(a) h es la primera variacioacuten de la funcioacuten

bull C2 = frsquorsquo(a) h22 es la segunda variacioacuten de la funcioacuten o lo que es lo mismo la variacioacuten de la variacioacuten

bull C3 = frsquorsquorsquo(a) h33 es la tercera variacioacuten y asiacute se continuacutea

Si al estado inicial le sumamos las infinitas variaciones tenemos un valor del estado posterior del sistema Para hallar la expresioacuten analiacutetica de la funcioacuten que modela el fenoacutemeno ademaacutes debemos hallar si las hay las regularidades en las variaciones es decir cuaacutendo las variaciones comienzan a tomar valores constantes o cuasiconstantes Por tanto si reescribimos la serie de Taylor presentada en el apartado 21 considerando

queda hax =minus

f(a+h) = f(a) + frsquo(a) h + frsquorsquo(a) h22 + frsquorsquorsquo(a) h33 + hellip + f(n)(a) hnn + de modo que al conocer los valores de inicio a h f(a) frsquo(a) etceacutetera se podraacute anunciar el valor posterior del paraacutemetro en cuestioacuten en este caso se trata del valor de Aquiacute se hace evidente que la serie de Taylor es el instrumento idoacuteneo para predecir el estado posterior del paraacutemetro en fenoacutemenos de flujo continuo en la naturaleza Bajo la metodologiacutea que hemos resentildeado anteriormente analizaremos a continuacioacuten cuatro problemas tiacutepicos sobre la nocioacuten de prediccioacuten

)( haf +

Problema 1 Desde la terraza de un edificio de altura s0 se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0 La razoacuten de cambio de la velocidad se mantiene constante es decir srsquorsquo = - g donde g es la aceleracioacuten de la gravedad Predecir su posicioacuten para cualquier instante t Si se recurre a la idea de prediccioacuten expuesta anteriormente el problema consiste en

hallar el valor posterior en teacuterminos de los datos iniciales t0 s(t0) srsquo(t0) srsquorsquo(t0) srsquorsquorsquo(t0) etc Resulta evidente que como la serie de Taylor puede ser expresada de la forma

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

21))(()()()( tttstttststshts

es el instrumento idoacuteneo para conocer el estado posterior de nuestro paraacutemetro A partir de la ecuacioacuten diferencial que regula el comportamiento entre las variables tenemos que s(t0) = s0 srsquo(t0) = v0 srsquorsquo(t0) = -g srsquorsquorsquo(t0) = 0 Al efectuar el reemplazo en la serie se obtiene

L+++minusminusminus+==+ 00)(21)()()( 2

00000 ttttvstshts

Si entonces adquiere el aspecto 00 =t

200 2

1)( gttvsts minus+=

Problema 2 Supongamos que una cierta poblacioacuten crece de forma que la razoacuten de

crecimiento especifico permanece constante es decir kNN

= Sea N0 el nuacutemero de

individuos en el instante t0 Predecir el tamantildeo de la poblacioacuten para un instante posterior t Con el uso de la serie de Taylor como instrumento de prediccioacuten vamos a hallar el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de un cierto tiempo (t)

L+minus+minus+minus+= 300

200000 ))((

31))((

21))(()()( tttNtttNtttNtNtN

Al ocupar la ecuacioacuten diferencial que nos muestra la relacioacuten entre las variables tenemos que L)()()()( 0

300

200000 NktNNktNkNtNNtN ====

Al hacer el reemplazo en la serie anterior se obtiene

3200

2000 )(

31)(

21)()( ttNkttNkttkNNtN

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

200 L+minus+minus+minus+= ttkttkttkNtN

)(0

0)( ttkeNtN minus=

Problema 3 Centremos nuestra atencioacuten en otro problema de la fiacutesica que tiene innumerables aplicaciones el movimiento armoacutenico simple A traveacutes de un movimiento armoacutenico se puede describir una corriente en un circuito eleacutectrico la concentracioacuten de iones en un plasma o la temperatura de un cuerpo entre otros aspectos

Consideremos el caso de un cuerpo de masa m que cuelga de un muelle vertical como se muestra en la Figura 2

Figura 2 (extraiacuteda de Tipler 1995 p 380) En dicha figura se observa lo siguiente (a) muelle vertical sin deformar (b) el muelle se alarga una cantidad y0 = mgk cuando cuelga de eacutel en equilibrio un objeto de masa m (c) este oscila alrededor de su posicioacuten de equilibrio y = y0 con un desplazamiento

01 yyy minus=En la posicioacuten de equilibrio las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo son

ky0 = mg (1)

Para hallar la ecuacioacuten que regula los cambios sucesivos entre las variables utilizamos la segunda ley de Newton Fma =

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

donde se mide hacia abajo desde la posicioacuten sin deformar del muelle y Podemos reescribir la ecuacioacuten tomando como origen la posicioacuten de equilibrio y = y0

Como y1 y difieren soacutelo en una constante sigue que dtdy

dtdy

=1

Al efectuar el reemplazo en (2) tenemos

mgkykymgyykdt

ydm +minusminus=++minus= 010121

2

)(

Con el uso de (1) obtenemos la ecuacioacuten diferencial deseada

121

2

ymk

dtyd

minus=

A partir de esta ecuacioacuten es posible obtener algunos valores de las derivadas sucesivas de la funcioacuten en puntos particulares Para ello resulta necesario conocer algunos valores

iniciales como )0(1y 01 )( =tdt

dy 02

12

)( =tdtyd

Consideremos que se separa el cuerpo de su posicioacuten de equilibrio en un valor A es decir el desplazamiento toma su valor maacuteximo Ay =)0(1 para el instante t=0 En ese

momento el objeto estaacute en reposo por lo que 0)( 01 ==tdt

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

Debido a que la idea de prediccioacuten permite enunciar el valor futuro de un paraacutemetro soacutelo con los valores de la variable y de sus variaciones en un inicio usaremos la serie de Taylor en teacuterminos de los valores iniciales

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

con lo que obtenemos

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

Al sustituir km = w2 se obtiene[4]

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

Si se observa que la expresioacuten entre pareacutentesis es el desarrollo en serie de entonces se puede escribir

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

Figura 3 El desplazamiento y1 la velocidad v y la aceleracioacuten a en funcioacuten del tiempo t

En la Figura 3 se nota que la aceleracioacuten es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento

Problema 4 Flujo en tuberiacuteas (Ley de Poiseuille) Consideremos una situacioacuten como la de la figura que se presenta a continuacioacuten (Reacutemizov 1991 p 178)

Figura 4 Flujo entre dos placas paralelas

Analizamos aquiacute el flujo de un fluido viscoso comprendido entre dos placas paralelas de aacuterea S La placa inferior tiene una velocidad v0 = 0 y la superior v = vsup El liacutequido que hay entre ellas estaacute dividido en capas que se desplazan unas sobre otras las adyacentes a las placas estaacuten adheridas a ellas y se desplazan con su misma velocidad La capa que se mueve con una velocidad mayor imprime a la capa que tiene menor velocidad una fuerza que acelera el movimiento de esta y viceversa de parte de la capa maacutes lenta se imprime una fuerza sobre la maacutes raacutepida que retarda su movimiento Estas fuerzas que se denominan de rozamiento interno van dirigidas tangencialmente a la superficie de las capas La fuerza de rozamiento interno es proporcional al aacuterea S de las capas de interaccioacuten y seraacute tanto mayor cuanto mayor sea su velocidad relativa La separacioacuten en capas es convencional mientras que la fuerza suele expresarse en dependencia de la variacioacuten de la velocidad referida a la longitud en la direccioacuten perpendicular a la velocidad o sea en funcioacuten de dx

dv que es el gradiente de velocidad (velocidad de

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

Esta es la ecuacioacuten de Newton Aquiacute η es el coeficiente de proporcionalidad al que se conoce como viscosidad y depende tanto del estado como de las propiedades moleculares del fluido Debido a la simetriacutea queda claro que en un tubo las partiacuteculas del fluido equidistantes respecto al eje tienen igual velocidad La mayor velocidad la poseen las partiacuteculas que se mueven a lo largo del eje del tubo la capa de liacutequido maacutes proacutexima al tubo estaacute inmoacutevil Para determinar la dependencia de )(rvv = separemos imaginariamente un volumen ciliacutendrico de liacutequido con cierto radio r y cierta longitud como puede verse en la figura siguiente

l

Figura 5 Volumen ciliacutendrico de radio r y longitud l

Este pequentildeo cilindro se halla en un equilibrio (movieacutendose con velocidad constante) accionado por la fuerza debido a la diferencia de presioacuten entre sus extremos menos la fuerza retardadora de viscosidad que actuacutea en su superficie exterior La primera de dichas fuerzas vale

221

22

21 )( rpprprpF πππ minus=minus=

La fuerza de viscosidad en virtud de la ecuacioacuten de Newton es

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

donde rlS π2= es el aacuterea de la superficie lateral del cilindro Al igualar ambas fuerzas se obtiene

rldrdvrpp πηπ 2)( 2

21 minus=minus

El signo menos en el segundo miembro de la ecuacioacuten se debe a que 0ltdrdv (la

velocidad disminuye con el aumento de r) Por tanto la variacioacuten de v con r viene dada

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

S tenemos en cuenta los valores de frontera ya considerados v(0) = vmaacutex y v(R) = 0 podemos predecir el valor de v(r) a traveacutes de la serie de Taylor de la siguiente manera

v(r) = v(0) + vrsquo(0) r + vrsquorsquo(0) r22 + vrsquorsquorsquo(0) r33 + = vmaacutex ndash Nr22

Como 2

)(2NRvRv magravex minus= de aquiacute obtenemos

ηlRppvmaacutex 4

)(2

21 minus= y por tanto

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

Hemos hallado la velocidad de la corriente del liacutequido en funcioacuten de la distancia al eje del tubo Es decir esta ecuacioacuten muestra la dependencia paraboacutelica de la velocidad con el radio que presentamos en la Figura 6 (Reacutemizov p 180)

Figura 6 Velocidad de un fluido en el interior de una tuberiacutea

Ahora determinemos el volumen V de liacutequido que sale del tubo en un tiempo determinado t Para ello es necesario establecer de queacute factores depende el volumen del liacutequido que fluye por un tubo horizontal Con tal fin consideremos una capa ciliacutendrica de radio r y espesor (Figura 5) por cuanto la capa es delgada se puede considerar que se desplaza con igual velocidad En el tiempo t la capa transporta el siguiente volumen de liacutequido

drv

rdrvtdV π2=

Al sustituir por su valor obtenemos la ley de variacioacuten del volumen con el radio v

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

La reescribimos como

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

Si tenemos en cuenta que podemos predecir el volumen de liacutequido que pasa por un tubo de longitud l y radio

0)0( =Vr utilizando la serie de Taylor de la siguiente

manera

5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

)(4

)(32

++++++=rVrVrVrVrVVrV VIV

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

lpprRMrMrrMRrV minus

minus=minus=minus=

ηπ

El volumen de liacutequido en la unidad de tiempo para Rr = nos da el caudal

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

= (Ley de Poiseuille)

Como se advierte por esta foacutermula para las condiciones externas prefijadas (p1 y p2) fluye una mayor cantidad de liacutequido por el tubo cuanto menor sea su viscosidad y mayor el radio del tubo La fuerte dependencia de Q respecto al radio viene condicionada por la variacioacuten no soacutelo del volumen sino tambieacuten de las capas dispuestas cerca de la superficie del tubo 3 EXPERIMENTACIOacuteN A continuacioacuten transcribimos un fragmento de los episodios de aprendizaje obtenidos con 11 alumnos de primer antildeo de la licenciatura en Biologiacutea (curso 2002-2003) de la Universidad de Jaeacuten Espantildea Mostramos la parte experimental para ir logrando la construccioacuten de la nocioacuten de prediccioacuten trabajamos con los Problemas 1 y 3 I Etapa de aprendizaje individual Los alumnos trabajaron en forma individual el Problema 1 disponiendo de 45 minutos Para el anaacutelisis de sus producciones disentildeamos categoriacuteas con las diferentes argumentaciones interpretaciones y conclusiones que aparecieron en las construcciones Despueacutes catalogamos las respuestas obteniendo asiacute una puntuacioacuten media Para evaluar en forma cuantitativa hemos seguido a Cajaraville (1996 p 110) sobre estos criterios

CATALOGACIOacuteN DE LA RESPUESTA PUNTAJE En blanco o totalmente erroacutenea 1 Uso de conceptos o procedimientos proacuteximos sin eacutexito 2 Uso de conceptos y procedimientos proacuteximos yo adecuados con eacutexito limitado o con lagunas en la argumentacioacuten

3

Respuesta correcta 4

Tabla 1 Formas de catalogar las respuestas

1Categorizacioacuten de la produccioacuten de los estudiantes Para su categorizacioacuten la produccioacuten de los estudiantes seraacute considerada de la manera siguiente

bull Satisfactoria (S) si en ella se atiende satisfactoriamente a los siguientes elementos 1 Determinacioacuten de los paraacutemetros constantes y variables 2 Condiciones iniciales 3 Relacioacuten que liga las variables 4 Caacutelculo de las variaciones 5 Planteo de la serie 6 Anaacutelisis de las regularidades que se presentan en las variaciones 7 Presentacioacuten del modelo buscado

bull Medianamente satisfactoria (MS) si se observan soacutelo los primeros cinco elementos enunciados arriba

bull Poco satisfactoria (PS) si se observan los cuatro primeros elementos bull No interpreta el problema o es totalmente erroacuteneo (NI)

La Tabla 2 ilustra las respuestas de los alumnos de acuerdo con las categoriacuteas anteriores

Alumno Categoriacutea Alicia S Carlos S

Mercedes S Mariacutea J S Aacutegueda NI

Francisco S Josefa S Daniel NI

Purificacioacuten PS Marta NI Elena PS

Tabla 2 Categorizacioacuten de respuestas sobre el Problema 1

2 Observaciones El 55 interpreta el problema como una prediccioacuten y llega a una respuesta satisfactoria un 18 lo hace en forma poco satisfactoria y un 27 no interpreta el problema 3 Catalogacioacuten de las respuestas Utilizamos los mismos criterios y puntuaciones que en las situaciones anteriores

Catalogacioacuten de las respuestas

PUNTOS PUNTUACIOacuteN MEDIA 1 2 3 4

NUacuteMERO DE ALUMNOS

2 2 0 6 27

Tabla 3 Catalogacioacuten del problema 1

4 Conclusiones Creemos que se han obtenido resultados alentadores en cuanto al uso de la herramienta de prediccioacuten si bien debemos tener en cuenta que esta situacioacuten no ha presentado para el alumno maacutes problemas de interpretacioacuten que la expresioacuten velocidad de cambio Queremos resaltar que la mayoriacutea de los alumnos habiacutea visto en forma muy sucinta el concepto de la foacutermula y serie de Taylor El concepto de polinomios de Taylor desde comienzos de los antildeos noventa no se incluye en los programas de ensentildeanza secundaria en Espantildea

II Aprendizaje cooperativo A partir de los resultados de los alumnos en la resolucioacuten del Problema 1 conformamos tres equipos heterogeacuteneos clubs Equipo 1 (E1) Alicia (A) Carlos (C) y Mercedes (M) clubs Equipo 2 (E2) Mariacutea Joseacute (MJ) Aacutegueda (AacuteG) Francisco (F) y Josefa (J) clubs Equipo 3 (E3) Daniel (DR) Purificacioacuten (P) Marta (M) y Elena (E)

En esta etapa que duroacute aproximadamente 1 hora nuestra participacioacuten soacutelo tuvo un caraacutecter organizativo Grabamos en cintas de audio los intercambios verbales de los que presentamos a continuacioacuten unos fragmentos El significado de algunos siacutembolos que hemos utilizado en la trascripcioacuten de los diaacutelogos en el seno de los equipos es el siguiente

bull se produce un silencio bull frase inconclusa bull cuando se encuentran solos en un rengloacuten significan que continuacutean los

intercambios verbales entre los componentes del grupo sin relevancia en nuestra opinioacuten para el aprendizaje Para llevar a cabo un anaacutelisis cuantitativo de esta etapa de aprendizaje una vez que hemos trascrito el material grabado en audio estudiamos las relaciones de los intercambios verbales que aparecen en los episodios de aprendizaje seleccionados entre los equipos de estudiantes Esto nos daraacute informacioacuten sobre el aprendizaje que sus miembros experimentan tanto colectiva como individualmente La siguiente tabla contiene las categoriacuteas subcategoriacuteas y puntuacioacuten que vamos a utilizar para el anaacutelisis de las verbalizaciones de los estudiantes en los distintos episodios de aprendizaje

DE CARAacuteCTER COGNITIVO DE CARAacuteCTER ORGANIZATIVO

Emisiones Recepciones Praacutectica posterior

Dar ayuda (DA) (1) Pedir ayuda (PA) (0) Cometer errores (E) (0)

Recibir ayuda con peticioacuten (RA) (1) Contestarse a siacute mismo (AR) (0)

Poner en praacutectica la ayuda recibida (UAR) (1) Expresar aprobacioacuten (EA) (0)

Tabla 4 Categoriacuteas subcategoriacuteas y puntaje para las verbalizaciones

A continuacioacuten damos comienzo al anaacutelisis por equipos

clubs EQUIPO 1 1 Episodio de aprendizaje ndash1 (C) Tenemos la segunda derivada srsquorsquo = ndashg s en t0 Es decir s en el primer instante que es s0 y srsquo(0) que nos da el problema porque nos dice que la velocidad en t0 es igual a v0 y como la velocidad es la primera derivada de la ecuacioacuten s(t) que es lo que nos piden pues directamente ya srsquo(0) es vo independientemente de lo que sea srsquo en cualquier instante (srsquo(t)) Luego hallando la tercera derivada en 0 (srsquorsquorsquo(0)) seriacutea igual a 0 iquestPor queacute Porque no hay ninguna variable y por tanto se nos va a quedar 0 al derivar es el uacuteltimo teacutermino que necesitamos saber para hacer la serie de Taylor como srsquorsquo nos dicen que es ndashg srsquorsquo(0) seraacute 0 porque como no hay ninguna variable t es decir gminus es una constante y ya directamente seriacutea 0 (al derivar) No en esto me he equivocado a ver ndash2 (A) Es que esto seriacutea una constante ndash3 (C) No estaacute bien Siacute es que he hecho la tercera primero y luego la segunda Luego ya directamente con todo esto sustituimos y obtenemos la serie de Taylor que seriacutea s(t) = f(a) + frsquo(a)(t-a) 1 + frsquorsquo(a)(t-a)2 2 + frsquorsquorsquo(a)(t-a)33 + siendo a = 0 Entonces sustituimos y obtenemos s(t) = f(0) + frsquo(0)t + frsquorsquo(0)t22+ que en nuestro caso s(t) = s0+v0 tndash12gt2 y ya estaacute La dificultad de este problema era que no nos daban informacioacuten suficiente para hallar las derivadas geneacutericas esto es las derivadas en cualquier tiempo en funcioacuten de t pero como nos daban directamente la derivada que nosotros queriacuteamos que era la derivada segunda en t0 y la primera tambieacuten en t0 que era la v0 ademaacutes del primer termino s0 con eso hallariacuteamos la serie de Taylor Como la derivada segunda era una constante con eso ya sabemos que la derivada tercera es 0 uacutenico teacutermino que teniacuteamos que hallar para completar la serie de Taylor El primer teacutermino es igual a s0 el segundo teacutermino la primera derivada en t0 es igual a v0 y el tercer teacutermino la tercera derivada en t0 es igual a gminus ndash4 (A) Ademaacutes fiacutejate que esto es una ecuacioacuten de estas de fiacutesica ndash5 (C) Exactamente seriacutea ndash6 (A) Espacio maacutes ndash7 (C) Siacute siacute la ecuacioacuten de un movimiento rectiliacuteneo y acelerado iquestno Bueno no estoy seguro si seraacute rectiliacuteneo pero aceleracioacuten siacute tiene porque estaacute t2 ndash8 (A) Siacute eso es

2 Anaacutelisis de las verbalizaciones El anaacutelisis de las verbalizaciones producidas por el Equipo 1 en torno al Problema 1 arrojoacute los siguientes resultados

Verbalizaciones Alicia Carlos Mercedes 1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 EA(0) 6 PA(0) 7 DA(1) 8 EA(0) _x

03 04 0

Tabla 5 Verbalizaciones producidas por el E1 en el Problema 1

Mercedes no toma parte en esta discusioacuten en tanto que Alicia y Carlos van construyendo de forma satisfactoria la solucioacuten al problema Al final nos parece que se dan cuenta de que han obtenido una ecuacioacuten conocida de las clases de fiacutesica

clubs EQUIPO 2 1 Episodios de aprendizaje ndash1 (AacuteG) Primero tenemos que calcular la funcioacuten posicioacuten de la pelota Para ello lo que el problema nos da es la segunda derivada que es igual a gminus que es la aceleracioacuten de la gravedad y tambieacuten podemos saber v y s a partir del enunciado ndash2 (MJ) Entonces tenemos que la segunda derivada es la aceleracioacuten que es gminus (la gravedad) y al sustituirla por 0 da gminus La primera derivada es la velocidad y al sustituirla por 0 da la velocidad inicial v0 La funcioacuten posicioacuten al sustituirla por 0 da la posicioacuten inicial que es s0 ndash3 (F) La tercera derivada de s(t) es igual a 0 y todas las demaacutes derivadas que siguen tambieacuten seriacutean iguales a 0 Entonces tenemos que al sustituir en la serie de Taylor s(t)= s(0)+srsquo(0)t1+srsquorsquo(0)t2 2+ ndash4 (MJ) Entonces el resultado final seriacutea s(t) = s0+ v0 t-12gt2 ndash5 (F) Y sustituyendo cualquier valor de t en la funcioacuten posicioacuten podemos saber la posicioacuten de la pelota en cada instante 2 Anaacutelisis de las verbalizaciones

El anaacutelisis de los intercambios verbales que surgieron en el Equipo E2 al discutir el Problema 1 se detalla en la siguiente tabla Verbalizaciones Mariacutea Joseacute Aacutegueda Francisco Josefa

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

Tabla 6 Verbalizaciones producidas por E2 en el Problema 1

En este caso Josefa se mantiene al margen de la discusioacuten Sus compantildeeros cuyas emisiones en todos los casos son satisfactorias obtienen un buen puntaje aunque Mariacutea Joseacute y Francisco son los maacutes favorecidos porque participaron maacutes en un cierto sentido

clubs EQUIPO 3 1 Episodios de aprendizaje ndash1(DR) Bueno aquiacute es lo que dijimos de lo de la ecuacioacuten de fiacutesica aqueacutella que era s(t) = s0+v0tndash12at2 y al derivarla quedaba srsquo(t) = v0ndashat Y al hacer la segunda derivada ya quedaba la aceleracioacuten negativa lo mismo que nos da el problema ndash2 (E) Entonces en la serie de Taylor incluimos la funcioacuten primitiva inicial la foacutermula del espacio la primera derivadahellip la segunda derivada ya no se podriacutea derivar iquestno Seriacutea una serie de Taylor de tres ndash3 (P) De tercer grado ndash4 (DR) iquestEntonces maacutes o menos coacutemo quedariacutea la serie de Taylor ndash5 (M) Quedariacutea s(t) = s0+v0tndash12at2+ v0 ndashat por ndash6 (E) Por tx minus creo yo que seriacutea ndash7 (M) iquest x aquiacute queacute seriacutea ndash8 (P) hellip iquestQueacute es lo que seriacutea x iquestQueacute es lo que nos dariacutea Eso es lo que no seacute Si nos dariacutea la altura o la velocidad o queacute ndash9 (E) Esa x que no sabemos cuaacutel iquestQueacute valor seriacutea en esta funcioacuten ndash10 (DR) Pero es que aquiacute creo que no tendriacuteamos por queacute poner x Tenemos que las incoacutegnitas son s0 y la s ndash11 (M) Yo creo que puse so y t

ndash12 (DR) Claro yo creo que x tampoco hay que ponerlo Yo creo que hay que poner a t que es una de las incoacutegnitas que dependiendo del tiempo pueden tener un y la posicioacuten va a ser la otra incoacutegnita que es so o s ndash13 (E) Pero tuacute piensas que x es una funcioacuten Cuando pones )(xf x es una funcioacuten no es un nuacutemero como Y aquiacute sa o y vo son nuacutemeros ndash14 (DR) so tuacute lo puedes poner como xo so tambieacuten es una funcioacuten iquestEntiendes lo que te digo ndash15 (E) No es una funcioacuten porque tuacute cuando derivas te queda se te va entero se te va so Se queda 0 ahiacute ndash16 (P) Pero eso se te va porque no estaacute en funcioacuten del tiempo ndash17 (E) Pues eso pero es un nuacutemero no una funcioacuten Es que aquiacute en cambio si derivas se queda 1 Si tuacute tienes x aquiacute derivas y se queda 1 ndash18 (M) Tenemos que buscar un nuacutemero Lo que no sabemos es cuaacutel tiene que ser ndash19 (E) Claro si estamos de acuerdo si es lo que yo he dicho Seriacutea cualquier nuacutemero menos t ndash20 (P) No sabemos si va a dar la posicioacuten o la velocidad o queacute es lo que se va a tomar para ponerlo ahiacute ndash21 (E) Bueno pues ponemos a porque si no lo sabemos ponemos como si fuera a Tenemos a Bueno sigue ndash22 (M) A ver quedariacutea lo siguiente

s(t) = s0+v0t-12at2+v0-gt(t ndash x)1+(-g)(t ndash x)22

Y luego no se puede seguir porque ya es gminus ndash23 (DR) Y es una constante y al hacer la derivada queda 0 iquestno ndash24 (P) Bueno pues la g se queda 0 porque creemos ndash25 (DR) No queda 0 es negativa ndash26 (P) Es negativa perdoacuten porque creemos que va en contra del movimiento que lo impide iquestno ndash27 (DR) Depende tambieacuten de coacutemo tomemos el origen del movimiento ndash28 (P) Siacute ndash29 (DR) Que aquiacute al ser la aceleracioacuten 0 quiere decir que la El punto de origen es el suelo

ndash30 (E) Claro ndash31 (DR) iquestNo Que depende tambieacuten de si tomamos por ejemplo el punto de origen a 20 metros del suelo Entonces ahiacute variacutea ndash32 (P) Y porque si tomamos como punto de origen la velocidad que alcanza la pelota pues a partir de ese punto en el que se para ya la aceleracioacuten seriacutea positiva porque facilitas el movimiento Va cayendo entonces seriacutea positiva ndash33 (DR) Eso depende de doacutende se tome el punto de ndash34 (P) El origen 2 Anaacutelisis de las verbalizaciones A continuacioacuten desglosamos el anaacutelisis de los intercambios verbales que se dieron en el Equipo 3 al abordar el Problema 1 Verbalizaciones Daniel Purificacioacuten Marta Elena

1 DA(1) 2 E(0) 3 EA(0) 4 PA(0) 5 E(0) 6 E(0) 7 PA(0) 8 PA(0) 9 PA(0) 10 E(0) 11 E(0) 12 DA(0) 13 DA(1) 14 E(0) 15 E(0) 16 DA(1) 17 E(0) 18 PA(0) 19 E(0) 20 E(0) 21 I(0) 22 E(0) 23 EA(0) 24 EA(0) 25 PA(0) 26 E(0) 27 E(0) 28 EA(0) 29 E(0)

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

La larga discusioacuten mantenida por este equipo no nos aportoacute resultados positivos Creemos que ello se debe a que tienen dificultades para reconocer las condiciones iniciales del problema maacutes auacuten al parecer no pueden determinar las variables que intervienen en la solucioacuten Observamos alguna de las expresiones textuales a las que consideramos como muy significativas ldquoCuando pones es una funcioacuten no es un nuacutemero como rdquo

xxf )(a

III Etapa de institucionalizacioacuten Esta fase del aprendizaje se trabajoacute mediante entrevistas personales dedicando una hora para cada alumno Aquiacute nos basamos en las producciones personales y en equipo obtenidas por los estudiantes durante las etapas de aprendizaje anteriores Baacutesicamente se indagoacute y discutioacute sobre el reconocimiento de los paraacutemetros que describen el sistema en el estado inicial Nos centramos en la forma de la serie que maacutes ilustra la idea que queremos desarrollar

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

donde Ci son las variaciones A partir de ella se trabajoacute tambieacuten en el significado de las distintas variaciones la forma de obtenerlas y sus regularidades La mayor dificultad se encontroacute como se habiacutea puesto de manifiesto en las etapas anteriores al momento de determinar los paraacutemetros que describen el sistema en el estado inicial Creemos sin embargo que han superado esta dificultad Esta etapa de aprendizaje concluyoacute con un trabajo individual de los alumnos Para ello se les presentoacute el Problema 3 sobre el cual trabajaron en una sesioacuten de una hora A traveacutes de la produccioacuten de los estudiantes en este problema hemos querido observar e indagar en algunos comportamientos especiacuteficos como son

a) Interpretacioacuten y determinacioacuten de los valores iniciales del sistema b) Reconocimiento de la serie de Taylor como herramienta para resolver el

problema c) Destreza en el manejo de las derivadas sucesivas y la serie

A cada uno de estos comportamientos le asignaremos un puntaje que va del 0 al 1 Los resultados del anaacutelisis sobre la produccioacuten de los estudiantes en el Problema 3 aparecen en la siguiente tabla

Problema 3 Puntuacioacuten Alumno

a b c Alicia 07 08 1 83 Carlos 1 05 05 67

Mercedes 08 08 06 73 Mariacutea Joseacute 05 06 06 57

Aacutegueda 08 05 05 60 Francisco 1 1 1 100

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

Purificacioacuten 1 1 1 100 Marta 1 1 1 100 Elena 06 08 06 67

82 80 71

Tabla 9 Anaacutelisis de la produccioacuten de los estudiantes en el Problema 3 El puntaje que logroacute cada alumno en forma individual puede apreciarse en la columna de la derecha Los resultados fueron muy satisfactorios ya que diez de once alumnos pasaron de la media y tres de once alcanzaron un puntaje superior al 95 En la uacuteltima fila se encuentra el puntaje () correspondiente a cada uno de los comportamientos que nos propusimos observar en este problema Con tales datos podemos inferir que estos comportamientos quedaron superados en tres cuartas partes de los casos 4 CONCLUSIONES En los dos primeros problemas se pone de manifiesto que el estado ulterior del fenoacutemeno de variacioacuten depende completamente de las circunstancias que caracterizan el estado de hecho La evolucioacuten de un sistema estaacute determinada completamente por sus variaciones primeras por ello hablamos del caraacutecter hereditario del cambio Con el tercero y el cuarto problema hemos mostrado la posibilidad de obtener con cierta naturalidad el planteamiento y la resolucioacuten de problemas que en los manuales escolares de tal nivel se presentan como algo muy complejo y fuera del alcance del texto Es evidente que de esta manera la determinacioacuten de las condiciones iniciales y la resolucioacuten misma de los problemas sigue una loacutegica de solucioacuten expliacutecita y eventualmente bajo el control del alumno Asiacute las nociones de prediccioacuten en los fenoacutemenos naturales de flujo y de lo analiacutetico en el caacutelculo se presentan como estrategias naturales de construccioacuten del saber matemaacutetico En teacuterminos de modelos didaacutecticos para la ensentildeanza del caacutelculo con este anaacutelisis

hemos pretendido mostrar dos aproximaciones La primera fue generada por los trabajos de Newton Euler y Laplace entre otros donde la expresioacuten de las series lleva consigo un significado perteneciente a las ciencias fiacutesicas el cual es introducido en una construccioacuten natural para una vasta diversidad de problemas La segunda surgioacute por los trabajos de Cauchy donde las series devienen en un resultado maacutes de la teoriacutea una consecuencia del concepto de liacutemite y de algunos teoremas Como sabemos bien el segundo esquema aparece en los cursos de caacutelculo actual mientras que el primero aunque se usa en varios contextos estaacute omitido en los temas que se imparten tanto en la ensentildeanza secundaria como en la universitaria Creemos que con esta nueva perspectiva hemos dotado de una cierta naturalidad al planteamiento y a la resolucioacuten del problema Este proceso tambieacuten se revela vivo si analizamos las producciones originales de los cientiacuteficos de otros siglos y los manuales escolares de otras eacutepocas

BIBLIOGRAFIA Azcaacuterate C (1990) La velocidad Introduccioacuten al concepto de derivada Tesis de doctorado Universidad Autoacutenoma de Barcelona Espantildea Buendiacutea G Cordero F (2004) Prediction and the periodical aspect as generators of knowledge in a social practice framework A socioepistemological study Educational Studies in Mathematics [apareceraacute en el nuacutemero 59 volumen 2 2005] Cajaraville Pegito J A (1996) Evaluacioacuten del significado del caacutelculo diferencial para estudiantes preuniversitarios Su evolucioacuten como consecuencia de una ingenieriacutea didaacutectica alternativa Tesis de doctorado Universidad de Santiago de Compostela Espantildea Cantoral R (1989) Concept image in its origins with particular reference to Taylorrsquos serie Proceedings of International Conference of Psychology of Mathematics Education North American Chapter 11 pp 50-60 Cantoral R (1990) Categoriacuteas relativas a la apropiacioacuten de una base de significaciones propias del pensamiento fiacutesico para conceptos y procesos matemaacuteticos de la teoriacutea elemental de las funciones analiacuteticas Tesis de doctorado Cinvestav Meacutexico Cantoral R (1991) Proyecto de investigacioacuten Formacioacuten de la nocioacuten de funcioacuten analiacutetica Mathesis 7 pp 223-239 Cantoral R (1995) Acerca de las contribuciones actuales de una didaacutectica de antantildeo el caso de la serie de Taylor Mathesis 11(1) 55-101 Cantoral R (1998) Pensamiento matemaacutetico avanzado una revisioacuten de los enfoques a la investigacioacuten sobre didaacutectica del anaacutelisis Centre de Recerca Matemagravetica del Institut DrsquoEstudis Catalans Barcelona Espantildea CRM-Notes Cantoral R (2001) Matemaacutetica educativa Un estudio de la formacioacuten social de la analiticidad Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica Cantoral R Farfaacuten R (1998) Pensamiento y lenguaje variacional en la introduccioacuten al anaacutelisis Epsilon 42 volumen 14 (3) 353-369 [nuacutemero monograacutefico] Cantoral R Farfaacuten R-M (2004) La sensibiliteacute agrave la contradiction logarithmes de nombres neacutegatifs et origine de la variable complexe Recherches en Didactique des Matheacutematique 24 (23) 137-168 Cantoral R Reseacutendiz E (2003) El papel de la variacioacuten en las explicaciones de los profesores Un estudio en situacioacuten escolar Revista Latinoamericana de Investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa 6(2) 133 ndash 154 Cauchy A L (1829) Leccedilons sur le calcul diffeacuterentiel En Oeuvres completes Paris France

Cordero F (2001) La distincioacuten entre construcciones del caacutelculo Una epistemologiacutea a traveacutes de la actividad humana Revista Latinoamericana de Investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa 4 (2) 103-128 Dolores C Alarcoacuten G y Albarraacuten DF (2002) Concepciones alternativas sobre las graacuteficas cartesianas del movimiento el caso de la velocidad y la trayectoria Revista Latinoamericana de Investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa 5 (3) 225-250 Farfaacuten R M (1997) Ingenieriacutea didaacutectica Un estudio de la variacioacuten y el cambio Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica Gil D Carrascosa J Furioacute C y Martiacutenez Torregrosa J (1991) La ensentildeanza de las ciencias en la educacioacuten secundaria Barcelona Espantildea ICEHorsori Grattan-Guinness I (1970) The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann Cambridge USA Cambridge University Press Holton S (1979) Introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas de las ciencias fiacutesicas Barcelona Espantildea Reverteacute Lacroix S F (1797) Traiteacute elementaire de calcul differentiel et de calcul inteacutegral Paris France Lagrange J L (1797) Theorie des fonctions analityques Paris Imprimeur Libraire pour les Matheacutematiques quai des Augustins No 57 Marcolini-Bernardi J M (2003) Ingenieriacutea didaacutectica en fiacutesica-matemaacutetica Tesis de doctorado Universidad de Granada Espantildea Nuacutentildeez Espallargas J M y Font Moll V (1995) Aspectos ideoloacutegicos en la contextualizacioacuten de las matemaacuteticas una aproximacioacuten histoacuterica Revista de Educacioacuten 30l6 239-314 Reacutemizov A (1991) Fiacutesica meacutedica y bioloacutegica Moscuacute Rusia Editorial Mir Resnick L B (1983) Mathematics and science learning A new conception Science 220 447-448 Ruiz L (1994) Concepciones de los alumnos de secundaria sobre la nocioacuten de funcioacuten anaacutelisis epistemoloacutegico y didaacutectico Tesis de doctorado Departamento de Didaacutectica de las Matemaacuteticas Universidad de Granada Espantildea Saacutenchez-Peacuterez E A Garciacutea Raffi L M y Saacutenchez-Peacuterez J V (1999) Introduccioacuten de las teacutecnicas de modelizacioacuten para el estudio de la fiacutesica y de las matemaacuteticas en los primeros cursos de las carreras teacutecnicas Ensentildeanza de las Ciencias 17 (1) 119-129 Steen A (1987) Calculus for a new century A pump not a filter Washington DC EU Mathematical Association of America [MAA Notes 8] Tall D y Vinner S (1981) Concept image and concept definition in mathematics with

particular reference to limits and continuity Educational Studies in Mathematics 12 (2) 151-169 Tipler P A (1995) Fiacutesica Barcelona Espantildea Editorial Reverteacute _______________________ Notas [1] Entendemos por discurso matemaacutetico escolar al discurso que marca el inicio de una ensentildeanza No se reduce naturalmente a la organizacioacuten temaacutetica de los contenidos ni a la profundidad expositiva sino que se preocupa de la formacioacuten de consensos entre aquellos que forman parte de lo que se ha llamado en la literatura especializada como la noosfera (editores autores profesores cientiacuteficos estudiantes padres de familia etceacutetera) [2] Idea germinal es el motor central en la construccioacuten del conocimiento a partir de la cual tanto procedimientos como significaciones se construyen paulatinamente y adquieren asiacute su completa significacioacuten episteacutemica (Cantoral 1990 y 2001) [3] La palabra transponer significa poner una cosa maacutes allaacute en un sitio distinto del lugar que ocupaba El teacutermino transposicioacuten didaacutectica se refiere asiacute en lo general al proceso mediante el cual tiene lugar la accioacuten de transponer un saber hacia un sitio didaacutectico digaacutemoslo asiacute llevar el saber al aacutembito escolar (Cantoral 1995 p 60) [4] La relacioacuten km es positiva y por tanto es razonable sustituirla por el cuadrado de cierta magnitud Josefina Marta Marcolini Bernardi Departamento de Matemaacuteticas Aacuterea Matemaacutetica Aplicada Universidad de Jaeacuten Espantildea E-mail mmarcoliujaenes F Javier Perales Palacios Departamento de Didaacutectica de las Ciencias Experimentales Facultad de Ciencias de la Educacioacuten Universidad de Granada Espantildea E-mail fperalesugres

ANEXO

REVISIOacuteN DE TEXTOS ESCOLARES Con el fin de analizar el tratamiento que los autores de textos escolares dan a los procedimiento nociones y conocimientos en un sentido amplio hemos escogido unos textos representativos de nuestro sistema educativo y en ellos hemos seleccionado algunas variables de anaacutelisis a fin de apoyar nuestra revisioacuten

1 Variables consideradas para la revisioacuten de textos

La revisioacuten de textos se conforma a partir de las siguientes variables 1 Caracteriacutesticas generales del texto

a) Presentacioacuten b) Notas histoacutericas c) Tecnologiacutea utilizada o propuesta (calculadora ordenador etc) d) Graacuteficos y figuras e) Ubicacioacuten de los ejercicios y problemas propuestos (final de epiacutegrafe de capiacutetulo etc) f) Caracteriacutesticas especiales

2 Organizacioacuten de contenidos (bloques temaacuteticos lecciones capiacutetulos etc) Se

consideraron los iacutendices de contenidos de algunos de los textos utilizados ya que en ellos se refleja la situacioacuten y relevancia que el autor da a los conceptos que estamos estudiando respecto de otros contenidos

3 Estructura general del tema

31 Secciones Epiacutegrafes etc 32 Ubicacioacuten y extensioacuten que ocupa el tema en la exposicioacuten general del texto

4 Tratamiento dado al tema

En los textos que aquiacute presentamos nos hemos centrado sobre series de Taylor y movimientos observando lo siguiente 41 Formas de introducirlo (a traveacutes de ejemplos dando la definicioacuten etc) 42 Tipos de ejemplos

a) Algoriacutetmicos o de comprensioacuten b) Marcos en los que se plantean (analiacutetico algebraico graacutefico numeacuterico) c) Contextos en los que se situacutean (fiacutesico matemaacutetico bioloacutegico etc)

43 Tipos de ejercicios y problemas propuestos al final de la seccioacuten (las mismas consideraciones que en 42) 44 Tipos de ejercicios y problemas propuestos al final del capiacutetulo (las mismas consideraciones que en 42) 45 Cuestiones (ubicacioacuten donde se plantean versan sobre contenidos teoacutericos o praacutecticos

conceptos matemaacuteticos involucrados) 2 Revisioacuten de textos escolares 21 TEXTOS DE MATEMAacuteTICAS DE NIVEL UNIVERSITARIO GRANERO F (1990) ldquoCaacutelculordquo Mc Graw-Hill 1 Caracteriacutesticas generales del texto

a) Presentacioacuten Consta de un soacutelo volumen con 736 paacuteginas y tapas flexibles b) Notas histoacutericas En el proacutelogo hace una resentildea histoacuterica con la intencioacuten de que el

lector tenga una visioacuten panoraacutemica del caacutelculo Comienza con los oriacutegenes del caacutelculo integral con Arquiacutemedes (287-212 a de C) para hallar el aacuterea de figuras planas hasta llegar a nuestros diacuteas con la aplicacioacuten de la teoriacutea de integracioacuten a la teoriacutea de la probabilidad medida de Haar teoriacutea espectral y anaacutelisis armoacutenico

c) Tecnologiacutea No propone ejercicios ni problemas para utilizar tecnologiacutea como por

ejemplo la informaacutetica

d) Graacuteficos y figuras Hay un numero limitado a lo largo del texto para ayudar a visualizar los conceptos

e) Ubicacioacuten de los ejercicios y problemas Respecto a los problemas debemos destacar

que al acabar cada una de las dos partes en que se divide el texto propone varios con su solucioacuten En la primera parte hay veinte problemas en su mayoriacutea originales propuestos en exaacutemenes de la Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieriacutea Sus caracteriacutesticas son similares a las de final de capitulo

f) Caracteriacutesticas especiales Presenta la bibliografiacutea considerando tambieacuten libros de

problemas La estructura de los contenidos es la menos frecuente en textos de este nivel tratando en cada tema los conceptos para el caso de una variable y a continuacioacuten su extensioacuten a dos o mas variables

2 Organizacioacuten de contenidos El libro estaacute dividido en dos partes con 28 capiacutetulos en total Conforman la primera parte los primeros 18 capiacutetulos y la segunda los 8 capiacutetulos restantes Cada capiacutetulo estaacute dividido en temas y eacutestos a su vez en subtemas

Los temas estaacuten expuestos en el siguiente orden

1 Los nuacutemeros 2 Potencia de conjuntos 3 Espacios meacutetricos 4 Espacios topoloacutegicos 5 El conjunto de los nuacutemeros complejos 6 Sucesiones numeacutericas 7 Series numeacutericas 8 Suma de series 9 Liacutemites y continuidad de funciones 10 Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones 11 Generalizaciones 12 Funciones compuestas

13 Funciones impliacutecitas 14 Cambio de variables 15 Determinantes funcionales 16 Funciones homogeacuteneas 17 Desarrollo en serie de funciones 18 Extremos de funciones 19 Curvas en el plano 20 Representacioacuten y estudio de las funciones trigonomeacutetricas e hiperboacutelicas 21 Integrales indefinidas 22 Integrales definidas 23 Generalizacioacuten del concepto de integral definida seguacuten Riemann 24 Integrales parameacutetricas 25 Integrales Eulerianas 26 Integrales numeacutericas 27 Medida de conjuntos Integral de Lebesgue 28 Aplicaciones de la integral definida

3 Estructura general del tema El tema especiacutefico a revisar se presenta en el capiacutetulo 17 con el siguiente itinerario didaacutectico

17 DESARROLLOS EN SERIE DE FUNCIONES

171 Presentacioacuten del problema en el caso de una variable 172 Polinomio de Taylor de grado n 173 Foacutermula de Taylor Lagrange 174 Forma diferencial de la foacutermula de Taylor 175 Foacutermula de Mc Laurin 176 Acotacioacuten del error cometido al tomar como valor de y = f(x) el polinomio de Taylor p(x) 177 Desarrollo en serie de funciones de varias variables 178 Desarrollos limitados de funciones 179 Sucesioacuten y serie de funciones Convergencia y convergencia uniforme 1710 Series de potencias o series potenciales 4 Tratamiento dado al tema El itinerario que sigue para la serie de Taylor es el siguiente Comienza diciendo ldquoconsideacuterese una funcioacuten y = f(x) que verifica unas ciertas condiciones las cuales inmediatamente estudiaremos La foacutermula de Taylor es una generalizacioacuten muy interesante del Teorema de los incrementos finitos que permite expresar con una aproximacioacuten deseada el valor de f(x) mediante un polinomio p(x) que recibe el nombre de Polinomio de Taylor de grado nrdquo Luego toma una funcioacuten polinomial f(x) de la forma

a0 + a1x + a2x2 + + anxn ai isin R

para demostrar que es posible expresarla como

f(x) = b0 + b1(x-a) + b2(x-a)2 + + bn(x-a)n bia isin R y que esta forma es uacutenica Considerando a f(x) como un vector del espacio vectorial sobre R de los polinomios de grado le n y como la dimensioacuten de dicho espacio es n + 1 siendo la base usual (1 x x2 xn) se ve raacutepidamente que (1 (x-a) (x-a)2 (x-a)n) constituye tambieacuten otra base y por tanto que el vector f(x) se puede expresar uniacutevocamente en esta base

A partir de aquiacute obtiene las coordenadas bi en dicha referencia con lo que llega a escribir el polinomio de Taylor de grado n de la forma

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

2 minus++minus+minus+= L

Luego dice ldquoTaylor lo generaliza a todo tipo de funciones que cumplan ciertas condiciones Para ello sumoacute a su polinomio un teacutermino complementario llamado resto (nulo si f(x) es polinomio) que mide el error cometido cuando se toma el polinomio de Taylor p(x) como valor de la funcioacuten f(x)rdquo Da a continuacioacuten las expresiones de los errores seguacuten Lagrange Young y Cauchy Maacutes adelante presenta el Teorema de Taylor y la forma diferencial de la Foacutermula de Taylor De acuerdo al itinerario dado maacutes arriba las series de potencias se desarrollan en el capiacutetulo 17 en el tema 1710 con los siguientes subtemas Teorema de Abel relativo a la convergencia absoluta Clasificacioacuten de las series potenciales Caacutelculo del radio de convergencia de una serie potencial Estudio de la convergencia uniforme de series potenciales mediante el criterio de suficiencia de Weierstrass Teorema de Abel relativo a la convergencia uniforme de series potenciales Operaciones con series de potencias Diferentes formas de obtener el desarrollo en serie de potencias Los ejemplos y ejercicios propuestos al final del capitulo estaacuten planteados en un contexto analiacutetico y son de tipo calculatorio algunos enunciados tipo de los que aparecen son ldquoObtener el desarrollo en serie potencial deK ldquo ldquoHallar el desarrolloK rdquo LARSON R HOSTETLER R y EDWARDS B (1995) ldquoCaacutelculo y Geometriacutea Analiacuteticardquo McGraw-Hill 1 Caracteriacutesticas generales del texto

a) Presentacioacuten Consta de dos voluacutemenes con tapas flexibles de 770 paginas el

primero y 576 el segundo b) Notas histoacutericas Presenta breves biografiacuteas de matemaacuteticos ilustres con objeto entre

otras cosas de mostrar la naturaleza de los problemas para cuya resolucioacuten fue inventado el Caacutelculo

c) Tecnologiacutea Utiliza recursos graacuteficos y programas de aacutelgebra simboacutelica tanto en el

texto como en los ejercicios d) Graacuteficos Contiene un buen nuacutemero de ellos generados por ordenador e) Ubicacioacuten de los ejercicios y problemas Los capiacutetulos estaacuten divididos en secciones

al final de cada seccioacuten se propone un buen nuacutemero de ejercicios Estos ejercicios tienen caracteriacutesticas muy similares a los presentados al final del capiacutetulo Entre ellos se incluyen de tipo calculatorio de aplicaciones a la Fiacutesica principalmente y a la Biologiacutea y Economiacutea y otros planteados desde un contexto graacutefico Dichos ejercicios estaacuten graduados seguacuten su dificultad algunos requieren de calculadoras u ordenadores

2 Organizacioacuten de contenidos El primer volumen estaacute conformado por los siguientes capiacutetulos

1 El plano cartesiano Funciones 2 Liacutemites y sus propiedades 3 Derivacioacuten 4 Aplicaciones de la derivada 5 Integracioacuten 6 Aplicacioacuten de la integracioacuten 7 Funciones logariacutetmicas y exponenciales 8 Funciones trigonomeacutetricas y sus inversas 9 Teacutecnicas de integracioacuten Integrales impropias 10 Series infinitas

Los siguientes capiacutetulos estaacuten contenidos en el segundo volumen

11 Coacutenicas 12 Curvas en el plano ecuaciones parameacutetricas y coordenadas polares 13 Vectores y curvas en el plano 14 Geometriacutea analiacutetica y vectores en el espacio 15 Funciones de varias variables 16 Integracioacuten muacuteltiple 17 Anaacutelisis vectorial 18 Ecuaciones diferenciales

3 Estructura general del tema El tema que vamos a analizar es series de Taylor que se presenta en el capiacutetulo 10 con el siguiente itinerario didaacutectico 101 Sucesiones 102 Series y convergencia 103 El criterio integral y las p-series 104 Comparacioacuten de series 105 Series alternadas 10-6 Los criterios del cociente y de la raiacutez 107 Polinomios de Taylor y aproximacioacuten 108 Series de potencias 109 Representacioacuten de funciones por series de potencias 1010 Series de Taylor y de Maclaurin

4 Tratamiento dado al tema En la seccioacuten 107 se comienza presentando una imagen algebraica y graacutefica de coacutemo ciertos polinomios se pueden utilizar para aproximar en un punto y su entorno otras funciones elementales Para ello construye un polinomio de primer grado con la condicioacuten de que su valor y su pendiente coincidan con los de la funcioacuten a aproximar en x = 0 El siguiente polinomio lo construye agregando a las condiciones anteriores una maacutes que los valores de la segunda derivada del polinomio y la funcioacuten coincidan en x = 0 El polinomio de menor grado que satisface las tres condiciones conjuntamente aproxima mejor la funcioacuten en el punto y su entorno El meacutetodo se extiende a traveacutes del ejemplo a polinomios de tercer grado y por uacuteltimo se generaliza para hallar polinomios de grado n en x = c donde c es arbitrario A continuacioacuten se define el eneacutesimo polinomio de Taylor y de Maclaurin A traveacutes de varios ejemplos va presentando los polinomios aproximantes de

diferente grado para funciones elementales tales como las trigonomeacutetricas y logariacutetmicas Incluye en algunos ejemplos tablas cuyos elementos se han hallado con calculadora graacutefica y ordenador Define el resto seguacuten Lagrange y demuestra el Teorema de Taylor Las aplicaciones que presenta a este teorema son determinar la precisioacuten de una aproximacioacuten y aproximar un valor funcional con precisioacuten prefijada Utiliza en esta seccioacuten entre otros el concepto de derivada sucesiva como herramienta Los ejercicios del final de la seccioacuten los podemos agrupar de la siguiente manera 1-4 Hacer una correspondencia entre polinomios de Taylor de distintos grados dados en un contexto analiacutetico con su representacioacuten en un contexto graacutefico 5-20 Hallar polinomios de Taylor o Maclaurin 21-24 Se trabaja en un contexto analiacutetico determinando polinomios de distintos grados luego se pide determinar tablas que permitan comparar los valores de la funcioacuten en varios puntos con el de los polinomios de distintos grados en dichos puntos Tambieacuten en el contexto graacutefico se pide comparar la funcioacuten y sus polinomios aproximantes 25-28 Calculatorios 31-34 Estos problemas estaacuten planteados para trabajar con el resto 293034-37 Proponen pequentildeas demostraciones o cuestiones teoacutericas En la seccioacuten 1010 trata sobre series de Taylor y de Maclaurin Como en secciones anteriores el autor abordoacute el tema de series de potencias aquiacute comienza dando un teorema sobre la forma que debe tener una serie de potencias convergente Indica que como los coeficientes de esta serie de potencias son precisamente los coeficientes de los polinomios de Taylor la serie se llama serie de Taylor

LL +minus++minus+=minussuminfin

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

En el primer ejemplo muestra coacutemo formar una serie de potencias y resalta el problema de la convergencia que si bien es un punto sutil es muy importante para ilustrarlo da un ejemplo En una nota hace hincapieacute en el resultado de un teorema que ha dado anteriormente que deciacutea que si una serie de potencias converge a f(x) la serie tiene que ser una serie de Taylor El teorema NO dice que toda serie formada por los coeficientes de Taylor converja a f(x) Se da el teorema que garantiza esa convergencia ldquoSi una funcioacuten f tiene derivadas de todo orden en un intervalo I centrado en c entonces la igualdad

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

se cumple si y soacutelo si

0)(liacutem =infinrarrn xRn

en todo x de Irdquo Hace un ejemplo para la funcioacuten ldquosen xrdquo En el contexto graacutefico muestra tal convergencia utilizando los polinomios de Taylor Ademaacutes resalta cuaacutel es la estrategia para hallar una serie de Taylor y da una lista con las series de potencias para varias funciones elementales ya que ellas facilitan la deduccioacuten de una serie nueva En el uacuteltimo ejemplo hace una aplicacioacuten Utiliza una serie de potencias para aproximar el valor de una integral con un error menor a un valor prefijado Siguiendo la liacutenea de los ejemplos presentados a lo largo del desarrollo se muestran los ejercicios del final de la seccioacuten eacutestos ponen claramente de manifiesto la jerarquiacutea del concepto dentro de este curso En los ejercicios del 1-30 se pide hallar las series de Taylor o Maclaurin para diferentes funciones 31-36 53-56 Hay que hallar una aproximacioacuten polinoacutemica de una funcioacuten dada y representar ambas con el ordenador 37-44 Mediante series de potencias se pide aproximar una integral 57-58 Se situacutea en un contexto fiacutesico dando la funcioacuten que describe la trayectoria de un proyectil pide rescribirla utilizando el desarrollo en serie Observamos que sobre el Polinomio de Taylor baacutesicamente los textos revisados siguen la misma secuencia Primero sentildealan la importancia del mismo ya que permiten desarrollar a cierta clase de funciones como polinomios Construyen el Polinomio y prueban el Teorema de Taylor que en siacutentesis significa demostrar que es posible expresar una funcioacuten con propiedades especiales como la suma de un Polinomio de Taylor maacutes un Resto Ello se logra en la mayoriacutea de los casos mediante una serie de artificios que sin duda restan naturalidad al desarrollo del tema

En cuanto a la Serie de Taylor en los manuales de Caacutelculo se presenta como una parte del tema de convergencia de Series Infinitas ya lo sea en el sentido de la aproximacioacuten en intervalos o en vecindades infinitesimales o propiamente en el aacutembito de la convergencia Esta situacioacuten se caracteriza muy niacutetidamente cuando estudiamos el papel que se le asigna al Residuo de la serie de Taylor Debemos aclarar que el tema ldquoFoacutermula de Taylorrdquo que aparece en los libros de COU se elimina de los programas de Ensentildeanza Secundaria en la Comunidad de Andaluciacutea a comienzo de los antildeos noventa

22 REVISIOacuteN DE UN TEXTO DE FIacuteSICA DE NIVEL MEDIO CANDEL A SATOCA J SOLER J B y TENT J J (1992) ldquoFiacutesica y Quiacutemicardquo Bachillerato 3 (BUP) Anaya 1 Caracteriacutesticas generales del texto

a) Presentacioacuten Se trata de un libro lleno de colorido con un buen numero de figuras

graacuteficos y diagramas El texto se ha estructurado en nueve unidades en cada unidad se distinguen tres partes

1 Una doble paacutegina de presentacioacuten del tema 2 Temas que se desarrollan en la unidad 3 Praacutectica de laboratorio

b) Notas histoacutericas Cada tema se cierra con una doble paacutegina denominada ldquocomplementosrdquo donde se presentan breves notas histoacutericas y bibliograacuteficas sobre los temas y personajes maacutes relevantes tratados en eacutel Ademaacutes en el mismo se ofrecen comentarios de textos cientiacuteficos libros comentados praacutecticas sencillas pasatiempos y ejercicios de mayor nivel

c) Tecnologiacutea Al final de cada unidad el autor propone una PRAacuteCTICA En ella se

describen todos los pasos a seguir y el material empleado que en su mayoriacutea es de tipo casero No se proponen tareas en las que sea necesario el uso de calculadora u ordenador

d) Graacuteficos Los temas se ilustran a traveacutes de figuras y graacuteficos con mucho color e) Ubicacioacuten de los ejercicios y problemas Hay un nuacutemero elevado de ejercicios que se

resuelven a traveacutes de caacutelculos despueacutes de aplicar las foacutermulas correspondientes a los conceptos estudiados 2 Organizacioacuten de contenidos Consta de 22 unidades que a su vez se dividen en temas en total hay 23 temas 3 Estructura general de los temas Haremos una descripcioacuten de la primera unidad que es donde se desarrollan los temas de nuestro intereacutes

Unidad I Cinemaacutetica Tema 1 Magnitudes cinemaacuteticas

A queacute llamamos vector Operaciones baacutesicas con vectores iquestA queacute llamamos movimientos Sistema de referencia A queacute llamamos velocidad iquestQueacute es la aceleracioacuten

Tema 2 Estudio del movimiento Cuaacutendo el movimiento es rectiliacuteneo y uniforme Cuaacutendo el movimiento rectiliacuteneo se acelera Composicioacuten de movimientos Movimiento armoacutenico simple Praacutectica

4 Tratamiento dado a los temas El primer tema comienza definiendo vector operaciones baacutesicas momento de un vector respecto de un punto y derivada de un vector esta uacuteltima lo hace de la siguiente manera

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

Y a continuacioacuten se dan las reglas de derivacioacuten maacutes importantes El desarrollo del resto de los temas se efectuacutea formalmente con la notacioacuten vectorial siguiendo el orden previsto Al definir la velocidad instantaacutenea como mt vliacutemv rr

0gtminusΔ= dice ldquoEste proceso

es el caacutelculo de la derivada del vector posicioacuten con respecto al tiempo dtrdvr

r= rdquo

En el ejemplo que sigue se pide calcular la velocidad media moacutedulo velocidad instantaacutenea dada la ecuacioacuten de movimiento de un objeto en forma vectorial Luego se propone un ejercicio con los mismos iacutetems donde la ecuacioacuten de movimiento estaacute expresada a traveacutes de sus funciones componentes Por uacuteltimo hay tres cuestiones Para el caso de la aceleracioacuten procede de la misma manera concluyendo que la aceleracioacuten es la derivada del vector velocidad y por tanto resulta ser la segunda derivada respecto al tiempo del vector posicioacuten El ejemplo siguiente consiste en calcular la aceleracioacuten media e instantaacutenea y su moacutedulo cuando se conoce la ecuacioacuten vectorial del movimiento El ejercicio propuesto es igual pero en este caso lo que se da son las componentes de la velocidad Siguen dos cuestiones Los ejercicios de revisioacuten estaacuten planteados desde un contexto fiacutesico siendo su resolucioacuten de tipo operatorio en la mayoriacutea de los casos En el segundo tema se estudian los tipos de movimiento Se revisan los graacuteficos posicioacuten-tiempo y velocidad-tiempo El ejemplo que sigue es un caso de encuentro a continuacioacuten se plantea un ejercicio y cuatro cuestiones En la uacuteltima cuestioacuten se pide sentildealar el tipo de movimiento que corresponde a un graacutefico posicioacuten-tiempo y velocidad-tiempo Para el primer caso aparece una recta de pendiente negativa para el segundo la recta es horizontal cortando al eje de las ordenadas en un valor negativo Esta es la primera graacutefica donde la velocidad es negativa Para el caso del movimiento rectiliacuteneo acelerado simplifica los caacutelculos haciendo coincidir uno de los ejes con la direccioacuten del movimiento y siguiendo un tratamiento escalar del problema

Para determinar la ecuacioacuten del movimiento parte de la definicioacuten de aceleracioacuten dtdva = que

seguacuten dice se puede escribir como dtadv = Se les presenta aquiacute un conflicto con lo estudiado en Caacutelculo ya que en aquel se les dice que este cociente es una notacioacuten en su conjunto que no tiene sentido separarlo Continuacutea diciendo ldquointegrando entre los instantes (en que la velocidad es ) y t (en que la velocidad es v ) resulta

0t

0v =minus 0vv )( 0tta minus rdquo

Sigue el mismo camino a partir de la definicioacuten de velocidad tdv =

Escribe dr = v dt reemplaza v por la expresioacuten obtenida anteriormente y dice ldquointegrando de nuevo entre los mismos liacutemites resulta r-r = v(t-t)+12 a(t-t)2rdquo Como r v y a tienen la misma direccioacuten escribe la uacuteltima ecuacioacuten en notacioacuten vectorial Los liacutemites de integracioacuten aparecen un tanto suacutebitos esto explicariacutea porqueacute los alumnos integran pero no consideran los liacutemites de integracioacuten ni hacen referencia a las condiciones iniciales del problema todo esto carece de significacioacuten para ellos Revisa los graacuteficos posicioacuten-tiempo y velocidad-tiempo En el primero presenta una paraacutebola con veacutertice en el origen que se abre hacia el eje positivo de las ordenadas En el segundo la recta tiene pendiente positiva con una ordenada al origen tambieacuten positiva Los graacuteficos presentan pocas variaciones El ejemplo siguiente es de encuentro para el caso del movimiento vertical Propone luego como ejercicio lo mismo que el anterior pero ahora cambiando el sistema de referencia y llevaacutendolo al punto desde donde se deja caer la segunda pelota Se dan cinco ejercicios

maacutes El uacuteltimo presenta en un graacutefico posicioacuten tiempo una paraacutebola con eje paralelo al de ordenadas con veacutertice en un punto del primer cuadrante que se abre hacia los valores negativos del eje de ordenadas El segundo graacutefico es velocidad-tiempo y en eacutel se dibuja un segmento de recta con pendiente negativa que va desde (0 v) hasta (t -v) se pide describir el movimiento e indicar un movimiento real que corresponda con estos graacuteficos Continuacutea con composicioacuten de movimientos y por uacuteltimo con el movimiento armoacutenico simple Este movimiento queda claramente ilustrado en el texto por una figura que muestra un objeto colgado de un muelle que oscila alrededor de la posicioacuten de equilibrio al separarlo de eacutesta y dejarlo en libertad Destaca una caracteriacutestica de este movimiento y es que ldquola aceleracioacuten del mismo no es constanterdquo Para hallar la ecuacioacuten de movimiento utiliza como recurso el movimiento circular uniforme con lo que llega a determinar que la ecuacioacuten de movimiento de un objeto que describe un movimiento armoacutenico simple de periodo T y amplitud A tiene como expresioacuten

y = A sen ( tTπ2

)

La velocidad y la aceleracioacuten la obtiene derivando Destacamos que una vez que ha conseguido la foacutermula muestra la graacutefica correspondiente En el ejemplo que sigue se dan los valores de la amplitud el periodo y la posicioacuten del objeto en el instante inicial y con ello se pide determinar

a) La ecuacioacuten de movimiento b) La posicioacuten que ocuparaacute el objeto transcurridos 10 s desde que se inicioacute la oscilacioacuten c) La velocidad y la aceleracioacuten en ese instante d) Demostrar que la maacutexima velocidad se alcanza cuando el moacutevil pasa por la posicioacuten de

equilibrio En el problema que plantea a continuacioacuten conocida la ecuacioacuten de movimiento pide que se determine la amplitud periodo frecuencia posicioacuten inicial del objeto y punto en que la aceleracioacuten es maacutexima Tambieacuten se plantea una cuestioacuten demostrar que la velocidad es nula en los puntos en que la elongacioacuten es maacutexima Aquiacute se observa de forma evidente la falta de utilizacioacuten del recurso graacutefico sobre todo en el planteo de ejercicios y problemas Los ejercicios de revisioacuten son doce y estaacuten planteados desde el mismo contexto que los ejemplos Su resolucioacuten gira en torno a la aplicacioacuten de las foacutermulas Para concluir podemos decir que en la revisioacuten de los textos de matemaacuteticas se nota que el razonamiento que se sigue ciertamente enriquece la matemaacutetica como estructura cientiacutefica pero el discurso educativo se ve empobrecido

3 EXPERIMENTACIOacuteN
II Aprendizaje cooperativo
- clubs Equipo 1 (E1) Alicia (A) Carlos (C) y Mercedes (M)
- - clubs EQUIPO 1
  - - 1 Episodio de aprendizaje
    - 2 Anaacutelisis de las verbalizaciones
    - - clubs EQUIPO 2
      - 1 Episodios de aprendizaje
        
        2 Anaacutelisis de las verbalizaciones
        
        clubs EQUIPO 3
        
        1 Episodios de aprendizaje
        
        
        REVISIOacuteN DE TEXTOS ESCOLARES
        
        2 Revisioacuten de textos escolares
        
        21 TEXTOS DE MATEMAacuteTICAS DE NIVEL UNIVERSITARIO
        
        22 REVISIOacuteN DE UN TEXTO DE FIacuteSICA DE NIVEL MEDIO

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a reasonable gtconjecture it is possible to reconstruct the didactic discourse of a part of the mathematical analysis taking as a central idea the prediction notion gtand its links with the Taylors serie In another sense this hypothesis indicates that it is possible to redesign the curriculum and its didactic discorse around of that we considered was indispensable for the genesis of the knowledge We will consider to the Taylors serie its contextual antecedents motivations situations temporary evolutions presentations on classic texts and possibilities of use some still unexplored in current texts The article provided with the theoretical base that sustained a Doctoral research in the field of Physics Didactis in Spain KEYWORDS Socioepistemology germinal idea variational prediction

A noccedilatildeo de prognoacutestico Anaacutelise e proposta didaacutetica para a educaccedilatildeo universitaacuteria

RESUMO

Neste artigo se discute a fundamentaccedilatildeo teoacuterica de uma proposta didaacutetica Parte da consideraccedilatildeo de que as dificuldades no processo de aprendizagem da matemaacutetica entre os estudantes universitaacuterios das aacutereas de ciecircncias e engenharia natildeo soacute obedece a causas de ordem pedagoacutegica ou teacutecnicas no momento de transmitir conhecimentos mas fundamentalmente na maneira em que se seleciona articula e organiza o saber matemaacutetico com fins didaacuteticos Pensamos entatildeo como problema didaacutetico o que concerne a determinaccedilatildeo do que eacute ensinar e natildeo soacute de como ensinar ndash postura claacutessica positivista Esta busca nos tem permitido formular uma conjectura plausiacutevel eacute possiacutevel reconstruir o discurso didaacutetico de uma parte da anaacutelise matemaacutetica tomando como ideacuteia central a noccedilatildeo de prediccedilatildeo e seus viacutenculos com a seacuterie de Taylor Em outro sentido esta hipoacutetese destaca que eacute possiacutevel reelaborar o curriacuteculo e seu discurso didaacutetico em torno daquilo que consideramos o que resultou indispensaacutevel na gecircnese do conhecimento Nos ocuparemos da seacuterie de Taylor seus antecedentes motivaccedilotildees situaccedilotildees contextuais evoluccedilotildees temporais apresentaccedilotildees nos textos claacutessicos e possibilidades de uso algumas ainda inexploradas nos textos atuais O artigo vem da base teoacuterica que sustentou uma pesquisa de doutorado no campo da didaacutetica da fiacutesica na Espanha PALAVRAS CHAVE Socioepistemologia ideacuteia germinal variacional prediccedilatildeo

La notion de preacutediction Analyse et proposition didactique pour lrsquo eacuteducation universitaire

REacuteSUMEacute

Dans cet article on discute les fondements theacuteoriques drsquo une proposition didactique On part de la consideacuteration suivante les difficulteacutes dans le procegraves drsquo

s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

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xexfminus

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()( xx eexf

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L+++=+

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htsts

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iCafhaf

queda hax =minus

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L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

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1)( gttvsts minus+=

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3200

2000 )(

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ky0 = mg (1)

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2

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11t

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L+minus+minus=642

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2

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1 mtkA

mtkA

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21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

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por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

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Como 2

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)(2

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minus=

drv

rdrvtdV π2=

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)( 3221 rrRl

tppdrdV

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)( 32 rrRMdrdV

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tl

ppM

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03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

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suminfin

=

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00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

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)()(2

)()(1

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=

nn

n

cxn

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dtvd zyx

t

rrrL

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++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

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32

n)(xf

)( hxf +

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iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

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1)( gttvsts minus+=

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1)(2

1)(1()( 30

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0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

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dtdy

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)(

121

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dtyd

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dy 02

12

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32

021

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01

11t

dtydt

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L+minus+minus=642

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63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

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)0(2

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)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

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)(2)1(

xexfminus

= 2

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()( xx eexf

minusminus +=

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)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

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)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

1)( gttvsts minus+=

200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

1)( gttvsts minus+=

200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

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42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

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)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

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)(

n

cxn

cfxf )(

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)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

Page 7: La noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la … · 2012. 6. 18. · Relime Vol. 8, Núm. 1, marzo, 2005 pp.25-68 La noción de predicción: Análisis y propuesta

s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

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)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

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2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

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64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

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minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

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)0()0()0()(5

)(4

)(32

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41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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s(t) = s0 + v0 t + 12at2

v(t) = v0 + at a(t) = a

s(t) = s0 + v0 t + a t22

v(t) = v0 + a0 t y a(t) = a0

s(t) = s0 + v0 t + a0 t22 + a1 t36

mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

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)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

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)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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mPQP +

nba )( +

3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

1)( gttvsts minus+=

200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

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cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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3)(

2)()()()(

32

n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

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3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

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L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

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)0()0()0()(5

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)(32

)2(8

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41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

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cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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n)(xf

)( hxf +

)()( hPxfhxf +=+

)etc( 32 RhQhPh

3

)(2

)()( xfxfxf

)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

2)()()()(

)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

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mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

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minus= donde πη

tl

ppM

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5

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)(32

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41

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minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

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3

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

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dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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)(2)1(

xexfminus

= 2

2 )1

()( xx eexf

minusminus +=

L+++=+

+rarr

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)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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200000 ))((

31))((

300

3200

2000 )(

31)(

))(3

1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

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2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

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3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

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desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

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)(32

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41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

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)(

n

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ttvttvliacutem

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t

rrrL

rrr

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r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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L+++=+

+rarr

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)()(2htshtstshts

htsts

suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

1)( gttvsts minus+=

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300

3200

2000 )(

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1)(1()( 30

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)(0

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ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

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mgkykymgyykdt

2

)(

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2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

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dy y

mkA

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t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

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3

031

32

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2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

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desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

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minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

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)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

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)(

n

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cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

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dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

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r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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suminfin

=

+=+1

)()(i

iCafhaf

queda hax =minus

)( haf +

L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

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3200

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1)(1()( 30

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2

(2)

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mgkykymgyykdt

2

)(

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2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

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dy y

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2

)(

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3

031

32

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2

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11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

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2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

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desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

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)0()0()0()(5

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)2(8

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41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

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1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

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dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

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)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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L+minus+minus+==+ 2000000 ))((

00000 ttttvstshts

200 2

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31))((

300

3200

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1)(2

1)(1()( 30

320

)(0

0)( ttkeNtN minus=

ky0 = mg (1)

mgkydt

ydm +minus=2

2

(2)

dtdy

=1

mgkykymgyykdt

2

)(

121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

manera

5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

)(4

)(32

)2(8

)()2(41

41

21)( 42221222422 trrR

minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

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1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ky0 = mg (1)

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2

(2)

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=1

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2

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121

2

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dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

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2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

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)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

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21 minus=minus

por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

ηlpprRrv minus

minus=

drv

rdrvtdV π2=

)(2

)( 3221 rrRl

tppdrdV

minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

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5

)0(4

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minus=minus=minus=

ηπ

421

8)(

Rl

ppQ

ηπ minus

3

2 2 0 6 27

03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

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)( )(

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)(

n

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)(

minus= suminfin

=

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dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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121

2

ymk

dtyd

minus=

dy 02

12

)( =tdtyd

dy y

mkA

dtyd

t minus==021

2

)(

L++++= === 3)(

2)()()0()(

3

031

32

021

2

01

11t

dtydt

dtdyyty ttt

L+minus+minus=642

)( 3

63

2

422

1 mtkA

mtkA

mktAAty

)642

1()(6

64

42

21 L+minus+minus=

twtwtwAty

)cos(wt

)cos()(1 wtAty =

desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

rldrdvS

drdvFroz πηη 2==

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por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

)()()( 2122

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minus=

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)(2

)( 3221 rrRl

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=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

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)0(4

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minus=minus=minus=

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421

8)(

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ppQ

ηπ minus

3

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0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

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afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

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)(

n

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t

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r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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desplazamiento)

SdxdvFroz η=

l

221

22

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por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

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Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

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)( 3221 rrRl

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421

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3

2 2 0 6 27

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0 0 0 0

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suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

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cfcxcfcfcxn

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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SdxdvFroz η=

l

221

22

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drdvFroz πηη 2==

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por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

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Como 2

ηlRppvmaacutex 4

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)(2

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ppM

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2 2 0 6 27

03 04 0

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0 0 0 0

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=

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iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

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nn

n

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)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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por Nrdrdv

minus= donde ηlppN

2)( 21 minus=

Como 2

ηlRppvmaacutex 4

)(2

4

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ηlpprRrv minus

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)(2

)( 3221 rrRl

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minusminus

=π

π

)( 32 rrRMdrdV

minus= donde πη

tl

ppM

2)( 21 minus=

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5

)0(4

)0(3

)0(2

)0()0()0()(5

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)(32

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41

21)( 42221222422 trrR

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421

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3

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suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

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cfcxcfcfcxn

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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5

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1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

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suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

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)()(1

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=

nn

n

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y = A sen ( tTπ2

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- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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2 2 0 6 27

03 04 0

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

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)()(2

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=

nn

n

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cfcxcfcfcxn

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

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cfcxcfcfcxn

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t

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r= rdquo

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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03 04 0

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

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nn

n

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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03 04 0

1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

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xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

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)(

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dtdv

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t

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++==Δ

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r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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1 DA(1) 2 DA(1) 3 DA(1) 4 DA(1) 5 DA(1) _x 04 02 04 0

30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

cxn

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

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=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

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)( )(

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)(

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t

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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30 EA(0) 31 PA(0) 32 E(0) 33 E(0) 34 EA(0) _x

0 0 0 0

xxf )(a

suminfin

=

+=+=1

00 )()()(i

iCxfhxfxf

Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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Josefa 06 08 05 63 Daniel 1 1 05 83

82 80 71

ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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ANEXO

nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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nn

axn

afaxafaxafafxf )(

)()(2

)()(1

)()()()(

=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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=

nn

n

cxn

cfcxcfcfcxn

cf )(

)())(()()(

)( )(

0

)(

n

cxn

cfxf )(

)()(0

)(

minus= suminfin

=

kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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kdtdvj

dtdv

idtdv

ttvttvliacutem

dtvd zyx

t

rrrL

rrr

++==Δ

minusΔ+= gtminusΔ

)()(0

r= rdquo

0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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0t

y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

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y = A sen ( tTπ2

)

- - clubs EQUIPO 1
    - - clubs EQUIPO 2
        
        
        clubs EQUIPO 3

Date post:	26-Sep-2020
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