Índice

Biografía de Euclides

Geometría Analítica

Lugar Geométrico

Distancia entre dos puntos en el plano

Punto Medio

Pendiente de un Recta

Pendiente Negativa

Pendiente Cero

Pendiente Indefinida

Punto Pendiente de la Recta

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto

Regla General de la Recta

Los interceptos de la función.

Ecuación de la recta que pasa de 2 puntos.

Posición Relativa de dos rectas en el plano

Rectas Coincidentes

Rectas Secantes

Rectas Perpendiculares

BIOGRAFIA DE EUCLIDES

También conocido como Euclides de

Megara, quien fue un matemático y

geómetra de procedencia griega, de allí

conocido como “el Padre de la

Geometría”. Tuvo varios acontecimientos

importantes, como por ejemplo:

Euclides fue un personaje

matemático histórico que

escribió Los elementos y otras obras

atribuidas a él.

Euclides fue el líder de un equipo de

matemáticos que trabajaba

en Alejandría. Todos ellos

contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso

firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de

matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del

personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien

años antes.

Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la

escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de

Pitágoras.

Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la

cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan

vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y

combinaciones de circunferencias.

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Geometría analítica

Estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis

matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su

desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la

aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde

con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría

analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la

ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la

planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su

ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la

gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha

ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras

geométricas mediante fórmulas del tipo , donde es una

función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como

ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, ), las

circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de

grado 2 (la circunferencia , la hipérbola ),

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda

determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto.

Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre

dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un

par ordenado de números corresponde un único punto del plano.

Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia

biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano

y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta

correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

jenifer.22@live.com

Lugar Geométrico

Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que

satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia

habitualmente en términos

de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en

términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad

dada son elementos sencillos una recta, una circunferencia, una curva

cónica mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con

trazados mucho más complejos.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un

segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a

otra.

También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares

geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las

distancias de un punto a dos dados los focos)que es constante.

Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar

geométrico.

Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar

geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar

geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Cuando se trata de hallar el lugar geométrico de un determinado elemento,

lo más apropiado es trazar primero las figuras fijas dadas por el problema, y

luego ir trazando en distintas posiciones los elementos variables, hasta que

resulte evidente cuál es el lugar geométrico buscado.

Luego podremos analizar por qué ese elemento, al cambiar los demás

elementos variables, pertenece a una determinada figura.

Ejemplo: 1

Se dan los puntos M y B fijos y un ángulo α. Se considera la familia de

triángulos ABC tales que M es el punto medio de AC y el ángulo BAC es igual

a α. Lugar geométrico de C.

El ángulo BAC es igual al ángulo BAM. Este ángulo debe ser constante, igual

a α. Entonces, A está sobre los arcos capaces de MB para el ángulo α. C es

el simétrico de A respecto de M. Por lo tanto, al variar A sobre los arcos

capaces, el lugar geométrico de C son los arcos simétricos de éstos respecto

de M.

Conclusiones:

1. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una

determinada propiedad.

2. En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una

propiedad dada son elementos sencillos una recta, una

circunferencia, una curva cónica mientras que en otras ocasiones

pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.

3. Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el

lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de

ecuaciones.

4. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar

geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades sii todos

los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto

que las cumple pertenece a la figura.

Distancia entre dos

puntos en el plano

Si se conocen las coordenadas de dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) en un plano

entonces es posible hallar la distancia entre ellos.

Sean dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) cualesquiera es posible encontrar la

distancia entre ellos mediante tres casos posibles.

Caso #1:

Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre la misma recta

horizontal. En este caso, las ordenadas de P y Q son

iguales; esto es, y1 = y2 y la distancia entre ellos es:

d = x2 – x1

Caso #2:

Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre la misma vertical.

En este caso, las abscisas de P y Q son iguales, esto es, x1 =

x2 y la distancia entre ellos es:

d = / y2 – y1 /

Caso #3:

Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre

una recta que no es vertical ni horizontal. En

este caso, las abscisas son distintas y las

ordenadas también.

Si llamamos:

d(P1, P2) la distancia de P1 a P2

d(P1, R) la distancia de P1 a R

d(R, P2) la distancia de R a P2

Por el Teorema de Pitágoras tenemos:

[d(P1, P2) ]2 = [d(P1, R)]2 + [d(R, P2)]2

Fórmula de la

distancia en el

plano real

Punto medio

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se

encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes

iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del

segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del

segmento.

El punto medio de un segmento definido

por las coordenadas de sus extremos (x1, y1) y (x2, y2).

Ejemplo

1. Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto

medio del segmento que determinan.

Pendiente de una

recta

Pendiente Tipo de recta

positiva recta ascendente

negativa recta descendente

cero recta horizontal

no definida recta vertical

En la geometría analítica, un concepto importante asociado con las rectas

es el de pendiente.

La pendiente de una recta es un indicador de la inclinación de esta recta

con respecto a la horizontal. En la figura se muestra dos rectas L1 y L2, no

verticales, con distinta inclinación.

Vista de izquierda a derecha, la recta L1 se asemeja a una “subida” y

diremos que L1 se inclina hacia la

derecha. Las rectas de este tipo,

que parecen “acostarse” hacia

el lado derecho, forman un

ángulo agudo con la dirección

positiva del eje horizontal y tienen

pendiente positiva.

Vista de derecha a izquierda, la recta L2 se asemeja a una “bajada” y

diremos que L2 se inclina hacia

la izquierda. Las rectas de este

tipo, que parecen “acostarse”

hacia el lado izquierdo, forman

un ángulo obtuso con la

dirección positiva del eje

horizontal y tienen pendiente negativa.

Cuando decimos que una recta L tiene pendiente 2/3, esta información

permite hacernos una idea de la inclinación recta L. En este caso se trata de

una recta que se asemeja a una “subida”, una recta inclinada hacia la

derecha. Pero además este número fraccionario 2/3 nos indica otras cosas

más. Si bien las pendientes no necesariamente se expresan con fracciones,

esta representación facilita su interpretación. Vista como una fracción, una

pendiente positiva indica la razón “ascenso/avance” y una pendiente

negativa indica la razón “descenso/avance”. Así, de una recta con

pendiente 3/4, decimos que un punto que sigue la trayectoria de la recta

“asciende 3 unidades por cada 4 unidades que avanza”.

Imaginemos que estamos subiendo por una superficie inclinada, como

cuando trepamos un cerro. En nuestro camino hacia la cima, nos

desplazamos sobre una trayectoria inclinada la misma que es la resultante

de dos desplazamientos uno horizontal y otro vertical. El desplazamiento

horizontal lo relacionamos con el

“avance” y el desplazamiento vertical

con el “ascenso”. De esta manera, si la

pendiente del cerro es 3/4, y teniendo

en cuenta el teorema de Pitágoras,

cuando nos desplazamos 5 metros por

la trayectoria inclinada en nuestro

camino hacia la cima, es como si

hubiésemos “avanzado” 4 metros y

“ascendido” 3 metros. Dicho de otro

modo, recorrer 5 metros sobre la

trayectoria inclinada equivale a recorrer

4 metros “hacia la derecha” y 3 metros “hacia arriba”.

Algo similar se puede decir en el caso de rectas con pendientes negativas. Si

una recta tiene pendiente -5/12 significa que un punto que sigue la

trayectoria de la recta “desciende 5 unidades por cada 12 unidades que

avanza”.

Ahora imaginemos que estamos bajando por una superficie inclinada. El

desplazamiento horizontal lo relacionamos con el “avance” y el

desplazamiento vertical con el “descenso”. De esta manera, si la pendiente

de la superficie inclinada es -5/12, y

de acuerdo con el teorema de

Pitágoras, cuando nos

desplazamos 13 metros por la

superficie inclinada, es como si

hubiésemos “avanzado” 12 metros

y “descendido” 5 metros. Dicho de

otro modo, recorrer 13 metros sobre

esta superficie inclinada equivale a

recorrer 12 metros “hacia la

derecha” y 5 metros “hacia abajo”.

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de

y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0

Pendiente negativa

Visualmente, también podemos definir si la pendiente es positiva o

negativa:

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es

obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

PENDIENTE CERO (0) Cuando la recta es constante se tiende a decir que posee pendiente nula o

cero, en la expresión analítica m=0

Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0. Cuanto menor sea el valor de

la pendiente, menor inclinación tendrá la recta. También puede entenderse

cuando la recta es paralela al eje Y o al eje X. Por algún motivo las que

tienen pendiente cero son las completamente horizontales, de ecuación.

Un ejemplo es: X=5

Esta es una recta de pendiente cero ya que no tiene ni siquiera mencionada

la Y. siempre a 5 unidades de la ordenada.

PENDIENTE INDEFINIDA Su ecuación es: x=n; donde n es cualquier número Real.

La pendiente es la razón de cambios de x y y. Esta puede ser positiva,

negativa, 0 y en algunos casos, indefinida.

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es

una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está

definida.

Ejemplos:

x= 5

x= -5

x= 1000000

x= -7000000

Punto pendiente de la

recta Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y

con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces

su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente

de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de puede ser

interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es

decir, el valor de cuando . Este valor también es llamado

coordenada de origen.

Si la pendiente de una recta y el punto de la recta son

conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada

usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por:

Ecuaciones de la forma

pendiente-intercepto Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el

intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-

intercepto.

Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-

intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).

Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por

el origen.

Ejemplo: La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la

ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?

Ejercicio: Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto

con pendiente 3 y el intercepto en (0, 5).

Encontrar la Ecuación Pendiente-Intercepto de la recta con pendiente 2/3 e

intercepto de -1 en el eje Y. Graficar la recta resultante.

Solución

Los datos proporcionados son:

Es conveniente usar la ecuación pendiente-intercepto de la recta

Reemplazando los datos

Para graficar la recta:

Se puede tabular dos puntos y trazar la línea que los une; sino,

Ubicar el intercepto en el eje Y, a partir de ese punto interpretar la

pendiente para encontrar el siguiente punto; es decir, para este caso, se

sube dos unidades verticalmente por cada tres unidades horizontales.

Regla General de la

Recta

Se obtiene:

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita

de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta

cuando se pide la ecuación de una recta.

La pendiente de la recta es:

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y t iene como

pendiente m = -2.

Los interceptos de la

función

Los interceptos de la funcion se hayan igualando a 0 la otra variable

f(x)=4/x+6

aqui se puede ver que al hacer 0 la x para ver que valor toma la y el

resultado es infinito pues la division por 0 es indeterminada, lo cual explica

que en la grafica nunca se toque el eje y

por lo tanto el intercepto de y es infinito.

Ecuación de la recta que

pasa por dos puntos Según matemáticas 4 geometría analítica escrita por Galindo Trejo Jesús

Nos dice que geométricamente una recta queda determinada por dos

cualquiera de sus puntos. Analíticamente la ecuación de una recta también

queda determinada, si se conocen las coordenadas de dos puntos

y por donde pasa la recta , razón por la cual , también se le conoce como

la ecuación cartesiana

Por lo tanto la recta que pasa por dos puntos dados y tiene por ecuación:

Si x1 = x2 la ecuación anterior no puede usarse. En este caso, la recta es

paralela al eje y, y su ecuación:

Posición relativa de dos

rectas en el plano

Cuando estudiamos la posición relativa de dos rectas en el plano lo que

queremos saber es como se encuentra una recta en relación con la otra.

Rectas Paralelas Rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones. Uno de los ejemplos más populares es el de las vías de un tren.

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son

proporcionales.

Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

Propiedades de las Rectas Paralelas Las propiedades que ostentan las

mismas son:

Reflexiva (toda recta es paralela a si misma)

Simétrica (si una recta es paralela a otra, aquella será paralela a la

primera)

Transitiva (si una recta es paralela a otra y esta a su vez es paralela a

una tercera, la primera será paralela a la tercera recta),

Corolario de la propiedad transitiva (dos rectas paralelas a una

tercera serán paralelas entre sí) y (todas las rectas paralelas presentan

la misma dirección)

Rectas Coincidentes Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes

Dos rectas son coincidentes si los coeficientes de x, de y, y

del término independiente son proporcionales

EJEMPLO

Coincidentes: A/A = B/B = C/C

Dos rectas en el espacio

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada

por y y la recta

s por y , la

posición relativa de r y s viene dada por la

posición de .

Si hay dos

posibilidades: Rectas

coincidentes si .

Rectas secantes

Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.

El sistema de ecuaciones es compatible determinado ( tiene una solución

única ). Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte de

ambas rectas. Son rectas secantes.

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares s i sus vectores di rectores son

perpendiculares .

dos rectas son perpendiculares t ienen sus pendientes inversas y

cambiadas de s igno.

Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos iguales se dice que estas dos

rectas son perpendiculares . Se llama ángulo recto a cualquiera de los

ángulos con que se cortan.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y

cambiadas de signo.

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EJERCICIOS A REALIZAR

(EVALUACION DEL TEMA)

1Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que

pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

2De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0).

Halla las coordenadas del vértice D.

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0)

y C(6, 3).

4Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x +

2y - 7 = 0.

5Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es

paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

7 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4),

C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina

su centro.

8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es

paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).

9 Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo

isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo

AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

10 La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es

paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.

11Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4,

4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

12De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto

de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro

vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

13 Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2x + y - 12 = 0.

14 Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3,

0) y C(0, 1).

15Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x - y - 1 =

0 y pasa por el punto P(-3, 2).

16 Una recta de ecuación r ≡ x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un

segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las

coordenadas del otro extremo.

17 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por

ecuaciones:

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18 Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por

ecuaciones:

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19 Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y -

12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

20 Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la

rectas:

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21Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1,

4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Calcular su área.

22 Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2 x + m y -8 = 0,

determinar m para que formen un ángulo de 45°.

23 Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las

ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

24 Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x

- 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

BIBLIOGRAFÍA

www.wikipedia.com

www.diverlagunas.blogspot.com

www.um.es

http://www.monografias.com/trabajos11/mate/mate.shtml (5.04.2012)

Bibliografía

Matemáticas 4 Geometría analítica

Editorial UMBRAL S.A 2005

Escrito por Galindo Trejo Jesús

Páginas 58 a 59

Universidad a Distancia, Ingeniería Civil en línea

http://www.aiu.edu/university/Programas/Licenciatura/Ingenieria_Civil

/?gclid=CMSS6ei_gbACFYic7Qod2ni3mQ [11 mayo 2012]

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html

Libros:

Algebra y trigonometría Septima edición : Capitulo 2 graficas Tema 2.1

Grupo geométrico

Bibliografía:

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometric

o.pdf

http://matematica.50webs.com/lugar-geometrico-1.html

www.sectormatematica.cl/media/.../NM3_lugares_geometricos.doc

Videos :

http://www.slideshare.net/rsmartinez14590/lugar-geomtrico

http://www.youtube.com/watch?v=NfdFRTyoqnY