La Universidad del ZuliaFacultad de Ingeniería
División de Estudios para Graduados
Asignatura:Tópicos Especiales en Computación Numérica
Prof. Luis Zerpa, M.Sc.Email: [email protected]
7. Ecuaciones diferenciales parciales• Diferencias finitas: ecuaciones elípticas• Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas
Motivación
• Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto cualquiera (x,y) está definido como
• La derivada parcial de u con respecto de y es
• Una función que involucra derivadas parciales de una función desconocida con dos o más variables independientes, se denomina ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, o EDP
x
yxuyxxuxu
x
,,lim
0
y
yxuyyxuyu
y
,,lim
0
Motivación
• Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales
• El orden de una EDP es el de la derivada más alta
• Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables independientes
12 2
2
2
2
uyu
xyxu
yuyu
xyx
u582
2
2
3
xyxu
xu
2
33
2
2
6 xyu
xuxu
2
2
Motivación
• Por su amplia aplicación en ingeniería, nos concentramos en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden
donde A, B, y C son funciones de x y yD es una función de x, y, u, u/x y u/y
• Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada (A, B, y C) esta ecuación se puede clasificar en elíptica, parabólica o hiperbólica
02
22
2
2
Dyu
Cyx
uB
xu
A
Motivación
B2-4AC Categoría Ejemplo
< 0 Elíptica
Ecuación de Laplace (en estado estable con dos dimensiones espaciales)
= 0 Parabólica
Ecuación de conducción de calor (variable de tiempo con una dimensión espacial)
> 0 Hiperbólica
Ecuación de onda (variable de tiempo con una dimensión espacial)
Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden
02
2
2
2
yT
xT
2
2
'xT
ktT
02
22
2
2
Dyu
Cyx
uB
xu
A
2
2
22
2 1ty
cxy
Métodos empleados antes de la era de las computadoras
• Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analíticas o exactas de ecuaciones diferenciales parciales
• Aparte de los casos más simples, estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y complicación matemática
• Muchos sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente, por lo que tienen que simplificarse usando linearización, representaciones geométricas simples, y otras idealizaciones
• Estas soluciones aportan algún conocimiento del sistema que se está estudiando, sin embargo, están limitadas por la fidelidad con que representan la realidad
EDP y práctica de la ingeniería
• Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales
conforman clases específicas de problemas de ingeniería
• Las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas de
estado-estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o
término transitorio)
– Por lo general se emplean para determinar la distribución en
estado estable de una incógnita en dos dimensiones
1
1
S k Tw
Tw
Tw
Tw X(m)
Y(m
)
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frame 001 17 Sep 2002 CONDUCCION ESTABLE CON GENERACION DE CALORFrame 001 17 Sep 2002 CONDUCCION ESTABLE CON GENERACION DE CALOR
Conducción estable con generación de calor
Distribución de temperaturas
EDP y práctica de la ingeniería
• Las ecuaciones parabólicas determinan cómo varía una incógnita
tanto en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y
temporal)
– Tales casos se conocen como problemas de propagación
• Las ecuaciones hiperbólicas, también representan problemas de
propagación, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones
parabólicas en que la incógnita se caracteriza por una segunda
derivada con respecto al tiempo
– En consecuencia, la solución oscila
Diferencias finitas: ecuaciones elípticas
• Las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para
caracterizar problemas de estado estable y con valores en la
frontera
ECUACIÓN DE LAPLACE
• La ecuación de Laplace puede ser usada para modelar diversos
problemas que involucran el potencial de una variable desconocida
• Ésta se puede deducir a partir de un problema físico sencillo
• La transferencia de calor a través de una placa rectangular delgada
Diferencias finitas: ecuaciones elípticas
ECUACIÓN DE LAPLACE• La placa esta aislada excepto en sus
extremos
• La transferencia de calor esta limitada a las dimensiones x y y
• Considerando un elemento de la placa, el flujo de calor que entra en un periodo de tiempo debe ser igual al que sale
• Dividiendo entre Δz y Δt
y
xz Δz
q(x)
q(y+Δy)
q(y)
q(x+Δx)
Δx
Δy
tzxyyqtzyxxqtzxyqtzyxq
0 xyyqyqyxxqxq
0
yxy
yyqyqyx
xxxqxq
0
yq
xq
q es el flujo de calor (cal/(cm2 s)
Diferencias finitas: ecuaciones elípticas
• Ésta es una ecuación diferencial parcial, que es una expresión de la conservación de energía de la placa
• La ecuación debe ser replanteada en términos de la temperatura
• El enlace entre el flujo de calor y la temperatura está dado por la Ley de Fourier de conducción de calor
0
yq
xq
iT
Ckqi
• qi: flujo de calor en la dimensión i [cal/(cm2 s)]• k: coef. de difusividad térmica [cm2/s]• ρ: densidad del material [g/cm3]• C: capacidad calorífica del material [cal/(g ºC)]• T: temperatura [ºC]• k’: coef. De conductividad térmica [cal/s cm ºC]
Ckk '
Diferencias finitas: ecuaciones elípticas
• Sustituyendo la Ley de Fourier en la ecuación de conservación de energía de la placa se obtiene la ecuación de Laplace
• Para el caso donde hay fuentes o sumideros de calor dentro del dominio bidimensional, se agrega un término adicional
02
2
2
2
yT
xT
yxfyT
xT
,2
2
2
2
Ecuación de Poisson
Técnica de solución
• La solución numérica de las EDP elípticas procede en dirección inversa a la manera en que fue deducida la ecuación
• Se sustituyen las derivadas parciales de la ecuación por diferencias finitas basadas en la discretización de la placa como una malla de puntos discretos, transformando la EDP en una ecuación algebraica de diferencias y
x0, 0
0, n+1m+1, n+1
m+1, 0
i, ji+1, ji-1, j
i, j-1
i, j+1
La ecuación de Laplace en diferencias
• Las diferencias centrales basadas en el esquema de la malla son
2,1,,1
2
2 2
x
TTT
xT jijiji
21,,1,
2
2 2
y
TTT
yT jijiji
i, ji+1, ji-1, j
i, j-1
i, j+1• Las cuales tienen errores de O[Δx2] y O[Δy2]
• Sustituyendo en la ec. de Laplace
• Para una malla cuadrada Δx = Δy
02
2
2
2
yT
xT
022
21,,1,
2,1,,1
y
TTT
x
TTT jijijijijiji
04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT Cumple para todos los puntos internos de la malla
La ecuación de Laplace en diferencias
• Las condiciones en la frontera en los extremos de la placa deben estar especificadas para obtener una solución única
• Condición de frontera de Dirichlet es el caso más simple, se especifican valores constantes de la variable dependiente (Temperatura) en los bordes
• Para el nodo (1, 1) el balance de energía es,y
x0, 0
0, n+1m+1, n+1
m+1, 0
(1, 1) (2, 1) (3, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3)
T = 0ºC
T =
75
ºC
T = 100ºC
T =
50
ºC
04 1,10,12,11,01,2 TTTTT
Cond. Borde T0,1 = 75 T1,0 = 0
754 1,22,11,1 TTT
La ecuación de Laplace en diferencias
• Determinando el balance de energía en cada uno de los nodos internos se obtiene un sistema de nueve ecuaciones algebraicas lineales con nueve incógnitas
y
x0, 0
0, n+1m+1, n+1
m+1, 0
(1, 1) (2, 1) (3, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3)
T = 0ºCT
= 7
5ºC
T = 100ºC
T =
50
ºC
1504
1004
1754
504
04
754
504
04
754
3,33,22,3
3,33,23,12,2
3,23,12,1
3,32,32,21,3
3,22,32,22,11,2
3,12,22,11,1
2,31,31,2
2,21,31,21,1
2,11,21,1
TTT
TTTT
TTT
TTTT
TTTTT
TTTT
TTT
TTTT
TTT
La ecuación de Laplace en diferencias
• Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene la distribución de temperatura en el interior de la placa
y
x0, 0
0, n+1m+1, n+1
m+1, 0
(1, 1) (2, 1) (3, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3)
T = 0ºC
T =
75
ºC
T = 100ºC
T =
50
ºC
71050.69
06402.76
58718.78
33999.52
11238.56
21152.63
88506.33
29755.33
00061.43
3,3
3,2
3,1
2,3
2,2
2,1
1,3
1,2
1,1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Método de Liebmann
• En la práctica, las soluciones numéricas de la ecuación de Laplace involucran sistemas mucho más grandes
• En el balance de energía de un nodo de la malla pueden haber hasta un máximo de cinco incógnitas un número significativo de términos es cero
• Por esta razón, se prefiere usar métodos aproximados para la solución del sistema de ecuaciones resultante
• El método de Liebmann es un método para resolver EDP que utiliza el método de Gauss-Siedel para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas lineales
Método de Liebmann
• La ecuación para cada incógnita es,
esta se resuelve de manera iterativa desde j = 1 a n, y de i = 1 a m
• Como el sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, este procedimiento converge finalmente a una solución estable
• Se puede usar sobrerrelajación para acelerar la razón de convergencia, aplicando la siguiente fórmula después de cada iteración
• Criterio de paro
41,1,,1,1
,
jijijijiji
TTTTT
21 1 ,,, anteriorji
nuevoji
nuevoji TTT
snuevoji
anteriorji
nuevoji
jiaT
TT
,
,,,
s: error esperado
Condiciones en la frontera de Neumann
• Otra condición en la frontera comúnmente utilizada, en lugar de fijar un valor constante para la variable dependiente, es el caso cuando la derivada esta dada (tasa de variación de la variable dependiente en la frontera)
• Esta condición es conocida como condición en la frontera de Neumann
• Para el caso de la placa calentada, equivale a especificar el flujo de calor en la frontera
• Un ejemplo es cuando un extremo de la placa está aislado, en este caso la derivada es cero (condición en la frontera natural)
• Otro podría ser cuando se especifica el flujo de calor, ya sea por radiación o conducción, en una frontera
Condiciones en la frontera de Neumann
• Supongamos que se especifica una condición de Neumann en la frontera izquierda de la placa, la ecuación de balance de energía en un punto de dicha frontera es
04 ,01,01,0,1,1 jjjjj TTTTT
0, j1, j-1, j
0, j-1
0, j+1
• Se usa un punto imaginario fuera de la placa, que permite especificar la condición de frontera de la derivada
• Sustituyendo
xT
xTTx
TT
xT
jjjj
2
2 ,1,1,1,1
0422 ,01,01,0,1 jjjj TTT
xT
xT
xT
Estas condiciones generan ecuaciones adicionales para caracterizar a los nodos frontera a los cuales se especifican las derivadas
Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas
• Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar problemas dependientes del tiempo y el espacio
ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR• Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance de energía en un
elemento diferencial de una barra larga y delgada aislada, considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt
TCzyxtzyxxqtzyxq
Caliente FrioDividiendo entre el volumen
tT
Cx
xxqxq
Tomando el límite
t
TC
x
q
dxdT
kq 'Sustituyendo la Ley de Fourier tT
xT
k
2
2
Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas
• Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadas parciales por las diferencias divididas finitas
• Sin embargo, ahora hay que considerar cambios en el tiempo así como en el espacio
• Mientras las ecuaciones elípticas están acotadas en todas las dimensiones, las parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos
• Existen dos aproximaciones fundamentales para la solución de EDP parabólicas:
– Esquema explícito
– Esquema implícito
tT
xT
k
2
2
Métodos explícitos
• La ecuación de conducción de calor requiere aproximaciones para la segunda derivada en el espacio y para la primera derivada en el tiempo
• Sustituyendo
211
2
2 2x
TTTxT l
il
il
i
tTT
tT l
il
i
1
Error de O[Δx2] Error de O[Δt]
tTT
x
TTTk
li
li
li
li
li
1
211 2
211
1 2x
tkTTTTT l
il
il
il
il
i
tT
xT
k
2
2
Convergencia y estabilidad de los métodos explícitos
• Convergencia: significa que conforme Δx y Δt tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera
• Estabilidad: significa que los errores en cualquier etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza
• Se puede demostrar que el método explícito es convergente y estable si < 1/2, o
• Si 1/2 la solución oscila
• Si 1/4 la solución no oscila
• Si 1/6 los errores por truncamiento se minimizan
kx
t2
21
Métodos implícitos
• Los métodos implícitos superan los problemas de estabilidad que presentan los métodos explícitos
• Para la forma explícita, aproximamos la derivada espacial en el nivel de tiempo l
• En los métodos implícitos, la derivada espacial es aproximada en un nivel de tiempo l+1
2
11
111
2
2 2x
TTTxT l
il
il
i
Error de O[Δx2]
tTT
x
TTTk
li
li
li
li
li
1
2
11
111 2
2
11
111 21
x
tkTTTT l
il
il
il
i
Esta ecuación se aplica en todos los nodos, excepto en el primero y en el último, los cuales deben ser modificados para contener las condiciones en la frontera
