Ramon Llull és un dels escriptors més polifacètics de la tradició europea: va ser filòsof, teòleg, lògic, novel·lista, poeta, místic, polemista, missioner..., i va donar cohesió a aquesta extraordinària diversitat, desplegada en unes 265 obres, amb un sistema combinatori i semimecànic de demostració que ell va anomenar «Art».
Aquest mètode, al qual Llull remetia constantment el lector a fi que conegués els fonaments del seu pensament, fou desenvolupat per alliberar el debat interreligiós de les bases textuals tradicionals, sempre estèrils, i difongué la fama de l’autor per tot Europa fins al temps de Leibniz. L’extensa literatura moderna sobre l’Art s’ha dedicat sobretot a estudiarne els components principals, però hi ha pocs intents d’explicar com els utilitzava i combinava Llull per produir demostracions o «raons necessàries».
L’Art i la lògica de Ramon Llull tracta de mostrar quins tipus de sistemes demostratius va desenvolupar Llull durant les dues etapes principals de l’Art, com van evolucionar vers una adaptació d’elements clau de la lògica aristotèlica i per què l’Art va ser central en tots els seus projectes intel·lectuals.
Anthony Bonner (Nova York, 1928), músic de formació, s’ha dedicat professionalment a la traducció. Des de 1977, és magister de la Maioricensis Schola Lullistica i, com a tal, s’ha encarregat de l’edició de la revista Studia Lulliana. De 1988 a 2008, ha estat el director de la «Nova edició de les obres de Ramon Llull», continuació de l’edició crítica de les obres catalanes de Llull. Els dos volums dels seus Selected Works of Ramon Llull, publicats a Princeton el 1985, ofereixen una tria curosament anotada d’obres lul·lianes; la versió catalana d’aquesta obra, Obres selectes de Ramon Llull, va ser guardonada amb el Premi Nacional de Literatura Catalana l’any 1990. És autor de diversos llibres i de gairebé un centenar d’articles sobre Ramon Llull i el lul·lisme. En aquesta mateixa col·lecció ha publicat, juntament amb Maria Isabel Ripoll, el Diccionari de definicions lul·lianes (2002).
l’art i la lògica de RAMON LLULL
manual d’ús
anthony bonner
COL·LECCIÓ BLAQUERNA, 9
La Col·lecció Blaquerna és dedicada a la publicació d’estudis sobre Ramon Llull i el lul·lisme i sobre els contextos culturals en què es produeixen ambdós fenòmens. És una acció del Programa Blaquerna d’Estudis Lul·lians que impulsen la Universitat de les Illes Balears i la Universitat de Barcelona. És dirigida per Pere Rosselló (UIB) i Al bert Soler (UB).
1. J. N. Hillgarth, Diplomatari lul·lià: documents relatius a Ramon Llull i a la seva família. 2001.
2. A. Bonner i M. I. Ripoll, Diccionari de definicions lul·lianes. 2003.
3. L. Cifuentes, La ciència en català a l’Edat Mitjana i el Renaixement. 2002 (2a edició, 2006).
4. L. Pérez, Els fons manuscrits lul·lians de Mallorca. 2004.
5. Actes de les Jornades Internacionals Lul·lianes. «Ramon Llull al segle xxi». 2005.
6. S. Trias Mercant, Diccionari d’escriptors lul·listes. 2009.
7. M. Cabré, Cerverí de Girona: un trobador al servei de Pere el Gran. 2011.
8. R. Friedlein, El diàleg en Ramon Llull: l’expressió literària com a estratègia apologètica. 2011.
9. A. Bonner, L’Art i la lògica de Ramon Llull. Manual d’ús. 2012.
De propera aparició:
Actes de les Jornades en homenatge a J. N. Hillgarth & A. Bonner, a cura de M. I. Ripoll i M. Tortella. Recull de la major part de les inter vencions que es presentaren en les jornades or ganitzades des de la Càtedra Ramon LlullUIB a Palma el febrer de 2010.
A. Bonner, Estudis lul·lians. Recull antològic d’estudis publicats per l’autor, revisats i actualizats.
H. Riedlinger, Ramon Llull a París (13091311). Traducció d’un estudi ja clàssic sobre la quarta i última estada de Ramon Llull a París, publicat com a introducció al volum cinquè (1967) de les Raimundi Lulli Opera Latina.
l’a
rt
i l
a l
òg
ica
de
ra
mo
n l
lull
an
th
on
y b
on
ne
r
www.tmcat.net
www.publicacions.ub.edu
9 788447 535507
13423_coberta Art i la logica de Ramon Llull.indd 1 19/04/12 12:58
L’Art i la lògica de Ramon Llull
Manual d’ús
anthony Bonner
Traducció d’Helena Lamuela
13423_170412.indd 5 20/04/12 11:50
Universitat de Barcelona. Dades catalogràfiques
Bonner, Anthony, 1928- L’Art i la lògica de Ramon Llull : manual d’ús . -- (Blaquerna ; 9)
Notes. Bibliografia. Índexs ISBN 978-84-475-3550-7
I. Lamuela, Helena, trad. II. Títol III. Col∙lecció: Blaquerna (Universitat de Barcelona) ; 9 1. Llull, Ramon, 1232 o 3-1315 o 6 2. Lògica medieval
© Anthony Bonner, 2012© Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona
Adolf Florensa, s/n08028 BarcelonaTel.: 934 035 530Fax: 934 035 [email protected]
isBn 978-84-475-3550-7diPòsit legal B-9.186-2012imPressió i relligat Gráficas Rey
És rigorosament prohibida la reproducció total o parcial d’a questa obra. Cap part d’aquesta publicació, inclòs el dis-seny de la coberta, no pot ser reproduïda, emmagatzemada, transmesa o utilitzada per cap tipus de mitjà o sistema, sen-se l’autorització prèvia per escrit de l’editor.
13423_170412.indd 6 20/04/12 11:50
SUMARI
Pròleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Nota a la traducció catalana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Agraïments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Abreviatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
Il·lustracions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
1 . introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La vida de Ramon Llull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La centralitat de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 La naturalesa de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 L’Art és una mena de lògica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Les dues etapes de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Visió general dels mecanismes de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 . l’etaPa quaternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nocions de la teoria de grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Els termes i les figures de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Les figures restants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 El pròleg de l’AD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Condicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Intencions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Les qüestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 . canvis en l’art durant l’etaPa quaternària i la transició a l’etaPa ternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 El cicle de l’ACIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 El cicle de l’AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Els darrers estadis de la transició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 . l’etaPa ternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13423_170412.indd 9 20/04/12 11:50
Els fonaments: les dues primeres figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Principis «absoluts» i «relatius» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Les definicions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Les Qüestions i Regles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 La combinatòria: les dues darreres figures i la Taula . . . . . . . . . . . . . 159 La mescla de Principis i Regles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Els Nou Subjectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Les Cent Formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Les Qüestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 L’aplicació de l’Art ternària en altres obres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 L’Art posada a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 L’Art ternària és una Art demostrativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5 . l’etaPa Postartística: la lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Prolegòmens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 La transició de l’Art a la lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Les característiques generals de la lògica lul∙liana . . . . . . . . . . . . . . 219 La predicació lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 El sil∙logisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Les tres menes de demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Les premisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Noves aportacions lògiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 La recerca del mitjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Els sil∙logismes contradictoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Les hipòtesis i les suposicions contradictòries . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 La fal∙làcia de la contradicció aparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Una predicació trinitària? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Les demostracions pel grau superlatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Les darreres obres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6 . consideracions finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Un esperit inquiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 La significació, la metàfora i la demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Les tècniques demostratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 La relació de l’Art amb altres àmbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Alguns aspectes clau de l’Art lul∙liana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 La novetat de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
13423_170412.indd 10 20/04/12 11:50
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Índex d’obres lul·lianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Índex de noms i temes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13423_170412.indd 11 20/04/12 11:50
CaPítol 2
L’ETAPA QUATERNÀRIA
oBSErVacioNS GENEralS
L’art no solament passà per dues etapes força diferents, com s’ha dit abans, sinó que en cada període va patir nombrosos canvis i evolucions. L’etapa quaternària es pot dividir en dos cicles, cadas-
cun dels quals consta d’una obra fonamental seguida d’altres que n’ofereixen comentaris i aplicacions. El primer cicle es basa en l’obra inaugural de l’Art, l’Ars compendiosa inveniendi veritatem (c. 1274), i el segon, en l’Art demostra-tiva (c. 1283); després d’aquests tenim un tercer estadi d’obres de transició amb innovacions que preludien moltes de les característiques de l’etapa se-güent. El període ternari s’inicia amb l’Ars inventiva veritatis (1290), s’hi introdueixen alguns canvis i addicions importants en la Taula general (1293-1294) i rep la seva formulació definitiva en l’Ars generalis ultima (1305-1308), acompanyada del seu epítom, l’Ars brevis (1308). Presentar tots aquests canvis hauria menat el lector per un laberint envitricollat, amb el risc que els arbres no li deixessin veure el bosc, és a dir, que acabés per-dent de vista el tema essencial d’aquest llibre: el funcionament de l’Art. Així, doncs, m’ha semblat preferible explicar les obres més característiques de cada període i incloure, quan ha calgut, altres formulacions com a varia-cions sobre temes amb els quals el lector ja estarà familiaritzat.
A l’hora de tractar el període quaternari, això volia dir concentrar-se en l’Art demostrativa (AD) que, si ens hem de guiar pel nombre de comen-taris que Llull en va escriure, fou clarament l’obra que creia que constituïa la forma més presentable d’aquest estadi del sistema. A més, l’AD està or-ganitzada d’una manera molt més clara i lineal que l’Ars compendiosa inve-niendi veritatem (ACIV), cosa que la fa molt més manejable. Això no obs-tant, l’ACIV no quedarà del tot desatesa: en el capítol següent n’estudiarem les diferències principals respecte de l’AD, juntament amb les obres de transició que hem esmentat. D’altra banda, en l’AD (a diferència del que s’esdevé en l’ACIV) trobem una divisió sistemàtica entre les «primeres fi-
13423_170412.indd 29 20/04/12 11:50
30 L’Art i la lògica de Ramon Llull
gures», que normalment són circulars, i les «segones figures», les triangulars.1 La mena de sistematització que això comporta entra netament en el terreny de la moderna teoria de grafs. Per tal de treure l’entrellat d’aquesta darrera afirmació, més que una explicació formal de la teoria esmentada, n’oferirem una presentació breu i intuïtiva, suficient per entendre com la fa servir Llull.
NocioNS dE la tEoria dE GrafS2
Els grafs es van crear com un mètode per representar les connexions entre els punts d’una xarxa, com ara els d’una companyia de serveis que distribu-eixi gas, aigua i electricitat a les cases d’una ciutat o com els d’una empre-sa de transports que connecti moltes ciutats diferents. Per veure’n el fun-cionament a una escala molt més petita, imaginem-nos quatre ciutats, que anomenarem B, C, D i E, connectades per una xarxa de carreteres repre-sentada per la fig. 1a, més una carretera de circumval∙lació per a C, potser a causa d’indrets d’interès paisatgístic per a turistes.
La fig. 1b mostra una altra manera de representar aquesta situació. El fet que es pugui anar de B a C o de C a B vol dir que en les caselles B-C i
1. L’única primera figura que no és circular és la Figura Elemental. Vegeu la p. 106, per a la manca d’una distinció sistemàtica d’aquesta mena en l’ACIV.
2. Per a una presentació formal el lector pot consultar Deo 1974 i Foulds 1992 o, en català, Basart 1994. També és recomanable la més popular en Trudeau 1993. Agraeixo a Mi-quel Bertran, professor de matemàtiques de la Universitat Ramon Llull de Barcelona, els seus valuosos suggeriments i correccions arran de la lectura del present apartat.
13423_170412.indd 30 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 31
C-B hi ha de figurar un 1, i com que no es pot anar directament de C a E o de E a C, en les caselles respectives hi ha un 0. La carretera que co-mença i s’acaba en C fa que puguem posar un 1 en la casella C-C, mentre que en la resta de caselles B-B, etc., que no permeten fer aquesta ruta, hi tenim un 0.
Fem ara un breu cop d’ull a la terminologia: la fig. 1a és el que els matemàtics anomenen un «graf», B, C, D i E són «vèrtexs», les línies que els connecten són «arestes», i la que surt de C i hi torna és un «llaç». La fig. 1b és una «matriu» i, com que representa de manera exacta les rela-cions de la fig. 1a, s’anomena «matriu d’adjacència». El fet que en els nos-tres exemples totes les carreteres es puguin recórrer en ambdós sentits, comporta que qualsevol casella, com ara B-C, per exemple, tingui el mateix número que el seu invers, C-B. En conseqüència, si tracem una línia ima-ginària que vagi de l’angle superior esquerre a l’inferior dret de la fig. 1b (és a dir, a través de les caselles B-B, C-C, D-D i E-E), veurem que la matriu és simètrica respecte d’aquesta diagonal.3
Si connectem cada vèrtex de la fig. 1a (i, de moment, prescindim del llaç) obtenim un graf complet, com en la fig. 2a. Els matemàtics, per desig-nar un graf complet de quatre vèrtexs com aquest, fan servir el símbol K4.
3. Si les carreteres del nostre exemple fossin de sentit únic, cosa que voldria dir que, per exemple, hom podia anar de B a C, però no de C a B (almenys directament), això donaria lloc a una matriu amb un 1 en la casella de B-C i un 0 en la de C-B. El resultat seria el que els matemàtics anomenen un «graf dirigit» (sovint abreujat com a «digraf»), un graf la matriu d’adjacència del qual no és simètrica. Llull, però, tal com veurem, només fa servir grafs no dirigits amb matrius simètriques.
13423_170412.indd 31 20/04/12 11:50
32 L’Art i la lògica de Ramon Llull
A conseqüència d’aquesta completesa, la matriu de la fig. 2b té un 1 a tot arreu llevat de la diagonal. Si, a més, el graf tingués llaços en cada vèrtex, en totes les caselles de la fig. 2b hi hauria un 1.
Tal com veurem tot seguit, la Figura A de Llull consisteix simplement en una versió ampliada de la fig. 2a, amb 16 vèrtexs en lloc de 4, cosa que la converteix en un K16 exacte.4 També empra la fig. 2b, tot i que alterant-ne la forma, per bé que de quatre maneres completament legítimes, que, de fet, consisteixen en meres diferències en la notació. En primer lloc, Llull només fa servir una de les meitats triangulars (simètriques) de la matriu, estalviant-se així de repetir-ne l’altre meitat. O, per dir-ho en termes lul-lians, no troba rellevant distingir entre la casella de bonesa-grandesa i la de grandesa-bonesa. En segon lloc, atès que la manca de connexions tampoc no li interessa, omet la diagonal si conté zeros. En tercer lloc, pel fet d’ha-ver prescindit dels zeros, pot representar les arestes amb parelles de lletres en lloc de xifres. Finalment, distribueix les caselles en un ordre diferent. Per tant, doncs, Llull representaria (la part superior dreta de) una figura com la fig. 2b amb la mitja matriu de la fig. 3.
Quan Llull fa servir repeticions (els llaços del graf), cosa que, com veurem, només fa en el cicle de l’Art demostrativa de l’etapa quaternària, obtenim la fig. 4.5
4. De fet, Trudeau 1993, 28, com a il∙lustració d’un graf complet, fa servir un dibuix d’un K16 que és una rèplica exacta de la Figura A lul∙liana, en el qual només hi manca la lletra del mig i els noms de les dignitats al voltant de la circumferència.
5. A causa d’aquesta reordenació, les lletres repetides apareixen en la línia horitzontal superior de la mitja matriu lul∙liana, en lloc d’alinear-se al llarg de la diagonal.
13423_170412.indd 32 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 33
Per veure com tot això encaixa amb el camp prou proper de la com-binatòria, assenyalarem que la fig. 3 representa totes les combinacions pos-sibles de quatre lletres agrupades de dues en dues sense repeticions, i la fig. 4 representa el mateix amb repeticions.6
Un altre aspecte de la teoria de grafs que caldria tenir en compte és el fet que si es pot anar de tot vèrtex a qualsevol altre recorrent una sèrie d’arestes, el graf s’anomena graf «connex»; si no es pot, s’anomena graf «no connex». Per tant, els de les figures 1a i 2a són clarament grafs connexos. Un graf no connex sovint pren la forma de dos grafs independents, com els dos triangles de la fig. 5a,
que també es poden representar sobreposats com en la fig. 5b. Per tal d’en-tendre que les dues representacions són idèntiques des del punt de vista matemàtic, convé que el lector s’adoni que, en el cas que ens ocupa, les in-terseccions d’arestes de 5b no són rellevants o, dit d’una altra manera, no són vèrtexs; matemàticament les dues figures representen el mateix graf no con-nex, que podríem denotar amb D2/3, per tal d’assenyalar que és un graf no connex amb dos subgrafs, cadascun dels quals té tres vèrtexs. Com veurem, Llull empra totes dues menes de graf, connexos (K) i no connexos (D).
També fa servir una tercera mena de graf, amb vèrtexs, però sense línies que els connectin, que s’anomena «graf nul», cosa que veurem quan arribem a les petites figures Y i Z.
6. Sense repeticions la fórmula és n!/[(n − r)!r!], en què n és el número (de lletres, en aquest cas), r és el número d’elements que prenem cada vegada, i ! significa el factorial. Per tant, en aquest cas, n! = 4! = 4∙3∙2∙1 = 24, (n − r)! = (4 − 2)! = 2! = 2 i, d’una manera sem-blant, r! = 2, amb la qual cosa obtenim 24/2∙2 = 6 per la fórmula, que és el nombre de combi-nacions binàries de la fig. 3. Amb repeticions, la fórmula és (n + r − 1)!/[(n − 1)!r!], que en aquest cas dóna (4 + 2 − 1)!/3!∙2! = 5∙4∙3∙2/3∙2∙2 = 120/12 = 10, que és el nombre de caselles de la fig. 4.
13423_170412.indd 33 20/04/12 11:50
34 L’Art i la lògica de Ramon Llull
Hi ha dues últimes consideracions a fer sobre l’ús que fa Llull dels instruments gràfics. La primera és que les seves figures, si més no les «grà-fiques», per oposició a les matrius, estan sempre inscrites en cercles. Aques-ta és simplement la manera que té Llull d’assenyalar que tots els conceptes del graf en qüestió formen un sol conjunt o que, per exemple, els triangles de la Figura T són els subgrafs no connexos d’un sol graf; per tant, caldria que això no induís el lector a confondre aquests cercles amb els de l’única figura giratòria que apareix en la majoria de versions de l’Art.
En segon lloc, tot i que Llull no fa servir arbres en cap de les obres centrals de l’Art, una breu explicació potser ajudarà a evitar de caure en algunes de les confusions que han aparegut en la bibliografia sobre aquest recurs lul∙lià. En sentit matemàtic un arbre és un graf en què no hi ha cap via a seguir que comenci i acabi en el mateix vèrtex (sense fer marxa enre-re). Això dóna lloc a la típica estructura ramificada que associem a un ar-bre. Ara bé, en Llull, els arbres de l’Arbre de ciència són arbres de debò, així com també ho són els de la versió modificada de l’arbre de Porfiri en la Lògica nova. En canvi, els del Llibre del gentil e dels tres savis no són pas ar-bres en sentit matemàtic, no tenen vies per les quals es pugui anar de l’ar-rel, a través del tronc, cap a les branques i d’aquestes a les flors. Només les flors són operatives i hi fan merament la funció de representar, d’una ma-nera que resulta més decorativa i menys alarmant, les mitges matrius de l’Art amb la seva successió de caselles binàries.7
ElS tErMES i lES fiGurES dE l’art
En la Lectura compendiosa super Artem inveniendi veritatem, Llull divideix les figures principals en dos grups: el de S i T, que són figures «agents», i el de les altres, A, V, X, Y i Z, que són figures «pacients» (MOG I, vii, 41: 473). Les cinc darreres constitueixen el material bàsic amb què opera l’Art, men-
7. L’arbre de l’Arbre de filosofia d’amor (ORL XVIII, acarat a la p. 72) és de la mateixa mena que el de l’Arbre de ciència, tot i que als manuscrits no es dibuixa igual. El de l’Arbre de fi-losofia desiderat (ORL XVII, 405) s’assembla més al de la Lògica nova. Els que hi ha en el comen-çament de cinc obres en ROL XX són com els del Llibre del gentil, però amb flors de relacions ternàries. El dels Començaments de medicina (OS II, acarat a la p. 411; NEORL V, p. 41), és més aviat una explicació en forma de diagrama de les diverses parts de la medicina. Valdria la pena examinar amb més atenció tots els arbres de Llull des del punt de vista de la teoria de grafs.
13423_170412.indd 34 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 35
tre que les dues primeres proporcionen les eines amb què l’«artista», que és com Llull anomena l’usuari el seu sistema, les pot estudiar i manipular. Així, doncs, sembla que resultarà més fàcil estudiar primerament les figures pacients, que són més senzilles, abans de posar-nos a analitzar els elements psicològics i relacionals més complicats de les dues figures agents S i T.
La Figura A
Com el lector pot comprovar en l’apartat d’il∙lustracions en color repro-duïdes al plec central, aquesta figura és un cercle al voltant del qual hi ha escrits els setze conceptes següents:
bonesa saviesa glòria simplicitat
grandesa voluntat o amor perfecció noblesa
eternitat virtut justícia misericòrdia
poder veritat llarguesa senyoria
Com que en aquesta figura tots els vèrtexs estan connectats entre ells, és el que ja sabem que s’anomena un graf complet, que podem denotar amb K16.
8 Com era previsible, la descripció que en fa Llull és menys matemàtica: «La primera figura és circular, on està A en lo mig [...] e és la figura composta de setze cambres havents línies de la una cambra a altra, a significar que totes les cambres han conveniència, e que en re no es contrariegen. En aquelles cambres són escrites setze dignitats, les quals entenem ésser en Déu», dignitats que a continuació enumera (OS I, 292).
Resultarà útil comentar alguns aspectes d’aquesta afirmació. En Llull la paraula cambra (camera en llatí) fa referència a tota casella en què hi ha lletres o conceptes escrits.9 En la circumferència de la figura que ens ocupa hi ha un concepte en cada casella. Tanmateix, com veurem, en el discurs de l’Art aquestes cambres normalment no són unitàries sinó binà-ries i, a vegades, fins i tot contenen més de dos conceptes o lletres.
8. Vegeu la n. 4.9. En obres de caire més divulgatiu, que sovint són aquelles en què es parla d’arbres,
les cambres es converteixen en «flors» i hom s’hi refereix com a tals, sens dubte, a fi que tot plegat tingui una aparença menys tècnica i inquietant.
13423_170412.indd 35 20/04/12 11:50
36 L’Art i la lògica de Ramon Llull
Ja que hem esmentat les lletres, convé aclarir que les que hi ha just a la part de dins de la vora exterior d’aquesta i de totes les altres figures –amb l’excepció notable de la Figura S– només hi són per fer possible una mani-pulació combinatòria addicional en relació amb la Figura Demostrativa. No s’utilitzen mai en el discurs mateix de l’Art, en el qual Llull només esmen-ta els conceptes de la Figura A amb els seus noms complets.10
Les expressions «han conveniència» i «es contrariegen» que Llull uti-litza en la descripció citada, fan referència als termes «concordança» i «con-trarietat» que són, com veurem, components de la Figura T. És important que s’entengui que aquesta concordança entre conceptes queda representa-da per les línies de la figura (les arestes del nostre graf), perquè això és el que distingirà aquest graf complet dels grafs no connexos d’altres figures, així com de les figures de l’Art ternària.
Pel que fa als conceptes inclosos dins de la figura, Llull, en les seves primeres obres, com ara el Llibre de contemplació, l’ACIV o el Llibre del gentil, a l’hora de designar els atributs divins, optà pel terme «virtuts», tot i que aquesta preferència d’ús l’havia obligat a donar alguna explicació comple-mentària, com ara quan en l’ACIV especifica: «Escrivim A per Déu, al qual atribuïm setze virtuts, no accidentals sinó essencials (aquí no pretenem parlar de les virtuts teològiques o cardinals)».11 Arribada l’època de l’AD, «digni-tats» esdevé la paraula lul∙liana habitual per referir-se als atributs divins.12 Al significat comú d’aquesta paraula, s’hi sumava el fet de ser la traducció esco-làstica més corrent del grec axioma, una connotació que Llull devia haver trobat suggestiva, malgrat que aquest darrer mot s’atribuïa a proposicions i no pas a termes. Finalment, cal subratllar que en cap de les obres d’aquest perí-ode Llull no ofereix explicacions o definicions dels conceptes per separat.
Per a la comoditat del lector que vulgui consultar versions llatines d’aquesta etapa de l’Art, donem els equivalents llatins dels termes catalans. També hem afegit, al costat de les quatre últimes dignitats, les versions de l’ACIV que divergeixen de l’AD (abans i després de la barra inclinada, res-pectivament).
10. Per a l’absència d’aquestes lletres en el cicle de l’Ars compendiosa inveniendi verita-tem, vegeu el cap. 3, el paràgraf que precedeix la n. 15.
11. Vegeu la p. 105. 12. Per a les diverses designacions de les dignitats divines, vegeu Bonner 1996a. Altres
sinònims que de vegades utilitza són: «qualitats», «nobleses», «perfeccions», «raons», «atri-buts», i «infinitats».
13423_170412.indd 36 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 37
La S
egon
a Fi
gura
de
A
bone
sabo
nesa
gran
desa
gran
desa
eter
nita
tet
erni
tat
pode
rpo
der
savi
esa
savi
esa
volu
ntat
volu
ntat
virt
utvi
rtut
verit
atve
ritat
glòr
iagl
òria
perfe
cció
perfe
cció
just
ícia
just
ícia
llarg
uesa
llarg
uesa
simpl
i-sim
pli-
nobl
esa
nobl
esa
mise
ricòr
-m
iseric
òr-
seny
oria
seny
oria
bone
sagr
ande
sagr
ande
saet
erni
tat
eter
nita
tpo
der
pode
rsa
vies
asa
vies
avo
lunt
atvo
lunt
atvi
rtut
virt
utve
ritat
verit
atgl
òria
glòr
iape
rfecc
iópe
rfecc
ióju
stíc
iaju
stíc
ialla
rgue
salla
rgue
sa
simpl
i-sim
pli-
nobl
esa
nobl
esa
mise
ricòr
-m
iseric
òr-
seny
oria
bone
saet
erni
tat
gran
desa
pode
ret
erni
tat
savi
esa
pode
rvo
lunt
atsa
vies
avi
rtut
volu
ntat
verit
atvi
rtut
glòr
iave
ritat
perfe
cció
glòr
iaju
stíc
iape
rfecc
iólla
rgue
saju
stíc
ia
simpl
i-lla
rgue
sano
bles
asim
pli-
mise
ricòr
-no
bles
ase
nyor
iabo
nesa
pode
rgr
ande
sasa
vies
aet
erni
tat
volu
ntat
pode
rvi
rtut
savi
esa
verit
atvo
lunt
atgl
òria
virt
utpe
rfecc
ióve
ritat
just
ícia
glòr
ialla
rgue
sape
rfecc
ió
simpl
i-ju
stíc
iano
bles
alla
rgue
sam
iseric
òr-
simpl
i-se
nyor
iabo
nesa
savi
esa
gran
desa
volu
ntat
eter
nita
tvi
rtut
pode
rve
ritat
savi
esa
glòr
iavo
lunt
atpe
rfecc
ióvi
rtut
just
ícia
verit
atlla
rgue
sagl
òria
simpl
i-pe
rfecc
ióno
bles
aju
stíc
iam
iseric
òr-
llarg
uesa
seny
oria
bone
savo
lunt
atgr
ande
sa
virt
utet
erni
tat
verit
atpo
der
glòr
iasa
vies
ape
rfecc
ióvo
lunt
atju
stíc
iavi
rtut
llarg
uesa
ve
ritat
simpl
i-gl
òria
nobl
esa
perfe
cció
mise
ricòr
-ju
stíc
iase
nyor
iabo
nesa
virt
utgr
ande
save
ritat
eter
nita
tgl
òria
pode
rpe
rfecc
iósa
vies
aju
stíc
iavo
lunt
atlla
rgue
savi
rtut
simpl
i-ve
ritat
nobl
esa
glòr
iam
iseric
òr-
perfe
cció
seny
oria
bone
save
ritat
gran
desa
glòr
iaet
erni
tat
perfe
cció
pode
rju
stíc
iasa
vies
alla
rgue
savo
lunt
atsim
pli-
virt
utno
bles
ave
ritat
mise
ricòr
-gl
òria
seny
oria
bone
sagl
òria
gran
desa
perfe
cció
eter
nita
tju
stíc
iapo
der
llarg
uesa
savi
esa
simpl
i-vo
lunt
atno
bles
avi
rtut
mise
ricòr
-ve
ritat
seny
oria
bone
sape
rfecc
iógr
ande
saju
stíc
iaet
erni
tat
llarg
uesa
pode
rsim
pli-
savi
esa
nobl
esa
volu
ntat
mise
ricòr
-vi
rtut
seny
oria
bone
saju
stíc
iagr
ande
salla
rgue
saet
erni
tat
simpl
i-po
der
nobl
esa
savi
esa
mise
ricòr
-vo
lunt
atse
nyor
iabo
nesa
llarg
uesa
gran
desa
simpl
i-et
erni
tat
nobl
esa
pode
rm
iseric
òr-
savi
esa
seny
oria
bone
sasim
pli-
gran
desa
nobl
esa
eter
nita
tm
iseric
òr-
pode
rse
nyor
iabo
nesa
nobl
esa
gran
desa
mise
ricòr
-et
erni
tat
seny
oria
bone
sam
iseric
òr-
gran
desa
seny
oria
bone
sase
nyor
ia
13423_170412.indd 37 20/04/12 11:50
38 L’Art i la lògica de Ramon Llull
bonitas sapientia gloria misericordia/simplicitas
magnitudo voluntas o amor13 perfectio humilitas/nobilitas
aeternitas virtus justitia dominium/misericordia
potestas veritas largitas patientia/dominium
La (mitja) matriu triangular que li correspon i que reproduïm en la pàgina anterior és el que Llull anomena «la segona figura de A».14
Com que hi ha una correspondència exacta entre aquesta i la primera figura (perquè les dignitats concorden totes les unes amb les altres), aquí tenim una matriu d’adjacència. I pel fet que, com hem dit abans, en la ma-jor part del cicle de l’Art demostrativa (i només llavors) Llull permet repeti-cions (la primera línia de la mitja matriu), tenim combinacions amb repe-ticions, cosa que ens dóna 136 cambres.15
Com veurem més endavant, el discurs de l’etapa quaternària està construït gairebé enterament a partir d’aquestes cambres binàries de les se-gones figures, per tant, doncs, en els apartats següents les anirem presentant una per una, bo i seguint els passos de Llull.16
La Figura V
Les set virtuts i els set vicis d’aquesta figura són els següents:
fe (fides) gola esperança (spes) luxúria caritat avarícia justícia orgull (superbia)
13. En la llista de les dignitats lul∙lianes, «voluntat» i «amor» són termes sovint inter-canviables.
14. Cal que el lector vagi amb compte de no aplicar els termes «primera figura» i «segona figura» en l’ACIV, en la qual volen dir una cosa completament diferent; vegeu la p. 106 i seg.
15. Si emprem la fórmula de la n. 6, (n + r − 1)!/(n − 1)!r!, obtenim (16 + 2 − 1)!/(16 − 1)!∙2! = 17∙16/2∙1 = 136.
16. Només ometrem les de les figures de teologia, de filosofia i de dret (per a les quals vegeu les pp. 60-61), perquè tenen a veure amb camps externs a l’Art.
13423_170412.indd 38 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 39
prudència accídia fortitud17 enveja temprança ira
Com el lector pot comprovar en l’apartat d’il∙lustracions en color, les virtuts estan escrites en tinta blava i els vicis, en tinta vermella, colors que també s’empren en el text, en el qual «la V blava» significa simplement les virtuts i «la V vermella», els vicis.18 Fixeu-vos també en l’entramat de línies blaves que connecten totes les virtuts i en el de línies vermelles que connecten els vicis, cosa que ens dóna un graf que és fàcil d’interpretar com una versió ampliada de la figura 5b. Això fa que V sigui un graf no connex amb dos subgrafs de set vèrtexs cadascun, que denotarem amb D2/7.
L’explicació que Llull ofereix d’aquesta figura diu que és circular i «ha línies blaves e vermelles, e la V, que és mig vermella e mig blava, e situada en lo mig de les línies, significa per açò d’ésser blau e vermell que comprèn aqueixes mateixes virtuts e vicis. Les línies blaves transversals, emperò, que s’estenen d’una cambra de virtut a altra, signifiquen i manifesten que totes les virtuts se concorden19 en dues maneres: la una manera és com se con-corden entre elles mateixes, l’altra és com se concorden contra els vicis; e açò mateix se segueix dels vicis, los quals han línies vermelles, que s’este-nen d’una cambra de vicis a altra, els quals vicis concordant-se en si matei-xos e contrariants a les virtuts». (OS I, 300)
Els conceptes d’aquesta figura, juntament amb els de la Figura A, formen l’esquelet de moltes de les obres de Llull de caràcter més divulgatiu, com ara el Llibre del gentil o alguna de les seves col∙leccions de sermons, en les quals limita l’exposició explícita de l’Art a aquests conceptes més acces-sibles i omet (o dissimula) l’ús de les altres figures.
Reproduïm la mitja matriu corresponent en la pàgina següent.
17. Fins i tot en els textos catalans, Llull sempre utilitza la forma llatina fortitudo.18. Llull només omet els colors quan aparella V amb conceptes positius o negatius,
una circumstància en què se sobreentén que representa virtuts o vicis, respectivament. D’aquesta manera, el lector de l’AD, tal com aprendrà quan estudiem les figures S, Y i Z, so-vint toparà amb les cambres E A V Y i I V Z amb el primer significat, «amb l’ànima racional que ama Déu, les virtuts i la veritat», i amb el segon significat, «amb l’ànima racional que desama el pecat i la falsedat».
19. Fixeu-vos novament en l’equivalència entre la «concordança» i les arestes del nostre graf; aquest és el motiu pel qual no hi ha cap línia que enllaci una virtut amb un vici. Cal advertir que part del passatge citat manca al text català i ha estat traduït del llatí.
13423_170412.indd 39 20/04/12 11:50
40 L’Art i la lògica de Ramon Llull
La S
egon
a Fi
gura
de
V
fe
fees
pera
nça
espe
ranç
aca
ritat
carit
atju
stíc
iaju
stíc
iapr
udèn
cia
prud
ènci
afo
rtitu
dfo
rtitu
dte
mpr
ança
tem
pran
çago
lago
lalu
xúria
luxú
riaav
aríc
iaav
aríc
iaor
gull
orgu
llac
cídi
aac
cídi
aen
veja
enve
jaira
ira
fe
espe
ranç
aes
pera
nça
carit
atca
ritat
just
ícia
just
ícia
prud
ènci
apr
udèn
cia
fort
itud
fort
itud
tem
pran
çate
mpr
ança
gola
gola
luxú
rialu
xúria
avar
ícia
avar
ícia
orgu
llor
gull
accí
dia
accí
dia
enve
jaen
veja
irafe
ca
ritat
espe
ranç
aju
stíc
iaca
ritat
prud
ènci
aju
stíc
iafo
rtitu
dpr
udèn
cia
tem
pran
çafo
rtitu
dgo
late
mpr
ança
luxú
riago
laav
aríc
ialu
xúria
orgu
llav
aríc
iaac
cídi
aor
gull
enve
jaac
cídi
aira
fe
just
ícia
espe
ranç
apr
udèn
cia
carit
atfo
rtitu
dju
stíc
iate
mpr
ança
prud
ènci
a go
lafo
rtitu
dlu
xúria
tem
pran
çaav
aríc
iago
laor
gull
luxú
riaac
cídi
aav
aríc
iaen
veja
orgu
llira
fe
prud
ènci
aes
pera
nça
fort
itud
carit
atte
mpr
ança
just
ícia
gola
prud
ènci
alu
xúria
fort
itud
avar
ícia
tem
pran
çaor
gull
gola
accí
dia
luxú
riaen
veja
avar
ícia
irafe
fo
rtitu
des
pera
nça
tem
pran
çaca
ritat
gola
just
ícia
luxú
riapr
udèn
cia
avar
ícia
fort
itud
orgu
llte
mpr
ança
accí
dia
gola
en
veja
luxú
ria
irafe
te
mpr
ança
espe
ranç
ago
laca
ritat
luxú
riaju
stíc
iaav
aríc
iapr
udèn
cia
orgu
llfo
rtitu
dac
cídi
ate
mpr
ança
enve
jago
la
irafe
go
laes
pera
nça
luxú
riaca
ritat
avar
ícia
just
ícia
orgu
llpr
udèn
cia
accí
dia
fort
itud
enve
jate
mpr
ança
irafe
lu
xúria
espe
ranç
aav
aríc
iaca
ritat
orgu
llju
stíc
iaac
cídi
apr
udèn
cia
enve
jafo
rtitu
dira
fe avar
ícia
espe
ranç
aor
gull
carit
atac
cídi
aju
stíc
iaen
veja
prud
ènci
a ira
fe orgu
lles
pera
nça
accí
dia
carit
at
enve
jaju
stíc
iaira
fe
accí
dia
espe
ranç
aen
veja
carit
at
irafe
en
veja
espe
ranç
a ira
fe
ira
13423_170412.indd 40 20/04/12 11:50
Capítol 2. L’etapa quaternària 41
Atès que les segones figures de l’AD són el punt de partença per juxtaposar i estudiar totes les possibles combinacions binàries dels conceptes que s’hi enumeren, i no solament les concordants connectades per línies, aquí ja no tenim una correspondència funcional exacta entre les dues figures i, per tant, la segona ja no és una matriu d’adjacència. En aquesta figura, com que el nombre de components és inferior, tenim 105 cambres de combinacions binàries.20
La Figura X
La Figura X té setze conceptes, que enumerarem en dues sèries de vuit pa-relles de conceptes, imitant la manera com Llull els empra sovint:
predestinació franc arbitriésser privacióperfecció defectemèrit culpasuposició demostracióimmediatament mediatamentrealitat raons21
potència objecte
Com es pot veure en l’apartat d’il∙lustracions en color, la Figura X s’assem-bla a la Figura A pel fet de tenir tots els vèrtexs units; tornem a tenir, doncs, un graf connex K16, i això malgrat que està composta per parelles de conceptes oposats. O, tal com Llull ho expressa, «En esta figura són línies qui toquen cascuna de les cambres, a significar que les cambres a vegades se concorden, a vegades són contràries, e açò mediate e immediate; e per açò és aquesta figura molt necessària a esta Art» (OS I, 301). Fixeu-vos que, a més de concordança i contrarietat, també s’hi parla de «mediate» i «immediate», dos conceptes de la mateixa Figura X.
20. (n + r − 1)!/(n − 1)!r! aquí dóna lloc a (14 + 2 − 1)!/(14 − 1)!∙2! = 15∙14/2∙1 = 105.21. En els primers manuscrits apareix en plural (i en la forma llatinitzant rationes) i no
en singular com en els manuscrits més tardans, en MOG i en OS. Altres formes llatinitzants que Llull empra en la redacció catalana d’aquesta llista són defectus, immediate i mediate (els dos darrers mots, amb la desinència adverbial llatina).
13423_170412.indd 41 20/04/12 11:50
42 L’Art i la lògica de Ramon Llull
La S
egon
a Fi
gura
de
X
pred
estin
-pr
edes
tin-
ésse
rés
ser
perfe
cció
perfe
cció
mèr
itm
èrit
supo
sició
supo
sició
im
med
iata-
imm
ediat
a-re
alita
tre
alita
tpo
tènc
iapo
tènc
iafra
nc ar
bitri
franc
arbi
tripr
ivac
iópr
ivac
ióde
fecte
defec
tecu
lpa
culp
ade
mos
tració
dem
ostra
cióm
ediat
a-m
ediat
a-ra
ons
raon
sob
jecte
objec
tepr
edes
tin-
ésse
rés
ser
perfe
cció
perfe
cció
mèr
itm
èrit
supo
sició
supo
sició
imm
ediat
a-im
med
iata-
reali
tat
reali
tat
potè
ncia
potè
ncia
franc
arbi
trifra
nc ar
bitri
priv
ació
priv
ació
defec
tede
fecte
culp
acu
lpa
dem
ostra
cióde
mos
tració
med
iata-
med
iata-
raon
sra
ons
objec
tepr
edes
tin-
perfe
cció
ésse
rm
èrit
perfe
cció
supo
sició
mèr
itim
med
iata-
supo
sició
reali
tat
imm
ediat
a-po
tènc
iare
alita
tfra
nc ar
bitri
potè
ncia
priv
ació
franc
arbi
tride
fecte
priv
ació
culp
ade
fecte
dem
ostra
ciócu
lpa
med
iata-
dem
ostra
cióra
ons
med
iata-
objec
tepr
edes
tin-
mèr
ités
ser
supo
sició
perfe
cció
imm
ediat
a-m
èrit
reali
tat
supo
sició
potè
ncia
imm
ediat
a-fra
nc ar
bitri
reali
tat
priv
ació
potè
ncia
defec
tefra
nc ar
bitri
culp
apr
ivac
ióde
mos
tració
defec
tem
ediat
a-cu
lpa
raon
sde
mos
tració
objec
tepr
edes
tin-
supo
sició
ésse
rim
med
iata-
perfe
cció
reali
tat
mèr
itpo
tènc
iasu
posic
iófra
nc ar
bitri
imm
ediat
a-pr
ivac
ióre
alita
tde
fecte
potè
ncia
culp
afra
nc ar
bitri
dem
ostra
ciópr
ivac
ióm
ediat
a-de
fecte
raon
scu
lpa
objec
tepr
edes
tin-
imm
ediat
a-és
ser
reali
tat
perfe
cció
potè
ncia
mèr
itfra
nc ar
bitri
supo
sició
priv
ació
imm
ediat
a-de
fecte
reali
tat
culp
apo
tènc
iade
mos
tració
franc
arbi
trim
ediat
a-pr
ivac
ióra
ons
defec
teob
jecte
pred
estin
-re
alita
tés
ser
potè
ncia
perfe
cció
franc
arbi
trim
èrit
priv
ació
supo
sició
defec
teim
med
iata-
culp
are
alita
tde
mos
tració
potè
ncia
med
iata-
franc
arbi
trira
ons
priv
ació
objec
tepr
edes
tin-
potè
ncia
ésse
rfra
nc ar
bitri
perfe
cció
priv
ació
mèr
itde
fecte
supo
sició
culp
aim
med
iata-
dem
ostra
cióre
alita
tm
ediat
a-po
tènc
iara
ons
franc
arbi
triob
jecte
pred
estin
-fra
nc ar
bitri
ésse
rpr
ivac
iópe
rfecc
ióde
fecte
mèr
itcu
lpa
supo
sició
dem
ostra
cióim
med
iata-
med
iata-
reali
tat
raon
spo
tènc
iaob
jecte
pred
estin
-pr
ivac
ióés
ser
defec
tepe
rfecc
iócu
lpa
mèr
itde
mos
tració
supo
sició
med
iata-
imm
ediat
a-ra
ons
reali
tat
objec
tepr
edes
tin-
defec
teés
ser
culp
ape
rfecc
ióde
mos
tració
mèr
itm
ediat
a-su
posic
ióra
ons
imm
ediat
a-ob
jecte
pred
estin
-cu
lpa
ésse
rde
mos
tració
perfe
cció
med
iata-
mèr
itra
ons
supo
sició
objec
tepr
edes
tin-
dem
ostra
cióés
ser
med
iata-
perfe
cció
raon
sm
èrit
objec
tepr
edes
tin-
med
iata-
ésse
rra
ons
perfe
cció
objec
tepr
edes
tin-
raó
ésse
rob
jecte
pred
estin
- ob
jecte
13423_170412.indd 42 20/04/12 11:50