Laboratorio_10_-_Teoria_de_Colas1

7/30/2019 Laboratorio_10_-_Teoria_de_Colas1

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Teora de Colas

Anlisis de Sistemas de

Colas con WinQsb

O B J E T I V O S

Al culminar la presente prctica, el alumno estar capacitado para:

Utilizar la Teora de Colas como una herramienta de apoyo en el anlisis de los sistemas de colas. Proponer alternativas de diseo que permitan la optimizacin de los sistemas de colas. Determinar el nivel ptimo de servicio para el sistema.

R E C U R S O S

Software WinQSB (opcin Queuing Analysis)

D U R A C I N D E L A P R C T I C A

Una sesin de 4 horas.

M A R C O T E R I C O

Ver apuntes de clase

A C T I V I D A D E S D E L A P R C T I C A

Identificar las principales propiedades de un sistema de colas para analizar la eficiencia de dicho

sistema.

Interactuar con los modelos.

Problemas de Anlisis

Ing. Efran Murillo

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Sesin10


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Teora de Colas

APLICACIN 1. Un almacn tiene 2 cajeras que atienden a razn de 1.5 minutos por clientesiguiendo una distribucin exponencial. Los clientes llegan a este almacn siguiendo una distribucinPoisson a razn de 30 por hora. Con esta informacin calcular: A) La probabilidad de que el sistema est

lleno, B) La intensidad de trfico.

Datos:Numero de servidores = 2 =30 [cl/hr] =1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]El problema ser del tipo M/M/2/FIFO/ /Procedimiento

1. Se iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de Colas (QA).2. Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se

llamar Cajeras, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

3. En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como se muestra:

Los valores de M, representan que es un valor infinito, como ya se menciono antes.

4. Al presionar el icono se ver la ventana de los resultados:

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Teora de Colas

De la ventana de resultados podemos concluir:Customer arrival rate per hour = = 30 [cl/hr]Service rate per server per hour = = 40 [cl/hr]Overall system effective arrival rate per hour = Tasa de llegadas eficaces al sistema global por hora =30Overall system effective service rate per hour = Tasa de servicio eficaz del sistema global por hora = 30Overall system utilization = Tasa de ocupacin del sistema = = 37.5 %

Average number of customers in the system = Nmero promedio de clientes en el sistema = L = 0.8727Average number of customers in the queue = Nmero promedio de clientes en la cola = Lq = 0.1227Average number of customers in the queue for a busy system = Nmero promedio de clientes en la cola

para un sistema ocupado = Lb = 0.6Average time customer spends in the system = Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema = W= 0.0291 [horas]Average time customer spends in the queue = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola = Wq =0.0041 [horas]Average time customer spends in the queue for a busy system = Tiempo promedio que un cliente pasaen la cola para un sistema ocupado = Wb = 0.02 [horas]The probablity that all servers are idle = Probabilidad de que todos los servidores estn ociosos = P 0 =45.45 %The probablity an arriving costumer waits = Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema =

Pw = Pb = 20.45 %Average number of customers being balked per hour = Numero promedio de clientes que no sernatendidos por el sistema por hora = 0

Por lo que las respuestas buscadas son:

A. Tasa de ocupacin del sistema = = 37.5 %B. Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema = Pw = Pb = 20.45 %

Adicionalmente podemos realizar los siguientes anlisis:

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Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0 hasta 200 clientes en la cola: Si presionamos enResultla opcinProbability Summary, observaremos la siguiente ventana:

En este caso no es necesario llegar a 200 clientes, ya que se puede observar claramente, que lasprobabilidades de que existan 9 clientes, ya son casi cero (0.0001), siendo as de que la probabilidad deque existan 10 clientes sea cero.

Tambin podemos realizar una simulacin del sistema:

a. Si presionamos veremos la siguiente ventana:

En el que usaremos:o La semilla de aleatoriedad por defectoo Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)o Un tiempo de simulacin de cola de 24 horas (1 da).o El momento que iniciar la recoleccin de datos ser a las cero horas.o La capacidad de la cola es infinita (M).o El mximo de nmero de recolecciones de datos ser infinito (M).

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Si presionamos OK, se llevar adelante la simulacin y veremos los siguientes resultados de la actuacin de lacola durante 24 horas:

System M/M/2 =Sistema M/M/2Customer arrival rate per hour = = 30 [cl/hr]Service rate per server per hour = = 40 [cl/hr]Overall system effective arrival rate per hour = Tasa de llegadas eficaces al sistema global por hora =27.3295Overall system effective service rate per hour = Tasa de servicio eficaz del sistema global por hora =27.3295Overall system utilization = Tasa de ocupacin del sistema = = 34.2151 %Average number of customers in the system = Nmero promedio de clientes en el sistema = L = 0.7565Average number of customers in the queue = Nmero promedio de clientes en la cola = Lq = 0.0722Average number of customers in the queue for a busy system = Nmero promedio de clientes en la cola

para un sistema ocupado = Lb = 0.4174Average time customer spends in the system = Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema = W= 0.0277 [horas]Average time customer spends in the queue = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola = Wq =0.0026 [horas]Average time customer spends in the queue for a busy system = Tiempo promedio que un cliente pasaen la cola para un sistema ocupado = Wb = 0.0153 [horas]The probablity that all servers are idle = Probabilidad de que todos los servidores esten ociosos = P 0 =48.8648%The probablity an arriving costumer waits = Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema =Pw = Pb = 17.2951 %Average number of customers being balked per hour = Numero promedio de clientes que no sernatendidos por el sistema por hora = 0

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Simulation time in hours = Tiempo de simulacin en horas = 24Starting data collection in hour = Iniciar recoleccin de datos en el tiempo = 0

Number of observations collected = Nmero de observaciones recolectadas = 656Maxium number of costumers in queue = Nmero mximo de clientes en la cola = 4

Total simulation CPU time in second = Tiempo total de simulacin en el CPU = 0.1050

Las probabilidades estimadas para n clientes:

Se puede observar que se puede esperar para un tiempo de simulacin de 24 horas, un mximo de 6 clientes conuna probabilidad de casi cero (0.0002).

Otro de los anlisis del que podemos disponer es el de Anlisis de sensibilidad.

Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

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Si realizamos un anlisis de sensibilidad, seleccionando como parmetro de anlisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo deaproximacin G/G/s, podremos ver de que manera reacciona el sistema:

Podemos observar claramente de que la utilizacin del sistema va en incremento en una proporcin de10 [cl/hr], y cuando sta llega a los 70 [cl/hr], se da una utilizacin del 87.5% (Mxima utilizacin

posible), pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se vuelve inestable, esdecir el nmero de servidores es insuficiente.

Tambin podemos ver el grfico del anlisis de sensibilidad de un parmetro determinado en funcin delparmetro analizado:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis Graph

Se abrir la siguiente ventana:

En la que seleccionaremos como variable independiente para el grfico a L (Nmero promedio declientes en el sistema), en funcin de nuestro parmetro analizado ( ):

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En el que se puede ver un crecimiento exponencial.As sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los parmetros, dependiendo que necesidades setiene.

Otro anlisis disponible es el de Anlisis de Capacidad:

a. Como ste anlisis se realiza a partir de costos, se asumirn los siguientes costos

Costo de servidor ocupado por hora = 5 $Costo de servidor ocioso por hora = 1 $Costo por cliente en espera = 0.5 $Costo por cliente servido por hora = 3 $Costo por cliente no atendido = 1 $Costo unitario por capacidad de cola = 3 $

b. Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

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En el que variaremos el nmero de servidores de 2 a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de lacola es Infinita, seleccionando la formula G/G/s de aproximacin.

c. Si presionamos en OK, la ventana de resultados ser la siguiente:

APLICACIN 2. Las secretarias de cinco oficinas sacan copias en una copiadora en formaperidica. La razn de llegadas a la copiadora es Poisson con una media de 4 por hora; el tiempo de servicio esexponencial con una tasa promedio de 6 por hora.

a. Cul es la probabilidad de que la copiadora est ociosa?b. Cul es el nmero promedio de secretarias usando la copiadora?c. Cul es el nmero promedio de secretarias en la copiadora?

Datos:Numero de servidores = 1 = 4 [secr/hr] = 6 [secr/hr]El problema ser del tipo M/M/1/FIFO//5Procedimiento

1. Se iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de Colas (QA).2. Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se

llamar secretaria, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

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3) En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como se muestra:

Al presionar el icono se ver la ventana de los resultados:

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Por lo que lo que los resultados buscados son:

a. Probabilidad de que la copiadora este ociosa = P0 = 1.4183 %b. Nmero promedio de secretarias usando la copiadora = L = 3.5213

c. Nmero promedio de secretarias en la copiadora = Lq = 2.5355

APLICACIN 3.- Se tiene un puesto de gasolina con dos bombas, localizado en un puntoprivilegiado de la ciudad con un servicio excelente. Cada 5 minutos (siguiendo una exponencial) llega uncliente. Suponiendo que el puesto est abierto desde las 6 horas hasta las 21 horas y que la tasa de servicioes de 15 clientes por hora (siguiendo una Poisson) a)Cul es la tasa de ocupacin del sistema?, b) Cul esla probabilidad de que el sistema este lleno?, c) Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en elsistema?

Datos:Numero de servidores = 2 = 1/5 [autos/min] = 12 [autos/hr]

= 15 [autos/hr]

El problema ser del tipo M/M/1/FIFO/ /ProcedimientoLos pasos 1 y 2 son los mismos, que en los anteriores problemas.

3) En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como se muestra:

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Las respuestas buscadas son:Tasa de ocupacin del sistema = = 40%

Probabilidad de que el sistema este lleno = Pw = Pb = 22.8571%Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema = W = 0.0794[horas]

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Problemas de Diseo y

Optimizacin de Sistemas deColas

APLICACIN 4. Una cadena de supermercados es abastecida por un almacn central. Lamercadera que llega a este almacn es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan lleganen forma aleatoria siguiendo una Poisson a razn de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadoresdescargan 3 camiones por hora siguiendo una distribucin exponencial. Si el nmero de trabajadores delequipo es incrementado, la razn de servicio se incrementa en la misma proporcin. Cada trabajador recibe5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando ser servido, se estimaen 20 $ por hora. Se desea determinar el tamao del equipo que minimiza el costo total .

Datos:Numero de servidores = 2 =2 [cl/hr]

1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]

El problema ser del tipo M/M/1/FIFO/ /CS = 5 [$/hr]CE = 20 [$/hr]Procedimiento

1. Se iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de Colas (QA).2. Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los

datos. Este se llamar Supermercados, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

3. En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como se muestra:

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Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

Si realizamos un anlisis de sensibilidad, seleccionando como parmetro de anlisis al nmero deservidores, haciendo que esta cambie de 1 a 15 con un paso de 1, utilizando el modelo de aproximacinG/G/s en caso de no existir una formula para este modelo, podremos ver de que manera reacciona elsistema:

Podemos observar claramente de que a medida que se incrementa el nmero de servidores (1-15), loscostos totales van disminuyendo, pudindose notar que el que al llegar a 4 servidores, se tiene el costo

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mnimo (23.4783), siendo que desde 5 servidores, nuevamente el costo total va en aumento. Podemosver el grfico del anlisis de sensibilidad de el costo total, en funcin del nmero de servidores:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis Graph

Se abrir la siguiente ventana:

Pudindose ver el siguiente grfico

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Teora de Colas

Por lo que la respuesta del nmero de servidores a seleccionar es 4

APLICACIN 5.- Una estacin de servicio maneja cuatro bombas de gasolina. El tiemponecesario para servir a un cliente tiene una distribucin exponencial con un ndice medio de 5 minutos. Losautomviles llegan a la gasolinera con una distribucin de Poisson a un ndice medio de 30 por hora. Si llega

un automvil y no hay bombas disponibles, la venta se pierde. La venta promedio de gasolina es de 4 $ porautomvil.

a. Cunto puede esperar perder diariamente el dueo de la gasolinera, debido a la impacienciade los automovilistas?

b. Cul es la probabilidad de que un cliente se vaya?c. S esta probabilidad fuera del 15 % o menos, Cul sera el nmero ptimo de bombas de

gasolina?Datos:

Numero de servidores = 4 = 30 [autos/hr]

= 1/5 [autos/min] = 12 [autos/hr]El problema ser del tipo M/M/1/FIFO/4/4

ProcedimientoLos pasos 1 y 2 son los mismos, que en los anteriores problemas.3) En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como se muestra:

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Las respuestas buscadas son:

a. Perdida = 30 [autos/hr]*24/1 [hr/dia]*4[$/autos]*0.149916 = 431,75808 [$us/dia]b. Probabilidad de que un cliente se vaya = 14.9916 %

La resolucin del inciso c es la siguiente:Si realizamos un anlisis de sensibilidad, seleccionando como parmetro de anlisis al nmero deservidores tenemos:

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En el que claramente podemos ver de que Pw < 15 % desde el momento en que se incrementa elnmero de servidores a 5.

Por tanto la respuesta es 5

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

1.-La gerencia de una compaa Manufacturera tiene un constante problema de mantenimiento. El promedio deaveras es de 0.75 mquinas por hora y tienen una distribucin Poisson. Un mecnico puede reparar mquinas a

una tasa promedio de 1 por hora, distribuida exponencialmente. La compaa tiene actualmente 1 trabajadorasignado a la reparacin de mquinas.

La gerencia a efectos de tomar decisiones de optimizacin solicita a Ud. la siguiente informacin:

a) La probabilidad de que el empleado de mantenimiento este ocioso.

b) La probabilidad de que el empleado este ocupado.

c) El tiempo promedio de las mquinas sin operar.

d) Si Ud. llega a la instalacin Cuntas mquinas esperara ver averiadas?.

e) Cul es la probabilidad de que haya 2 mquinas esperando el servicio?.

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f) Las metas de servicio indican que una mquina que llega no debe esperar para que lo atiendan ms de 2horas en promedio. Se est cumpliendo esta meta?. De lo contrario Qu accin recomendara Ud.?.

2.-Al Banco WZ llega un promedio de 100 clientes por hora. Un servidor se tarda un promedio de 2 minutos enatender a un cliente. Los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales. El banco tiene actualmentecuatro servidores trabajando. El gerente desea comparar los dos sistemas siguientes en cuanto al tiempo

promedio que un cliente espera en cola:

Sistema 1. Cada servidor tiene su propia cola y no se permite cambiar de cola.

Sistema 2. Todos los clientes esperan en una cola nica a que se desocupe un servidor.

Si Ud. fuera el gerente del banco, qu sistema escogera?.

3.-Una lavandera tiene muchas lavadoras. Una mquina normal se descompone una vez cada 5 das. Un tcnico

puede reparar una mquina en un promedio de 2.5 das.En la actualidad, hay tres tcnicos en servicio. El dueo de la lavandera tiene la opcin de cambiarlos por unsupertcnico que puede reparar una mquina en un promedio de 5/6 de da. El sueldo del supertcnico es igual alde los tres tcnicos juntos. Los tiempos entre descomposturas y los de servicio son exponenciales. Debecambiar la lavandera los tres tcnicos por el supertcnico?.

4.- En el taller mecnico de Daniel S.A., 4 gras elevadas dan servicio a cierto nmero de mquinas deproduccin. Si todas las gras estn ocupadas y un mecnico debe esperar servicio, el costo del tiempo de esperaes de $4.50 por hora (cuota de salario, beneficios marginales y costo de la falta de produccin). Por otra parte,los gastos de administracin de las gras son de $5.80 por hora (cuota de salario, beneficios marginales y otroscostos). Los datos empricos obtenidos, indican que el nmero de solicitudes de servicio de las gras por losmecnicos sigue una distribucin Poisson, con una tasa promedio de 5 solicitudes por hora. El promedio deltiempo de servicio se distribuye en forma exponencial, con un tiempo de 20 minutos por llamada, Las grasatienden al primer mecnico que lo solicita. El gerente encargado de la manufactura quiere saber cuntas grasse necesitan para mantener al mnimo el costo del tiempo de espera de los mecnicos, as como el costo de losgastos generales de administracin de las gras. sese un da de 8 horas en los clculos.

5.-A una instalacin portuaria llegan barcos a una tasa promedio de 2 barcos cada 3 das. En promedio, unasola cuadrilla necesita 1 da para descargar un barco. Suponga que los tiempos entre llegadas y de servicio sonexponenciales. La compaa naviera posee tanto los barcos como el muelle. Se pide:

a) En un periodo de 30 das, en promedio cuntos das de trabajo efectivo tendr la cuadrilla?.

b) Cuntos das en promedio esperar un barco antes de ser atendido?.

c) Cuntos barcos se espera encontrar en un da cualquiera en el sistema?.

d) Cul es la probabilidad de que la cuadrilla se encuentre ociosa?.

e) Cul es la probabilidad de que haya ms de 2 barcos esperando el servicio?.

Se calcula que a la naviera le cuesta 1000 dlares por da que pasa un barco en puerto. La cuadrilla que atiende alos barcos consiste en 100 trabajadores, y se paga un promedio de 30 dlares diarios a cada uno de ellos. Unconsultor ha recomendado que la naviera contrate 40 alijadores adicionales y divida a los trabajadores en doscuadrillas iguales de 70 personas cada una. Esto hara que el tiempo promedio de carga o descarga para cadacuadrilla fuera de 1.5 das. Qu organizacin de cuadrillas recomienda el alumno a la naviera?.

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6.- Una gestora dispone de tres personas que atienden al pblico; cada una de ellas tarda una media de 10minutos en atender a un cliente.

a) Supongamos que los clientes llegan con una tasa de 15 por hora.

a.1) Con qu probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido?.

a.2) Cul es nmero medio de clientes en la cola?.

a.3) Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?.

b) Supongamos que se estructura la gestora en tres servicios: uno dedicado a las gestiones decompra/venta, el segundo para documentacin (DNI, pasaportes, carnts de conducir, etc.) y el tercero

para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a cada uno de los servicios es de 5por hora. Adems, cada uno de los tres empleados est asignado a un nico servicio.

b.1) Con qu probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido?.

b.2) Cul es el nmero medio de clientes en la cola?.

b.3) Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?.Cul de las 2 alternativas anteriores le parece ms conveniente?. Raznelo.

7.-Al Banco de Crdito del centro de la ciudad llegan los clientes de 10 a 11 am. A razn de 250 por hora, deestos el 80% se dirige a la seccin Depsitos y retiros (Seccin A), el 15% a la seccin de Solicitudes de Crdito(Seccin B) y el resto a la seccin reclamos (Seccin C).

Los empleados que laboran en la seccin A atienden en promedio a los clientes a razn de 12 por hora, los de laseccin B a razn de 6 por hora y los de la seccin C a una velocidad de 2 por hora.

Asumiendo que las llegadas y los servicios tienen comportamientos exponenciales, se pide:

a) Si el gerente quiere que los tiempos de espera en las secciones A, B y C sean menores a 7, 12 y 20minutos respectivamente, Cuntos servidores activos se deber programar en cada seccin de 10 a 11am.?

b) Los empleados de la seccin A reclaman por su escaso tiempo para descansar y desean disponer de almenos 5 minutos, Cuntos servidores debe programarse de 10 a 11 am.?

c) En la seccin B existen clientes cuyo costo de oportunidad en promedio es S/. 50.00 la hora, dado quela mayora son empresarios, y el costo del servicio es S/. 30.00, Cul es el nmero ptimo deservidores a programarse de 10 a 11 am.?

d) Tomando en cuenta la solucin del punto c), la seccin tiene problemas de capacidad de cola la cualactualmente es de 10 clientes. El cliente que al llegar encuentra el sistema ocupado, se va a otro banco.Por cada cliente perdido hay un costo de oportunidad de S/. 500.00, Cunto deja de ganar por hora el

banco por no contar con la capacidad adecuada?

e) Tomando en cuenta la solucin del punto c), si el banco quiere tener la certeza de no perder clientes del99%, Cul debe ser la capacidad de cola de la seccin B?

R E F E R E N C I A S B I B L I O G R F I C A S

WINSTON, Wayne L. Investigacin de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos. Mxico:Grupo Editorial Thomson, 2005.

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Teora de Colas

MATHUR, Solow. Investigacin de Operaciones, el Arte de la Toma de Decisiones. Mexico:Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.

TAHA, Handy A: Investigacin de Operaciones. Mxico: Ediciones Prentice HallHispanoamericana, 1998

HILLIER, F.S. & LIEBERMAN, G.J. Introduccin a la Investigacin de Operaciones. SanFrancisco: Holden Day, 1997.

R E F E R E N C I A S W E B1) www.investigacin-operaciones.com

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