Álgebra yTRIGONOMETRÍA
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Alejandro Morales VelázquezJesús Ocampo Contreras
María Lilia Gonzaga VillalobosAlberto Guadarrama HerreraDomingo Hernández García
CON BASE EN COMPETENCIAS PARA BAChILLERATO
DirectorioUAEMDr. Jorge Olvera GarcíaRector
Dr. en Edu. Alfredo Barrera BacaSecretario de Docencia
Dra. Est. Lat. Ángeles Ma. del Rosario Pérez BernalSecretaría de Investigación y Estudios Avanzados
M. en D. José Benjamín Bernal SuárezSecretario de Rectoría
M. en E. P. D. Ivett Tinoco GarcíaSecretaría de Difusión Cultural
M. en Com. Ricardo Joya Cepeda Secretario de Extensión y Vinculación Universitaria
M. en D. Yolanda Eugenia Ballesteros SentíesSecretaría de Cooperación Internacional
M. en E. Javier González MartínezSecretario de Administración
Dr. en C. Pol. Manuel Hernández LunaSecretario de Planeación y Desarrollo Institucional
Dr. en D. Hiram Raúl Piña LibienAbogado General
Lic. en Com. Juan Portilla EstradaDirector General de Comunicación Universitaria
M. en A. Emilio Tovar PérezDirector General de Centros Universitarios y Unidades Académicas
Lic. en Teo. Jorge Bernáldez GarcíaSecretario Técnico de Rectoría
M. en A. Ignacio Gutiérrez PadillaContralor Universitario
M. en S. P. María Estela Delgado MayaDirectora de Estudios de Nivel Medio Superior
E. en E. Hugo Eduardo García GarcíaDirector de Instituciones Incorporadas
Planteles Dependientes
Dr. en C. E. Juan Cuenca DíazPlantel “Lic. Adolfo López Mateos”
M. en C. E. F. María de los Ángeles Bernal GarcíaPlantel “Nezahualcóyotl”
M. en D. Werther Juárez ToledoPlantel “Cuauhtémoc”
M. en D. A. Ed. S. Fidel Nava AltamiranoPlantel “Ignacio Ramírez Calzada”
M. en C. y T. E. Rosenda Ivett Vilchis TorresPlantel “Dr. Ángel Ma. Garibay Kintana”
M. en Hum. Sandra Chávez MarínPlantel “Dr. Pablo González Casanova”
M. en E. S. José González ToricesPlantel “Sor Juana Inés de la Cruz”
M. en C. Comp. Carlos Alberto Salgado TreviñoPlantel Texcoco
M. en D. Juan Carlos Medina HuicocheaPlantel Atlacomulco
de la Escuela Preparatoria
Universidad Autónoma del Estado de México l Nivel Medio Superior
PRE
SEN
TAC
IÓN
El mundo es dinámico y el desarrollo de la tecnología crece a pasos agigantados. En la antigüedad, el cambio se daba cada cincuenta años y actualmente, cada seis meses. Esto lo vemos, por ejemplo, en la compra de una computadora que hoy tiene todos los adelantos tecnológicos, pero en seis meses ya existirá una mejor. Al respecto, la educación no se puede quedar atrás.
El desarrollo de la tecnología en los alumnos en edad de cursar el bachillerato está presente día con día y por eso es necesario buscar métodos adecuados de enseñanza-aprendizaje para lograr que ellos se interesen en aprender también de una manera dinámica.
El propósito de este libro es lograr que los estudiantes se motiven al ver que la trigonometría tiene un sinnúmero de aplicaciones en su entorno. Por esta razón, se presentan actividades que no sólo se tienen que llevar a cabo en el aula, sino también en los patios de recreo, jardines de los planteles o en cualquier otro ambiente; actividades donde el alumno aprende y desarrolla habilidades y destrezas, así como un cambio en sus actitudes, y que tienen que ver con el desarrollo de valores. Este método es llamado por competencias, se basa en el constructivismo, es decir, el alumno construye su conocimiento mediante el desarrollo de actividades en las cuales participa no sólo la memorización, sino también el desarrollo de la metacognición.
Asimismo, se presentan actividades en las cuales se utiliza software graficador a fin de fomentar el uso de la tecnología, así como otras que se desarrollan mediante una secuencia didáctica en la que se incluye apertura, desarrollo y cierre de la actividad.
Las actividades se muestran de tal manera que el alumno realiza algunos procedimientos y otros se le presentan como guía o pistas para que pueda comprender, plantear y analizar adecuadamente cada proceso.
De igual manera, se presentan algunas lecturas de información y conceptos básicos que el educando requiere para una mejor comprensión. Al final de cada módulo se contempla una actividad integradora, en la cual se abordan los principales conceptos que él debe comprender y aplicar, así como una evaluación y una rúbrica que ayudan a verificar si el estudiante ha logrado los propósitos o competencias establecidas en cada módulo.
El libro está integrado por cuatro módulos:
M
M3
4
M
M
1
2
Módulo I. TriángulosDonde se abordan temas de rectas y planos, puntos y rectas notables del triángulo, así como la resolución de triángulos rectángulos, triángulos oblicuángulos y, áreas y perímetros de polígonos.
Módulo II. Círculo Donde se abordan circunferencia y círculo, ángulos de acuerdo con su posición y sector circular, entre otros temas.
Módulo III. Funciones trigonométricasEn este módulo se presentan los arcos en posición normal y reducidos, así como las gráficas de la función seno y coseno.
Módulo IV. Ecuaciones trigonométricasDonde se presentan las identidades fundamentales y su transformación, así como la solución de ecuaciones trigonométricas.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL
APERTURA
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Conocimientos previos
� Bienvenida para ruptura del hielo y establecimiento de un clima de confianza � Mencionar los propósitos de la actividad y cuáles son las competencias que se espera desarrolle el alumno � Revisar el ambiente de aprendizaje (espacio físico, disposición física del alumno, materiales y características de los estudiantes) � Dinamización mediante una pregunta detonadora y lluvia de ideas
Situación de la vida cotidianaIndicar conceptos necesarios para resolver la situación problema
Conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación de aprendizaje
DESARROLLO Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador al aplicar la estrategia de solución de situaciones problema, apoyándose de material didáctico a través de presentaciones en PowerPoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Lo cual permite que el alumno participe en forma activa e interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad
Se fomenta la motivación a fin de que prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno, y donde pueda resaltar sus aciertos y aprender de los errores
CIERREConclusiones
Se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran dudas y se lleva a cabo un resumen
� La conclusión se realizará conjuntamente entre alumnos y profesor � Evaluación � Comprensión y aplicación del conocimiento en los diferentes contextos de las actividades � Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver situaciones de aprendizaje � Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo � Evidencia del desempeño � Ejercicio resuelto � Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los alumnos � Portafolio de evidencias � Rúbrica
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ÍND
ICE Presentación
Secuencia didáctica general
Módulo I. TriángulosIntroducciónÁngulos y sistemas de medición Sistemas de medidaTales de MiletoTriángulosRazones trigonométricasTriángulos oblicuángulosÁreas y perímetros de polígono Actividad integradora Evaluación del aprendizajeReferencias bibliográficas
Módulo II. CírculoIntroducciónElementos notables del círculo y de la circunferencia Actividad integradora Evaluación del aprendizaje Referencias bibliográficas
Módulo III. Funciones trigonométricasIntroducciónCircunferencia unitaria y arco asociadoComportamiento de las funciones seno, coseno y tangenteFunciones trigonométricasFuncion tangenteActividad integradoraEvaluación del aprendizajeReferencias bibliográficas
Módulo IV. Ecuaciones trigonométricasIntroducciónIdentidades trigonométricas fundamentales Ecuaciones trigonométricasActividad integradoraEvaluación del aprendizaje Referencias bibliográficas
8
15
44
9
15
50
63
75
97
17
56
63
75
97
21
57
69
79
103
91
113
24
59
70
80
111
92
37
71
90
112
93
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
DIAGRAMA DECONTENIDOS
MÓDULO ITRIÁNGULOS
ÁLGEBRAY
TRIGONOMETRÍA
MÓDULO IIIFUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
MÓDULO IICÍRCULO
MÓDULO IVECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
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DIAGRAMA DECONTENIDOS
ÁNGULOS
TRIÁNGULOS
ÁREA DEPERÍMETRO DETRIÁNGULOS Y
OTROS POLÍGONOS
TRIÁNGULOOBLICUANGULO
TRIÁNGULORECTANGULO
RECTASY
PUNTOSNOTABLES
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Módulo unoTRIÁNGULOS
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COMPETENCIAS
Competencias de la Dimensión
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Básicas
�Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución creativa de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad. �Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido. � Identifica y recupera el error como un elemento del proceso de aprendizaje que le facilita la construcción de nuevos sentidos y significados
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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INTRODUCCIÓN
La palabra trigonometría proviene del griego trigonon, que significa “triángulo” y metron, que significa “medida”; por consecuencia trigonometría quiere decir medida de los triángulos.1 Como sabemos, la historia de la Trigonometría se remonta a la época de los egipcios cuando se estableció la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
Tales de Mileto fue uno de las tantas mentes brillantes que han habitado este planeta; aunque de oficio mercader desarrolló una apreciada habilidad para los campos de la Geometría, la Astronomía y la ciencia en general. Su educación fue empírica, pues nunca contó con la ayuda de maestros.
Anaximandro fue uno de los discípulos de Tales de Mileto, él afirmo y demostró que la Tierra era esférica y giraba sobre su eje. Además de ello fue geómetra, cosmólogo y astrónomo. Pitágoras fue otro gran discípulo de Tales, quien a diferencia de su maestro (Tales) fue un hombre práctico, una persona mística e introvertida cuya vida estaba llena de rituales rígidos. Fundó la escuela pitagórica en la isla que hoy conocemos como Sicilia, Italia. Se le atribuye a él o a sus discípulos las tablas de multiplicar, pero más se le reconoce por el teorema que lleva su nombre.
Durante el periodo de esplendor de Alejandría (aproximadamente en el año 300 a. C) y años posteriores emana una diversidad de matemáticos, astrónomos, como Euclides (conocido como “el padre de la Geometría”), Apolonio de Perga, Eratóstenes, Arquímedes, Herón, Diofanto, Ptolomeo, entre otros.
En el siglo XVIII, Leonard Euler, suizo matemático, separó la Trigonometría convirtiéndola en una ciencia independiente de la Astronomía.
Realiza una línea del tiempo donde indiques los orígenes de la Trigonometría y sus principales actores. Recuerda citar sus principales aportaciones.
ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
Forma geométrica: se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas que concurren en un punto común llamado vértice. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno a uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
1 Ricardo Bernal, Trigonometría, México, McGraw-Hill, p. 3.
Trabajoen equipo
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Sistemas de medición de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos son: �Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades) �Grado centesimal �Grado sexagesimal
Clasificación de los ángulosC
lasi
ficac
ión
Por su amplitud
En función desu posición
Ángulo nulo:
θ = 0º
Ángulo agudo:
θ > 90º
Ángulo recto:
θ = 90º
Ángulo obtuso:90º <
θ < 180º
Ángulo llanoθ = 180º
Ángulo cóncavoAmplitud menor a la de un llano
θ < 180º
Ángulo convexoAmplitud mayor a la de un llano
θ > 180º
Suplementarios:θ + β = 180º
Complementarios:θ + β = 90º
Consecutivos:tienen el mismo vértice
en común
Adyacentes: ángulos consecutivoscuyos lados no comunes están en
la misma recta. Son también suplementarios
Opuestos por el vértice: los ladosde uno con prolongaciones opuestas
a los lados del otro
Ángulos congruentes: son aquellosque tienen la misma amplitud
Ángulos conjugados: son aquellosque suman 360º
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
17
Trabajoen equipo
SISTEMAS DE MEDIDA
Sistema sexagesimal: en este sistema se divide una circunferencia (una vuelta) en 360 ángulos centrales iguales y se escribe como 360°; cada una de esas partes corresponde a un grado, es decir, 1/360°. El grado es la unidad fundamental y se denomina sexagesimal porque su base es 60.
1° = representación de un grado 1´= representación de un minuto 1” = representación de un segundo
1° = 60´1´ = 60”
Sistema cíclico: en este sistema la unidad fundamental es el radián. Un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de circunferencia.
Sistema sexagesimal
Sistema cíclico (radianes)
360° 2π
270°
180° π
90°
45°
1° 0.017453
57.29° 1
APERTURADinamización mediante pregunta detonadora y lluvia de ideas
Investiga las propiedades del triángulo y qué le permite estar presente en diferentes estructuras. Apóyate de imágenes e identifica cuál es la figura geométrica que prevalece.
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante
Identifica en la figura los nombres correspondientes a los ángulos y complementa la siguiente tabla:
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Nombre de los ángulos Número
Opuestos por el vértice Internos ExternosAlternos internos Alternos externosCorrespondientes
DESARROLLO Utilizando la figura anterior y con un , obtén la medida de los siguientes ángulos:
Ángulo Medida Justifica tu respuesta
B
FE
A
DC
21
4
5
8
3
6
7
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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CIERREConclusión
El número 1 se llama “uno”, el 2 se llama “dos” y así sucesivamente debido al número de ángulos que tienen:
�El número 2 tiene un ángulo �El número 2 tiene dos ángulos �El número 3 tiene tres ángulos
Y el 0 no tiene ángulos.
Fuente: www.verasoul.com/2009/sabias-que.html
Ejercicios propuestos
Determina el valor de “x” y de “y”. Fundamenta tus respuestas. t
r
s
2x
3x-20ºy+10º r ll s
a)
L1 L2 L1 ll L2
y5x + 43x + 20
b)
En la siguiente figura determina: α +β = ? Justifica tu respuesta.
L1
L2
2a
L1 ll L2
3a - 20º
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Trabajoen equipo
APERTURA Dinamización mediante una pregunta detonadora y lluvia de ideas
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE En un plantel se utiliza una grúa para levantar columnas de acero; con base en la fotografía se puede observar que el pistón (recta secante) soporta la pluma (paralelas). Obtén los ángulos de acuerdo con su medida, sentido y posición, respecto a dos rectas paralelas cortadas por una recta secante.
Conocimientos previos¿Conoces el nombre de los ángulos de acuerdo con su posición?
DESARROLLOEl modelo gráfico que representa la situación problema es:
Escribe la respuesta:1. ¿Qué nombre recibe el ∠ABC de acuerdo son su magnitud? _________ obtuso ________2. ¿Qué nombre recibe el ∠GFE de acuerdo con su magnitud? _________ agudo ________3. ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al ∠GFE? _________________________________4. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al ∠CBD?, entonces su correspondiente es ∠BFH5. ¿Cuál es el ángulo alterno-interno al ∠FBD ? _____________________________________6. ¿Cuál es el ángulo alterno-interno al ∠ABF?, por lo tanto es el ∠BFH7. ¿Cuál es el ángulo colateral-externo al ∠GFH ?____________________________________8. ¿Cuál es el ángulo colateral-externo al ∠ABC ?, entonces es el ∠EFG9. ¿Qué ángulo es el suplementario del ∠EFG?______________________________________10. ¿Qué nombre recibe el ∠ABD de acuerdo con su magnitud?________________________
Fuente: adaptado de http://mlm-s1-p.mlstatic.com/grua-hiab-palfinger-18500-solo-grua-no-camion-excelente-7976-MLM5297859792_102013-F.jpg
A
B
CD H
F
EG
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TALES DE MILETO (639 a. C-546 a. C.)
Nació en Mileto (Turquía), fue uno de los siete sabios. Fundador de la escuela jónica en donde fue maestro de Anaximandro, Anaxágoras, etc. Con él se inicia la Geometría como ciencia racional.
Sus estudios lo condujeron a resolver ciertas cuestiones, como la determinación de distancias inaccesibles, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, el valor del ángulo inscrito y la demostración de los teoremas que llevan su nombre.
Tomó como base la Geometría de los egipcios, lo que permitió dar un avance fundamental debido a que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. Inventó la matemática deductiva; además del teorema que lleva su nombre, se le acreditan entre otros los siguientes teoremas:
1. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro
3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente
iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.
Logró medir la altura de la gran pirámide de Guiza a petición del Faraón, quien conocía de su talento. Tales se apoyó en un bastón y cuando la sombra del bastón coincidió con la altura del mismo, le dijo a un servidor del Faraón: “Corre y mide de prisa la sombra de la gran pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide”.
Fuente: http://eltrasterodepalacio.files.wordpress.com/2012/10/sin-tc3adtulo-21.jpg.
Teorema de Tales
Si en un triángulo se traza una línea a cualquiera de sus lados, se forman dos triángulos semejantes.
Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Illustrerad_Verldshistoria_band_I_Ill_107.jpg.
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Trabajoen equipo
Fuente: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u6/M3_U6_contenidos/Teorema_de_Thales_en_triangulos_semejantes.jpg.
APERTURA Trabajo en equipo a realizar en las áreas deportivas y patios de recreo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESi Erika mide 1.50 m de estatura y proyecta una sombra de 1.90 m, en ese mismo momento un anuncio de publicidad proyecta una sombra de 3.78 m. Calcular la altura del anuncio de publicidad.
Conocimientos previos �Semejanza de triángulos �Razón y proporción
DESARROLLOPara solucionar este problema habrás de utilizar la semejanza de dos triángulos.
Modelo gráfico
D
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
AD
BC
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Trabajoen equipo
Aplicando proporcionalidad de triángulos
Despejando la altura del anuncio(D)
Resultado La altura del anuncio de publicidad es de: metros
CIERREConclusión
APERTURA Trabajo en equipo a realizar en las áreas deportivas y patios de recreo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESi Aldo mide 1.73 m de estatura y proyecta una sombra de 1.28 m, en ese mismo momento el asta bandera del plantel proyecta una sombra de 6.45 m. ¿Cuál será la altura del asta bandera?
Conocimientos previos �¿Sabes qué es semejanza de triángulos? �¿Qué es razón y proporción?
DESARROLLOPara solucionar este problema habrás de utilizar la semejanza de dos triángulos.
Modelo gráfico
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
AD
BC
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Trabajoen equipo
Aplicando proporcionalidad de triángulos
Despejando la altura del asta bandera (D)
Resultado La altura del asta bandera es de: metros
CIERREConclusión
TRIÁNGULOS
Rectas y puntos notables de un triángulo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un triángulo cuyas medidas sean 8 cm, 7 cm y 5 cm, trace la circunferencia inscrita sobre éste.
Conocimientos previos �¿Cómo se utiliza la regla, el compás y las escuadras para el trazo de figuras geométricas? �¿Sabes el concepto de mediatriz, mediana, bisectriz, altura, ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro?
Trace el triángulo ABC de base ocho, esto es AC = 8, AB = 7 y CB = 5.
Con el compás, haciendo centro en el vértice C a una abertura cualquiera, marcamos en los lados CA y CB los puntos de corte indicados por D y E respectivamente; con esa misma abertura del compás hacemos centro en el punto D para trazar el arco que se cruzará con el arco trazado desde el punto E, el punto de cruce se unirá con el vértice inicial C, mediante una línea recta.
A
B
8
57
C
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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A la línea recta trazada en el paso anterior se le conoce como bisectriz y es la que divide el ángulo en dos partes iguales.
De igual forma se traza la segunda y tercera BISECTRIZ, a partir de los vértices A y B. �Al cruce de las bisectrices se le conoce como INCENTRO. �Con el compás, haciendo centro en el INCENTRO, se traza la circunferencia inscrita en el triángulo.
CIERREConclusión
El alumno dibujará un TRIÁNGULO semejante al anterior.
B
D
E
CA
A8 C
Incentro
Circunferenciainscrita
5
B
7
Ahora, realizando la construcción geométrica en Geogebra. Este programa informático nos permite realizar trazos de curvas de muchos tipos de forma fácil.
1. Inicie Geogebra.2. En la Ventana de trabajo,
seleccione Poner 2 puntos. Puede ubicarlos sobre cualquiera de los ejes para tener una fácil referencia:
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3. Seleccione Segmento entre 2 puntos de la barra de herramientas, elija dos de los puntos que ya ha trazado y únalos.
4. Repita este proceso para todos los puntos.
5. Una vez trazado el TRIÁNGULO, seleccione la opción de bisectriz. Elija los vértices en el siguiente orden: primero A, luego B y finalmente C, se trazará automáticamente la bisectriz.
6. Repita lo anterior con los demás vértices, procure que el vértice del ángulo al cual se le trazará la bisectriz sea siempre el segundo punto que elija.
7. Ahora, en la barra de herramientas presione el botón de Circunferencia dado su centro y uno de sus puntos. El centro es la intersección de las bisectrices del paso anterior.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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8. El otro punto debe coincidir con cualquiera de los lados del TRIÁNGULO. Arrastre el cursor hasta que toque el lado y suelte. Se trazará automáticamente la circunferencia inscrita.
CIERRE Conclusión (en Geogebra)
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un triángulo cuyas medidas sean 8 cm, 7 cm y 5 cm, trace la circunferencia circunscrita sobre éste.
Realizar una construcción similar en Geogebra.
Conocimientos previos �¿Cómo se utiliza la regla, el compás y las escuadras para el trazo de figuras geométricas? �¿Sabes el concepto de mediatriz, mediana, bisectriz, altura, ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro?
DESARROLLORealizar la construcción en su cuaderno de apuntes e imprimir la misma actividad en Geogebra.
CIERREConclusión
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Semejanza de triángulos
Una semejanza en general existe cuando puede cambiarse el tamaño y la orientación entre las figuras geométricas, pero sin alterar su forma.
Postulados de semejanza Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales (A.A.A).
Los ángulos correspondientes son ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales (L,A,L).
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (L,L,L).
Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes, se escribe ABC~DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Ángulos:Fuente: http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=126&Itemid=147.
Curvas en GeoGebra:Fuente: http://www.thatquiz.org/es/practice.html?geometry.
A
B
C
A´
B´
C´
A
L
L
L1
L2
A
ab
c
a´ b´
c´
Y para navegar...
Trigonometría
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Trabajoen equipo
APERTURA Trabajo en equipo a realizar en las áreas deportivas y patios de recreo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn la escuela se tienen estructuras metálicas para sostener el tablero de basquetbol y en las cuales se aprecian diferentes tipos de triángulos. Con base en los postulados de semejanza obtén tres triángulos semejantes e indica la medida de los ángulos y lados respectivamente.
Conocimientos previos �¿Sabes trazar triángulos semejantes aplicando una razón y proporción? �¿Qué es la medición de ángulos?
DESARROLLOConsiderando el triángulo mayor y el vértice C que corresponde con el tablero:
Medir los lados del triángulo ABC.
Medir con transportador los ángulos interiores.
Localiza en la estructura metálica del tablero un triángulo semejante al triángulo ABC.
El teodolito es un instrumento que sirve para medir ángulos horizontales y verticales, y es muy usado en topografía. Consta de un anteojo que gira alrededor de un segundo eje vertical. De esta forma se miden dos tipos de ángulos: la orientación y la elevación.
Fuente: http://www.centros5.pntic.mec.es.
C
B
A
315 cm
116 cm260 cm
C
B
A
20º55º
105º
C
A
B315 cm
116 cm260 cm
20º55º
105º
Fuente: adaptado de http://safe-img04.olx.com.mx ui/12/86/75/ 1368661841_510698175_1-Fotos-de--Tableros-de-Basquetbol-y-canchas-deportivas.jpg.
Fuente: http://www.topoequipos.com/dem/topoequipos/south/ETSeries.jpg.
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Solución: existe otro triángulo en la estructura metálica en forma paralela con las mismas dimensiones.
Complementen la tabla siguiente con base en los dos triángulos semejantes que localizaron en la estructura:
Medida del lado Valor del ángulo Razones Proporciones
Segundo triángulo semejante
Medir los lados del triángulo ABC
Medir con transportador los ángulos interiores
Realicen un triángulo semejante al triángulo ABC
Solución
C
A
B
C
116 cm
116 cm
120 cm70º
55º
55º
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Complementen la tabla siguiente:
Medida (lado) Valor del ángulo Razones Proporciones
Ahora, elaboren de manera individual el tercer triángulo semejante con su tabla correspondiente en el cuaderno de apuntes.
Clasificación de los triángulos
Definición de triángulo: es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los triángulos son los únicos polígonos que no tienen diagonales.
A los triángulos también se les llama trígonos, aunque es un nombre menos común para estos polígonos.
Fuente: http://es.wikipedis.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo.
Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.
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32
Trabajoen equipo
Por la amplitud de sus ángulos
Muchos pintores destacados basaban sus obras de arte en triángulos con el propósito de que sus pinturas manifestarán la sensación que pretendían reflejar. Por ejemplo, en Acróbata y joven equilibrista de PICASSO, la composición está resuelta mediante dos triángulos rectángulos que provocan una sensación de estabilidad y seguridad, y el otro invertido, que provoca la sensación inversa. Esta sencilla composición consigue conjugar dos sensaciones opuestas jugando con dos triángulos.
Los triángulos son figuras elementales en la construcción por ser la figura geométrica con mayor solidez que cualquiera otra. Ejemplo primordial son las pirámides.
Fuente: http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100303144052AAS.
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
AperturaActividad en equipo
Conocimientos previos �¿Sabes la clasificación de los triángulos?
Según sus ángulos
Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo de 90º
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90º)
Triángulo acutángulo: cuando sus tresángulos interiores son menores de 90º
Triángulo oblicuángulo: es todo aquel que no es triángulo rectángulo
Fuente: http://lamemoriadelasolas.files.wordpress.com/2007/06/acrobata-de-picasso.jpg.
Fuente: http://1.bp.blogspot.com/-yMyxeWn7Fdc/UD08GNFnNAI/AAAAAAAAGvA/eOHyS89KXN8/s1600/piramides-egipcias-2.jpg
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
33
Trabajoen equipo
DESARROLLOCon una cámara digital o con tu celular toma imágenes de objetos, por ejemplo, un mueble, una vela o un anuncio con formas triangulares semejantes a cada una de las que aparecen en la tabla que se presenta a continuación.
Elabora una tabla como la siguiente en tu cuaderno y pega o dibuja las imágenes solicitadas.
Triángulo Equilátero Imagen Isósceles Imagen Escaleno Imagen
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
CIERREConclusión
Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras y el otro la división de una línea en proporción del medio y los extremos; es decir, el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro y el otro, a una piedra preciosa”. Johannes Kepler
La relación entre los lados de un triángulo rectángulo está establecida en el siguiente teorema:
En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Realiza la siguiente actividad en tu cuaderno de trabajo.
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEMediante la siguiente actividad comprobarás el teorema de Pitágoras.
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34
Conocimientos previos �¿Sabes cómo se obtiene el área del cuadrado y del triángulo? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?
DESARROLLO1. Forma un equipo de tres integrantes.2. Tracen un triángulo rectángulo en papel bond, con las siguientes dimensiones: base 24
cm, altura 10 cm e hipotenusa 26 cm.3. Ahora tracen tres cuadrados en el otro papel bond, uno de 10 cm de lado, el segundo de
24 cm y el tercero de 26 cm. Marquen las cuadrículas de cada cuadrado para identificar su área e iluminen cada cuadro con diferentes colores.
4. Cuenten y anoten en cada cuadro cuántos cuadritos tienen marcados con números grandes.
5. Peguen los cuadros en los lados correspondientes del primer triángulo formado. Ahora respondan las siguientes preguntas:
Suma el área de los cuadrados que están sobre los catetos, ¿qué te representa esa cifra?
Suponiendo que se conoce el área del cuadrado que se localiza por encima de alguno de los dos catetos, como el área del cuadrado que está sobre la hipotenusa. ¿Cómo podrían obtener el área del cuadrado que falta?
CIERREConclusión
Pega las figuras en una hoja y archívala en tu portafolio de evidencias.
Se conocen dos lados del triángulo rectángulo
APERTURAActividad individual
a
c
b
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
35
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELiza quiere empotrar en la pared una pantalla LCD de 25 pulgadas. Para ello necesita determinar la dimensión del largo; sabe que la altura es de 15 pulgadas. El tamaño de una pantalla se especifica por la diagonal.
IMAGEN MODELO
Conocimientos previos �¿Sabes las operaciones con números reales, así como la jerarquía de operaciones? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?
DESARROLLODatos La diagonal de la pantalla está representada por: c = 25”; lo alto por a = 15” y el largo por b = ?
Utilizando el teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2
Sustituimos valores 252 = 152 + b2
Despejamos la variable b
Realizamos operaciones
Simplificamos
El largo de la pantalla es
CIERREConclusión Las dimensiones que Liza deberá tener en cuenta para instalar la pantalla son:
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
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36
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del viaducto de Millau, en Aveyron (Francia), es el puente más alto del mundo. La estructura alcanza una altura de 343 m sobre el río Tarn, tiene una longitud total de 2 460 m y cuenta con 11 claros de 311 m entre los pilares. Para reparar uno de los 162 tirantes, un empleado del puente debe subir a lo más alto del pilar, cuya altura es de 100 m sobre la carretera.
¿Qué longitud tiene el tirante más largo del puente que va a reparar?
MODELO
Conocimientos previos �¿Sabes cuál es la clasificación de triángulos? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?
DESARROLLO
Utilizando el teorema de Pitágorascalculamos la longitud del cable más largo, representado por la variable c
Sustituyendo valores
Realizando operaciones
Simplificando
La longitud del tirante es
CIERREConclusión
C=?
C=100 m
155 m
Fuente: www.shutterstock.com.
311 m
100 m
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
37
Trabajoen equipo
En tu cuaderno de trabajo resuelve lo siguiente:
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna constructora norteamericana lleva el proyecto de un puente colgante que mide 311 m desde la orilla hasta el poste, el cual tiene 100 m de alto. Con base en estos datos, ¿cómo pueden determinar la longitud del cable más alto?
Imagen Modelo
Ejercicios propuestos
1. La torre de una estación de radio tiene una altura de 35 m y está anclada a 8 m desde la base de la antena. ¿Cuál es la longitud del cable que realiza el anclaje?
2. Una persona desea subirse a la azotea de su hogar para revisar la impermeabilización del techo. Utiliza para ello una escalera de 9 m para subir a una altura de 5 m. ¿A qué distancia del pie de la casa debe colocar la escalera?
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Se conoce un lado cualquiera y un ángulo agudo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un restaurante se requieren forrar 10 carpas como la que se muestra en la figura siguiente a cuatro aguas. Si se conoce el ancho y el ángulo de inclinación, calcula cuánto se gastarán para realizarlas si por cada metro cuadrado se utiliza kilo y medio de paja, y su precio es de $20 pesos.
100 m
311 m
x
Fuente: www.shutterstock.com.
Hipotenusa
Cateto adyacente
Catetoopuesto
θ
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38
IMAGEN MODELO
Dividiendo un lado del techo en dos triángulos rectángulos
Conocimientos previos �¿Conoces las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras? �¿Sabes cuál es la fórmula para calcular el área del triángulo?
DESARROLLO¿Cuál de las razones trigonométricas involucra los datos del problema?
Despejamos el cateto opuesto
Se obtiene el valor del cateto opuesto
Como se trata de un triángulo isósceles, el valor del cateto adyacente es igual al del cateto opuesto
Utilizando la fórmula para el área del triángulo
Sustituyendo valores obtenemos un área de
Área del triángulo es
Como el lado del techo se dividió en dos partes, entonces son dos triángulos rectángulos
La carpa tiene cuatro lados, por lo tanto el área total será
Cantidad de paja por metro cuadrado
2.3 m
45º 90ºc.o
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
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Cantidad de paja que requiere una carpa
Kilos de material total, de las 10 carpas
El costo es
CIERREConclusión
Ángulo de elevación y ángulo de depresión
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe desea conocer la altura de la torre de una estación de radio; se sabe que un cable tensor está anclado a 8 m desde la base de la antena y su ángulo de elevación es de 60°.
¿Cuál es la altura de la antena?
Imagen Modelo
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com
60º
8 m
60º
8 m
h = ?
Horizontal
Horizontal
Línea
de m
ira
Observador
Observador
Ángulo deelevación
Ángulo dedepresión
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Trabajoen equipo
Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes cuál es el teorema de Pitágoras?
DESARROLLO
La razón trigonométrica que involucra los datos conocidos
Sustituimos valores
Despejamos el “cateto opuesto”
Realizamos las operaciones
La altura de la antena es:
CIERREConclusión
Tarea en equipo “Denme una vara y mediré la tierra”
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE¿Sabes quién fue Eratóstenes? Él fue quien trascendió a la historia por esa frase. Eratóstenes nació en Grecia y se inició en la Filosofía pero no sobresalió; sus compañeros lo llamaban “β” por ser el “segundo” en todo; sin embargo, su destino era otro.
Te invitamos a que conozcas más de su historia siguiendo el link:http://www.youtube.com/watch?v=sAjtYwXy5Bc&feature=related.
Conocimientos previos �Teorema de Pitágoras �Razones trigonométricas
1. En tu cuaderno de trabajo lleva a cabo el proceso de solución.2. Realiza 5 de las 9 situaciones problema que presenta el video.3. Discutan con el grupo sus opiniones y escriban un resumen de lo que más llamó su
atención.4. Guarda una copia de su trabajo en tu portafolio de evidencias.
CIERREConclusión
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
41
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEAlberto desea determinar el ángulo de inclinación respecto al piso de una rampa para personas con capacidades diferentes; él sabe que la altura es de 18 cm y que la diagonal mide 85 cm.
IMAGEN MODELO
Conocimientos previos �¿Conoces las razones trigonométricas?
DESARROLLO
Utilizando la razón trigonométrica seno
Sustituimos los valores y simplificamos
Efectuando operaciones
Despejamos
El valor del ángulo es
CIERREConclusión
Ejercicios propuestos 1. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de
depresión de 12°. Un buzo baja 40 m hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?
2. El tirante de un puente forma un ángulo de 38°50’ con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la altura del puente donde está colocado el tirante, si éste tiene una longitud de 64 m?
3. El edificio Empire State tiene una altura de 1 250 pies, ¿cuál es el ángulo de elevación de su último piso desde un punto de la calle que está a una milla de la base del edificio.
18 cm85 cm
Ángulo de inclinaciónFuente: http://img.archiexpo.es/images_ae/photo-g/rampas-acceso-portatiles-discapacitados-61197-5300647.jpg.
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Valores exactos de las razones trigonométricas
Razones de los ángulos 30º y 60º Los pasos para obtener los valores exactos de estos dos ángulos son los siguientes: Grafica un triángulo equilátero de dos unidades por lado, traza la bisectriz de uno de sus ángulos al lado opuesto. La figura queda dividida en dos triángulos rectángulos congruentes, debido a que la bisectriz coincide con la mediana y la altura.
Sen 30º = Sen 60º =
Cos 30º = Cos 60º =
Tan 30º = Tan 60º =
Razones de los ángulos 45º Para obtener las funciones de este ángulo, dibujamos un cuadrado de una unidad de lado y se traza una diagonal, formándose dos triángulos rectángulos congruentes, como se muestra a continuación:
Sen 45º =
Cos 45º =
Tan 45º =
2230º
60º
21
30º
60º
2
1
45º
1
1
1
12
45º
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
43
El procedimiento para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, se realiza considerando un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto indicado.
Iniciamos con un ángulo cuya magnitud sea 0º y se puede representar por un punto que pase por (4, 0). Se considera x = 4, y = 0 y r = 4, las razones son:
Realiza un procedimiento similar para los ángulos de 90º, 270º, 180º y 360º.
Finalmente, con los valores de las funciones de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º,180º, 270º y 360º complementa la siguiente tabla:
Razón 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
seno 1/2
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
Operaciones con valores exactosUtilizando los valores exactos de las razones trigonométricas realiza las siguientes operaciones:
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Ejercicios propuestosObtén el valor exacto de las siguientes operaciones:
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
CONOCIDOS DOS ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn globo aerostático es visto al mismo tiempo sobre un valle por dos observadoras. Las dos están a 2.32 millas de distancia una de la otra. Si suponemos que las observadoras y el globo están en el mismo plano vertical y el ángulo de elevación respecto a la primera es de 28º y respecto a la segunda es de 37º, ¿a qué altura se encuentra el globo?
Imagen Modelo
Conocimientos previos � ¿Conoces el triángulo rectángulo? � ¿Sabes cuáles son las razones trigonométricas? � ¿Conoces la ley de senos?
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
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DESARROLLOSi dividimos el triángulo oblicuángulo resultan dos triángulos rectángulos; para resolver uno de ellos es necesario obtener la medida de un lado, el cual utilizaremos más adelante como hipotenusa, a través de la ley de senos.
Obteniendo el valor del ángulo A, por suma de ángulos interiores A + B + C = 180°
A + 37º + 28º = 180ºA = 180º - 37º - 28º
A = 115º
Aplicando la ley de senos
Resolviendo el triángulo del lado derecho de la imagen, se utiliza
Se despeja la variable c
Se sustituyen valores
El valor de c es
Conociendo la longitud c utilizaremos este valor como la hipotenusa del triángulo rectángulo, que se forma con la persona de la izquierda y el globo.
Aplicando la razón trigonométrica seno
Sustituyendo datos
Se despeja la altura H
La altura entre el globo y el suelo es
CIERREConclusión
c.o. = H C = 1.2 mi
θ = 37°
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SE CONOCEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS
AperturaActividad individual
Conocimientos previos �¿Conoces el triángulo oblicuángulo? �¿Conoces la ley de senos?
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna persona de 1.80 m de altura baja por una rampa que tiene un ángulo constante de inclinación. Una fuente de luz colocada detrás de la persona proyecta una sombra de ésta a 6 m de distancia. En un determinado momento, el ángulo de depresión desde la parte superior de la cabeza de la persona es de 32º hasta el extremo de su sombra. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa?
DESARROLLO
Modelo
Del modelo de la situación de aprendizaje se obtiene el ángulo complementario: C = 90° - 32° = 58°
Con el dato anterior se traza el triángulo ABC, como se muestra a continuación y se resuelve por medio de la ley de senos
1.8 msen A
A = sen-1(0.254)
A = 14.7º
= 6 msen 58º
sen A= 6 m1.8 m sen 58º
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
32º 1.80 m
6 mβ
32º68º
A
B
D
C
1.80 m
6 mβ
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
47
Conocido el ángulo A podemos determinar el ángulo B, cuyo valor se obtiene:
B = 180º - (58º + 14.7º)B = 107.3º
Y por consecuencia podemos determinar el ángulo D: D = 180º - 107.3º D = 72.7º Con el valor obtenido, sólo nos falta determinar el ángulo de inclinación de la rampa (E =?), para ello debemos interpretar los resultados de la siguiente manera:
El ángulo E es un ángulo suplementario de D; por consiguiente, podemos obtener su valor realizando lo siguiente: E = 90º - 72.7º
CIERREConclusión
El ángulo de inclinación de la rampa es: 17.3°
SE CONOCEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO FORMADO ENTRE ELLOS
AperturaActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del Alamillo es un puente atirantado que cruza el río Guadalquivir, en Sevilla, España. Consta de un único pilar que actúa de contrapeso; para los 200 m de largo del puente utiliza trece largos cables. El contrapeso tiene una inclinación de 48º y además cuenta con un mirador que se localiza a 142 m de altura. ¿Cuál es la longitud del cable más largo?
IMAGEN MODELO
Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Puente_del_Alamillo_en_Sevilla.jpg
32º68º
A
B
D = 72.7º
C1.80 m
6 mβ
L1
L2E = ?
L1 ll L2
140
m
200 m
Long del cable(c)
48º
(LC)Long del contrapeso
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48
Conocimientos previos �¿Sabes qué es un triángulo rectángulo? �¿Conoces las razones trigonométricas? �¿Conoces la ley de cosenos?
DESARROLLOCon los datos que se tienen es conveniente resolver en primera instancia un triángulo rectángulo para obtener el valor de la hipotenusa (LC); al conocer la longitud del contrapeso se procede a resolver el triángulo oblicuángulo mediante la ley de cosenos.
Resolviendo el triángulo rectánguloAplicando la razón seno
Sustituyendo datos hip =LC (longitud del contrapeso)
Se despeja la longitud del contrapeso
La longitud del contrapeso es
Con la longitud del contrapeso (LC), ahora se resuelve el triángulo oblicuángulo
Aplicando la ley de cosenos c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Designando las variablesc es la longitud del cablea es la longitud del contrapesob es la longitud del puente
Sustituyendo datos c2 = (188.38 m)2 + (200 m)2 - 2(188.38 m)(200 m) cos 132º
Realizando operaciones
Simplificando
Se obtiene la raíz cuadrada
La longitud del cable más largo es
CIERREConclusión
a
b
c
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
49
SE CONOCEN LOS TRES LADOS
AperturaActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn muchacho sostiene dos globos. La longitud de la cuerda de la mano izquierda es de 12 m y la longitud de la cuerda de la mano derecha es de 5 m. Además, se sabe que la distancia de separación entre los globos es de 14 m. Calcula el ángulo que se forma entre las dos cuerdas.
IMAGEN MODELO
Conocimientos previos �¿Sabes qué es ángulo de elevación y un ángulo de depresión? �¿Conoces la ley de cosenos?
Aplicando la ley de cosenos c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Despejando el coseno del ángulo
Obteniendo el ángulo
Sustituyendo datos
Realizando operaciones
Calculando el ángulo C
El valor del ángulo entre las dos cuerdas es
CIERREConclusión
c = 14 m
a = 12 m b = 5 m
AB
C
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com
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M1Basado en competencias
50
ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS
HERÓN DE ALEJANDRÍA
Matemático y astrónomo (126 a. C.-50 a. C.).
Proveniente de una familia de origen humilde, durante su juventud fue zapatero.
No existe la certeza de la fecha exacta en que vivió ni de su muerte.
Quizá la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para determinar el área de un triángulo cuando se conozcan sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos.
El teorema nos garantiza, conociendo los lados de un triángulo, determinar su área mediante la siguiente expresión:
Dónde: “a”, “b” y “c” son los lados del triángulo y “s” la mitad de su perímetro.
Elementos del triángulo:Fuente: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rectas_notables_actividades/index.htm.
Teorema del cateto:Fuente: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/representar_irracionales_sgn/Cateto.htm.
Teorema de Pitágoras:Fuentes: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Teorema_de_Pitagoras/index.htm.
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3%A1goras._Aplicaciones.
Y para navegar...
Trigonometría
Fuente: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/heron.htm.
Si el área total de la República Mexicana se repartiera entre el total de mexicanos, nos tocarían 18 479 m2.
Lado: a
Lado: cLado: b
Fuente: http://shop.inmobiliare.com/wp-content/uploads/2013/05/mapa-de-mexico.jpg
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Un polígono es la figura plana delimitada por una poligonal cerrada, donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etcétera.
Un polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo; es decir, todos los lados y todos sus ángulos son iguales. Si no cumple lo anterior estamos hablando de un polígono irregular.
Pentágono regular Pentágono irregular
En Irlanda del Norte se encuentra una de las formaciones basálticas más espectaculares de la Tierra, “La Calzada de los Gigantes”, que contiene unas 40 mil columnas de basalto provenientes de una erupción volcánica acontecida hace 60 millones de años. Las columnas de basalto tienen forma de polígonos regulares de 6, 7 y 8 lados. A pesar de tratarse de un fenómeno natural, la precisión de los hexágonos hace pensar en que han sido colocados allí por una mano misteriosa.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/calzada_del_Gigante.
ÁREAS Y PERÍMETROSFIGURA NOMBRE PERÍMETRO ÁREA
Cuadrado
P = nln es igual al número de
lados
A = l2
Rectángulo A = b . h
Triángulo
Fuente: http://tejiendoelmundo.files.wordpress.com/2009/01/calzada-de-los-gigantes-5.jpg.
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FIGURA NOMBRE PERÍMETRO ÁREA
Rombo
P = nln es igual al número de
lados
Romboide A = b . h
Trapecio
Polígono
Círculo P = πd A = πr2
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
AperturaActividad individual
Se desea vender un terreno de forma triangular, cuyas dimensiones son las siguientes: 12 m, 10.5 m y 8 m. ¿Cuál será el precio del terreno, sabiendo que el metro cuadrado está a $2 500?
Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales, así como la jerarquía de operaciones? �¿Conoces el teorema de Herón? �¿Conoces cómo se calcula la superficie de un terreno?
DESARROLLODatos a = b = c = 80 cms = semiperímetro. La fórmula para calcularlo es:
c = 8m b = 10.5 m
a = 12 m
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
53
Se calcula el perímetro del triángulo con la fórmula: P = L + L + L
P = 8 m + 12 m + 10.5 mP = 30.5 m
Calculamos el semiperímetro
Mediante la fórmula de Herón calcula el área
Sustituyendo los valores
El área total es
CIERREEl costo total del terreno es: 41.31m2 ($2 500) = $103 275
Conclusión
APERTURAActividad en equipo
Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes resolver triángulos rectángulos? �¿Conoces las razones trigonométricas? �¿Conoces la ley de cosenos?
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe desea impermeabilizar la cubierta de un kiosco, se sabe que el radio es de 4.9 m y tiene forma de un octágono. ¿Cuántos litros de impermeabilizante deben comprarse para realizar el mantenimiento correspondiente? Considera que 1 L de impermeabilizante cubre un metro cuadrado de superficie.
IMAGEN MODELO
DESARROLLOPara conocer el ángulo central, dividimos los 360° entre el número de lados del polígono.
Trabajoen equipo
ap
4.9 mo
B
A
l
Fuente: http://worldsaquarium.com/wp-content/uploads/2012/08/Mariscos-Kiosko-2.jpg.
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M1Basado en competencias
54
Aplicando la fórmula del ángulo central para polígonos regulares n es número de lados
Se sustituyen valores
El valor del ángulo central es 45º
El valor del ángulo central se divide en dos para resolver uno de los dos triángulos rectángulos
Ahora, es necesario obtener la longitud de cada lado del octágono:
Aplicando la razón seno, donde
Sustituyendo valores
Despejando a
El valor de (magnitud de un lado del polígono) es
Para saber la cantidad de impermeabilizante que se debe comprar, tenemos que conocer el área del techo. Aplicando la razón coseno, dondec.a. es el apotemahip es el diámetro
Despejando c.a.
Sustituyendo
Sustituyendo valores
El valor de la apotema es
Una vez obtenidos los valores de la apotema y la magnitud de un lado del polígono, es posible calcular el área del triángulo de la siguiente forma:Fórmula para área de un triángulo, dondeb el el lado del polígonoh es el apotema
Sustituyendo valores
El área del triángulo es
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
55
Trabajoen equipo
El área total del octágono es:
Se requieren utilizar 68 L de impermeabilizante, aproximadamente.
CIERREConclusión
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa señora Sara desea construir un jardín con alberca, como se muestra en el esquema. Le pidió a su hija que calcule el área que se va a ocupar y el perímetro que se va a cercar. Los datos del diseño son los siguientes:
RQ = UV = 6 m TS = 4 m
WP = MN = 4 m MV = PQ = 5 m
TU = 9 m
Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes calcular las áreas de figuras geométricas?
DESARROLLO (complementar la tabla)
Figura Fórmula del área Sustitución Área
A = b . h A = (16)(5)
A = b . h A = 45 m2
El perímetro es:
CIERREConclusión
MN O WP
V QUR
TS
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56
Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe debe pintar una iglesia, determina la cantidad de pintura (litro) que debe comprarse si se sabe que cada litro rinde 15 m2 . El profesor guiará la actividad.
Conocimientos previos �¿Cuál es el teorema de Pitágoras? �¿Sabes calcular el área y perímetro de figuras geométricas?
DESARROLLO
CIERREConclusión
ACTIVIDAD INTEGRADORA
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Con base en el plano calcular los metros cuadrados que se indican en la tabla e investigar el precio de cada material. Considera que todas las acotaciones se encuentran en metros.
Y para navegar...Polígonos
Fuentes:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/areas/index.htm.http://www.aplicaciones.info/decimales/geoplax2.htm.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/formula_heron/formula_de Heron.htm#historia.
Fuente: adaptado por Alejandro Morales Velázquez.
1 m
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
57
Lugar Material Dimensiones Área Precio unitario Importe
Recámaras Alfombra de uso rudo
Sala-comedor Piso laminado
Gimnasio Tatami
Alberca Azulejo
Jardín Pasto
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn globo aerostático es visto al mismo tiempo sobre un valle por dos observadoras. Las dos están a 1.39 km de distancia una de la otra. Si suponemos que las observadoras y el globo están en el mismo plano vertical y el ángulo de elevación respecto a la primera es de 35° y respecto a la segunda es de 52°, ¿a qué altura se encuentra el globo?
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del Alamillo es un puente atirantado que cruza el río Guadalquivir, en Sevilla, España. Consta de un único pilar que actúa de contrapeso; para los 200 m de largo del puente utiliza 13 largos cables. El contrapeso tiene una inclinación de 48º y además cuenta con un mirador localizado a 142 m de altura.
El reto es calcular la longitud del tercer cable partiendo del contrapeso hacia el extremo del puente. Toma en cuenta que la separación de los cables es simétrica.
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe pretende pintar la fachada principal y lateral de cinco naves de la fábrica que se ilustra en la imagen. Quien realizará el trabajo cobra $45 por cada metro cuadrado. ¿Cuánto tendrá que pagar la empresa por el servicio prestado? Las dimensiones son: largo 87 m, altura lateral de los muros 2.5 m y altura máxima de la loza 3 m.
Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.
Fuente: www.shutterstock.com.
Fuente: http://www.le-triangle.fr/export/espanol/sg_stockageindustrial_content/stockageindustrial/picturebox/stockage_industrial-bodegas_industriales-Le-Triangle.fr:5.jpg
Universidad Autónoma del Estado de México l Nivel Medio Superior
M1Basado en competencias
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RÚBRICA
PROPÓSITO 10 8 6 4
Resuelve situaciones problema que se modelan a través de triángulos y comprende la relación entre las magnitudes de los lados y los ángulos
Los diagramas y/o dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos
Los diagramas y/o dibujos son claros y fáciles de entender
Los diagramas y/o dibujos son poco claros de entender
Los diagramas y/o dibujos son difíciles de entender o no son usados
Calcula el área y perímetro de polígonos regulares e irregulares
Plantea, interpreta y resuelve adecuadamente la situación problema
Plantea e interpreta adecuadamente la situación problema
Plantea adecuadamente la situación problema
No plantea adecuadamente la situación problema
Estrategia/procedimientos
Por lo general, usa una estrategia eficiente y efectiva para resolver problemas
Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas
Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas
No usa una estrategia efectiva para resolver problemas
Orden y organización
El trabajo es presentado de manera ordenada, clara y organizada que es fácil de leer
El trabajo es presentado de manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer
El trabajo es presentado de manera organizada y es difícil de leer
El trabajo se ve descuidado y desorganizado
RESUMEN
En este capítulo se estudiaron los triángulos, sus elementos y clasificación de acuerdo con sus ángulos y sus lados. También se aprendió la resolución de triángulos según el tipo del que se trate, sea rectángulo u oblicuángulo o una combinación de ambos. Así como su aplicación e importancia en el entorno.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
59
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografía
Biggs, John (2005), Calidad del aprendizaje universitario, Madrid, España: Narcea.
Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.
Hernández, D. et al. (2010), Álgebra, México: UAEMéx.
Orozco, E. (1992), Haciendo matemática, Álgebra I, México.
Pérez, M. (2006), Matemáticas 2 para bachillerato. Geometría y Trigonometría. Guía de aprendizaje, México: Alfaomega.
Ramírez, M. et al. (2006), Sugerencias didácticas para el desarrollo de competencias en secundaria, México: Trillas.
Swokowski, E., et al. (s.f.), Trigonometría, 9a ed., México: Thompson Learning.
Ortiz, J. (2009), Matemáticas 2. Bachillerato general, México: Patria.
Bernal, R. (2008), Trigonometría bachillerato, México: McGraw-Hill.
Mesografía − http://www.matebrunca.com. − http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html. − http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm. − http://geometriadinamica.org/geogebra/teoremadethalesdemileto.htm. − http://www.thatquiz.org/es/.
TRANSFORMACIONESENTRE SISTEMA
DE MEDICIÓNDE ÁNGULOS
CÍRCULO
SECTORCIRCULAR
ELEMENTOSNOTABLES
DIAGRAMA DECONTENIDOS
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Módulo dosCÍRCULO
Universidad Autónoma del Estado de México l Nivel Medio Superior
M2
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Basado en competencias
COMPETENCIAS
PROPÓSITOS DEL MÓDULO
Competencias de la Dimensión
�Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución creativa de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad. �Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido. � Identifica y recupera el error como un elemento del proceso de aprendizaje que le facilita la construcción de nuevos sentidos y significados
A través del dominio del lenguaje técnico de la matemática y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con círculos y sector circular.
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Básicas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
63
Nos remontaremos al invento de la rueda por los Sumerios (3 500 años a. C.) quienes en sus construcciones mostraban figuras geométricas. La historia de la Trigonometría se inicia con las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia; más tarde los babilonios adaptaron la rueda a sus carros con fines
bélicos y con su uso descubrieron la relación que existe entre su circunferencia y su diámetro con un valor de “tres”. Al conocer que el año tiene aproximadamente 360 días dividieron la circunferencia entre 360 partes iguales y obtuvieron el grado en el sistema sexagesimal.
Por su parte, los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Los griegos también iniciaron el estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos (arcos) de un círculo y las cuerdas correspondientes.
En este segundo módulo se analizan los elementos notables del círculo y circunferencia, las transformaciones de sistemas de medición de ángulos, definición de sector circular y las fórmulas para obtener la longitud de arco, así como el área y perímetro de un sector circular.
Todas las situaciones de aprendizaje de este módulo han sido enfocadas a temas relacionados con su entorno, a fin de que el alumno aplique los conocimientos adquiridos en el aula.
ELEMENTOS NOTABLES DEL CÍRCULO Y DE LA CIRCUNFERENCIA
Definición de circunferencia: es el lugar geométrico del conjunto de puntos en un plano, tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante.
Identificando r como el radio de la circunferencia y C, el centro de ésta.
r y C son los elementos fundamentalespara trazar su gráfica.
Elementos fundamentales de la circunferencia
C Centro de la circunferencia
︱CP︱ Radio: segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia
︱DD'︱ Diámetro: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro
︱MM'︱ Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia
S Secante: es una recta que corta en dos puntos a la circunferencia
T Tangente: es una recta que toca en un solo punto a la circunferencia, perpendicular al radio
INTRODUCCIÓN
C
P
r
TM'
P
D'M
D C
S
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M2
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Basado en competencias
Círculo Es una figura plana (región) delimitada por una circunferencia
Arco Es la distancia de la circunferencia comprendida entre dos radios
Sector circular
Es la porción o región de un círculo comprendida entre dos radios y el arco que subtiende
AREA DEL CÍRCULO A = πr2
PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA P = 2πr
Sistemas de medición de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos son: �Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades) �Grado centesimal �Grado sexagesimal
Equivalencias: 1° = 60´1´ = 60´´
1° = 0.01745 radianes1 radián = 57.295°
Complementa la tabla de equivalencias
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
π/6 π 2π
Círculo
Círcunferencia
Longitudde arco
Circunferencia
Longitudde arco
r
r
Circunferencia
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Trabajoen equipo
APERTURATrabajo en equipo, actividad a realizarse en la cafetería
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELos alumnos traerán por equipo un postre o comida en forma de círculo (diferentes tamaños).
Conocimientos previosConcepto de: circunferencia, radio, centro, sector circular, área, perímetro, porcentaje.
DESARROLLOEscribirán con base en los cálculos que realicen:
Diámetro cm Radio cm
Perímetro cm
Área cm2
Corten una rebanada en forma de sector circular y obtengan los siguientes datos: Radio cm
Ángulo grados
Ángulo rad
Longitud del arco cm
Área del sector circular cm2
¿Cuántas rebanadas exactas como la que cortaron caben en todo el círculo original?
Si dividen el círculo original en 8 partes iguales obtengan:Área de sector circular de cada parte:
Ángulo de sector circular de cada parte: Longitud de arco de sector circular de cada parte
CIERREConclusión
r
Longitud de arco
Fuente: http://genesconectados.com/wp-content/uploads/2013/10/Pizza.jpg.
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Basado en competencias
Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn limpiador de parabrisas de un automóvil mide 65 cm de largo y el hule 48 cm, si al moverse gira a un ángulo de 115º, calcular el área que limpia.
Fuente: http://www.planetabuggy.com.br/extintos/rio/parabrisas.jpg.
Conocimientos previos �Cálculo del área de un sector circular �Transformar la medida de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico.
DESARROLLOPara calcular el área que limpia el hule, primero se calculará el área del limpiador completo y se restará el área que no limpia.
Cálculo de áreas
Cálculo del área del sector circular con radio de 65 cm
Simplificando A65 =
Obteniendo la diferencia de la longitud del limpiador menos la longitud del hule (área que no limpia) 65 - 48 = 17 cm
Cálculo del área del sector circular de radio de 17 cm A17 =
Obtención del área que limpia el hule
Sustitución
El área que limpia el hule es de 0.39606 m2
CIERREConclusión
65 cm
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna rueda tiene 58 cm de diámetro, ¿qué distancia recorre en metros la rueda de la bicicleta cuando ésta completa 15 revoluciones o vueltas?
Conocimientos previos �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico
DESARROLLO
Calculando las 15 vueltas en radianes
Obteniendo el radio
Obteniendo la longitud
Sustituyendo y simplificando
Cuando la rueda ha completado la 15ava vuelta su recorrido es de
CIERREConclusión
Fuente: www.shutterstock.com.
El origen de la puntuación del tenis viene de la Edad Media, cuando la observación de los astros era común y por tanto el uso de un instrumento formado por la sexta parte de un círculo que sirve para medir ángulos. Por esto en el tenis los puntos cuentan de 15 en 15 (15-30-45-60), de tal modo que cada juego suma 60 puntos. Cada juego tiene 6 sets de 4 juegos, cada uno vale 15 “grados” y se proclama vencedor aquel que primero logra completar el círculo de 360 grados de la esfera celeste de los astros.
Fuente: http://www.amistad2003.com/sabias.htm.
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Basado en competencias
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEDel ejemplo anterior, si la bicicleta recorre 210 m, ¿cuántas revoluciones o vueltas ha dado la rueda?
Conocimientos previos �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico
Se sabe que la longitud y el radio son: l = 210 m, r = 29 cm
DESARROLLO
De la longitud de arco despejando el ángulo
Sustituyendo y simplificando
Transformación del ángulo del sistema cíclico a sistema sexagesimalAplicando regla de tres:1 revolución: 360 grados :: θ : 41489.59 grados
Cuando recorre 210 m la rueda ha dado 115.25 revoluciones o vueltas
CIERRE Conclusión
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEConsiderando el costo de construcción de barda (mano de obra, primer nivel) a $500.00 por metro lineal, $100 más el segundo nivel, $200 más el tercer nivel y el remate 50 pesos más. ¿Cuánto se pagará por la construcción de la barda perimetral de un terreno con forma de sector circular, si el radio es de 23 m y el ángulo central mide 135º? Conocimientos previos
�Concepto de perímetro �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico
El modelo gráfico que representa la situación problema es: O = 135º-
Fuente: http://www.arteguias.com/tierradepinares.htm
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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DESARROLLO
Obteniendo la longitud de arco
Transformación del ángulo del sistema cíclico a sistema sexagesimal
Sustituyendo y simplificando
Obteniendo el perímetro P = r + r + l
Obteniendo el costo de la barda (primer nivel)
Obteniendo el costo de la barda (segundo nivel)
Obteniendo el costo de la barda (tercer nivel)
Obteniendo el costo de la barda (remate)
CIERREConclusión
ACTIVIDAD INTEGRADORA
APERTURA Trabajo individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn limpiador de parabrisas de un automóvil mide 60 cm de largo y el hule 45 cm, si al moverse gira a un ángulo de 160º, calcular el área que limpia.
Fuente: adaptada de https://www.google.com.mx/search?q=parabrisas&es_sm, http://www.planetabuggy.com.br/extintos/rio/parabrisas.jpg.
45 cm
60 cm
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Basado en competencias
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje.
1. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna rueda de bicicleta tiene 48 cm de diámetro, ¿qué distancia recorre en metros la rueda cuando ésta completa 1, 250 revoluciones o vueltas?
Del ejemplo anterior, si la bicicleta recorre 210 m, ¿cuántas revoluciones o vueltas ha dado la rueda?
2. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un campo de futbol se riega el pasto con un aspersor que gira las 8 décimas partes de la circunferencia. Si el agua que riega es uniforme con un alcance de 12 m, ¿cuál es el área que se riega y qué perímetro se tiene del área regada (distancia alrededor del sector circular)?
3. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEConsiderando el costo de construcción de barda (mano de obra, primer nivel) a $500.00, por metro lineal, $100 más el segundo nivel, $200 más el tercer nivel y el remate 50 pesos más. ¿Cuánto se pagará por la construcción de la barda perimetral de un terreno con forma de sector circular, si el radio es de 20 m y el ángulo central mide 145º?
RESUMEN
Con las actividades que realizó el alumno en este módulo aprendió los conceptos geométricos básicos, como: punto, recta, plano, longitud de arco, ángulo central, ángulo inscrito, recta tangente, recta secante y sector circular. Así como los sistemas de medición de ángulos sexagesimal y cíclico.
Al final del módulo se presenta una autoevaluación; con el fin de comprobar si los propósitos establecidos se cumplieron. Es importante que el profesor los verifique.
Fuente: www.shutterstock.com.
Fuente: http://www.arteguias.com/tierradepinares.htm
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RÚBRICA
PROPÓSITO 10 8 6 4
Resuelve situaciones problema que involucran el perímetro y el área de un sector circular
Los diagramas y/o dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos
Los diagramas y/o dibujos son claros y fáciles de entender
Los diagramas y/o dibujos son poco claros de entender
Los diagramas y/o dibujos son difíciles de entender o no son adecuados
Traza las rectas y puntos notables de un triángulo como la mediatriz, bisectriz, mediana, altura, circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro
Los dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos
Los dibujos son claros y fáciles de entender
Los dibujos son poco claros de entender
Los dibujos son difíciles de entender o no son adecuados
Identifica los tipos de ángulos de acuerdo con su medida, sentido y posición respecto a dos rectas paralelas cortadas por una recta secante
Plantea, interpreta y resuelve adecuadamente la situación problema
Plantea e interpreta adecuadamente la situación problema
Plantea adecuadamente la situación problema
No plantea adecuadamente la situación problema
Estrategia/procedimientos
Por lo general, usa una estrategia eficiente y efectiva para resolver problemas
Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas
Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas
No usa una estrategia efectiva para resolver problemas
Orden y organización
El trabajo es presentado de manera ordenada, clara y organizada, que es fácil de leer
El trabajo es presentado de manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer
El trabajo es presentado de manera organizada y es difícil de leer
El trabajo se ve descuidado y desorganizado
BIBLIOGRAFÍA
Biggs, John (2005), Calidad del aprendizaje universitario, Madrid, España: Narcea.Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.Hernández, D. et al. (2010), Álgebra, México: UAEMéx.Orozco, E. (1992), Haciendo matemática, Álgebra I, México.Pérez, M. (2006), Matemáticas 2 para bachillerato. Geometría y trigonometría. Guía de aprendizaje, México: Alfaomega.Ramírez, M. et al. (2006), Sugerencias didácticas para el desarrollo de competencias en secundaria, México: Trillas.Swokowski, E. et al. (s/a), Trigonometría, 9ª ed., México: Thompson Learning.
DIAGRAMA DECONTENIDOS
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CIRCUNFERENCIAUNITARIA Y ARCOS
ASOCIADOS
FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
COMPORTAMIENTODE LAS FUNCIONES
SENO, COSENOY TANGENTE
GRÁFICA DE LASFUNCIONES SENO Y
COSENO DE LASFORMAS
y =
asen (b x +
)y =
acos (b x +
)
Módulo tresFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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Basado en competencias
COMPETENCIAS
PROPÓSITOS DEL MÓDULO
Competencias de la Dimensión
�Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución creativa de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad. �Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido. � Identifica y recupera el error como un elemento del proceso de aprendizaje que le facilita la construcción de nuevos sentidos y significados
A través del dominio del lenguaje técnico de las Matemáticas y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con funciones trigonométricas.
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Básicas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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INTRODUCCIÓNHistóricamente las funciones trigonométricas, son las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Donde θ es uno de sus ángulos agudos y las relaciones de los lados sólo dependen de θ y no del tamaño del triángulo. Así, para cada valor de θ, las seis relaciones quedan determinadas en forma única, por consiguiente, son funciones de θ y se llaman funciones trigonométricas, sus nombres específicos son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Y sus símbolos son: sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente.
Para tratar las funciones trigonométricas, este módulo se inicia con los arcos en posición normal y reducidos, a fin de que el alumno maneje operaciones en radianes con su calculadora. Se plantean problemas de aplicación donde el alumno debe seguir un proceso que le auxilia paso a paso para obtener la solución.
Se tratan las funciones trigonométricas del seno y coseno con un análisis de cada uno de los parámetros y el trazo de sus gráficas; en algunos casos se da la gráfica y el alumno debe obtener los parámetros y en otros, sólo los parámetros, a fin de que obtenga la gráfica. Así como ejercicios de aplicación.
La función tangente únicamente se presenta para que los alumnos la conozcan pero no se analizan sus parámetros, por no ser del alcance de este libro.
Las gráficas de las funciones cotangente, secante y cosecante no se contemplan en este libro, pero es importante que el alumno las conozca mediante un trabajo de investigación.
CIRCUNFERENCIA UNITARIA Y ARCO ASOCIADO
Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un arco se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje x positivo. Si se rota en dirección contraria a las manecillas del reloj hasta una posición terminal, entonces decimos que se forma un arco. Comúnmente denotamos los arcos mediante letras griegas minúsculas o letras mayúsculas de nuestro alfabeto, y especificamos la dirección de la rotación por medio de un arco circular o espiral con una flecha en el extremo. Dependiendo en donde se encuentre el lado terminal, se dirá que en ese cuadrante se encuentra el arco.
La unidad de medida que se acostumbra usar para arcos es el radián. Un arco tiene una medida de un radián si al colocar su vértice en el centro de un círculo, la longitud del arco subtendido en la circunferencia es igual al radio.
Gráficamente: definición de radián.
r
r
r
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Basado en competencias
Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEPara que una clavadista tenga una entrada adecuada en el agua, al tocar sus piernas debe tener un arco en posición normal de π/6 con respecto a la horizontal. Calcula el arco reducido.
Conocimientos previos �¿Qué es un arco reducido? �¿Cuándo un arco está en posición normal?
EjemploTrazar el arco en posición normal y su reducido para 4 rad y θ=5.5 rad.
Proceso
Para 4 rad, se traza primeroen posición normal:
Para 5.5 rad:
DESARROLLOAhora, se resuelve la presentación de la situación de aprendizaje.Dibuja un esquema que represente la situación de aprendizaje.
Fuente: www.shutterstock.com.
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¿Qué arco forman las piernas de la clavadista con respecto a la horizontal? π/6
¿En qué cuadrante se encuentra el arco en posición normal?
¿Cómo es el arco en posición normal respecto al arco reducido en el primer cuadrante? Son iguales
Por lo que el arco reducido es
CIERREConclusión
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un entrenamiento de karate, el profesor le indica al alumno que el arco en posición normal de su pierna, respecto a la horizontal, para que dé en el blanco debe ser de . Calcular el arco reducido.
Conocimientos previos �¿Qué es un arco reducido? �¿Cuándo un arco está en posición normal?
DESARROLLODibuja un esquema que represente la situación de aprendizaje.
¿En qué cuadrante se encuentra el arco en posición normal? Cuadrante dos
¿Cómo se calcula el arco reducido en el cuadrante dos?
El arco reducido es de
CIERREConclusión
Fuente: www.shutterstock.com.
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Basado en competencias
Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELos puntos en los lados terminales de ángulos desempeñan un papel importante en el diseño de los brazos para un robot. Supón que un autómata tiene un brazo recto de 18 pulg de longitud que puede girar alrededor del origen en un plano de coordenadas.
a. Si la mano del robot está en (18, 0) y a continuación gira un arco en posición normal de , ¿cuál es el nuevo lugar de la mano y cuál es el arco reducido?
b. Si la mano se encuentra inicialmente en (12 , 12). ¿Cuántos radianes, aproximadamente debe girar el brazo, cuánto debe hacerse variar su longitud para mover la mano a (-16 , 10), y cuál es el arco reducido?
Conocimientos previos �¿Sabes trazar arcos en posición normal y reducidos? �¿Sabes calcular los lados de un triángulo rectángulo?
DESARROLLOProceso de solución del inciso a)Si la posición inicial es (18 , 0) y gira un arco de ; realiza un esquema con los datos:
Al girar un arco de , la hipotenusa es de 18 pulg ¿Qué función trigonométrica relaciona los datos del problema?
Despejando el cateto adyacente (CA)
Sustituyendo valores
Realizando operaciones
El valor de 9 qué representa La abscisa x=9
La ordenada se obtiene con el teorema de Pitágoras
x=9, r=18r2=x2+y2
Sustituyendo datos
(18 , 0)
Fuente: www.shutterstock.com.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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La nueva coordenada es 9, 15.58
¿Cuál es el arco reducido? Es el mismo que el arco en posición normal, por estar en el primer cuadrante
Proceso de solución del inciso b)
¿Qué arco nos indica la posición (12 , 12)? El arco es
¿Qué función trigonométrica relaciona los datos de la nueva posición?
Cuando la mano se mueve a la nueva posición (-16 , 10) forma un triángulo, siendo la abscisa -16 y la ordenada 10, y sustituyendo se tiene
El valor del ángulo reducido en el segundo cuadrante de θ es
Transformando a radianes se tiene
¿Cuál es el arco reducido?
¿Cuál es el arco que gira el brazo del robot, de la posición (12 , 12) a la posición (-16 , 10)?
CIERREConclusión
COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE
Las funciones trigonométricas se pueden describir en términos de puntos en un círculo y referirnos entonces a ellas como funciones circulares.
Sea U un círculo unitario, esto es, un círculo de radio 1 con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Entonces U es la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 1, si θ es cualquier ángulo, colocamos θ en posición estándar y hacemos que sea el punto donde el lado terminal intersecta a U.
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Basado en competencias
Trabajoen equipo
El enfoque del círculo unitario puede usarse para investigar la variación del seno y el coseno a medida que cambia el valor de θ.
Considerando variaciones de θ en radianes:
θ 0 π 2π
Senθ 0 1 0 -1 0
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa siguiente gráfica corresponde a una nota musical, que se representa por la función seno. Calcula lo siguiente: y=a sen(x)
00 .5 11 .5 22 .5 33 .5 44 .5 55 56 6.50
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
π2 π
a. Amplitudb. Periodoc. Puntos máximos y mínimosd. Dominio y rango
Conocimientos previos � ¿Qué es amplitud? � ¿Qué entiendes por periodo? � ¿Sabes qué es el dominio y rango de una función?
DESARROLLOLa expresión algebraica de la función seno es de la forma:
y=a sen(bx), donde
a es la amplitud, bx es el argumento y b es el número real.
Por lo tanto, si y=1 sen(x)La amplitud es: a= ±1, que corresponde al coeficiente de la función.Para encontrar el periodo, el argumento se iguala con cero [0] y con [2π].
El periodo inicia en: x=0
y termina en: x=2π
El intervalo del periodo es
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81
Trabajoen equipo
El punto máximo se localiza en la parte más alta de nuestra gráfica, se indica con la coordenada (x, y), donde y es la altura máxima verticalmente (amplitud)
El punto mínimo se localiza en la parte más baja de la gráfica, se indica con la coordenada (x, y), donde y es la altura mínima verticalmente hacia abajo del eje x (amplitud)
Las coordenadas del punto máximo y mínimo son
La amplitud corresponde con la distancia máxima que alcanza sobre el eje y En este caso es de
Los puntos donde la curva corta al eje x son las intersecciones, es decir, en:
La coordenada, para x = 0, es:
La coordenada, para x = π, es:
La coordenada, para x = 2π, es:
El dominio representa la extensión de la curva horizontalmente, es decir, los valores que corresponden a x:El rango representa la extensión de la curva verticalmente, es decir, los valores que corresponden a y:
CIERREConclusión
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn una comunicación de teléfonos celulares las ondas están representadas de acuerdo con la siguiente gráfica.
a. Obtén la ecuación que represente la gráfica, considerando que la longitud de la onda es de 2π y su amplitud, 2
b. Calcula el periodo c. ¿Cuáles son los puntos
máximos y mínimos?d. ¿En qué puntos la gráfica corta
al eje x?
Conocimientos previos �¿Qué es la amplitud? �¿Qué es el periodo? �¿Conoces las intersecciones con los ejes de una función?
Pág. 106
A
0
-A
LONGITUD DE ONDA
AMPLITUDDE ONDA
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Basado en competencias
DESARROLLO
De la gráfica se observa que la onda inicia hacia abajo y está representada por -2 (amplitud) a=-2, para la mitad de la onda
La gráfica corresponde a la función seno, debido a que inicia sobre el eje x, a partir de cero y= -2sen x
El periodo coincide con la longitud de onda, que es de x =2π
El punto máximo se encuentra en
El punto mínimo se encuentra en
Las intersecciones con los eje x se localizan con los valores x=0, x=π, ∧ x=2π
CIERRE
ConclusiónEn esta caso la gráfica se inicia trazando en la parte negativa, por esta razón el punto máximo se encuentra en y el punto mínimo, en . Cuando se inicia trazando en la parte positiva, que es lo más común, el punto máximo se obtiene en y el punto mínimo en .
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna onda de teléfono celular está representada por la siguiente figura. A partir de ella, obtén la siguiente información:
a. ¿Cuál es el periodo?b. ¿Cuáles son sus puntos
máximos y mínimos?c. ¿Cuáles son las
intersecciones con el eje x?d. ¿Cuál es su amplitud?e. ¿Cuál es su dominio?f. ¿Cuál es su rango?
1.5
1
0.5
0.50 .5 11 .5
π /2
3π /2
π2π
22 .5 33 .5 44 .5 55 .5 60
0
-0.5
-1
-1.5
1
.5
.5
0.5 11 .53π /2
π 2π
22 .5 33 .5 44 .5 55 .5 60
0
.5
.5
-1
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Conocimientos previos �¿Qué es la amplitud? �¿Qué es el periodo? �¿Sabes utilizar la calculadora?
DESARROLLO
El periodo corresponde con la longitud de onda Inicia en x=0
y termina en x= 2π
Los puntos máximos se localizan en
Los puntos donde corta la curva al eje x son La amplitud corresponde con la distancia máxima que alcanza sobre el eje yEl dominio representa la extensión de la curva horizontalmente
El rango es la extensión de la curva verticalmente
CIERREConclusión
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa ecuación que representa un movimiento armónico simple es:
Calcula lo siguiente:a. El periodob. Punto máximo y punto mínimoc. Trazar la gráfica
Conocimientos previos �¿Sabes utilizar un software graficador?
DESARROLLO
El argumento de la función es Y se iguala con cero
Despejando la variable x
Ahora , se iguala con [2π]
Despejando la variable x x= (2π)(2)x=4π
Por lo tanto, el periodo es
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Basado en competencias
Trabajoen equipo
El punto máximo se encuentra igualando con
Despejando x x=π punto máximo
El punto mínimo se encuentra igualando con
Despejando x punto mínimo
La gráfica se puede realizar mediante tabulación o con el uso de Geogebra o Winplot.En este caso se utiliza Geogebra, tecleando en la barra de entrada la ecuación indicada:
Y dando enter se traza la gráfica automáticamente.
Mediante la herramienta de texto de Geogebra, se introducen los datos obtenidos de punto máximo y mínimo.
CIERREConclusión
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEPara un intervalo de 45 minutos, los tsunamis cerca de Hawai, provocados por el sismo de 1960 en Chile, se pudieron representar por la ecuación:
, donde y está en pies, y t en minutos.
a. Calcula la amplitud y el periodo de las olas
Fuente: www.shutterstock.com.
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Trabajoen equipo
b. Si la distancia de una cresta de onda a la siguiente era de 21 km. ¿Cuál era la velocidad de la onda?
Conocimientos previos � ¿Qué es la amplitud y el periodo? � ¿Sabes qué es velocidad?
DESARROLLO
La amplitud de la onda es de ±8
El periodo se obtiene igualando con cero el argumento
Despejando t
Ahora, el argumento se iguala con 2π
Despejando t
Por lo tanto, el periodo es de t=12 min
Transformando el tiempo a horas, ya que la velocidad es de 21 km/hPara calcular la velocidad, si
Sustituyendo datos
Por lo que la velocidad es CIERREConclusión
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa onda que produce una nota musical está representada por la ecuación:
Calcular lo siguiente:a. El periodob. Las intersecciones con los ejesc. Trazar la gráfica
Conocimientos previos �¿Sabes usar un software graficador?
DESARROLLO
Periodo, el argumento primero se iguala con cero
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Basado en competencias
Despejando la variable x
Posteriormente, el argumento se iguala con 2π
Despejando la variable x
El periodo es
Intersecciones con el eje x, el argumento se iguala primero con
Despejando la variable x
Para trazar la gráfica utilizamos Geogebra, donde tecleamos en la barra de entrada la función:
CIERREConclusión
Gráfica de las funciones seno y coseno, de las formas f(x)= a sen (bx + c)
La amplitud de f(x) o de su gráfica se define como la mayor ordenada de puntos en la gráfica. Si a > 0, la mayor ordenada ocurre si sen (bx + c) =1, mientras que si a < 0, debemos tomar sen (bx+c) = -1. En ambos casos la amplitud es ︱a︱
Teorema de los periodosSi f(x)=sen bx , donde b ≠ 0, entonces el periodo de f(x) es
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Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa onda de comunicación en telégrafos está representada por la siguiente ecuación:
Representa la gráfica para una frecuencia de dos ciclos y obtén lo siguiente:a. El periodob. Intersecciones con el eje xc. Dominio y rango
Conocimientos previos �¿Conoces las intersecciones con los ejes? �¿Sabes qué es dominio y rango?
DESARROLLO
La amplitud de la onda es de
El periodo. El argumento se iguala con cero y con
Despejando a x
El periodo es
Intersecciones con el eje x, se iguala con π
Despejando x
Dominio
Rango
La gráfica que representa dos ciclos empieza en y termina en .
CIERREConclusión
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APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn movimiento de radiotransmisiones satelital está representado por la siguiente ecuación.
Calculara. El periodob. Puntos máximos y mínimosc. Dominio y rangod. Traza la gráfica para una frecuencia
de dos ciclos
Conocimientos previos �¿Sabes usar un software graficador?
DESARROLLO
Periodo, igualando con cero y 2π, se tienen dos expresiones
Despejando de ambas expresiones a x, el periodo es
El dominio tiene dos ciclos, entonces
La gráfica nos representa dos ciclos.
El dominio inicia en y como son dos ciclos, termina en . El rango es .
CIERREConclusión
0.5
-0.5
1
-1
0.5-0.5
11π/98π/95π/92π/9π/9
11 .5 22 .5 33 .5 40
0
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_utTw9qxuWcs/TL2TA7AzG1I/AAAAAAAAAH0/lPhNhq33sAc/s1600/tooway-schema%5B1%5D.jpg
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APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEDe acuerdo con la siguiente gráfica, expresar la ecuación de la onda senoidal, en la forma y= a sen (bx + c).
Conocimientos previos �¿Sabes qué es amplitud y periodo? �¿Sabes utilizar la calculadora? �¿Sabes calcular las diferentes razones trigonométricas?
DESARROLLOLas ordenadas máxima y mínima de los puntos de la gráfica son: - 5 y 5; por consiguiente, la amplitud es 5, que representa el valor de a.
Como una onda ocupa el intervalo y la otra , el
periodo es 4, que equivale a la distancia del intervalo de la onda al momento de dar un ciclo.
De acuerdo con el teorema de amplitudes, periodos y desplazamientos de fase, para b>0.El periodo es:
El desplazamiento de fase es:
Como c debe ser positivo, el desplazamiento de fase debe ser negativo; es decir, la gráfica se obtiene desplazando la gráfica de hacia la izquierda.
Como se desea que c sea lo más pequeña posible, se escoge un desplazamiento de fase igual a α . Por lo tanto:
Entonces, la función es: ¿Puede haber otras funciones?
CIERREConclusión
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APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl proceso rítmico de la respiración consiste en periodos alternos de aspiración y espiración. Normalmente un ciclo completo dura cinco segundos. Si F(t) representa la corriente o flujo de aire en el momento t (en litros por segundo) y si el flujo máximo de aire es 0.6 L/s, establecer una fórmula que tenga la forma:
f(t) = a sen (bt)y que se ajuste a esta información.
Conocimientos previos �Amplitud, periodo �Uso de la calculadora en radianes �Cálculo de las diferentes razones trigonométricas
DESARROLLOSi f(t) = a sen (bt), para determinada b>0, entonces el periodo de f es: en esta aplicación el periodo es 5 segundos y por consiguiente: Puesto que el flujo máximo corresponde a la amplitud a de f, sea a = 0.6 y con ello llegamos a la fórmula:
CIERREConclusión
FUNCIÓN TANGENTEAl igual que en el caso de las funciones seno y coseno, utilizamos el software Geogebra para trazar la gráfica de la función tangente.
Llamaremos función tangente a aquella que asocia a cada ángulo el valor de la tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = tan x; y su gráfica:
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Sus características son:
Dominio y submúltiplos
Rango
Periodicidad Periódica con periodo T = p (180º)
Puntos de corte con eje y En y = 0
Puntos de corte con eje x En x = kp (siendo k un número entero)
Signo de la función Positiva en el intervalo (0º , 90º) (con periodicidad p) Negativa en el intervalo (90º , 180º) (con periodicidad p)
Máximos relativos No presenta
Mínimos relativos No presenta
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Ejercicios propuestos
1. Dibuja la gráfica de la función seno y coseno para el intervalo entre:
2. Grafica las ecuaciones siguientes e indica dominio, rango, puntos máximos, puntos mínimos, periodo y amplitud:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
RESUMEN
En este módulo se utilizó Geogebra para trazar las gráficas de las funciones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente. El uso es muy sencillo por lo que no se menciona el procedimiento y se deja al alumno y al profesor la decisión de utilizarlo o realizarlo mediante tabulaciones.
Se presentan ejercicios de arcos en posición normal y reducidos, así como los principales parámetros que intervienen en la identificación de las gráficas de las funciones trigonométricas.
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EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje:
1. En un entrenamiento de karate, el profesor le indica al alumno que el arco en posición normal de su pierna con respecto a la horizontal para que dé en el blanco, debe ser de
. Calcular el arco reducido.
2. La onda que produce una nota musical está representada por la ecuación:
Calcular lo siguiente:a. El periodob. Las intersecciones con los ejesc. Trazar la gráfica
3. La onda de comunicación en telégrafos está representada por la siguiente ecuación:
Representa la gráfica para una frecuencia de dos ciclos y obtén lo siguiente:a. El periodob. Intersecciones con el eje xc. Dominio y rango
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RÚBRICA
Valoración 5 3 1 Total
Presentación y formato
Desarrolla el contenido del trabajo con limpieza, utiliza colores contrastantes para los gráficos y letra legible (a mano), además de entregarlo en tiempo y forma
Lo entrega en tiempo, utiliza colores contrastantes para los gráficos, pero está falto de orden y limpieza
Lo entrega en tiempo, pero el desarrollo del trabajo carece de limpieza, usa un mismo color para los gráficos y es poco legible
Planteamiento del problema
Identifica todas las variables involucradas en la situación problema y las representa gráficamente
Identifica todas las variables involucradas en la situación problema, pero no las traduce gráficamente
No identifica las variables involucradas en la situación problema ni las traduce gráficamente
Proceso de solución
Utiliza una secuencia lógica y ordenada de pasos para llegar a la solución del problema
Utiliza parcialmente una secuencia ordenada para llegar a la solución del problema
Carece de fundamentos algebraicos para llegar a la solución del problema
Obtención del resultado correcto
Obtiene todos los resultados correctos
Se aproxima a los resultados
No llega a ningún resultado correcto
Conclusiones, interpretación del resultado y reflexión personal
Interpreta adecuadamente los resultados e incluye su reflexión personal
Interpreta adecuadamente los resultados pero omite su reflexión personal
Interpreta incorrectamente los resultados y omite su reflexión personal
CALIFICACIÓN TOTAL POR EQUIPO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Mesografía
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_trigonometricas_vcc/tang_construccion.htm.
ht tp://www.windows2universe.org/physical_science/magnetism/em_radio_waves.html&lang=sp&portal=milagro.
DIAGRAMA DECONTENIDOS
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Módulo cuatroECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
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COMPETENCIAS
PROPÓSITOS DEL MÓDULO
Competencias de la Dimensión
�Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución creativa de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad. �Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido. � Identifica y recupera el error como un elemento del proceso de aprendizaje que le facilita la construcción de nuevos sentidos y significados
A través del dominio del lenguaje técnico de las Matemáticas y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con ecuaciones trigonométricas.
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Básicas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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En Matemáticas, las identidades trigonométricas son verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, se cumple para cualquier valor del ángulo).
Relación pitagórica
Identidad de la razón
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas, para lo cual se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, simplificándose entonces la integral resultante con base en identidades trigonométricas.
Por otro lado, de cos2α, sen2α, tales que sen2α = (sen α)2 o bien cos2α = (cos α)2.Se pueden extrapolar más identidades. Sin embargo, estas expresiones de conversión pueden tener el signo correcto (+ o −). Por ejemplo, si sen θ = ½ , la conversión propuesta es
, aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Esta es la réplica del teorema de Pitágoras llamada identidad trigonométrica fundamental, una de las ocho que al efectuar operaciones sencillas permite encontrar 24 identidades más y útiles para resolver situaciones de aprendizaje.
A continuación, te presentamos las ocho identidades fundamentales que vamos a utilizar en este módulo:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
RECÍPROCAS
COCIENTE
CUADRADAS O PITAGÓRICAS
INTRODUCCIÓN
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Trabajoen equipo
Principalmente estas identidades se aplican para resolver integrales (cálculo integral), sobre todo en las que simplifican utilizando las identidades fundamentales antes descritas; también se aplican en la solución de ecuaciones trigonométricas y en algunos problemas como son: del sonido, la turbulencia que genera un avión o bien en la frecuencia cardiaca de las personas, así como en las ondas sonoras de los diferentes instrumentos musicales y demás; de la luz y diferentes ondas electromagnéticas que se presentan en otras situaciones científicas de nuestros tiempos, como son: ultrasonidos, ondas sísmicas, tornados, huracanes, ondas eólicas generadas por el viento, aunque en este tipo de situaciones se aplican identidades un poco más complejas.
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEVerificar la identidad trigonométrica siguiente:
Ondas sonoras
Cada instrumento musical produce una vibración característica. Las vibraciones se propagan por el aire formando ondas sonoras que al llegar al oído nos permiten identificar el instrumento aunque no lo veamos. Un diapasón genera un sonido puro, y vibra regularmente con una forma de onda redondeada. Un violín genera un sonido claro y una forma de onda dentada. La flauta genera un sonido suave y una forma de onda relativamente redondeada. El diapasón, el violín y la flauta tocan la misma nota, por lo que la distancia entre las crestas de la onda es la misma en todas las formas de onda.
Conocimientos previos �Las identidades trigonométricas fundamentales �Operaciones con números reales �Propiedades de la igualdad
DESARROLLO
Se puede verificar, desarrollando y sustituyendo en la expresión del lado izquierdo del signo igual o en la del lado derecho del signo igual, o bien desarrollando ambos hasta lograr la igualdad de los miembros de la identidad
senAtanA ≡ secA-cosA
En este caso desarrollaremos primero el lado izquierdo, sustituyendo las identidades que
intervengan a senos y cosenos; posteriormente se realizan las operaciones algebraicas correspondientes
Empecemos utilizando la identidad: y sustituyendo en el lado izquierdo de la expresión 1 :
senAtanA ≡ secA-cosA
Se realiza la multiplicación
1
1
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Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
99
Utilizando la identidad: sen2A ≡ 1- cos2A y sustituyendoDividiendo cada término del numerador con el denominador
Utilizando la identidad ,
De lo anterior se concluye: la identidad se verificó desarrollando el miembro del lado izquierdo, llegando a la misma expresión del lado derecho.
Ahora:Desarrollando el miembro del lado derecho:
senAtanA ≡ secA-cosA
Realizando operaciones del lado derecho
Utilizando: 1 - cos2A ≡ sen2A y sustituyendo
Factorizando: sen2A = senA·senA y sustituyendo
Pero , entonces
Concluyendo, se verificó la identidad desarrollando el miembro del lado derecho
CIERRE ConclusiónPor lo que la identidad se verificó y comprobó de dos formas.
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Verifica la siguiente identidad:
Terremotos y ondas de choqueLos terremotos se producen cuando se libera de forma súbita la presión o tensión almacenada entre secciones de roca de la corteza, causando temblores sobre la superficie terrestre. El lugar en el que las capas de roca se desplazan y disponen unas
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100
en relación con otras se llama foco, centro efectivo del terremoto. Justo encima del foco, un segundo lugar llamado epicentro señala el punto superficial donde la sacudida es más intensa. Las ondas de choque se propagan como ondulaciones desde el foco hasta el epicentro decreciendo en intensidad. Los tipos principales de ondas sísmicas son las ondas primarias (ondas P) y las de cizalla (ondas S). Las ondas P desplazan las partículas en la misma dirección que la onda (izquierda). Son las detectadas primero porque son más rápidas que las S (derecha), que provocan vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación. Conocimientos previos
� ¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? � ¿Sabes cuáles son las operaciones con números reales? � ¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?
DESARROLLO
Utilizando la identidad:
y sustituyendo en la
expresión, en el miembro izquierdo
Como las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman los numeradores quedando el mismo denominador
Se comprueba la identidad
CIERRE Conclusión
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Sin la aplicación y correcto uso de las ecuaciones trigonométricas sería imposible dirigir tráfico aéreo, ya que con ellas se puede determinar el rumbo y seguir la trayectoria de dos aviones que parten de una misma base.
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101
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Comprueba la siguiente identidad: cotB + tanB ≡ secBcscB
Las ondas de radio hay que mezclarlas con ondas portadoras para poderlas emitir. Es necesario modificar la frecuencia (ritmo de oscilación) o la amplitud (altura) mediante un proceso denominado modulación. Estos dos procesos explican la existencia de los dos tipos de estaciones, AM o FM, en la radio. Las señales son totalmente diferentes, por lo que no se pueden recibir simultáneamente.
Conocimientos previos � ¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? � ¿Sabes cuáles son las operaciones con números reales? � ¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?
DESARROLLO
Desarrollando el lado izquierdo de la identidad y utilizando las siguientes identidades fundamentales:
cotB + tanB ≡ secBcscB
Resolviendo la suma
En el numerador
Como el número 1 se puede multiplicar tanta veces como sea necesario, entonces descomponiendo en fracción:
Utilizando las identidades:
Se verificó la identidad
CIERREConclusión
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Verifica la identidad trigonométrica siguiente: cosx cotx ≡ cscx – sen x
Fuente: www.shutterstock.com
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Se observa la turbulencia que genera la turbina del avión y la cantidad de ondas que se presentan.
Conocimientos previos
�¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Cuáles son las operaciones con números reales? �¿Sabes cuáles son las propiedades de la igualdad?
DESARROLLOPara el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador aplicando la estrategia de solución de situaciones de aprendizaje, apoyándose de material didáctico a través de presentaciones en PowerPoint, rotafolio, acetatos y pintarrón
Utilizando la identidad: cosx cotx ≡ cscx – sen x
Multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador
Queda finalmente
Utilizando la identidad:
Dividiendo cada numerador con el denominador se tienen dos fracciones
Sustituyendo:
CIERREConclusión
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Fuente: http://images.npg.org.uk/800_800/9/5/mw215995.jpg
Abraham Samoilovitch Besicovitch fue un reconocido matemático judío quien decía: “La reputación de un matemático reside en el número de pruebas erróneas que ha hecho”.
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
103
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las ecuaciones trigonométricas se forman con la inserción de una o más funciones trigonométricas, donde la incógnita es el ángulo que se presenta en dichas funciones.
Ahora bien, para resolver una ecuación trigonométrica se utilizan los métodos parecidos a los que se usan en Álgebra, es decir, en las ecuaciones de primer grado con una variable o la fórmula general utilizada para una ecuación de segundo grado, o bien aplicando el método de sustitución, ya que no hay un método preciso para poder dar solución a dichas ecuaciones trigonométricas. Sin embargo, un método muy útil para lograr esto es usar las identidades trigonométricas.
La recomendación que hacemos los autores es transformar una ecuación trigonométrica a senos y cosenos principalmente, como lo señalaremos posteriormente.
Por último, para dar solución a una ecuación ya que se haya transformado a seno, coseno y/o también en muchas ocasiones en tangente, se procede a calcular el ángulo, paso último de la solución de una ecuación trigonométrica.
Por consiguiente, en las situaciones de aprendizaje que encontremos en los diferentes contextos donde estemos, en algún momento de nuestra vida tendremos contacto con: contextos de sonido, turbulencia que genera un avión, frecuencia cardiaca de las personas, ondas sonoras de los diferentes instrumentos musicales, la luz y diferentes ondas electromagnéticas que se presentan en variadas situaciones científicas de nuestros tiempos, como son ultrasonidos, ondas sísmicas en los tornados, huracanes, ondas eólicas generadas por el viento; ejemplos donde se presentan diferentes tipos de ondas y en las que tendremos que resolver una ecuación trigonométrica.
Es interesante saber que el matemático Suizo Leonhard Euler, en el siglo XVIII, obtuvo las funciones trigonométricas mediante la exponencial de números complejos, con lo cual demostró que las propiedades básicas de la Trigonometría son simplemente producto de la aritmética con números complejos, ya que (x, y) es un número complejo, que colocado en el plano cartesiano forma un triángulo, el cual se resuelve por teorema de Pitágoras o bien por razones trigonométricas, de las cuales se obtienen las identidades y con éstas a su vez resolvemos ecuaciones trigonométricas.
Enseguida resolveremos situaciones de aprendizaje, en las que consideramos o proporcionamos una ecuación hipotética con una fotografía que describe las diferente ondas electromagnéticas, de sonido o algún tipo de onda, ya que como lo mencionamos todo está asociado con las ondas que se presentan en la realidad que vivimos los seres humanos, sin omitir que la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma. En el universo y en nuestro planeta absolutamente todo es energía, porque todo se mueve en el mismo.
APERTURA Actividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEResolver la siguiente ecuación trigonométrica, para la cual se calcularán los valores del ángulo B:
2 cosB – 1 = 0
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104
Rayo y trueno proyectándose de abajo hacia arriba del árbol
La corriente eléctrica asociada a un rayo varía entre 30 000 amperes y 10 veces el mismo valor. La temperatura es cercana a 20 000 ºC, tres veces la que existe en la superficie del sol. El tiempo que dura es de 30 microsegundos aproximadamente. Alcanzan una velocidad hasta de 220 000 km/h, pero cuando se presenta el resplandor luminoso éste viaja a una velocidad mucho mayor, de 300 000 km/s (la velocidad de la luz), por lo tanto se ven en el mismo instante que sube. El trueno lo oímos después de ver el rayo porque el sonido se transmite a una velocidad mucho menor que la luz.
Conocimientos previos �¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Conoces las propiedades de la igualdad?
DESARROLLO
La ecuación a resolver es 2cosB – 1 = 0
Se despeja cos B
Se divide:
Despejando el ángulo B ∴
El valor de B resuelve la ecuación
CIERREConclusión
El valor de los ángulos es: B = 60º
APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Calcula el valor del ángulo θ de la ecuación: 2senθ = 1
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Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Calentamiento solarLas placas solares, también llamadas colectores, utilizan la energía del Sol para calentar agua, que servirá para la calefacción y el suministro de agua caliente de la casa.
Conocimientos previos �¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Conoces las propiedades de la igualdad?
DESARROLLO
Resolviendo
Despejando senθ
Simplificando
Despejando θ
El valor de ángulo θ es
CIERREConclusión
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Calcular los valores del ángulo A que satisfagan la ecuación trigonométrica: cos2 A+ 4sen A - 4 = 0
Parque eólicoLos aerogeneradores dañan menos el ambiente que otras fuentes, aunque requieren una velocidad media del viento de al menos 21 km/h.
Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o métodos para resolver una ecuación de segundo grado?
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M4Basado en competencias
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DESARROLLO
Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0Para cos2A + 4senA- 4 = 0
Sustituyendo la identidad: , para tener todo en senosRealizando operaciones y simplificando, y multiplicando la expresión por -1
Entonces
Resuelve la ecuación cuadrática o de segundo grado utilizando cualquiera de los métodos conocidos
Ahora, resolviendo por fórmula general
ax2 + bx + c = 01 sen2A – 4sen4 + 3=0
Donde: a= 1, b= -4, c = 3
Comparando las fórmulas
Sustituyendo valores en la fórmula general
Realizando operaciones
Sacando raíz cuadrada
Se tiene
Obteniendo los dos valores
AhorasenA = 3
A= sen-1 (3)A no existe en R
Y, por último
El valor del ángulos es: A= 90º
CIERREConclusión
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APERTURAActividad individual
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEs necesario calcular el valor del ángulo α de la ecuación:
2senα cos α = senα Géiser
Los géiseres lanzan gas y agua muy caliente al exterior, agua que se puede utilizar como fuente de energía. Dado que se presenta energía, por consiguiente hay vibraciones.
Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o métodos para resolver una ecuación de segundo grado?
DESARROLLO
Primero la ecuación se iguala con cero
Factorizando senα
Igualando con cero cada factor
Resolviendo cada ecuación
Ahora para
Despejando cos α
Despejando α
CIERREConclusión
El valor de los ángulos es: 0º, 80º, 360º ∧ 60º, 300º
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Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcular el valor del ángulo B de la ecuación:
3 tan2 B + 4tanB + 1 = 0
Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es el lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces los métodos para resolver una ecuación de segundo grado?
DESARROLLO
Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0
Ahora, resolviendo por fórmula general3 tan2 B + 4tanB + 1 = 0
Donde: a=3, b=4, c= -1 ∧ x=tanB
Comparando las fórmulas
Sustituyendo valores en la fórmula general
Simplificando
Obteniendo el valor de la raíz cuadrada
Simplificando se obtienen los dos valores de la tangente del ángulo B
El valor deL primer ángulo es
El valor del segundo ángulo estanB= -1
B= tan-1(-1)B2= -45º
CIERREConclusión
Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato
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Trabajoen equipo
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula en la siguiente ecuación trigonométrica, los valores del ángulo β:
Tipos de movimiento ondulatorioLas ondas son una perturbación periódica del medio en que se mueven. En las ondas longitudinales, el medio se desplaza en la dirección de propagación. Por ejemplo, el aire se comprime y expande en la misma dirección en que avanza el sonido. En las ondas transversales, el medio se desplaza en ángulo recto a la dirección de propagación. Los terremotos generan ondas de los dos tipos, que avanzan a distintas velocidades y con distintas trayectorias. Estas diferencias permiten determinar el epicentro del sismo. Las partículas atómicas y la luz pueden describirse mediante ondas de probabilidad, que en ciertos aspectos se comportan como las ondas de un estanque.
Fotografía del derrumbe del edificio Nuevo León en el sismo de 1985 en Tlatelolco, donde el Ing. Jesús Ocampo Contreras apoyó en la remoción de los escombros y rescate de personas atrapadas en dicho edificio.
Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es el lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o algún método para resolver una ecuación de segundo grado?
DESARROLLO
Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0
Para
Ahora, resolviendo por fórmula general
ax2 + bx + c = 0
Donde: , ,
Sustituyendo valores en la fórmula general
Realizando operaciones
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M4Basado en competencias
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Trabajoen equipo
Realizando operaciones
Obteniendo el valor de la raíz cuadrada
Simplificando
Aplicando el signo (+) y (-), se tienen los dos valores del cosβ
El valor del primer ángulo es
El valor del segundo ángulo es
CIERREConclusión
El valor de los ángulos es:β1= 70.5287º = 70º 31' 44"β2= 53.1301º = 53º 7' 48"
El profesor pasará lista conforme el alumno desarrolla la situación de aprendizaje y evaluará: conocimientos, actitudes y valores.
APERTURAActividad en equipo
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula los valores del ángulo θ que satisfagan la ecuación trigonométrica:
2cosθ = secθ
RadarLas pantallas de radar indican la presencia y el movimiento de objetos fuera del alcance de la vista. Esto es muy útil para los oficiales de derrota. El equipo electrónico registra el comportamiento de las ondas de radio emitidas por el navío. Las ondas que no topan con nada se dispersan, mientras que las ondas reflejadas informan de la posición de los objetos en el entorno.
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Conocimientos previos �¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Conoces las propiedades de la igualdad?
DESARROLLO
Sustituyendo la identidad en la ecuación
2cosθ = secθ
Realizando operaciones
Despejando cos2θ
Sacando raíz cuadrada en ambos miembros, se obtienen los dos valores del cosθ
Ahora, se calcula el valor de los dos ángulos, primero para el signo positivo
Por último, para el signo negativo
CIERREConclusión
El valor de los ángulos es: θ1= 45º
θ2= 135º, 315º
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Del inciso 1 al 7 utiliza las identidades fundamentales, transforma a una sola identidad así como del inciso 8 al 14, verifica las identidades:
1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7. 14.
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M4Basado en competencias
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Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:15. 2sen2A – senA – 1= 016. 2cos2A – cosA – 1 =017. tan2A + 2tanA –1 = 018. cot2a – 2cotA – 3 = 019. 2tan2A + tanA – 3 = 0
RESUMEN
En este módulo se presentaron problemas teóricos para la verificación de las identidades y posteriormente en la resolución de las ecuaciones trigonométricas, a fin de encaminar al alumno paso a paso para que comprendiera el proceso de verificación y solución de un enunciado en una identidad o de una ecuación, así como también los métodos que existen para su solución.
Al final del módulo se presenta una autoevaluación para comprobar si los propósitos establecidos se cumplieron.
Es importante que el profesor verifique con las autoevaluaciones los logros obtenidos por los alumnos, así como la rúbrica para evaluar los aprendizajes del módulo e integrar la evaluación total.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje:
1. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Verificar la identidad trigonométrica siguiente:
2. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Es necesario calcular los valores del ángulo A que satisfagan la ecuación trigonométrica:
cos2A + 4senA - A = 0
3. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula el valor o los valores del ángulo β en la siguiente ecuación trigonométrica:
a)
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RÚBRICA
Valoración 5 3 1 Total
Presentación y formato
Desarrolla el contenido del trabajo con limpieza, utiliza colores contrastantes para los gráficos y letra legible (a mano), además de entregarlo en tiempo y forma
Lo entrega en tiempo, utiliza colores contrastantes para los gráficos, pero está falto de orden y limpieza
Lo entrega en tiempo pero el desarrollo del trabajo carece de limpieza, usa un mismo color para los gráficos y es poco legible
Planteamiento del problema
Identifica todas las variables involucradas en la situación problema y las representa gráficamente
Identifica todas las variables involucradas en la situación problema, pero no las traduce gráficamente
No identifica las variables involucradas en la situación problema ni las traduce gráficamente
Proceso de soluciónUtiliza una secuencia lógica y ordenada de pasos para llegar a la solución del problema
Utiliza parcialmente una secuencia ordenada para llegar a la solución del problema
Carece de fundamentos algebraicos para llegar a la solución del problema
Obtención del resultado correcto
Obtiene todos los resultados correctos
Se aproxima a los resultados
No llega a ningún resultado correcto
Conclusiones, interpretación del resultado y reflexión personal
Interpreta adecuadamente los resultados e incluye su reflexión personal
Interpreta adecuadamente los resultados, pero omite su reflexión personal
Interpreta incorrectamente los resultados y omite su reflexión personal
CALIFICACIÓN TOTAL POR EQUIPO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.
Ramírez M. et al. (2007), Guía para el desarrollo de competencias docentes, México: Trillas
Castelnuovo, E. (1990), Didáctica de la Matemática moderna, México: Trillas.
Boyer, Carl (1986), Historia de las matemáticas, Madrid: Alianza Universidad.
Esteban Piñero, Mariano et al. (1998), Trigonometría, Madrid: Editorial Síntesis.Fernández Reyes, Manuel et al. (1991), Circulando por el círculo, Madrid: Editorial Síntesis.
Swokowski, E. W. (1983), Álgebra y Trigonometría analítica, Belmont (USA): Grupo Editorial Iberoamericana.
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