Date post: | 18-Apr-2015 |
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
ESTRUCTURA
Desarrollo
1.- Espesor de la Losa
Consideraciones:
a) Ocupaciones
b) Luces
𝑳𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝑳 𝟏 −𝟐𝒄
𝟑𝑳
𝑾′
𝒇′𝒄𝟏𝟒𝟎𝟎
+ 𝒒 𝐴. 𝐶. 𝐼.
donde:
t = espesor de losa (cm)
L = luz centro a centro entre apoyos (>) (m)
c = ancho de un apoyo (m) (0.40 ; 0.50)
w’ = Cm + Cv ( 1tn/m2) = (1000 kg/m2) ( bodega = 1300 kg/m2)
f´c = resistencia cilíndrica del hormigón 210 kg/cm2
Espesor tentativa recomendadas en losas planas
Luces hasta Espesor Observaciones
3.00 m
4.00 m
5.50 m
7.00 m
8.00 m
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35 – 0.40
Losas inaccesibles de garajes o similares de un piso.
Depende de la carga
N pisos Espesor min. Observaciones
Hasta 5
8
12
18
20
25
30
35
Por efecto de luces de acuerdo al cuadro anterior, los espesores de losa plana aumentan.
Código
Cv = 250 kg/cm2
600 kg/cm2 peso de carga de losa 0.40
850 kg/cm2
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
W’ = 1000 k/cm2
L = 7.70 m
C = 0.50 m
á𝒓𝒆𝒂 = 7 5.8 + 7.70
2 = 47.25 𝑚2
P = 5 x 47.25 x 1.00 = 236.25 Tn.
𝑷 = 𝑨𝒈.𝑮 ∴ 𝑨𝒈 = 𝑷
𝑮 =
236.25 x 103
50= 4720 𝑐𝑚2 = 4720𝑐𝑚2
l = 68.7 ≈ 70 cm.
se asume G = (40 – 60) k/cm3 G = [21(210) + 34 (0.01)(2800)] = 53.62 K/cm2
C = 0.70 m ; f’c = 210 kg/cm2
𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝑳 𝟏 −𝟐𝑪
𝟑𝑳
𝑾′
𝒇′𝒄𝟏𝟒𝟎
+ 𝟗𝒄𝒎
𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝒙 𝟕. 𝟖𝟎 𝟏 −𝟐(𝟎. 𝟕𝟎)
𝟑(𝟕. 𝟕𝟎)
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟏𝟎𝟏𝟒𝟎
+ 𝟗𝒄𝒎 = 𝟐𝟗 𝒄𝒎.
t = 35 cm, asumimos este peralte para no rediseñar de nuevo.
7,00 7,00
7,50
5,80
7,00
7,00
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2. - LOSAS PLANAS
ancho 2.1.- Vigas bandas 2t – 3t
2.2.- Aliviamiento 20 x 40 x 30
2.3.- Nervios de 0.10 y separación entre nervios 0.40
2.4.- 5 losas
1 Inaccesible.
2.5.- El edificio servirá para uso de oficinas.
3.- El edificio será de hormigón armado
Datos.-
f'c = 210 kg/cm2 * resistencia de N será a los 28 días.
fy = 2800 kg/cm2
4.- La estructura tendrá como elementos horizontales losas planas; como elementos
verticales columnas y diafragma.
5.- Las normas de diseño y cálculo son tomadas del Código Ecuatoriano de la
construcción.
CAPÍTULO II
Determinación de cargas.
1.- Carga muerta
Peso de la losa (35 cm) A/m2
Volumen de bloques = 4(40 x 40 x 30) = 0.19 m3
Volumen de hormigón = (1 x 1 x 0.35) – 0.19 = 0.16 m3
Peso de bloques = 0.19 m3 x 0.9 tn/m3 = 0.17 tn.
Peso de losa por macizado = 1.15 ( 0.55) = 0.63 tn/m2
0.10 0.40
0.10
0.40
0.10
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Comprobación = 1.12 – 1.18
W losa = 1.15 [ 1.400 ( t - 0.05) +110 ]
= 1.15 [ 1.400 ( 0.35 - 0.05) +110 ] = 609 kg/m2
= 621 kg/m2
Losas entre piso
Carga muerta
Peso de losa = = 630 kg/m2
Enlucido = 0.02(1800 kg/m3) = 36 kg/m2
Baldosa = 0.05 (2.000) = 100 kg/m2
Pared = = 200 kg/m2
Total Carga = = 966 kg/m2
Cm = 966 kg/m2
Cv = 250 kg/m2 * según INEN código
Ct = 1216 kg/m2 * peso de carga vertical
* en carga sísmica total el código recomienda
Ct = sísmica = Cm + 0.25 Cv
= 966 + 0.25 ( 250) = 1028 kg/m2
Ct (v) = 1220 kg/m2
Ct sísmica = 1030 kg/m2
Losa de cubierta
Carga muerta = 630 kg/m2
Peso de losa = 630 kg/m2
Peso de impermeabilización y caída de agua = 100 kg/m2
Cm = 766 kg/m2
Cv = 100 kg/m2
Ct (v) = 866 kg/m2
Carga total sísmica = Cm + 0.25 Cv
= 766 + 0.25 (100) = 791 kg/m2
Carga total vertical = 870 kg/m2
Carga total sísmica = 790 kg/m2
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CAPÍTULO III
Prediseño de columnas
1.- Columnas interiores se la diseña a carga vertical (compresión).
2.- Columnas exteriores.
2.1. Esquineras (flexocompresión)
2.2. Laterales.
Prediseño 𝑷 = 𝑨𝒈 𝟎. 𝟐𝟏𝒇´𝒄 + 𝟎. 𝟑𝟒. 𝝆. 𝒇𝒚 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝝆 = 𝟎. 𝟎𝟏
Compresión 𝑷 = 𝑨𝒈 𝟎. 𝟐𝟏𝐱𝟐𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑𝟒𝐱𝟎.𝟎𝟏𝐱𝟐𝟖𝟎𝟎 = 𝟓𝟑. 𝟔𝟐 𝑨𝒈
𝑨𝒈 =𝑷
𝟓𝟑. 𝟔𝟐 ∗ 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑦 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑨𝒈 =𝟏. 𝟑 𝑷
𝟓𝟑. 𝟔𝟐=
𝑷 𝒌𝒈
𝟒𝟏. 𝟑=
𝑷 𝑻𝒏
𝟎. 𝟎𝟒𝟏. 𝟑𝑻𝒏/𝒎𝟐= 𝒄𝒎
CUADRO DE TIPO DE COLUMNAS
columna Área contribuyente tipo forma
Esq
uin
eras
1 A
1 D
4 A
4 A
28.86
14.43
13.78
6.36
I
II
II
III
C
R
R
C
Lat
eral
es
1 B
1 C
4 B
4 C
2 A
3 A
2 D
3 A
38.8
32.75
18.55
15.64
35.10
28.86
16.20
13.32
IV
IV
V
V
IV
VI
V
VII
R
R
R
R
R
R
R
R
Inte
rio
res
2 B
3 B
3 C
47.25
38.85
32.75
VIII
IX
IX
C
C
C
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CUADRO DE PREDISEÑO DE COLUMNAS
Tipo I (1-A) A = 28.86
# de pisos Carga Vertical
Carga Acumulada
Ag (cm2) Dimensión (cm x cm)
Observaciones
5
4
3
2
1
0.87
1.22
1.22
1.22
1.22
25.11
60.32
95.53
130.74
165.95
607.95
1460.00
2313.00
3165.00
4018.00
30x30
40x40
50x50
60x60
65x65
Chequeo a Flexión
Tipo II (1-D) A = 14.43
12.55
30.16
47.76
65.87
82.97
304
760
1156
1582.70
2009
30x30
30x30
30x40
35x45
40x50
Chequeo a Flexión
𝑨𝒈 =𝑷
𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟑=
𝑻𝒎
𝑻/𝒄𝒎𝟐 (𝑹𝒆𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒉𝒐𝒓𝒎𝒊𝒈ó𝒏)
Tipo I
P5 = 0.87 (28.86) = 25.11 Tn
𝑨𝒈 =𝟐𝟓. 𝟏𝟏
𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟑= 𝟔𝟎𝟕. 𝟗𝟓 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟐𝟗. 𝟐𝟔 = 𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎
Tipo III (4-D) A = 6.36
# Piso Carga Vertical t/m2
Carga Acumulada
(Tn)
Ag (cm2) Dimensión (cm x cm)
Observaciones
5
4
3
2
1
0.87
1.22
1.22
1.22
1.22
5.53
13.29
21.05
28.81
36.57
134
321.70
509.70
696.60
885.40
30x30
30x30
30x30
30x30
30x30
Chequeo a Flexión
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Tipo IV (1-B) A = 38.80
33.76
81.09
128.43
175.76
223.10
817.30
1963.40
3109.60
4255.70
5401.90
30x40
40x50
50x60
60x70
70x80
Chequeo a Flexión
Tipo V (4-B) A = 18.55
16.14
38.77
61.40
84.03
106.66
890
938.70
1486.70
2034.70
2582.60
30x30
30x30
35x40
40x50
45x55
Chequeo a Flexión
Tipo VI (3-A) A = 28.86
25.11
60.32
95.53
130.74
165.95
607.95
1460.47
2312.90
3165.50
4018
30x30
35x40
45x50
55x60
60x70
Chequeo a Flexión
Tipo VII (3-A) A = 13.32
11.59
27.88
44.09
60.34
280.59
674.06
1067.54
1461.01
30x30
30x35
35x40
40x45
Chequeo a Flexión
Tipo VIII A = 47.25
44.11
98.75
156.40
214.04
271.69
995.34
2391.10
3786.86
5182.63
6578.39
30x30
45x60
55x60
70x70
80x80
Chequeo a Flexión
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2 t
0.20
t
2t - 3t
t
0.20 - 0.30
Tipo IX A = 38.85
33.80
81.20
128.59
175.99
223.39
818.39
1966
3113.64
4261.27
5408.90
30x30
40x40
55x55
65x65
75x75
Chequeo a Flexión
CHEQUEO A FLEXIÓN
COLUMNA (1-A): quinto piso, sentido y
* adopción de banda en ó volado
* adopción de banda en interior
𝑲 =𝑱
𝑳=
𝒅𝒎𝟒
𝒎
𝑱𝒄 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐=
𝟑 𝟑 𝟑
𝟏𝟐= 𝟔. 𝟕𝟓 𝒅𝒎𝟒
𝑱𝒚 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐=
𝟐𝟒. 𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑
𝟏𝟐= 𝟖𝟕. 𝟓𝟒 𝒅𝒎𝟒
𝑲𝒄 =𝟔. 𝟕𝟓
𝟐. 𝟐𝟓= 𝟑
𝑲𝒗 =𝟖𝟕. 𝟓𝟒
𝟕. 𝟕𝟎= 𝟏𝟏. 𝟑𝟕
7/4 +2(0.35)= 2.45
t = 0.35
L/4 +2t
t
2.252.60 30/30
245x35
1.7 7.70
2t - 3t
2.5 t
P = L + L²/2
P = (L + L'/2)w W = tn/m²
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PROCESO PARA TOMAR AREA DE APORTACIÓN Y P CONTRIBUYENTE
Volado (1.A)
𝐴 = 𝐿1
2+ 𝐿4
𝐿5
2+ 𝐿3
𝐴 = 4
2+ 1.5
4.5
2+ 1.7
P = A x W
Centro (2.B)
𝐴 = 𝐿1 + 𝐿2
2
𝐿5 + 𝐿4
2
𝐴 = 4 + 5
2
1.5 + 5
2
A, P = A x W Carga para flexión (1.A) sentido x
Extremo (3.C)
𝐴 = 𝐿2
2
𝐿6
2 𝑃 =
𝐿5
2+ 𝐿3 𝑊
𝐴 = 5
2
5
2 𝑃 =
4.5
2+ 1.7 8.7
* para carga libre (rigides) CV * para carga sísmica (rigidez) CS, diseño
(Luz libre) (Luz entre ejes)
CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO:
CARGA P
𝑷 = 𝟕
𝟐+ 𝟏. 𝟕 𝟖. 𝟕 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝒕/𝒎
𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
𝟒. 𝟓𝟐(𝟕.𝟕)𝟐
𝟏𝟐= 𝟐𝟐. 𝟑𝟑 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗 =𝑷𝒍𝟐
𝟐=
𝟒. 𝟓𝟐(𝟏. 𝟕)𝟐
𝟐= 𝟔. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎
1.70
4.50
5.0
1.50 4.00 5.00
A B C
1
2
3
L3
L4L1 L2
L5
L6
W =0.87
1.5 4.0
𝜃 =𝑚
Σ𝐾=
𝑑𝑒𝑠𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
m = 22.33 – 6.53
m = 15.8
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𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴 𝒗 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏. 𝟑𝟕 𝟏. 𝟏𝟎 = 𝟗. 𝟖𝟐 𝒕𝒎
𝑴𝒗′ = −𝟐𝟐.𝟑𝟑 +𝟏𝟏. 𝟑𝟕
𝟐 𝟏. 𝟏𝟎 = −𝟏𝟔.𝟏𝟎 𝒕𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟏.𝟏𝟎 = −𝟑. 𝟑 𝒕𝒎
𝑴𝒄′ = 𝟎 +𝟑
𝟐 𝟏. 𝟏𝟎 = 𝟏. 𝟔𝟓 𝒕𝒎
* con los datos de Mc = 3.3
Diseñamos
Pc = 22.33
Comprobamos: el abaco R3 40.75
Se aceptan las dimensiones cuando si:
𝜌 ≤ 4% 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜
𝜌 ≥ 4% 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛
𝜌 ≤ 1% 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
* ver abaco de última resistencia ( Ing. José Chacón Ing. Diego Andrade Jativa)
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CHEQUEO:
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟐.𝟑𝟑
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟒𝟐 𝒕/𝒄𝒎𝟐
= 0.042 x 14.22 lbs/pls2
= 0.60 ksi
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟑. 𝟑𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐
= 0.021 x 14.22 = 0.30 lbs/pls2
con:
f’c = 210 kg/cm2
fy = 2300 kg/cm2
según abaco R3, 40, 75
𝝆 ≤ 𝟏. 𝟐 %
CHEQUEO A FLEXION
Columna 1-A (Tipo I) sentido y
𝑲𝒄𝒊 =𝑰
𝑳 𝑰 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐=
𝟒(𝟒)𝟑
𝟏𝟐= 𝟐𝟏. 𝟑𝟑 𝒅𝒎𝟒
𝑲𝒄𝒊 =𝟐𝟏. 𝟑𝟑
𝟐. 𝟐𝟓= 𝟗. 𝟒𝟖
Ps = 25.11 tn Pi = 60.32 tn
𝑷 = 𝟕
𝟐+ 𝟏. 𝟕 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟑𝟒 𝒕/𝒎
𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
𝟔. 𝟑𝟒(𝟕.𝟕)𝟐
𝟏𝟐= 𝟑𝟏. 𝟑𝟐 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗 =𝑷𝒍𝟐
𝟐=
𝟔. 𝟑𝟒(𝟏. 𝟕)𝟐
𝟐= 𝟗. 𝟏𝟔 𝒕. 𝒎
𝜽 =𝒎
𝑲
m = 32.32 – 9.16 = 22.16
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Mv = 31.32 + 11.37(-0.93) + 0 = 20.75 tm
Mv’ = -31.32 + 11.37(0.93) + 0 = -20.75 tm
Mcs = 0 +3(-0.93) + 0 = - 2.79 tm
Mci = 0 +9.48(-0.93) = - 8.816 tm
según abaco R3 0,75 (superior)
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕 𝒕/𝒄𝒎𝟐
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏.𝟕𝐱𝟐.𝟕𝟗𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟏𝟖 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟓
𝒕
𝒄𝒎𝟐
(𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓)
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟔𝟎.𝟑𝟐
𝟒𝟎𝒙𝟒𝟎= 𝟎. 𝟎𝟔𝟒 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟖. 𝟖𝟐𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟑 𝒕/𝒄𝒎𝟐
𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝝆 < 1.2%
𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝝆 < 1%
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo II (I – D) 5to piso; sentido x
sección de banda t = 0.35
𝒃 = 𝟕. 𝟕
𝟒+ 𝟐𝒕 = 𝟐. 𝟔𝟎 𝒎
𝑷 = 𝟕.𝟕
𝟐+ 𝟏. 𝟕𝟎 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟒. 𝟖𝟑 𝒕/𝒎
𝑲𝒄 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐𝑳=
𝟑 𝟑 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑
𝑲𝒗 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐𝑳=
𝟐𝟔. 𝟐 𝟑. 𝟓 𝟑
𝟏𝟐 𝟒. 𝟖 = 𝟏𝟗. 𝟓
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
𝟒. 𝟖𝟑(𝟒.𝟖)𝟐
𝟏𝟐= 𝟗. 𝟐𝟕 𝒕. 𝒎
* Comprobación en abaco P= 12.55 tn
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴 𝒗 = 𝟗. 𝟐𝟕 + 𝟏𝟗. 𝟓 −𝟎. 𝟒𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟖 𝒕𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟒𝟏 = −𝟏. 𝟐𝟑 𝒕𝒎
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟐.𝟓𝟓
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟒 𝒕/𝒄𝒎𝟐
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟐𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟕 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐
𝝆 < 1%
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo II (I – D) 4to piso; sentido x
𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
𝟔. 𝟕𝟕(𝟒. 𝟖)𝟐
𝟏𝟐= 𝟏𝟐. 𝟗𝟗𝟖 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗 = 𝟑. 𝟎𝟓𝟑 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄𝒔 = 𝟑 𝟎. 𝟓𝟏 = −𝟏. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄𝒊 = 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟏 = −𝟏. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Cs
M = -1.53 P = 12.55 Pi = 30.16
Superior
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏.𝟕𝐱𝟏.𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟐.𝟑𝟓
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟒
𝝆 < 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎.𝟏𝟔
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟏
𝝆 < 1%
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo III (4-D) 5to piso x (sentido) P = 5.53 tn
𝒃 =𝟓. 𝟑𝟎
𝟒= 𝟏. 𝟑𝟑
𝑷 = 𝟓. 𝟑𝟎
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟐. 𝟑𝟏
𝒃 =𝟑𝟒
𝟏𝟐(𝟐𝟐𝟓)= 𝟑. 𝟎
𝑲𝒗 = 𝟏𝟑. 𝟑 (𝟑. 𝟓)𝟑
𝟏𝟐(𝟒. 𝟖)= 𝟗. 𝟗𝟎
𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
𝟐. 𝟑𝟏(𝟒. 𝟖)𝟐
𝟏𝟐= 𝟒. 𝟒𝟒 𝒕. 𝒎
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴𝒗 = 𝟒. 𝟒𝟒 + 𝟗. 𝟗𝟎 −𝟎.𝟑𝟒𝟒 = 𝟏. 𝟎𝟑 𝒕𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟑𝟒𝟒 = −𝟏. 𝟎𝟑 𝒕𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎.𝟏𝟔
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟏
𝝆 < 1%
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo III (4-D) sentido x ; 4to piso
P5 = 5.53 tn Pi = 13.29 tn
𝑷 = 𝟓. 𝟑
𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟑. 𝟐𝟑
𝑴𝒗 =𝑾𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟑. 𝟐𝟑 𝟒. 𝟖 𝟐
𝟏𝟐= 𝟔. 𝟐𝟎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒆 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴𝒗 = 𝟔. 𝟐𝟎 + 𝟗. 𝟗𝟎 −𝟎.𝟑𝟗 = 𝟐. 𝟑𝟒
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟑𝟗 = −𝟏. 𝟏𝟕
𝑴𝒄𝒔 = 𝜽 + 𝟑 −𝟎. 𝟑𝟗 = −𝟏. 𝟏𝟕
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Superior
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏. 𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟓. 𝟓𝟑𝒙𝟏.𝟕
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓
𝝆 < 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟑.𝟐𝟗
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟔
𝝆 < 1%
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo IV (1-B) sentido y ; 5to piso
P = 33.76 tn
𝒃 = 𝟕 + 𝟕
𝟒 = 𝟑. 𝟓
𝑷 = 𝟕 + 𝟕
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗
𝑲𝒗 = 𝟑𝟓 (𝟑. 𝟓)𝟑
𝟏𝟐(𝟕. 𝟕𝟎)= 𝟏𝟔. 𝟐𝟒
𝑲𝒄 = 𝟑𝟎 (𝟑. 𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟕. 𝟕𝟏
𝑴 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟔. 𝟎𝟗 𝟕. 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟑𝟎
𝑴𝒗 =𝑷𝑳𝟐
𝟐=
𝟔. 𝟎𝟗 𝟏. 𝟕 𝟐
𝟐= 𝟖. 𝟖
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑴𝒇 = 𝑭𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗𝒊 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎.𝟗𝟏 + 𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟐𝟐
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟕. 𝟏𝟏 −𝟎. 𝟗𝟏 = −𝟔. 𝟒𝟕
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟕𝟔
𝟑𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟔. 𝟒𝟕𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟑
𝝆 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟎% < 4 % ; 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ó𝑛
Inferior
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟑.𝟐𝟗
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟔
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo IV (1-B) sentido y ; 4to piso
P = 81.09 tn
𝑷 = 𝟕 + 𝟕
𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒
𝑲𝒄𝒊 = 𝟒𝟎 (𝟓.𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟏𝟖. 𝟓𝟐
𝑴 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟖. 𝟓𝟒 𝟕. 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟒𝟐. 𝟏𝟗
𝑴𝒗 =𝑷𝑳𝟐
𝟐=
𝟖. 𝟓𝟒 𝟏. 𝟕 𝟐
𝟐= 𝟏𝟐. 𝟑𝟒
𝑴 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗 = 𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 −𝟎. 𝟕𝟏 = 𝟑𝟎. 𝟔𝟔
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟕𝟖. 𝟓𝟐 −𝟎. 𝟕𝟏 = −𝟏𝟑. 𝟏𝟓
𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟕. 𝟏𝟏 −𝟎. 𝟕𝟏 = −𝟓. 𝟎𝟓
P5 = 33.76 tn Pi = 81.09 tn
Superior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟕𝟔
𝟑𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙(𝟓. 𝟎𝟓)𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟖
𝝆 = 𝟏. 𝟎𝟐% < 4 %
Inferior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟖𝟏.𝟎𝟗
𝟒𝟎𝒙𝟓𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟖
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏𝟑. 𝟏𝟓𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎𝐱𝟓𝟎𝐱𝟓𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟐
𝝆 = 𝟏. 𝟔𝟐% < 4 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo V (4-B) sentido y ; 5to piso
P = 16.14 tn/m
𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 𝑷 = 𝟕 + 𝟕
𝟐 = 𝟑. 𝟓
𝑷 = 𝟏𝟒
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎
𝑲𝒗 = 𝟑. 𝟓 (𝟑. 𝟓)𝟑
𝟏𝟐(𝟓. 𝟑𝟎)= 𝟐𝟑. 𝟓𝟗
𝑲𝒄 = 𝟑. 𝟎 (𝟑.𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟑. 𝟎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑴𝒆 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟔.𝟎𝟗 𝟓.𝟑 𝟐
𝟏𝟐= 𝟏𝟒. 𝟐𝟔
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗 = 𝟏𝟒. 𝟐𝟔 + 𝟐𝟑. 𝟓𝟗 𝟎. 𝟓𝟒 = −𝟏. 𝟓𝟐
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟐
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟔.𝟏𝟒
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟑
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙(𝟏. 𝟔𝟐)𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo IV (4-B) sentido y ; 4to piso
P5 = 16.14 tn Pi = 38.77 tn
𝑷 = 𝟏𝟒
𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒
𝑴𝒆 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟖. 𝟓𝟒 𝟓. 𝟑 𝟐
𝟏𝟐= 𝟏𝟗. 𝟗𝟗
𝑴 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗 = 𝟏𝟗. 𝟓𝟗 + 𝟐𝟑. 𝟓𝟗 −𝟎. 𝟔𝟔 = 𝟒. 𝟎𝟐𝟏
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟔 = −𝟏. 𝟗𝟖
𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟔 = −𝟏. 𝟗𝟖
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Superior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟔.𝟏𝟒
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟑
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏. 𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖
𝝆 > 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟖.𝟕𝟕𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟏. 𝟎𝟒𝟏
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟗𝟖𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖
𝝆 > 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VI (3-A;) sentido x ; 5to piso
P = 25.11 tn
𝒃 = 𝟓.𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎
𝟒 = 𝟐. 𝟕𝟖
𝑷 = 𝟓. 𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟒. 𝟖𝟑
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑲𝒗 = 𝟐𝟕.𝟖 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟕.𝟎)= 𝟏𝟒. 𝟏𝟗
𝑲𝒄 = 𝟑. 𝟖 𝟑.𝟖 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑
𝑴𝒄 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟒. 𝟖𝟑 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟏𝟗. 𝟕𝟐𝟐 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗 =𝑷𝑳𝟐
𝟐=
𝟒. 𝟖𝟑 𝟏. 𝟕 𝟐
𝟐= 𝟔. 𝟗𝟖 𝒕. 𝒎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗𝒊 = 𝟏𝟗. 𝟕𝟐𝟐 + 𝟏𝟒. 𝟗 −𝟎.𝟕𝟏𝟏 = 𝟗. 𝟐𝟎 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟕𝟏𝟏 = −𝟐. 𝟏𝟒 𝒕. 𝒎
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙(𝟐. 𝟏𝟒)𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟗
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VI (3-A;) sentido x ; 4to piso
𝑷 = 𝟓. 𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎
𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟕𝟕 𝒕𝒏/𝒎
𝑲𝒄𝒊 = 𝟑. 𝟓 𝟒. 𝟎 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟖. 𝟑𝟎
𝑴𝒗 =𝑷𝑳𝟐
𝟐=
𝟔. 𝟕𝟕 𝟏. 𝟕 𝟐
𝟐= 𝟗. 𝟕𝟖 𝒕. 𝒎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗 = 𝟐𝟕. 𝟔𝟓 + 𝟏𝟒. 𝟗 −𝟎. 𝟔𝟖 = 𝟏𝟕. 𝟓𝟐 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟔𝟖 = −𝟐. 𝟎𝟒 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟖. 𝟑 −𝟎. 𝟔𝟖 = −𝟓. 𝟔𝟒𝟒 𝒕. 𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Superior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐. 𝟎𝟒𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖
𝝆 < 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟔𝟎.𝟑𝟐𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐
𝟑𝟓𝒙𝟒𝟎= 𝟏. 𝟎𝟒𝟐
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟓. 𝟔𝟒𝟒𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟓𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VII (3-D) sentido y ; 5to piso
P = 25.11 tn
𝒃 = 𝟒.𝟖𝟎
𝟒 = 𝟏. 𝟐𝟎
𝑷 = 𝟒. 𝟖𝟎
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟐. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑲𝒗𝟏 = 𝟏𝟐 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟓.𝟑𝟎)= 𝟖. 𝟎𝟗
𝑲𝒗𝟐 = 𝟏𝟐 𝟑. 𝟓 𝟑
𝟏𝟐 𝟓. 𝟖 = 𝟕. 𝟑𝟗
𝑲𝒄 = 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗𝟏 = −𝟓. 𝟖𝟔 + 𝟕. 𝟑𝟗 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = −𝟓. 𝟒𝟕 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟒. 𝟖𝟗 + 𝟖. 𝟎𝟗 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = 𝟓. 𝟑𝟐 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟗 𝒕. 𝒎
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟏.𝟓𝟗
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟏
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙(𝟎. 𝟏𝟓𝟗)𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VII (3-D) sentido y ; 4to piso
𝑷 = 𝟒. 𝟖𝟎
𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟗𝟑 𝒕𝒏/𝒎
𝑴𝒗𝟏 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟐. 𝟗𝟑 𝟓. 𝟖 𝟐
𝟏𝟐= 𝟖. 𝟐𝟏 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗𝟐 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟐. 𝟗𝟑 𝟓. 𝟑 𝟐
𝟏𝟐= 𝟔. 𝟖𝟔 𝒕. 𝒎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗𝟏 = −𝟖. 𝟐𝟏 + 𝟕. 𝟑𝟗 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = −𝟕. 𝟕𝟒𝟒 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟔. 𝟖𝟔 + 𝟖. 𝟎𝟗 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = 𝟕. 𝟑𝟕𝟎 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟗 𝒕. 𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Superior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟏.𝟓𝟗
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟏
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟎. 𝟏𝟖𝟗𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕
𝝆 < 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟕.𝟖𝟖𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟕𝟓
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟎. 𝟏𝟖𝟗𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VIII (2-B) sentido y ; 5to piso
P = 41.11 tn
𝒃 = 𝟏𝟒
𝟒 = 𝟑. 𝟓
𝑷 = 𝟏𝟒
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑲𝒗𝟏 = 𝟑𝟓 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟕.𝟕)= 𝟏𝟔. 𝟐𝟒
𝑲𝒗𝟐 = 𝟑𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑
𝟏𝟐 𝟓. 𝟖 = 𝟐𝟏. 𝟓𝟔
𝑴𝒆𝟏 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟕. 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟑𝟎. 𝟎𝟗
𝑴𝒆𝟐 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟓. 𝟖 𝟐
𝟏𝟐= 𝟏𝟕. 𝟎𝟕
𝑴𝒗𝟏 = −𝟑𝟎. 𝟎𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎. 𝟑𝟐 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟗 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟎𝟕 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟔 𝒕. 𝒎
𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟔 𝒕. 𝒎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟏.𝟏𝟏
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟒
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙(𝟎. 𝟗𝟔)𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟔
𝝆 < 1 %
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo VIII (2-B) sentido y ; 4to piso
P5 = 41.11 tn Pi = 95.75 tn
𝑷 = 𝟕𝒙𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒 𝒕𝒏
𝑲𝒄 = 𝟒𝟓 𝟓. 𝟎 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟐𝟎. 𝟖𝟑
𝑴𝒗𝟏 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟖. 𝟓𝟒 𝟕. 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟒𝟐. 𝟏𝟗
𝑴𝒗𝟐 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐=
𝟖. 𝟓𝟒 𝟓. 𝟖 𝟐
𝟏𝟐= 𝟐𝟑. 𝟗𝟒
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃
𝑴𝒗𝟏 = −𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟎. 𝟑 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 = 𝟑𝟕. 𝟑𝟐 𝒕𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟒 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑 = 𝟑𝟎. 𝟒𝟎 𝒕𝒎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟐𝟎. 𝟖𝟑 𝟎. 𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟒 𝒕𝒎
𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑 = 𝟎. 𝟗 𝒕𝒎
Superior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟏.𝟏𝟏
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟎
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟎. 𝟗𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒
𝝆 < 1%
Inferior
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟗𝟓.𝟕𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐
𝟒𝟓𝒙𝟓𝟎= 𝟏. 𝟎𝟑
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝐱𝟔. 𝟐𝟒𝐱𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟓𝐱𝟓𝟎𝐱𝟒𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓
𝝆 < 1 %
Sección escogida 35 x 40
𝑲 = 𝟑. 𝟓 𝟒. 𝟎 𝟑
𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟖. 𝟐𝟗𝟑
𝑴𝒗𝟏 = −𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑𝟔. 𝟏𝟖 𝒕𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟒 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑𝟏. 𝟗𝟐 𝒕𝒎
𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟏. 𝟏𝟏 𝒕𝒎
𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟖. 𝟑 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑. 𝟎𝟕𝟏 𝒕𝒎
Según abaco R3,40,75
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟗𝟓.𝟕𝟓
𝟑𝟓𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟓
𝟏. 𝟕𝑴
𝑨𝒈𝒕=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑. 𝟎𝟕𝟏𝒙𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟓𝐱𝟒𝟎𝐱𝟑𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟑
𝝆 = 𝟏. 𝟏% < 4 % (𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo IX (3-B) sentido x ; 5to piso
P = 33.10 tn
𝒃 = 𝟑. 𝟓
𝑷 = 𝟏𝟒
𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎
𝑲𝒗𝟏 = 𝟑𝟓 (𝟑. 𝟓𝟎)𝟑
𝟏𝟐(𝟕. 𝟎)= 𝟏𝟕. 𝟗
𝑲𝒗𝟐 = 𝟑𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑
𝟏𝟐 𝟕 = 𝟏𝟕. 𝟗
𝑴𝒆 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟕 𝟐
𝟏𝟐= 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕𝒎
𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴𝒗𝟏 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟕 + 𝟎 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕. 𝒎
𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 + 𝟎 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕. 𝒎
𝑴 = 𝟎
𝝆 < 1 %
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟏𝟎
𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟗
CHEQUEO A FLEXIÓN
Tipo IX (3-B) sentido x ; 4to piso; P = 33.10 tn; P = 81.20 tn
P = 7 x 1.22 = 8.54 tn
𝑴𝒄 = 𝟎
𝑷 = 𝟖𝟏. 𝟐𝟎 𝒕𝒏
𝟏. 𝟕𝑷
𝑨𝒈=
𝟏. 𝟕𝒙𝟖𝟏.𝟐𝟎
𝟒𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟑
𝝆 < 1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
4.- FUERZA SÍSMICA O CORTE BASAL
4.1.- Introducción
Por efecto del movimiento sísmico (movimiento del suelo), se generan sobre esta
estructura unas fuerzas horizontales en el pie de las columnas, la misma que se reparte
en forma triangular, en los diferentes niveles en altura.
Esta repartición en altura es un análisis estático y que corresponde al primero en modo
de vibración, en mayores de 10 pisos
ANÁLISIS DINÁMICO
Fuerzas
Externas
1er. modo 2do. modo
3er. modo superposición
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
1.- Debe realizarse la interación de pórticos con diagrama o con diagonales.
2.- Los diagramas o diagonales deben resistir la fuerza sísmica total.
3.- Los pórticos dúctiles deben resistir por los menos un 25% de la fuerza sísmica total
(0.8)
(a) (b) (c)
4.- Edificios con pórticos especiales dúctiles (0.67)
5.- Tanques elevados (debe tomarse en cuenta el peso del contenido del tanque) 2.50
6.- Otras estructuras no indicadas antes (2)
7.- Puentes ASSHTO
Coeficiente:
C = depende del periodo de vibración del edificio
Periodo de vibración.- Tiempo que se demora en realizar un ciclo completo.
𝐶 =1
15 𝑡1
𝐶 ≤ 0.12
𝐶𝑠 ≤ 0.14
𝑡 =0.09𝑛
𝐷
𝑡 = 0.1 𝑁
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
ANÁLISIS ESTÁTICO
V = I.K.C.S.W
Donde;
I; K; C; S; se encuentran tabulados en el INEN
W = peso total sísmico del edificio = CM + 0.25CV
Desplazamientos según código
𝐴𝑟 = ≤ 0.005 ( 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜)
hc = 3 cm Ar = 1.5 cm
Ar = desplazamiento permisible
donde ;
I = factor que depende de la importancia de la ocupación
CUADRO.-
Tipo de Ocupación I
Servicios esenciales 1.5
Cualquier edificio donde la ocupación, no más de 300 hab. en un local (salón)
1.25
Todo lo demás 1.0
K = valor que representa la rigidez del edificio
Tipo o disposición de los elementos resistentes
K
1.- Sistema aporticados, excepto 1.00
2.- Edificio con sistema en cajón 1.33
3.- Pórticos dúctiles con diagramas o diagonales que cumplen tres condiciones:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
donde:
D = mayor dimensión en la dirección del sismo
hn = altura más importante del edificio
n = número de pisos (sólo se aplica en edificios de pórticos dúctiles)
En el análisis dinámico, 𝑡 = 0.2 𝑊
𝑅
donde;
W = peso de la estrctura
R = rigidez lateral
𝑅 =𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑅 =𝐹
∆
S = a = factor que depende del suelo ==> periodo de vibración del suelo
ts = período de vibración del suelo
𝑻𝟏/𝒕𝟑 𝑺/≥ 𝟏
≤ 1 1 +
𝑇1
𝑇𝑠− 0.5
𝑡1
𝑡𝑠
2
≥ 1 1.2 + 0.6
𝑡1
𝑡𝑠− 0.3
𝑡1
𝑡𝑠
2
𝑆 = 1.5
Fuerza sismica
DISTRIBUCIÓN V EN ALTURA
Ft = 0.07 t , V (cortante)
𝐹𝑡 = 0 𝑡 ≤ 0.7 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 < 7 𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑡 = 0
𝑡1 = 0.1 𝑁
𝐹𝑖 = 𝑉 − 𝐹𝑡 𝑊𝑖 𝑖
𝛴𝑤𝑖𝑖𝑖=𝑖 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Ft = fuerza concentrada del latigueo
Wi = peso del nivel concentrado
hi = altura cumulada
* en edificio, grandes de altura Ft = se considera de 2 a 3 modos.
Centro de Rigidez.- Es el punto eje sobre el cual gira el V de piso
DESARROLLO DEL PROBLEMA
V = I K C S W
W = 20.5 x 20.5 x 8.87 = 636.62 tn (cubierta)
W = 20.5 x 20.5 4.22 = 512.7 tn (entre piso)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝐼 = 1.00
𝐾 = 0.80
𝐶 =1
15 𝑡
𝑡 = 0.09 𝑛
𝐷
𝑡𝑥 ,𝑦 = 0.09 15.6
18.8= 0.32 𝑠𝑒𝑔.
𝐶𝑥 ,𝑦 =1
15 0.32= 0.12 ≤ 0.12
S = 1.5
CS = 0.12(1.5) = 0.18
V = 1 x 0.8 x 0.14 (2416.42) = 270.64 tn corte basal total
REPARTICIÓN DEL CORTE BASAL V EN ALTURA
t = 7sg Ft = 0
t < de 7 pisos
t = 0.1 N N = 7 pisos
𝑭𝒊 =𝟐𝟕𝟎. 𝟔𝟒
𝟔𝟏. 𝟏𝟐 𝑾𝒊 𝒉𝒊
𝑭𝒊 = 𝟒. 𝟑𝟗 𝑾𝒊 𝒉𝒊
Piso Wi hi Wi hi Fi
1 0.87 5.20 4.52 19.85
2 1.22 7.80 9.52 41.81
3 1.22 10.40 12.69 55.74
4 1.22 13.00 15.86 69.66
5 1.22 15.60 19.03 83.58
Σ 61.62 270.64
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
5.- FORMACIÓN DE PÓRTICOS
5.1.- Cálculo de las rigideces de pórtico con columna
𝐾 =𝐼
𝐿 ; 𝐾 = 4
𝐼
𝐿 ; 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
5.2.- Cálculo de rigideces con diafragma
𝐾 = 𝑅𝐼
𝐿 ; 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
desarrollo;
CÁLCULO DE LAS RIGIDECES DE PÓRTICO CON COLUMNAS
PÓRTICO A SENTIDO Y
𝐾 =𝑏3
12 𝐿 𝐾 =
𝐼
𝐿 𝐼 =
𝑏3
12
Cálculo de la Rigidez de columna.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
Planta Baja
𝐾1 =6.5(6.5)3
12(5.20)= 28.61; 𝐾2 =
7(8)3
12(5.20)= 57.44; 𝐾3 =
6(7)3
𝐶1= 32.58; 𝐾4 =
5(4)3
𝐶1= 5.13
𝐾5 =6(6)3
𝐶2= 41.54; 𝐾6 =
6(7)3
𝐶2= 65.96 ; 𝐾7 =
5.5(6)3
𝐶2= 38.08; 𝐾8 =
4.5(3.5)3
𝐶2= 6.18
𝐾9 =5(5)3
𝐶3= 20.03; 𝐾10 =
5(6)3
𝐶3= 34.62 ; 𝐾11 =
4.5(5)3
𝐶3= 18.03; 𝐾12 =
4(3)3
𝐶3= 3.46
𝐾13 =4(4)3
𝐶4= 8.21; 𝐾14 =
4(5)3
𝐶4= 16.03 ; 𝐾15 =
3.5(4)3
𝐶4= 7.18; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 2.60
𝐾17 =3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾18 =
3(4)3
𝐶5= 6.15 ; 𝐾19 =
3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕
𝟒+ 𝟐 𝟎. 𝟑𝟓 = 𝟐. 𝟏𝟓
𝐾1−2 =24.5(3.5)3
12(7.7)= 11.37; 𝐾2−3 =
24.5(3.5)3
12(5.8)= 15.10; 𝐾3−4 =
24.5(3.5)3
12(5.30)= 16.52
* el proceso del cálculo de rigideces, fue mediante constantes
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Cálculo de la rigidez del pórtico con columnas
PÓRTICO B (SENTIDO Y)
Rigidez de columna
Cálculo de la Rigidez de columna.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
Planta Baja
𝐾1 =7(8)3
𝐶1= 57.44;𝐾2 =
6(7.5)3
𝐶1= 40.56;𝐾3 =
7.5(7.5)3
𝐶1= 50.71;𝐾4 =
4.5(5.5)3
𝐶1= 12.0
Plantas Superiores
𝐾5 =6(7)3
𝐶2= 65.96;𝐾6 =
5.5(6)3
𝐶2= 38.08 ; 𝐾7 =
6.5(6.5)3
𝐶2= 57.21; 𝐾8 =
4(5)3
𝐶2= 16.03
𝐾9 =5(6)3
𝐶3= 34.62; 𝐾10 =
4(5.5)3
𝐶3= 21.33 ; 𝐾11 =
5.5(5.5)3
𝐶3= 29.33; 𝐾12 =
3.5(4)3
𝐶3= 7.18
𝐾13 =4(5)3
𝐶4= 16.93; 𝐾14 =
3.5(4)3
𝐶4= 7.18 ; 𝐾15 =
4(4)3
𝐶4= 8.21; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 2.60
𝐾17 =3(4)3
𝐶5= 6.15; 𝐾18 =
3(3)3
𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =
3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕+𝟕
𝟒= 𝟑. 𝟓
𝐾1−2 =3.5(3.5)3
12(5.8)= 16.24; 𝐾2−3 =
3.5(3.5)3
12(7.7)= 21.56; 𝐾3−4 =
3.5(3.5)3
12(5.30)= 23.59
* las rigideces en el resto de las vigas es igual
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO D SENTIDO Y
𝐾 =𝑏3
12 𝐿 𝐾 =
𝐼
𝐿 𝐼 =
𝑏3
12
Cálculo de la Rigidez de columna.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
Planta Baja
𝐾1 =5(4)3
𝐶1= 5.13; 𝐾2 =
4.5(5.5)3
𝐶1= 12; 𝐾3 =
4.5(5)3
𝐶1= 9.01; 𝐾4 =
3(3)3
𝐶1= 1.30
Plantas Superiores
𝐾5 =4.5(3.5)3
𝐶2= 6.18; 𝐾6 =
4(5)3
𝐶2= 16.03 ; 𝐾7 =
4(4.5)3
𝐶2= 11.68; 𝐾8 =
3(3)3
𝐶2= 2.60
𝐾9 =4(3)3
𝐶3= 3.46; 𝐾10 =
3.5(4)3
𝐶3= 7.18 ; 𝐾11 =
3.5(4)3
𝐶3= 7.18; 𝐾12 =
3(3)3
𝐶3= 2.60
𝐾13 =3(3)3
𝐶4= 2.60; 𝐾14 =
3(3)3
𝐶4= 2.60 ; 𝐾15 =
3(3.5)3
𝐶4= 4.12; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 2.60
𝐾17 =3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾18 =
3(3)3
𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =
3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟒.𝟖
𝟒= 𝟏. 𝟐 𝑪 =
𝟏𝟐(𝟑.𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟐. 𝟔
𝐾1−2 =𝐶
(7.7)= 5.59; 𝐾2−3 =
𝐶
(5.8)= 7.39; 𝐾3−4 =
𝐶
(5.5)= 2.09
PÓRTICO 1 SENTIDO X
Cálculo de la Rigidez de columna
Planta Baja.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
𝐾1 =6.5(6.5)3
𝐶1= 28.61; 𝐾2 =
8(7)3
𝐶1= 43.97 = 𝐾3 = 43.97; 𝐾4 =
4(5)3
𝐶1= 8.01
𝐾5 =6(6)3
𝐶2= 41.54; 𝐾6 =
7(6)3
𝐶2= 48.46 = 𝐾7 = 48.46; 𝐾8 =
3.5(4.5)3
𝐶2= 10.22
𝐾9 =5(5)3
𝐶3= 20.09; 𝐾10 =
6(5)3
𝐶3= 24.04 = 𝐾11 = 24.04; 𝐾12 =
3(4)3
𝐶3= 6.15
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝐾13 =4(4)3
𝐶4= 8.21; 𝐾14 =
5(4)3
𝐶4= 10.26 = 𝐾15 = 10.26; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕.𝟕𝟎
𝟒+ 𝟐 𝟑. 𝟓 = 𝟐. 𝟔𝟑 𝑪 =
𝟐𝟔.𝟑(𝟑.𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟗𝟑. 𝟗𝟕
𝐾𝑎−𝑏 =𝐶
(7)= 13.42; 𝐾𝑏−𝑐 =
𝐶
(7)= 13.42; 𝐾𝑐−𝑑 =
𝐶
(4.8)= 19.58
PÓRTICO 3 SENTIDO X
Cálculo de la Rigidez de columna
Planta Baja.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
𝐾1 =7(6)3
𝐶1= 24.20; 𝐾2 =
7.5(7.5)3
𝐶1= 50.71; 𝐾3 =
7.5(7.5)3
𝐶1= 50.71; 𝐾4 =
5(4.5)3
𝐶1= 7.30
𝐾5 =6(5.5)3
𝐶2= 32; 𝐾6 =
6.5(6.5)3
𝐶2= 57.21 ; 𝐾7 =
6.5(6.5)3
𝐶2= 57.21; 𝐾8 =
4.5(4)3
𝐶2= 9.23
𝐾9 =5(4.5)3
𝐶3= 14.6; 𝐾10 =
5.5(5.5)3
𝐶3= 29.33 ; 𝐾11 =
5.5(5.5)3
𝐶3= 29.33; 𝐾12 =
4(3.5)3
𝐶3= 5.50
𝐾13 =4(3.5)3
𝐶4= 5.50; 𝐾14 =
4(4)3
𝐶4= 8.21 ; 𝐾15 =
4(4)3
𝐶4= 8.21; 𝐾16 =
3.5(3)3
𝐶4= 3.03
𝐾17 =3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾18 =
3(3)3
𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =
3(3)3
𝐶5= 2.60; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟓.𝟖+𝟓.𝟑
𝟒= 𝟐. 𝟕𝟖 𝑪 =
𝟐𝟕.𝟖(𝟑.𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟗𝟗. 𝟑𝟑
𝐾𝑎−𝑏 =𝐶
(7)= 14.19; 𝐾𝑏−𝑐 =
𝐶
(7)= 14.19; 𝐾𝑐−𝑑 =
𝐶
(4.8)= 20.69
PÓRTICO 4 SENTIDO X
Cálculo de la Rigidez de columna
Planta Baja.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
𝐾1 =4(5)3
𝐶1= 8.01; 𝐾2 =
5.5(4.5)3
𝐶1= 8.03; 𝐾3 =
5.5(4.5)3
𝐶1= 8.03; 𝐾4 =
3(3)3
𝐶1= 1.30
𝐾5 =3.5(4.5)3
𝐶2= 10.22; 𝐾6 =
5(4)3
𝐶2= 10.26 ; 𝐾7 =
5(4)3
𝐶2= 10.26; 𝐾8 =
3(3)3
𝐶2= 2.60
𝐾9 =3(4)3
𝐶3= 6.15; 𝐾10 =
4(3.5)3
𝐶3= 5.50 ; 𝐾11 =
4(3.5)3
𝐶3= 5.50; 𝐾12 =
3(3)3
𝐶3= 2.60
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝐾12 = 𝐾13 = 𝐾14 = 𝐾15 = 𝐾16 = 𝐾17 = 𝐾18 = 𝐾19 = 𝐾20 = 2.60
Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟓.𝟑𝟎
𝟒= 𝟏. 𝟑𝟑 𝑪 =
𝟏𝟑.𝟑(𝟑.𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟏𝟑. 𝟓𝟖
𝐾𝑎−𝑏 =𝐶
(7)= 1.94; 𝐾𝑏−𝑐 =
𝐶
(7)= 1.94; 𝐾𝑐−𝑑 =
𝐶
(4.8)= 2.83
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO 1 (SENTIDO X)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO 3 (SENTIDO X)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO 4 (SENTIDO X)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO 4 (SENTIDO X)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO A (SENTIDO Y)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO B (SENTIDO Y)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO C (SENTIDO Y)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO D (SENTIDO Y)
CUADRO DE RIGIDECES
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
RIGIDECES CON DIAFRAGMA
DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN Y CORTE DEL DIAGRAMA
Aplicando el método de la superposición
1.- Estado de carga 2.- Estado de carga
sumando tenemos: 𝒎 =𝑴
𝑳𝒛 +
𝑴′
𝑳𝒙
𝑽 = −𝑴
𝑳+
𝑴′
𝑳=
𝑴′ −𝑴
𝑳
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
TEOREMA DE CÁSTILIANO
𝜹 = 𝒎𝒅𝒎
𝒅𝒙𝒅𝜽 + 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙𝒅𝒄
donde:
𝜹 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑔𝑖𝑟𝑜
M = momento
x = carga que produce la deformación
dG = área diferencial del diagrama de masas elásticas por flexión
* para una sección de masa constante
dc = área diferencial del diagrama de masas elásticas por corte
E = modulo de elasticidad a flexión
Ao = área efectiva al corte
G = modulo de elasticidad de corte
𝑑𝐺 =𝑑𝑠
𝐸𝐽𝑜
𝑑𝑐 =𝑑𝑠
𝐴𝑜𝐺
𝑑 = 𝜃
𝑥 = 𝑀
𝛿 = 𝜃′
𝑥 = 𝑀′
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
d = δ
𝑑𝑚
𝑑𝑀=
𝑧
𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑀= −
𝑦
𝐿
𝜃 = 𝑚𝑑𝑚
𝑑𝑀𝑑𝜃 + 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑀𝑑𝑐
𝜃 = 𝑀𝑧
𝐿+
𝑀′𝑥
𝐿 𝑧
𝐿𝑑𝐺 +
−𝑀 + 𝑀′
𝐿 −
1
𝐿 𝑑𝑐
𝜃′ = 𝑀𝑧
𝐿+
𝑀′𝑥
𝐿𝑥
𝑥
𝐿𝑑𝐺 +
−𝑀 + 𝑀′
𝐿
1
𝐿 𝑑𝑐
**
𝜃 =𝑀
𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +
𝑀′
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 +
𝑀
𝐿2 𝑑𝑐 −
𝑀′
𝐿2 𝑑𝑐
𝜃′ =𝑀
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 +
𝑀′
𝐿2 𝑥2 𝑑𝐺 −
𝑀
𝐿2 𝑑𝑐 +
𝑀′
𝐿2 𝑑𝑐
**
𝜃 = 𝑀 1
𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +
1
𝐿2 𝑑𝑐 + 𝑀′
1
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −
1
𝐿2 𝑑𝑐
𝜃′ = 𝑀 1
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −
1
𝐿2 𝑑𝑐 + 𝑀′
1
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 +
1
𝐿2 𝑑𝑐
𝜃 = 𝛼 𝑀 + Σ 𝑀′
𝜃′ = 𝛼′ 𝑀′ + Σ 𝑀
𝛼𝐷 =1
𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +1
𝐿2 𝑑𝑐
𝛼′𝐷 =1
𝐿2 𝑥2𝑑𝐺 +1
𝐿2 𝑑𝑐
Σ𝐷 =1
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −1
2 𝑑𝑐
𝜃 = 𝛼𝐷𝑀 + Σ𝐷𝑀′
𝜃′ = 𝛼′𝐷𝑀 + Σ𝐷𝑀
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
donde:
𝒛𝟐𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝒙𝟐𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌
𝒙𝒛𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
Diafragma de sección rectangular constante
1
𝐿2 𝑧2 𝑑𝐺 =
1
𝐿2𝑑𝑦𝑦´ =
1
𝐿2𝑥
1
𝐸𝐽𝑜 𝐿3
3 =
𝐿
3𝐸𝐽𝑜
1
𝐿2 𝑥2 𝑑𝐺 =
1
𝐿2𝑦𝑦 =
1
𝐿2
1
𝐸𝐽𝑜
𝐿3
3 =
𝐿
3𝐸𝐽𝑜
1
𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 = −𝐽𝑦 𝑦 + 𝐴𝑥 𝑧 = −
1
𝐸𝐽𝑜 𝐿3
12
𝐿
𝐸𝐽𝑜
𝐿2
4 =
1
𝐿2 𝑥𝑧𝑑𝐺
=1
12
𝐿3
4𝐸𝐽𝑜−
𝐿3
12𝐸𝐽𝑜 =
𝐿
6𝐸𝐽𝑜
𝒅𝑪 =𝒅𝒔
𝑨. 𝑮
𝑪.𝟏
𝑨. 𝑮 𝒅𝒔 =
𝟏
𝑨. 𝑮=
𝑳
𝑨𝒇𝑮
𝑪 =𝑳. 𝒇
𝑨. 𝑮
donde:
𝑨𝒐 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑨𝒐 = 𝑨
𝒇
𝑨 = á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝒇 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝒇 =𝟔
𝟓= 𝟏. 𝟐
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝜶′ = 𝜶 =𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐 𝜺 =
𝑳
𝟔𝑬𝑱𝒐 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛
𝜶𝑫 =𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐+
𝟏
𝑳𝟐.𝑳𝒇
𝑨𝑮= 𝜶′𝑫 =
𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐+
𝒇
𝑳𝑨𝑮
𝜶𝑫 =𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 +
𝟑𝑬𝑱𝒐𝒇
𝑳𝟐𝑨𝑮
𝟑𝑬𝑱𝒐𝒇
𝑳𝟐𝑨= 𝑸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
𝜶𝑫 = 𝜶′𝑫 =𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐(𝟏 + 𝑸)
𝜺𝑫 =𝑳
𝑮𝑬𝑱𝒐−
𝟏
𝑳𝟐 𝑳𝒇
𝑨𝑮 =
𝑳
𝑮𝑬𝑱𝒐−
𝒇
𝑳𝑨𝑮
RIGIDEZ DE DIAFRAGMA
𝑲′ =𝜶′𝑫
𝜶𝜶′𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐 𝑲 =
𝜶𝑫
𝜶𝜶′𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐 𝕒𝑫 =
𝜺𝑫
𝜶𝜶𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐
DIAFRAGMA DE SESIÓN RECTANGULAR CONSTANTE
𝒂𝜶′ − 𝜺𝟐 = 𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 − 𝑸
𝟐
− 𝑳
𝟔𝑬𝑱𝒐− 𝟏 − 𝟐𝑮
𝟐
=
=𝑳𝟐
𝟗𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 + 𝟐𝑸 + 𝑸𝟐 −
𝑳𝟐
𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 − 𝟒𝑸 + 𝟒𝑸𝟐
=𝑳𝟐
𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟒 + 𝟖𝑸 + 𝟒𝑸𝟐 − 𝟏 + 𝟒𝑸 − 𝟒𝑸𝟐
=𝑳𝟐
𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏𝟐𝑸 + 𝟑 =
𝑳𝟐
𝟏𝟐𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸
𝜺𝑫 =𝑳
𝑮𝑬𝑱𝒐 𝟏 −
𝑮𝑬𝑱𝒐𝒇
𝑳𝟐𝑨𝑮 =
𝑳
𝑮𝑬𝑱𝒐 𝟏 − 𝟐𝑸
𝜶𝑫
𝜺𝑫
Constante de barra de diafragma
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑲 = 𝑲′ =𝑳
𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 + 𝑸
𝟏𝟐(𝑬𝑱𝒐)𝟐
(𝟏 + 𝟒𝑸)
𝕒 =𝑳
𝑪𝑬𝑱𝒐𝒙
(𝟏 − 𝟐𝑸)
(𝟏 + 𝟒𝑸)𝒙𝟏𝟐(𝑬𝑱𝒐)𝟐
𝑳𝟐
𝒃 =𝒌 + 𝒂
𝑳 ; 𝒃′ =
𝒌′ + 𝒂
𝑳 ; 𝒕 =
𝒃 + 𝒃′
𝑳
Según Maning tenemos lo siguiente:
M = Mf + Kθ + aθ’ + bθ
V = bθ – bθ’ + t a
𝒃 = 𝒃′ = 𝟒𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 + 𝑸
𝟏 + 𝟒𝑸 +
𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 − 𝟐𝑸
𝟏 + 𝟒𝑸
𝒃 =𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸 𝟐 + 𝟐𝑸 + 𝟏 − 𝟐𝑸
𝒃𝑫 =𝑮𝑬𝑱𝒐
𝑳𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸 = 𝒃′𝑫
𝒕𝑫 =𝟐𝒃
𝑳=
𝒃 + 𝒃′
𝑳 𝒃′ = 𝒃 = 𝟐𝒃
𝒕𝑫 =𝟏𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳𝟑 𝟏 + 𝟒𝑸
𝑲 = 𝑲′ =𝟒𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 + 𝑸
𝟏 + 𝟒𝑸
𝕒 =𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳𝒙
(𝟏 − 𝟐𝑸)
(𝟏 + 𝟒𝑸)
𝑲
𝑲′
a
Rigideces a
flexión 𝒃
𝒃′
Rigideces a flexión empuje 𝒕
Rigideces a empuje
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
USO TABLAS
TABLA 4 (RIGIDES DE DIAFRAGMA)
L = altura entre ejes
h = ancho del diafragma
e = espesor
𝑸 =𝟑𝑬𝑱𝒐𝒕
𝑳𝟐𝑨𝑮 𝒇 =
𝟔
𝟓= 𝟏. 𝟐 𝑮 = 𝟎. 𝟒𝑬 𝑱𝒐 =
𝒆𝒉𝟑
𝟐 𝑨 = 𝒉. 𝒆
𝑸 =𝟑
𝟒 𝒉
𝑳 𝟐
𝑲 = 𝑲′ =𝟒𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 + 𝑸
𝟏 + 𝟒𝑸
𝑲 = 𝑲′ =𝟒𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 +
𝟑𝟒
𝒉𝑳
𝟐
𝟏 + 𝟑 𝒉𝑳 𝟐
𝝀 = 𝒉
𝑳 𝟐
𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒚 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐.
𝑲 =𝟒𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟒 + 𝟑𝝀
𝟒 + 𝟏𝟐𝝀 =
𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟒 + 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀 𝑹 =
𝟒 + 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀
𝑲 = 𝑲′ = 𝑹𝑬𝑱𝒐
𝑳
𝕒 =𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 − 𝟐𝑸
𝟏 + 𝟒𝑸
𝕒 =𝟐𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟏 −
𝟑𝟐
𝒉𝑳
𝟐
𝟏 + 𝟑 𝒉𝑳
𝟐
𝕒 =𝑬𝑱𝒐
𝑳 𝟐 − 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀 𝑨 =
𝟐 − 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀
𝕒 = 𝑨𝑬𝑱𝒐
𝑳
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Para vigas que concurren al diafragma * vigas con doble cartela simetrica Taba # 1
𝑸 =𝑳
𝑬𝑱𝒐
𝑲 = 𝑲′ = 𝑹 𝟑 + 𝑪𝟐
𝑪𝟐 =
𝑹𝑬𝑰
𝑳
𝕒 =𝑬𝑰
𝑳 𝟑 − 𝑪𝟐
𝑪𝟐 = 𝑨
𝑬𝑰
𝑳
Tabla 2 *Viga con una cartela donde:
𝑲 =𝑹𝑬𝑰
𝑳 𝑲′ =
𝑹′𝑬𝑰
𝑳 𝕒 = 𝑨
𝑬𝑰
𝑳
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Tabla 3 * Viga con dos cartelas asimétricas
𝑸 =𝑱𝒐
𝑱 𝑲 =
𝑹𝑬𝑰
𝑳 𝑲′ =
𝑹𝑬𝑰
𝑳 𝕒 = 𝑨
𝑬𝑰
𝑳
* en adelante los cálculos servirán para la carga sísmica
PÓRTICO EQUIVALENTE
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Rigideces de viga que concurren al diafragma
Momento de Inercia del diafragma
𝑰 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐 𝒙 =
𝚺𝐱 𝑨
𝑨
𝑰𝒙𝒙 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑨𝟏𝑨𝟐
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝑪𝟐
𝑰𝟏 =𝟐𝟎(𝟐)𝟑
𝟏𝟐= 𝟏𝟑. 𝟑𝟑 𝑰𝟐 =
𝟐(𝟏𝟖)𝟑
𝟏𝟐= 𝟗𝟕𝟐 𝚺 𝑰 = 𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟑 𝒅𝒎𝟒
𝑰 𝒙𝒙 = 𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝐱 𝟐 𝐱 𝟐 𝐱 𝟏𝟖
𝟐𝟎 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱𝟏𝟖 𝟏𝟎−𝟐 = 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕 𝒅𝒎𝟒
𝑰 𝒚𝒚 = 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕 𝒅𝒎𝟒
Tabla 2
Viga (C – D) sentido x
𝒓 =𝟏
𝟓. 𝟕= 𝟎. 𝟏𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 2. − 𝑹 = 𝟖. 𝟕𝟔 𝑹′ = 𝟒. 𝟖𝟕𝟖 𝑨 = 𝟒. 𝟎𝟒𝟓
𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 =𝟕. 𝟕𝟎 + 𝟓. 𝟖
𝟒= 𝟑. 𝟑𝟕𝟓 𝒅𝒎 ; 𝑰𝒗 =
𝟑𝟑. 𝟕𝟓(𝟑.𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖
𝑲 =𝑹𝑬𝑰
𝑳=
𝑹𝑰
𝑳 𝑲′ =
𝑹′𝑰
𝑳 𝕒 =
𝑨𝑰
𝑳
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑲 =𝟖. 𝟕𝟗𝟔 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖
𝟓. 𝟕𝟎= 𝟏𝟖𝟔. 𝟎𝟕
𝑲′ =𝟒. 𝟖𝟕𝟖 𝐱 𝟏𝟐𝟎.𝟓𝟖
𝟓. 𝟕𝟎= 𝟏𝟎𝟑. 𝟏𝟗
𝕒 =𝟒. 𝟎𝟒𝟓 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖
𝟓. 𝟕𝟎= 𝟖𝟓. 𝟔𝟎
Viga (C – B)
𝒓 =𝟏
𝟔. 𝟏𝟎= 𝟎. 𝟏𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟏 𝑹′ = 𝟒. 𝟕𝟔𝟐 𝑨 = 𝟑. 𝟕𝟒𝟏
𝑲 =𝟖. 𝟎𝟎𝟏 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖
𝟔. 𝟏𝟎= 𝟏𝟓𝟖. 𝟏𝟔
𝑲′ =𝟒. 𝟕𝟔𝟐 𝐱 𝟏𝟐𝟎.𝟓𝟖
𝟔. 𝟏𝟎= 𝟗𝟒. 𝟏𝟑
𝕒 =𝟑. 𝟕𝟒𝟏 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖
𝟔. 𝟏𝟎= 𝟕𝟑. 𝟗𝟓
Viga ( A - B) 𝑲 =𝟒 𝐱 𝟑𝟑.𝟕𝟓 𝐱 𝟑.𝟓𝟑
𝟏𝟐 𝐱 𝟕= 𝟔𝟖. 𝟗𝟏
Rigidez del Diafragma * aplicando la tabla 4 a las formulas
𝑹 =𝟒 + 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀=
𝟒 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗
𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗 = 𝟐. 𝟎𝟖𝟑
𝕒 =𝟐 − 𝟑𝝀
𝟏 + 𝟑𝝀=
𝟐 − 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗
𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑
𝑹 =𝟒 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓
𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟑. 𝟎𝟔𝟗
𝕒 =𝟐 − 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓
𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟏. 𝟎𝟔𝟗
𝑲 =𝑹𝑰
𝑳=
𝟐. 𝟎𝟖𝟓 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕
𝟐. 𝟔= 𝟐𝟑𝟎𝟕. 𝟑𝟖
𝕒 =𝟎. 𝟎𝟖𝟑 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎.𝟎𝟕
𝟐. 𝟔= 𝟗𝟏. 𝟗𝟒
𝑲 =𝟑. 𝟎𝟔𝟗 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕
𝟓. 𝟐𝟎= 𝟏𝟔𝟗𝟗. 𝟖𝟎
𝕒 =𝟏. 𝟎𝟔𝟗 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎.𝟎𝟕
𝟐. 𝟓𝟎= 𝟓𝟗𝟐. 𝟎𝟖
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Rigidez de columna C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5
𝐾1 =8(7)3
𝐶1= 43.974; 𝐾2 =
7.5(6)3
𝐶1= 103.84; 𝐾4 =
5.5(4.5)3
𝐶1= 32.12
𝐾5 =7(6)3
𝐶2= 193.84; 𝐾6 =
6(5.5)3
𝐶2= 127.96; 𝐾8 =
5(4)3
𝐶2= 41.04
𝐾9 =5(5)3
𝐶3= 96.16; 𝐾10 =
5.5(4)3
𝐶3= 45.12 ; 𝐾12 =
4(3.5)3
𝐶3= 22.0
𝐾13 =5(4)3
𝐶4= 41.04;𝐾14 =
4(3.5)3
𝐶4= 22.0; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 10.40
𝐾17 =4(3)3
𝐶5= 13.84;𝐾18 =
3(3)3
𝐶5= 10.40 ; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 10.40
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CUADRO DE RIGIDECES CON DIAFRAGMA DE VIGA Y COLUMNA;
SENTIDO X
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Viga (1 – 2)
𝒓 =𝟏
𝟖. 𝟔= 𝟎. 𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟔. 𝟔𝟓𝟗 𝑹′ = 𝟒. 𝟓𝟒𝟓 𝑨 = 𝟑. 𝟐𝟎𝟐
𝑲 =𝟓. 𝟔𝟓𝟗 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎
𝟖. 𝟔= 𝟖𝟏. 𝟔𝟏 𝒃 =
𝟕 + 𝟒. 𝟖
𝟒= 𝟐. 𝟗𝟓 𝒎 = 𝟐𝟗. 𝟓 𝒅𝒎
𝑲′ =𝟒. 𝟓𝟒𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒
𝟖. 𝟔= 𝟓𝟓. 𝟕𝟎 𝑰𝒗 =
𝟐𝟗. 𝟓(𝟑. 𝟓)𝟑
𝟏𝟐= 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎
𝕒 =𝟑. 𝟐𝟎𝟐 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟓𝟎
𝟖. 𝟔𝟎= 𝟑𝟗. 𝟐𝟒
Viga (2 –3)
𝒓 =𝟏
𝟒. 𝟗= 𝟎. 𝟐𝟎 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟗. 𝟔𝟖𝟖 𝑹′ = 𝟓 𝑨 = 𝟒. 𝟑𝟕𝟓
𝑲 =𝟗. 𝟓𝟖𝟖 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎
𝟒. 𝟗𝟎= 𝟐𝟎𝟖. 𝟑𝟗
𝑲′ =𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒
𝟒. 𝟗𝟎= 𝟏𝟎𝟕. 𝟓𝟓
𝕒 =𝟒. 𝟑𝟕𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎
𝟖. 𝟔𝟎= 𝟗𝟒. 𝟏𝟏
Viga (3 –4)
𝑲 =𝟐𝟗. 𝟓(𝟑. 𝟓)𝟑
𝟑 𝐱 𝟓. 𝟑𝟎= 𝟕𝟗. 𝟓𝟓 ∗∗ 𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒂𝒔 𝒐𝒓 𝒔𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂
Rigideces de columna C1 = 15.6 ; C2 = 7.8 ; C3 = C4 = C5
𝐾1 =7(8)3
𝐶1= 229.74; 𝐾3 =
7.5(7.5)3
𝐶1= 202.82; 𝐾4 =
4.5(5.5)3
𝐶1= 47.99
𝐾5 =5(7)3
𝐶2= 263.85; 𝐾7 =
6.5(6.5)3
𝐶2= 228.85; 𝐾8 =
4(5)3
𝐶2= 64.10
𝐾9 =5(6)3
𝐶3= 138.46; 𝐾11 =
5.5(5.5)3
𝐶3= 117.32 ; 𝐾12 =
3.5(4.0)3
𝐶3= 28.72
𝐾13 =4(5)3
𝐶4= 64.10; 𝐾15 =
4(4)3
𝐶4= 32.82; 𝐾16 =
3(3)3
𝐶4= 10.38
𝐾17 =3(4)3
𝐶5= 24.62; 𝐾19 =
3(3)3
𝐶5= 10.38 ; 𝐾20 =
3(3)3
𝐶5= 10.38
𝐾 =4 𝐼
12𝐿
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CUADRO DE RIGIDECES CON DIAFRAGMA DE VIGAS Y COLUMNAS;
SENTIDO Y
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6.1 FACTORES F POR EL MÉTODO APROXIMADO
𝑭 = 𝟏 +𝟐𝚺𝑲𝒗𝑸
𝚺𝐊𝐯 ∗ 𝑐𝑜𝑛 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
K + a = rigides asimétrica anticimetrico
1.- Giro simétrico
M = Kθ + aθ
M = Kθ + a(-θ)
M = θ(K – a)
2.- Giro antisimétrico
M = Kθ + aθ
M = (K+ a) θ
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Σ K = Σ Kv + Σ (Kc + a)
Σ (Kc + a) = (Kc + a) = Kc + a + Kc + a
𝓤 =𝚺 𝒌𝒄 + 𝕒
𝚺𝑲> 1
𝑄 =𝒰 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝒰 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝐹 = 1 + 2 𝐾𝑣1𝒬1 + 𝐾𝑣2𝒬2 + 𝐾𝑣3𝒬3
𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 + 𝐾𝑣3
FACTOR F EN EL DESARROLLO DEL PROBLEMA
Pórtico 1.- 5to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 𝐾𝑣1𝒬1 + 𝐾𝑣2𝒬2 + 𝐾𝑣3𝒬3
𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 + 𝐾𝑣3
𝐹 = 1 + 2 13.42𝑥0.70 + 13.42𝑥0.88 + (19.5𝑥0.82)
13.42 + 13.4 + 19.58 = 2.61 < 3
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4to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 13.42𝑥0.78 + 13.42𝑥0.88 + (12.58𝑥0.76)
46.42 = 2.60 < 3
3er piso, sentido x
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2do piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 12.34 + 12.92 + 14.24
46.42 = 2.70 < 3
1er piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 12.49 + 12.92 + 13.66
46.42 = 2.68 < 3
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Pórtico 3.- 5to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.56 + 14.9𝑥0.853 + (20.69𝑥0.623)
50.49 = 2.50 < 3
4to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.78 + 14.9𝑥0.89 + (20.69𝑥0.94)
50.49 = 2.76 < 3
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3er piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.97 + 14.9𝑥0.94 + (20.69𝑥0.62)
50.49 = 2.64 < 3
2do piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 14.70 + 14.48 + 13.62
50.49 = 2.70 < 3
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1er piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 14.72 + 14.35 + 13.36
50.49 = 2.70 < 3
Pórtico 4.- 5to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 1.47 + 1.746 + 2.20
6.71 = 2.61 < 3
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4to piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 1.62 + 1.80 + 2.39
6.71 = 2.73 < 3
3er piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 1.69 + 1.84 + 2.776
6.71 = 2.88 < 3
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2do piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 1.79 + 1.87 + 2.50
6.71 = 2.84 < 3
1er piso, sentido x
𝐹 = 1 + 2 1.803 + 1.88 + 2.21
6.71 = 2.76 < 3
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Pórtico A.- 5to piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 11.21 + 6.42 + 9.52
42.99 = 2.26 < 3
4to piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 10.92 + 8.27 + 15.70
42.99 = 2.62 < 3
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3er piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 10.70 + 11.09 + 10.7607
42.99 = 2.51 < 3
2do piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 16.15 + 20.59 + 10.50
61.39 = 2.54 < 3
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2do piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 18.95 + 20.40 + 12.63
61.39 = 2.69 < 3
1er piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 20.30 + 21.007 + 13.42
61.39 = 2.71 < 3
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Pórtico D.- 5to piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 3.109 + 6.458 + 5.003
21.05 = 2.39 < 3
4to piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 6.44 + 7.20 + 3.65
21.05 = 2.64 < 3
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3er piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 5.59 + 5.52 + 4.76
21.05 = 2.51 < 3
2do piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 6.11 + 6.58 + 5.49
21.05 = 2.73 < 3
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1er piso, sentido y
𝐹 = 1 + 2 5.02 + 6.29 + 5.43
21.05 = 2.59 < 3
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RIGIDECES SUCESIVAS
Cadena Abierta.- Es un método exacto de resolución de sistemas de ecuaciones.
Vigas Continuas.- Ecuaciones de los tres giros, ecuaciones de deformaciones.
giros Cálculo de deformaciones.- desplazamientos (incógnitas) * Para resolver las incógnitas planteamos sistemas de ecuaciones (condiciones de
deformación)
** Buscamos método de soluciones de ecuaciones y unos de esos métodos es el de
cadena abierta y giros adelantados, otro método es del Análisis matricial.
Ecuación de Maney:
M = Mf + Kθ + aθ’
M’ = M’f + K’θ + aθ
𝑴 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐
M’1 = M’f + K1’θ + a1θi
M2 = Mf2 + K2θ + a2θd
* aplicando la ecuación de equilibrio M’1 + M2 = 0
M’1 + M2 = 0 = (M’f + Mf2) + (K’1+K2)θ + a1θi + a2
Incognitas = θ1 , θi , θd = ?
Sumatoria de momentos que concurren al nudo * método del Ing. Alejandro Segovia
M’f1 + Mf2 = ΣMf = m = momento desequilibrante
Sumatoria de rigideces que concurren al nudo
K1 + K2 = ΣK = A = característica inicial.
Δx , Δy, Δz = deformación lineal
θx , θy, θz = deformación angular
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Ecuación de deformación
a1θi + Aθ + a2θd + m = 0
Deducción de la ecuación con cuatro apoyos
Matriz 2 de rigideces
a1θi + Aθ + a2θd + m = 0
𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 ; 𝑴𝒇 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐 ; 𝑴𝒗 =
𝑷𝑳𝟐
𝟐
Matriz de rigidez de la estructura
Sistema de ecuaciones simultaneas simetricas
1) A1θ1 + a1θ2 + m1 = 0
2) a1θ1 + A2θ2 + a2θ3 + m2 = 0
3) + a2θ2 + A3θ3 + a3θ4 + m3 = 0
4) a3θ3 + A4θ4 + m4 = 0
θ1 θ2 θ3 θ4 m = 0
A1 a1 0 0 m1 = 0
a1 A2 a2 0 m2 = 0
0 a2 A3 a3 m3 = 0
0 0 a3 A4 m4 = 0
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De 1) 𝜽𝟏 =−𝒎𝟏−𝒂𝟏𝜽𝟐
𝑨𝟏 remplazando 2) 𝒂𝟏
−𝒎𝟏−𝒂𝟏𝜽𝟐
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎
Reducción de 1) 𝑨𝟏𝜽𝟏 + 𝒂𝟏𝜽𝟐 + 𝒎𝟏 = 𝟎
𝜽𝟏 = −𝒎𝟏
𝑨𝟏−
𝒂𝟏𝜽𝟐
𝑨𝟏
Valor conocido
𝜃1𝐶 = −
𝑎1
𝐴1𝜃2 𝜃1 = 𝜃1
𝑃 + 𝜃1𝐶
𝜽𝟏 remplazo en 2)
𝒂𝟏 𝜽𝟏𝑷 −
𝒂𝟏
𝑨𝟏𝜽𝟐 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎
𝑨𝟐 −𝒂𝟏
𝟐
𝑨𝟏 𝜽𝟐 + 𝒎𝟐 + 𝜽𝟏
𝑷𝒂 + 𝒂𝟐𝜽𝟑
𝑆2𝜃2 + 𝑉2𝑃 + 𝑎2𝜃3 = 0
𝜃2 = −𝑉2
𝑃
𝑆2−
𝑎2
𝑆2𝜃3 = 0
𝜃2𝑃 = −
𝑉2𝑃
𝑆2 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
𝜃2𝐶 = −
𝑎2
𝑆2𝜃3
𝜽𝟐 = 𝜽𝟐𝑷 −
𝒂𝟐
𝑺𝟐𝜽𝟑 𝟐) 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝟑)
𝒂𝟐 𝜽𝟐𝑷 −
𝒂𝟐
𝑺𝟐𝜽𝟑 + 𝒂𝟑𝜽𝟑 + 𝒂𝟑𝜽𝟒 + 𝒎𝟑 = 𝟎
𝑨𝟑 −𝒂𝟐
𝟐
𝑺𝟐 𝜽𝟑 + 𝒎𝟑 + 𝒂𝟐𝜽𝟐
𝑷 + 𝒂𝟑𝜽𝟒 = 𝟎
𝑆3𝜃3 + 𝑉3𝑃 + 𝑎3𝜃4 = 0
𝜃3 = −𝑉3
𝑃
𝑆3−
𝑎3
𝑆3𝜃4
𝜽𝟏𝑷 = −
𝒎𝟏
𝑨𝟏
𝜽𝟏 = 𝜽𝟏𝑷 −
𝒂𝟏
𝑨𝟏𝜽𝟐
𝑆2 = 𝐴2 −𝑎1
2
𝐴1 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑐𝑡. 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.
𝑈2 = 𝑚2 + 𝑎1𝜃1𝑃 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑞. 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.
𝜃2 = 𝜃2𝑃 + 𝜃2
𝐶
𝑆3 = 𝐴3 −𝑎2
2
𝐴2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.
𝑈2𝑃 = 𝑚3 + 𝑎2𝜃2
𝑏 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.
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𝜃3𝑃 = −
𝑉3𝑃
𝑆3 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
𝜃3𝐶 = −
𝑎3
𝑆3𝜃4
𝜽𝟑 = 𝜽𝟑𝑷 −
𝒂𝟑
𝑺𝟑𝜽𝟒 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝟏) 𝒆𝒏 𝟒)
𝜽𝟑 𝜽𝟑𝑷 −
𝒂𝟑
𝑺𝟑𝜽𝟒 + 𝒂𝟒𝜽𝟒 + 𝒎𝟒 = 𝟎
𝑨𝟒 −𝒂𝟑
𝟐
𝑺𝟑 𝜽𝟒 + 𝒎𝟒 + 𝒂𝟑𝜽𝟑
𝑷 = 𝟎
𝜃4 = 𝜃4𝑃 + 𝜃3
𝐶
𝑆4𝜃4 + 𝑉4𝑃 = 0
𝜃4 = −𝑉4
𝑃
𝑆4 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
Cálculo de las características normales
Nudo inicial
𝑺𝟏 = 𝑨𝟏
nudos intermedios i = 2 …..4
𝑺𝒊 = 𝑨𝒊 −𝒂𝟐 𝒊 − 𝟏
𝟑 𝒊 − 𝟏
Cálculo de los desequilibrantes normales
Nudo inicial
𝑽𝟏𝑷 = 𝒎𝟏
nudos intermedios
𝑉𝑖𝑃 = 𝑚𝑖 + 𝑎 𝑖 − 1 𝜃𝑃 𝑖 − 1 ; 𝑖 = 2 … .4
𝑉2𝑃 = 𝑚2 + 𝑎1𝜃1
𝑃 ; 𝑖 = 2
𝑉3𝑃 = 𝑚3 + 𝑎2𝜃2
𝑃 ; 𝑖 = 3
𝑉4𝑃 = 𝑚4 + 𝑎3𝜃3
𝑃 ; 𝑖 = 4
𝜃3 = 𝜃3𝑃 + 𝜃3
𝐶
𝑆4 = 𝐴4 −𝑎3
2
𝐴3 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.
𝑈4𝑃 = 𝑚4 + 𝑎3𝜃3
𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.
𝑺𝟐 = 𝑨𝟐 −𝒂𝟏
𝟐
𝑺𝟏; 𝒊 = 𝟐
𝑺𝟑 = 𝑨𝟑 −𝒂𝟐
𝟐
𝑺𝟐; 𝒊 = 𝟑
𝑺𝟒 = 𝑨𝟒 −𝒂𝟑
𝟐
𝑺𝟑; 𝒊 = 𝟒
1)
2)
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3) Cálculo de los giros 4) Giros complementarios
𝜃𝑖𝑃 = −
𝑣𝑖𝑃
𝑆𝑖 ; 𝑖 = 1 … .4
𝜃1𝑃 = −
𝑣1𝑃
𝑆1 ; 𝑖 = 1
𝜃2𝑃 = −
𝑣2𝑃
𝑆2 ; 𝑖 = 2
𝜃3𝑃 = −
𝑣3𝑃
𝑆3 ; 𝑖 = 3
𝜃4𝑃 = −
𝑣4𝑃
𝑆4 ; 𝑖 = 4
5) Giro Definitivo
𝑖 = 1 … . 𝑛 − 1
APLICACIÓN DE CADENA ABIERTA PARA VIGAS CONTINÚAS
𝑴 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟎=
1.2 4.5 2
10= 2.43 𝑡. 𝑚
𝒅 = 𝑴
𝑹𝒃=
243000
16(30)= 22.5 𝒉 = 22.5 + 5 = 27,5 = 30 𝑐𝑚 𝒅 = 𝟐𝟓 𝒉 = 𝟑𝟎
Peso de carga muerta = 1.42 tn/m
Rigides
𝐾 =𝐼
𝐿
𝑰 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐=
3(3)3
12= 6.75 𝑑𝑚4
𝜽𝒊𝑪 = −
𝒂𝒊
𝑺𝒊𝜽 𝒊 + 𝟏 𝑖 = 1, 2(𝑛 − 1)
𝜃1𝐶 = −
𝑎1
𝑆1𝜃2 ; 𝑖 = 1
𝜃2𝐶 = −
𝑎2
𝑆2𝜃3 ; 𝑖 = 2
𝜃3𝐶 = −
𝑎3
𝑆3 𝜃4; 𝑖 = 3
𝜽𝒊 = 𝜽𝒊𝑷 + 𝜽𝒊
𝑪
Datos
f'c = 210 kg/cm2
fs = 1400 kg/cm2
k = 16 kg/cm2
𝑲𝟏 =6.75
4.5= 1.50 𝒂𝟏 = 0.75
𝑲𝟐 =6.75
3.5= 1.92 𝒂𝟐 = 0.96
𝑲𝟑 =4.0
3.5= 1.69 𝒂𝟑 = 0.84
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Matriz de Rigidez
Momentos de empotramiento
𝑴𝒗 =𝑷𝒍𝟐
𝟐=
1.42 1.2 2
2= 1.02 𝑡. 𝑚
𝑴𝒇𝟏 = 𝑴′𝒇𝟐 =𝑷𝒍𝟐
𝟏𝟐=
1.42 4.5 2
12= 2.42 𝑡. 𝑚
𝑴𝒇𝟑 = 𝑴′𝒇𝟒 =1.42 3.5 2
12= 1.45 𝑡. 𝑚
𝑴𝒇𝟒 = 𝑴′𝒇𝟓 =1.42 4.0 2
12= 1.89 𝑡. 𝑚
𝑴𝒗 =𝑷𝒍𝟐
𝟐=
1.47(1.5)2
2= 1.60 𝑡. 𝑚
Signo de Croos ⤼ ⤽ ; M = t.m
Ecuación de equilibrio de deformación o ecuación de los tres giros
m = desequilibrio o estado de carga actual
𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎
𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝜽𝟑 𝜽𝟒 +m = 0
1.5 0.75 1.38=0
0.75 3.42 0.96 -0.95=0
0.96 3.61 0.84 0.44=0
0.34 1.09 -0.29=0
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MEMORIA DE DESARROLLO
Si = A1
𝟏) 𝑺𝒊 = 𝑨𝟏 −𝒂𝒊 − 𝟏
𝑺𝒊 − 𝟏 (𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)
𝟐) 𝜽𝒑𝒊 =𝑽𝒊
𝑷
𝑺𝒊; 𝑖 = 1. 𝑛 𝜃𝑝𝑛 = 𝜃𝑛 =
𝑉𝑛𝑆𝑖
𝟑) 𝑽𝒊𝑷 = 𝒎𝒊 + 𝒂 𝒊 − 𝟏 𝜽𝑷 𝒊 − 𝟏 ; 𝑖 = 2, 𝑛 𝑉𝑖 = 𝑚𝑖
𝟒) 𝜽𝒊𝑪 = −
𝒂𝒊
𝑺𝒊𝜽 𝒊 + 𝟏 𝑖 = 1; …… ; 𝑛 − 1
𝟓) 𝜽𝒊 = −𝜽𝒊𝑷 + 𝜽𝒊
𝑪 … . ; 𝑖 = 1 ; 𝑛 − 1
Características
𝑺𝟐 = 𝑨𝟐 −𝒂𝟏
𝟐
𝑺𝟏= 3.42 −
0.752
1.5= 3.045
𝑺𝟑 = 𝑨𝟑 −𝒂𝟐
𝟐
𝑺𝟐= 3.61 −
0.262
3.048= 3.5023
𝑺𝟒 = 𝑨𝟒 −𝒂𝟑
𝟐
𝑺𝟑= 1.69 −
0.8452
3.3025= 1.4741
Etapa preparatoria
𝜽𝟏𝑷 = −
𝑽𝟏𝑷
𝑺𝟏= −
1.380
1.50= −0.92 𝑽𝟐
𝑷 = 𝒎𝟐 + 𝒂𝟏𝜽𝟏𝑷 = −0.95 + 0.75 −0.92 = −1.64
𝜽𝟐𝑷 = −
𝑽𝟐𝑷
𝑺𝟐= −
−1.54
3.045= 0.5326 𝑽𝟑
𝑷 = 𝒎𝟑 + 𝒂𝟐𝜽𝟐𝑷 = 0.44 + 0.96 0.5386 = 0.957
𝜽𝟑𝑷 = −
𝑽𝟑𝑷
𝑺𝟑= −
0.997
3.3023= −0.2893 𝑽𝟒
𝑷 = 𝒎𝟒 + 𝒂𝟑𝜽𝟑𝑷 = 0.29 + 0.845 −0.2893 = −0.5345
𝜽𝟒𝑷 = 𝜽𝟒 = −
𝑽𝟒𝑷
𝑺𝟒= −
−0.5345
1.4741= 0.3626
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
ETAPA COMPLEMENTARIA
𝜽𝟑𝑪 = −
𝒂𝟑
𝑺𝟑𝜽𝟒 = −
0.845
3.3073 0.3626 = −0.0926
𝜽𝟑 = 𝜽𝟑𝑷 + 𝜽𝟑
𝑪 = −0.2893 − 0.0926 = −0.3819
𝜽𝟐𝑪 = −
𝒂𝟐
𝑺𝟐𝜽𝟑 = −
0.960
3.045 −0.3819 = 0.1204
𝜽𝟐 = 𝜽𝟐𝑷 + 𝜽𝟐
𝑪 = 0.5386 + 0.1204 = 0.6590
𝜽𝟏𝑪 = −
𝒂𝟏
𝑺𝟏𝜽𝟐 = −
0.750
1.500 0.6590 = −0.3295
𝜽𝟏 = 𝜽𝟏𝑷 + 𝜽𝟏
𝑪 = −0.92 − 0.3295 = −1.2495
Comprobación
Nudo 2
𝒂𝟏𝜽𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎
0.75(-1.2495) + 3.42(0.659) + 0.96(-0.3819) + (-0.95) = 0
CÁLCULO DE LOS MOMENTOS APLICANDO LA ECUACIÓN DE MANEY
M = Mf + Kθ + aθ’
M’ = Mf’ + K’θ + aθ
Tramo 1) M1 = 2.4 + 1.5(-1.2495) + 0.75(0.659) = 1.02 tm.
M’1 = -2.4 + 1.5(0.659) + 0.75(-0.3819) = -2.349 tm.
Tramo 2) M2 = 1.45 + 1.92(0.659) + 0.96(-0.3819) = 2.349 tm.
M’2 = -1.45 + 1.92(-0.3819) + 0.96(0.659) = -1.551 tm.
Tramo 3) M3 = 1.89 + 1.69(-0.3819) + 0.845(0.3626) = 1.551 tm.
M’3 = -1.89 + 1.69(0.3626) + 0.845(-0.3819) = -1.60 tm.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
TEORÍA ELÁSTICA
𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟒𝑫 + 𝟏. 𝟕𝑳 𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟒 𝑪𝑴 + 𝟏. 𝟕 𝑪𝑽
𝑪𝑴 + 𝑪𝑽
𝑴𝒖 = 𝒇𝟏𝑴(𝑫+𝑳) = 𝟏. 𝟓 − 𝟏. 𝟔 𝑽𝒖 = 𝒇𝟏𝑽(𝑫+𝑳)
2do Ejemplo
PÓRTICO DE UN PISO SIN DESPLAZAMIENTO (CADENA ABIERTA)
𝑲 =𝑰
𝑳 𝑲 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐𝑳 𝑴 =
𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐 𝑴𝒗 =
𝑷𝑳𝟐
𝟐
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Comprobación
Nudo 2
𝒂𝟏𝜽𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎
1.77(-0.28755) + 13.4604(0.12359) + 2.2857(-0.06665) -1 = 0.00003 = 0
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Momentos de Viga:
Mv1 = 2.53 + 3.556(-0.28755) + 1.778(0.12359) = 1.724 tm
M’v1 = -2.53 + 3.556(0.12359) + 1.778(-0.28755) = -2.602 tm
Mv2 = 1.53 + 4.5714(0.12359) + 2.2857(-0.06665) = 1.943 tm
M’v2 = -1.53 + 4.5714(-0.06665) + 2.2857(0.12359) = -1.552 tm
Mv3 = 2.0 + 4(-0.06665) + 2.0(0.08705) = 1.905 tm
M’v3 = -2.0 + 4(0.08705) + 2.0(-0.06665) = - 1.795 tm
Mv4 = 1.125 + 5.339(0.08705) + 2.6665(0) = 1.589 tm
M’v4 = - 1.125 + 5.339(0) + 2.6665(0.08705) = - 0.892 tm
Momentos de Columnas:
Mc1 = 0 + 2.25(-0.28755) + 1.125(0) = - 0.647 tm
M’c1 = 0 + 2.25(0) + 1.125(-0.28755) = - 0.324 tm
Mc2 = 0 + 5.333(0.12359) + 0 = 0.659 tm
M’c2 = 0 + 0 + 2.6662(0.12359) = 0.3295 tm
Mc3 = 0 + 3.339(-0.06665) + 1.125(0) = -0.355 tm
M’c3 = 0 + 0 + 1.125(-0.06665) = -0.175 tm
Mc4 = 0 + 2.25(0.02705) + 1.125(0) = 0.19586 tm
M’c4 = 0 + 0 + 1.125(0.02705) = 0.09793 tm
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
ECUACIÓN DE DESPLAZAMIENTO (PORTICO CON DESPLAZAMIENTO)
PÓRTICOS SIMÉTRICOS
Cuando se realiza en estado de carga vertical no sufre desplazamientos.
Cuando se realiza en estado de carga sísmica si sufre desplazamientos.
PÓRTICOS NO SIMÉTRICOS.
Se realiza a estado de carga vertical y sísmica sufre desplazamiento.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫
𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃𝚫
𝑷 + 𝑸 = Σ𝐻´𝑓 + Σ(𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ + 𝑏Δ + 𝑀´𝑓 + 𝐾′𝜃 + 𝑎𝜃 + 𝑏′Δ)
𝑯′ = 𝐻′𝑜 + (𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ + 𝑏Δ + 𝑀´𝑓 + 𝐾′𝜃 + 𝑎𝜃 + 𝑏′Δ)
𝑯′ = 𝐻′𝑜 +𝑀𝑓 + 𝑀′𝑓
𝐿 +
𝐾 + 𝑎
𝐿 𝜃 +
𝐾 + 𝑎
𝐿 𝜃′ +
𝑏 + 𝑏′
𝐿 Δ
𝑯′ = 𝑯𝒇 + 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝒕𝚫
𝚺𝑯′ = 𝚺𝑯′𝒇 + 𝚺(𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′) + 𝑻𝚫
𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′
𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′𝒇 + 𝚺(𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′) + 𝑻𝚫
𝐻 = 𝐻𝑜 −𝑀 + 𝑀′
𝐿
𝑄 = 𝑀𝑓 + 𝑀′𝑓
𝐻′ = 𝐻′𝑜 −𝑀 + 𝑀′
𝐿
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𝑸 = 𝑯𝒇 + 𝑯′𝒇
𝑸 = 𝚺(𝑯𝒇 + 𝑯′𝒇)
(𝑸 = 𝚺𝑯′𝒇) = 𝚺𝑯 𝒇
𝑷 + 𝚺𝑯𝒇 =
S = fuerza de pisos
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
ECUACIÓN DE LOS 5 GIROS
Mi M´d
MS
M´I
MdM´i
M´S
MI
𝑀′ 𝑖 + 𝑀𝑑 + 𝑀′𝑆 + 𝑀𝐼 = 0
𝑀′ 𝑖 = 𝑀′𝑓𝑖 + 𝐾′ 𝑖𝜃 + 𝑎𝑖𝜃𝑖
𝑀 𝑑 = 𝑀𝑓𝑑 + 𝐾 𝑑𝜃 + 𝑎𝑑𝜃𝑑
𝑀′𝑠 = 𝑀′𝑓𝑆 + 𝐾 𝑠𝜃 + 𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑏′Δ𝑆
𝑀 𝐼 = 𝑀𝑓𝐼 + 𝐾
𝐼𝜃𝐼 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 + 𝑏𝐼Δ𝐼
𝟎 = 𝚺𝑴𝒇 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝒔𝜽𝒔 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝒃𝑺𝚫𝑺 + 𝒃𝑰𝚫𝑰
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫
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Ecuaciones de equilibrio por deformación
Giros .- Deformaciones Angulares
Desplazamientos.- Deformaciones lineales
𝑺 = 𝑷 + 𝚺𝑯𝒇
𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠: 𝑲 =𝟒𝑰
𝑳; 𝒂 =
𝑲
𝟐 ; 𝒃 =
𝑲 + 𝒂
𝑳 ; 𝒃′ =
𝑲′ + 𝒂
𝑳; 𝒕 =
𝒃′ + 𝒃
𝑳
𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 ; 𝑺 = 𝚺𝑷 + 𝚺𝑯𝑭
𝒎 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝒃′𝑺𝚫𝑺 + 𝒃𝑺𝚫𝑰 = 𝟎
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫
Chequeo en caso de programa S. Simetricas Δ1 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Δ2 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8 Δ3 Θ9 Θ10 Θ11 Θ12 +m=0
-S = 0
T1 b1 b2 b3 b4 -S1=0
b1 A1 V1 b'5 a5 +m1=0
b2 V1 A2 V2 b'6 a6 +m2=0
b3 V2 A3 V3 b'7 a7 +m3=0
b4 V3 A4 b'8 a8 +m4=0
b'5 b'6 b'7 b'8 T2 b5 b6 b7 b8 -S2=0
a5 b5 A5 V5 b'9 a9 +m5=0
g a6 b6 V5 A6 V6 b'10 a10 +m6=0
a7 V6 A7 V7 b'11 a11 +m7=0
a8 V7 A8 b'12 a12 +m8=0
b'9 b'10 b'11 b'12 T2 b9 b10 b11 b12 -S3=0
a9 b9 A9 V9 +m9=0
a10 b10 V9 A10 V10 +m10=0
a11 b11 V10 A11 V11 +m11=0
a12 b12 V11 A12 +m12=0
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RESOLUCIÓN DE PÓRTICOS, POR RIGIDECES SUCESIVAS Y GIROS ADELANTADOS
Haciendo un resumen de lo anterior
tenemos que en un pórtico como el de la
figura A a estado de CARGA VERTICAL si es
simétrico, tanto en claro como en carga no
sufre desplazamiento, existe entonces en
equilibrio.
Cuando el pórtico es no simétrico, es decir
cargas diferentes en bandos el pórtico sufre
desplazamiento.
La estructura sometida a un estado de carga
SÍSMICA sufre desplazamiento
Pórticos no simétricos
SIMPLIFICACIONES POR SIMETRÍA
𝑴𝒇 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐
* viga elásticamente sustentada a carga simétrica.
𝑴 = 𝑴𝒇 = 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 − 𝒂𝜽 =
𝑴𝒇 + 𝑲 − 𝒂 𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝑺𝜽 ; 𝑲𝑺 = 𝑲 − 𝒂
𝑴′ = 𝑴𝒇 + 𝑲′𝜽 + 𝒂𝜽 = 𝑴′𝒇 − 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽 = −𝑴𝒇 − 𝑲 − 𝒂 𝜽 = − 𝑴𝒇 + (𝑲 − 𝒂)𝜽
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SIMPLIFICACIÓN DE PÓRTICOS CON NÚMERO IMPAR DE TRAMOS
La simplificación de pórticos consiste en tomar la mitad del pórtico, debido a su
simetría, abreviamos el cálculo.
Pórtico simétrico y carga vertical simétrica.
* momento 𝑀𝑓 =𝑃𝐿2
2
12 ; el tramo se tomará totalmente (L2)
* La viga ésta elásticamente empotrada
Simplificación de pórticos con número par de tramos
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Simplificación por antimetría.-
𝑴 = 𝑴𝒇 + (𝑲 + 𝒂)𝜽
𝑲𝒂 = 𝑲 + 𝒂 = 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑀 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾 + 𝑎 𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝑎𝜃
𝑀′ = 𝑀′𝑓 + 𝐾𝜃′ + 𝑎𝜃 = 𝑀′𝑓 + 𝐾𝜃′ + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾 + 𝑎 𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝑎𝜃
Simplificación en pórticos simétricos a carga antimetrica y número impar
de tramos
=
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con numero par de tramos
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫
𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃𝚫
𝑽 = 𝑽𝒇 + 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽 + 𝒕𝚫
𝑽′ = 𝑽′𝒇 + 𝒃𝜽 − 𝒃′𝜽′ − 𝒕𝚫
𝒕 =𝒃 + 𝒃′
𝑳 ; 𝒂 =
𝑲
𝟐 ;
𝒃 =𝑲 + 𝒂
𝑳 ; 𝒃′ =
𝑲′ + 𝒂
𝑳
Pórtico simétrico a carga vertical simétrica
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Cuadro de rigides
𝑲 =𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐𝑳
Cuadro de momentos
𝑴𝒇 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐
Matriz de rigidez
𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒂 =𝑲
𝟐 ; 𝑺𝒄 = 𝑨 −
𝒂𝟐
𝑺𝒊 ; 𝑨𝒏𝒕. = 𝑨 + 𝒂𝒔 + 𝒂𝒊
𝑨 = 𝚺𝑲 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑑𝑜
𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 (𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑓 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑑𝑜)
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Ecuación de los 5 giros
𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎
𝑨 = 𝑲𝒊 + 𝑲𝒅 + 𝑲𝑺 + 𝑲𝑰
𝑨 = 𝑲𝒊 + 𝑲𝒅 + 𝒂𝑺 + 𝑲𝑰𝒂𝑰
Ant.= A + cs + a2
Cadena abierta
𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴𝑛𝑡 𝜃 + 𝑚 = 0
𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 + 𝐴𝜃 + 𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝑚 = 0
𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴 + 𝑎𝑠 + 𝑎𝐼 𝜃 + 𝑚 = 0 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴𝜃 + 𝑚 + 𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 = 0
Corrección de nudos externos
𝑺𝒊 = 𝑨 𝒊+𝟏 −𝒂𝟐
𝑨𝒊
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Comprobación con la ecuación de los 5 giros.
Nudo 3.
𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎
2.605(0.05230) + 1.4065 (-0.09231) + 13.357(-0.0611) + 2.667(-0.01623) + 1.125 = 0
Momentos aplicando las ecuaciones de Maney
Vigas:
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽
Columnas:
𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′
𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Cuadro de momentos
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
DIAGRAMA DE MOMENTOS
PÓRTICOS CON DESPLAZAMIENTO MÉTODO C
* Pórtico de un solo tramo y simétrico
** Las vigas deben ser de sección constante o
variable.
*** Columnas de sección constante y altura igual
para cada piso.
0.345
-1.272
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Ecuaciones de Maney
𝑴 = 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃∆
𝑴′ = 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃′∆
Análisis de tramo de columna
𝑴 = 𝑲𝜽 +𝑲
𝟐𝜽′ +
𝟏.𝟓𝑲
𝑳∆
𝑴′ = 𝑲𝜽′ +𝑲
𝟐𝜽 +
𝟏. 𝟓𝑲
𝑳∆
Donde:
𝑴 = 𝑲𝜽 +𝑲
𝟐𝜽′ + 𝑲𝑺
𝑴′ = 𝑲′𝜽′ +𝑲
𝟐𝜽 + 𝑲𝑺 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑴𝒂𝒏𝒆𝒚
ECUACIONES DE CORTANTES
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫 T = Σt (sumatoria de todos los t de columnas del piso)
𝚫 =𝑺 − 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′
𝑻 𝑡 =
𝑏 + 𝑏′
𝐿=
1.5𝐾
𝐿+
1.5𝐾
𝐿
1
𝐿=
3𝐾
𝐿2
𝑏 =𝐾 + 𝑎
𝐿=
𝐾 +𝐾2
𝐿
𝑏′ =𝐾 + 𝑎
𝐿=
𝐾′ + 𝑎
𝐿=
1.5𝐾
𝐿
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
𝚫 =𝑺
𝟑𝑲𝑳𝟐
−𝚺
𝟏. 𝟓𝑲𝑳 𝜽 +
𝟏. 𝟓𝑲𝑳 𝜽′
𝟑𝑲𝑳𝟐
𝚫 =𝑺
𝟑𝑲𝑳𝟐
−
𝟏. 𝟓𝑲𝑳 (𝜽 + 𝜽′)
𝟑𝑲𝑳𝟐
=𝑺𝑳𝟐
𝟑𝑲−
𝑳(𝜽 + 𝜽′)
𝟐
𝟏. 𝟓𝚫
𝑳=
𝟏. 𝟓
𝑳 𝑺𝑳𝟐
𝟑𝑲−
𝑳 𝜽 + 𝜽′
𝟐
𝑺 =𝑺𝑳
𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′
Remplazando en la ecuación de Maney tenemos
𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 +𝑲
𝟐𝜽′ + 𝑲
𝑺𝑳
𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′
𝑴 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳
𝟐 + 𝑲 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽 +
𝑲
𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′
𝑴 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳
𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽 − 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽′
𝑴 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝜽 + 𝑪𝜽′
* Ms = momento de empotramiento debido a la fuerza de piso
𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳
𝟐 𝒚 𝑪 =
𝑲
𝟒
para M’, tenemos:
𝑴′ = 𝑴𝒇′ + 𝑲𝜽′ +𝑲
𝟐𝜽 + 𝑲
𝑺𝑳
𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′
𝑴′ = 𝑴𝒇′ +𝑺𝑳
𝟐 + 𝑲 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′ +
𝑲
𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′
𝑴′ = 𝑴𝒇′ +𝑺𝑳
𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽′ − 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽
𝑴′ = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝜽′ − 𝑪𝜽′
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE MOMENTO
𝑀𝑣 + 𝑀′𝑠𝑣 + 𝑀𝐼 = 0
𝑴𝒗 = 𝑴𝒇 + 𝑲 + 𝒂 𝜽
𝑴′𝒔 = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝒔𝜽 − 𝑪𝒔𝜽𝒔
𝑴𝑰 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝑰𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰
𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑴′𝒔 + 𝑴𝑺 + 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰 𝜽 − 𝑪𝑺𝜽𝑺 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 donde;
𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 = 𝒎𝒇 + 𝑴′𝒔 + 𝑴𝒔 𝑨 = 𝚺𝑲 = 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰
−𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝑨𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 + 𝒎 = 𝟎 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝑴𝒆𝒕ó𝒅𝒐 𝑪 𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒈𝒊𝒓𝒐𝒔
Ejemplo
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Cálculo de los Momentos de empotramiento
𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳
𝟐 ; 𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +
𝑺𝑳
𝟐 ; 𝑴𝑭 = 𝟎 ; 𝑴𝒔 = 𝑴′𝒔 =
𝑺𝑳
𝟐
Cálculo de los giros (cadena abierta o ecuación de los tres giros)
𝑨 = 𝚺𝑲 = 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰 −𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝑨𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 + 𝒎 = 𝟎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FINALES
Ecuaciones de Maney 𝑴′ = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝜽′ − 𝑪𝜽′ 𝑴 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝜽 + 𝑪𝜽′
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Comprobación
𝑺 =𝚺𝑴𝒄
𝑳 𝑺 = 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒑𝒊𝒔𝒐
𝑺𝟒 =𝟑. 𝟖𝟒𝟑 + 𝟐. 𝟒𝟎𝟕
𝟐. 𝟓= 𝟐. 𝟓 𝑻𝒏
𝑺𝟑 =𝟔. 𝟑𝟔𝟎 + 𝟒. 𝟖𝟗𝟎
𝟐. 𝟓= 𝟒. 𝟓 𝑻𝒏
𝑺𝟐 =𝟖. 𝟐𝟖𝟓 + 𝟕. 𝟑𝟒𝟎
𝟐. 𝟓= 𝟔. 𝟐𝟓 𝑻𝒏
𝑺𝟏 =𝟖. 𝟑𝟓𝟔 + 𝟏𝟒. 𝟖𝟗𝟔
𝟑. 𝟔= 𝟕. 𝟕𝟓 𝑻𝒏
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
2DO TRABAJO PÓRTICO SIMÉTRICO A CARGA HORIZONTAL
Simplificación antimetrica
factores F 2.5 – 3.00
𝐹 = 1 + 2 Σ𝐾𝑣𝑄
Σ𝐾𝑣
𝐹 Σ𝐾𝑣 + 𝐾 + 𝑎
Donde
F1= 2.92
F2=2.91
F3= 2.94
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Aplicación del pórtico equivalente
𝑆 = Σ𝑃 + Σ𝐻𝐹
F debe estar entre (2.5 – 3.00)
Cálculo de los momentos Ms
𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳
𝟐= 𝑴′𝒔
𝑴′𝒔 = 𝑴𝒔 =𝑺𝑳
𝟐
Momentos Ms = M’s
Cálculo de θ por cadena abierta
Cálculo de los desplazamientos
𝜹 =𝑺𝑳
𝟐𝚺𝑲𝒄= 𝟎. 𝟕𝟓(𝜽 + 𝜽′)
𝜹𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟏 ; 𝜹𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟔𝟏 ; 𝜹𝟑 = 𝜹𝟏 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟒𝟎
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Calculo de los momentos por desplazamiento
Cálculo de los giros y momentos por las ecuaciones de Maney
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Momentos
Cuadro de momentos: resumen
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Diagrama de momentos
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
PÓRTICO NO SIMÉTRICO A CARGA VERTICAL
𝑷 = 𝟏. 𝟐𝟏𝟔𝑻
𝒎𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒑𝒊𝒔𝒐 𝑷 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔
𝑻
𝒎𝟐(𝒕𝒆𝒓𝒓𝒂𝒛𝒂)
Cálculo de Momento de empotramiento
𝒎 = 𝚺𝑲 𝑴𝒇 =𝑷𝑳𝟐
𝟏𝟐 𝑴𝒗 =
𝑷𝑳𝟐
𝟐
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Momentos de empotramiento
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS
Calculo de los giros
42.53 75.38
74.825
47.54
45.72
32.35
24.61
24.70
A=
11.4
2.285 0
03.208
03.208
a = 6.70
1.5
0
2.7
75
4.1
6
7.5
95
2.11252.1133
-0.1358-0.1357
0.0286
2.7706 2.7595
-0.11497-0.11446
0.075970.07877
2.4638 -0.05647-0.05831
0.08334
An=30.35
82.02
81.42
53.68
52.698
38.49
36.97
22.54
19.96
a = 6.70 a = 9.77
0.02820.20380.2177
a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77
a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77
78.23 126.80
126.23
03.2082.0039 -0.02564
-0.025240.06415
132.94
132.58
a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77
92.76 147.275
03.2082.4639 -0.02799
-0.028550.00968
153.415a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77
10
.415
1.9726
25
.00
An=110.645
0.010320.01018
0.0025560.002414
16
.945
An=176.23
0.06494-0.000293-0.000264
33
.055
147.990
0.00063010.0007274
-1.873-1.7886-1.7886
0.026440.02828
-2.63-2.4085-2.4107
0.030410.03047
-2.63-2.22681 -0.018176
-2.63-1.9485-1.9485
0.010518
-2.63-2.2823 0.011034
0.01182
2.7
75
An=56.09 An=63.068 An=26.729
7.5
95
-0.018537
0.010533
153.110
-1.663-1.5545-1.5545
0.057620.056706
1.5
0
25.54
23.729
-2.335-2.1448-2.1449
0.072340.07232
1.5
0
27.30
26.30
-2.335-2.0932-2.098
0.069190.07005
32.60
31.88
-2.335-1.9287-1.9257
0.0560100.055914
34.10
33.48
-2.335-2.1026 0.05823
0.05874
16
.945
7.3
8
An=182.58 An= 38.41
33
.055
4.1
5
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Cuadro de Momentos
Vigas: 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Columnas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽
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Cálculo de a Fuerza de Piso S Método C
𝑺 =𝚺 𝑴𝒄+𝑴′ 𝒄
𝑳
Columnas: 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Vigas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽
134.9538
138.3858136.2840
158.0685154.2716
191.3670187.7448
205.1285193.7959
m-0.1014 0.00759
-0.0481 0.000233-0.0448
-0.1794 - 0.001256-0.173977
0.0663 - 0.0004550.093979
-0.0593 0.000187-0.03630
- 4.2
75
- 10.4
2-
23
.34
25
- 46.1
3-
37.5
875
𝛿 =𝑆𝐿
2𝐾− 0.75 𝜃 − 𝜃′
𝛿5 =−0.1014
17.1− 0.75 0.000759
+ 0.000233
= −0.006674
𝛿4 =0.0053
41.68− 0.75 0.000233
+ 0.001256
= 0.002046
𝛿3 =−0.1261
93.37− 0.75 0.0012
− 0.000455
= 0.002634
𝛿2 =−0.0598
184.52− 0.75 −0.000455
+ 0.000187
= −0.000123
𝛿1 =0.0005
150.35− 0.75 0.000187
= −0.000137
desplazamiento
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Cuadro de Momentos (por desplazamiento)
Columnas: 𝑴 = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑲′𝜹 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Vigas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽
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Cuadro de momentos finales o carga vertical
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Diagrama de momentos
4to piso alto
5to piso alto
3er piso alto
2do piso alto
1er piso alto
planta baja
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FACTOR F POR EL MÉTODO ELÁSTICO
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫
𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝑻𝚫 para un solo piso
K = K’
𝒃 = 𝒃′ =𝑲 + 𝒂
𝑳=
𝟏. 𝟓𝑲
𝑳 𝒕 =
𝒃 + 𝒃′
𝑳=
𝟐𝒃
𝑳=
𝟑𝑲
𝑳𝟐
𝑻 = 𝚺𝒕 𝑻 = 𝚺 𝟑𝑲
𝑳𝟐 =
𝟑
𝑳𝟐𝚺𝑲𝒄
𝑺 = 𝟏. 𝟓𝑲
𝑳𝜽 +
𝟑𝚫
𝑳𝟐𝚺𝑲𝒄
𝜹 =𝟏. 𝟓𝚫
𝑳 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑺 =𝟏. 𝟓
𝑳𝚺 𝑲𝒄. 𝜽 + 𝟐𝜹𝚺𝑲𝒄 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜
𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜽 = 𝜽𝒃 + 𝜽𝒊𝜹
𝜽 = 𝜽𝒊𝜹
Remplazando en la ecuación de cortante tenemos:
𝑺 =𝟏. 𝟓
𝑳𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊𝜹 +
𝟐𝜹
𝑳𝚺𝑲𝒄
𝑺 =𝟏. 𝟓
𝑳𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊 + 𝟐𝜹𝚺𝑲𝒄
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(1)
𝜹 =𝚺𝑳
𝟏. 𝟓𝚺 𝒌𝒄𝜽𝒊 + 𝟐𝚺𝑲𝒄
Desplazamiento en pórticos de un solo piso 𝜃𝑖= giro de influencia
𝜃𝑖 → 𝛿 = 1
Columnas
Mf = Kδ = K
Mf = Kδ = K
Pórtico Equivalente
* a este pórtico le aplicamos el método C
Con la fórmula de método C, calculamos δ
𝜹 =𝑺𝑳
𝟐𝚺𝑲𝒄− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′ =
𝑺𝑳
𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝜽
El desplazamiento del pórtico usando el método de C
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𝛿 =𝑆𝐿
2Σ𝐾𝑐− 0.75 −
𝑆𝐿2
𝐹Σ𝐾𝑣 +Σ𝐾𝑐
4
2 𝜹 =𝑺𝑳
𝟐𝚺𝑲𝒄+
𝟒. 𝟓 𝑺𝑳
𝟒𝑭𝚺𝑲𝒗 + 𝚺𝑲𝒄
Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:
𝑆𝐿
2Σ𝐾𝑐
1.5𝑆𝐿
4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝐾𝑐=
𝑆𝐿
1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐
𝑆𝐿 4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝑘𝑐 + 1.5 2Σ𝐾𝑐 𝑆𝐿
8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2=
𝑆𝐿
1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐
4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝑘𝑐
8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2=
1
1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐
4𝐹Σ𝐾𝑣 + 4Σ𝐾𝑐 1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐 = 8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2
𝐹 = Σ𝐾𝑐 2 + Σ𝐾𝑐 𝛴 𝐾𝑐𝜃𝑖
Σ𝐾𝑣 + Σ𝐾𝑐𝜃𝑖= −
Σ𝐾𝑐
Σ𝑘𝑣 Σ𝐾𝑐 + Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖
Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖
𝑭 = −𝚺𝑲𝒄
𝚺𝒌𝒗 𝚺𝑲𝒄 + 𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊
𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊
𝑀 = 𝐾𝛿 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′
𝛿 = 1 𝑀𝑓 = 𝐾
* para pórtico de un solo piso
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* para pórtico de más pisos
𝜮𝑲 = 𝑲𝒗𝟏 + 𝑲 + 𝒂
Kv1 Kv2
K+a K+a K+a
K+a K+a K+a
K+a K+a K+a
K+a K+a K+a
K K K
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RESUMEN DE MOMENTOS O CARGA VERTICAL
Vigas 1era etapa 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽 2da etapa 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽 Columnas: 1era etapa 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 2da etapa 𝑴 = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽
La sumatoria de la segunda etapa, nos da momentos definitivos existen dos etapas de
pórticos:
Pórticos con desplazamientos; y Pórticos sin desplazamientos
Ejemplo de pórticos sin desplazamiento.-
Si el pórtico no desplaza, solo sufre giro (efectos); es decir las deformaciones son las
incógnitas:
* los giros se producen uno por cada nudo.
** los desplazamientos se producen uno por cada piso
*** el nudo se considera indeformable
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Carga Vertical 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽 + 𝒂𝜽 + 𝒃′𝚫 Carga Sismica 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽 + 𝒂𝜽
Ejemplo de Pórticos a carga vertical.- (no sufren desplazamientos), podemos hacer la
simplificación por simetría.
Pórtico con número impar de tramos (no sufren desplazamiento)
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Viga 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Columna 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 sin desplazamiento Con numero par de tramos (no sufre desplazamiento)
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3.) Cálculo de rigideces
4.) Cálculo de momento de empotramiento a carga vertical en vigas
𝑀′𝑓 = 𝑀𝑓 =𝑃𝐿2
12
5.) Cálculo de la matriz de rigideces A = ΣK
6.) Cálculo de giros θ y θ’ por giros adelantados
𝒎 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒗𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝒗𝒊𝜽𝒗𝒊 + (𝒂𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑪𝑰𝜽𝑰) = 𝟎
* cadena abierta resuelve la ecuación de los tres giros
7.) Cálculo de momentos finales por medio de las ecuaciones de Maney.
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Pórticos no simétricos a carga vertical
1.) Este pórtico si se desplaza y se calcula en dos etapas.
2.) Calculo de rigideces
1era etapa (sin desplazamiento)
P = p
Δ = 0
2da. Etapa (desplazamiento)
P = 0
Δ = Δ
3.) Etapa P = P Δ = 0