Date post: | 10-Dec-2015 |
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Funciones
Continuidad de una función
Tipos de discontinuidad
Funciones definidas por tramos
Continuidad de Funciones 1
Una función f(x) es continua en un punto x = a
si cumple:
Continuidad de Funciones
1. Existe f(a)
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos
que la función es discontinua en x = a
limxa
f (x) limxa
f (x) limxa
f (x)2. Existe
limxa
f (x)3. Se cumple que f(a) =
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
limx2
x21x2
50
3 Continuidad de Funciones
f (x) x21x2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2
será una punto de discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que
tipo de discontinuidad tenemos.
Evidentemente no existe f(2)
No se puede
dividir por 0
limx2
x21x2
50
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
Números muy pequeños
pero negativos:
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Números muy pequeños
pero positivos:
2,10 - 2 = 0,1
2,01 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función
discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los
límites laterales)
4 Continuidad de Funciones
Veamos la gráfica de la función:
f (x) x21x2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
5 Continuidad de Funciones
Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida por tramos:
f (x)
5 x2
x26x10 2x54x15 x5
Aquí tenemos una recta
horizontal, paralela al eje de
abcisas X. Siempre es
continua en su intervalo de
definición.
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los
casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir
algún cambio respecto a la continuidad
6 Continuidad de Funciones
Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
7 Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
limx2
55
f (x)
5 x2
x26x10 2x54x15 x5
limx2
x26x102
f (2)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2,
donde se produce un salto de 3 unidades.
8 Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
limx5
x26x105
f (x)
5 x2
x26x10 2x54x15 x5
limx5
4x155
f (5)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
9 Continuidad de Funciones
Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
f (x) x23x2x1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. limx1
x23x2x1
0
0 lim
x1
x1 x2 x1
limx1
x2 1
limx1
x23x2x1
0
0 lim
x1
x1 x2 x1
limx1
x2 1
limx1f (x) f (1) que no existe
10 Continuidad de Funciones
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
11 Continuidad de Funciones
Otro ejemplo de una función con discontinuidad
“de 1ª Especie con salto ∞”
f (x) x23x2x3
Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3
1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio
2 23 2lim
3 032. x x
xx
2 23 2lim
3 03
x xxx
3 3lim ( ) lim ( )x x
f x f x unidades
f(x) es discontinua de 1ª especie con
salto de
12 Continuidad de Funciones
Veamos ahora la gráfica de la función
13 Continuidad de Funciones
Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
Si estudiamos caso x = -1
1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio
3 98lim
3 2 1 012. x x
x x xx
3 98lim
3 2 1 01
x x
x x xx
f(x) es discontinua evitable en el
infinitode 1ª especie en el infinito
3 8( )
3 2 1
xf x
x x x
Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)
14 Continuidad de Funciones
Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }
Si estudiamos caso x = 1
1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
3 78lim
3 2 1 012. x x
x x xx
3 78lim
3 2 1 01
x x
x x xx
3 8( )
3 2 1
xf x
x x x
f(x) es discontinua de 1ª especie con
salto de 3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x unidades
15 Continuidad de Funciones
A.H. y= -1
A.V. x= 1 A.V. x= -1
Veamos la gráfica de esta función:
16 Continuidad de Funciones
Fin del ejercicio