LÍMITES

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la izquierda?

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la derecha?

Definición de límite

El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»

Se denota por:

Existencia del límite

El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los límites laterales por la izquierda y por la derecha, ¿qué concluye?

Como: =

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1?

y

x1 5

3

2

2f(x)lim1x

2f(x)lim-x

12f(x)lim

x

1

x1 5

2

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

existenof(x)lim1x

1f(x)lim-x

12f(x)lim

x

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

y

x1 5

3

2

1

2f(x)lim1x

El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en

x=1

2f(x)limx

12f(x)lim-x

1

1f(1)

Dado el gráfico de f(x) :

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlimlimlim

2x0x

3x3x

Propiedades de los límites g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

axaxax

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)limaxaxax

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)limaxaxax

g(x)limKK.g(x)limaxax

n

ax

n

axf(x)limf(x)lim

1

2

3

4

5

Pasos para calcular límites

Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.

Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.

Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -

Evaluar los siguientes límites

x 0

x 4 2xlim

x 4 2 x 4 2

x x 4 2

x 4 4x x 4 2

x 4 4

x x 4 2x

x x 4 2 1

x 4 2

x 0 x 0

x 4 2 1x x 4 2lim lim

1

0 4 2 2

1

2 x 0

1x 4 2lim

4

1

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

x 0

1 x 1 xxlim

1 x 1 x 1 x 1 x

x 1 x 1 x

1 x 1 xx 1 x 1 x

1 x 1

xx 1 x 1 x

2 xx 1 x 1 x

2

1 x 1 x

x 0 x 0

1 x 1 x 2x 1 x 1 xlim lim

x 0

21 x 1 xlim

2

1 0 1 0 1

2

1 2

21

Ejemplo 3:

2

3 2x 1

1/3x x 2

x 4x 3xlim

23

1/3x x 1

x x x 1

2 x x 1

3 x x x 1

1/3

23

1/3x

x x

23

2

3 2x 1 x 1

1/31/3x x 2 x

x 4x 3x x xlim lim

23

x 1

1/3x

x xlim 23

1/31

1 13

2

1/33 3

2

Ejemplo 4:

2x 2

x 2lim4 x

x 2

2 x 2 x 2

x 24 x

2 x2 x 2 x

2 x

2 x 2 x 12 x

1

x 2 x 2lim lim2

x 24 x 2 x

1

x 2

lim 2 x 1

2 2

14

Ejemplo 5:

2 2x a

x b a blim , a > bx a

x b a b x b a bx a x a x b a b

x b a +b

x a x a x b a b

x a

x a x a x b a b

1

x a x b a b

1

x a x alim lim2 2

x b a bx a x a x b a b

1

x alim x a x b a b

1

a a a b a b1

a a b

1

a ba a b a b

a ba a b

Ejemplo 6:

2

x 4

4x xlim2 x

24x x2 x

x 4 x 2 x2 x 2 x

x 4 x

2 x

4 x x 2 x

x 4 x 4lim lim

24x x x 2 x2 x

x 4lim x 2 x 4 2 4 16

Ejemplo 7:

2

3x

x + x + 2limx + x +1

1 2

1 1

22

32 3

x 1 + +x x

x 1 + +x x

2x 1 2 2

3

1 + +x x

x 1 1 2 31 + +

x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

x xlim lim

2 2

3

2 3

1 + +x + x + 2 x x x + x +1 x 1 + +

x x

1 2

1 1

xlim

2

2 3

1 + +x x

x 1 + +x x

1 2

1 1

2

2 3

1 + +

1 + +

0 00 0

1 + +1 + +

1

0

Ejemplo 8:

4 2

4 2x

2x 3x + 6lim3x 5x + 3

3 6

5 3

42 4

42 4

x 2 + +x x

x 3 +x x

3 6

5 3

4 2 2 4

4 2

2 4

2 + +2x 3x + 6 x x 3x 5x + 3 3 +

x xx xlim lim

0 00 0

2 + +3 +

23

4x 3 6 2 4

4

2 + +x x

x 5 3 2 43 +

x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +x x

3 +x x

xlim

3 6

5 3

2 4

2 4

2 + +

3 +xlim

Ejemplo 9:

5 3

2x

4x 3x +1limx x +1

3 1

1 1

52 5

22

x 4 + +x x

x 1 +x x

3 1

1 1

35 3 2 5

2

2

x 4 + +4x 3x +1 x x

x x +1 1 +x x

x xlim lim

5x 3 1 2 5

2

4 + +x x

x 1 1 21 +

x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

3 1

1 1

32 5

2

x 4 + +x x

1 +x x

xlim

3 1

1 1

32 5

2

4 + +=

1 +

0 00 0

3 4 + +=

1 +3= =

Ejemplo 10:

3

2

x

2x +1limx 5

3 3

22

12 +x2x +1 5x 5x

x xlim lim

3

2

12 +=

5

3

22

1x 2 +x

x 5 3

2

1x 2 +x

x 5 3

2

x 12 +x x

x 5x x

xx

3

2

12 +x

xx

5x

3

2

12 +x5x

3

2

12 +x

5x

xlim 0

3 0

2 +=

23

=

Conclusión:

x

f(x)lim =g(x)Dad

o:Si [f(x)]º < [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim = 0g(x)

Si [f(x)]º > [g(x)]º, entonces:

x

f(x)lim =g(x)

Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:

x

f(x) Coeficiente del término de mayor grado de f(x)lim =g(x) Coeficiente del término de mayor grado de g(x)

Límite de una sucesión

ex1limlim )( x1

ax

n

xn

11

Ejemplo 11: n

n+311+lim n

n

n 31 11+ 1+lim n n

n n

n 31 11+ 1+lim limn n

n

311+e lim 31+0e e

n

n+311+lim n

e

Ejemplo 12: n

2n11+lim n

2

n

n11+lim n n

2n11+lim n2

n

n1lim 1+n 2e

Ejemplo 13:

n

n 111+lim n+2

2

n

n+2 111+lim n+23

n

n+211+lim n+23

n

n+21 11+ 1+lim n+2 n+2

3

n

n+211+n+2lim11+n+2

3

n

n

n+21lim 1+n+211+lim n+2

3

e11+ +2

3

e11+ 30

e

1+

e

Límites trigonométricos

1x

xSenlim0x

1x Sen

xlim0x

1x

xTglim0x

1xTg

xlim0x

0xSenlim0x

1xCos lim0x

1x

xCos1lim -0x

1x

1xCoslim -0x

5

6

7

8

1

2

3

4

x 0

Sen 3xlim2x

Ejemplo 14:

x 0

Sen 3xlim2x

x 0

Sen 3l m 3 x3

i2x

32

x 0

Sen 3xlim3x

32 x 0

Sen 3xlim3x

3 12

32

1

Ejemplo 15:

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x

x 0

Sen x 1 Cos xlim

x Sen 2x 2

x 0

Sen x 1 Cos x 1 Cos xlim

x Sen x Cos x 1 Cos x

2

2

x 0

Sen x 1 xCoslimx Sen x Cos x 1 Cos x

x 0

Sen x Sen xlim2x Sen x Cos x 1 Cos x 2 x 0

Sen xlimx Cos x 1 Cos x

1 12 x 0

Sen xlimx Cos x 1 Cos x

1 12 x 0 x 0

Sen xlim limx Cos x 1 Cos x

1 Cos 0º=1

12

2

2 22

4

Ejemplo 16:

x 0

Tg x Sen xlim1 Cos x

Tg x Sen x1 Cos x

Sen x Sen xCos x

1 Cos x1

Sen x Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

1

Sen x Cos xCos x

1 Cos x

1

Sen x Cos xCos x 1 Cos x

1Sen x Cos x

Cos x 1 Cos xSen xCos x

x 0 x 0

Tg x Sen x Sen xlim lim1 Cos x Cos x

x 0

x 0

limSen x

limCos xx 0

Sen xlimCos x

01

0

Ejemplo 17:

πx4

Tg x 1limπx4

Tg x 1πx4

πTg x Tg4

πx4

πSenSenx 4πCos x Cos4

πx4

π πSenx Cos Sen Cos x4 4

πCos x Cos4

πx4

π πSenx Cos Sen Cos x4 4

π πx Cos x Cos4 4

πSen x4

π πx Cos x Cos4 4

1

πSen x4

ππ Cos x Cosx44

Ejemplo 17:

1

π πx x4 4

πSen xTg x 1 4lim lim

π ππx Cos x Cosx4 44

1

πx4

πSen x4lim

ππ Cos x Cosx44

1

π πx x4 4

πSen x4lim lim

ππ Cos x Cosx44

11 π πCos Cos

4 4

112 2

2 2

2

Importante:

πx h4

; πSi x h4

πSi x4

h 0

1

π h 0x4

πSen xSen h4lim lim

π hx4

Por cambio de variable, tenemos:

39

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

)(lim xfax

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)

2

30,5

11

Ejemplo 18:

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);

2

3xlim

3

lim ( ) 9x

f x

3

lim ( ) 0,5x

f x

(3) 11f

limite no existe y además es discontinua

-4

-1

1

2

0x1,x

0x4,2xf(x)f(x);lim

0x

0

lim ( ) 1x

f x

0

lim ( ) 4x

f x

(0) 4f

limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 19:

43

( ) 0ANY N NB N

Ejemplo 20:

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:

El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

2

2

x100P(x) =+0,5x+0,03x

donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Ejemplo 21:

Si f(x)= x3,calcular:

h 0

f(x +h) f(x)limh

3 3

h 0

(x +h) xlimh

. ..3 2 2 3 3

h 0

+ + -3 3xx x h h +h xlimh

3

h 0

xlim. ..2 2 3 3+ + -3 3xx h h +h x

h

.

h 0

hlim

. . .2 2+3 3xx h+hh

. . .2 2

h 0 h 0

f(x +h) f(x)lim lim +3 3xx h+hh

. . .2 2

h 0lim +3 3xx h+h .. . 22 + (0)3 3x +0x . 23x