GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ . MATEMÁTICAS .
L ÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
TEORÍA .
ÍNDICE:
1. Definición de límite.
� Límite de una función en un punto.
� Idea geométrica de límite.
� Límites laterales.
� Límite en el infinito.
2. Propiedades de los límites.
� Relaciones con la suma, la resta, el producto y la división de funciones.
� Relación con la composición.
3. Álgebra del infinito. Indeterminaciones.
� Álgebra del infinito.
� Indeterminaciones.
4. Cálculo de límites.
� Límite de funciones racionales.
� Límite de funciones irracionales.
� Límite de funciones trigonométricas.
� Límite de funciones exponenciales y logarítmicas.
� Resolución de indeterminaciones exponenciales.
� Cambios de variable en los límites.
� Regla de L´Höpital.
� Infinitésimos equivalentes.
5. Continuidad de funciones.
� Definición de continuidad en un punto.
� Idea geométrica de la continuidad.
� Tipos de discontinuidad.
� Propiedades algebraicas de las funciones continuas.
� Continuidad de una función a trozos.
6. Aplicaciones de los límites.
� Asíntotas de una función.
� Estudio instantáneo, áreas y longitudes.
7. Ejemplos.
8. Apéndices.
� Sobre la definición real de límite.
1.- DEFINICIÓN DE L ÍMITE .
1.1.- Introducción.
Los límites de funciones son tendencias, es decir, queremos saber a qué se parece el valor de una
función ( )xf cuando el valor de la variable x bien se parece a un número concreto a (lo que se denomina
“límite de f cuando x tiende a a” y se escribe ax → ), bien el valor de x aumenta mucho y superando toda
barrera imaginable (lo que se denomina “límite de f cuando x tiende a más infinito” y se escribe +∞→x ) o
bien el valor de x aumenta mucho, siendo negativo, y superando toda barrera imaginable (lo que se denomina
“límite de f cuando x tiende a menos infinito” y se escribe −∞→x ).
Las definiciones son variadas, dependiendo de si el valor de la variable x se acerca a un número o se
hace infinito y también depende del valor al que se acerca la función ( )xf en dichos casos. Por suerte sólo
cambian pequeños detalles de una definición a otra.
Para quitarle hierro al asunto y dejarnos de misterios, daremos una de las definiciones que aunque no
utilizaremos sí servirá para ilustrar lo complicado que resultan cuando están escritas (aún más que explicadas).
¿Entonces para qué se sirven? No, no es para martirizar a los pobres estudiantes, sino para dar a las matemáticas
el carácter estricto que éstas necesitan al desarrollar su teoría.
Definición (límite en un punto):
Dado un número ( )*fa Dom∈ , R∈a , que sea punto de acumulación del dominio (es decir que hay
puntos del dominio tan cerca de a como queramos, sin tener en cuenta al propio punto a) y un número R∈L ,
decimos que f tiende a L cuando x tiende a a, y se denota por ( ) Lxfax
=→
lim , si para cada número 0>ε existe
otro número 0>δ tal que, si ( )fx Dom∈ con δ<−< ax0 , entonces ( ) ε<− Lxf .
El hecho de que la definición no se entienda es, en parte, porque no se entiende la notación que se
utiliza en la definición, como es el caso de ( )*fa Dom∈ , o el caso de δ<−< ax0 , en parte, porque no
estamos acostumbrados a leer este tipo de cosas y, en parte, porque el concepto matemático de límite no es de
los más fáciles de entender. Hay que decir que entender este “lenguaje” matemático no nos interesa. Sólo
entender las ideas que hay en él. Sólo cuando se trabaja con funciones verdaderamente difíciles o cuando se
quieren estudiar propiedades generales de los límites es cuando hay que acudir a la definición y trabajar con
“esa cosa de ahí…” Se puede ver un estudio un poco más detallado en el apéndice II: sobre los puntos de
acumulación, junto con algún ejemplo.
Lo común, entre las funciones que vamos a estudiar, es que el límite coincida con el valor que toma la
función en el punto de referencia, es decir, que si sustituimos la x de una función por un número muy parecido
al número a, entonces el valor será muy parecido al que se tendría si sustituyésemos por el propio a. Esa idea es
la de continuidad y ocurre casi siempre en los ejemplos que vamos a manejar ya que las funciones más
comunes son continuas. Pero no todas las funciones son continuas. Además, hay veces que no es posible
sustituir x por el valor a, pues no es un valor del dominio y no tiene sentido hallar ( )af y sin embargo sí tiene
sentido hablar del límite porque podemos tomar valores de x muy cerca del número a y manteniéndonos dentro
del dominio de f. Cuando tenemos estos problemas hay que utilizar otras estrategias más complicadas para
hallar la tendencia de la función.
La primera observación, que en general pasa desapercibida, es que no hace falta que el número a esté en
el dominio de f, pero sí que esté “muy cerca” del dominio (pegado a él en cierta forma), puesto que estudiar el
límite cuando x tiende a a requiere observar el valor de ( )xf para valores de x muy cercanos a a. Por ejemplo,
sabemos que el dominio de ( ) xxf log= es ( ) ( )+∞= ,0Dom f puesto que no tiene sentido hallar ( )0f , ya que 0log
no existe (sólo tiene sentido hallar logaritmos de números positivos). No obstante, el valor 0=a está “pegado”
al dominio y podemos tomar valores x tan cerca del 0 como queramos y ver cómo son sus alturas ( )xf . Sólo se
podrá hacer por la derecha, pues los números a la izquierda del 0, los negativos, no están en el dominio.
Decimos entonces que, aunque ( ) ( )+∞=∉ ,0Dom0 f , se puede estudiar el límite ( ) xxfxx
loglimlim00 ++ →→
= . Este es
uno de los casos donde el límite no se puede estudiar sustituyendo x directamente por el 0, al no tener sentido la
expresión que se obtiene.
Lo que aprenderemos en este tema son las estrategias para estudiar límites cuando no podamos sustituir
directamente o cuando, al sustituir, se obtengan chorradas matemáticas, llamadas indeterminaciones. En
general, cada estrategia depende de tres cosas:
� Si estamos tomando límite cuando ax → o bien límite cuando ±∞→x .
� El tipo de función que estamos estudiando: polinómica, racional, exponencial, logarítmica,
trigonométrica, mezcla, función a trozos, …
� El tipo de problema que nos encontramos cuando intentamos sustituir por el valor del número a
directamente: no se puede sustituir o bien se obtiene una indeterminación: ∞±∞ m , ∞⋅0 , 00
, ∞∞
, ∞1 ,
00 ó 0∞ .
1.2.- Definiciones.
Definición (límite en un punto a):
Dada una función ( )xf y un punto a, pegado al dominio de f, decimos que "L es el límite de ( )xf
cuando x tiende a a" si al tomar valores de x muy parecidos al número a, entonces los valores de ( )xf se
parecen mucho al número L. Esto se escribe:
( ) Lxfax
=→
lim
Hay un apéndice II: sobre la definición real de límite por si alguien se aburre o tiene curiosidad de
cómo se hacen las cosas en matemáticas en realidad (pero es un poco difícil de entender).
Geométricamente, la idea de límite es la siguiente. La expresión ( ) Lxfax
=→
lim significa que si x es un
número muy cerquita del número a, entonces ( )xf debe ser un número muy cerca del número L. Como ( )xf
representa la altura de la gráfica de f en el punto x, estamos diciendo con ( ) Lxfax
=→
lim que cuando nos
acercamos a la recta vertical ax = , la gráfica de f debe tener una altura muy parecida a L. Es muy importante
darse cuenta de que al límite NO LE IMPORTA lo que pase justo en la vertical.
Un límite puede tener tres posibles respuestas.
− El resultado es un número. Este es el caso que hemos descrito hasta ahora.
− El resultado es infinito , que se representa mediante el símbolo ∞ . Esto pasa cuando al acercarse x al
número a, el valor de ( )xf se hace cada vez más grande y, además, se hace más grande que cualquier
número que podamos pensar.
− La función hace cosas raras cuando x se parece al número a y ( )xf no se acerca a una altura determinada.
La propiedad básica de los límites es "si existe límite de una función entonces el límite es único." Esto
significa que la función se tiene que aproximar a una única altura. De lo contrario diremos que el límite no
existe.
Un concepto más delicado que el de límite es el de límite lateral . El límite lateral persigue la misma
idea que la de límite, con la única diferencia de que x se acercará al número a, solamente por la derecha o
solamente por la izquierda. Así tenemos dos límites laterales, que se escriben, respectivamente como
( ) Lxfax
=−→
lim y ( ) Lxfax
=+→
lim
Los símbolos − y + son únicamente eso, símbolos. Y expresan el lado por el que x se acerca al número a. Así,
cuando escribimos ( ) Lxfax
=−→
lim indicamos que x se acerca al número a, pero siendo más pequeño que a y
cuando escribimos ( ) Lxfax
=+→
lim indicamos que x se acerca al número a, pero siendo mayor que a.
La relación entre el límite y los límites laterales es que "el límite de una función en un punto existe
cuando existen los límites laterales y éstos coinciden."
Veamos ahora el concepto de límite de una función en el infinito. La idea de límite en el infinito es
parecida a la de límite en el punto ax = , pero en vez de acercarse x al número a, x se hace cada vez más y más
grande. Lo escribimos como
( ) Lxfx
=∞+→
lim
e indicamos con esto que, cuando x se hace cada vez más grande, llega un lugar en el que, a partir de ese lugar,
el valor de la función ( )xf es muy parecido a L. Gráficamente, esto significa que antes de ese lugar puede que
la altura de la gráfica no tenga nada que ver con la altura L, pero después de ese lugar la gráfica de L está muy
pegada a la recta horizontal Ly = y se acerca cada vez más y más.
Una forma graciosa de imaginarse un límite es imaginarse una mosca que va recorriendo la gráfica.
Cuando la mosca se va acercando al cristal, situado en la vertical ax = , el límite es L si pensamos que el
choque contra el cristal será a altura L.
Vemos que cuando nos acercamos a la vertical en 5− desde la izquierda del 5− , la gráfica va
aumentando de altura hasta alcanzar altura 4. Esto se escribe ( ) 45
=−−→
xfxlim . También vemos que al acercarnos
por la derecha, la gráfica está plana y a altura 4. En cualquier caso, las alturas se acercan a 4. Esto se escribe
( ) 45
=+−→
xfxlim . Para los límites no importa qué pasa justo en el 5− . En este caso no hay altura, lo que en el
dibujo aparece como un punto vacío. ( )fDom5∉− .
Si nos fijamos ahora qué pasa en la vertical de 3=x , vemos que las alturas por la izquierda y por la
derecha de 3 se acercan también a 4. Esto se escribe como ( ) ( ) 433
==+− →→
xfxfxxlimlim . En este caso, sí que hay
altura en la vertical del 3 y dicha altura es 6, es decir, ( ) 63 =f .
En este caso, si nos fijamos en la vertical de 7−=x , podemos ver que cuando nos acercamos a
7− por la izquierda, la gráfica va tomando altura cercana a 6. Si nos acercamos a 7− pero por la derecha,
entonces la altura de la gráfica se acerca a 3. Esta situación se escribe como ( ) 67
=−−→
xfxlim y ( ) 3
7=
+−→xf
xlim .
Vemos que justo en la vertical sí hay gráfica. Esto está representado por un punto negro "lleno" a altura 3. Por
tanto ( ) 37 =−f . Podemos hacer un análisis parecido en la vertical de 3−=x .
Si tomamos la vertical en 7=x vemos que, al acercarnos a 7 por la izquierda, la gráfica tiene una
altura cada vez más parecida a 4− , es decir, ( ) 47
−=−→
xfxlim . Sin embargo, al acercarnos a la vertical del 7 pero
por la derecha, vemos que la gráfica desciende sin tener un tope, es decir, es negativa e infinita. Por tanto,
( ) −∞=+→
xfx 7lim . Aquí, justo en la vertical, también hay un punto negro a altura 4− , por lo que 7 sí está en el
dominio y ( ) 47 −=f .
2.- PROPIEDADES DE LOS L ÍMITES .
Los límites tienen las siguientes propiedades:
P.1. Unicidad: Si el límite existe, éste es un único resultado.
P.2. Límite vs límites laterales: El límite existe y es L si, y sólo si, los límites laterales existen y son L.
P.3. Suma, resta y producto: Si ( ) Lxfax
=→
lim y ( ) Mxgax
=→
lim entonces
( ) ( )[ ] MLxgxfax
+=+→
lim , ( ) ( )[ ] MLxgxfax
−=−→
lim y ( ) ( )[ ] MLxgxfax
⋅=⋅→
lim
P.4. División: Si ( ) Lxfax
=→
lim y ( ) Mxgax
=→
lim , donde 0≠M , entonces
( )( ) M
Lxgxf
ax=
→lim
P.5. Composición: Si ( ) Lxfax
=→
lim y ( ) MxgLx
=→
lim , entonces
( ) ( )( ) Mxfgxfgaxax
==→→
limlim o
Estas propiedades son principalmente técnicas y nos vienen a decir que, lo que nos gustaría hacer con
los límites, está permitido hacerlo. Se utilizan, generalmente para profundizar en la teoría de los límites.
3.- ÁLGEBRA DEL INFINITO . INDETERMINACIONES .
3.1.- Idea del infinito.
Cuando hablamos de infinito, únicamente queremos decir que estamos manejando una expresión cuyo
valor numérico que crece y crece sin ningún valor máximo. Por ejemplo, cuando decimos que +∞=−
++→ 1
2lim
21 x
xx
queremos decir que, cuanto más se parece el valor de x al número 1, siendo éste un poco mayor que 1, pues el
límite es por la derecha del 1, entonces mayor se hace el valor numérico de 1
22 −+
x
x, superando todas las barreras
que podamos imaginar. Es como decía Buzz Lightyear en Toy Story: "Hasta el infinito... y más allá. (To
infinity... and beyond!)" En efecto, si observamos la tabla de valores nos podremos convencer de ello:
x ( )1
22 −+=
x
xxf
1.5 82251
53
151
2512
...
.
. ==−
+
1.1 ......
.
.761914
210
13
111
2112
==−
+
1.01 ......
.
.7512149
02010
013
1011
20112
==−
+
1.00032 .....
.
.
.25004697
00064010240
000323
1000321
20003212
==−
+
1.000001 .....
.75001499999
0100000200000
0000013 =
Se observa, a partir de la tabla anterior, que cuanto más cerca está el valor de x a 1, mayor es el valor de
la fracción 1
22 −+
x
x, sin que ésta presente ningún tope. Esa idea se recoge diciendo que la fracción tiende a
infinito , y se denota por +∞=−
++→ 1
2lim
21 x
xx
.
Antes de pasar a estudiar límites, necesitamos entender cómo manejar cantidades infinitas y qué
representan. Esto se conoce como álgebra del infinito. Una vez que entendamos cómo manejar el “infinito”
algebraicamente, intentaremos entender por qué las indeterminaciones son cantidades “no determinadas,” es
decir, qué problema hay detrás de expresiones como ∞±∞ m , ∞⋅0 , 00
, ∞∞
, ∞1 , 00 ó 0∞ .
Entenderemos por infinito , NO UN NÚMERO concreto, sino UNA SITUACIÓN. Diremos que algo
que cambia tiende hacia infinito si se va haciendo tan grande como se quiera. Se denota por el símbolo ∞ ,
cuando además de ser infinitamente grande son cantidades positivas y −∞ cuando sean negativas.
3.2.- Operar con cantidades infinitas.
− Suma y resta:
Si se quiere, para operar y realizar cálculos con el infinito se puede uno imaginar que está manejando
números enormes: billones, trillones, etc. Esto puede ayudar a entender la insignificancia de números como el
4.32, el –6 o incluso el 1723 comparado con cantidades tan abrumadoras como el
1.000.000.000.000.000.000.000.000 (un trillón). Personalmente, me gusta el ejemplo de que si uno tiene un
trillón de euros en su cuenta corriente, 2 ó 3 euros no producen un aumento o descenso significativo en la
cuenta. De hecho 1.000 € tampoco, pues la cantidad es tan grande que los 1.000 € frente al trillón de euros son
insignificantes (en una situación real nos daríamos con un canto en los dientes si tuviéramos 1.000 € en la
cuenta corriente). Esto nos da la primera regla del álgebra del infinito:
“Si a es un número cualquiera, entonces
±∞=∞±a
y
±∞=+±∞ a ”
El ± tiene la única misión de aglutinar dos fórmulas en una. Desglosado, tenemos estos cuatro casos
(dos por cada expresión de las anteriores):
− Producto:
Queremos ver el efecto de multiplicar números por infinito. Imaginémonos un número cualquiera, el
que nos dé la gana. Por ejemplo el 5. Como dijimos en el apartado de la suma, para hacer cálculos podemos
suponer que el infinito es una cantidad inmensamente grande. Si tomamos un número muy grande, por ejemplo
100.000, entonces, al multiplicar por 5 se convierte en 500.000, que también es bastante grande. Si en vez de
100.000 tomamos otro número aún más grande, como 10.000.000, al multiplicar por 5 el resultado es más
grande aún, 50.000.000. Y si volvemos a tomar el trillón, 1.000.000.000.000.000.000.000.000, el resultado al
multiplicarlo por 5 es otro número inmensamente grande, 5.000.000.000.000.000.000.000.000.
Si en nuestra cuenta corriente, en vez de tener saldo positivo de 100.000€, 10.000.000€ o el trillón de euros,
teníamos deudas y la multiplicamos por 5 entonces tenemos una deuda cada vez más grande. La situación
general es que
±∞=∞±a
+∞=∞+a
−∞=∞−a
±∞=+±∞ a −∞=+−∞ a
−∞=+−∞ a
“Si a es un número positivo, entonces
±∞=±∞⋅a
y
±∞=⋅±∞ a “
Si el número a por el que vamos a multiplicar es negativo, por ejemplo 7− tenemos el efecto contrario,
es decir, una cuenta corriente saneada y alucinante de un trillón de euros se nos convierte en una horrorosa
deuda: .00000.000.000.000.000.0-7.000.000 (menos 7 trillones). En general, en las cuentas bancarias, en vez
de poner los números como positivos o negativos, los simbolizan con números negros y rojos respectivamente.
El mismo razonamiento se sigue para deducir que si comenzamos con una deuda enoooorme, se nos convierte
en un beneficio multiplicado por 7− . Tenemos entonces la regla siguiente:
“Si a es un número negativo, entonces
∞=±∞⋅ ma
y
∞=⋅±∞ ma ”
donde apreciamos en estas últimas expresiones que el signo del infinito cambia. Un ejemplo de esta fórmula
desglosada es que ( ) +∞=∞−⋅a .
Nota: Aunque pueda parecer un comecocos, es fácil acordarse, pues infinito por un número es infinito y luego
se aplica la regla de los signos del producto.
Nota: Queda un caso que aún no hemos analizado. ¿Qué pasa si el número a es el 0?. Lo dejamos para después,
cuando veamos las inderterminaciones.
− División:
Este es el caso menos claro de todos, pero termina siendo fácil pues también es muy mecánico. Vamos a
ver varias ideas relacionadas con la división. La primera es ver qué pasa cuando el numerador o el denominador
se hacen infinito, es decir, impresionantemente grandes comparado con la otra parte de la fracción.
� El numerador se hace infinito.
En este caso, tenemos que hay que dividir una cantidad absurdamente grande (y tan grande como
necesitemos) entre un denominador (que es siempre fijo). En este caso tenemos que el resultado de la
división es también otro número muy grande. Por ejemplo, si tenemos 1.000.000.000.000.000.000.000.000
y lo queremos dividir entre 4, tenemos que el resultado es 250.000.000.000.000.000.000.000, que también
es una bastante grande. Es verdad que el resultado es menor que el trillón original, pero lo que importa es
que el resultado se puede hacer inmensamente grande, lo cual es cierto pues sólo hace falta aumentar el
trillón para que el resultado de la división sea más grande de 250.000.000.000.000.000.000.000. Como en la
división también se tiene la regla de los signos como en el producto, tenemos la siguiente regla:
“Si a es positivo, entonces ±∞=±∞a
y
si a es negativo, entonces ∞=±∞m
a”
� El denominador se hace infinito.
En este caso estamos dividiendo un número fijo, que no cambia, entre otro que puede (y debe) ser
absurdamente grande. En ese caso, el resultado sale 0. Un ejemplo para ver esta idea de dividir, por ejemplo
3, entre un número cada vez más grande es que tenemos 3 tartas y las vamos dividiendo entre los amigos de
la fiesta para saber la cantidad de tarta que le corresponde a cada amigo. Si el número de amigos es más y
más grande, la cantidad de tarta que le corresponde a cada uno es menos y menos (no olvidemos que
siempre tenemos 3 tartas... el número de amigos, el denominador, es lo que aumenta). Por tanto, la
tendencia de dicha cantidad, de dicha fracción, es 0, es decir, que el trozo de tarta que nos corresponde es
casi nada... (vamos, que ni chupando el cuchillo...) Aunque el signo del numerador y del denominador hace
que las minúsculas cantidades sean positivas o negativas, en ambos casos son cercanas a 0 y no importa el
signo. Tenemos la siguiente regla:
“ 0=∞±
a”
� Tanto el denominador como el numerador se hacen infinito.
En este caso, no se sabe cómo terminará la cosa… Depende de quién crezca más rápido a infinito, es decir,
ambas cantidades se van haciendo enormes, pero puede pasar que una crezca mucho más rápidamente que
la otra o también que ambas crezcan a un ritmo parecido. Esto nos llevaría a uno de los casos anteriores o
bien a que, si el crecimiento es comparable, la fracción se parece a algún número concreto.
− Potencias:
Las potencias están formadas por dos partes: la base y el exponente, cuyos papeles son muy distintos.
Para razonar cómo cambia el resultado cuando una de las dos, bien la base o bien el exponente, se hace
infinitamente grande, hace falta recurrir a las funciones exponenciales, ( ) R∈∞+∈ xaax ,;, 0 , o a las
funciones potenciales, NR ∈∈ nxx n ,, .
Cuando queramos hacer el exponente enormemente grande y positivo es mejor razonar con las
exponenciales, pues la variable está en el exponente. Cuando queramos hacer grande la base será mejor razonar
con las funciones potenciales. Con las funciones potenciales hay que tener en cuenta que el exponente sólo toma
valores naturales o enteros. Todos ellos son puntos aislados y, por tanto, muy malos para el cálculo de límites.
3.3.- Álgebra del infinito (indeterminaciones incluidas):
Operación Casos Indeterminación
Suma / resta ±∞=∞±a ∞∞± m
0siy0si <∞=⋅∞±>±∞=⋅∞± aaaa m ∞⋅0 Producto
−∞=∞⋅∞±+∞=∞±⋅∞± my
0si00 ≠= aa
0
0
00 =∞
( )∗∞=0
a
( )∗∞=∞0
0siy0si <∞=∞±>±∞=∞±a
aa
am
∞∞
División
0=∞a
aaaa <+∞=<<= +∞+∞ 1siy10si0
aa
aaa
a <=∞+
==<<+∞=== ∞+∞−
+∞+∞− 1si0
11y10si
0
11,,
∞1
00 =+∞
0si >+∞=∞+ bb 0∞+
00
Potencias
( )∗∗∃/=∞−=∞++∞=∞+ ∞−∞+∞ ,0,
( )∗ Sólo falta por determinar el signo del resultado. En nuestros ejemplo se podrá hacer tomando límites
laterales, donde podremos ver si el denominador se acerca a 0 pero mayor, y por tanto positivo, o menor que 0,
y por tanto negativo.
( )∗∗ Las funciones exponenciales no permiten valores negativos de la base y las potenciales sí, pero sólo
permiten valores enteros del exponente, Z∈n , así que tampoco sería una función para hacer un estudio bueno.
Un truco para poder manejar todas las expresiones con fracciones a la vez es pensar en 0 e ∞ como
ideas opuestas y que cualquiera de ellas, cuando está en el numerador, da un resultado como ella misma, pero
cuando está en el denominador, da el resultado opuesto. Comprueba este truco con la expresión ∞0
.
4.- CÁLCULO DE L ÍMITES .
Para calcular el límite de una función ( )xf en un punto a, se suele sustituir el valor ax = en la
expresión de f. Esto se puede hacer por dos motivos. Primero porque los polinomios lo cumplen, como
veremos cuando lleguemos a la continuidad, al final del tema. Y segundo porque la mayoría de las funciones
que vamos a manejar se pueden aproximar por polinomios, es decir, se pueden encontrar polinomios cuyos
valores numéricos sean muy parecidos a los de la función dada (esto es mucho más difícil de probar. Es lo que
se conoce como desarrollo en serie de Taylor de una función).
Por tanto, la técnica inicial para hallar un límite será sustituir el valor a en la x de la expresión de f. Pero
tendremos tres problemas. El primero será que el resultado inicial obtenido sea una indeterminación. En tal caso
habrá que intentar resolverla, como veremos más adelante. El segundo problema será que la función no tenga
sentido en el punto a, porque no esté en su dominio, como el punto 0=x para el logaritmo. En este caso, habrá
que intentar trabajar directamente con las propiedades y la definición de la función ( )xf . Por último, que el
límite sea cuando x tiende a ∞ , en cuyo caso no tendrá sentido hablar de sustituir el valor a en la expresión de
f. Estos casos se intentarán estudiar con técnicas parecidas al caso 0=a o bien a partir de las propiedades de la
función ( )xf .
Para resolver una indeterminación, las técnicas dependerán del tipo de indeterminación que se obtenga,
de la naturaleza de la función con la que estamos trabajando y de si x tiende a un número o a ∞ . Pero son la
indeterminación y la naturaleza de la función lo que más importa. En general podemos decir que el primer paso
para resolver un límite es sustituir x por a para ver qué pasa.
4.1.- Técnicas según la indeterminación que se obtiene (ideas generales).
� 0k0k ≠con , .
Esta expresión crece a +∞ en valor absoluto. Es por eso que en realidad esta expresión no es una
indeterminación. El problema radica en diferenciar si, sin valor absoluto, la fracción crecerá hacia +∞ , crecerá
hacia −∞ , o si oscila el signo de la expresión y no se puede saber. Las funciones que vamos a manejar en estos
niveles (las funciones elementales) no tienen comportamientos patológicos (raros) y siempre crece bien hacia
+∞ o bien hacia −∞ .
Así pues, la forma de resolver este problema está en tomar límites laterales y estudiar el signo del
denominador con una tabla de signos, por ejemplo.
� ∞∞± m .
Este tipo de indeterminaciones aparece cuando tenemos dos cantidades sumándose o restándose BA + ,
de forma que ambas tienden a ∞ pero resultan ser de signos contrarios.
El caso más típico es cuando aparecen raíces. En tal caso se utiliza alguna identidad notable para que ,
multiplicando y dividiendo por la parte necesaria, las raíces desaparezcan y podamos simplificar. Aunque la
identidad más común será ( ) ( ) 22 BABABA −=+⋅− , que nos permitirá eliminar raíces cuadradas en una suma
de dos términos, se podrán utilizar otro tipo de expresiones como ( ) ( ) 3322 BABABABA −=++⋅− , por
ejemplo.
Otro caso es el de un polinomio. Aquí lo más fácil es "sacar factor común" la potencia de mayor grado.
A veces esta indeterminación aparece en una suma o resta de fracciones. En ese caso suele ser buena
idea unir ambas fracciones en una sola.
Ejemplo 1:
Hallar ( )11245 23 +−+−∞→
xxxxlim
Ejemplo 2:
Hallar
+−−+
+∞→2122 xxx
xlim
Ejemplo 3:
Hallar
−−
+→ 1
110 xxx
lim
� 00
y ∞∞
.
Estas indeterminaciones tienen una técnica general que consiste en factorizar tanto el numerador como
el denominador y simplificar aquella parte que se hace 0 ó ∞ . Tras lo cual podemos tomar el límite sin tener
problemas.
No obstante, estas dos indeterminaciones son las más fáciles debido a la poderosa herramienta de
L´Höpital. Dicha herramienta requiere conocimiento de derivadas. Además hay que tener claro que se necesita
tener este tipo de indeterminación para poder aplicar el teorema de L´Höpital y no se puede aplicar a una
fracción porque sí. En general da resultado, pero hay casos que se entra en un bucle de expresiones y no
resuelve el límite, como en el caso de algunas fracciones con raíces. Veamos ejemplos con ambas técnicas.
Si ( )( )xQxP
ax→lim , donde ( )xP y ( )xQ son polinomios se pueden factorizar ambos polinomios apareciendo
factores del tipo ( )ax − en el numerador y en el denominador. Se simplifica y se llega a una solución. Por
L´Höpital, se deriva y se toma límite de nuevo hasta que la indeterminación desaparezca.
El caso ( )( )xQxP
x ∞→lim es similar, pero sacaremos factor común la potencia de mayor grado en x tanto en el
numerador como en el denominador para después simplificar y tomar límites.
( )( )
<
=
>∞±
=++++
++++=
−−
−−
∞→∞→
mn
mnb
amn
bxbxbxb
axaxaxa
xQxP
m
nm
mm
m
nn
nn
xx
cuando0
cuando
cuando
limlim01
11
011
1
L
L
Ejemplo 4:
Hallar xxx
xxxx 44
4423
23
2 +++−−
−→lim
Ejemplo 5:
Hallar 81033
75224
3
−+−−+
−∞→ xxx
xxxlim
� ∞⋅0 .
Este tipo de indeterminación suele resolverse directamente, si es que la naturaleza de las funciones que
intervienen lo permiten o, más frecuentemente, transformando el producto en una fracción y pasando a una
indeterminación de tipo 00
o bien de tipo ∞∞
que nos permitiría utilizar la regla de L'Höpital. Una de las
expresiones se queda, intacta, en el numerador y la otra pasa al numerador como la inversa de la inversa, es
decir, utilizando que x
x
=11
.
Ejemplo 6:
Hallar el límite xxx
lnlim ⋅+→0
.
� ∞1 , 00 y 0∞ .
Estas indeterminaciones son de tipo exponencial, es decir, se requiere que haya alguna potencia donde
tanto la base como el exponente tienen una parte variable.
La técnica más frecuente para resolver este tipo de indeterminaciones es utilizar la continuidad de la
función exponencial, que permiten tomar límite sólo en el exponente, y la propiedad de los logaritmos que
permiten reescribir una potencia como el producto del exponente por el logaritmo de la base.
Una segunda técnica, más compleja, pero que da muchas facilidades de cálculo (al igual que pasa con la
regla de L´Höpital) es la utilización de límites conocidos para estudiar otros límites. Por ejemplo, sabemos que
01
lim =+∞→ xx
. Este límite se puede utilizar diciendo que 0algo
1lim
algo=
+∞→, dando igual cuál sea la expresión de
“algo.” Por ejemplo, como +∞=+∞→
x
xelim tenemos que 0
1lim
1limlim ===
+∞→+∞→
−
+∞→ xexx
x
x eee
x. Utilizando esta
idea y el hecho de que ex
x
x=
++∞→
11lim , límite difícil de demostrar, podemos calcular una buena gama de
límites que resultan farragosos en el cálculo, como hemos visto en el ejemplo anterior. Este límite se utiliza de
la forma siguiente: e=
+
+∞→
algo
algo algo
11lim .
Ejemplo 7:
Hallar 1
2
51
+
+∞→
+x
x xlim
Ejemplo 8:
Hallar x
xx
+→0lim
Ejemplo 9:
Hallar x
xx
+∞→lim
4.2.- Cálculo de límites según el tipo de función.
� La función x1
.
Antes de comenzar con ningún otro límite, vamos a necesitar saber que 01 =
+∞→ xxlim . Como no
queremos trabajar con la definición de límite, y tampoco podemos sustituir x por 0 porque la fracción no tendría
sentido, vamos a realizar una tabla de valores para estudiar el valor de x1
cuando hacemos el valor de x muy
grande.
x x1
1 111 =
0.5 21
5.01
21
==
0.1 101
1.01
101
==
0.01 1001
01.01
1001
==
0.001 10001
0010
1
10001
==.
Observamos que cuanto más pequeño es el valor numérico de x, es decir, cuanto más se acerca al 0,
mayor resulta ser el resultado de la fracción. Además, la fracción aumenta y aumenta sin tope, lo que se indica
diciendo que tiende a +∞ . Donde el signo más viene dado porque los resultados salían siempre positivos. Si
hubiésemos tomado valores cercanos al 0, pero negativos hubiésemos obtenido esta otra tabla:
x x1
1− 11
1 −=−
5.0− 21
5.01
21
−=−
=−
1.0− 101
1.01
101
−=−
=−
01.0− 1001
01.01
1001
−=−
=−
y tenemos la misma situación que antes salvo que ahora los resultados son cada vez más grandes, sin tener un
tope, y además son negativos.
La situación de la primera tabla se expresa de la forma
+∞=+→ xx
1lim
0
y la situación de la segunda tabla se expresa de la forma
−∞=−→ xx
1lim
0
Comentario: Esto no es una demostración. Pues sólo hemos observado lo que pasa en 4 ó 5 valores de x. Para
demostrarlo de forma exacta y estricta habría que hacerlo a través de la definición y las propiedades. Nosotros
no estamos interesados en ese nivel de exigencia y nos conformamos con saber qué pasa y dar una justificación
más o menos razonable, como la que se consigue con una tabla de valores.
El caso general es la función ( )xk
xf = . Por uno de los lados es ∞+ y por el otro es ∞− . Eso
dependerá del signo de k.
� Funciones polinómicas: ( ) R∈++++= −− 0101
11 donde aaaaxaxaxaxP n
nn
nn ,,,, KK
Cuando el límite es en un punto, ( )xPax→
lim , la respuesta es simplemente el valor numérico en ax = , es
decir, ( ) ( )aPxPax
=→
lim
Cuando el límite es en el infinito, ( )xPx +∞→lim ó ( )xP
x −∞→lim , entonces puede aparecer una indeterminación
de la forma ∞∞± m , que se resuelve fácilmente sacando la potencia de x de mayor grado, tomando límites y
utilizando que 0=+∞→ nx x
klim , cualquiera que sea el número k.
Ejemplo 10:
Hallar ( )152 2
3++
−→xx
xlim
Ejemplo 11:
Calcular el límite ( )152 2 ++−∞→
xxxlim
� Funciones racionales: ( )( )xQxP
, donde P y Q son polinomios.
Nos pueden pasar básicamente cuatro cosas:
− Al sustituir x por a no hay problemas y el límite es un número real.
− Al sustituir x por a se anula el denominador, pero no el numerador. Hay que tomar límites
laterales y estudiar el signo del denominador. Lo mejor es con una tabla de signos.
− Al sustituir x por a se anulan el numerador y el denominador. En este caso hay que factorizar
ambas expresiones. Lo único que realmente interesan son los factores del tipo ( )ax − , que
deberán simplificarse y tomar límites posteriormente.
− El límite es cuando ±∞→x . En este caso se saca factor común la potencia de x de mayor
grado, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica y se toman límites. Se
tiene siempre que
( )( )
<
=
>∞±
=++++
++++=
−−
−−
∞→∞→
mn
mnb
amn
bxbxbxb
axaxaxa
xQxP
m
nm
mm
m
nn
nn
xx
cuando0
cuando
cuando
limlim01
11
011
1
L
L
Ejemplo 12:
Hallar los siguientes límites:
a) 262
812673234
234
0 ++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim b)
262
812673234
234
1 ++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim
c) 262
812673234
234
2 ++−++−−+
−→ xxxx
xxxxxlim d)
262
812673234
234
21 ++−+
+−−+−→ xxxx
xxxxxlim
e) 262
812673234
234
++−++−−+
+∞→ xxxx
xxxxxlim
� Funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas tienen mucha versatilidad debido a las fórmulas trigonométricas, es
decir, se pueden escribir de muchas formas distintas. Estudiaremos los siguientes grupos de límites.
− Aquellos en los que se puede utilizar que 10
=→ x
xx
sinlim .
− Polinómicos en una función trigonométrica. Éstos se resolverán, bien factorizando, como los
polinomios, bien haciendo un cambio de variable.
− Mediante L´Höpital o infinitésimos equivalentes. Se verán estas técnicas al final de este apartado.
Ejemplo 13:
Hallar los siguientes límites
a) x
xx
30
sinlim
→ b)
20
2
x
xx
sinlim
+→ c)
x
xx 20
sinlim
+→ d)
xx
x
tanlim
0→ e)
20
1
x
xx
coslim
−→
Ejemplo 14:
Hallar el límite 32
122
2
2 −+−−
→ xx
xxx sinsin
sinsinlim
π
Ejemplo 15:
Hallar el límite x
xx cos
tanlim
−→ 1
2
0
� Funciones exponenciales y logarítmicas.
Las funciones exponenciales, ( ) xaxf = , donde ( )∞+∈ ;0a se clasifican en dos grupos: las que tienen
10 << a y las que tienen 1>a . Las primeras son decrecientes, pasan por el 10; y cumplen que
+∞=−∞→
x
xalim y 0=
+∞→
x
xalim . Las segundas son crecientes, también pasan por el punto 10; y cumplen que
0=−∞→
x
xalim y +∞=
+∞→
x
xalim . Además, para bases distintas se tiene que xx ba <<0 para cada par de números
positivos ba <<0 . En general, nos interesará saber que, para )∞+∈ ;0r se cumple que
<∞+=
<≤=
+∞→r
r
r
r x
x1si
1si1
10si0
lim
y los límites cuando −∞→x se pueden resolver mediante cambio de variable, por ejemplo.
Las funciones logarítmicas son las inversas de las exponenciales. Así que sólo hay que saber qué
relación hay entre los límites de ambas. En general, si ( )xf y ( )xg son funciones inversas una de la otra, se
cumple que ( ) ( ) axgbxfbxax
=⇔=→→
limlim . Por tanto, como 0=−∞→
x
xalim para a<1 , se tiene que
−∞=+→
xax
loglim0
, donde el + en +→ 0x proviene de que la función exponencial es siempre positiva. Así que
cuando escribimos 0=−∞→
x
xalim , podríamos escribir +
−∞→= 0x
xalim , pero no se hace porque no sirve para nada.
Ejemplo 16:
Hallar los siguientes límites:
a) x
x2
+∞→lim b) 2
13 +
−→
x
xlim c)
xx 3
2−∞→
lim d) 1
1
4
3−
+
+∞→ x
x
xlim e)
x
x
x 3
2 12 +
+∞→lim
f) x
xx
x 3
24 ++∞→
lim g) 1
112
5
32+
−−
+∞→
+x
xx
xlim h)
xx
xx
x 63
521
12
−+
+
−
+∞→lim i)
73
22
3
1 −+−
+∞→
xx
x
xlim j) 73
22
5 −−
−∞→x
xx
xlim
k) 4
522
3
5
6 −−
+∞→
x
xx
xlim
Ejemplo 17:
Resolver los siguientes límites:
a) xx
xx −
−−→ 2
2
31
1loglim b)
xx
xx −
−+→ 2
2
31
1loglim c)
xx
xx −
−−−→ 2
2
31
1loglim d)
xx
xx −
−+−→ 2
2
31
1loglim
e) xx
xx −
−−→ 2
2
30
1loglim f)
xx
xx −
−+→ 2
2
30
1loglim g)
xx
xx −
−−∞→ 2
2
31
loglim h) xx
xx −
−+∞→ 2
2
31
loglim
� Resolución de indeterminaciones exponenciales.
Las indeterminaciones de tipo exponencial son tres: 00 , 0∞ y ∞1 .
Hay un método más o menos general para este tipo de indeterminaciones. Las funciones en las que
aparecen estas indeterminaciones tienen variable tanto en la base como en el exponente. Esto hace que si
tomamos exponencial y logaritmo de la potencia, el exponente se pueda bajar y transformar la potencia en un
producto. Dicho producto da una indeterminación, generalmente, de la forma ∞⋅0 que, a su vez, se transforma
en una fracción y se resuelve por L´Höpital.
Sin conocimiento de derivadas, podemos utilizar el resultado ex
x
x=
++∞→
11lim , donde e es el número
de Euler, con valor aproximado de .... 671828182842 Una demostración de que este límite existe se puede ver
en los apéndices del tema de sucesiones. Para utilizar este límite hay que transformar la expresión que tengamos
hasta obtener algo así como ∆
+∞→∆
∆+ 1
1lim , donde en vez de un triangulo podamos tener cualquier cosa,
siempre y cuando ésta tienda a ∞+ . Entonces podremos asegurar que el límite será el número e.
El orden de estas transformaciones es:
− Conseguir el " fracción1+ " de la base. Esto se consigue sumando y restando 1, por ejemplo.
− Conseguir el "1" del numerador en la fracción. Este se consigue dividiendo el numerador y el
denominador de la fracción por la expresión que haya en el numerador.
− Conseguir que el denominador aparezca en el exponente. Esto se consigue multiplicando y dividiendo,
en el exponente, por aquella expresión que haya en el denominador.
Ejemplo 18:
Resolver los límites:
a) x
xx
+→0lim b)
121
+
+∞→
+ x
x xx
lim c) x
xx
+∞→lim
� Cambio de variable en los límites.
Los cambios de variable en los límites no son muy complicados. Se decide cuál es la relación entre la
variable antigua y la nueva, se toma límite en ambas expresiones y se hace la sustitución. El resultado es el
límite requerido, no hace falta deshacer el cambio, puesto que los límites son iguales.
Ejemplo 19:
Realizar los cambios de variable sugeridos y resolver el límite:
a) 2
2
0 3x
xx
sinlim
→, Ax =2 b)
1
12 2
2−
−−+
→ xxx
x sinsinsin
limπ
, Ax =sin
� Regla de L´Höpital.
La regla de L'Höpital se ve con detalle en el tema de aplicaciones de la derivada. Se puede utilizar
cuando la función es una fracción y al hacer el límite se obtiene una indeterminación del tipo 0
0 ó
∞∞
. En ese
caso, se deriva el numerador y se deriva el denominador (independientemente uno del otro) y se vuelve a tomar
límite después de simplificar. El resultado es el límite inicial.
Si ( )( ) ∞
∞=→
ó0
0
xgxf
axlim y además
( )( ) Lxgxf
ax=
′′
→lim . Entonces
( )( ) Lxgxf
ax=
→lim .
Ejemplo 20:
Hallar los siguientes límites:
a) 232 −++∞→ xx
e x
xlim b)
82
232
2
2 −+−
→ x
xxxlim
� Infinitésimos equivalentes.
Dos funciones ( )xf y ( )xg son infinitésimos equivalentes si
( ) ( ) ( )( ) 1y00
000===
→→→ xgxf
xgxfxxxlimlim,lim
Se escribe entonces ( ) ( )xgxf ≈ . En este caso, cuando tengamos una de estas funciones, podemos
multiplicar y dividir por la otra y el resultado es el mismo. Esto permite simplificar las funciones que aparecen.
Aunque el efecto es que se sustituye una función por la otra, la realidad no es así y, en casos más complicados,
hay que tener cuidado.
Los principales infinitésimos equivalentes son:
xx ≈sin 2
12x
x ≈− cos xx ≈tan xx ≈arctan ( ) xx ≈+1ln xe x ≈− 1
Ejemplo 21:
Calcular los siguientes límites:
a) ( )x
xe x
x 2
120 sin
lim−−
→ b)
xe x
x coslim
−−
→ 1
12
0 c)
( )( )x
xxx 20 1
21
cos
sinlnlim
−+⋅
→ d)
xe x
x tanlim
sin 10
−+→
5.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
5.1.- Definición. Idea geométrica. Discontinuidades.
La continuidad es un concepto complicado que, gráficamente, se entiende relativamente bien. Para su
definición técnica hacen falta los límites. La continuidad es una característica puntual, es decir, tendremos que
decidir si una función es, o no, continua en un punto concreto del eje de abscisas OX. Cuando una función no es
continua en un punto ax = decimos que es discontinua. Esto puede ocurrir por cuatro motivos:
1. Discontinuidad evitable: Si imaginamos la vertical en el punto ax = , la gráfica de ( )xf alcanza la
misma altura a ambos lados de la vertical cuando se aproximan a ella. Sobre la vertical puede que haya
punto o no (imagen de ( )xf en ax = ), pero de haberlo, éste no puede estar a la misma altura de los
trazos de gráfica que se acercan a esta vertical, es decir, las tres cosas no pueden estar a la misma altura.
2. Discontinuidad de salto finito o de 1ª especie: Trazamos nuevamente la vertical sobre el punto ax = .
Ahora, los trazos de gráfica a izquierda y derecha de la vertical se aproximan a esta pero a distintas
alturas. Da igual lo que pase con la imagen de f en ax = .
3. Discontinuidad de salto infinito o de 2ª especie: Trazamos la vertical sobre el punto ax = . Dicha
vertical actúa como un muro y la gráfica sube y se hace muy grande o baja y se hace muy grande y
negativa. Se dice en estos casos que tiende a infinito. Basta que uno de los dos trazos (izquierda o
derecha o los dos) se comporte de esta manera. No importa en absoluto lo que pase con la imagen del
punto ax = .
4. Discontinuidad esencial: Este tipo de discontinuidades es bastante complicado. La idea es que cuando
nos acercamos a la vertical del punto en estudio ax = , tenemos que la altura de la gráfica no tiene un
comportamiento claro, es decir, no se decide por aproximarse a ningún valor concreto finito o infinito.
Gráficamente, diremos que una función ( )xf es continua en un punto ax = si todo es normal.
Imaginémonos una recta vertical situada en el punto ax = . La gráfica de la función, cuando estamos cerca de
la vertical, debe tener una altura casi igual a ambos lados de la vertical. Además, la altura de la gráfica justo en
la vertical debe ser igual a la altura a ambos lados. Si eso ocurre cuando nos acercamos más y más a esta
vertical, entonces es que la función es continua. Si no ocurre es porque hay alguno de los cuatro problemas
anteriormente descritos. Una discontinuidad.
Ejemplo 22:
Hallar la continuidad de la función f cuya gráfica viene dada por:
Ejemplo 23:
Estudiar la continuidad de la función ( )
=x
xf1
sin en 0=x y ver que es discontinua de tipo esencial.
Analíticamente, la continuidad es más complicada. Imaginemos que tenemos una función ( )xf y que
queremos saber a qué se parecen las alturas dadas por ( )xf cuando damos valores a la x próximos al número a.
Ese número al que se parezcan los valores de ( )xf , cuando los valores de la x se parecen cada vez más al
número a, será a lo que llamemos límite de ( )xf cuando x tiende a a. Se denota por ( )xfax→
lim .
Definición:
Dada una función ( )xf y un punto ax = , decimos que f es continua en a si cumple las tres siguientes
condiciones:
� a está en el dominio de f, es decir, se puede calcular ( )af .
� Existe el límite de ( )xf cuando x tiende a a, es decir, existe ( )xfax→
lim
� Ambos números son iguales, es decir, ( ) ( )afxfax
=→
lim .
Ejemplo 24:
Hallar la continuidad de ( ) 722 +−= xxxf en el punto 2=x .
Ejemplo 25:
Hallar la continuidad de ( )2
342
2
−++−=
xx
xxxf en el punto 1=x .
Ejemplo 26:
Estudiar la continuidad de la función ( ) xxf ln= en 0=x .
5.2.-Propiedades de la continuidad.
Las propiedades de la continuidad están completamente relacionadas con las propiedades de los límites.
Sean ( )xf y ( )xg dos funciones continuas en un punto ax = . Entonces
P.1. Las funciones gf + , gf − y gf ⋅ son continuas en ax = .
P.2. Si ( ) 0≠ag entonces la función gf
es continua en ax = .
P.3. Si ( )xf es continua en ax = y ( )xg es continua en ( )afx = , entonces ( ) ( )( )xfgxfg =o es continua
en ax = .
P.4. Si ( ) Lxgax
=→
lim y ( )xf es una función continua en L, entonces ( )( ) ( )( ) ( )Lfxgfxgfaxax
==→→
limlim .
P.5. Las funciones constantes ( ) kxf = son continuas en todo su dominio, R.
P.6. La función ( ) xxf = es continua en todo su dominio, R.
P.7. Todas las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, R.
P.8. Las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en todo su dominio, es decir, en todo
R salvo los puntos que anulan el denominador.
P.9. Las funciones trigonométricas son continuas en todo su dominio.
P.10. Las funciones exponenciales, xa , son continuas en todo su dominio, R.
P.11. Las funciones logarítmicas, xalog , son continuas en todo su dominio, ( )∞+;0 .
5.3.- Continuidad de una función a trozos.
Las funciones definidas a trozos son las más habituales en los ejercicios de continuidad, puesto que en
ellas aparecen todos los tipos de discontinuidades. La diferencia con el resto de las funciones es que en algunos
puntos del eje OX, la función cambia de expresión y es ahí donde no tienen por qué coincidir los límites
laterales y, por tanto, perderse la continuidad.
En el estudio de la continuidad es conveniente comenzar con el estudio del dominio. En los extremos
del dominio y en los puntos donde haya un cambio de trozo habrá que estudiar la continuidad de forma
obligada, además de algún que otro punto que dependerá de la naturaleza de la función que estemos estudiando.
Ejemplo 27:
Hallar la continuidad de la función dada por ( )
=−
≠−++−
=1 si
3
2
1 si2
342
2
x
xxx
xx
xf
Ejemplo 28:
Estudiar la continuidad de ( )
≤+−<<
≤−
=xxx
xx
xx
x
xf
1 si52
10 si
0 si4
2
2
. Estudiar mediante la definición, la continuidad en
2=x .
Ejemplo 29:
Sabiendo que la función ( )
≤+<≤+
<+=
xbax
xbx
xax
xf
3si
31si1
1si
es continua en todo R, hallar los valores de R∈ba, .
7.- EJEMPLOS.
Ejemplo 1: Hallar ( )11245 23 +−+−∞→
xxxxlim
Solución:
( ) −∞=⋅−∞=
+−+⋅=+−+−∞→−∞→
51124
51124532
323
xxxxxxx
xxlimlim
Ejemplo 2: Hallar
+−−+
+∞→2122 xxx
xlim
Solución:
( ) ( )
( )=
−+−+
−+−+⋅
−−−+
=∞−+∞=
+−−+
+∞→+∞→ 212
212212IND212
2
22
2
xxx
xxxxxxxxx
xxlimlim
( ) =∞−∞+=
−+−+
−=−+−+
−+−−+=−+−+
−−−++∞→+∞→+∞→
IND212
56
212
4412
212
21222
22
2
22
xxx
x
xxx
xxxx
xxx
xxxxxxlimlimlim
326
116
21
121
56
lim2
112
1
56
lim
212
1
56
lim
2222
==+
=−+−+
−=
−+−+
−=
−+
−+
−
+∞→+∞→+∞→
xxx
x
xxxx
xx
xxx
x
xx
xxx
Ejemplo 3: Hallar
−−
+→ 1
110 xxx
lim
Solución:
( ) ( ) ( ) +∞=−⋅
−=−⋅
−=−⋅−−=∞−+∞=
−− +→→→ +++ 10
1
1
1
1
1IND
1
11000 xxxx
xxxx xxx
limlimlim .
Ejemplo 4: Hallar xxx
xxxx 44
4423
23
2 +++−−
−→lim
Solución (factorizando):
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) 0
12
2
12
2
122IND
0
0
44
4422223
23
2=
+⋅−⋅−=
+⋅−⋅+⋅−==
+++−−
−→−→−→ xxxx
xx
xxx
xxx
xxxxxxlimlimlim .
Tomamos límites laterales
( ) ( )( ) +∞=
⋅−=
+⋅−⋅−
−−→ − 02
12
2
122 xx
xxxlim y
( ) ( )( ) −∞=
⋅−=
+⋅−⋅−
+−→ + 02
12
2
122 xx
xxxlim .
Solución (por L´Höpital):
0
12
41612
4412
483
423IND
0
0
44
442
2
223
23
2=
+−−+=
++−−==
+++−−
−→−→ xx
xx
xxx
xxxx
HL
xlimlim
'
. La indeterminación desaparece, pero
tenemos un problema nuevo del tipo 0k . Ahora habrá que tomar límites laterales (L´Höpital ya no se puede
utilizar porque ya no es 00 ).
+∞==++−−
+−→ − 0
12
483
4232
2
2 xx
xxxlim y −∞==
++−−
−−→ + 0
12
483
4232
2
2 xx
xxxlim
puesto que el denominador es un polinomio de segundo grado con raíces 2− y 32− y coeficiente de 2x
positivo. Por tanto, a la izquierda de 2− , la expresión 483 2 ++ xx es positiva y a la izquierda de 2− la
expresión 483 2 ++ xx es negativa (está entre las dos raíces).
Ejemplo 5: Hallar 81033
75224
3
−+−−+
−∞→ xxx
xxxlim
Solución (técnica general):
=
−+−
−+=
∞+∞−=
−+−−+
−∞→−∞→
4324
323
24
3
81033
752
IND81033
752
xxxx
xxx
xxx
xxxxlimlim 0
2
81033
752
lim
432
32=
∞−=
−+−
−+
−∞→
xxxx
xxx
.
Solución (L´Höpital):
HL
x
HL
x xx
x
xxx
xx ''
limlim =∞−∞+=
+−+=
∞+∞−=
−+−−+
−∞→−∞→IND
10612
56IND
81033
7523
2
24
3 HL
x x
x '
lim =∞+∞−=
−−∞→IND
636
122
012
72
12 =∞−
=−∞→ xx
lim .
Observación 1: Al derivar un polinomio, el grado de éste se rebaja en una unidad. Por tanto, se puede decir que
si el factor que causa el problema tiene exponente n, habrá que utilizar la regla de L´Höpital n veces hasta que
el problema desaparezca.
Observación 2: Como hemos observado en el ejemplo de la función racional, a veces es más rápido factorizar
que utilizar L´Höpital.
Observación 3: La regla de L´Höpital fue descubierta en realidad por Johann Bernoulli, profesor del Marqués de
L´Höpital y publicada por éste en un libro de cálculo en e1696.
Ejemplo 6: Hallar el límite xxx
lnlim ⋅+→0
.
Solución:
( ) ( ) 01
1
IND1
IND00
2
0
2
000=−=−=
−=
∞+∞−==∞−⋅=⋅
+++++ →→→→→x
xx
x
x
x
xxx
xxx
HL
xxlimlimlim
lnlimlnlim
'
.
Ejemplo 7: Hallar 1
2
51
+
+∞→
+x
x xlim
Solución:
( )
+⋅+
+
+∞→
∞++
+∞→
+∞→
+
===
+2
1
2
511
511
2IND1
51 x
xx
x
x
x
x
x
eex
lnlimln
limlim .
Como se comentó en el párrafo anterior, la continuidad de la función exponencial nos permite estudiar
únicamente el límite del exponente y tenemos:
( )( )
( )
( )=
+−
+−
=
+−
+
−
==
+
+=⋅+∞=
+⋅++∞→+∞→+∞→+∞→
2
2
2
2
2
3
2
2
1
15
10
1
1
5
10
IND0
0
1
1
51
IND05
11
x
xx
x
xx
x
x
xx
xxx
HL
xxlimlim
lnlimlnlim
'
( )( ) 0
5
1102
2
=+−
+−+∞→ xx
xxlim .
pues el denominador es un polinomio de grado 3 y el numerador de grado tan solo 2.
Una vez hallado el límite del exponente, basta volver a la función original y tenemos que
( )1IND1
51 0
511
51
1
2
2
1
2 =====
+
+⋅+
+
+∞→
∞++
+∞→
+∞→
+
eeex
xx
x
x
x
x
x
x
lnlimln
limlim
Solución (A través del número e):
( )=
+=
+==
++⋅⋅
+∞→
+
+∞→
∞++
+∞→
15
5
5
1
5
1
2
2
2
22
11
11IND1
51
xx
x
xx
x
xx
x
x xlimlimlim
( )22
2
15
5
5
11
x
xx
xx
+
+∞→
+lim 10 == e ,
ya que en la base tenemos e
x
xx=
+
+∞→
5
5
2
2
11lim y en el exponente tenemos
( )0
15lim
2=+
+∞→ x
xx
, por ser el
denominador de mayor grado.
Ejemplo 8: Hallar x
xx
+→0lim
Solución:
( ) xxx
x
x
x
xx
eexlnlim
lnlimlim⋅
→→
+→++
=== 0
0
0
0IND0
y ahora nos centramos únicamente en el exponente.
( ) ( ) ( ) ( ) 01
1
IND1
IND00
2
0
2
000=−=
−=
−=
∞+∞−==∞−⋅=⋅=
++++++ →→→→→→x
xx
x
x
x
xxxx
xxx
HL
xox
x
xlimlimlim
lnlimlnlimlnlim
'
Teniendo en cuenta que 0 es el exponente, tenemos 1lim 0lnlim
0
0 === +→+→
eexx
xx
x
x.
Ejemplo 9: Hallar x
xx
+∞→lim
Solución:
+∞→
+∞→+∞→+∞→==+∞== x
xx
xx
x
x
x
x
xeexx
11
IND01
lnlimln
limlimlim
Ahora nos centramos en el límite del exponente,
01
1
1
IND1
1
===∞+∞−==
⋅=
+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→ xx
xx
xx
xxx
HL
xx
x
xlimlim
lnlimlnlimlnlim
'
Y, teniendo en cuenta la potencia entera (base y exponente) tenemos que
1lim 0lnlim
1
===
+∞→
+∞→
eex
xx
xx
x
Ejemplo 10: Hallar ( )152 2
3++
−→xx
xlim
Solución:
( ) ( ) ( ) 41151813532152 22
3=+−=+−⋅+−⋅=++
−→xx
xlim
Ejemplo 11: Calcular el límite ( )152 2 ++−∞→
xxxlim
Solución:
( ) IND1152 2 ∞−+∞=+∞−+∞=++−∞→
xxxlim
Para resolver esta indeterminación sacamos 2x factor común, pues el polinomio es de grado 2. Utilizamos que
0=∞→
nxk
xlim para cualquier N∈n y tenemos que
( ) ( )[ ] ( ) +∞=⋅+∞=++⋅+∞=++⋅=++−∞→−∞→
20022152 21522
xxxxxxx limlim
Es muy importante entender que el límite se debe tomar en toda la expresión simultáneamente y no en una parte
concreta de la expresión.
Ejemplo 12: Hallar los siguientes límites:
a) 262
812673234
234
0 ++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim b)
262
812673234
234
1 ++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim
c) 262
812673234
234
2 ++−++−−+
−→ xxxx
xxxxxlim d)
262
812673234
234
21 ++−+
+−−+−→ xxxx
xxxxxlim
e) 262
812673234
234
++−++−−+
+∞→ xxxx
xxxxxlim
Solución:
a) 42
8
20000
80000
262
812673234
234
0==
++−++−−+=
++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim
b) IND0
0
21612
812673
262
812673234
234
1=
++−++−−+=
++−++−−+
→ xxxx
xxxxxlim
Como se anulan el numerador y el denominador cuando 1→x , necesitamos extraer cada factor del tipo ( )1−x
y simplificarlos. Para ello, utilizaremos las técnicas conocidas de factorización. Lo más fácil es Ruffini, pues ya
sabemos que 1 va a servir.
c) IND0
0
2224832
824245648
262
812673234
234
2=
+−−−++−−=
++−++−−+
−→ xxxx
xxxxxlim
Como se anulan el numerador y el denominador cuando 2−→x , necesitamos extraer cada factor del tipo
( )2+x y simplificarlos. Para ello utilizaremos Ruffini con 2− .
d) 02
8
262
812673 16189
20
1638227
2413
161289624143
21
23
81
81
212
46
87
163
234
234
21
===+−−−++−−
=++−+
+−−+ −
+−−
++−−
−→ xxxx
xxxxxlim
Como se anula únicamente el denominador, ay que tomar límites laterales y, además, habrá que estudiar el
signo del denominador. Para eso, lo más conveniente será utilizar Ruffini (sólo en el denominador) con 21−
para extraer todos los factores de la forma ( )12 +x que podamos. Así podremos saber si el resultado es ∞+ o
∞− .
e) IND262
812673234
234
∞+∞+=
++−++−−+
+∞→ xxxx
xxxxxlim
Como ya sabemos, el límite del polinomio cuando +∞→x es ∞ y por la regla de los signos, el signo es +.
Para resolver esta indeterminación, sacamos factor común en cada polinomio, la potencia de x de mayor grado.
En ambos casos es 4x .
( )( ) 2
3
2
3
2
3
262
812673
432
432
432
432
2161
81267
21614
812674
234
234
=++−+
+−−+=
++−+⋅
+−−+⋅=
++−++−−+
+∞→+∞→+∞→xxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xx x
x
xxxx
xxxxlimlimlim
pues hemos simplificado la potencia 4x y después hemos utilizado que 0=±∞→
nxk
xlim para todo N∈n .
Ejemplo 13: Hallar los siguientes límites
a) x
xx
30
sinlim
→ b)
20
2
x
xx
sinlim
+→ c)
x
xx 20
sinlim
+→ d)
xx
x
tanlim
0→ e)
20
1
x
xx
coslim
−→
Solución:
a) 3133
33
3
33
3
33IND
0
030000
=⋅=⋅=⋅=⋅==→→→→ x
xx
xx
xx
xxxxx
sinlim
sinlim
sinlim
sinlim
b) +∞=⋅+∞=⋅=⋅
==+++ →→→
1212
IND0
020020 x
xxxx
x
x
xxxx
sinlim
sinlim
sinlim
c) 001222
IND0
0
2 0000=⋅=⋅=
⋅⋅=
⋅⋅==
++++ →→→→
xx
x
x
xx
xx
xx
x
xxxxx
sinlim
sinlim
sinlim
sinlim
d) 1111
IND0
00000
=⋅=⋅=⋅
===→→→→ xx
xxx
xxx
xxx
xx
xx cossin
limcos
sinlimlim
tanlim cos
sin
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) =+⋅
=+⋅
−=+⋅
+⋅−==−→→→→ xx
x
xx
x
xx
xx
x
xxxxx cos
sinlim
cos
coslim
cos
coscoslim
coslim
11
1
1
11IND
0
012
2
02
2
02020
2
1
2
11
1
1
1
1 22
02
2
0=⋅=
+⋅
=+
⋅→→ xx
xxx
xxx cos
sinlim
cossin
lim
Ejemplo 14: Hallar el límite 32
122
2
2 −+−−
→ xx
xxx sinsin
sinsinlim
π
Solución:
( ) ( )( ) ( ) 4
3
3
12
31
121
32
12IND
0
0
3121
1112
32
12112
2
12
2
2
2
2
=++=
+⋅−+⋅−=
−+−−==
−⋅+−−⋅=
−+−−
→→→→ AA
AAAA
AA
AA
xx
xxAAAxlimlimlim
sinsin
sinsinlim
π
Ejemplo 15: Hallar el límite x
xx cos
tanlim
−→ 1
2
0
Solución:
( )( ) ( )
( )IND
0
0
1
1
11
1IND
0
0
1
2
0
2
0
2
0=
−+⋅=
+⋅−+⋅==
− →→→ xxx
xx
xx
x
xxxx cos
costanlim
coscos
costanlim
cos
tanlim
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) =−
+⋅+⋅=+⋅−
+⋅+⋅→→ x
xxxxx
xxxxx 2
2
0
2
0 1
11
11
11
cos
coscostanlim
coscoscoscostan
lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+=⋅
+⋅+⋅=+⋅+⋅→→→ x
xx
xx
xxx
x
xxxxxx 2022
2
02
2
0
111111
cos
coscoslim
sincos
coscossinlim
sin
coscostanlim
( ) ( )4
1
22
1
1111 =⋅=+⋅+
Ejemplo 16: Hallar los siguientes límites:
a) x
x2
+∞→lim b) 2
13 +
−→
x
xlim c)
xx 3
2−∞→
lim d) 1
1
4
3−
+
+∞→ x
x
xlim e)
x
x
x 3
2 12 +
+∞→lim
f) x
xx
x 3
24 ++∞→
lim g) 1
112
5
32+
−−
+∞→
+x
xx
xlim h)
xx
xx
x 63
521
12
−+
+
−
+∞→lim i)
73
22
3
1 −+−
+∞→
xx
x
xlim j) 73
22
5 −−
−∞→x
xx
xlim
k) 4
522
3
5
6 −−
+∞→
x
xx
xlim
Solución:
(a) +∞=+∞→
x
x2lim , pues +∞=
+∞→
x
xalim si a<1 .
(b) 3333 1212
1=== +−+
−→
x
xlim .
(c) +∞== +−∞→ 0
2
3
2xx
lim , pues 0=−∞→
x
xalim si a<1 siendo siempre 0>xa .
En los apartados (d) - (h) hay más de una potencia con variable x. En estos casos, la técnica general es utilizar
las propiedades de las potencias para unirlas en una única potencia y, dependiendo de si la base es mayor o
menor que 1 y de a qué tienda el exponente, podremos decidir el valor del límite.
(d) x
xx
x
x
x
xx
x
xx
⋅=⋅=⋅=+∞→+∞→+∞→−
+
+∞→ 4
312
4
312
33
4
3
441
1
limlimlimlim . Ya lo tenemos expresado como una única potencia.
La base es 10 43 << y el exponente es x. Como +∞→x , el exponente tiende a ∞+ . Sabemos que
0=+∞→
x
xalim para los casos 10 << a . Concluimos que 0012
4
31
1
=⋅=−
+
+∞→ x
x
xlim .
(e) ( ) +∞=∞+⋅=
⋅=⋅=⋅=+∞→+∞→+∞→
+
+∞→2
3
42
3
42
3
22
3
2 212 x
xx
x
xx
x
xx
x
xlimlimlimlim , pues el exponente tiende a ∞+ y
la base es 341 < .
(f) x
xx
x 3
24 ++∞→
lim . En este caso hay una suma de potencias en el numerador. La suma de potencias no tiene
buenas propiedades, pero podemos partir la fracción en dos y estudiar cada una por separado (no tiene por qué
salir así siempre, pero sí en la mayoría de los casos).
+∞=++∞=
+
=
+=+
+∞→+∞→+∞→0
3
2
3
4
3
2
3
4
3
24xx
xx
x
x
x
xx
xx
xlimlimlim .
Otra forma de resolver este tipo de problema (suma/resta de potencias) es tratarlos como a los polinomios, es
decir, sacando factor común al que se hace ∞+ más rápido, es decir, al que tiene la mayor base. Esta última
técnica es más difícil de utilizar pero se puede utilizar en más tipos de ejercicios.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) +∞=+⋅+∞=+⋅
=+⋅=+
=++∞→+∞→+∞→+∞→
0113
41
3
4
3
14
3
2421
214
2x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xlimlimlimlim .
(g) 05
3
15
1
5
4
10
1
55555
3
5
2
5
32 33
22
1
1
1
12
1
112 2
=
⋅+
⋅=
⋅+
⋅=
+=+
+∞→+∞→+
−
+
−
+∞→+
−−
+∞→
xx
xxxxx
x
x
x
xx
xx
x
xx
limlimlimlim .
(h) ( )( )
( )( )( )
( ) =−⋅
+⋅=
−⋅
+⋅
=−⋅⋅
+⋅=
−⋅+
=−
++∞→+∞→+∞→+
−
+∞→ 103
00
136
5
136
5
633
4
63
52 51
21
51
54
21
51
54
55
1
12
x
xx
xxx
xx
xxx
x
xxx
xx
x
x
limlimlimlim
05
10 =−⋅ .
En los límites (i) - (k) tenemos expresiones donde los exponentes no son fácilmente manipulables. Como en el
caso general de las potencias, habrá que ver cuál es la base, a qué tiende el exponente y conocer qué dice la
teoría de las funciones exponenciales según el valor de la base.
(i) 73
22
3
1 −+−
+∞→
xx
x
xlim . En este caso la base es 10 3
1 << y como +∞→x , el exponente tiende a
073
22
=−+
−+∞→ xx
xxlim , pues el denominador es de grado mayor. Por tanto 1
3
1
3
10
73
22
=
=
−+−
+∞→
xx
x
xlim .
(j) 73
22
5 −−
−∞→x
xx
xlim . En este caso la base es 51 < y como −∞→x , el exponente tiende a −∞=
−−
−∞→ 73
22
xxx
xlim .
Sabemos que 0=−∞→
x
xalim cuando a<1 . Concluimos que 05 73
22
=−−
−∞→x
xx
xlim .
(k) 4
522
3
5
6 −−
+∞→
x
xx
xlim . Ahora la base es 5
61 < y el exponente tiende a +∞=−−
+∞→ 4
522
3
x
xxxlim . Sabemos que
+∞=+∞→
x
xalim cuando a<1 . Concluimos que +∞=
−−
+∞→
4
522
3
5
6 x
xx
xlim .
Ejemplo 17: Resolver los siguientes límites:
a) xx
xx −
−−→ 2
2
31
1loglim b)
xx
xx −
−+→ 2
2
31
1loglim c)
xx
xx −
−−−→ 2
2
31
1loglim d)
xx
xx −
−+−→ 2
2
31
1loglim
e) xx
xx −
−−→ 2
2
30
1loglim f)
xx
xx −
−+→ 2
2
30
1loglim g)
xx
xx −
−−∞→ 2
2
31
loglim h) xx
xx −
−+∞→ 2
2
31
loglim
Solución:
Para no hacer demasiados cálculos hemos puesto siempre la misma función, pero las ideas en cada límite son
distintas. Lo primero que debemos tener claro es el dominio de la función que estamos manejando. Hay dos
restricciones: un logaritmo y una fracción de polinomios. Los polinomios en sí no representan ningún problema.
La fracción obliga a que el denominador no pueda ser 0, es decir 02 ≠− xx , lo que rápidamente nos lleva a
que 0≠x y 1≠x . El logaritmo nos obliga a que el argumento sea estrictamente positivo, es decir,
01
2
2
>−−
xx
x. Una tabla de signos nos indica que dicha fracción es positiva en ( ) ( )∞+∪−∞− ;; 01 . Por tanto, el
dominio de xx
x
−−
2
2
31
log es ( ) ( ) ( ) { }101Dom −∞+∪−∞−= ;;f . Inmediatamente, nos damos cuenta de que los
límites (d) y (e) no tienen sentido pues no podemos acercarnos a 1− por la derecha ni a 0 por la izquierda,
desde dentro del dominio.
(a) ( ) ( )
( ) 21
1
11IND
0
0133
13
132
2
31
logloglimloglimlogloglim =+=⋅−
+⋅−==−−
−−− →→→ xx
xxxx
xx
xxxx
.
(b) Haciendo lo mismo que en (a) llegamos a 21
32
2
31
logloglim =−−
+→ xx
xx
.
(c) 2
0132
2
31
logloglim =−−
−−→ xx
xx
pero 03log no existe. Si nos fijamos bien, cuando −−→ 1x , el numerador se
acerca al 0, pero siendo positivo, pues el límite es por la izquierda del 1− y las raíces de 12 −x son 1− y 1.
Por tanto, al ser −∞=+→
xx
30
loglim , tenemos que −∞==−− +
−→ − 2
0132
2
31
logloglimxx
xx
.
(d) 2
0132
2
31
logloglim =−−
+−→ xx
xx
. Al igual que antes, 03log no existe y hay que estudiar el límite de A3log
cuando 0→A . Pero este límite sólo existe cuando +→ 0A y como +−→ 1x , entonces −−
=→−−
02
012
2
xx
x.
Por tanto, podemos concluir que el límite xx
xx −
−+−→ 2
2
31
1loglim no existe.
(e) +→
−=−−
− 0
1132
2
30
logloglimxx
xx
. Cuando −→ 0x , el argumento del logaritmo, xx
x
−−
2
2 1, tiende a ∞− , pero la
función logaritmo no tiene sentido y por tanto el límite no existe. Esto se puede deducir directamente del
dominio que hemos calculado previamente. El dominio es ( ) ( ) ( ) { }101Dom −∞+∪−∞−= ;;f y podemos ver
que sólo podemos acercarnos a 0 por la derecha.
(f) con xx
xx −
−+→ 2
2
30
1loglim sucede una cosa parecida. Si intentamos tomar límites directamente,
−→
−=−−
+ 0
1132
2
30
logloglimxx
xx
. Esta vez, como podemos ver, el argumento también tiende a infinito, pero con
signo positivo y ahora sí que podemos hallar el límite, pues +∞=+∞→
xx
3loglim . Por tanto, cuando +→ 0x , el
argumento, xx
x
−−
2
2 1, tiende a ∞+ y cuando el argumento tiende a ∞+ , el logaritmo se va a ∞+ (por ser de
base mayor que 1). Concluimos que +∞=−−
+→ xx
xx 2
2
30
1loglim .
(g) xx
xx −
−−∞→ 2
2
31
loglim . Ahora −∞→x . Veamos a qué tiende el argumento. 11
112
2
==−−
−∞→ xx
xxlim así que
011
32
2
3 ==−−
−∞→logloglim
xx
xx
(h) xx
xx −
−+∞→ 2
2
31
loglim . De forma análoga al apartado (g) vemos que 11
112
2
==−−
+∞→ xx
xxlim y, por tanto,
011
32
2
3 ==−−
+∞→logloglim
xx
xx
.
Ejemplo 18: Resolver los límites:
a) x
xx
+→0lim b)
121
+
+∞→
+ x
x xx
lim c) x
xx
+∞→lim
Solución:
(a) Tomamos límite para ver qué tipo de indeterminación nos encontramos: IND00
0=
+→
x
xxlim
Tomamos exponencial y logaritmo para poder bajar el exponente. La base no importa, así que se toma base e
por ser la que tiene mejores propiedades con las derivadas (aunque en muchos casos no hace falta aplicar
derivadas).
( ) ( )xxxxx
x
x
x
x
x
x eeexlnlimlnlimlimln
lim⋅
→
+→+→+→+
=== 000
0
y nos centramos en el exponente, que es donde está el límite.
( ) ( ) ( ) 0INDIND001
1
0100 2
=−==∞+∞−==∞−⋅=⋅
++++ →−→→→x
xxx
xx
x
x
HL
xxxlimlim
lnlimlnlim
'
Este es el límite del exponente, por tanto queda
( ) ( )10
0
000 =====⋅
→
+→+→+→+
eeeexxxxx
x
x
x
x
x
x
xlnlimlnlimlimln
lim
(b) IND11
12∞+
+
+∞→=
+ x
x xx
lim
Este límite se puede intentar resolver como antes (tomando exponenciales y logaritmos) o bien utilizando que
ex
x
x=
++∞→
11lim . Como la función que tenemos es muy parecida a la del límite que queremos utilizar, parece
que será la forma más rápida y fácil. Seguimos los pasos que se indicaron anteriormente.
=
+=
−++=
−++==
+ +
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
∞++
+∞→
121212121
11
111
1IND11
x
x
x
x
x
x
x
x xxxx
xx
xx
limlimlimlim
2
1212
11
11 e
xx
xx
x
x
xx
x
x=
+=
+
+
+∞→
+⋅
+∞→limlim
(c) x
xx
+∞→lim
Este límite ni siquiera es una potencia, aunque sólo aparentemente. No olvidemos que toda raíz se puede
transformar en una potencia con exponente fraccionario. Por tanto tenemos
⋅
+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→ ===+∞==x
xxx
x
x
x
xx
xx
xx eeexxlnlimlnlimlimln
limlim1
0
11
1
IND
Nos centramos en el exponente
01
1IND
1
===∞+∞+=
+∞→+∞→+∞→ xxx
x
x
x
HL
xlimlim
lnlim
'
Como el límite del exponente es 0, el límite que queríamos es
10
1
===
⋅
+∞→
+∞→ eexx
xx
x
xlnlim
lim
Ejemplo 19: Realizar los cambios de variable sugeridos y resolver el límite:
a) 2
2
0 3x
xx
sinlim
→, Ax =2 b)
1
12 2
2−
−−+
→ xxx
x sinsinsin
limπ
, Ax =sin
Solución:
(a) Lo primero que se debe hacer con cualquier límite es comprobar si hay o no hay problemas, es decir, tomar
límites. IND0
0
3 2
2
0=
→ x
xx
sinlim Ahora sí, realizamos el cambio. Como 0→x y Ax =2 , tenemos que 0→A .
Por tanto 3
11
3
1
3
1
33 002
2
0=⋅=⋅==
→→→ AA
AA
x
xAAx
sinlim
sinlim
sinlim .
(b) IND0
0
11
112
1
12 2
2
=−
−−=−
−−+
→ xxx
x sinsinsin
limπ
Como sólo aparece xsin se puede pensar en cambiarlo por otra variable. Así, Ax =sin . Tomamos límite
cuando +→ 2
πx y vemos que 12 =→ πsinA . Además, como 1≤xsin entonces 1≤A , luego −→ 1A . El
cambio queda
( ) ( ) ( ) 312121
112IND
0
0
1
12
1
1211
2
1
2
2
=+=+=−
−⋅+==−
−−=−
−−−−−+ →→→→
AA
AAA
AAx
xxAAAxlimlimlim
sinsinsin
limπ
.
Ejemplo 20: Hallar los siguientes límites:
a) 232 −++∞→ xx
e x
xlim b)
82
232
2
2 −+−
→ x
xxxlim
Solución:
(a) +∞==
∞+∞+=
+=
∞+∞+=
−+ +∞→+∞→+∞→ 2IND
32IND
232
x
x
HLx
x
HLx
x
exe
xx
elimlimlim
''
(b) 81
432
IND00
82
2322
2
2=−==
−+−
→→ xx
x
xxx
HL
xlimlim
'
.
Ejemplo 21: Calcular los siguientes límites:
a) ( )x
xe x
x 2
120 sin
lim−−
→ b)
xe x
x coslim
−−
→ 1
12
0 c)
( )( )x
xxx 20 1
21
cos
sinlnlim
−+⋅
→ d)
xe x
x tanlim
sin 10
−+→
Solución:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8
1
4
11
2
11
24
1
2
2
2
1
2222
1IND
0
0
2
10020
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅−=−==−−→→→ xx
xxx
xe
xxe
x
xe x
x
x
x
HLx
x cossinlim
cossinlim
sinlim
'
b) 21211
1IND
0
0
1
1 2
2
2
200
2
2
22
=⋅⋅=−
⋅⋅−==−
−→→ x
x
x
ex
e x
x
x
x
x
x coslim
coslim
c) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) =+⋅−
+⋅==−
+⋅→→ xx
xx
x
xxxx coscos
sinlnlim
cos
sinlnlim
11
21IND
0
0
1
21020
( )( )( )
( ) =−
⋅⋅⋅+⋅+→ x
xx
xx
xx
x x
xx cossin
sinsinln
coslim
1
2
2
2
2
21
12
20
2
2
( )( )( )
( )21114
2
1
2
2
2
21
1
2
1
1 2
2
2
0
2
2 =⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅−
⋅⋅+→ x
xx
xx
xx
x
xx
sinsin
sinlncoscos
lim
d) 11111
IND0
0100
=⋅⋅=⋅⋅−==−++ →→ x
xx
xx
ex
e x
x
x
x tansin
sinlim
tanlim
sinsin
Ejemplo 22: Hallar la continuidad de la función f cuya gráfica viene dada por:
Solución:
Al observar la gráfica vemos, cuando x varía de izquierda a derecha, que la altura de la gráfica sube
hacia ∞+ cuando nos aproximamos al eje OY, es decir, cuando 0=x . Después sigue otro tramo a altura
constante hasta llegar al punto 4=x donde da un salto y continúa más abajo en un nuevo tramo, esta vez de
recta inclinada. En el punto 10=x tiene un hueco pero tras él continúa a la misma altura. En seguida se
precipita hacia abajo conforme nos acercamos a la vertical del punto 12=x .
La función f es continua en todo punto de su dominio, ( ) { }10412 ,, −∞− salvo en los puntos:
� 0=x , donde tiene una discontinuidad de salto infinito.
� 4=x , donde tiene una discontinuidad de salto finito.
� 10=x , donde presenta una discontinuidad evitable.
� 12=x , donde presenta una discontinuidad de salto infinito.
Ejemplo 23: Estudiar la continuidad de la función ( )
=x
xf1
sin en 0=x y ver que es discontinua de tipo
esencial.
Solución:
En efecto, sabemos que la transformación x1
en “la x” equivale a transformar la parte ( )10; en la parte
( )∞;1 del eje OX y viceversa y después realizar la acción de xsin . Por tanto, tenemos que toda la gráfica de
xsin del trozo ( )∞;1 se comprime al intervalo ( )10; , donde la parte infinita se va al 0. En consecuencia,
tenemos que toda la gráfica de ondas infinitas que oscilan de 1− a 1 una y otra vez, se aplastan contra el eje
OX.
Ejemplo 24: Hallar la continuidad de ( ) 722 +−= xxxf en el punto 2=x .
Solución:
Aplicamos la definición de continuidad:
� El 2 está en ( ) R=f Dom , y es ( ) 772222 2 =+⋅−=f
� En el límite tenemos que ( ) 7722272 22
2=+⋅−=+−
→xx
xlim
� Tanto la altura de f en el 2 como el límite de la función en el 2 valen 7, luego es continua.
Ejemplo 25: Hallar la continuidad de ( )2
342
2
−++−=
xx
xxxf en el punto 1=x .
Solución:
� El 1 no está en el dominio de f, que es ( ) { }12 Dom ,−−= Rf . Ya sabemos que no puede ser continua.
Para ver el tipo de discontinuidad necesitamos estudiar el límite de f en el 1.
� 3
2
2
342
2
1
−=−++−
→ xx
xxxlim , como habíamos hallado en un ejemplo anterior.
Como hay límite pero la altura de f en el 1 no coincide con el límite (porque no hay tal altura), tenemos que la
discontinuidad es evitable.
Ejemplo 26: Estudiar la continuidad de la función ( ) xxf ln= en 0=x .
Solución:
Todas las funciones logarítmicas necesitan que el argumento sea estrictamente positivo. Por tanto,
( ) ( )∞+= ;0Dom f . Al no estar 0=x en el dominio, sabemos que f no es continua en ese punto. Aún así,
debemos estudiar qué tipo de discontinuidad. Para ello habrá que estudiar el límite de la función cuando
0→x . Pero como al 0 sólo nos podemos acercar por la derecha (manteniéndonos dentro del dominio)
entonces sólo hay que estudiar xx
lnlim+→0
. Como no podemos sustituir, porque 0ln no tiene sentido, hay que
hacer una tabla con ayuda de la calculadora o, mejor aún, razonar qué es la función logaritmo e intentar razonar
con ella.
La funciones logaritmo son las inversas de las funciones exponencial. Esta en concreto es la inversa de
xe . Como la base, e, es mayor que 1, entonces 0=−∞→
x
xelim . La relación entre el límite de una función y el de
su función inversa es que se intercambian los valores de x e y. Por tanto −∞=+→
xx
lnlim0
.
Así concluimos que ( ) xxf ln= tiene una discontinuidad de salto infinito en 0=x .
Ejemplo 27: Hallar la continuidad de la función dada por ( )
=−
≠−++−
=1 si
3
2
1 si2
342
2
x
xxx
xx
xf
Solución:
Estudiemos primero el dominio de la función. El primer trozo es una función racional, por tanto tiene
sentido en todos los números excepto donde el denominador se anule, es decir, 2−=x y 1=x . Como 1=x
no está comprendido en este primer trozo, no se tiene en cuenta. La expresión del segundo trozo es una función
constante, que no tiene problemas y su validez es en 1=x . Concluimos que el único punto cuya imagen no se
puede calcular es 2−=x , de donde ( ) { }2 Dom −−= Rf .
Tenemos dos puntos delicados, 2−=x por ser un extremo del dominio y 1=x por ser un punto donde
la expresión de f cambia. La continuidad en esos puntos debe estudiarse de forma individual. El resto de puntos
es muy fácil, a partir de las propiedades anteriores:
"Como las funciones racionales son continuas en todo punto de R excepto donde se anula el
denominador, nuestra función es continua en { }12;−−R "
Continuidad en 2−=x :
No pertenece al dominio, luego no es continua. Veamos qué tipo de discontinuidad tiene.
( ) +∞==−−++=
−++−= +−→−→ −− 0
15
224
384
2
342
2
22 xx
xxxf
xxlimlim
( ) −∞==−−++=
−++−= −−→−→ ++ 0
15
224
384
2
342
2
22 xx
xxxf
xxlimlim
Como alguno de los límites laterales es infinito, concluimos que f tiene una discontinuidad de salto infinito en
2−=x .
Continuidad en 1=x :
La altura de f en 1=x se debe buscar en el segundo trozo. Tenemos que ( )3
21 −=f .
( ) ( )( ) ( ) 3
2
2
3
21
31IND
0
0
211
341
2
34112
2
1
−=+−=
+⋅−−⋅−==
−++−=
−++−
−−− →→→ xx
xxxx
xx
xxxxxlimlimlim
( ) ( )( ) ( ) 3
2
2
3
21
31IND
0
0
211
341
2
34112
2
1
−=+−=
+⋅−−⋅−==
−++−=
−++−
+++ →→→ xx
xxxx
xx
xxxxxlimlimlim
Luego el límite existe y es 3
2
2
342
2
1
−=−++−
−→ xx
xxxlim .
Como la imagen de f y el límite en 1=x existen y además coinciden, la función es continua.
Solución: f es continua en { }2−−R . En 2−=x tiene una discontinuidad de salto infinito.
Ejemplo 28: Estudiar la continuidad de ( )
≤+−<<
≤−
=xxx
xx
xx
x
xf
1 si52
10 si
0 si4
2
2
. Estudiar mediante la definición, la
continuidad en 2=x .
Solución:
Hallemos el dominio de la función. Vemos que los trozos cubren toda la recta R y que sólo la primera
expresión tiene problemas, por la fracción, en 2−=x y 2=x , de los cuales, sólo el 2− está en el trozo
correspondiente a dicha expresión. Por tanto el dominio es ( ) { }2 Dom −−= Rf .
Tenemos que estudiar la continuidad de forma individual en los puntos 2− , por estar aislado en el
dominio, 0 y 1, por ser puntos donde la función cambia de expresión. El resto de los puntos del dominio se
analizan de forma conjunta mediante las propiedades de las funciones continuas.
"Como las funciones racionales son continuas en todo punto de R excepto donde se anula el
denominador, nuestra función es continua en { }102 ;;−−R "
Continuidad en 2−=x :
Es claro que hay una discontinuidad al no estar en el dominio. No obstante necesitamos saber si hay o no límites
para saber el tipo de discontinuidad.
A ambos lados del 2− la expresión utilizada de ( )xf es 42 −x
x. Por tanto, los límites laterales son:
( )( )
−∞=+−=
−−−=
−=
−− −→−→ 0
2
42
2
4 2222 x
xxf
xxlimlim
( ) =+−→
xfx 2lim
( )+∞=
−−=
−−−=
−+−→ 0
2
42
2
4 222 x
xxlim
Concluimos que ( )xf tiene una discontinuidad de salto infinito en .2−=x
Continuidad en 0=x :
( ) 040
00
2=
−=f
Para hallar los límites laterales, tenemos que a cada lado de 0=x , la expresión que toma ( )xf es distinta, y por
tanto los límites laterales se calcularán de forma distinta y muy probablemente sean distintos.
( ) 040
0
4 2200=
−=
−=
−− →→ x
xxf
xxlimlim
( ) 000
==++ →→xxf
xxlimlim
Como los límites laterales son el mismo número, el límite existe y es ese número, el 0. Además, la función en el
punto coincide con el límite en dicho punto, por tanto ( )xf es continua en 0=x .
Continuidad en 1=x :
Tenemos que ( ) 451211 2 =+⋅−=f . A cada lado de 1=x la función toma otra vez expresiones distintas y por
tanto los límites laterales habrá que calcularlos con dichas expresiones.
( ) 111
==−− →→xxf
xxlimlim
( ) ( ) 4512152 22
11=+⋅−=+−=
++ →→xxxf
xxlimlim
Como los límites laterales son números distintos, el límite no existe habiendo una discontinuidad de salto finito
en 1=x .
El problema pide estudiar, mediante la definición, la continuidad en 2=x . Ya sabemos que es
continua, pues 2=x es uno de los puntos que no tiene problemas. Pero el problema nos exige hacerlo a través
de la definición. Hay que hallar por tanto la altura en 2, ( )2f , y los límites laterales ( )xfx −→2lim y ( )xf
x +→2lim .
En los tres cálculos vamos a utilizar la misma expresión para ( )xf que, además, no tiene ningún
problema en ese punto. Así pues todos los valores son calculables y se obtiene el mismo resultado en todos
ellos.
( ) 55222522 22
2 =+⋅−=+−= =xxxf
( ) ( ) 5544522
22=+−=+−=
−− →→xxxf
xxlimlim
( ) ( ) 5544522
22=+−=+−=
++ →→xxxf
xxlimlim
Por tanto ( )xf es continua en 2=x .
Solución: f es continua en { }12;−−R . En 2−=x la función tiene una discontinuidad de salto infinito y en
1=x una discontinuidad de salto finito.
Ejemplo 29: Sabiendo que la función ( )
≤+<≤+
<+=
xbax
xbx
xax
xf
3si
31si1
1si
es continua en todo R, hallar los valores de
R∈ba, .
Solución:
Como ninguno de los trozos tiene problemas y los tres trozos cubren todo R, el dominio es ( ) R=fDom .
Sabemos que la función es continua, así que es continua en 1=x y en 3=x . Por tanto, los límites laterales
tienen que coincidir. De aquí salen dos ecuaciones que nos sirven para hallar a y b.
( ) ( ) aaxxfxx
+=+=−− →→
111
limlim
( ) ( ) 1111
+=+=++ →→
bbxxfxxlimlim
Los límites laterales tienen que coincidir. Por tanto baba =→+=+ 11
( ) ( ) 13133
+=+=−− →→
bbxxfxxlimlim
( ) ( ) babaxxfxx
+=+=++ →→
333
limlim
De nuevo, los límites laterales tienen que ser iguales, de donde 123313 =−→+=+ babab
Así, tenemos el sistema
=−=
123 ba
ba
Por sustitución se resuelve fácilmente: 11123123 =→=→=−→=− baaaba .
Solución: 1== ba .
8.- APÉNDICES.
I. Sobre los puntos de acumulación.
Cuando uno observa la definición real de límite en un punto, la primera palabra o idea que no se
entiende es la de punto de acumulación del dominio. Dado un conjunto, ¿qué es un punto de acumulación de
ese conjunto? Pensemos en un conjunto A de números de R. Pensemos ahora en un número a cualquiera de R.
Puede pasar Aa ∈ ó Aa ∉ . Así que tenemos nuestro conjunto de números y tenemos un número cualquiera de
R. Si es posible tomar puntos del conjunto A, que no sean el propio a, y tan cerca del punto fijo a como
queramos, entonces decimos que a es un punto de acumulación de A.
Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos, indicar si los puntos dados son de acumulación del conjunto.
a) ( ) 052 == aA ,; b) ( ) 252 == aA ,; c) ( ) 452 == aA ,; d) ( ) 1052 == aA ,;
e) { } 31 51
41
31
21 == aA ,;;;; L f) { } 3
251
41
31
211 == aA ,;;;; L g) { } 11 5
141
31
21 == aA ,;;;; L
h) { } 01 51
41
31
21 == aA ,;;;; L .
Solución:
En los casos (a)-(d), el conjunto A es siempre el mismo.
(a) Vemos que 0=a . El punto de A que está más cerca de 0 es 2. Como es imposible acercarse a 0 todo lo que
queramos, manteniéndonos dentro del conjunto A, llegamos a la conclusión de que 0=a no es un punto de
acumulación de ( )52;=A .
(b) Para el segundo apartado, vemos que 2=a , que está pegado al conjunto A. Por tanto, podemos tomar
números en A tan cerca del 2 como queramos (2.1, 2.001, 2.00001, etc.) Concluimos que 2=a sí es de
acumulación de ( )52;=A .
(c) Ahora es 4=a . Este punto está dentro del conjunto. Necesitamos acercarnos al 4, tomando puntos de A y
que no sean el propio 4, es decir, 4 debe estar "rodeado" por puntos de A. Y esto es así, pues el intervalo ( )52;
está formado por todos los números reales que son mayores que 2 y menores que 5. Por tanto 4 sí es de
acumulación de A.
(d) El caso 10=a es exactamente igual al caso anterior, salvo que esta vez no tenemos un número "bonito"
como el 4 sino "raro" o "feo" como 10 , que también tiene derecho existir, a contar chistes malos y a jugar con
el resto de los números.
Cambiemos ahora de conjunto. Tomemos un conjunto que no es un intervalo. Consideremos el conjunto
{ }L51
41
31
211 ;;;;=A . Este conjunto está formado por el 1 y todas las fracciones que se pueden escribir de la
forma n1 , para algún N∈n .
(e) Si 3=a , vemos que está muy alejado de cualquier punto de A. Así que 3 no es punto de acumulación de
{ }L51
41
31
211 ;;;;=A .
(f) Si 32=a tenemos una fracción que no se puede escribir como n
1 , para ningún N∈n , es decir, no es un
punto de A. Observando un poco mejor, vemos que las fracciones que forman A van decreciendo, es decir,
L>>>> 41
31
211 ¿Dónde está 3
2 ? ¿Entre qué dos fracciones de A estará? Como 32 < la fracción es menor
que 1 y mayor que 0, es decir, 01 32 >> . Es claro que 3
132 > , luego 3
1321 >> . Ahora sólo falta saber si es
mayor o menor que 21 . Poniéndolas con un denominador común podremos compararlas. 6
321 = y 6
432 = , de
donde deducimos que 21
321 >> . Poniendo todo junto, tenemos que L>>>>> 4
131
21
321 y por tanto, los
números de A se alejan cada vez más de 32=a . En conclusión, no es un punto de acumulación.
(g) En este caso 1=a . Necesitamos acercarnos al 1, tomando puntos de A, pero sin contar el propio 1. Sin
contar al 1 eso es imposible, así que 1=a tampoco es de acumulación de { }L51
41
31
211 ;;;;=A .
(h) Ahora es 0=a . Este es el único punto de acumulación de { }L51
41
31
211 ;;;;=A puesto que las fracciones se
van haciendo cada vez más pequeñas, es decir, más próximas al valor 0.
II. Sobre la definición de límite.
La definición real de límite cambia la expresión muy cercano a por una expresión matemática confusa
para que los alumnos tengan problemas, como siempre. Tenemos pues que la definición real es:
Definición:
Dada una función ( )xf y un punto a, de acumulación del dominio de f, decimos que L es el límite de
( )xf cuando x tiende a a si, para cada número real 0>ε podemos encontrar otro número real 0>δ tal que si
( )faax Dom0 ∈<−< ,δ , entonces ( ) ε<− Lxf .
La forma de expresar algo en matemáticas parece muy difícil de entender, aunque a veces, como en este
caso, es posible entenderlo un poco. Con un dibujo será incluso más fácil. Como Kx < es lo mismo que decir
KxK <<− , entonces δ<− ax se interpreta como δδ <−<− ax y la parte ax −<0 significa que
ax −≠0 , es decir, ax ≠ . Sumando a en la expresión δδ <−<− ax tenemos δδ +<<− axa , lo que
tiene una interpretación geométrica mucho más clara. La expresión δδ +<<− axa significa que el número
x que vayamos a elegir, tiene que estar comprendido entre δ−a y δ+a , o lo que es lo igual, tiene que estar
en el intervalo ( )δδ +− aa , .