Date post: | 02-Jun-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | segismundo-schcolnik |
View: | 225 times |
Download: | 0 times |
of 212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
1/212
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MANIZALES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
L I M I T E S Y
D E R I V A D A S
Bernardo Acevedo Fras
Omar Evelio Ospina A
Manizales, Abril 1994
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
2/212
I.S.B.N. 95 8 - 9322 - 11 - 5
Au to res :
Ornar Evel io Os p ina Ar teaga
Ma tem t i co ,
Ms
Se.
P ro feso r Asoc iado
Berna rdo Acevedo F r as
Ma tem t i co
Pro feso r Asoc iado
Un i ve rs i dad Nac iona l de Co lomb ia
Sede Man i za i es
Rev i sado po r
Profesor Luis A lvaro Sal azar Sal azar , Ms. Se.
P ro feso r Jos A lonso Sa laza r Ca i cedo L i c . en Ma tem t i cas
Impreso po r
Cen t ro de Pub l i cac i ones
Un i ve rs i dad Nac iona l de Co lomb ia
Sede Man za les.
Abr i l de 1994
Pr imera Ed i c i n
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
3/212
C o n t e n i d o p g i n a
Presentac in
Cap tu lo I
Lmi tes de Fun cione s 2
1.1 C on ce pto s intui t ivos de l mite y con t inuid ad 3
1.2 De f inic ione s de l mite y con t inuida d 10
1.3 Lm ites inf initos y lmites al inf inito 19
1.4 Prop iedad es y clculo de algun os l mi tes 32
1 4 1 Prop iedad es 32
1 4.2 Lmi tes de func ion es t rascen den tes 45
A) Con t inu idad de func iones t rascendentes 45
B ) Lira
e
4 7
x X
C) De f in ic in de func in exp one ncial y logar tmica 51
D) Co nt inuida d de la func in exp on enc ial y logar tmica 54
Cap tu lo I I
Derivadas 68
2.1 Int roducc in al conce pto de der ivada 69
A) Ve loc idad Instantnea 69
B) Pe ndien te de la recta tang en te a una curva en un pun to 71
2.2 De f in ic in de Der ivada 81
2.3 Prop iedad es y clculo de der ivad as 94
2.4 De r ivada de func ion es en forma param tr ica 127
A) Para me tr izac in de curvas 127
B) De r ivadas 133
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
4/212
C o n t e n i d o p g i n a
2.5 De rivadas de orden supe rior 139
A) Ac elera cin de una partcula 139
B) De finiciones 140
2.6 De rivacin Implcita 149
2.7 La diferen cial de una funcin en un punto 157
2.8 Alg un as carac terst icas de las grf icas en una func in 161
2.9 La derivada de una func in en la cons truccin de sus
grf icas 166
a) Propieda des de funciones cont inuas en intervalos cerrados 166
b) Puntos don de se puede n presentar m ximos y mnim os 168
c) Propieda des de funciones der ivables en intervalos
cerrados 175
d) Criter io para determ inar los intervalos don de una func in es
creciente o dec reciente 174
e) Criter io para dete rmin ar los intervalos don de una funci n es
cncav a o convexa 176
f) Criter io de la pr imera derivada para determinar mximos y
mn imo s relat ivos 179
g) Criter io de la segunda derivada para determinar mximos y
mnim os relat ivos 182
2.10 Prob lem as de apl icac in de la derivad a 186
A) Rectas tang ente s y rectas norm ales 186
B) Velocida d y aceleracin 188
C) Raz n de camb io 190
D) Apl icac iones de m ximos u mnim os 194
E) Re gla de L'Ho pital 198
Bibliografa 208
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
5/212
Presen tac in
A ma nera de con t inuac in del l ibro t itu lado " N U M E R O S V E C T O R E S
F U N C I ON E S " publ icado por la Univers idad Nacional de Colombia secc ional
Manizales, los autores pretendemos presentar los temas, re lac ionados con
l mi tes y der ivadas de func iones con una presentac in anloga, es dec i r , en
la cual se tratan de introducir los temas de una manera intui t iva y
const ruct iva, buscando con el lo hacer que el estudiante se involucre en el
aspecto conceptual , fundamental para su formacin como futuro ingeniero.
Estos conceptos son i lus t rados con ejerc ic ios completamente desarrol lados
que serv i rn de base, junto con la parte conceptual , para resolver los
ejerc ic ios propuestos los cuales pretendemos no sean repet i t ivos.
Esperamos que este mater ia l sea de ut i l idad para los estudiantes de clculo
di ferenc ial y fundamentalmente esperamos que a t ravs de la lectura de
este texto se cambie el concepto mecanic is ta de la matemt ica con que
muchos estudiantes l legan a la univers idad.
Agradecemos las sugerenc ias que nos hagan l legar, las cuales permi t i rn
mejores edic iones.
Orna r E v e l i o Os p i na A .
B e r n a r d o A c e v e d o F .
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
6/212
CAPITULO I
LIMITES DE FUNCIONES
La dis t r ibuc in cont inua de los nmeros reales en una recta, hace que al
t ratar de ace rca r sob re esa recta una variab le a un n m ero f ijo, no se
pueda dec i r de una manera inmediata cual es el comportamiento de una
func in real def in ida en las prox imidades de ese punto, pues es pos ible que
al l la funcin tome un valor f i jo o su grf ica est interrumpida o se aleje a
ms inf ini to o a menos inf ini to.
El estudio de este aspecto conceptual fundamental en la formacin de
cualquier estudio de la matemt ica y esencial en las apl icac iones de la
matemt ica a aspectos f s icos en var iables cont inuas es lo que se pretende
en este captulo.
2
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
7/212
1.1 CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITE Y CONTINUIDAD
Suponga que se t iene una funcin y = f(x) de reales en reales con dominio
D. Sea a e R; saber cul es el comportamiento de la func in en a es muy
senci l lo, s implemente calcule
f
en a y observe que so lamente pueden
suceder dos cosas: o existe un nmero real
f(a),
o sea a e D
f
, o no existe
f(a),
lo cual ind ica que a ? D
f
. Pero saber cul es el com portam iento de
la funcin muy cerca de a sin referirnos a un punto especf ico y s in
refer irnos a "a " , es un problem a bastante del icado pero de gran
importanc ia, ya que conociendo este comportamiento se t iene una ampl ia
informacin sobre la grf ica de la funcin, informacin que no se puede
tener s i solamente se conoce la funcin en el punto.
In ic ia lmente se presentar n diversas s i tuac iones en las cuales se mo strar
a part i r de las grf icas de unas funciones, que' sucede con las ima'genes de
una variable x a medida que esta variable se acerca a un punto f i jo a, s in
l legar a ser a, pero ace rcn do sele tanto com o se quiera .
Ejemplo 1 .
Considere la func in
f(x) =
x
2
(f igura 1) y tom e a = 2.
3
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
8/212
Figura
Co noc er el com portam iento de la func in en x = 2, es s implem ente calcular
f(2), que en este caso es f(2) = 2
2
= 4 o sea 2 e D
f
.
Pero para conoce r e l com portam iento de la func in cuand o la var iable x
se est acercando a 2, es prec iso aprec iar que :
1) En la f igura 1 (a) a medida que x se acerca a 2 por su derecha, sus
img ene s se van acerca ndo a 4, lo que se suele expresar d ic iendo, que el
lmite de
f ( x )
cuando
x
t iende a 2 por la derecha es 4 y se nota por:
Lim f [ x ) =4
x - 2*
2) En forma anloga de la f igura 1 (b) a medida que x se acerca a 2 por su
izquierda, sus imgenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el
lmite de f(x) cuando x t iende a 2 por su izquierda es 4 y se nota por:
Lim f ( x ) =
4
x-*2~
Observe que en este caso la grf ica de la funcin no presenta ningn
agujero, ni interrupcin en x = 2 ( lo que signif ica que la funcin es cont inua
4
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
9/212
en x = 2) y tambin que la func in t iende al mismo valor cuando x se
acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda. Estas si tuaciones no
siempre se presentan en la grf ica de una funcin, como se i lustrar en el
s iguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Sea
f [ x )
* + 3 s i * , i
2 - x
si x >
1
De la f igura 2(a), se t iene que cuando x se acerca a 1 por la derecha
f(x)
se acerca a 1, lo cual se nota por,
= 1
pero cuando
x
se
acerca a 1 por la izquierda ( f ig 2(b)) f(x) se acerca a 4, que se nota com o:
5
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
10/212
Lim f { x )
= 4
Esto muestra que no necesar iamente los l mi tes laterales
Lim f{x) , y L im f ( x ) de be n ser guales; pue s aqu a di ferenc ia del
x - a* x - a'
ejemplo 1, la grf ica s presenta una interrupcin en el punto x = 1 (Lo que
signif ica que la funcin es discont inua en x = 1). Esta caracterst ica de la
grf ica est determ inada por e l com portam iento de la func in cerca de
x = 1,
tanto a derecha como a izquierda y no por e l comportamiento de la
func in en x = 1, pues s i solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo
nico que podramos af i rmar es que f 1 ) = 4 y por tanto x = 1 e D
f
.
En los ejemplos anter iores el punto x = a, era un punto en el dominio de la
func in, hecho que no es necesar io para conocer e l comportamiento de la
func in cerca de a, como se i lustra en los s iguientes ejemplos.
E j e m p l o 3
Observe que
f(2)
no existe, ya que al calcular
f(2)
habra que div idir por
cero, lo cual no es posible en nmeros reales, o sea 2
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
11/212
X
- 4
=
(x - 2) (x + 2)
x
- 2
X + 2
'
o sea qu e la grf ica de la
funcin f ( x ) = c u a n d o x es di ferente de 2, es la m isma de
y = x + 2 y por tanto la de
f ( x ) =
e s
,
a d e e s t a r e c t a y = x + 2
A ' - 2
con un agujero en x = 2 (figura 3).
F igu r a 3
P'
/
/
/ I
f(x) =
X
2
- 4
x - 2
->
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
12/212
Aqu en ningn momento se tuvo en cuenta que la func in no estaba
def in ida en x = 2, pero es prec iso ac larar que en los dos ejemplos
anteriores, cuando se hizo referencia a los l mites, tampoco inf luy en nada
el que la funcin estuviera def inida en " a " , lo que signif ica que en el clculo
de l mi tes cuando x t iende a " a " , no incide el hecho de que a per tenezca
o no al dominio de la funcin, pero si inf luye parcialmente para af i rmar s i la
grf ica es cont inua o no en ese punto, pues observe que aqu no lo es, ya
que se presenta un agujero.
Cuando se dice que el hecho de que a e D
f
inf luye parc ia lmente para
af irmar s i la funcin es cont inua en a, se trata de decir que para que f sea
cont inua en
a
es necesar io que
a e
D
f
com o se i lustr en este ejem plo,
pero no es suf ic iente, como se i lustrar en el s iguiente
E j em p l o 4
Sea
2 _
f ( x ) =
x - 2
7
si x * 2
si x =
2
La di ferencia de esta funcin, con la del ejemplo anterior radica, en que aqu
se ha def inido en una forma especial la funcin en x = 2 ( f(2) = 7 ) o sea
que 2 g D
f
, su grf ica es muy simi lar a la anterior excepto que el punto (2,7)
pertenece a la grfica de la funcin (f igura 4).
8
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
13/212
Figu ra
A
I
i
/
b)
P
/ i
x 2
En este caso
Lim f(x) =4
f igura 4 (a) y
X - 2 *
Lim f ( x )
= 4
x - 2 '
f igura 4 (b); existe
f(2),
pero la grf ica de la funcin no es cont inua, pues
presenta una interrupcin en x = 2.
Del ejemplo 2 se puede observar que si los l mites por la derecha y por la
izquierda en un punto a son di ferentes, la funcin no puede ser cont inua en
este punto y del ejemplo 3, que si la funcin no est def inida en x = a
tampoco puede ser cont inua en
x =
a
En el presente ejemplo los l mites laterales en a son iguales, la funcin est
def inida en a = 2 (
f(a)
= 4); y f no es cont inua en a; pero s i observamos
la grf ica de esta funcin vemos que si en lugar del punto (2,7) se hubiera
tenido el punto (2 ,4) = (2 , f(2)), ste rel lenara el agujero que aparece en la
grf ica y la funcin sera cont inua, es decir, que adic ionalmente a las dos
cond ic iones dad as anter iormen te se debe aa dir una tercera para garan t izar
la cont inuidad de la funcin en el punto: los l mites laterales deben coincidir
9
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
14/212
con el valor de la funcin en el punto.
Cuando se dice que un nmero A t iende a un nmero B, lo que realmente
se esta' af i rmando, es que A se esta' pegando a B, es de cir, qu e la
dis tanc ia en t re A y B est tendiend o a cero o se est acercan do a cero, qu e
se notar por A - B - 0.
Con esta notacin, y teniendo en cuenta las ideas intui t ivas que se
t rabajaron en los ejemplos anter iores, se darn las s iguientes def in ic iones
que no son completamente r igurosas, pero que permi ten t rabajar estos
conceptos .
1.2 DEFINICIONES DE LMITES Y CONTINUIDAD
1. Se dice que el l mite de una funcin f(x) cuando x t iende a " a" por la
derecha es un nmero real L, y se nota por
Lim f(x) =
L
si y solo
x - a '
si f est de finid a en un interva lo de la form a (a, a + ), con 5 > 0 y
f(x) -
L 0 cua nd o x - a 0 para x > a.
2. Se dice qu e el l mite de una funcin f(xJ, cuand o x t iende a " a" por la
izquierda es un nmero real L, y se nota por
Lim f(x) =L
si y solo
x - a
si f(x) est de finida en un interva lo de la form a (a - , a) con 5 > 0 y
f(x) - L -> 0 cua nd o x - a 0 para x < a.
3. Se dice que el l mite de una funcin f , cuando x t iende " a" es un nmero
real L y se nota, Lim f(x) =
l
, si y solo si f est def inida en un
x - a
10
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
15/212
con junto de la forma (a - 8, a) w (a, a + 5) para alg n 5 ma yor que 0 y
f(x)
- L -> 0 cua ndo x - a 0.
Esta def inic in de l mite equivale a af i rmar que existe
Lim f
(x) y
x - a '
L i m { x ) y que adem s
x - a'
Lim f [ x ) = Lim f { x )
4 Una funcin
f(x)
se dice que es c o n t i n u a e n x = a si y solo si satisface
las siguientes condiciones:
a) a
e
D
f
(existe f(a)).
b) existe Lim f{x)
x - a
c)
L im f ( x ) = f (a)
x - a
Ejemplo 1
Demostrar que Lim I = i es equ ivalente a dem ostrar que
x 2* X 2
f(x)
- L -> 0 cu an do x - a 0, es decir, ( |x -2 | / x-2) - 1 0 s i
x - 2 0 con x > 2.
Para el lo observe que:
f
( x )
- L = j i ^ - f i - 1
X - 2
2 - ( x - 2 )
11
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
16/212
Ah or a pu esto qu e x > 2 en tonc es Jx - 2 I = x - 2 por lo tanto
f ( X ) - L
\x - 21 - ( x - 2
x - 2
x - 2 - x + 2
x - 2 I x - 2
= 0
Observe este resul tado grf icamente (Ejerc ic io) .
E j em p l o 2
De mo strar que Lim Jx = j a s i a > 0, es equ ivalente a dem ostrar que
x a*
%
\ 'x - -4a -^Q cu an do x - a 0 con x > a.
Para el lo:
yx -
v/a|
=
{y/X ~ y/a) (y/X +
y/ I )
s[x + Ja
x
- a I x - a
v'x + v 'ai y/x +
v
/a
c uando x - > a . P ues x - a - 0 c u an do x -> a y ^J a + V a V o
Observe este resul tado grf icamente (Ejerc ic io) .
E j e m p l o 3
Demost rar que
L i m
v'
1
- * = v^ , es equivalente a dem ostrar que
x - - 2
y/i - x
- yfs
- o cua ndo x - - 2 . Para el lo.
12
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
17/212
|
y / T ^ - x
-
- y/3") + / 3 )
V'I - A + 3
1
- x
- 3
- x - 2
V'I - x
+
\ / 3 y/1 - x + v 3
cuando x -> -2 Pu es -x - 2 - 0 cua nd o x -2 y \ 3 + V3
1
* 0
Observe este resultado grf icamente (Ejercic io).
Ejemplo 4
Demostrar que
L i m
^ ^ =
4
^ x -2 X -
es
equ ivalente a dem ostrar que
X
2
- 4
X - 2
0
cuando x - 2
0.
Para ello:
x - 2
- 4
J ( x - 2 ) ( x + 2 )
x - 2
- 4
= x + 2 - 4 |= x - 2
cuando x
Observe este resultado grf icamente (Ejercic io).
Ejemplo 5
En el ejem plo anterior se mo str que Lim
4
= 4 , pero obse rve que
aqux = 2, no pertenece al dominio de la funcin, es decir no existe
f(2),
por
tanto la funcin no puede ser cont inua en x = 2, ya que no sat isface la
primera condicin de cont inuidad en este punto.
Observe este resultado grf icamente (Ejercic io).
13
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
18/212
E j e m p l o 6
Sea f (x) =
x
2
- 4
SI X * 2
X - 2
8 si x = 2
E n f o r m a s i m i l a r al e j e m p l o a n t e r i o r s e m u e s t r a q u e
(Ejercic io), aqu x = 2 s perten ece al do m inio de la func in
im f ( x ) = 4
x - 2
f(x),
pues
f(2) = 8,
pero como
f(2)
es di ferente al valor del
Lim f{x)
e n
tonces no se sat is face la tercera condic in de cont inuidad, por
tanto f no es cont inua en x = 2.
E j em p l o 7
\x - 2\
En el e jem plo 1 se dem ostr que Lim i
1
= i , en form a an loga
x - - 2 *
X
se puede demost rar que Lim _ ^ = -i (Ejercic io). Pue sto qu e los
x
_
2
- X A
\x - 2
dos l mi tes laterales son di ferentes entonce s no ex is te Lim -
l
,
x 2 X A
por tanto no sat isface la segunda condicin de cont inuidad; luego esta
funcin no es cont inua en x = 2.
14
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
19/212
Observe este resultado grf icamente (Ejercic io).
Ejemp lo 8
Observe que Jf existe y es igual a 4, pue s
I
f ( x ) - 4 | = | x
2
- 4 | = | ( x +2 ) ( x - 2) | = |x + 2 | Ix - 2 | - 0
cuando x - 2 -> 0, pu es x + 2 ^ 4 y x - 2 0 cua nd o x- > 2.
Adems
f(2) =
2
2
= 4, existe, y su valor coincid e con el valor de l lmite, por
tanto
f(x)
= x
2
es cont inua en x = 2.
Def in ic in
Una funcin y =
f(x)
es continua en un intervalo abierto (a, b) si y solo si f
es cont inua en cada punto del intervalo
Ejemplo
La func in f(x) = x
2
es cont inua en cualquier intervalo abierto (c, d), pues en
forma anloga al e jemplo anter ior se puede demostrar que
Lim f (x) = f(a) para cad a a e (c,d).
Def in ic in
Una funcin
f(x)
se dice continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si
a) fes cont inua en el intervalo abierto (a,b) y
b) Lim f(x ) = f i a ) y Lim f ( x ) = f(b)
x -
a '
x - b~
Ejemplo 1
La fun cin
f(x)
= Vx" es cont inua en intervalo cerrado [1,5] , como se puede
15
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
20/212
deducir de los ejercic ios vistos anteriormente.
E j e m p l o 2
f U) =
x si 0 < x ^ 5
2 si x 0
Es evide nte que f es con t inua en (0, 5) (Ejercic io), ad em s
Lim f(x) = f( 5) (Ejercic io), pero Lim f(x) = 0 * / (O) = 2
* - 5" x - 0*
luego f no es cont inua en el intervalo cerrado [0,5] ,
EJERCIC IOS
I ) Trazar las grf icas de las funciones siguientes y apoyado en el las hal lar
los l mites indicados.
1 f { x ) = x
3
; Lim f ( x ) , Lim f { x ) , Lim f ( x )
x
"
2
x - 3* x~ 0"
f { x ) = v/1 + x ; Lim f ( x ) ; L i / t f L ( x ) ; L i m f ( x )
*^
1
x - x- 2"
3.
f ( x ) =
X
2
Si
Si
x s 5
x < 3
Lim f { x )
x 3 ~
Lim f ( x )
x -
3
Lim f { x )
x -5
, ( x ) = ,
3
_ * ; L i m ( x ) ; Lim f ( x ) ; Lim f {x)
| X 3
|
x
_ 3-
X
-3" x-4
16
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
21/212
5 f ( x ) = i ; L i m f ( x ) ; L i m f ( x )
X ~ v - 1 V - - J
- 1
x -
1
x -
3
e.
f
< x )
- 1
- V A o
s
S
i * > 5
;
a
m
>
u )
a i
{ x ) :
a i
t [ x )
7
f x )
1
; L i m f { x )
:
L i m f
( x )
X 2 -
n
--
-2 X -4
f { x ) = [ y f x ] ; L i m f ( x )
x -9
I I ) Determinar s i las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. D
un intervalo cerrado donde cada una de el las sea continua.
III) Defina c on tinu ida d d e u na fu nc in en los inte rva los (a,b), (a,b], (-a>, +oc)
y d ejemplos.
IV) Determinar s i las funciones siguientes son continuas en el intervalo
dado.
1 . f ( x ) = ~
2
8
; e n [ - 2 , 2 ] c
2 .
f ( x )
= y
/ 1
-
x e n
[ - 5 , 4 ) Mo
3 f ( x ) = x
2
+ x e n [ 2 ,
1 0
17
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
22/212
4 f { x )
= [ x - 1 ]
(Parte entera) en
[ - 5 , 6 ) s,
5 .
f (x) = y/x - 4 e n [ 4 , 5 ,
g
f ( x )
= x
4
er (-oo ,+o o) cj;
V) Hal lar el valor de m y n tal que la funcin dada sea cont inua
/72X S X > 4
x
si x
3
3.
. f ( x ) =
/rcx + 1 s i x 3
2 - mx si x > 3
4
/ ( x ) =
- 1 s i
X
0
mx + n
s i
0
< x
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
23/212
1.3 L mi tes In f in i tos y L mi tes a l in f in i to
Siguiendo el mismo esquema ut i l izado para int roduci r los conceptos de
lmites y con t inuidad , se estu diar n intu i t ivam ente a travs de uno s eje m plo s
los casos en los cuales cuando x se acerca a un nmero real a por la
derecha o izquierda, f(x) se aleja hacia arr iba (f(x) -> +00) o se aleja hacia
abajo (/fxJ->-00 y tam bin se estudiar en forma intui tiva el com portam iento
de la funcin f(x) cuando en lugar de acercarse x a un nmero real a, se
aleja sobre el eje x hacia la derecha (x->
+00
o se aleja sobre el mismo eje
hacia la izquierda (x^--0 0 .
Ejemplo 1
Sea f(
X
) =
si X < 1
x - 1
2 - x si x 1
19
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
24/212
En la f igura 5 se observa su grf ica y en el la se puede apreciar que a
medida que x se acerca a 1 por la izquierda (x-> 1"), sus imgenes se van
alejando cada vez ma's hacia abajo s in ninguna cota, lo que se representa
con la expresin :
Lim f( x) -
x - 1
En forma anloga de la grf ica de la funcin
2 x si x 1
( f igura 6) se puede visual izar el sent ido de la expresin
Lim f ( x ) = +
X - 1"
y
2 0
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
25/212
I lustre el signif icado de
L i m f ( x )= + L i n t f ( x ) =
- o o ,
L i m f ( x )= +
L i m f { x ) =
x
'
a
x ~ a* x - a X - a
con las grficas de
a)
f i x ) = 1
b )
f W = - 1
c) W -
d )
- - - L
Ejemplo 2
De la grfica de
f ( x )
=1 (f igura 7) se pu ed e ap rec iar qu e a
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
26/212
medida que x se hace ms grande su imagen estar cada vez ms prx ima
a cero, confundindose con cero cuando x t iende a ms inf in i to, esta
s i tuac in se descr ibe af i rmando que el l mi te de
f(x)
cuando x t iende a ms
inf ini to es cero y se nota por:
Lim f { x ) =0
X - +
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
27/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
28/212
y
\ Figura 9
\
Demost rar que, L W = + eq uiv ale a ve rifica r que dad o M > 0,
x - 0 *
X
existe un 8 > 0 tal que si 0 < x < 5 entonces 1/x > M.
Para hal lar este 8, ob serv e que 1/x > M => 1/M > x y as S= 1 /M. A si' si
0 < x < 8 = 1/M => x < 1/M => 1/x > M es de cir, f(x) > M.
2.
Lm f ( x ) =
, equ ivale a dec i r , que para cualqu ier nm ero
M > 0, da do , existe 8 > 0 tal que si a - 8 < x < a en ton ces
f(x)
< -M.
E j e m p l o
2 4
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
29/212
Sea f ( x ) = (f igura 10)
x + 3
Demostrar que
Lim
= eq uiva le a verif icar qu e da do
x - - 3"
M>0, existe 8 > 0, tal qu e si -3 - 5 < x < -3 en ton ce s 1/(x+3) < -M.
Para hallar este 5 (que de pe nd e de M), ob serv e que si 1/(x+3) < -M =>
M + 1/(x+3) < 0 => (Mx + 3M + 1)/(x+3) < 0 => Mx + 3M + 1 > 0 (Pues
como x < - 3 en ton ce s x + 3 < 0) =>
Mx > - 1 - 3M => x > (-1 - 3M )/M = -1/M - 3 = -3 - 1/M (5 = 1/M)
As, si -3 - 5 = -3 - 1/M = (-3 M - 1) / M < x < -3 => 1 /(x+3) < -M
(Ejercicio).
2 5
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
30/212
3. En forma anloga def ina e i lus t re con ejemplos s imi lares los conceptos
s iguientes:
L i m f { x ) = ^ L i m f { x ) =
x - a
4. En todos los cuatro casos anteriores, la funcin
f(x)
en las cercanas de
a se aleja hacia arr iba o hacia abajo pegndose a la recta x = a. En
cualquier s i tuacin de stas, se dice que la recta x = a es una asntota
vert ical de
f(x).
D e f i n i c i o n e s 2
1 f [ x ) = a
Eq uivale a dec i r , que dado e > 0 ex is te un N > 0
tal que si x > N entonces f(x) - a < e, es dec ir, si x > N entonces la
dis tanc ia ent re
f(x)
y a es me nor que el nm ero e > 0 dado .
E j e m p l o
Demost rar que Lim - L = o equ ivale a ver i ficar que para un
x ~ +> X
2
e > 0 dad o, existe un N > 0 tal que si x > N en tonc es 1/x
2
- 0 < c.
Para hal lar este N (que depende de c) observe que:
1/x
2
- 0 < e 1/x
2
< 8 1/e < x
2
1/8 < x
2
1/Ve"< x
X > 1/Vs~= N ( Pu es x = x por qu ? ).
As si x > N => x > 1/Vs => 1/x
2
< s => 1/x
2
- 0 < 8 (Ejercic io)
2. An log am en te def ina e i lus t re el concep to de:
L i m f ( x ) = a
x - -OO
2 6
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
31/212
3. En los dos casos anteriores la funcin
f(x)
se aleja hacia la derecha o
izquierda pegndose a la recta y = a. Si adic ionalmente a esto se t iene que
a part ir de un punto x
1f
la curva no corta a la recta, se dice que la recta
y = a es una asntota horizontal de la grf ica de la funcin
f(x).
Ejemplo
La recta y = 2 es una asntota horizontal de f ( x ) = (f igura 11).
/
/
2
[ Figura 11
- 1
/
2x
M =
x t l
4.
Lim f ( x ) =
Equ ivale a decir, que para cua lquier M > 0,
x
existe N > 0, tal qu e si x > N, en ton ce s
f(x) >
M.
Ejemplo
Demostrar que Lim x
2
+ i = , eq uivale a veri f icar que
\
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
32/212
dado M > 0 cualquiera, ex is te N > 0 ta l que s i x > N entonces x
2
+ 1 > M.
Para hal lar este N (que depende de M), observe que:
x
2
+ 1 > M x
2
> M - 1 x
2
> M - 1 x > M -1)
x > V( M - 1) = N (pu es x > 0).
A s s i x > N enton ces x
2
+ 1 > M (Ejercicio).
5. En forma simi lar def ina e i lustre los con cep tos :
L m f{x) = L i m f (x) = Lm f(x) = Q
0
n las grf icas de las
x - +oo X -
00
func iones f (
x
> = -2 x
2
, f ( x ) = x
4
+ 8 , f ( x ) = - x
2
EJERCICIOS
1) Anal izando las grf icas de las funciones dadas hal lar los l mites que se
indican :
a ) f { x ) = Se n x ; L i m f { x ) ; L i m f ( x ) ; L i m f {
x
)
l \ f ( x ) = L n x ; L i m f ( x ) ; L i m f ( x ) ; L i m f { x )
D) X-+ x-0*
c)
= - X -
L i m
x-+
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
33/212
e
\ f ( x ) = -|)
X
>
Lim
;Lim f ( x ) ;Lim f ( x )
' ' 3
' x-+
x - - x - 0
2) En cada l i teral bosqueje la grf ica de una funcin que sat isfaga todas las
condiciones dadas
a
L im f { x ) = 2 L im f ( x ) = ;L im f (x) = 3 ; L i m f { x ) =
X - X - +
k\ Lim f ( x ) =
+
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
34/212
j ) L i m x
6
= +< *> ;k ) L i m - 3 x + 5 =
x ~ - x
4) a) Cuntas asntotas hor izontales puede tener una func in? Cuntas
vert icales ?
b)S i
L i m f ( x ) =
cu ntas asntotas hor izontales pue de
X - + 0 0
tener f(x)7 C un tas vert icales?
c) Si L i m f { x ) = y L i m f ( x ) = C untas as n to tas
hor izontales puede tener
f(x) ?
d) Si D
f
= R y
f(x)
es cont inua cuntas asntotas hor izontales y cuntas
vert icales puede tener f(x) ?
e) Si D
f
= (3,20) y fes cont inua cun tas asntotas hor izontales y cunta s
vert icales puede tener
f(x) ?
5) En las grf icas que aparecen a cont inuac in determine asntotas
horizontales, vert icales y anal ice su cont inuidad.
30
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
35/212
6) Hal le asntotas hor izontales, vert icales y bosqueje su grf ica s i :
a) f i x ) -
b] f i x ) m
_ x f _
) f { x ) m
_ x
x*-9 X
d) fix) /^ .y ^ -y .
U - 5 ) ( 2 x - 3 )
31
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
36/212
1 .4 P r o p i e d a d e s y C lc u l o d e a l g u n o s L m i t e s
El clculo de l mites de funciones ut i l izando las def inic iones presenta dos
prob lema s: Uno de el los es que se debe cono cer cul es el pos ible valor
del l mite y no existe ningn mtodo prct ico que nos indique cual es ese
valor y el otro, que as se conozca ese valor, la demostracin de que ste
es o no el valor busca do, ut il izando la def in ic in ad ecua da es b astante
engorroso.
Afortunadamente a part i r de propiedades de los l mi tes que se desprenden
de sus def in ic iones se pued en calcular stos en forma m s o m eno s se nci l la
ut i l i zndolas adecuadamente.
Se presentarn estas propiedades junto con ejemplos que i lus t ren su
uti l idad.
1.4.1
P r o p i e d a d e s
1. El l mite de una func in f(x) en un punto, cuando existe, es nico.
D e m o s t r a c i n
Supngase que en x = a el lmite de
f(x)
no es nico, es dec i r , supngase
que Lim f(x) =A y Lim f(x) =B ; se ver qu e A = B.
x - a x - a
C o m o Lim f{x) =A entonces
f(x)
- A -> 0 cua nd o x - a 0 .
x - a
C o m o Lim f ( x ) =B entonces
f(x)
- B 0 cua nd o x - a - > 0 .
x - a
Ah ora : A - B = A -
f(x) + f(x) -
B < A -
f(x) + f(x) -
B =
f(x) -
A +
f(x)
- B - > 0 + 0 = 0 cuando x - a 0 .
32
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
37/212
Asi", O O, pero como A y B son nm eros f i jos en tonces
A - B = 0 y as A = B.
2. La func in con stante
f(x)
= k es cont inua.
En efecto :
L i m f { x ) = f (a ) ,ya qu e \f(x)-f(a)\ = i k - k | = 0 , lo qu e imp l ica que
x - a
f(x) - f(a) i
-> 0 cu ando x - a i - 0.
3. La func in idnt ica es cont inu a.
Demost rac in (E jerc ic io) .
Segn esto Lim x = a
x - a
4. Si Lim f x ) = A y L im g x ) = B con A y B nm eros reales
i) Lim
f x) g x))
= Lim f(x) Lim g
x )
= A B
ii) Lim (
f x ) . g x ) )
= Lim
f(x) .
Lim
g(x)
= A . B
iii) Lim f x) lg x)) = Lim
f(x)
L im
g(x) =
A/B, s i B * 0.
Aqui la expres in L im, donde aparezca en es ta prop iedad, representa una
sola de las s iguientes s i tuac iones:
Lim ; Lim , Lim , Lim , Lim
X
- a' X - a
x
- a * -
+
" x - -
D e m o s t r a c i n
Se demostrar i ) a manera de i lus t rac in, las ot ras se hacen en forma
anloga.
De las hiptes is se t iene que:
Lim f{x) =A , es decir,
f(x)
- A -> 0 cuando x - a >0 y
x - a
33
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
38/212
Lim g{x) - B , es dec ir |
g(x)
- B ' -> Ocuando x - a
j
-> 0, se ver qu e
x - a
j f(x) + g(x)
- (A + B)
-> 0 cua nd o x - a -> 0.
En efecto:
f(x) + g(x)
- (A + B)
1
=
(f(x)
- A) + (
g(x
) - B) i < I
f(x)
- A +
g(x) -
B \ 0 + 0 = 0 cu an do
x - a I> 0.
5. S i
f(x)
y
g(x)
son cont inuas en un punto a en tonces
f(x) g(xf(x)
. g(x)\
son cont inuas en a y s i
g(a) *
0 entonces
f(x)/g(x)
es cont inua en a.
D e m o s t r a c i n
Se desprende inmediatamente de la propiedad anter ior (Ejerc ic io) .
E j e m p l o s
a) Como f(x) = k es con t inua en a y g(x) = x es cont inua en a, entonces
H(x) = f(x).g(x) = kx es cont inua en a.
b) Como
f(x)
= x es con t inua en a, entonces
g(x)
= x
2
es cont inua en a, y
en forma anloga x
3
, x
4
, x
10 0
, son cont inuas en a para cualquier
a e R.
c) En general f(x) = a
0
+ a ^ + + a ^ " . n c N es cont inua en a para todo
a en R (Ejercic io), por tanto :
Lim ( 1 + + 2x
2
+ x
3
) = 1 + 2 * 5 + 2 * 5
2
+ 12 5 = 1 1 + 50 + 12 5 = 18 6
X - * 5
d) Si P(x) y Q(x) son pol inomios:
Lim = si q(a) ^ 0, por tanto
x - a g ( x ) g{a)
, . x
2
- x - 4 2
2
- 2 +4 6
Lim = = -
x-2 x
2
+ 9 2
2
+ 9 13
34
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
39/212
e) Anteriormente se vio que
l w j x
=
j a
s i a > 0 , esto indica qu e
x-a
la funcin Vx"es cont inua en todo a > 0.
Tambin se puede demo st rar qu e en genera l es cont inua en a, para
todo a > 0 s i n es par y para todo a s i n es im par.
6. Si
f(x)
es cont inua en a y
g(x)
es cont inua en
f(a)
en tonces
g(f(x))
es
cont inua en a es decir,
l w g ( f ( x ) ) - g
[
l w
f
( x ) ) = g ( f ( a ) )
x-a ' x-a '
Ejemplos
a
b)
Lm y / x
2
+ 2x + 3
x-2
/
m ( x
2
+ + 3 )
X 2
L w
x-3
x
2
+ 3 x + 5
x
Lw
x-3
x + 3 x + 5
t
+ 4
+ 3
4
2 3 1
4
6
Lw 3x
2
= [ l w ( 3 x
2
+ v / x ^ J
4
= ( 1 2 + / F )
7. Con el mism o s igni f icado dado a Lim f(x) en la prop iedad 4:
Si Lim
f(x)
= L y Lim
g(x)
= L y
f(x) < h(x) < g(x)
(Para todo x cerca de a,
o en ms o m enos in f in ito segn sea e l caso) enton ces L im
h(x)
= L.
Es te resu l t ado conoc ido con e l nombre de Teorema de l emparedado se
puede visual izar con la i lustracin siguiente para l w (f igura 12).
35
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
40/212
F i gu ra 12
E j e m p l o 1
L i m
Sen* sx* + 1
= 0
En efecto:
puesto que - 1 Sen
3
sjx
2
+ l 1 entonces
- 1 ^ x
2
j l
y
com o-1 /x y 1/x t ienden a 0 cuando x -^ + co
X X X
en tonces
S e n 3 + 1
tam bin t iende a 0 cua nd o x +oc
X
36
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
41/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
42/212
En la pr imera s i tuac in se procede in ic ia lmente a real izar operac iones
algebraicas correctamente, hasta conseguir que el reemplazo de x por a en
el de no m inad or no lo anule. Estas ope rac ion es se real izan s iemp re tenien do
en cuenta que x * a.
E j e m p l o 1
Hal lar
Lim
2
c
5
x - 5 X -
5
Si se reemplaza x por 5, e l numerador y denominador se anulan, mas s in
embargo :
x
2
- 25 _ (x - 5 ) (x + 5 ) _ . c
c
.
x
_
5
=
"
x + 5
, p u es x * 5 , lu eg o
Lim x
2
~
25
= Lim x +
5 = 10
x - 5 X - 5 x - 5
E j e m p l o 2
Hal lar Lim
{x + h
\
2
~
h - o n
{x + h)
2
- x
2
x
2
+ 2xh + h
2
- x
2
=
2xh + h
2
=
_
+
.
aq u y, h
pues h * 0, luego
Lim
(x + h)
.
2
= Lim 2x + h
= 2x
a-o n A-.o
E j e m p l o 3
38
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
43/212
Hallar Lim ^
+
* ~ ^
h ~ O h
sfnnti - sf2
=
( j y - m - / 3 ) (yr^r + y p
=
h
h (\/3 + h + y j )
3 +
h -
3
h 1
h (JJ~T + /3 ) h ( v/3~n + ^3 ) + ^3
pues h en tonce s
Lim ST^l - v^ = Lim i -
h
a- o 73 +h +J3 2^/3
Ejemplo 4
Lim ^
Hallar
27
x - 2 1
1 1 1 1
3
- 3 ( x
3
- 3 ) (x
3
+ 3 x
3
+ 9 )
X
- 27
(X -
2 7 )
(X -
2 7 )
1 1
( x - 2 7 ) ( x
3
+ 3 x
3
+ 9 )
1 1 1 1
( x
3
+ 3 x
3
+ 9 ) x
3
+ 3 x
3
+ 9
pues x * 27, luego
39
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
44/212
Lim V * - 3 ,
L i m
1
=
1 . _ L
x - 27 X - 27 x - 2 1
2
1 9 + 9 + 9 2 7
x
3
+ 3 x
3
+ 9
E j e m p l o 5
Hal lar L i m
x
\
3 x + 2
x - i x
4
- 4 x + 3
x
3 x + 2 _ x l )
2
( x + 2)
4 _
4 x + 3 ( x - l )
2
( x
2
+ 2 x + 3 )
x + 2
+ 2x + 3
pues x * 1, luego
r
x
3
- 3 x + 2
r
x + 2 _ 3 _ 1
L i m = L i m = =
x- i
x
4
- 4 x + 3 x - i x
2
+ 2 x + 3 6 2
En el caso en que al calcular
L
j > Y [x )
s e
tenga que g(a) = 0,
pero f(a) * 0, con f(a) real, la funcin f(x)lg(x) t iende a +coo a -oo cuando x
t iende a a, segn que f(a) sea posit ivo o negat ivo y que g(x) t ienda a
0
por
valores posit ivos o negat ivos de la forma siguiente:
si
f(a)
> 0 y
g(x)
-> 0 por valores pos i t ivos, entonces
f(x)/g(x)
- +oo
si
f(a)
> 0 y
g(x)
- 0 por valores negat ivos, entonces
f(x)/g(x)
- > -oo
s i
f(a)
< 0 y
g(x)
- 0 por valores pos i t ivos, entonces
f(x)/g(x)
- > -oo
s i
f(a)
< 0 y
g(x)
0 por valores negat ivos, enton ces
f(x)/g(x)
-> +oo
Resul tados anlogos se t ienen s i se calculan l mi tes laterales.
E j e m p l o 1
40
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
45/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
46/212
x
3
+ 3 x 8
en tonces L im = -
X- 1 (x - 1)
2
Los resu l tados an ter iores se ut i lizan tam bin e n el clculo de l mi tes cuan do
x +oo o x -oo en func ion es de la form a
f(x)Jg(x)
despus de real izar
algunos cambios en esta func in
E j em p l o 1
T
x
4
+ x
2
+ 3
Lim -
Hallar
v
2
+ X
Div id iendo ent re x
4
numerador y denominador, la expres in se conv ier te en:
i
+
J _
+
J l
Lim ^ = pues
x
2
x
3
X - +" >
Lim 1 + JL + J L = i > o y _L + _L _ o po r va lo res
X
2
X
4
X
2
X
3
posi t ivos, cuando x -> +co.
E j em p l o 2
42
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
47/212
_5 _3
Hallar Lim
x 2 + x
\
+ 1
X - + 0 0 J T
2 x
2
+ x
2
+ 2
Si se div ide numerador y denominador ent re x
5/ 2
se t iene :
i
+
1
+
X 1
r
- X
2
+ X
2
+ 1
T
. X
2
1
LI M
=
LIM - =
_ O . 1 . 2 2
2 x
2
+ x
2
+ 2 I ~ 1
v 2 2
Ejemplo 3
3
1
Hallar L im * ^
+ + 3
2
7 x
3
+ x
2
+ x
s i se div ide numerador y denominador por x
3
se t iene :
Lm
X-
+ <
+ X
7 x + x
+ 3
Lim
X - +
X
X
+
_
3
-
X
3
+ X
7 +
J3
7
x
Ejemplo 4
43
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
48/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
49/212
Ejemplo 6
3x + 1
Hallar
L i r n
x
-
sjx
2
+ x + 2
Li m
3
*
+ 1
x
- sjx
2
+ X + 2
= Lim
3x + 1
x
= Lim
x -
(1 + - +
3x + 1
1 + . i +
X '
= Lim
3x + 1
= -3
= - x, ya que x < 0 )
- x 1 +
X
1.4.2 Lmites
d e
Fu n c i o n e s T r as c e n d e n t e s
A ) C o n t i n u i d a d d e l as f u n c i o n e s t r i gonomt r i cas
La funcin f(x) = sen x es cont inua para todo a e R.
Para ver el lo, basta con mostrar que
^im sen x = sen a
e s
deci r , de
acuerdo a la def in ic in , hay qu e dem ostra r que sen x - sen a '
O
cuando
x -> a.
En efecto :
Ozlsen x-sen a\ = \2cos ) Sen (-2^)1
2 2
= 2 Ie o s ( i ^ ) ISen k 2 . l | Se n k = | x - a |
i 2 " 2
1 1
2 2
1 1
es decir O< Se n x - Se n a < x - a
t ienden a cero cuando x - a , entonces
4 5
y co m o h(x) = x - a ; y g(x) = O
se n x - se n a ~>
O
cuando x-> a .
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
50/212
Nota .
Esta desig ua lda d se t iene , ya que para todo x real : sen xI < x
En efecto : cons iderando in ic ia lmente el caso 0 < x
< rea sector c ircular OP R 5 e / 7 T a n x = >
2
2 2
v 1
Cos X <
Senjc
>
C o s x
Cos X
Por la con t inuida d de la funci n Cos x, se t iene que cu an do x- > o
+
Cos x - > 1 y 1/Cos x ->
1
; por tanto apl icando el teorem a de l em pa reda do se
concluye que :
L i w
S e n x
= i
48
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
53/212
Usando el hecho de qu e la funci n Sen x es impar se con side ra el caso
-71
/2
< x < 0 ( 0 < - x +oc k -> +oo (pa ra x > 0) y
1/n = x/k
Obs e rv ac i n
En forma m s gene ra se puede d ef in ir e l nm ero e como
53
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
58/212
e = Lim ( 1 + g{x)) ?
{x)
Si Lim g{x) =O
x - a x - a
cr
e = .Lim (1 +
r
x - a
g{x)
Si Lim g{x) =
D ) C o n t i n u i d a d d e la f u n c i n e x p o n e n c i a l y l o g a r t m i c a
1. In ic ia lmen te se dem ostrar que la func in f(x) = e
x
es cont inua en "0", es
decir,
Lim e
x
= e
= i lo qu e signif ica que e
x
- 1 - 0 cuand o x 0 .
x - 0
Se trata rso la m en te, e l l mite p or la de rec ha , o s ea se co ns ide rar x > 0, lo
cual impl ica que, por ser creciente la funcin, e
x
> e = 1, y asi
e
x
- 1 = e
x
- 1.
Para ello se requiere pr imero demo strar la des igu aldad e
x
>1+x Vx > 0
/
e* = Lim { i + =
\ nj
Limil+n (*) + 1 n(n-l) + U Lim l l + n - Z ) = l + x
\ n 2 n I
n- \
n
y (1 + x) < e
x
para x > 0.
Para demostrar que e
x
-1 0 cuan do x 0 se mostrar que e
x
-1 > 0, puede
ser tan peq ue o com o se quiera, acercan do suf ic ienteme nte x a cero. Para
el lo sea e>0 tan peq ue o com o se quiera. To m em os x = In (1 + e).
Ob serve que, puesto que 1 + 8 < e
E
=> x = In (1 + e) < In (e
) = s (por
ser e
x
c rec iente) y as cuand o s 0 , x -> 0 (pue s 0 < x < s) y adem s.
54
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
59/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
60/212
Lim e
5x
+
4
= e
5
*
2 + 4
= e
1 4
x - 2
2 . Lim e
3x + 3
= e
3
x - 0
3 . Lim Log^{2x + 5) = Lo g
3
(9 )
X 2
4.
Lim Ln{x + 1 0 ) = Ln 10
x - 0
5. Lim Ln [x
2
+ 5 x + 1 ) = Ln( 1 + 5 + 1 ) = L n 7
E. L i m
L l 7 ( 1 +
= a y
Lim ^ L l A =
i
x - 0 A x - 0 X
- 4
Lim
Ln
= Lim Ln ( 1 + ax )
x
= Ln (Lim ( 1 + ax )
x
) = Ln(e
a
) = a
x - 0 -A x - 0 x - O
(Por la cont inuidad del logart imo)
Ahora hac iendo el cambio de var iable p = e
x
- 1 (x = ln ( p+1)) se puede
aprec iar que cuan do x -> 0 enton ces p -> e - 1 = 0 , (por la cont inuidad de
la func in expo nen cial ) , luego
56
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
61/212
Lim
eX 1
= Lim , ^ = Lim ,
1
= - = 1
x - o X n - o X r z ( n + 1 ) ^o Ln ( 1 + j ) 1
Ejemplos
1. Lim - =Ln a
x-0 X
Puesto que '
1
= ' = ' Lna
x x x Ln a
entonces
^
x
-
1
(
L n
a
-
11
Lim - i = Lim Ln a = 1. Ln a = Ln a
x - o x x - o x Ln a
(haciendo p = x ln a)
2. Lim-^
0
^
3 ( 1 +
^ ~ *
x- o x Li ? a
Haciendo el cam bio de base se t iene que
Log( i + x) =
( 1 +
bx )
y entonce s
Ln a
3
Lim
L
g
*
{ 1 + h x )
- Lim
Ln
=
x - 0
x
x Ln a Ln a
x
x Ln a
o n . l n x - 1
l im =
x - e x-e
Ha ciendo p = x - e; cu an do x -> e, m 0 y as:
57
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
62/212
. Ln x - 1 , Ln x - Ln e _
T
Ln (\x + e) ~ Ln e
L
im = Lim - Lim
x-
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
63/212
e
x
* - Cos x _ , . e - 1 + l - Cos x
Lim = Lim
x - 0 X
2
x - 0 X
2
Lim
eX
~
1
+
Lim
1
~
CoS X
- 1 + 1 = 2
x-o
x
2
x-o
x
2
2 2
F. Lim f ( x ) ^
x )
x - a
En los casos e n q ue tenga sen t ido, para calcu lar l mi tes de este t ipo, se
ut i l iza la propiedad de cambio de base en exponencia l :
a
b
_
e
bm a
p a r a a
=
f(
x
)
> o y para b =
g(x),
es decir ;
f(xf
x)
= e
9(x)ln f(x)
y la
cont inu idad de la funcin exponencia l .
Ejemplo 1
Si Lim f (x) = a > o y Lim g{x) =B en tonces
Lim g[x) Lnf (x)
L i / n
f{x)Z'
x)
=
Lim e
g{X>
L
V
U )
= e = e
S L 2 ;
=
Ejemp lo 2 L im ( *
1
J
= 1
l i m = l i m i = 2 y l / t ?
x + i = 2
y apl ic an do e l
x - 1 X
2
- 1 x - 1 x 1
2
x - 1
J
resul tado del e jemplo anter ior se t iene que:
59
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
64/212
Lim
x - 1
X ~ 1
IX + 1
X
2 _
1
1
4
E j e m p l o 3 Lim (1 + Sen x)
x
= e
En efecto :
2 Ln {1 + Sen x)
Lim (1 + Sen x)
x
= Lim e
x
ya que
L l m
SSLS
L i m
M L l l - L ^ L
. m
X x - 0 *
b e n X
x - 0
E j e m p l o 4 Lim x
n x
= i
t
Ln x
Ln x
x
- o
Lim
x
Ln x
=
Lim e
1J1X
= e
x - O *
I x
2
+ 5 \
x
E j e m p l o 5
=
I i T T T )
=
60
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
65/212
Como
Lim (
X + 5
\ x 't- 1 ,
1 +
Lim
X - >
X'
1
+
y Lim x =
Entonces
Li/??I
x + 5
1 =+oo
X-
+
o
\ X + 1
;
Ejemplo
6
Li/7?
j | = 0\ 2x + 5
ya que
x + 3
Lim ^
X -
X
+
3
y Lim x'
2
4-00
Ejemplo
7
Lim
1
= e
6
, o \
2 x
2 x Ln :
Lim
1 - =
Lim e
- 1)
X
Li m 2 x i / 7 i l - )
= e*
Lim 2 .
e*
-6 lim
'1
x
Ln >1 - ^
j>
x
= e
(haciendo
p = 3/x)
61
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
66/212
E j e m p l o 8 Lim (eos x)
Senx
= i
x-0
Lim
(Cos x)
sen
*
= Lim (
1 + Cos x-1)
Sen x
x-0
1 Cosx - 1 i
Lim (1 + [Cos x -1 '
1
)
Cos X
~
1
x-0
L m
| ( l + (Cos x - 1
x - 0
(Tosx-1
> \Cos x-1 \ Senx _
g
0 _
puesto que
Se n x
- Cos x - 1
Lim (1 + (Cos x -1) )
C o s x
"
1
= e y Lim
x-0
x
=
>0
Cos X - 1
X _ 0 _
n
Lim - - u
; , ; - o Sen X l
62
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
67/212
Ejerc ic ios
I) Sea
f ( x ) _ ax
D
+. . . +a
0
g(x) bx
m
+...+b
rt
demustre e i lustre con ejemplos que :
L i . i l
4 = m
II) Las s iguientes a f i rmacione s son toda s verda deras , i ls t re las con ejem plos
a
) Si Lim f { x )= +y Lim g(x) =c
=>
L im f { x ) + g{x)
= +
' V V - ^
M Si Lim f ( x )
= -
y
Lim g{x) =c
= L im f (x)
+g(x)
' jr-^?
q) Si
Lim f{x)
=+ y
Lim g{x) =c, c*
0
entonces
' vA
y
i ) S i c>0, Lim f (x) g{x)
i i ) S i c0
si c
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
68/212
e
i Si Lim f ( x )=- y Lim g(x) = c
t
O =
>
l i m f { x ) . g ( x ) =
-00 sic> 0
+ s i C < 0
f ) S i
Lim f ( x )
=+ y
Lim g{x)
= + = L i m f ( x ) g ( x ) =+oo
' V - + 0 0 X - O
I I I) Hallar el valor de los siguientes lmites :
1
. Lim W ) '
3
- *
1
{R i
3 ^ ) 2 .
Lim
x2
~
{a + 1
\
x
+
a
(R:
x-o h x~a x
3
- a
J
3 a
3 . LimJlll. (R: i ) 4 . Lim
x
"
y
" {R-.ny"'
1
)
x - 1 X
2
+ l x - y X
- y
1 1 1
T
. x
m
-l
t o
mi ,
r
, x
m
- a
m
5 .
Lim \R: )
6 .
Lim
(i?: )
x-i
x
n
- l
n x-a x - a m a
7 .
Lim
^ ( i? : 1 ) 8 .
Lim **
1
( i ? : - 2 )
X - -1 x + 3 x + 2
-+
VX+y/x + V^
9 . Lim^JKJ. (R:- ) 1 0 . Lim ( + ) ( f ?
:
i )
x-7
X
2
- 4 9 X - i
X
- 1 1 -
X
3
11. L i m ^ l (22:1) 12. L i m ^ ^ . ( * = 4 )
x- 1 2 x4 x + 1 5
y v i _L
1 3 . Lim (x*h)-Senx
{ R : C o s x ) 1 4
.
Lim
Cos x-Cos a
{ R :
.
S e n a
h-0 h x-a x a
64
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
69/212
1 5 . Lim
Sen x
~
Cos x
1-Tan x
X - *
4
16
L i m ( l - x ) Tan -M
2 0 >
Lim
Tan x-Sen x
x
2
2
x - 0
X
3
2 1 . L i m A r c S e n _ x
{ R
,
2 2
.
L i w
A r c T a n 2 x
{ R :
2
}
x~o x x-o Sen 3x 3
2 3 . Lim
1 x 2
{Ri ) 2 4 . L i m
1
^
Co s
_J (
R
:
1
x - i Ser? n x 7t x-o x
2
4
2 5 . L i m - ( : 1 ) 2 6 .
Limx(e
x
~l )
( i ? : l ]
x-o Sen ax-Sen x x-
2 7 . Lim 1-^1
+
| 4 x - l [ + [x+4 j
{ R : 6 )
2 g < L i / n
Senh x
(J?;1)
X - + 0 X X - O
X
2 9 . L i m
C o s h x 1
( / ? : ) 3 0 .
Lim (R:a~b)
x-o x
2
2 x-o x
3 1 . Lim
2x 2
+
3 x
4
(R: 2) 3 2 . Lim (i?: +~)
v / x
4
+ x
2
+
l 1 0 + x / x
3 3 . L i m ( S e W ^ + l - S e r i v ' x ( i? : 0 ) 3 4 . Lim
x+Sen x
(Ril)
x-+
x+Cos x
65
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
70/212
x + 1
a, Sen 2x_
0
Sen x -i
s
3 5 .
Lim-C (R : 1) 36. Lim (1+- )
X
{R:l)
X X
-C
3 7 . Lim
x
-o x Y 1 - X
(?:1)
Lim x+
(R: 0)
3 9 . Lim
eX e X
(R: 2}
x~o Sen x
IV) Demostrar que:
1. 2 . Lim{ l + -I-)
x
=l
L + X E X - + X
2
3 . L I M (
J Y + 1
)
2 X
'
1
= E
6
4 .
Lim (1+Ta n
2
sjx)
2 X
= / E
X~2
x - 0
Sen x
5
. Lim
Sen
6 . L i m (S e i 1 * ) ^ =55^=1
X
x - 0
X ?
1
7 . L I M ( C O S X )
X
= 8 . Lim x Sen 1 = 0
X-0 y/e
x - C X
9. Lim X Sen-=1
1 0 .
Lim^+Sen x=+ y
Lim g(x) =0 (R:No) h) Lim f [x) = 1 y Lim g(x) =+> [R:N0]
x - a x - a x - a x - a
Vi) Se pueden concluir las af i rmaciones siguientes? just i f icar sus
respuestas.
a ) S i Lim f (x) = + y L i m g ( x ) =0 = L i m f ( x ) g{x) =0 {R:No)
X - + o o X - " X
00
>) S i L i m f ( x ) = + y L i m g ( x ) = + >= >Lim [ f ( x ) - g ( x ) ] = 0
{R:No)
f i
c ) S i
Lim f ( x )= +
y L i m g ( x ) =-=>Lim
'
= -
(R:No)
x - + x - ' < x - + > g ( x )
67
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
72/212
CA PITUL O I I
DERIVADAS
Si bien es cierto que a part i r del concepto de l mite se ha podido obtener
informacin sobre el comportamiento de una func in en un punto y en una
vecindad de l , esta informacin resulta incompleta si se pretende indagar
algo ms sobre la curva en dicha vecindad, por ejemplo si se requiere saber
cul es su ndice de variacin, s i sta sube o baja, s i es cncava o convexa,
dnde presenta puntos ext remos, y ot ros aspectos los cuales se pueden
estudiar a part i r del conocimiento de un l mite especial l lamado la derivada
de una func in. Este concep to se conv ier te en una val iosa herram ienta
para descr ib i r fenmenos y para anal izar resul tados que se presentan a
t ravs de ecuaciones que representan curvas, s iendo impresc indible en cas i
todo t rabajo de matemt ica apl icada.
68
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
73/212
2.1. I N TR O D U C C I O N AL C O N C EPTO D E D ER I VAD A
A) Ve l o c i d a d I n s t a n t n e a :
Suponga que una part cula se desplaza a lo largo de una recta con una
velocidad que no es con stante , es decir, que vara con el t iemp o. Se a S(t)
la posic in de la part cula t segundos despus de haber inic iado el
mo vimiento. En el t iemp o t
Q
la part cula se en cue ntra en el pun to
S ( t
0
) so bre la recta y para h en R, en el t iem po
t
0
+
h
se encu entra
en el punto S ( t
Q
+ h ) (fig. 15).
Como la veloc idad no es constante entonces en los puntos comprendidos
entre
S ( t
0
) y S
(
t
0
+ h )
la part cula va a di fere ntes velo cida de s.
Recordando que cuando la veloc idad es constante, sta es igual a l espacio
recorrido div idido entre el t iempo que demora la part cula al recorrerlo, al
Figura 15
to
s(to
+h]
69
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
74/212
tomar e l espac io S ( t
0
+ h ) - S ( t
Q
) y div idir lo entre el t iem po que
demora la part cula en recorrerlo
{t
0
+ h ) - t
Q
= h
: se ob t iene no la
velocidad con que la part cula recorre este tramo, pues esta no es
constante, s ino la veloc ida d m e d ia que l leva la part cula cuan do lo
recorre.
S ( t
Q
+ h ) -S ( t
0
)
V E L O C I D A D M E D I A =
Ahora la pregunta es: A qu veloc idad pas la part cula en el t iempo
t
0
?
o dicho de otra forma, cul es la velocidad instantnea en el punto
S
(
0
) ?
An cuando la veloc idad en el ins tante
t
0
es cons tante, no es posible
apl icar la frmula de veloc idad constante para calcular la, pues no se
dispone de un t ramo de espacio (pues se calcula en un punto) n i de un
intervalo de t iemp o (pue s se calcula en un instante da do ). Esta si tuacin
s e p u e d e o b v i a r c o n s i d e r a n d o e l t r a m o d e e s p a c i o
5
( h + h ) - S ( t
0
)
y e l t iempo h que se dem ora en recorrer lo.
70
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
75/212
Asi el cociente
s
( h
+
h ) - S (t
Q
)
aunque representa la veloc idad
h
le dia en ese intervalo de t iem po, a med ida que h se haga m s
jueo, e l punto
S ( t
0
) y
S ( t
Q
+ h
) estarn m s cerca nos y esta
veloc idad m e d ia se aprox im ar cada vez ms a la veloc ida d instantne a
buscada, l legando a ser exactamente el la, en el caso ideal en que h -> 0, es
decir:
B) Pend ien t e de la rec ta tang en t e a una cu rva en un pu n to
Se parte de la idea intui t iva que se tiene de lo que signif ica recta tan ge nte
a una curva en un pun to y lo que signif ica recta seca nte a una curva
Velocidad instantanea en el tiempo t
Q
= lim
A-0
S
(
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
76/212
Ahora sea y = f(x) una funcin y
P
0
= ( *
0
/ ( ) ) y
=
(
x
o
+ h
> f(
x
o
+
h ) )
d o s
puntos sobre la
curva que repre senta f(x). Co nsid ere la recta M sec an te a esta curva en los
puntos P
0
y
P
1
(fig. 17).
Como se t ienen dos puntos sobre la recta, se puede calcular su pendiente
(di ferenc ia de ordenadas sobre di ferenc ia de absc isas):
M
_ f (
x
o
+ h
) f (
x
o ) _ f ( x o
+
h ) - f ( x
0
)
Xq +
H
-
Xq
h
De la misma forma se puede calcular la pendiente de cualquier recta
sec ante , s i sta corta la curva en dos puntos. La si tuac in pro blem tica
para hal lar la pendiente de una recta se presenta cuando solamente se
72
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
77/212
conoce un punto de el la, pues no es posible hal larla de esta forma como es
el caso qu e se pre tend e trabajar: Ha l lar la pe ndie nte de la recta L tang en te
a esa curva en el punto
P
Q
Para resolve r este pro blem a cons idre nse las rectas sec an tes jL, , L
2>
Ig. . .
que pasan por los puntos
= K
+ h
1 >/(* 0
+,
*l))>
P
2
=
( *Q
+
K o
+
^2))
P
3
=(x
Q
+ h
3
,f(x
Q
+h
3
)),...
respect ivamente y que adems pasan por e l punto
P
0
= ( x
Q
, f ( x
0
) ),
siendo
h
i
un nm ero muy cercano a cero para todo i, e l cual estar m s
prximo a cero a medida que el subndice i sea ms grande (f ig. 18).
73
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
78/212
f i g u r a 1 8
V
L
L3
s l2
L1
7Z5 XfrAj XbUSXM
O bs er ve de la f igura 18 que a m edid a que se ac erc a m s a ce ro,
el punto ( x
Q
*
h
i
>
f
-0 es decir ,
Pendiente de la Recta Tan gente en p
0
- im Pendiente L
b
-
E J E M P L O 1
Un objeto recorre 5 ( t ) - t
2
+ 2me t ros en los p r ime ros t se gun dos .
I im
4-o
( *
0
+ h) - f u
0
;
5
74
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
79/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
80/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
81/212
, ,
m
S ( 4
+
A ) - S ( 4 2
= | m
( 4
+
/i )
2
-* 2 - ( 1 6 + 2 )
=
A-o h h-o h
| m
1 6 + 8 / , + A * , 2 - 1 8 - i b n
A- O
h
h-
O h
I i m 8 + / j = 8
A-O ^
e
)
=
+ -|
m
(t
+
h)
2
+
2-(t
2
+2)
h-
o h
h-
o
l im _
| j m =
/ /-O /z
l im 2r
+
=2r ,
luego la velocidad es 0 si 2t = 0, es decir , t = 0 seg.
77
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
82/212
E J E M P L O 2
Una pelota se lanza ver t ica lmente hacia ar r iba desde e l p iso, con una
ve loc ida d in ic ia l de 6 m/seg . Si e l sen t ido posi t ivo de la d istanc ia, d esd e
el punto de par t ida es hacia ar r iba, e l espacio recorr ido es:
s ( t ) -
3
t
a
+ 61, s iend o S la d istanc ia reco rr ida por la pelota d es de
el punto de par t ida de sp u s de t se gu nd os . Hal lar :
a) La velocidad de la pelota t ranscurr idos 2 segundos
b) El t iempo que tarda la pelota en a lcanzar e l punto ms a l to
c) La a l tura mxima que a lcanza la pelota
d) El t iempo que tarda la pelota en l legar al piso
e) La velocidad de la pelota al l legar al piso
Ten iendo en cuenta que e l mov imiento s igue s iendo rec t i l neo en tonces:
a) La velocidad de la pelota en t = 2 seg es:
lim
9(2+h)1-5(2) - i im -3(2+)
a
+6 (2+A) -
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
83/212
l i m - 6 - 3 A = - 6
A- 0
S E
S
b) La pelota a lcanza e l punto ms a l to cuando su velocidad es cero, es
decir:
0
=
|im
s
(
t + h
) s ( f )
=
,
m
~3(t+h)
2
+6(t+h) +3t
2
-6 t
=
A- O h A- 0 h
l im ~
3
(
t 2 + 2 t h + 6 t + Q h +
3
2
- 6 r
= | m
-3 t
2
-6th-3h
2
+6h+3t
2
=
A~Q
h
A- 0
h
l im - 6 ^ - 3 / ^ 6 h
= | m
_
3 h + 6 =
_
& + 6 i
A- Q
h
h-o
luego -6t + 6 = 0 6 = 6t t = 1 s e g y as la ve loc ida d es ce ro
t ranscurr ido 1 seg.
c) La a l tura m xim a de la pelota ocu rre cu an do t = 1 seg. , es decir ,
S (1) = - 3 + 6 = 3 m, y as la al tura m x im a a lca nz ad a por la pelo ta es d e
3 metros.
d ) La pe lo ta l lega a l p i so cuando S = 0 , o sea , cuando - 3 + 6 = 0
>
e s
dec ir , t ( -3 t+6) = 0 < = > t = 0 6 = 3 t , y as , t = 2 se g , luego la pe lo ta l lega
79
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
84/212
al piso al cabo de 2 seg.
Segn lo calculado en b):
La velocidad de la pelota en el instante t es: - 6t + 6, luego la velocidad de
la pelota cuando l lega al piso es - 6 (2) + 6 = - 6 m/seg .
EJ EMPL O 3
Ha llar la pe nd iente de la recta tang en te a la curva y (
x
) _ y -jq _
x
en
( 1,3). De la pa rte B se t iene q ue :
La pendiente de la recta tangente en (1,3) es:
,
i m
/ ( 1 + * ) - / ( 1 )
=
,
i m
\ /10 ~(1
+
h) - y/ 9
=
h-o h h-o h
l im +3
=
h
-0
h h-o h 3
,
i m
Q - * ) - 9 __,
m
- 1
9 ^ +3 ) +3
6
EJ EMPL O 4
Ha llar la pe ndie nte de la curva / ( x ) - en el pu nto ( 2 , )
* + 1 3
80
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
85/212
En forma anloga al ejemplo 3 se t iene que:
Pendiente de la recta tangente a la curva
f { x )
en el punto
* + 1
1
1
- 1
(
2
' 3 >
e s :
| m
/ ( 2 ^ ) - / ( 2 )
= | j m
2+t+ 1 3
=
h-o h h-Q h
lim 3 - < A ^ 3 )
= | m
- 1
h 3 (A + 3 ) f t A-O 3 ( / i + 3 ) 9
2.2. DEFINICION DE DERIVADA
Los pro blem as A y B del num eral anter ior l levaron a resul tados an log os en
su presentac in: El incremento de una func in S(t
Q
+/ i ) - S ( Q p a r a e l
p rob lem a A y f(x
Q
+ h ) - f (Xo)para e l pro blem a B) div idido entre el
increm ento de la variab le (h) y hac iend o que ste t ienda a cero. Los
l mi tes de coc ientes de este mism o t ipo apa recen tamb in en much os
problemas relac ionados con di ferentes reas del conocimiento como la
f s ica, matemtica, economa, etc, razn por la cual se just i f ica un estudio
detal lado de el los que es prec isamente lo que se conoce con el nombre de
der ivadas de func iones.
81
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
86/212
DEFINIC IONES
1) Sea y = f (x) una funcin y sea a un punto en el dominio de f(x), s i existe
el l mite:
l
m
/ (
Q +
f t ) f (
a
)
en ton ces al valor num rico de ste, se llama la
A - 0
h ;
S . V
J
de r iva da de f en e l p un to a y se nota p or f ' (a ) o f ( a )
{x)\
dx dx
2) Dada una func in y = f (x ) , se l lama func in der ivada de f (x ) , o
s implemente la der ivada de f (x) , a ot ra func in notada por f (x) o
dx
def in ida como:
f'{x) = lim
+
f (
x
) en los puntos x del dom inio de f don de ex is ta este
A-o h
l mite.
N O T A S :
a) Note que la def inic in 1) es una def inic in local, que corresponde a la
derivada de la funcin en un punto, y su resultado es un nmero real, y la
def in ic in 2) corresponde a una def in ic in global , que es la der ivada de una
funcin (ya no en un punto especf ico) y su resultado es una funcin.
82
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
87/212
b) En la de f inic in 1) si se hac e x = a + h es ev idente que cuando
h -> 0, x t iende a a y a d e m s h = x - a luego la der iv ad a de f en e l punto
x = a
se puede tambin de f in i r como:
h-Q h
x
-a X-
E J E M P L O 1
Hallar la der ivada de f (
x
) = x
2
+ x + 1 en el pu nto x = 2.
f ' ( a ) = / ' ( 2 )
=
l i m & L A ? 1
=
|
m
+a: +
1 ) - ( 4
+
2
+
1 )
x-2 X-2 x-2 x-2
l l m .
| m
(x
+
3Hx-2)
= H m
,
+ 3
.
5
x-2 X-2 x-2 (X-2) x-2
Desde e l punto de v ista del problema B) del numeral anter ior , este resul tado
indica que la pendiente de la recta tangente a la curva
y
= + ^ + -j en
el punto (2,7) es 5.
E J E M P L O 2
8 3
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
88/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
89/212
/ ( O )
=
l i m /
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
90/212
E J E M P L O 4
H alle, si existe , la de riva da de j ^
x
^
=
en x = 0.
3 - 3
/ ' ( O ) - l i m ^ i A W M .
| i m =
h~Q
h h-0 h
l i m - ^ 5 = l i m - = + es decir, e l l i m ^
0
^ *
A-0 A k~ Q
h
-Q h
no existe y por tanto j - (
x
)
=
^ no es de rivab le en x = 0.
86
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
91/212
Como se puede apreciar en la f igura 20 la recta "tangente" a la curva
/ ( * ) = Vx
e n e l
P
u n t 0
(0-0) (v ista como l mites de rectas
secantes) t iene pendiente inf ini ta (que no es un nmero).
EJEMPLO 5
Hallar la derivada de
2 si x
1
a) Si x
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
92/212
/ ( 1 )
,
l i m
/ ( l A M l )
c ) X ( ' )
=
'
, m
el cua l no existe ya qu e los l mites
A - 0 h
la tera les son d i ferentes, pues
l i m - ^
1 1
~
2
= |im - =1
h-0
+
A 0 *
h
- 0
/ - O ^ A- 0 ^ A- 0 ^ A- 0~
asi:
0 s i ; t1
N O T A :
En los puntos donde no hay der ivada no s iempre se presentan las
s i tuac iones de los casos de l e jemplo 3 (p icos) o de l e jemplo 4 , ( tangentes
ver t ica les) s ino que puede suceder tambin que la func in no sea cont inua
en esos puntos como se puede conc lu i r de l s igu ien te resu l tado:
T E O R E M A
Si y = f (x) es una funcin der ivable en x = a entonces f es cont inua en este
punto .
D e m o s t r a c i n :
88
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
93/212
Por hiptesis f es derivable en x = a entonces el lmite:
l im
M z M =f (a)e E
x-a
x-a
Para ver que f es continua en x = a, basta ver que:
lim M =Aa) es decir , que ' '
m
A
x
) A
a
)~0
x-a x-a
En efecto:
im fa) ~f(a) =l im =
x-a x-a X~CL
lim ^ *\\mx-a =f(a) *0 = 0
x-a X ~ Q x-a
Del ejemplo 3 se puede concluir que el recproco de este teorema no
siempre es cierto, pues all f(x) es continua en "cero" pero no es derivable
en "cero".
Grf icamente, si una funcin no es derivable en un punto x = a, entonces
en este punto se puede presentar un salto o hueco (discontinuidad), o un
pico (ejemplo 3) o la recta tangente en ese punto tiene pendiente infinita
(ejemplo 4). La existenc ia garantiza en ese punto suavida d de la curva y
pendiente numrica de la recta tangente en ese punto.
EJEMPLO 6
89
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
94/212
J W =
x
2
+1 si x*0
30 si x=0
no es derivable en x - 0. pues f no es cont inua en este punto, observe que
esta funcin es derivable en cualquier otro punto.
EJERCICIOS
1) Si una piedra se arroja desde el piso hacia arr iba en forma vert ical con
una ve locida d inic ial de 10 m/se g, y s i $ ^ = - + 10r do nd e s es
la distancia recorrida por la piedra desde el punto de part ida a los t
se gu nd os y e sen t ido posit ivo es hacia arr iba. Ha l lar:
a) La velocidad media de la piedra durante el intervalo de t iempo
3 , 5
< t <
4 4
3
b) La velo cida d instant nea a la piedra a los seg un do s.
4
c) Cunto t iempo tardar para l legar a l punto ms elevado?.
d) Cul es la al tura mxima que alcanzar la piedra?
e) Cul es la velocidad de la piedra cuando l lega al piso?
9
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
95/212
2) Un objeto recorre
t
3
+ t + 2
me tros en los pr imeros t segu ndo s.
a) Cunto recorre entre t = 2 y t = 3 segundos?
b) Cul es su veloc ida d m edia en ese intervalo?
c) Cul es su veloc idad en t = 4 segundos?
3) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) = 2x
3
+ 3
e n
el punto (1,2).
4) Hal lar la ecu aci n de la recta tang ente a la curva y =
x
2
+ -j qu e pasa
por el origen.
5) Hallar sobre a grfica de
y =
x
2
+ 2x +
5
e
punto donde la recta
tangente es paralela a y = x - 1
6) Ha llar la ec ua ci n de la recta tan ge nte a la curva y - -
x
2 e n e l
punto (0,1).
7) Hal lar la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y es normal a la curva
y = x -
2
8) Ha l le la ecu aci n de la recta que tiene pend iente - y que es
91
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
96/212
tangente a la parbola
x
2
+ 4
V
= 20
9) Usando la def inic in de derivada, hal le las derivadas de las funciones:
a ) f { x )
y c alc ule / ( O ) v / ( 1 )
b
) / ( jc ) = \x~+~2~ Y ca lcu le / ( 2 )
y
f\Q)
c) / ( * ) - ai-
2
+
a r y
c a lc u le / ( 4 )
v
/ ( )
d
) e N
6 )
/ ( * )
10)
a) Es deriva ble en x = 0?
b) Es
f[
x
)
= |jc| (jc - 2) de riva ble en x = 0?
c) E s / ( * ) = |;c| jjc
1: deriva ble en x = 0? en x = 1?
d) Es ^ deriva ble en x = 0?
e) Es
=
| 4 - j c
2
| deriva ble en x = 0? x =
1
? x =
-1
?
9 2
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
97/212
11) El l mi te dado es una der ivada . De qu funci n y en qu p un to?
a) lim 2 ( 5 ^ A )
3
- 2 5
3
h-o h
b) lim ( 3 ^ ) ^ 2 ( 3 ^ ) - 1 5
h-Q h
c) l im
x-2 X - 2
X
3
+ X - 30
d) lim
x - 3 * ~ 3
e) lim
h-
0
COS(x+h) -CQSx
h
12) Hal lar los valores de a y b tales que f(2) exista si :
/=
ax+b si x2
13) Ha l lar los va lore s de a y b tal qu e f( 1 ) exista si :
A*) =
x
2
si
JC1
9 3
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
98/212
14) Su po ne r que f (a ) ex is te y con un camb io de var iable adecu ado , just i ficar
las af i rmaciones s iguientes:
a)
f'{a)
=lim
M l M
*-a x-a
b) / ( ) . l i m ^ l M ^ M
f-0 t
y
c ) f(a)= \\m f < f i + k ) - m
h-o h
d)
f'(a)
=lim L l M z f c L -
t-0 t
e) / ( ) = lim M z M z .
h-Q h
15) demuest re que:
La der ivada de una func in par es impar; de una func in impar es par y de
una func in per idica es per idica.
2 .3 P r o p i e d a d e s y c l c u l o d e d e r i v a d a s
Hasta ahora para calcular la der ivada de una func in es necesar io calcular
un l mi te, lo cual no s iempre resul ta inmediato. Afortunadamente, a lgunas
propiedades de la der ivada, que se t ratarn a cont inuac in, fac i l i tarn este
94
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
99/212
clculo, s in necesidad de recurr i r , en la mayor a de los casos, a l uso de
lmites . Las exp res ion es y resu l tados que aparec en en es tas prop iedad es
se supone que son v l idas donde e l las tengan sent ido en e l campo de los
nmeros reales.
1. Si
f(x)
= K (constan te) en tonces
f(x) =
0
En efecto:
f'(x) - Lim fcihtl .
Li m
k
Um
0 . o
h- o h h - o h h - o h
E j e m p l o 1
Si f(x) = 5 en tonce s f(x) = 0
E j e m p l o 2
S i f
(
x
)
=
y f en to nce s f(x) = 0
2. Si f(x) = x en tonce s f(x) = 1
En efecto:
f'(x) = Lim fi^'h)-M
= Um
W t * - Lim- - 1
a - o h h - o h h - oh
3. La der ivada de una suma de func iones es la suma de sus der ivadas, es
decir ,
95
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
100/212
En e fec to :
(f
+ g) ' (x) =
f(x) + g (x)
A- 0 /I A- 0 /I
= U m
+
* ( * + * ) - * ( * )
=
A - o
h
Um
+ m
g ^ t m - _
m +
/
W
A - O h A - O h
E j e m p l o
S i f(x) = a + x en tonces f(x) = 0 + 1 = 1.
4. La der ivada de d i fe renc ia de func iones es la d i fe renc ia de sus der ivadas,
es decir ;
(f - g ) ' ( x ) = f ( x ) - g ' ( x )
D e m o s t r a c i n ( E j e r c i c i o )
5 . ( f g ) ' ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )g ' ( x ) .
En efecto:
A - 0
h
A - O
h
Li m
Ax+h)g(x+h) -Ax)g(x)
+
f{x)g(x+h) -AxMx+h)
=
A - 0 /I
96
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
101/212
Lim AxMx+h)-g(x))
+
g(x+h)(f{x
+
h)-M)
=
A - o h h
Um M*Lim S^h)-g(x)
+ m m
ftx+h)-flx)
A - O A - O A A >O A - O A
Nota
Como un caso par t icu la r .s i
g(x) =
k ,en tonces (k
f)\x) =
k
f ( x )
E j e m p l o 1
S i f(x) = a + bx + 2 en tonces f(x) = 0 + b + 0 = b
E j e m p l o 2
S i f(x) = x
2
e n t o n c e s f(x) = 1. x + x . 1 = 2 x
E j e m p l o 3
Si f(x) = 5 + 4x + 8x
2
en tonces f(x) = 4 + 16x
1 ^
_ . 8\x)
\g(x)]
2
En efecto:
1 1
8(x)
= Lim 8
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
102/212
8/10/2019 LMITES Y DERIVADAS. BERNARDO ACEVEDO FRAS. UN MANIZALES..pdf
103/212
E j e m p l o 1
Hallar
f(x)
si
J{x) =
3+2x
/ / ( t )
_ (3+2x)(3-2x)'-(3-2x)(3+2x)'
=
(3+2x)(-2)-(3-2x)*2
(3 +2x)
2
( 3+2x)
2
=
12
( 3+2x)
2
E j e m p l o 2
Si =
e n t Q n c e s
x
3
- 6 b t
2
+ 2 2
=
( ^
3
- a
y
2
+ 2 2 ) ( 4 x
7
- 2 a
y
3
+
v
/
2
y
)
/
- ( %
7
- 2 a c
3
+ v
/
2
y
) ( ^
3
- 6 c
2
+ 2 2 )
/
( x
3
- 6 ; c
2
+ 2 2 )
2
~ ~
= (x
3
-te
2
+22)(20x
6