Logica borrosaSistemas borrosos
Diego Milone
Inteligencia ComputacionalDepartamento de Informatica
FICH-UNL
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Organizacion
IntroduccionMotivacionConjuntos borrosos y binariosEjemplos
Operaciones basicasOperaciones elementalesDistancias borrosas
Caracterizacion de los conjuntos borrososEl conjunto borroso medioEntropıas borrosasTeoremas de entropıa y subconjuntos
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
if-then borroso?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
if-then borroso?si la temperatura es ALTAentonces activar el acondicionador a nivel MEDIO
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
if-then borroso?
Incerteza vs. aleatoriedad:
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
if-then borroso?
Incerteza vs. aleatoriedad:
Uno vs. muchos objetos o eventos
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Introduccion
Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?
Reglas linguısticas
if-then borroso?
Incerteza vs. aleatoriedad:
Uno vs. muchos objetos o eventos
En un objeto que se acerca desde lejos tenemos incerteza o aleatoriedad?
En el numero que saldra al tirar los datos tenemos incerteza o aleatoriedad?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos binarios
A
A
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
A
A
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
tx ∈ F → 1,0 tx ∈ F → 0,8tx ∈ C→ 1,0 tx ∈ C→ 0,2
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)
• Velocidades (caso discreto)
µL = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 µL = 1 1 1 0,6 0,3 0 0 0 0 0 0µM = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 µM = 0 0 0 0,3 0,6 1 1 0,6 0,3 0 0µR = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 µR = 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0,6 1 1
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):
• Conjuntos binarios P = (0; 1)y Q = (1; 0)
• Conjutnos universo X = (1; 1)y vacıo Φ = (0; 0)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado
P
Q
X
Z
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado
P
Q
X
ZA
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado
P
Q
X
ZA
?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Conjuntos borrosos
Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado
P
Q
X
ZA
?
Funciones de membresıa o pertenencia:• Conjuntos binarios: µA : x→ {0, 1}• Conjutnos borrosos: µA : x→ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Organizacion
IntroduccionMotivacionConjuntos borrosos y binariosEjemplos
Operaciones basicasOperaciones elementalesDistancias borrosas
Caracterizacion de los conjuntos borrososEl conjunto borroso medioEntropıas borrosasTeoremas de entropıa y subconjuntos
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Subconjunto borrosoSea E un conjunto enumerable y x un elemento de E. Unsubconjunto borroso A de E es un conjunto de paresordenados:
A = {(xi, µA(xi))}; xi ∈ E
donde µA(xi) es el grado de membresıa de x en A.
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones binariasConjunto binario incluido:
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x
Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x
Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x
Complemento: B = Ac ⇔ µB(x) = 1− µA(x) ∀x
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x
Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x
Complemento: B = Ac ⇔ µB(x) = 1− µA(x) ∀x
Interseccion: A ∩ B⇒ µA∩B(x) = mın {µA(x), µB(x)} ∀x
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x
Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x
Complemento: B = Ac ⇔ µB(x) = 1− µA(x) ∀x
Interseccion: A ∩ B⇒ µA∩B(x) = mın {µA(x), µB(x)} ∀x
Union: A ∪ B⇒ µA∪B(x) = max {µA(x), µB(x)} ∀x
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)Diferencia: A− B = A ∩ Bc
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)Diferencia: A− B = A ∩ Bc
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Operaciones borrosas elementales
Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc
)∪(Ac ∩ B
)Diferencia: A− B = A ∩ Bc
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =
n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|
Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)
n
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =
n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|
Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)
n
Distancia euclıdea: e(A, B) =
√n∑
i=1|µA(xi)− µB(xi)|2
Distancia euclıdea relativa: ε(A, B) =e(A, B)√
n
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Organizacion
IntroduccionMotivacionConjuntos borrosos y binariosEjemplos
Operaciones basicasOperaciones elementalesDistancias borrosas
Caracterizacion de los conjuntos borrososEl conjunto borroso medioEntropıas borrosasTeoremas de entropıa y subconjuntos
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R
2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R
2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:
1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R
2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R
2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R
2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
¿A es convexo?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Conjunto normal: max {µA(x)} = 1
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Conjunto normal: max {µA(x)} = 1
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}
Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}
∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]
Conjunto normal: max {µA(x)} = 1
Tamano de un conjunto borroso: |A| =n∑
i=1µA(xi)
(relacion con los conjuntos binarios...)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Otras propiedades curiosas
A ∪ Ac =? X
A ∩ Ac =? Φ
Ejemplo:A = (0,2; 0,8)
Ac = (0,8; 0,2)
A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Otras propiedades curiosas
A ∪ Ac =? X
A ∩ Ac =? Φ
Ejemplo:A = (0,2; 0,8)
Ac = (0,8; 0,2)
A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Otras propiedades curiosas
A ∪ Ac =? X
A ∩ Ac =? Φ
Ejemplo:A = (0,2; 0,8)
Ac = (0,8; 0,2)
A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Otras propiedades curiosas
A ∪ Ac =? X
A ∩ Ac =? Φ
Ejemplo:A = (0,2; 0,8)
Ac = (0,8; 0,2)
A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
El conjunto borroso medio
M/µM(x) =12∀x ∈ E
Introduccion Operaciones Caracterizacion
El conjunto borroso medio
M/µM(x) =12∀x ∈ E
M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc
Introduccion Operaciones Caracterizacion
El conjunto borroso medio
M/µM(x) =12∀x ∈ E
M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc
¿M es el conjunto mas borroso?P
Q
X
Z
M
Introduccion Operaciones Caracterizacion
El conjunto borroso medio
M/µM(x) =12∀x ∈ E
M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc
¿M es el conjunto mas borroso?P
Q
X
Z
M
¿Como medimos la borrosidad?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosa
S(A) =d(A, In
min)
d(A, Inmax)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosa
S(A) =d(A, In
min)
d(A, Inmax)
In = {0, 1}n
Inmin = In
j∗ ⇔ d(A, Inj∗) < d(A, In
j ) ∀j 6= j∗
Inmax = In
i∗ ⇔ d(A, Ini∗) > d(A, In
i ) ∀i 6= i∗
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5
1,5 = 13
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5
1,5 = 13
S(M) =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5
1,5 = 13
S(M) = 1,0
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5
1,5 = 13
S(M) = 1,0S(In) =?
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)
A
I2max
I2min
dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5
1,5 = 13
S(M) = 1,0S(In) = 0,0
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
I2min
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa borrosa
S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
I2min
I2max
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
Ejemplos:
• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
Ejemplos:
• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
0,4+0,2
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
0,4+0,2 = 23
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4
0,5+0,4
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
ABA ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4
0,5+0,4 = 89
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB = A ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB = A ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB = A ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
0,2+0,2
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?
ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|
AB = A ∩ B
Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)
• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)
• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2
0,2+0,2 = 1
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩�����
(A ∪ Ac)||A ∪ Ac|
=|A ∩ Ac||A ∪ Ac|
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
I2min
I2max
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
I2min
I2max
(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)
Introduccion Operaciones Caracterizacion
Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso
S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|
|A ∪ Ac|
A
AcA ∩ Ac
A ∪ Ac
I2min
I2max
(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac) (A ∪ Ac)