Logica de predicados

RAZONAMIENTO MATEMATICO 5º

Pablo Ninaquispe Cesar Enriquez Página 1

Los términos “y", "o", "no", "si... entonces..:" y "si y sólo si", se llaman conectivos lógicos porque sirven para

UNIR dos o más proposiciones simples o compuestas. Los símbolos son.

Símbolo Nombre Lenguaje común

~ Negación “no”, “no es cierto que” “no es el caso que”

Conjunción “y”, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, a

pesar que, no obstante

Ѵ Disyunción inclusiva “o”

Disyunción exclusiva “o”, “o... o...”

Condicional “si... entonces...”, “si... dado que...”, “... siempre que...”

“….porque…”, “….en vista que….”

Bicondicional “sí y solo sí”

1. Conjunción ( ) Une dos proposiciones mediante el término “y”

Ejemplo:

Juan es estudiante y juega fútbol

2. Disyunción Débil o Inclusiva ( )

Une dos proposiciones mediante el término “o”

Ejemplo:

Juan irá al cine o al estadio

p: Juan irá al cine

q: Juan irá al estadio En símbolos p ѵ q

1. Disyunción fuerte o Exclusiva ()

Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.

Ejemplo:

Einstein era Peruano o Judío

P: Einstein era Peruano

q: Einstein era Judío En símbolos p q

3. Condicional ()

Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”

Ejemplo:

Si trabajas entonces tendrás dinero

P: Trabajas

q: Tendrás dinero En símbolos p q

p: Juan es estudiante

q: Juan juega fútbol En símbolos p q

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº1 APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F FECHA: …….MARZO 2012 TIEMPO: 3 HORAS

Razonamiento y demostración Identifica los principales conectores lógicos y sus respectivas propiedades



4. Bicondicional ()

Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”

Ejemplo:

Serás profesional si y solo si estudias

5. Negación (~)

Cambia el valor de verdad de la proposición

Ejemplo:

No es cierto que Juan sea ingeniero y médico

P: Juan es Ingeniero

q: Juan es médico En símbolos ~(p q)

~ p q

I. Escribir la representación simbólica de la proposición compuesta

1. Mario es bueno y es alto.

2. No es verdad que Mario no es bueno o que no es alto"

q

3. SI p = "José es médico", q = "José es dentista" r = "Fidel es ingeniero". Escribir cada una de las siguientes proposiciones en Forma simbólica.

A. José es médico y Fidel es ingeniero.

B. Si José es médico o Fidel es ingeniero, entonces José es dentista.

P: Serás profesional

q: Estudias En símbolos p q

𝑝⋀𝑞

𝑝 𝑞

Observación Cuando en un párrafo se escribe los términos No es el caso que……………………………y………………………….

~ p 𝚲 q

Es falso que ………………………………. Y ..………………………..

~ p 𝚲 q

En estos casos , los

indicados términos

niegan toda la

proposición compuesta

~ ( p 𝚲 q )



C. José no es médico; pero Fidel no es ingeniero.

D. Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico.

II. Si: p = "José es médico", q = "José es dentista" y r = "Fidel es ingeniero". Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones.

A. p ~q José es médico y no es dentista

B. (~p v q) r ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

C. p ~ q ………………………………………………………………………………………………………………………………

D. r => (p v q) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Responde las siguientes preguntas desarrollando en tu cuaderno de trabajo

I. Dadas las siguientes proposiciones: p : Estudio sistemáticamente q : Obtendré buenas calificaciones en Álgebra r : Voy a bailar todos los fines de semana s : Me sentiré feliz Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas:

A. r⇒ s B. p⇒ ( q s) C. q p D. (p r )⇒ q

Dadas las siguientes proposiciones: p : Los Bancos Hipotecarios bajan a un 6 % los intereses de los préstamos q : La venta de casas y departamentos experimentará un alza significativa r : Disminuirá la demanda de arriendo de casas y departamentos Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas.

A. p⇒ ( q r ) B. ( q r ) C. ( p ⇒ r ) D. p⇒ ( q r )

II. Identificar las proposiciones, sus conectores, luego expresarlo en un lenguaje formal. a) Eddy es joven y honrado b) El gerente habla inglés o francés c) Raimondi era Italiano o Peruano d) Si estudias entonces ingresaras e) Serás un excelente medico si y solo si te esfuerzas en tus estudios. f) No es cierto que, Tito sea pintor y se levante temprano.



RECOMENDACIONES. ENCIERRA DENTRO DE UN CÍRCULO LA ALTERNATIVA CORRECTA, TODO BORRON O ENMENDADURA INVÁLIDA TÚ RESPUESTA

1. Dadas las siguientes premisas: p: Rodrigo es abogado. q: Arturo es biólogo. r: Arturo es administrador.

¿Cuál es la expresión simbólica de? “Si Arturo es biólogo además Rodrigo no es abogado, entonces Arturo no es administrador”

a) (q p) ~r b) (q ~p) ~r c) (q p) r d) (q ~p) r e) (q p) r

2. Dadas las siguientes proposiciones: p : Daniel es comerciante. q : Daniel es un próspero industrial. r : Daniel es ingeniero. Simboliza el enunciado: “Si no es el caso que Daniel sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es

ingeniero o no es comerciante”

a) ~(p q) (r p) b) (~p q) (r p) c) ~(p q) (r p)

d) ~(p q) (r ~p) e)(~p ~q) (~r p)

3. Dadas las proposiciones : p : Lenin aprueba sus cursos q : Lenin va a la fiesta r : Lenin estudia para su examen Simbolizar:

“Si Lenin va a la fiesta entonces no estudiará para su examen, pero no es el caso que vaya a la fiesta y aprueba sus cursos. De ahí que Lenin estudia para su examen”

(q r) (q q) r

b) (qr) (qp) r

c) (q r) (q p) r

d) (q r) (qp) r

e) (q r) (qp) r

4. Dadas las siguientes proposiciones:

p : Daniel es comerciante. q : Daniel es un próspero industrial. r : Daniel es ingeniero. Simboliza el enunciado: “Si no es el caso que Daniel sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es

ingeniero o no es comerciante”

a) ~(p q) (r p)

b) (~p q) (r p)

c) ~(p q) (r p)

d) ~(p q) (r ~p)

e) (~p ~q) (~r p)

APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 min



1. Conjunción ( ) Une dos proposiciones mediante el término “y”

Tabla de valores de verdad de la conjunción

p q p ⋀ q

V V V

V F F

F V F

F F F

2. Disyunción Débil o Inclusiva ( )

Une dos proposiciones mediante el término “o”

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

3. Disyunción fuerte o Exclusiva ()

Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

4. Condicional ()

Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

5. Bicondicional ()

Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”

La Conjunción es verdadera solo cuando

ambas proposiciones son verdaderas

La disyunción débil es falsa cuando los dos

componentes son falsas; en los demás casos es

verdadera”.

Además si ambas componentes son verdaderas, la

disyunción débil es verdadera, por esto se llama

también disyunción inclusiva.

La disyunción fuerte es verdadera cuando sólo una de las componentes es verdadera; en los demás casos es falsa”. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción fuerte es falsa, por esto se llama disyunción exclusiva

“El condicional es FALSO cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en los demás casos es verdadero”

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

“El bicondicional es VERDADERO cuando

las dos componentes tienen igual valor de

verdad; en los demás casos es falso”.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº2 APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 3 horas



6. Negación (~)

Cambia el valor de verdad de la proposición

Una tabla de verdad es un esquema de filas y columnas que presentan los valores de verdad de las variables y los conectivos que intervienen en un esquema molecular. Evaluar un esquema consiste en determinar los valores de verdad del conectivo principal. JERARQUIA DE CONECTORES LOGICOS

La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional y la disyunción fuerte y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición:

El correcto para resolverlo sería para este caso: 1. Primero negamos

2. Luego resolvemos la conjunción

3. Por ultimo resolvemos la implicación.

RESULTADOS DE UNA TABLA

De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:

TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo: La proposición “p ( p q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q p ( p q )

V V V V V

V F V V V

F V F V V

F F F V F

CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos.

Ejemplo: La proposición “( p q ) ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q ( p q ) ~ q

V V V F F

V F F F V

F V F F F

F F F F V

4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-

Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad.

Ejemplo: La proposición “( p q ) ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q ( p q ) ~ p

V V V F F

V F V F F

F V V V V

F F F V V



EJEMPLO Nº1

Al resolver la tabla de verdad de: [ ] indique el resultado de la matriz principal EJEMPLO Nº2

Se define las proposiciones. ⋀ Además la proposición [ ] Es verdadera. Halle los valores de verdad de “p”, “q”, “r”.

EJEMPLO Nº3

Sabiendo que [ ] ⋀ Es verdadero y la proposición es falsa , halle los valores de verdad de “p”,”q”,”s”

DESARROLLA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN TU CUADERNO DE TRABAJO

PROBLEMA Nº1 Determine si las siguientes proposiciones son leyes lógicas

a) ⋀ b)

PROBLEMA Nº2 Determine la matriz principal de

PROBLEMA Nº3 Dada la proposiciones Calcule el valor veritativo de

[ ]⋀

PROBLEMA 4 Sabiendo que la proposición “p” es verdadera. ¿En cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

A. B. C. D. ⋀

PROBLEMA 5 Si la proposición

[ ] Es verdadera, entonces determine los valores de verdad de p, q, r, s Además es falso

PROBLEMA 6 Si “s” es verdadera y la proposición

[ ] Es falso , halle los valores de “p”, “q” y “r”.

PROBLEMA 7 ¿Cuáles son Tautologías?

a) [ ] b) [ ⋀ ]

PROBLEMA Nº8 Si la proposición [ ] [ ] Es verdadera, halle los valores de verdad de cada una las proposiciones p, q, r, s.



1. Cuantos “V” o “F” tienen la matriz

principal de [ ] en ese orden.

a) 2 y 6 b) 3 y 5 c) 8(v) d) 8(f) e) 6 y 2

2. Si [ ] es falso , Hallar el valor de verdad de:

[ ]

a) V b) F c) V o F d) V y F

e) No se puede determinar 3. Si

[ ] es falsa , halle el valor de verdad de a) V b) F c) V o F d) V y F e) No se puede determinar

4. Si las proposiciones

[ ] y

son equivalentes a F ,

entonces determine el valor de

verdad de y

[ ]

a) VV b) FF c) VF d) FV e) No se puede determinar

5. Si [ ] es falso y además

“q” es verdadero. Determine los

valores de verdad de “p”, “q” y “r”

a) FVF

b) FVV c) VVV d) VVF e) FFF

6. {[ ] } es

verdadero, halle el valor de verdad de

[ ] [ ]

a) verdadero b) falso c) V o F d) V y F e) No se puede determinar

7. Si [ ] [ ] es

falsa , halle los valores de verdad de

“p”, “q” y “r”

a) VFF b) VVF c) VVV d) FVV e) FFF

8. Si la proposición ⋀ es

verdadera, halle los valores de verdad

de:

y

a) VF b) FF c) VV d) FV e) No se puede determinar

9. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones

son tautologías

a) {[ ] }

b) {[ ] }

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº3 APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………..….SECCIÓN: A-B-C-D-E-F- FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 3 horas

PABLONINAQUISPE - CESAR ENRIQUEZ



PRUEBA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO Nº2 APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 30min

I. Halla la tabla de verdad de las siguiente proposiciones e indica si es tautología, contradicción o contingencia

A. [ ]

B. [ ] [ ]

II. Resuelve A. Si la proposición [ ] [ ]

Es verdadera, halle los valores de verdad de cada una de las preposiciones (p, q, r, s).

B. Si la proposición [ ] Es falsa, halle los valores de verdad de p, q y r

C. Sabiendo que: Es falsa, halla los valores de verdad de:

Comunicación Matemática: Analiza la tabla de verdad en proposiciones compuestas aplicando las propiedades de los conectores lógicos.



PRUEBA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO Nº2 APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 30min

I. Halla la tabla de verdad de las siguiente proposiciones e indica si es tautología, contradicción o contingencia

A. [ ⋀ ]

B. [ ] [ ]

I. Resuelve A. Si la proposición

{[ ] } es verdadera además , halle

B. los valores de verdad de p, q , r, s

Si “s” es verdadera y la proposición [ ] ⋀ es falsa halle los valores de verdad de p, q , r

C. Si la siguiente proposición: Es falsa, halla los valores de verdad de:

Comunicación Matemática: Analiza la tabla de verdad en proposiciones compuestas aplicando las propiedades de los conectores lógicos.



LOGICA PREDICATIVA Hemos visto anteriormente las diferentes formas de relacionar proposiciones mediante los conectivos lógicos. Ahora analizaremos la estructura interna de cada proposición, es decir la relación que existente entre el sujeto y predicado.

I. PROPOSICIONES CATEGORICAS Son aserciones que afirman o niegan que una clase (conjunto) esté incluida en otra, ya sea total o parcialmente. Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener:

Cuantificador: todos, algún, ningún.

Sujeto

Verbo copulativo: ser

Predicado.

Ejemplos 1. Todos los peces son acuáticos

Cuantificador: todos(universal afirmativo)

Sujeto: los peces

Verbo copulativo: son

Predicado: acuático 2. Ningún peruano es ecuatoriano

Cuantificador: Ningún(universal negativo)

Sujeto: peruano

Verbo copulativo: es

Predicado: ecuatoriano 3. Algunos libros son educativos

Cuantificador: algunos(particular afirmativo)

Sujeto: libros


Predicado: predicado 4. Algunas bebidas no son alcohólicas

Cuantificador: algunas(particular negativo)

Sujeto: las bebidas


Predicado: alcohólicas

II. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES Para negar una proposición categórica, se debe cambiar tanto su cantidad (universal en particular y viceversa), como su calidad (afirmativa en negativa y viceversa) Ejemplos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº4 APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………..….SECCIÓN: A-B-C-D-E-F- FECHA: …………ABRIL 2012 TIEMPO: 3 horas

PABLONINAQUISPE - CESAR ENRIQUEZ

Resolución de Problemas. Evalúa problemas de lógica de clases empleando las propiedades



Identifica los elementos de las proposiciones siguientes, luego niega las proposiciones

1. Todas las aves son animales

2. Todo león no es un pez

3. Algún perro es consentido

4. Alguna ave no es gallina

5. Todos los pensionistas son pobres

6. Ningún felino es lento

7. Algún oso es viejo

8. Algún libro no es comprado

Clasificación de las proposiciones categóricas

CANTIDAD CUALIDAD universal afirmativa

negativa

particular afirmativa negativa

Solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las siguientes:

1. Universales Afirmativas (llamadas tipo A)

Sea la proposición

“Todo pez es acuático”. Esta indica que la clase pez está incluida totalmente en la

clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es

P”

2. Universales Negativas (llamadas tipo E)

“Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningún elemento de la

clase de los niños pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de

exclusión total y se expresa por “Ningún S es P”

3. Particulares Afirmativas (llamadas tipo I)

“Algunos alumnos son artistas” es una proposición que señala que hay al menos

uno de la clase de los alumnos que está incluido en la clase de los artistas. Esta es

una relación de inclusión parcial y se expresa mediante “Algunos S son P”



4. Particulares Negativas (llamadas tipo O)

• La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas

no pertenecen a la clase de lo rojo. Aquí se establece una relación de exclusión

parcial y se denota como “Algunos S no son P”

REPRESENTACIÓN MEDIANTE EL DIAGRAMAS DE VENN

1. Universales Afirmativas Todos los estudiantes son honestos

Cuantificador: todos(universal afirmativo)

Sujeto: Estudiantes


Predicado: Acuático

2. Universales Negativas Ningún carnívoro es pez

Cuantificador: Ningún (universal negativo)

Sujeto: Carnívoro

Verbo copulativo: es

Predicado: pez

3. Particulares Afirmativas

Algunos estudiantes son trabajadores

Cuantificador: Algunos (particular afirmativo)

Sujeto: estudiantes


Predicado: trabajadores

4. Particulares Negativas Algunos estudiantes no son trabajadores

Cuantificador: Algunos (particular negativo)

Sujeto: estudiantes


Predicado: trabajadores

E H

H

E

El conjunto E está incluido

totalmente en el conjunto H

C P

P

El conjunto C está excluido

totalmente en el conjunto P

C

E T

Los conjunto “E” y “T” tienen

una inclusión parcial

X

E T

E T

Los conjunto “E”” está excluido

parcialmente del conjunto “T”

X

E T



PROBLEMA 01 Si afirmamos:

Ningún Vietnamita es americano

Muchos valientes son vietnamitas.

Entonces:

a. Todo valiente no es americano. b. Ningún americano es valiente. c. Muchos valientes mueren. d. Todo americano no es valiente. e. Muchos valientes no son

americanos PROBLEMA 02

Algunos estudiantes van a fiestas.

Todos los que van a fiestas pierden tiempo

Entonces:

a. Los que van a fiestas no son estudiosos.

b. Los que van a fiestas son estudiosos.

c. Algunos estudiosos pierden tiempo.

d. Todos los estudiosos aprovechan el tiempo.

e. No todos los que van a fiestas aprovechan el tiempo.

PROBLEMA 03 Si:

Algunos mamíferos son rumiantes.

Todo mamífero es vertebrado. Entonces:

a. Algunos rumiantes son invertebrados

b. Todo rumiante es vertebrado. c. Algunos vertebrados son

rumiantes. d. Algunos vertebrados son

mamíferos. e. Algunos rumiantes son

mamíferos.

PROBLEMA 04 Si:

Ningún filósofo es acrítico

Ciertos filósofos son racionalistas Entonces:

a. Algunos críticos son filósofos. b. Algunos racionalistas son

acríticos. c. Algunos críticos son irracionales. d. Algunos racionalistas son críticos. e. Algunos críticos no son

racionalistas. PROBLEMA 05 Si:

Los médicos son profesionales.

Algunas personas no son profesionales.

Entonces:

a. Toda persona es médico b. Ningún médico es persona. c. Es falso que los médicos sean

personas. d. Ciertas personas no son médicos. e. Ningún no persona no es médico

PROBLEMA 06 Si:

Los infantes son preescolares.

Cada bebé es un infante. Entonces:

a. Ningún bebé es preescolar. b. No existe preescolar que sea

bebé. c. Los bebés son preescolares. d. Algún escolar es bebé. e. Ningún bebé es escolar.

PROBLEMA 07 Si:

Todo hombre es racional.

Ningún animal es un ser que razona.

Entonces:

a. Algún animal es hombre.



b. Algún no animal no es hombre. c. Ningún animal es hombre. d. Todo animal es siempre animal. e. Cierto no hombre no es hombre.

PROBLEMA 08 Si:

Ningún hombre es inmortal.

Todo racional es inmortal. entonces

a) Ningún racional es inmortal. b) Todo racional es inmortal c) Ningún irracional es inmortal d) Todo racional es mortall e) Ningún mortal es irracional.

PROBLEMA 09 Si:

Ningún francés es americano.

Algún americano es peruano. Entonces, se concluye que:

a. Algún peruano es francés. b. Algún francés es no peruano. c. Algún no peruano es francés. d. Algún peruano es no francés. e. Algún francés es peruano.

PROBLEMA 10 Partiendo de las siguientes premisas:

Todo lo digno humaniza.

Algún trabajo es digno. Se concluye que:

a. Todo trabajo humaniza. b. No todo trabajo humaniza. c. Algún trabajo no humaniza. d. Algún trabajo humaniza. e. Algún trabajador no es humano. f.

PROBLEMA 11 Si:

Todos los niños son juguetones.

Todo juguetón es travieso. Entonces:

a. No todos los niños son traviesos. b. Todos los niños son traviesos. c. No es cierto que todos los niños

son traviesos. d. No es cierto que todo travieso es

juguetón. e. Todos los traviesos son

juguetones.

PROBLEMA 12 Si:

Muchos filósofos son críticos.

Todo crítico es intrépido. Entonces:

a. Ningún filósofo es crítico. b. Ningún filósofo es intrépido. c. Algunos filósofos son intrépidos. d. Todo filósofo es intrépido. e. Muchos filósofos no son

intrépidos. PROBLEMA 13 Si:

Algunos jóvenes son alienados.

Todo alienado es inmaduro. Entonces:

a. Todos los jóvenes son inmaduros. b. Todos los jóvenes son alienados. c. Es falso que algunos jóvenes son

no alienados. d. No todo joven es inmaduro. e. Algún joven no es maduro.

PROBLEMA 14 Si afirmamos que:

Ningún ave tiene alas.

Algunos mamíferos tienen alas. Se puede concluir que:

a. Ningún mamífero es ave. b. Algunas aves tienen alas. c. Algunos mamíferos son aves. d. Algunos mamíferos no son aves. e. Algunas aves son mamíferos.

PROBLEMA 15 Se afirma que:

Todos los que habitan en Marte son inteligentes.

Algunos que habitan en marte son caníbales.

Entonces podemos afirmar que: a. Algunos que son inteligentes y

habitan en Marte son caníbales. b. Todos los que habitan en Marte

son caníbales. c. Algunos caníbales no habitan en

Marte. d. Algunos inteligentes son

caníbales.



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