LÓGICA MATEMÁTICA

Est. Carlos Arias

Ing. En sistema y programación

¿Qué es el Razonamiento?

• Es una operación mental por la cual a partir de una o varias premisas se deduce una nueva premisa, también llamada conclusión.

Premisas:

a) Pedro es mayor que Carlos

b) Carlos nació dos años antes que Eduardo.

Conclusión: “Pedro es mayor que Eduardo”

¿Qué es la Lógica?

• Es el análisis formal de los razonamientos, es decir si la conclusión del razonamiento deriva de una secuencia lógica de las premisas que la fundamentan.

Premisas:

a) Pedro es mayor que Carlos

b) Carlos nació dos años antes que Eduardo.

Conclusión: “Pedro es mayor que Eduardo”

¿La conclusión es Verdadera o Falsa?

Lógica Matemática

Es el intento de dar una “forma universal” al pensamiento, expresándolo por un sistema unívoco de signos (estos quiere decir, un sistema en el que cada signo tenga un solo significado en un mismo contexto), con un sistema de relaciones entre esos signos comparable al cálculo matemático, para alcanzar así todas las verdades.

• La lógica matemática pretende hacer que todas las relaciones reales se vuelvan formales; pretende reducirlas a una “expresión matemática” que pueda ser calculada como en las matemáticas.

¿Qué es una Proposición?

• Es toda frase con sentido completo y que puede ser valorada como verdadera o falsa.

Ejemplos: Variables Proposicionales– p: Los perros siempre tienen tres patas.– q: Miriam se casará con Ricardo.

Clases de proposiciones

• Existen dos clases de proposiciones:– Proposiciones atómicas (no usan operadores lógicos)– Proposiciones compuestas (si usan operadores

lógicos)

Ejemplos:Carlos juega en el patio (proposición simple)

Javier juega en el patio y Carlos en el Jardín (proposición compuesta)

Conectores proposicionales

• Son términos sincategorimaticos que se usan para modificar o enlazar proposiciones.

MonádicosMonádicos

Diádicos

Negación

ConjunciónDisyunción no exclusivaDisyunción exclusivacondicionalbicondicional

1.- Negación

• Cambia el valor de verdad de una proposición simple.

¬

Ejemplo:p: Ricardo juega en el patioq: Eduardo estudia matemática

2.- Conjunción• Afirma que las dos proposiciones son verdaderas.

Representada por la partida lingüística y.

Ejemplo:p: Ricardo juega en el patioq: Eduardo estudia matemática

Aplicando el operador lógico resulta:

p˄q: Ricardo juega en el patio y Eduardo estudia matemática. q˄p: Eduardo estudia matemática mientras que Ricardo juega en el patio.

˄

3.- Disyunción no exclusiva • Afirma que una o ambas proposiciones

pueden ser verdaderas. Equivale a y/o.

Ejemplo:p: Ricardo juega en el patioq: Eduardo estudia matemática

Aplicando el operador lógico resulta:

p˅q: Ricardo juega en el patio o Eduardo estudia matemática. q˅p: Eduardo estudia matemática a menos que Ricardo juegue en el patio.

˅

4.- Disyunción exclusiva

• Afirma que sólo una de las proposiciones puede ser verdadera.

_

Ejemplo:p: Ricardo juega en el patioq: Eduardo estudia matemática

Aplicando el operador lógico resulta:

p_q: O Ricardo juega en el patio o Eduardo estudia matemática. r_s: En el último clásico ganó Alianza o ganó Universitario

5.- condicional• Representa la partícula lingüística si,

entonces… o cualquier otro indique la idea de condición como, cuando… entonces o un simplemente.

→

Ejemplo: p: Eduardo estudia matemática q: Eduardo juega en el patio

Aplicando el operador lógico resulta:

p→q: Si Eduardo estudia matemática entonces Eduardo jugará en el patio.

7.- Bicondicional• Representa la partícula lingüística si solo si

o cualquiera otra que indique doble condición, como, equivale, cuando y solo cuando o únicamente

Ejemplo: p: Eduardo estudia matemática q: Eduardo juega en el patio

Aplicando el operador lógico resulta:

p↔q: Si y solo si Eduardo estudia matemática entonces jugará en el patio.

↔