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Autores: Prof. Angel Antonio Gonzales Martinez Prof. Ákio Nogueira Barbosa Colaboradores: Profa. Elisângela Mônaco de Moraes Prof. Roberto Macias Prof. Daniel Scodeler Raimundo Lógica
Autores: Prof. Angel Antonio Gonzales Martinez Prof. kio Nogueira BarbosaColaboradores: Profa. Elisngela Mnaco de Moraes
Prof. Roberto MaciasProf. Daniel Scodeler Raimundo
Lgica
Professores conteudistas: Angel Antonio Gonzalez Martinez / kio Nogueira Barbosa
Prof. Angel Antonio Gonzalez Martinez: Doutorando pela Escola de Engenharia Mackenzie em telecomunicaes. Mestre em engenharia eltrica pelo Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrnicos da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo - EPUSP. Graduado em engenharia eltrica modalidade eletrnica pela Escola de Engenharia Mackenzie. Atua como professor dos cursos de Tecnologia em Automao Industrial pela UNIP. Atuou como professor nos cursos tecnolgicos de Automao e Robtica pela Unip. Atuou nos cursos tecnolgicos de Redes de Computadores, Anlise de sistemas, Gesto de TI pela Unip. Ex-coordenador dos cursos de Anlise de sistemas, Redes de computadores, Automao Industrial. Atua h vrios anos como consultor de TI para diversas empresas do segmento de TI.
Prof. kio Nogueira Barbosa: Doutorando no Departamento de Engenharia de Computao e Sistemas Digitais da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Mestre em engenharia eltrica pelo Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrnicos da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo - EPUSP (2006). Possui especializao em engenharia de segurana do trabalho pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo - EPUSP/PECE (2002) e graduao em engenharia eltrica (modalidade eletrnica) pela Faculdade de Engenharia So Paulo - FESP (1999). Exerce suas atividades profissionais na Escola Politcnica da Universidade de So Paulo desde 1988, onde a partir de 2001 assumiu o cargo de especialista em laboratrio. Atualmente desempenha suas funes no Laboratrio de Arquitetura e Redes de Computadores (Larc) do Departamento de Engenharia de Computao e Sistemas Digitais (PCS) da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, atuando nas seguintes reas: segurana de redes de computadores, gerenciamento e qualidade de servio em redes computacionais e apoio em laboratrios didticos. professor no curso de Gesto e Gerenciamento de Redes da Universidade Paulista - UNIP, membro do Comit Brasileiro da Comisso de Estudos de Tecnologia da Informao (tcnicas de segurana e percia em informtica) da Associao Brasileira de Normas Tcnicas - ABNT, membro consultor da Comisso de Responsabilidade Social da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB-SP) e perito judicial na rea de informtica. membro fundador e vice-presidente da Associao Brasileira de Percias de Informtica e Telecomunicaes - SBPIT.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrnico, incluindo fotocpia e gravao) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permisso escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)
M385 Martinez, Angel Antonio Gonzales
Lgica. / Angel Antonio Gonzales Martinez; kio Nogueira Barbosa. - So Paulo: Editora Sol.
136 p. il.
Nota: este volume est publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Srie Didtica, ano XVII, n. 2-025/11, ISSN 1517-9230.
1.Proposies 2.Argumentao 3.Predicados I.Ttulo
CDU 161/162
Prof. Dr. Joo Carlos Di GenioReitor
Prof. Fbio Romeu de CarvalhoVice-Reitor de Planejamento, Administrao e Finanas
Profa. Melnia Dalla TorreVice-Reitora de Unidades Universitrias
Prof. Dr. Yugo OkidaVice-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa
Profa. Dra. Marlia Ancona-LopezVice-Reitora de Graduao
Unip Interativa EaD
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
Material Didtico EaD
Comisso editorial: Dra. Anglica L. Carlini (UNIP) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Ktia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valria de Carvalho (UNIP)
Apoio: Profa. Cludia Regina Baptista EaD Profa. Betisa Malaman Comisso de Qualificao e Avaliao de Cursos
Projeto grfico: Prof. Alexandre Ponzetto
Reviso: Leandro Freitas
SumrioLgica
APRESENTAO ......................................................................................................................................................9INTRODUO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 FUNDAMENTOS SOBRE PROPOSIES ................................................................................................... 131.1 Proposies e conectivos .................................................................................................................. 13
1.1.1 Conceito de proposio ........................................................................................................................ 131.1.2 Valores lgicos das proposies ........................................................................................................ 151.1.3 Proposies simples e proposies compostas ........................................................................... 151.1.4 Conectivos ................................................................................................................................................. 171.1.5 Tabela-verdade ......................................................................................................................................... 171.1.6 Notao ...................................................................................................................................................... 18
1.2 Operaes lgicas sobre proposies ........................................................................................... 201.2.1 Negao (~) ............................................................................................................................................... 201.2.2 Conjuno () .......................................................................................................................................... 221.2.3 Disjuno inclusiva ou soma lgica () ......................................................................................... 231.2.4 Disjuno exclusiva (v) ......................................................................................................................... 251.2.5 Condicional () ...................................................................................................................................... 271.2.6 Bicondicional () .................................................................................................................................. 29
2 TRABALHANDO COM AS PROPOSIES ................................................................................................ 312.1 Construo da tabela-verdade ....................................................................................................... 312.2 Tautologia, contradio e contingncia ...................................................................................... 39
Unidade II
3 OPERAES ADICIONAIS SOBRE PROPOSIES ................................................................................ 493.1 Implicao lgica .................................................................................................................................. 49
3.1.1 Definio .................................................................................................................................................... 493.1.2 Propriedades da implicao lgica .................................................................................................. 493.1.3 Tautologias e implicao lgica ........................................................................................................ 51
3.2 Equivalncia lgica .............................................................................................................................. 523.2.1 Definio .................................................................................................................................................... 523.2.2 Propriedades da equivalncia lgica .............................................................................................. 533.2.3 Tautologias e equivalncia lgica .................................................................................................... 543.2.4 Proposies associadas a uma condicional .................................................................................. 55
3.3 Negao conjunta de duas proposies ..................................................................................... 57
3.4 Negao disjunta de duas proposies ....................................................................................... 574 PROPRIEDADES DAS PROPOSIES E FUNDAMENTOS DA DEDUO ...................................... 58
4.1 Propriedades das principais proposies .................................................................................... 584.1.1 Propriedades da conjuno ................................................................................................................ 584.1.2 Propriedades da disjuno .................................................................................................................. 594.1.3 Propriedades da conjuno e da disjuno ................................................................................. 614.1.4 Negao da condicional ....................................................................................................................... 634.1.5 Negao da bicondicional ................................................................................................................... 63
4.2 Mtodo dedutivo .................................................................................................................................. 644.3 Reduo do nmero de conectivos .............................................................................................. 664.4 Forma normal das proposies ....................................................................................................... 674.5 Princpio de dualidade ........................................................................................................................ 68
Unidade III
5 PRINCPIOS DA ARGUMENTAO .............................................................................................................715.1 Argumentos .............................................................................................................................................71
5.1.1 Introduo ................................................................................................................................................. 715.1.2 Definio simblica de argumento .................................................................................................. 72
5.2 Validade de um argumento .............................................................................................................. 735.2.1 Critrio de validade de um argumento .......................................................................................... 755.2.2 Lista de argumentos vlidos fundamentais e/ou regras de inferncia ............................. 755.2.3 Exemplos do uso das regras de inferncia ................................................................................... 77
6 TCNICAS PARA VALIDAO DE ARGUMENTOS ................................................................................ 806.1 Validao atravs de tabelas-verdade ......................................................................................... 806.2 Validade mediante regras de inferncia ..................................................................................... 90
Unidade IV
7 EMBASAMENTO PARA A LGICA DOS PREDICADOS ......................................................................1007.1 Sentenas abertas ..............................................................................................................................1007.2 Reviso de teoria dos conjuntos ..................................................................................................1007.3 Sentena aberta ..................................................................................................................................105
7.3.1 Conjunto-verdade de uma sentena aberta com uma varivel ........................................1057.3.2 Sentenas abertas com duas variveis ........................................................................................1077.3.3 Conjunto-verdade de uma sentena aberta com duas variveis ......................................1077.3.4 Sentenas abertas com n variveis ...............................................................................................1087.3.5 Conjunto-verdade de uma sentena aberta com n variveis ............................................109
7.4 Operaes lgicas sobre as sentenas abertas .......................................................................1097.4.1 Negao ....................................................................................................................................................1097.4.2 Conjuno .................................................................................................................................................1117.4.3 Disjuno ..................................................................................................................................................1127.4.4 Condicional .............................................................................................................................................1147.4.5 Bicondicional ..........................................................................................................................................115
7.4.6 Propriedades das sentenas abertas .............................................................................................1167.5 Quantificadores ................................................................................................................................... 116
7.5.1 Quantificador universal ...................................................................................................................... 1167.5.2 Quantificador existencial ...................................................................................................................1177.5.3 Quantificador da unicidade ..............................................................................................................1187.5.4 Negao de um quantificador .........................................................................................................1197.5.5 Quantificao com vrias variveis ...............................................................................................1197.5.6 Quantificao parcial ......................................................................................................................... 1207.5.7 Quantificao mltipla ...................................................................................................................... 120
8 NOES SOBRE SILOGISMOS CATEGRICOS ....................................................................................1208.1 Proposies categricas ..................................................................................................................1208.2 Proposies contraditrias .............................................................................................................1248.3 Silogismos categricos .....................................................................................................................126
9APRESENTAO
Caro aluno, este livro-texto uma breve introduo lgica. Logo, nela, sero examinados os principais temas introdutrios ao assunto. Usou-se da matemtica elementar como um apoio explanao dos temas de interesse pelo fato de ela ser comum a todos aqueles que j concluram os estudos bsicos.
A lgica muito importante e aplicada em diversos ramos do conhecimento, pois se trata de uma forma de entender o raciocnio humano. Nas cincias exatas, a lgica encontrou maior alcance principalmente nos temas relacionados computao. Todo o desenvolvimento de software baseado em lgica, assim como o roteamento de dados na internet, que usa livremente os conceitos de lgica.
No est nos objetivos do livro o estudo da lgica do ponto de vista filosfico, ou de argumentao lgica, mas a apresentao dos principais fundamentos da lgica clssica necessrios aos estudantes de computao e reas correlatas.
A lgica um tema bastante abrangente e este livro-texto pretende servir como um primeiro degrau para aqueles que desejam se aprofundar no assunto.
A distribuio dos temas objetivou ser a mais direta possvel. Por isso, optou-se pela introduo dos conceitos de proposio, seguidos pelos de conectivos, que possibilitam criar proposies mais complexas. A seguir, explicam-se as tabelas-verdade, pois o mtodo mais simples de se verificar a veracidade de uma proposio. So tambm estudados os mtodos dedutivos1 (por serem estes os utilizados na lgica matemtica), que fortalecem a capacidade de abstrao e nos do maior poder para resolver problemas mais complexos. A argumentao discutida a seguir, sendo examinados os conceitos bsicos e algumas ferramentas de validao dos argumentos, as tabelas-verdade e as regras de inferncia.
Finaliza-se com um breve embasamento dos subsdios lgica de predicados, fundamentam-se os conceitos de sentenas abertas, quantificadores e, por fim, o silogismo categrico.
Bons estudos!
INTRODUO
Fundamento geral
Embora a lgica seja de um modo mais amplo, concebida como um ramo da filosofia, suas aplicaes vo muito alm dos limites de qualquer disciplina isoladamente considerada. Apenas a ttulo de exemplificao, reas de estudo da lgica se estendem matemtica, lnguas, histria, direito, estatstica, cincias relacionadas com a computao e tecnologias em um aspecto mais abrangente, cada uma com o respectivo foco de interesse.
1Na sua vestimenta contempornea, a lgica vista como sistema formal dedutivo, edificado sobre linguagem formal, a qual teria a incumbncia de eliminar dubiedades interpretativas (N. do R.T.).
10
Assim, os padres de crtica da Lgica so aplicveis a qualquer rea do conhecimento em que a inferncia2 e o argumento3 sejam empregados a qualquer domnio no qual as concluses devam presumivelmente apoiar-se em provas. Isto inclui todas as reas que exijam um srio esforo intelectual, bem como os casos prticos da vida cotidiana.
Conceito de lgica
A lgica4, cincia do raciocnio dedutivo, estuda a relao de consequncia dedutiva, tratando entre outras coisas das inferncias5 vlidas; ou seja, das inferncias cujas concluses tm que ser verdadeiras quando as premissas6 o so. A lgica pode, portanto, ser considerada como o estudo da razo ou o estudo do raciocnio.
O objetivo da lgica consiste, ento, na meno e estudo dos princpios lgicos usados no raciocnio dedutivo. Sob essa concepo, temos a lgica dedutiva.
Podemos, entretanto, considerar outra lgica, a lgica indutiva, que se ocupa no das inferncias vlidas, mas das inferncias verossmeis.
A lgica, particularmente sob a acepo dedutiva, constitui a cincia subjacente s investigaes no domnio do puramente racional, tratando de argumentos e inferncias.
A lgica contempornea tem se convertido em disciplina matemtica, a lgica matemtica, com caractersticas prprias, dedutiva; o estudo do tipo de raciocnio feito pelos matemticos, porm aplicveis grande rea da Computao.
Breve histrico
O marco histrico do desenvolvimento da lgica inicia-se propriamente, no sculo IV a.C. com Aristteles7 (384-322 a.C.). A maior parte da contribuio relevante de Aristteles, para a lgica, encontra-se no grupo de trabalhos conhecidos como Organon, mais especificamente nos Analytica priora e no De interpretatione.
Para os antigos filsofos gregos, lgica era uma cincia do discurso racional. Eles passaram ento a usar em suas discusses proposies declarativas enunciadas na forma afirmativa e negativa, atribuindo valores
2 Operao intelectual que consiste em estabelecer uma concluso a partir das premissas de que se parte.3 Raciocnio que se pretende baseado em fatos e em relaes lgicas a partir deles usar para se chegar a uma concluso.4 Forma de raciocinar coerente, em que se estabelecem relaes de causa e efeito; a coerncia desse raciocnio.5 Operao intelectual que consiste em estabelecer uma concluso a partir das premissas de que se parte.6 Ideia ou fato inicial de que se parte para formar um raciocnio. Cada uma das duas proposies de um silogismo
(a maior e a menor), das quais se infere ou se tira a consequncia.7 Aristteles , filsofo grego, que viveu no sculo IV a.C. considerado o pai ou o criador da lgica. O nome lgica
veio posterior a Aristteles. A palavra logos do grego significa palavra, expresso, pensamento, conceito, discurso, razo, que para Aristteles estas so caractersticas que diferencia os homens dos outros animais.
11
verdadeiros e falsos. Isso proporcionou significativa simplificao de grande valia em toda a matemtica. Por volta de 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) usou em vrios trabalhos algumas ideias as quais denominou de Calculus ratiotinator, ou Logica matehematica ou Logistica. Embora estas ideias nunca tenham sido teorizadas por Leibniz, seus trabalhos j traziam a ideia da lgica matemtica.
J no sculo XVIII, Leonard Euler (1707-1783) introduziu a representao grfica das relaes entre sentenas ou proposies, pesquisadas e ampliadas por John Venn (1834-1923), Edward W. Veitch em 1952 e Maurice Karnaugh em 1953.
Em 1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou o tratado Formal logic. Em 1848, George Boole (1815-1864) escreveu o artigo The mathematical analysis of logic, e mais tarde, em 1854, publica um livro sobre lgebra de Boole8, chamado An invetigation of laws of thought (Uma investigao das leis do pensamento) e posteriormente, em 1859, escreveu Treatise on differential equations (Tratado em equaes diferenciais) no qual discutiu um mtodo simblico geral.
O trabalho de Geoge Boole foi estudado e ampliando por Lewis Carrol em 1896, Alfred North Whitehead em 1898, Edward V. Huntington (1904 e 1933) entre outros. Todo estes perodos de estudos e desenvolvimento da lgica proporcionaram a Alfred North Whitehead (1861-1947) e Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) publicar a obra Principia mathematica, que representou importante complemento aos estudos de Leibniz, sempre buscando mostrar uma base lgica para toda a matemtica.
Embora existisse h mais de cem anos, a lgebra de Boole no teve qualquer utilizao prtica at 1937, quando Akira Nakashima utilizou pela primeira vez na anlise de circuito de rels, tentando aplicar seus prprios conceitos.
Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua dissertao de mestrado no Departamento de Engenharia Eltrica do MIT (Massachusetts Institute of Technology Instituto Tecnolgico de Massachusetts), a aplicao da lgebra de Boole na anlise de circuitos de rels, o que serviu de base para o desenvolvimento da teoria dos interruptores (DAGHLIAN, 1936), (DOTTAVIANO, . M. L., FEITOSA, H. A., 2003).
Os tpicos elementares da lgica matemtica compilados neste material so de extrema relevncia para todo e qualquer estudante de cursos relacionados grande rea das cincias da computao, visto consiste no embasamento terico para o entendimento do outros importantes conceitos utilizados na Computao (processamento automtico de dados), em diversas disciplinas que sero estudadas paralelamente disciplina de lgica matemtica ou futuramente, tais como: sistemas de informao, automao, linguagens de programao, organizao e arquitetura de computadores, sistemas operacionais, redes de computadores, inteligncia artificial, robtica, algoritmos etc.
8 Os circuitos digitais de computadores e outros sistemas digitais so projetados e tm seu comportamento analisado, em termos de uma teoria matemtica conhecida como lgebra de Boole. A lgebra booleana faz uso de variveis e operaes lgicas.
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Objetivos
Apresentar os conceitos elementares de lgica, operaes bsicas e a simbologia a ser utilizada juntamente com as respectivas tabelas-verdade. Construir tabelas verdade de proposies compostas, juntando proposies simples atravs dos conectivos lgicos.
Introduo
Esta unidade uma introduo lgica clssica9, o que implica que o foco so os aspectos bsicos da disciplina, objetivando o aprendizado terico e, ao final da unidade, exerccios so propostos com o intuito de que o estudante possa fixar os conceito abordados, alguns com respostas mais imediatas, cujo objetivo consiste em fixar conceitos abordados e outros que exigem um grau de reflexo e raciocnio mais profundo, possibilitando ao estudante a assimilao dos aspectos elementares de maneira robusta e conceitualmente bem fundamentada, preparando-o para enveredar por fronteiras mais distantes da lgica.
Colocaram-se vrias definies de dicionrio para vocbulos que sugiram no texto, com o intuito motivar o leitor ao hbito de consultar este instrumento to valioso em qualquer idioma, fortalecendo o entendimento do texto. Verificar-se- que nem sempre a definio do dicionrio tradicional ser coincidente no contexto; s vezes, pode levar a uma conceituao inversa da desejada.
1 FUNDAMENTOS SOBRE PROPOSIES
1.1 Proposies e conectivos
1.1.1 Conceito de proposio
Lembrete
Proposio: 1. Ato ou efeito de propor; proposta 2. Expresso de pensamentos por meio de palavras. 3. Mxima, sentena, assero.
9 A lgica clssica, na sua parte elementar, versa essencialmente sobre os chamados conectivos lgicos de negao, conjuno, disjuno, implicao e bicondicional, sobre os quantificadores existencial e universal e sobre o predicado de igualdade; e sobre algumas de suas extenses, como por exemplo, certos sistemas de teorias de conjuntos e certos clculos de predicados de ordem superior (N. do R.T.).
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VIDEOAULAS
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Define-se como proposio o conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposies transmitem pensamentos, que afirmam fatos ou juzos que formamos a respeito das coisas. Enfim, uma proposio uma declarao a respeito de algum tema.
A declarao no pode ser ambgua, isto , ter mais de uma interpretao. Digamos que Joo diz a Maria: Eu vi uma foto sua no metr. Sem dvida, essa frase ambgua, pois pode significar mais de um fato: por exemplo, 1) que Joo estava na estao de metro quando pegou uma foto de Maria para admir-la, ou 2) que Joo estava em casa quando olhou para uma foto de Maria em um trem do metr.
Logo, frases como Joo chutou a bola ou A bola foi chutada por Joo representam a mesma proposio, pois possuem exatamente o mesmo significado. No importa em si se a proposio verdadeira ou falsa.
Proposio: uma sentena declarativa que pode ser interpretada como verdadeira ou falsa.
Lembrete
Ambiguidade: 1. Dvida, incerteza 2. Falta de clareza das palavras ou expresses, que pode causar vrias interpretaes.
Exemplos de proposies:
a. Madrid a capital da Espanha.
b. Aracaju capital de Sergipe.
c. 10 23>
d. cos
20=
e. Cristovo Colombo descobriu o Brasil.
f. Cervantes escreveu os Sertes.
g. 125
um nmero inteiro.
h. O nmero 17 um nmero igual 29.
i. Tan 4
2= .
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A lgica matemtica tem como princpios (leis) fundamentais do pensamento os trs seguintes axiomas10.
I. Princpio da identidade: se uma proposio verdadeira, e ela verdadeira, isso equivale a dizer que todo objeto idntico a si mesmo.
II. Princpio da no contradio: uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
III. Princpio do terceiro excludo: toda proposio ou verdadeira ou falsa.
Deste princpio diz-se que a lgica matemtica uma lgica bivalente.
Nos exemplos, as proposies (a), (b), (c) e (d) so todas verdadeiras e as demais so falsas.
1.1.2 Valores lgicos das proposies
O valor lgico de uma proposio ou verdadeiro se a proposio verdadeira, ou falso se a proposio falsa, abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente.
Exemplo:
a. O chumbo mais pesado que a gua.
b. O sol gira em torno de Marte.
O valor lgico da proposio (a) verdadeiro (V) e o valor lgico da proposio (b) falso (F) (ALENCAR FILHO, 2002)
1.1.3 Proposies simples e proposies compostas
As proposies podem ser classificadas em simples ou compostas.
Uma proposio simples aquela que no pode ser subdividida em outras proposies.
As proposies simples so geralmente designadas pelas letras latinas minsculas p, q, r, s etc., chamadas de letras proposicionais (ALENCAR FILHO, 2002).
10 Em seus escritos, Aristteles caracteriza a lgica como uma cincia do raciocnio, posteriormente entendida como estabelecedora das formas vlidas de raciocnio [inferncias vlidas], a qual repousava sobre estes trs princpios fundamentais (N. do R.T.).
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Saiba mais
Vale a pena ler o livro O homem que calculava, de Malba Tahan.
O autor (heternimo do professor Jlio Csar de Mello e Souza) narra as aventuras e proezas matemticas do calculista persa Beremiz Samir, na Bagd do sculo XIII.
Exemplos:
p: Joo careca.
q: Alice jogadora de futebol.
r: O nmero 16 mpar.
Chama-se de proposio composta aquela formada pela combinao de duas ou mais proposies.
As proposies compostas so habitualmente designadas pelas letras latinas maisculas P, Q, R, S etc., tambm chamadas das letras proposicionais (ALENCAR FILHO, 2002).
Exemplo:
P: Joo careca e Alice estudante.
Q: Alice bonita ou Viviane estudante.
R: Se Joo careca, ento infeliz.
Observe que cada uma das proposies anteriores formada por duas proposies simples.
As proposies compostas tambm costumam ser chamadas de frmulas proposicionais ou apenas frmulas. As proposies simples so tambm chamadas de tomos, pois, assim como o tomo, no divisvel, enquanto a proposio composta chama de molcula.
Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposio composta P formada pela combinao das proposies simples p, q, r etc., escreve-se:
P (p, q, r etc.). Essas proposies simples sero chamadas de proposies componentes simples quando for o caso.
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Observao
As proposies componentes de uma proposio composta podem ser, elas mesmas, proposies compostas.
1.1.4 Conectivos
Chamam-se conectivos as palavras que se usam para formar novas proposies a partir de outras (ALENCAR FILHO, 2002).
Lembrete
Conectivo: 1. Que liga ou une 2. Vocbulo que estabelece conexo entre palavras ou partes de uma frase.
Exemplos:
P: O nmero 10 par e o nmero 27 impar.
Q: O quadriltero ABCD retngulo ou quadrado.
R: No est quente.
S: Se Roberto fsico, ento sabe matemtica.
T: O tringulo ABC equiltero se e somente se equingulo.
So conectivos usuais em lgica matemtica as palavras que esto grifadas, isto : e, ou, no, se... ento..., ... se e somente se...
1.1.5 Tabela-verdade
Segundo o princpio do terceiro excludo, toda a proposio simples p verdadeira ou falsa, isto , tem um valor lgico V (verdade) ou o valor lgico F (falso) (ALENCAR FILHO, 2002).
A seguir, tem-se a representao tabular.
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Para uma proposio composta, a determinao do seu valor lgico se faz com base no seguinte princpio:
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O valor lgico de qualquer proposio composta depende unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por eles univocamente determinado (ALENCAR FILHO, 2002).
Na prtica, para a determinao do valor lgico de uma proposio composta, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possveis valores lgicos da proposio composta correspondentes a todas as possveis combinaes de valores lgicos das proposies simples componentes.
Exemplo, no caso de uma proposio composta por duas proposies simples componentes p e q, as nicas possveis atribuies de valores lgicos para p e q so:
Tabela 1p q
V V
V F
F V
F F
Observe-se que os valores lgicos so V e F, e se alternam de dois em dois para a primeira proposio p e de um em um para a segunda proposio q.
Caso tivssemos uma proposio composta de trs proposies simples componentes p, q e r, as nicas possveis atribuies de valores lgicos para p, q e r so:
Tabela 2p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Da mesma forma, os valores lgicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposio em p, de dois em dois para a segunda proposio q, e de um em um para a terceira r (ALENCAR FILHO, 2002).
1.1.6 Notao
O valor lgico de uma proposio simples p indica-se por V(p), isto , se p verdadeira, escreve-se V(p) = V; se p falsa (F), escreve-se V (p) = F. O mesmo vale para proposies compostas V(P) = V, caso P seja verdadeira, ou V(P) = F, caso P seja falsa.
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Exemplos:
V(p) = F, V(q) = F, V(r) = V
V(P) = V, V(q) = F, V(r) = F
Lembrete
Notao: 1. Ato ou efeito de notar 2. Maneira de notar 3. Conjunto de sinais para se fazer representao ou designao.
A trigonometria (trigono: tringulo e metria: medidas) o estudo da matemtica responsvel pela relao existente entre os lados e os ngulos de um tringulo. Ao longo do texto usar-se- alguns exemplos de proposies baseadas em trigonometria, logo, segue-se algo para recordar.
b
a
c
A
B
Ca
Figura 1
Tabela 3
Algumas relaes trigonomtricas tiradas do tringulo
s n cos taneac
bc
ab
= = =
Tabela 4
Valores trigonomtricos notveis
Radianos Graus Seno Cosseno Tangente Cossecante Secante Cotangente
0 0 0 1 1 No existe 1 No existe
630
12
32
1
32 2 3
33
445 2
22
21 2 2 1
360 3
2
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32 3
32 3
3
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1.2 Operaes lgicas sobre proposies
Ver-se- neste tpico a criao das frmulas (ou expresses) lgicas atravs das operaes lgicas realizadas por meio de conectivos. Estas so as operaes lgicas fundamentais.
No final da parte terica sobre cada um dos conectivos, tambm apresentado o respectivo diagrama de Venn, com o intuito de mostrar uma representao grfica, que consiste em uma forma auxiliar para a compreenso do conectivo e operaes lgicas.
1.2.1 Negao (~)
A negao de uma proposio p proposio representada por no p, cujo valor lgico verdade (V) quando p falsa, e falso (F) quando p verdadeira. Disto tem-se que no p tm valor lgico oposto ao de p (ALENCAR FILHO, 2002).
A notao da negao de p indica-se por ~ p, que se l: no p.
O valor lgico da negao de uma proposio , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:
Tabela 5
p ~p
V F
F V
Ou seja,
A negao de V F e a negao de F V. Em smbolos:
~V = F, ~F = V
O valor lgico de no p a negao do valor lgico de p. Em smbolos:
V (~p) = ~V (p)
Exemplos:
(1) p: 3 + 3 = 6 (V) e ~p: 3 + 3 6 (F), que pode ser reescrito por meio da expresso dos valores lgicos como: V(~p) = ~V(p) = ~V = F;
(2) q: 10 < 4 (F) e ~q: 10 > 4 (V), que pode ser reescrito por meio da expresso dos valores lgicos como: V(~q) = ~V(q) = ~F = V;
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(3) r: Braslia a capital da Argentina (F) e ~r: Braslia no a capital da Argentina (V), que pode ser rescrito por meio da expresso dos valores lgicos como: V(~r) = ~V (r) = ~F = V.
Na linguagem a negao efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advrbio no ao verbo da proposio, por exemplo, a negao da proposio (ALENCAR FILHO, 2002).
p: A Ursa Maior uma estrela.
~p: A Ursa Maior no uma estrela.
Outra maneira de efetuar a negao consiste em antepor proposio dada expresses tais como no verdade que, falso que, por exemplo, a negao da proposio (ALENCAR FILHO, 2002).
q: Jorge jogador de futebol.
~q: No verdade que Jorge jogador de futebol.
~q: falso que Jorge jogador de futebol.
Entretanto, a negao de Todas as mulheres so amveis Nem todas as mulheres so amveis, e a de Nenhuma mulher amvel Alguma mulher amvel.
Avalie as seguintes expresses:
Esta frase falsa.
O atual imperador da Frana descendente de Napoleo.
Sobre essas proposies, no faz sentido avaliar sua veracidade ou falsidade, pois no primeiro caso temos um paradoxo, enquanto no segundo no h atualmente imperadores na Frana. O ramo da lgica que avalia declaraes como essas est fora do escopo desta apostila, cujo paradigma a lgica clssica.
Lembrete
Paradoxo: 1. Opinio contrria opinio comum 2. Opinio inverossmil ou absurda que se apresenta como verdadeira.
Paradigma: 1. Modelo, padro 2. Modelo ou tipo de conjugao.
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Representao da negao usando o diagrama de Venn
~p
p
Figura 2
1.2.2 Conjuno ()
A conjuno de duas proposies p e q proposio representada por p e q, cujo valor lgico verdadeiro (V) quando as proposies p e q so ambas verdadeiras, e falso (F) nos demais casos (ALENCAR FILHO, 2002).
A notao da conjuno de duas proposies p e q indica-se por: p q, que se l: p e q.
O valor lgico da conjugao de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade (ALENCAR FILHO, 2002).
Tabela 6
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ou seja:
V V = V, V F = F, F V = F, F F = F
V (p q) = V (p) (q)
Lembrete
Conjuno: 1. Unio, ajuntamento 2. Palavra ou expresso que liga oraes ou frases.
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Exemplos:
1.
p: A clara do ovo branca (V) q: 3 9 (F) q: sen p4 = 0 (F)
p q: 3 > 4 e Sen p4 = 0 (F)V(p q) = V(p) V (q) = F F = (F)
{
Representao da conjuno usando o diagrama de Venn
Note que apenas a interseco ente os conjuntos est destacada.
p qp q
Figura 3
1.2.3 Disjuno inclusiva ou soma lgica ()
A disjuno de duas proposies p e q proposio representada por p ou q, cujo valor lgico verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposies p e q verdadeira, e falso (F) quando as proposies p e q so ambas falsas (ALENCAR FILHO, 2002).
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Lembrete
Disjuno: 1. Separao, desunio, diviso.
Observe que o significado do dicionrio oposto ao da lgica, que significa a unio. No confunda.
A notao da disjuno de duas proposies p e q indica-se por: p q, que se l: p ou q.
O valor lgico da disjuno de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade (ALENCAR FILHO, 2002).
Tabela 7
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ou seja:
V V = V, V F = V, F V= V, F F = F
e
V (p q) = V (p) V (q)
Exemplos (adaptados de Alencar Filho, 2002):
1.
p: Madrid a capital da Espanha (V) q: 9 - 4 = 5 (V)
p q: Madrid a capital da Espanha ou 9 - 4 = 5 (V)V(p q) = V(p) V (q) = V V = V
{
2.
p: Cames escreveu os Lusadas (V) q: p = 3 (F)p v q: Cames escreveu os Lusadas ou p = 3 (V)V(p q) = V(p) V (q) = V F = V
{
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3.
p: Roma a capital da Austrlia (F) q: 57 uma frao prpria (V)
p q: Roma a capital da Austrlia ou 57 uma frao prpria (V)V(p q) = V(p) V (q) = F V = V
{
4.
p: Pel nasceu na Bahia (F) q:
1 =1 (F)
p q: Pel nasceu na Bahia ou 1 =1 (F)
V(p q) = V(p) V (q) = F F = F
{
Representao da disjuno exclusiva usando o diagrama de Venn
Note que ambos os conjuntos esto destacados.
p q
p q
Figura 4
1.2.4 Disjuno exclusiva (v)
A palavra ou tem dois sentidos, por exemplo, consideremos as duas seguintes proposies compostas (ALENCAR FILHO, 2002):
P: Marcos mdico ou professor.
Q: Maria alagoana ou gacha.
A proposio P indica que, pelo menos, uma das proposies Marcos mdico, Marcos professor verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: Marcos mdico e professor. Mas, na proposio Q, uma e somente uma das proposies Maria alagoana, Maria gacha verdadeira, pois no possvel ocorrer Maria alagoana e gacha.
Na proposio P, diz-se que ou inclusivo, e na proposio Q, diz-se que ou exclusivo.
Em lgica matemtica, usa-se habitualmente o smbolo para ou inclusivo e o smbolo v para ou exclusivo.
Logo, a proposio P uma disjuno inclusiva ou apenas disjuno das proposies simples Marcos medico, Marcos professor, isto :
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P: Marcos mdico Marcos professor.
Ao passo que a proposio Q uma disjuno exclusiva das proposies simples Maria alagoana, Maria gacha, isto :
Q: Maria alagoana v Maria gacha.
A disjuno exclusiva de duas proposies p e q proposio representada por p v q, que se l: ou p ou q ou p ou q, mas no ambos; verdadeira quando p e q possuem valores lgicos distintos; falsa (F) quando p e q possuem valores lgicos idnticos, isto , ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.
O valor lgico da disjuno exclusiva de duas proposies definido pela seguinte tabela-verdade (ALENCAR FILHO, 2002):
Tabela 8
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
Ou seja,
V v V = F, V v F = V, F v V = V, F v F = F
e
V (p v q) = V (p) v V (q)
Representao da disjuno exclusiva usando o diagrama de Venn
Note que ambos os conjuntos esto destacados, menos a interseco, que o que denota a exclusividade no caso.
p v qp q
Figura 5
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1.2.5 Condicional ()
A proposio condicional ou apenas condicional uma proposio representada por se p ento q, cujo valor lgico falso (F), no caso em que p verdadeira e q falsa e verdadeiro (V) nos demais casos (ALENCAR FILHO, 2002).
Lembrete
Condicional: 1. Dependente de condio; 2. Que envolve condio.
A notao da condicional de duas proposies p e q indica-se por p q, que se l tambm de duas maneiras:
p condio suficiente para q
q condio necessria para p
Na condicional pq, diz-se que p o antecedente e q o consequente. O smbolo chamado smbolo da implicao.
O valor lgico da condicional de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:
Tabela 9
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V (ALENCAR FILHO, 2002)
ou seja,
V V = V, V F = F, F V = V, F F = V
V (p q) = V (p) V (q)
Observao: em uma condicional, no h a necessidade de que o consequente seja uma consequncia do antecedente. A condicional ou implicao apenas uma relao entre duas proposies que no preciso ter relao real entre elas.
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Por exemplo:
O Vaticano um pas A TV nova.
O carro a lcool mais barato O Amazonas o maior Estado da federao.
Obviamente, no h relao entre as proposies em cada lado do smbolo de implicao.
Exemplos (ALENCAR FILHO, 2002):
1.
p: Galois morreu em um duelo (V) q: 3 um nmero real (V)
p q: Se Galois morreu em um duelo, ento 3 um nmero real (V)V(p q) = V(q) V V = V
{
2.
p: O ms de dezembro tem 31 dias (V) q: Marte verde (F)
p q: Se o ms de dezembro tem 31 dias, Marte verde (F)V(p q) = V(p) V (q) = V F = F
{
3.
p: Cabral escreveu a Odisseia (F) q: Cantor criou a Teoria dos Conjuntos (V)
p q: Se Cabral escreveu a Odisseia, ento Cantor criou a teoria dos conjuntos (V)V(p q) = V(p) V (q) = F V = V
{
4.
p: Salvador Dali nasceu na Bahia (F) q: O ano tem seis meses (V)
p q: Se Salvador Dali nasceu na Bahia, ento o ano tem seis meses (V)V(p q) = V(p) V (q) = F F = V
{
Representao da condicional usando o diagrama de Venn
Neste caso, o conjunto relativo proposio p est contido na proposio q, logo, quando ocorrer p, tem-se sempre q. Evidentemente, presumem-se aqui proposies verdadeiras.
p
qp q
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1.2.6 Bicondicional ()
A proposio bicondicional ou apenas bicondicional uma proposio representada por p se e somente se q, cujo valor lgico verdadeiro (V) quando p e q so ambas verdadeiras ou ambas falsas, e falso (F) nos demais casos.
A notao da bicondicional de duas proposies p e q indica-se por: p q, que tambm se l de uma das seguintes maneiras:
(i) p condio necessria e suficiente para q
(ii) q condio necessria e suficiente para p
O valor lgico da bicondicional de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade (ALENCAR FILHO, 2002).
Tabela 10
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ou seja,
V V = V, V F = F, F V = F, F F =V
V(p q) = V(p) V (q)
Portanto, uma bicondicional verdadeira somente quando tambm o so as duas condicionais: p q e q p.
Exemplos adaptados de Alencar Filho (2002):
1.
p: Rssia fica na Europa (V) q: A grama verde (V)
p q: Rssia fica na Europa se e somente se a grama verde (V)V(p q) = V(p) V (q) = V V = V
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2.
p: Paris a capital da Frana (V) q: tg p4 = 3 (F)
p q: Paris a capital da Frana se e somente se tg p4 = 3 (F)V(p q) = V(p) V (q) = V F = F
{
3.
p: Einstein descobriu o Brasil (F) q: Tiradentes foi um mrtir (V)
p q: Einstein descobriu o Brasil se e somente se Tiradentes foi um mrtir (F)q: V(p q) = V(p) V (q) = F F= F
{
4.
p: A terra quadrada (F) q: 2 um nmero racional (F)
p q: A terra quadrada se e somente se 2 um nmero racional (F)V(p q) = V(p) V (q) = F F = V
{
Representao da bicondicional usando o diagrama de Venn
Neste caso, o conjunto relativo proposio p e proposio q igual, logo, p est contido em q, e q est contido em p.
pq
p q
Figura 7
Diagramas de Venn so ilustraes utilizadas principalmente no ramo da matemtica conhecido como teoria dos conjuntos. Esses diagramas so usados para mostrar graficamente agrupamento de elementos em conjuntos, representados cada um por um crculo ou uma oval. A posio relativa em termos desses crculos mostra a relao entre os conjuntos. Por exemplo, se os crculos dos conjuntos A e B se sobrepem, uma rea comum a ambos os conjuntos que contm todos os elementos contidos em A e B. Se o crculo do conjunto A est dentro do crculo de outra B, que todos os elementos de A tambm esto contidos em B. E se no houver nenhuma rea em comum, porque no h elementos em comum a A e B.
A B
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2 TRABALHANDO COM AS PROPOSIES
2.1 Construo da tabela-verdade
Tabela-verdade de uma proposio composta
Juntando vrias proposies simples p, q, r,..., atravs dos conectivos lgicos, geram-se diversas proposies compostas, por exemplo:
P (p,q) = ~p (p q)
Q (p,q) = (p ~q) q
R (p,q,r) = ~(q (p ~r) ) (p ~q r)
Usando as tabelas-verdade das operaes lgicas fundamentais:
(a) ~p, (b) p q, (c) p q, (d) p q, (e) p q
possvel construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposio composta.
A tabela-verdade mostrar exatamente os casos em que a proposio composta verdadeira (V) ou falsa (F), j que o seu valor lgico s depende dos valores lgicos das proposies simples componentes (ALENCAR FILHO, 2002).
O nmero de linhas da tabela-verdade de uma proposio composta depende do nmero de proposies simples que a formam. Assim, a tabela-verdade de uma proposio composta com n proposies simples componentes contm 2n linhas.
Construo da tabela-verdade de uma proposio composta
Para se construir uma tabela-verdade de uma proposio composta, podem-se seguir os seguintes procedimentos:
a. encontra-se o nmero de linhas da tabela-verdade, que igual a 2 elevado ao nmero de proposies simples componentes (2n; n nmero de proposies simples que formam a proposio composta);
b. observa-se a precedncia dos conectivos lgicos e subdivide-se a proposio composta em proposies menores, o mais prximo possvel das tabelas-verdade das proposies fundamentais;
c. colocam-se nas primeiras colunas as letras das proposies simples e criam-se as colunas necessrias em funo das subdivises criadas no item anterior, em que a ltima coluna a expresso lgica sendo calculada. Observe-se que, em frmulas lgicas complexas, podem-se utilizar colunas intermedirias, que so combinaes das frmulas fundamentais, porm mais simples que a sentena-alvo;
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d. preenchem-se as colunas referentes s proposies simples com todos os possveis valores V e F;
e. preenchem-se, por fim, as demais colunas com os valores lgicos calculados para cada subdiviso.
Exemplos adaptados de Alencar Filho (2002):
1. Construir a tabela-verdade da proposio:
P(p,q) = ~(p ~q)
Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes s duas proposies simples componentes p e q. Em seguida, criam-se colunas para subdivises observadas em funo das frmulas fundamentais e, na ltima coluna, a frmula que o objetivo do clculo.
Observando a frmula, identifica-se primeiramente a negao ~q, depois a conjuno entre p e ~q e, por ltimo, a sentena-alvo.
Tabela 11
p q ~q p ~ q ~ (p ~q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Portanto, os valores lgicos da proposio composta dada correspondente a todas as possveis atribuies dos valores lgicos V e F s proposies simples componentes p e q (VV, VF, FV e FF) so V, F, V e V, isto simbolicamente:
P (VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V , P(FF) = V
Ou seja:
P (VV, VF, FV, FF) = VFVV
Observe-se que a proposio P(p,q) associa a cada um dos elementos de um conjunto U {VV, VF, FV, FF} um nico elemento de um conjunto.
{V,F}, isto , P (p,q) uma funo de U em {V,F}.
P (p, q) : U {V,F},
cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:
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VV
VF
FV
FF
V
F
Figura 9
Lembrete
Sagital: 1. Que tem a forma de seta 2. Segundo o plano de simetria: corte sagital.
2. Construir a tabela-verdade da proposio
P(p, q) = ~(p q) v ~(q p)
Procede-se da mesma forma que no exemplo anterior. Nas primeiras colunas reservadas, as proposies simples; depois, criam-se as subdivises para cada formula fundamental identificada, e a ltima coluna a frmula-alvo.
Tabela 12
p q pq q p ~(pq) ~(q p) ~(p q) ~(q p)
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
P (VV) = F, P (VF) = V, P (FV) = V, P (FF) = V
Ou seja:
P (VV, VF, FV, FF) = FVVV
Observe-se que P(p, q) outra coisa no que uma funo de U = {VV, VF, FV, FF} , cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:
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V V
V F
F V
F F
V
F
Figura 10
3. Construir a tabela-verdade da proposio:
P (p, q, r) = p ~r q ~ r
Analogamente aos itens anteriores:
Tabela 13
p q r ~r p ~ r q ~ r p ~ r q ~ r
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
Portanto:
P(VVV) = F, P (VVF) = V, P(VFV) = F, P(VFF) = F
P (FVV) =V, P (FVF) = V, P (FFV) = V, P(FFF) = F
Ou seja:
P (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FVFFVVVF
Observe-se que a proposio P(p, q, r) uma funo de U = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF} em {V,F}, cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:
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V V V
V
F
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Figura 11
Valor lgico de uma proposio composta
Para toda proposio composta P(p, q, r,...), sempre se pode determinar o seu valor lgico (V ou F) quando so dados ou conhecidos os valores lgicos respectivos das proposies simples componentes p, q, r,... Neste caso, isso equivaleria a uma linha da tabela-verdade.
Exemplos:
1. (Alencar Filho, 2002 adaptado) Sabendo que os valores lgicos das proposies p e q so respectivamente V e F, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:
P (p, q) = ~(p q) ~ p ~q
Resoluo Inicialmente, substitumos as proposies simples componentes pelos respectivos valores lgicos, e com o auxlio das tabelas-verdade das frmulas fundamentais, damos incio ao clculo proposicional (ou sentencial):
Tabela 14
V(P) Passo
~(V F) ~ V ~F Substituem-se as proposies componentes pelos valores fornecidos.
~V F V Faz-se uma primeira simplificao, eliminando-se um nvel e invertendo-se os sinais das negaes.
F F Procede-se a mais uma simplificao.
V Finalmente, obtm-se o valor lgico da frmula.
2. (Alencar Filho, 2002 adaptado) Sejam as proposies p: = 3 e q: ln = 2 = 0. Determinar o valor lgico (V ou F) da proposio, onde o nmero de Neper.
P (p, q) = (p q) (p p q)
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Resoluo As proposies componentes p e q so ambas falsas, pois so expresses matemticas falsas, uma vez que o nmero de Neper igual a 2,7182818284590452353602874.
Saiba mais
Recomenda-se a leitura da obra e: A histria de um nmero, do autor Eli Maor e publicado pela editora Record. Nessa obra, passa-se pela histria do clculo diferencial e integral, motivo de verdadeira batalha intelectual entre Newton e Leibniz.
Portanto, V (p) = F e V (q) = F
Logo, V (P) = (F F) (F F F) = V V = V
3. (ALENCAR FILHO, 2002) Sabendo que V (p) = V, V (q) = F e V (r) = F, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:
P (p, q, r) = (q (r ~p)) ((~q p) r)
Resoluo Temos, sucessivamente:
V(P) = (F (F ~V)) ((~F V) F) =
= (F (F F)) ((V V) f) =
= (F V) (V F) = F F = F
4. (ALENCAR FILHO, 2002) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: p ~ q r.
Resoluo Como r verdadeira (V), a disjuno ~q r verdadeira (V). Logo, a condicional dada verdadeira (V), pois o seu consequente verdadeiro (V).
5. (ALENCAR FILHO, 2002) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: (p q) (~q ~p).
Resoluo Como q verdadeira (V), ento ~q falsa (F). Logo, a condicional ~ q ~p verdadeira (V), pois o seu antecedente falso (F). Por consequncia, a condicional dada verdadeira (V), pois o seu consequente verdadeiro (V).
6. (ALENCAR FILHO, 2002) Sabendo que as proposies x = 0 e x = y so verdadeiras e que a proposio y = z falsa, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:
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X 0 V x y y z
Resoluo Temos, sucessivamente:
~V ~V ~F = F F V = F V =V
Uso de parnteses
Lembrete
Parntese: 1. Frase intercalada em um perodo 2. Cada um dos sinais de pontuao ( ) entre os quais se colocam as palavras de um parntese. Plural: parnteses. A forma parntesis (singular e plural) tambm aceita.
H necessidade de se usarem parnteses na simbolizao das proposies para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, da expresso p q r pode-se obter duas proposies colocando-se os parnteses de forma adequada:
(i) (p q) r
e
(ii) p (q r)
Elas no tm o mesmo significado, pois em (i) o conectivo principal ; na (ii), o conectivo principal , isto , (i) uma disjuno e (ii) uma conjuno.
Outro exemplo (ALENCAR FILHO, 2002) a expresso p q r s. Com o uso dos parnteses, obtm-se as seguintes proposies:
((p q)) r) s;
p ((q r) s);
(p (q r)) s;
p (q (r s));
(p q) (r s).
Desta forma, quaisquer duas delas nunca tm o mesmo significado.
Os parnteses devem evitar a ambiguidade; o excesso deixa a expresso mais difcil de ler, prejudicando a clareza da proposio. Entretanto, quando a ordem de precedncia dos conectivos for clara, no haver a necessidade do uso de parnteses.
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Ordem de precedncia dos conectivos
Os parnteses, bem como colchetes ou chaves, so considerados caracteres de pontuao para a lgica. Em frmulas complexas e que apresentem uma grande quantidade de parnteses, pode-se eventualmente eliminar alguns de acordo com a regra de precedncia a seguir.
(1) Maior precedncia: ~ (mais fraco)
(2)
(3)
(4)
(5) Menor precedncia: (mais forte)
Optamos por utilizar essa ordem porque, aparentemente, a mais aceita e por ser a mais prxima da aritmtica convencional. Refora-se que deve estar clara a precedncia adotada para evitar sentenas lgicas dbias.
Exemplos (ALENCAR FILHO, 2002):
a. ~pq
Equivale a (~p) q, assim, a negao aplica-se proposio p e, por conseguinte, a proposio ~p q entendida como uma conjuno. Diz-se que o conectivo principal a conjuno para essa sentena, que o conectivo mais forte.
b. ~p q r s
Equivale a ((~p) q) (r s), isto , resolve-se primeiro e para depois resolver-se . Diz-se que o conectivo principal a implicao (condicional) para essa sentena, que o conectivo mais forte.
c. p q s r
uma bicondicional e nunca uma condicional ou conjuno. Para convert-la numa condicional, h que se usarem parnteses:
p (q s r)
e, analogamente, para convert-la em conjuno:
(p q s) s
O consequente da condicional uma bicondicional. Desejando-se converter esse consequente numa conjuno, escreve-se:
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p ((q s) r)
Tambm so bicondicionais as trs seguintes proposies:
p q r s; p q r s; p q ~r s
Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parnteses, fazendo-se a associao a partir da esquerda.
Segundo essas duas convenes, as quatro seguintes proposies:
((~(~ (p q))) V (~p)) pode ser escrita ~~ (p q) ~p
((p (~q)) (r (~p)))) pode ser escrita (p ~q) (r < ~p)
(((p (~q)) r) (~p)) pode ser escrita (p ~q) r ~q
((~p) (q (~(p r)) pode ser escrita ~p (q ~(p r)
Atribui-se a John Napier a descoberta do nmero de Neper. um nmero irracional e surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucesso
limn
n
ne
+
=1
1
Representa-se por e sendo e = 2,7182818284590452353602874...
2.2 Tautologia, contradio e contingncia
Lembrete
Tautologia: 1. Vcio de linguagem que consiste em dizer as mesmas ideias de formas diferentes.
Tautologia
De acordo com Alencar Filho (2002), tautologia toda a proposio composta cuja ltima coluna da sua tabela-verdade resulta sempre na letra V (verdade), ou seja, toda proposio composta P(p, q, r,...) cujo valor lgico sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes p, q, r,...
Ainda segundo o autor, as tautologias so tambm denominadas proposies tautolgicas ou proposies logicamente verdadeiras.
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imediato que as proposies p p e p p so tautolgicas (princpio de identidade para as proposies).
Exemplos:
A proposio ~(p ~p) (princpio da no contradio) tautolgica, conforme se v pela sua tabela-verdade:
Tabela 15P ~ p p ~ p ~(p ~p)
V F F V
F V F V
Portanto, dizer que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre verdadeiro.
A proposio p ~ p (princpio do terceiro excludo) tautolgica, como imediatamente se v pela tabela-verdade:
Tabela 16P ~p p ~ p
V F V
F V V
Portanto, dizer que uma proposio ou verdadeira ou falsa sempre verdadeiro.
A proposio p ~(p q) tautolgica, conforme se v pela tabela-verdade:
Tabela 17P ~p p q ~(p q) p ~(p q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
A proposio p q (p q) tautolgica, conforme se mostra a sua tabela-verdade:
Tabela 18P q p q p q P q (p q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
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A proposio p (q ~q) p tautolgica, conforme mostra a tabela-verdade:
Tabela 19p q ~ q q ~q p V (q ~q) p (q ~q) p
V V F F V V
V F V F V V
F V F F F V
F F V F F V
A proposio p r ~q r tautolgica, conforme se v na tabela-verdade:
Tabela 20p q r ~q p q ~q r P r ~q r
V V V F V V V
V V F F F F V
V F V V V V V
V F F F F V V
F V V F F V V
F V F F F F V
F F V V F V V
F F F V F V V
(ALENCAR FILHO, 2002)
Princpio de substituio para as tautologias
Seja P (p, q, r,...) uma tautologia e sejam P0(p, q, r,...),Q0 (p, q, r,...), R0 (p, q, r,...) proposies quaisquer.
Como o valor lgico de P (p, q, r,...) sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes p, q, r, bvio que, substituindo p por P0, q por Q0, por R0, na tautologia P(p, q, r,...), a nova proposio P (P0, Q0, R0,...) que assim se obtm tambm uma tautologia. Logo, pode-se aplicar o seguinte princpio de substituio:
Se P (p, q, r,...) uma tautologia, ento P (P0, Q0, R0,...) tambm uma tautologia, quaisquer que seja as proposies P0, Q0, R0,... (ALENCAR FILHO, 2002).
Observe que isto uma afirmao muito forte.
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Contradio
Lembrete
Contradio: 1. Ao de contradizer; afirmao em contrrio ao que foi dito 2. Incoerncia entre afirmaes atuais e anteriores 3. Oposio entre duas proposies, das quais uma necessariamente exclui a outra.
A contradio toda proposio composta cuja ltima coluna da sua tabela-verdade sempre a letra F (falso), ou seja, a contradio toda proposio composta P (p, q, r,...) cujo valor lgico sempre F (falso), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes p, q, r,...
Como uma tautologia sempre verdadeira (V), a negao de uma tautologia sempre falsa (F), ou seja, uma contradio e vice-versa.
Portanto, P (p, q, r,...) uma tautologia se e somente se ~P (p, q, r,...) sempre uma contradio, e P (p, q, r,...) uma contradio se e somente se ~P (p, q, r,...) uma tautologia.
As contradies so tambm denominadas proposies contravlidas ou proposies logicamente falsas.
Para as contradies, vale o princpio de substituio anlogo ao que foi dado para as tautologias:
Se P (p, q, r,...) uma contradio, ento P (P0, Q0, R0,...) tambm uma contradio, quaisquer que sejam as proposies P0, Q0, R0,... (ALENCAR FILHO, 2002).
Observe que isto uma afirmao muito forte.
Exemplos:
A proposio p ~p uma contradio, conforme se v pela sua tabela-verdade:
Tabela 21p ~p p ~p
V F F
F V F
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Portanto, dizer que uma proposio pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre falso.
A proposio p ~p uma contradio, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela 22p ~p p ~ p
V F F
F V F
A proposio (p q) ~(p q) uma contradio, conforme se v pela tabela-verdade:
Tabela 23p q p q p q ~(p q) (p q) ~(p q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
A proposio ~p (p ~q) uma contradio, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela 24p q ~p ~ q p ~q ~p (p ~q)
V V F F F F
V F F F V F
F V V V F F
F F V V F F(ALENCAR FILHO, 2002).
Contingncia
Lembrete
Contingncia: 1. Qualidade do que contingente 2. Eventualidade 3. Fato possvel mas incerto.
Encontramos em Alencar Filho (2002), que contingncia so todas as proposies compostas em cuja ltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F, cada uma pelo menos uma vez, ou seja, a contingncia toda a proposio composta que no tautologia nem contradio.
As contingncias so tambm denominadas proposies contingentes ou proposies indeterminadas.
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Exemplos:
A proposio p ~p uma contingncia, conforme se v pela sua tabela-verdade:
Tabela 25p ~p p ~ p
V F F
F V V
A proposio p q p uma contingncia, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela 26p q p q p q p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
A proposio x = 3 (x y x 3) uma contingncia, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela 27x = 3 x = y x 3 x y x y x 3 X = 3 (x y x 3)
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V F
F F V V V F
(ALENCAR FILHO, 2002).
Augustus De Morgan (Madura, ndia, 27 de junho de 1806 Londres, 18 de maro de 1871) foi um matemtico e lgico britnico. Formulou as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a ideia da induo matemtica.
As seguintes tautologias so conhecidas como as Leis de De Morgan:
~(p q) (~p ~q)
~(p q) (~p ~q)
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Essas leis so muito usadas em eletrnica digital e em programas de computador.
Resumo
Nesta unidade, foram apresentados os conceitos bsicos sobre proposies e a lgica proposicional. Introduziu-se o conceito de valor lgico, apresentaram-se os principais conectivos. Verificaram-se os dois tipos bsicos de proposio, as proposies simples e proposies compostas. Tambm se apresentaram os conceitos de tabelas-verdade, a notao para a representao de valores lgicos e a simbologia usada para unir proposies.
Em um segundo momento, apresentaram-se de maneira mais abrangente os conectivos e sua respectiva simbologia: negao, conjuno, disjuno inclusiva e exclusiva, condicional e bicondicional. As tabelas-verdade das frmulas fundamentais foram tambm exploradas como procedimento de analise para a lgica. Para tanto, destacaram-se os procedimentos para a construo de uma tabela-verdade para uma proposio composta.
Por fim, foram realizados os clculos do valor lgico de uma proposio. Apresentou-se a precedncia de conectivos, assim como proposies tautolgicas, contraditrias e contingentes.
Tabela 28Conectivo Nome Exemplo
~ Negao ~p: Joo no jogador de futebol
Conjuno p q: Joo alto e Maria alta
Disjuno p q: Joo alto ou Maria alta
v Disjuno exclusiva p q: Joo alto ou Joo baixo
Condicional p q: Se Joo alto, ento Maria alta
Bicondicional p q: Joo Alto se e somente se Maria alta
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Tabela 29
Frmula Tabelas-verdade Frmulas fundamentais
~pp ~p
V F
F V
p qp q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Exerccios
Questo 1. (Resumos-Concursos/2008) Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loura, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra ir Frana e a outra ir Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:
47
LGICA
Revi
so:
Lea
ndro
- D
iagr
ama
o: L
o -
12/
05/1
1 //
2 R
evis
o: L
eand
ro -
Cor
re
o: M
rci
o -
20/0
5/20
11 /
/ 3
Rev
iso:
Lea
ndro
- C
orre
o:
Mr
cio
- 27
/05/
2011
A loura: No vou Frana nem Espanha.
A morena: Meu nome no Elza nem Sara.
A ruiva: Nem eu nem Elza vamos Frana.
O agente de viagens concluiu, ento, corretamente, que:
A) A loura Sara e vai Espanha.
B) A ruiva sara e vai Frana.
C) A ruiva Bete e vai Espanha.
D) A morena Bete e vai Espanha.
E) A loura Elza e vai Alemanha.
Resposta correta: alternativa E.
Anlise das alternativas
A melhor forma de resolver problemas como este organizar as informaes, de forma a prover uma melhor visualizao de todo o problema:
Inicialmente importante analisar o que foi dado no problema:
I. So trs amigas.
II. Uma loura, outra morena e outra ruiva.
III. Uma Bete, outra Elza e outra Sara.
IV.Cada uma far uma viagem a um pas diferente da Europa: Alemanha, Frana e Espanha.
V. Elas deram as seguintes informaes:
A loura: No vou Frana nem Espanha.
A morena: Meu nome no Elza nem Sara.
A ruiva: Nem eu nem Elza vamos Frana.
Pode-se fazer uma tabela:
Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva
Afirmao No vou Frana nem Espanha Meu nome no Elza nem sara Nem eu nem Elza vamos Frana
Pas Alemanha Frana Espanha
Nome Elza Bete Sara
48
Unidade I
Revi
so:
Lea
ndro
- D
iagr
ama
o: L
o -
12/
05/1
1 //
2 R
evis
o: L
eand
ro -
Cor
re
o: M
rci
o -
20/0
5/20
11 /
/ 3
Rev
iso:
Lea
ndro
- C
orre
o:
Mr
cio
- 27
/05/
2011
Com a informao da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.
Com a informao da morena, sabemos que ela a Bete.
Com a informao da ruiva, sabemos que ela no vai Frana e nem Elza, mas observe que a loura vai Alemanha e a ruiva no vai Frana, s sobrando Bete para ir Frana. Se Bete vai Frana, ruiva coube a Espanha. Elza loura e Sara fica sendo a ruiva.
Sendo assim,
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: no condiz com a tabela construda.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: no condiz com a tabela construda.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: no condiz com a tabela construda.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: no condiz com a tabela construda.
E) Alternativa correta.
Justificativa: condiz com a tabela construda.
Questo 2. (SAE-PE/2008) Considere a afirmao: Toda cobra venenosa listrada. Podemos concluir que:
A) Toda cobra listrada venenosa.
B) Toda cobra que no listrada no venenosa.
C) Toda cobra que no venenosa no listrada.
D) Algumas cobras venenosas no so listradas.
E) Algumas cobras que no so listradas podem ser venenosas.
Resoluo desta questo na Plataforma.
Hora de exercitar
Avaliativos Slides da videoaula
