Lógico mat. c 7 razones y proporciones 2012

RAZONES Y

PROPORCIONES

29/09/2012 1Mg. Wilderd Cabanillas Campos

RAZÓN

Razón es una cantidad que resulta de comparar dos

cantidades homogéneas mediante una sustracción o una

división.

RAZÓN ARITMÉTICA

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia

entre dichas cantidades

a – b = r

aritméticarazónr

uentesecconb

eantecedenta

9 – 6 = 3 Razón aritmética = 3


RAZÓN GEOMÉTRICA

La razón geométrica de dos cantidades es el

cociente entre dichas cantidades.

3

------

6

alidadproporciondeteconsogeométricarazónk

uenteconB

eantecedentA

kB

A

tan

sec

kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n

3

3

2

2

1

1

RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (RGE)

Son aquellas que teniendo términos diferentes su razón

geométrica es constante ( k )

(k = razón constante o constante de proporcionalidad )


TÉRMINOS DE LA RAZÓN

Los términos de la razón Aritmética y Geométrica

son el antecedente y el consecuente

13 − 10 = 3

16

8= 2

Razón Aritmética

Razón Geométrica

AntecedenteConsecuente

Antecedente

Consecuente


En una proporción la razón entre la suma de los

antecedentes y la suma de los consecuentes es igual

a cualquier razón de la proporción.

Ejemplo: . Luego

10

12

5

6

10

12

5

6

105

126

Proporción es la igualdad entre dos razones, . Se

lee a es a b como c es a d. A a y d se les llama

extremos y a b y c medios. Al tratarse de una igualdad

entre fracciones se verifica que a·d = c·b.

d

c

b

a

PROPORCIÓN


PROPORCIÓN ARITMÉTICA (PA)

Una proporción aritméticas es la igualdad de dos

razones aritméticas.

Notación: a – b = c – d Donde: a, d: términos

extremos y b, c: términos medios

Además a y c : antecedentes, b y d: consecuentes.

Propiedad fundamental: En toda proporción

aritmética, la suma de sus extremos es igual a la

suma de sus términos medios.

a – b = c – d a + d = b + c


Clases:

PA discreta:

Todos sus términos son diferentes: 19 -15 = 17 -13

En esta clase de proporción cualquiera de sus

términos recibe el nombre de cuarta diferencial.

PA continua.

Sus términos medios son iguales: 7 – 5 = 5 – 3

Su término medio recibe el nombre de media

diferencial o media aritmética y su segundo

extremo es tercera diferencial.

Por ejemplo: Tres es la tercera diferencial de siete

y cinco (en orden), en el que cinco es la media

diferencial.


6105

3

x

Si en una proporción conocemos todos los términos

menos uno, al desconocido los llamamos cuarta

proporcional.

Ejemplo: Calcula el cuarto proporcional,

Propiedades

Cuarta diferencial:

1) Si “x” es la 4ª diferencial de 7, 5 y 4 se escribe:

7 – 5 = 4 – x

2) Tercera diferencial: Si “t” es 3ra diferencial de 15

y 12 se escribe: 15 - 12=12 - t

3. Media diferencial:

Si “m” es media diferencial de 16 y 12 se escribe:

16 - m = m – 12


Una proporción es continua cuando sus

medios o sus extremos son iguales:

Ejemplo:

Medio proporcional es el término igual de

una proporción continua. En el ejemplo

anterior el medio proporcional es 6.

9

6

6

4


kd

c

b

a

medios:cb;extremos;:da;

esconsecuent:db;es;antecedent:ca;

bcadd

c

b

a

PROPORCION GEOMÉTRICA (PG)

Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones

geométricas

Notación:

Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica el

producto de sus extremos es igual al producto de sus

términos medios.


21

9

7

3

8

4

4

2

Clases:

•PG discreta: Todos sus términos son diferentes

En este ejemplo 21 es cuarta proporcional de 3, 7 y 9 (en

ese orden).

En este ejemplo, 4 es media geométrica o media

proporcional de 2 y 8 (en ese orden). Y el número 8 es

tercera proporcional de 2 y 4 (en ese orden)

•PG continua: Sus términos medios son iguales


Propiedades:

Cuarta proporcional: Si “x” es la 4ª proporcional de

14, 7 y 8 se escribe:

x

8

7

14

Tercera proporcional: Si “t” es 3ra

proporcional de

18 y 6 se escribe:

t

6

6

18

Media proporcional: Si “m” es media proporcional de

25 y 4 se escribe:

4

25 m

m


29/09/2012 Mg. Wilderd Cabanillas Campos 13

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente

proporcionales si el cociente de las

cantidades correspondientes es

constante. Dicho valor constante se

llama constante de proporcionalidad

directa.

Ejemplo: Dos sondas dentales (sd)

valen 14 soles.

Constante de proporcionalidad directa = 7

Nº sd 2 4 8 1 3 5

Precio(soles) 14 28 56 7 21 35


• Para resolver un problema de

proporcionalidad directa utilizamos la

regla de tres directa.

• Ejemplo: 6 espejos dentales valen

336 soles ¿Cuánto cuestan 10 espejos

dentales ?

Magnitud A Magnitud B

6 336

10 X

solesxx

560 336

10

6


Dos magnitudes son inversamente

proporcionales si el producto de las

cantidades correspondientes es

constante. Dicho valor constante se

llama constante de proporcionalidad

inversa.

Ejemplo: 8 dentistas atienden 20

pacientes

Constante de proporcionalidad inversa = 160

Nº de dentistas 8 4 2 1 16 32

Nº de pacientes 20 40 80 160 10 5


• Para resolver un problema de proporcionalidad

inversa utilizamos la regla de tres inversa, que

consiste en formar la proporción en la que la

razón de las cantidades de la magnitud A están

invertidas.

• Ejemplo: Si tengo 10 ampollas de anestesia

para 40 pacientes ¿Cuántas ampollas de

anestesia usaremos para 50 pacientes?

Magnitud A Magnitud B

10 40

X 50

ampollas 8 50

40

10 x

x



PROBLEMA 1

En una proporción geométrica discreta, la suma de los dos

primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos

términos es 25. Calcular el menor de los términos medios, si

la suma de los consecuentes es 27.

Solución i) Sea la proporción geométrica discreta: ; donde

, donde “a” y “b” son los primeros términos y “c” y “d” son los segundos términos de la proporción. Según los datos del problema

ii) a + b = 20 iii) c + d = 25

iv) b + d = 27

v) Si …(Propiedad ii)


vii) Resolviendo el sistema formado por lasecuaciones de iv) y vi): se obtiene que : b = 12 y d =15viii) Reemplazando vii) en ii) y iii): a = 8 y c = 10 ix) Como los términos medios son b = 12 y c= 10, se deduce que el menor de ellos es 10

vi) Reemplazando ii) y iii) en v): ,de donde 20d – 25b = 0




Observemosalgunos ejemplos de proporción directa

Trabajo

vs

Dinero

A mayor

lujos

vs

Mayor costo

vehículo

A mayor

construcción

vs

Mayor nº de

trabajadores

A mayor

Velocidad

vs

Mayor

accidentes

A mayor

cantidad de

ropa

vs

Mayor costo

(dinero)


Observemosalgunos ejemplos de proporción inversa

A menor

tiempo de obra

vs

Mayor nº de

trabajador

Nº animales

vs

alimento

(permanece

constante)

A mayor

velocidad

vs

Menor tiempo

de traslado

A mayor

Temperatura vs

Menor cantidad hielo

A mayor

cantidad de lujos

vs

Menor cantidad

de personas que

pueden acceder

a estos lujos


Proporcionalidad directa


PROPORCIONALIDAD INVERSA


REPARTO

PROPORCIONAL

Consiste en repartir una cantidad envarias partes que sean proporcionales aotros varios números dados (índices delreparto).


El reparto puede ser:

Reparto Simple, el cual subdivide en: Directo, Inverso, Compuesto

A) Reparto simple directo

Ejemplo:

Repartir 600 en 3 partes que sean proporcionales a 7, 4 y 9

Solución:

Sean las partes: A, B, y C; talque: ; además A, B y C son

directamente proporcionales a los números 7, 4 y 9 respectivamente, se tiene:

7 4 9

A B CK

Despejando cada parte: 𝐴 = 7𝑘; 𝐵 = 4𝑘: 𝐶 = 9𝑘

La suma de las tres partes es 600: 7k + 4k + 9k = 600, donde K= 30

Entonces las tres partes son:

𝑨 = 7(30) = 𝟐𝟏𝟎 ; B = 4(30) = 120 y C = 9(30) = 270


B) Reparto simple inverso En este caso las partes son inversamente proporcionales

a los índices del reparto.

Ejemplo:

Repartir 780 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 6, 9

y 12

Solución:

Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 780 ; además A, B y C son

inversamente proporcionales a los números 6, 9 y 12 respectivamente, se tiene:

6𝐴 = 9𝐵 = 12𝐶 = 𝐾

Despejando cada parte: : 𝐴 =𝑘

6; 𝐵 =

𝑘

9 𝑦 𝐶 =

𝑘

12→ 𝐾 = 2160


A =2160

6= 360 ; B =

2160

9= 240 y C =

2160

12= 180


C) Reparto Compuesto, es aquel en el cual cada parte es proporcional a varios

números dados

Propiedad.- Si A es DP con B y también con C entonces A es DP con (B x C)

Ejemplo:

Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3, 5 y 8 e IP a los números

4, 6 y 9

Solución:

Sean las partes: A, B, y C; talque: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2225

Si A es DP a 3 e IP a 4, entonces: 𝐴.4

3= 𝐾 𝐴 =

3

4𝐾

Si B es DP a 5 e IP a 6, entonces: 𝐵.6

5= 𝐾 𝐵 =

5

6𝐾

Si C es DP a 8 e IP a 9, entonces: 𝐶.9

8= 𝐾 𝐶 =

8

9𝐾,

Como el total es 2225, entonces: A + B + C = 3

4𝐾 +

5

6𝐾 +

8

9𝐾 = 2225 K= 900


𝐀 =3

4(900) = 675 ; B =

5

6(900) = 750 y C =

8

9(900) = 800


PROBLEMA 1

Se reparte 400 proporcionalmente a 10, 12 y a. Si

entre los dos últimos reciben 200 mas que el

primero, hallar “a”.

Solución

De modo que P1+P2 + P3 = 400

Del enunciado P2 + P3 - P1 =200

Entonces P1 =100; P2 + P3 = 300

En todo reparto proporcional se cumple

𝑝1

10=

𝑝2

12=

𝑝3

𝑎=

𝑝2 + 𝑝3

12 + 𝑎

Igualando y remplazando

100

10=

300

12 + 𝑎 ⇒ 𝑎 = 18


Dividir el número 1000 en 3 partes que sean directamente

proporcionales a los números 2,3, y 5

PROBLEMA 2

Solución:

Sean las tres partes pedidas

2K

3K

5K

2K + 3K +5K = 1000

10K = 1000

K = 100

Remplazamos el valor de K

2K = 2(100) = 200

3K = 3(100) = 300

5K = 5(100) = 500

Respuesta: 200, 300 y 500 son los números


Dividir el número 858 en 3 partes que sean directamente

proporcionales a los números 3/4, 5/6, y 4/5

PROBLEMA 3

Solución:


3/4 K

5/6 K

4/5 K

3/4 K + 5/6 K + 4/5 K = 858

45K +50 K+48K /60 = 858

143K/60 = 858

K = 360

3/4 (360) = 270

5/6 (360) = 300

4/5 (360) = 288



Repartir el número 360 en 3 partes que sean inversamente

proporcionales a los números 3, 4 y 6

PROBLEMA 4

Solución:


K/3

K/4

K/6

K/3 + K/4 + K/6 = 360

K = 480

480/3 = 160

480/4 = 120

480/6 = 80



Repartir el número 735 en partes inversamente proporcionales

a 1/5, 3/5 y 3

PROBLEMA 5

Solución:

Sean las partes pedidas

K/(1/5 )= 5K

K/(3/5)= 5K/3

K/(3) = K/3

5K + 5K/3 + K/3 = 735

K = 105

5K = 5(105) = 525

5K/3 = 5(105)/3 = 175

K/3 = 105/3 = 35

Respuesta: 525, 175y 35 son los números


Alicia ha estado enferma y ha necesitado cuidados durante 5

meses. Ha decidido repartir 4000 soles que tenía ahorrados

entre las tres personas que la atendieron durante su

convalecencia de forma directamente proporcional al tiempo

que estuvieron con ella.

La primera persona la acompañó durante un mes y medio; la

segunda, durante dos meses y medio, y el resto del tiempo

estuvo con ella la tercera. ¿Cuánto le dará a cada una de ellas?

PROBLEMA 6

SOLUCION


Cuatro socios forman un negocio aportando S/.2800 el primero,

S/. 2100 el segundo, S/.4000 el tercero y S/.1100 el ultimo. El

negocio fracasa y lo que pierden en conjunto los dos primeros

es S/. 64 menos que lo que pierden en conjunto los dos últimos.

.Cuanto pierde el primero?

PROBLEMA 7

Las perdidas son proporcionales a las aportaciones:

Solución

𝑃1

2800=

𝑃2

2100=

𝑃3

4000=

𝑃4

1100

𝑃1

28=

𝑃2

21=

𝑃3

40=

𝑃4

11

Multiplicando por 100

Por dato P3 + P4 – (P1+P2) =64

K = 32

Remplazando el valor de P

Los valores P en función de K

P1 =28(32) = S/.896

Rpta: el primer socio pierde

S/.896𝑃1 = 28𝑘 𝑃2 = 21𝑘

𝑃3 = 40𝑘 𝑃4 = 11𝑘


Tres personas forman un negocio, aportando cada una un capital que

es el triple del aportado por el socio anterior. El primero permanece en

el negocio 6 meses, el segundo, 3 meses y el ultimo, 45 días. Si se

obtiene una utilidad de S/. 7600, ¿cuánto le toca al segundo?

PROBLEMA 8

SoluciónMultiplicando por 2/3

a los índices

Rpta: Al segundo le toca S/. 2400

7600 469

𝑘 =7600

4 + 6 + 9= 400

El segundo recibe 6(400) = 2400

7600 𝑐 𝑥 6𝑚 → 63𝑐 𝑥 3𝑚 → 99𝑐 𝑥 1,5𝑚 → 13,5

Capitales Tiempos

Por propiedad se establece:


Doce amigos se reparten un premio y escogen un mes del

ano en curso realizando el reparto proporcionalmente al

numero de días que tiene el mes escogido. Si el ano fuera

bisiesto, uno de ellos recibiría 33,7 soles mas. .A cuanto

asciende el premio repartido?

PROBLEMA 9

31 (# días de enero)

28 (# días de febrero)

31 (# días de marzo)

31 (# días de diciembre)

P

r

e

m

i

o

Solución

Si el año solo tiene 365 días:

28 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜

365

Si el año es bisiesto:

29 𝑥 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜

366

Según los datos podemos

formular:

29

366𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 -

28

365𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜 = 33,7

El premio es 13 359 soles

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