LOS NÚMEROS PRIMOS CONSTITUYEN PIEZAS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA Y, AL MISMO TIEMPO, SE INTEGRAN EN ALGUNAS DE NUESTRAS ACTIVIDADES MÁS COTIDIANAS POR DAVID LÓPEZ BELLÓN Estamos rodeados de números, forman parte intrínseca de nuestras vidas y pasan inadvertidos en muchas de las tareas cotidianas que realizamos. Cuando hablamos por teléfono, conectamos el ordenador o pagamos con la tarjeta de crédito, usamos las matemáticas. Sencillamente, los números nos son necesarios. De todos los números, sin duda alguna los más importantes son los números primos, esas potentes piezas de las matemáticas. Decimos que son piezas porque a partir de ellos podemos construir. Y es que, combinando unos primos con otros a través de la multiplicación, obtenemos el resto de los números enteros. Esto es lo mismo que decir que cualquier número entero puede ser dividido por un primo. En cambio, éstos son solamente divisibles por sí mismos y por la unidad. La serie formada por los que aparecen entre 1 y 100 es la siguiente: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89 y 97. Otra de las curiosidades de los primos es que, al menos aparentemente, surgen al azar, sin obedecer ningún tipo de patrón. No hay ninguna fórmula para predecirlos, de forma que no se sabe cuál será el siguiente número primo de una serie. Esto los hace misteriosos para nosotros y no es extraño que los matemáticos siempre hayan sentido fascinación por ellos. Desde su descubrimiento, se ha intentado sin éxito dar solución al problema del patrón inexistente. Un problema matemático que, curiosamente, fue crucial para la victoria de Gran Bretaña sobre la Alemania nazi, para el nacimiento del ordenador, la criptografía y el entendimiento de los átomos. A LA CAZA DE LOS PRIMOS Matemáticos como C. F. Gauss, C. Goldbach, G. H. Hardy, Ramanujan o H. Montgomery se aventuraron en la búsqueda de fórmulas matemáticas y patrones que explicasen el comportamiento de los números primos. Todos ellos hicieron grandes aportes. Sin duda alguna, el mayor logro vino de la mano de un matemático alemán llamado Bernhard Riemann en el año 1859, y es lo que hoy se conoce como hipótesis de Riemann. Ésta se basa en la utilización de una función —llamada función Zeta— que está estrechamente relacionada con la distribución de los números primos, ya que en el paisaje tridimensional que con ella se dibuja aparecen alineados todos en una línea recta, a diferencia de lo que ocurre con el resto de números Sin embargo, la hipótesis no tiene una demostración formal a día de hoy. Y tal es la magnitud de la dificultad que entraña darle solución, que el Instituto Clay de Matemáticas en Cambridge, Massachusetts (Estados Unidos), premia con un millón de dólares a quien lo resuelva. La trascendencia de la hipótesis de Riemann es tal que se compara a la teoría de Einstein sobre masa y energía. De hecho, la teoría de la relatividad se basó en los descubrimientos matemáticos que Riemann había hecho 50 años antes. LOS NÚMEROS PRIMOS SURGEN AL AZAR, SIN OBEDECERA NINGÚN TIPO DE PATRÓN CONOCIDO Lo que mucha gente desconoce es que los números primos y la hipótesis de Riemann jugaron un papel fundamental en el desencadenamiento de la Segunda Guerra Mundial. Fue Alan Turing, conocido como el padre de la informática y de la inteligencia artificial, quien saltó a la fama por ser uno de los matemáticos que consiguió descifrar el código secreto alemán y conseguir así la derrota de los Nazis. Resulta que el problema de la resolución de la hipótesis de Riemann fue lo que llevó a la mente de Turing a construir una máquina que consiguiese descifrar los códigos enemigos secretos. Y ya acabada la guerra, Turing construyó con tubos de rayos catódicos y rayos magnéticos el prototipo del ordenador
Transcript
LOS NÚMEROS PRIMOS
CONSTITUYEN PIEZAS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA Y, AL MISMO TIEMPO, SE INTEGRAN EN ALGUNAS DE NUESTRAS ACTIVIDADES MÁS COTIDIANAS
POR DAVID LÓPEZ BELLÓN
Estamos rodeados de números, forman parte intrínseca de nuestras vidas y pasan inadvertidos en muchas de las tareas cotidianas que realizamos. Cuando hablamos por teléfono, conectamos el ordenador o pagamos con la tarjeta de crédito, usamos las matemáticas. Sencillamente, los números nos son necesarios. De todos los números, sin duda alguna los más importantes son los números primos, esas potentes piezas de las matemáticas. Decimos que son piezas porque a partir de ellos podemos construir. Y es que, combinando unos primos con otros a través de la multiplicación, obtenemos el resto de los números enteros. Esto es lo mismo que decir que cualquier número entero puede ser dividido por un primo. En cambio, éstos son solamente divisibles por sí mismos y por la unidad.La serie formada por los que aparecen entre 1 y 100 es la siguiente: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89 y 97.
Otra de las curiosidades de los primos es que, al menos aparentemente, surgen al azar, sin obedecer ningún tipo de patrón. No hay ninguna fórmula para predecirlos, de forma que no se sabe cuál será el siguiente número primo de una serie. Esto los hace misteriosos para nosotros y no es extraño que los matemáticos siempre hayan sentido fascinación por ellos. Desde su descubrimiento, se ha intentado sin éxito dar solución al problema del patrón inexistente. Un problema matemático que, curiosamente, fue crucial para la victoria de Gran Bretaña sobre la Alemania nazi, para el nacimiento del ordenador, la criptografía y el entendimiento de los átomos.
A LA CAZA DE LOS PRIMOSMatemáticos como C. F. Gauss, C. Goldbach, G. H. Hardy, Ramanujan o H. Montgomery se aventuraron en la búsqueda de fórmulas matemáticas y patrones que explicasen el comportamiento de los números primos. Todos ellos hicieron grandes aportes. Sin duda alguna, el mayor logro vino de la mano de un matemático alemán llamado Bernhard Riemann en el año 1859, y es lo que hoy se conoce como hipótesis de Riemann. Ésta se basa en la utilización de una función —llamada función Zeta— que está estrechamente relacionada con la distribución de los números primos, ya que en el paisaje tridimensional que con ella se dibuja aparecen alineados todos en una línea recta, a diferencia de lo que ocurre con el resto de números Sin embargo, la hipótesis no tiene una demostración formal a día de hoy. Y tal es la magnitud de la dificultad que entraña darle solución, que el Instituto Clay de Matemáticas en Cambridge, Massachusetts (Estados Unidos), premia con un millón de dólares a quien lo resuelva. La trascendencia de la hipótesis de Riemann es tal que se compara a la teoría de Einstein sobre masa y energía. De hecho, la teoría de la relatividad se basó en los
descubrimientos matemáticos que Riemann había hecho 50 años antes.
LOS NÚMEROS PRIMOS SURGEN AL AZAR, SIN OBEDECERA NINGÚN
TIPO DE PATRÓN CONOCIDO
Lo que mucha gente desconoce es que los números primos y la hipótesis de Riemann jugaron un papel fundamental en el desencadenamiento de la Segunda Guerra Mundial. Fue Alan Turing, conocido como el padre de la informática y de la inteligencia artificial, quien saltó a la fama por ser uno de los matemáticos que consiguió descifrar el código secreto alemán y conseguir así la derrota de los Nazis. Resulta que el problema de la resolución de la hipótesis de Riemann fue lo que llevó a la mente de Turing a construir una máquina que consiguiese descifrar los códigos enemigos secretos. Y ya acabada la guerra, Turing construyó con tubos de rayos catódicos y rayos magnéticos el prototipo del ordenador moderno, con el objetivo de seguir buscando la solución a la hipótesis.
MATERIA PRIMAPero los primos no sólo han tenido su papel en nuestra historia reciente, también lo tienen en aspectos curiosos de nuestra cultura y nuestro entorno natural. Si nos preguntasen qué tienen en común determinadas obras musicales y literarias, el ciclo de vida de las cigarras y los átomos de uranio, seguramente no recabaríamos en contestar que son los números primos. Veamos de qué manera.Desde siempre artistas, dibujantes, literatos e ingenieros han estado preocupados por el mismo y viejo problema de cómo transmitir hechos de una mente hasta otra, algo que no se halla restringido al ámbito de las imágenes visuales, sino que también afecta a las palabras e incluso a la música. Como bien indica el divulgador científico Jonah Lehrer en su libro Proust y la Neurociencia (Paidós, 2010), el cerebro está obsesionado con el orden y en consecuencia, por ejemplo, la música solamente nos excita cuando induce a la corteza auditiva a luchar por descubrir el orden que en ella se articula. Si la música es demasiado obvia, sus patrones están siempre presentes y resulta demasiado aburrida.Cuanto más tiempo se nos niegue el patrón que esperamos, mayor será la liberación emocional que experimentaremos cuando éste se resuelva. Si por algo se caracterizan los números primos es precisamente por la carencia de un patrón que los defina. Quizá fuera eso lo que motivó al compositor francés Olivier Messiaen para crear música no métrica, empleando simultáneamente
motivos cuya duración es un número primo y crear así ritmos impredecibles. La matemática de los números primos le bridó a Messiaen la clave
para crear una sensación de atemporalidad en la pieza.
NUESTROS MEJORES ALIADOSActividades tan mundanas como el uso de un cajero automático, el comercio electrónico a través de internet, la telefonía móvil o la televisión de pago, usan técnicas de criptografía para garantizar su seguridad. Este proceso consiste en transformar el mensaje original en un galimatías ¡legible para todo aquel que no sea su destinatario. Una de las técnicas criptográficas más seguras a día de hoy, es la denominada RSA, desarrollada en 1977 por Rivest, Shamir y Adleman. Su funcionamiento está basado, cómo no, en los números primos. Los mensajes enviados son representados en forma de números que constituyen el resultado de la multiplicación de números primos grandes elegidos al azar y que son mantenidos en secreto.
Lo que hace que RSA sea tan seguro es precisamente la dificultad que entraña el factorizar un número como producto de primos. Aún usando ordenadores muy potentes resulta muy difícil averiguar qué números primos han sido multiplicados. Se cree que mientras no se encuentre una forma rápida de factorizar un número, RSA será seguro. Por otra parte, el hecho de que se siga manteniendo la seguridad en los sistemas de cifrado significará que el enigma de los números primos y el halo místico que los rodea seguirá aún sin revelar sus secretos más ocultos.
También Carl Sagan hizo uso de estos números en su novela de ciencia ficción Contact. En ella sugiere que los números primos podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que desarrolló posteriormente el astrónomo estadounidense
Frank Drake mediante el Mensaje de Arecibo. Dicho mensaje de radio se envió desde el radiotelescopio de Arecibo en Puerto Rico el 16-11-1974, tenía una longitud de 1679 bits, número elegido porque es el producto de dos números primos, el 23 y, el 73. Debido a esto, sólo se puede descomponer en 23 filas y 73 columnas o 23 columnas y 73 filas, de forma que quien lo leyera podría decidir organizar los datos en forma de cuadrilátero.
Pero es que incluso la naturaleza hace uso de los números primos. Existe una especie de cigarra norteamericana llamada Magicicada septendecim, que tiene un ciclo vital que se produce alternativamente cada 13 o 17 años —ambos números primos, claro— , hecho que ha intrigado largamente a los biólogos. Este acontecimiento no es casual. Tal como explica Richard Dawkins en su obra El Relojero Ciego (Labor, 1988), se deduce que, gracias a esta pauta de ciclo con número primo de años, Magickada elude a sus enemigos parásitos. Es decir, que si el ciclo vital de los parásitos es de dos años, solo coincidirán con la cigarra cada 34 años (2 l7). Y si el ciclo vital del parásito fuese de 16 años, coincidirán cada 272 años (16 17). Dificultan así, por tanto, la sincronización de los ciclos vitales de sus enemigos depredadores y parásitos. Se hallan amparadas, por tanto, por su largo ciclo vital y un número primo de años alterno.
Recientemente también se ha descubierto otro paralelismo entre el mundo físico y el mundo abstracto de los números primos. La manera en que vibra el cuarzo o los niveles de energía cuántica de átomos como los del uranio coinciden con la serie formada por estos
números. Vibran y reducen su nivel de energía de manera uniforme, al igual que se distribuyen los números primos en la hipótesis de Riemann.
PARA SABER MÁS:La Música de los Números Primos. Mar cus du
