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Representacin algebraicade relaciones parte-todo
E ste bloque de actividades se orienta al logro de dos gran-des propsitos: (1) introducir la produccin de expresionesalgebraicas para describir relaciones parte-todo, y (2) utilizar lasexpresiones algebraicas como herramienta para plantear y resol-ver problemas.
La habilidad para representar algebraicamente relacionesparte-todo es de especial importancia en el planteamientoy resolucin de problemas matemticos en muchos contextos;por ejemplo, problemas que implican porcentajes y problemasgeomtricos. En este bloque abordars algunos problemas cl-sicos de carcter geomtrico.
De igual manera que en los bloques de actividades an-teriores, es de relevancia el apoyo que brinda un procesadoralgebraico como el de la calculadora. En estas actividades se
aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todopara introducir el uso de nmeros negativos y ampliar los cono-cimientos adquiridos en el bloque anterior.
Te invitamos a abordar estas actividades teniendo en menteel tipo de competencias matemticas que pueden desarrollarlos alumnos de educacin bsica al resolverlas. Esta reflexinenriquecer tu formacin como docente, y nuestra mayor ex-pectativa es que dicha experiencia fortalezca tus competenciasmatemticas, lo cual ser de gran utilidad en tu desempeoprofesional.
Bloque4
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Bloque 4 Representacin algebraica de relaciones parte-todo 109
El todo con respecto a sus partes (1)
Una estudiante construy un programa que produce la siguiente tabla.
Valor de entrada Valor de salida
1.3 18.7
2.5 17.5
3.8 16.2
4.4 15.6
5.9 14.1
1. Si el valor de entrada es 6, cul ser el de salida? Si es 7?
Y si es 9? Explica qu operaciones hiciste para obtener los valores de salida.
2. Programa tu calculadora de modo que obtengas el mismo resultado; verifica las respuestas y escribe tuprograma en el siguiente recuadro.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
2.83 3.03 -3.5 -4.8
5.01 6.2 27.04 37.32
4. Qu ocurre cuando el valor de entrada es un nmero negativo?
5. A qu crees que se deba?
Hoja de trabajo 33
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Desarrollo del pensamiento algebraico110
Hoja de trabajo 34
Aplicaciones de la relacin parte-todo (1)
Hay varios trozos de cable, todos de 16 cm, que se requieren cortar en dospartes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades.
1. Construye un programa de manera que si introduces la medida de una de las partes d como resultadola medida de la otra.Escrbelo en el siguiente recuadro.
2. Describe el razonamiento que seguiste para construir el programa. Hazlo de manera que todos tus com-
paeros lo entiendan.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
Valorde entrada
1.7 3.8 6.8 7.9
Valorde salida
12.8 14.9 15.6 17.4
4. Comprueba que los valores que encontraste para los nmeros 12.8, 14.9, 15.6 y 17.4 son los correctos.
4 cm 12 cm 11 cm 5 cm
3 cm 13 cm 9 cm 7 cm
6 cm 10 cm 14 cm 2 cm
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Bloque 4 Representacin algebraica de relaciones parte-todo 111
Hoja de trabajo 35
Aplicaciones de la relacin parte-todo (2)
De una pieza cuadrada de cartn se har una caja, recortando cuadrados encada esquina y doblndolos luego hacia arriba para darle volumen.
El tamao de los cuadrados que se recorten determinar cunto medir la base y la altura de la caja, ascomo el volumen. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja.
1. Cunto mide por lado la pieza de cartn? Cul es su rea?
Cul es su volumen? Explica las operaciones que hiciste para calcular el rea y el volu-
men de la caja.
2. Completa la siguiente tabla usando los datos obtenidos.
Caja Figura 1 Figura 2
rea de la base
Altura de la caja
Volumen de la caja
3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero nicamente puedes hacer un intentoporque slo se tiene esta pieza de cartn. Programa tu calculadora para obtener el volumen de cualquiercaja que se pueda formar con esta pieza, dependiendo del corte de los cuadros en las esquinas. Escribe tuprograma en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para encontrar cunto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtenerel mximo volumen. Anota en el siguiente recuadro las medidas que encontraste.
Lado de la base Altura de la caja Volumen mximo
Figura 1 Figura 2
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Desarrollo del pensamiento algebraico112
Hoja de trabajo 36
Aplicaciones de la relacin parte-todo (3)
De una pieza de cartn de forma rectangular, cuyo largo es de 38 cm y suancho de 20 cm, se har una caja, recortando cuadrados en cada esquina ydoblndolos luego hacia arriba para darle volumen.
El tamao de los cuadrados que se recorten determinar cunto medirn ellargo y ancho de la base de la caja y tambin cul ser su altura. Las figuras 1 y2 muestran dos maneras posibles de armar la caja
1. Explica qu operaciones requieres para calcular el rea de la pieza.
2. Explica qu operaciones tendras que hacer para calcular el volumen de la caja una vez armada.
Completa la siguiente tabla.
Caja Largo=30; ancho=12 Largo=32; ancho=14
rea de la base
Altura de la caja
Volumen de la caja
3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero nicamente se tiene esta pieza de cartn,y slo puedes hacer un intento para obtener la caja con el mximo volumen. Construye un programa paraobtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas. Escribe tuprograma en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para encontrar cunto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtenerel mximo volumen. Anota en el siguiente cuadro las medidas que encontraste.
Lado de la base Altura de la caja Volumen mximo
Figura 1 Figura 2
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Bloque 4 Representacin algebraica de relaciones parte-todo 113
Hoja de trabajo 37
El todo con respecto a sus partes (2)
Dos estudiantes construyeron un programa que produce los siguientes va-lores.
Valor de entrada Valor de salida
1 0
2 -1
3 -2
4 -3
-4 -2
1. Si el valor de entrada es 6, cul ser el de salida? Y si es 7?
Qu valor de entradaproduce 17 como valor de salida?
2. Qu operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explcalo mediante un ejemplo.
3. Programa tu calculadora de modo que haga lo mismo que el programa de los otros estudiantes y luegoescrbelo en el siguiente recuadro.
4. Construye otro programa que produzca los mismos resultados. Prubalo en tu calculadora y escrbelo enel siguiente recuadro.
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Desarrollo del pensamiento algebraico114
Hoja de trabajo 38
sta no es una relacin parte-todo!
Un estudiante cre un programa que produce esta tabla de valores.
Valor de entrada Valor de salida
1 4
2 9
3 14
4 19
5 24
1. Si el valor de entrada es 7, cul ser el de salida? Y si es 10?
Cul es el valor de entradasi el valor de salida es 19?
2. Explica qu operaciones hiciste para obtener esos resultados.
3. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifica tu res-puesta y escribe tu programa en el recuadro.
4. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la actividad anterior. Verifica tu progra-ma y escrbelo en el recuadro.
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Bloque 4 Representacin algebraica de relaciones parte-todo 115
Hoja de trabajo 39
sta tampoco es una relacin parte-todo!
1. Un estudiante construy un programa que produce esta tabla de valores.
Valor de entrada Valor de salida
1 -1.5
2 -2.5
3 -2.5
4 -3.5
5 -5.5
2. Si el valor de entrada es 7, cul ser el de salida?
Y si es 8?
Qu valor de entrada produce -7 como valor de salida?
3. Qu operaciones hiciste para obtener esos resultados?
4. Crea un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Verifica tu programa y escrbeloen el siguiente recuadro.
5. Construye dos programas equivalentes a tu programa. Verifica que funcionen correctamente y escrbelosen los siguientes recuadros.
6. Un estudiante dice que el programa -1 -(X+X)2produce los mismos resultados de la tabla.
Ests de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
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Desarrollo del pensamiento algebraico116
Hoja de trabajo 40
Patrones decrecientes (1)
Un estudiante construy un programa que produce los valores de lasiguiente tabla.
Valor de entrada Valor de salida
1 4
2 2
3 0
4 -2
5 -4
1. Una estudiante dice que el programa 6 -2 aproduce tambin esos resultados.
Ests de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
2. Construye dos programas equivalentes al programa 6 -2 a. Verifica que tus respuestas sean correctasy anota tus programas en los siguientes recuadros.
3. Un estudiante dice que el programa 6-a+aes equivalente al programa 6 -2 a.
Ests de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
4. Si no ests de acuerdo, explica lo ms claramente posible por qu 6 -a+ano es equivalente al progra-
ma 6 -2 a.
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Bloque 4 Representacin algebraica de relaciones parte-todo 117
Hoja de trabajo 41
Patrones decrecientes (2)
Un estudiante construy un programa que produce los siguientesvalores.
Valor de entrada Valor de salida
1 -1
2 -2
3 -3
4 -4
5 -5
1. Si el valor de entrada es 7.5, cul ser el de salida?
Y si es 10.1?
Cul es el valor de entrada si el de salida es 5.75?
2. Explica claramente lo que hiciste para obtener esos valores.
3. Crea en tu computadora un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Escrbelo enel siguiente recuadro.
4. Una estudiante dice que el programa a-2 aproduce tambin los resultados de la tabla. Ests de
acuerdo?
Justifica tu respuesta con dos ejemplos.
5. Construye dos programas que sean equivalentes al programa a-2 a. Escrbelos a continuacin.
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Desarrollo del pensamiento algebraico118
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Analiza con tus compaeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relacinparte-todo y concluyan en grupo en qu consiste esta relacin.
2. Organiza equipos para redactar tres problemas que impliquen la relacin parte-todo y que requieranun planteamiento mediante una expresin matemtica. Intercambien los problemas propuestos y re-sulvanlos.
3. Utiliza Excel u otro programa en tu calculadora que te permita construir las grficas de las funciones (ex-presiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. Verificaqu tan cerca de los valores mximos de las grficas estn los valores que encontraste para el volumenmximo usando tu programa en la calculadora.
4. Con base en tu experiencia al completar las hojas de trabajo 32-36, analiza con tus compaeros y tu pro-fesor las ventajas didcticas de este tipo de actividades en cuanto a favorecer las competencias matem-ticas de los alumnos de educacin bsica.
5. Del mismo modo respecto de las hojas de trabajo 32-36, comenta con tus compaeros y tu profesor
cules podran ser los obstculos que encuentren los alumnos de educacin bsica y propn alguna es-trategia para ayudarles a superarlos.
6. Respecto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compaeros y tu profesor las ventajas didcticasde estas actividades en cuanto a favorecer las competencias matemticas de los alumnos de educacinbsica.
7. Finalmente, en cuanto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compaeros y tu profesor culespodran ser los obstculos que encuentren los alumnos de educacin bsica y propn alguna estrategiapara ayudarles a superarlos.
