Date post: | 09-Jan-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | johann-smith-aranda-ramos |
View: | 7 times |
Download: | 0 times |
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 1/67
Profesor del curso:Wilar Tito Orellana Mendoza
AÑO ACADEMICO 2015
2015 W. ORELLANA M.
Página 1 de 67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 2/67
INTRODUCCION
La teoría de funciones de variable compleja es una de las ramas de las
Matemáticas más bellas y útiles, ya que hoy en día forma parte esencial en la
formación de matemáticos e ingenieros. na de las ra!ones por la que este
campo adquiere gran importancia es que numerosos conceptos matemáticos
se aclaran y refunden cuando se ven desde la teoría de funciones de variable
compleja.
"ste manual pretende que adquiera el alumno con esta asignatura son
fundamentalmente#
• $onocimientos básicos en una disciplina importante en la formación
tradicional en la Matemática superior con aplicaciones muy importantes en
el cálculo en el campo real.
• $onocimiento de los m%todos y t%cnicas que proporciona la variable
compleja en diversos campos no solamente internos de las Matemáticas
sino tambi%n en &ísica, por ejemplo.
• 'roporcionar un contacto con las Matemáticas de un nivel más avan!ado.
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 3/67
OBJETIVOS GENERAL:"l objetivo principal que se pretende alcan!ar en el desarrollo de esta asignatura escomprender la utilidad de la variable compleja para resolver problemas de variable realutili!ando las herramientas informáticas disponibles hoy en día.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:( )dquirir destre!a en la reali!ación de operaciones básicas con números complejos.( $onocer las principales funciones de variable compleja.( "ntender los conceptos de derivación e integración de funciones de variable
compleja.( $onocer el teorema de los residuos y sus aplicaciones para el cálculo de integrales
reales.
$*+"+-* "L $/0*#
CAPITULO I
1.1 Los Números Complejos1.2 Propiedades y aplicaciones1.3 Operaciones con Números Complejos.1.4 Luar !eom"#rico.
CAPITULO II 2.1 $unciones de %aria&les Complejas.2.2 Cur'as y reiones en el plano complejo.2.3 $unciones elemen#ales complejas.2.4 Trans(ormaciones con(ormes
CAPITULO II
3.1 Limi#es de una (unci)n compleja.3.2 Con#inuidad de $unciones complejas3.3 *eri'adas de (unciones complejas.3.4 $unciones anal+#icas.
CAPITULO I% 4.1 In#erales de (unciones complejas.4.2 Propiedades de las in#erales.4.3 In#erales de Con#orno4.4 $ormulas in#erales de Cauc,y
CAPITULO %
-.1 eries de (unciones complejas.-.2 Con'erencia de eries Complejas.-.3 eries de Taylor y eries de Lauren# -.- Ceros y inularidades. /esiduos. Polos.-.0 residuos en los polos.-. In#eraci)n por el m"#odo del residuo.-. Teorema del residuo
CAPITULO %I 0.1 $ormas de Onda.0.2 onda Peri)dica. %alor medio. %alor e(ica.
0.3 eries de $ourier.0.4 $orma #rionom"#rica y compleja de las series de $ourier.
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 4/67
VARIABLE COMPLEJA
LOS NUMEROS COMPLEJOS:
jy z z +=
1−= j
|)Re( z I z =
parte real de !)Im( z I y =parte imaginaria de 1
/epresentación geom%trica
Z=X+jy
J3J4
Z=2+jJ1J2
y
y Z=X+jy
r y
x x x
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 5/67
R = m!"#
22 y xr +=
:θ )rgumento principal
p2π θ k B 2+=
$$$2%1%& ±±=k
)(' 1
x
y−=θ
Formas de un Número Compe!o:
3. &orma rectangular
jy x z +=
4. &orma polar
k r r z π φ φ 2+==
5. &orma trigonom%trica
θ
θ θ
θ θ
rcis z
jsenr z
jrsenr z
jy x z
=+=+=
+=
)(*+
,*+
6. &orma e7ponencial
relaciones
rere z k j j
=== +
θ
π θ θ )2(
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 6/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 7/67
)()($
))(($
21
21
ad bc jbd ac z z
jd c jba z z
++−=++=
5. ivisión#
21
2
1
22
11
2
1
22
2
1 )(
θ θ θ
θ −==
+−++
=
r
r
r
r
z
z
d c
abbc jdbac
z
z
6. 'otenciación#
( )
+++=
+=
=
=
+=
)2(1
)2(*+
*+
)(
)(
)(
k n
jsenk nr z
n jsennr z
nr z
r z
jy x z
nn
nn
nn
nn
nn
π θ π θ
θ θ
θ
θ
;. /adicación
)1$$$$(3%2%1%&
22*+
)2(
1
)2(
1
*+2
01
0101
−=
+
++
=
+++==
nk
n
k jsen
n
k nr
k n jsenk nnr z
n
nnn
π θ π θ
π θ π θ
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 8/67
1
1
-1
-1
"jemplos#
3.
4 1
+=
==+=
4
2
4
2*+11
42011121211
401
401401
k jsen
k
k k k
π π
π π π θ
j z k
z k
j z k
z k
−==
−==
==
==
4
3
2
1
3
12
1
1&
4. hallar
3 1
y
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 9/67
Z2
Z2
120|
120
2
21
1&
3
2
3
2*+11
3
211
211
2
1
301
301301
=
==
==
+=
=→=
=→=
k
z k
z k
k jsen
k
nr z k
r z k
nn
π π
θ π
θ π
0"/-" " L)/"+
&)()(
1)(*+)(
&)()(
1)(*+)(
&)()(
11
==
−=−=
=−=
==
==
o f senx x f
o f x x f
o f senx x f
o f x x f
o f senx x f
iviv
Z1
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 10/67
$$$$$$53
53
+−+−= x x x x senxφ φ
φ φ φ
φ φ φ
φ φ φ φ
φ
φ
φ
jsene
je
j j j je
x x x xe
x x x x x
o f x x f
o f senx x f
o f x x f
j
j
j
x
+=
−+−++++−=
+++++=
+++++=
−+−+−=
−=−=
=−=
==
*+
$$$
53
$$$
432
1
$$$4
)(
3
)(
2
)(1
$$$$$432
1
$$$$$6742
1*+
1)(*+)(
1)()(
1)(*+)(
53432
432
432
6742
0implificar#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 11/67
( )
( )
2
2
2
)1(2$
2$
2
2
2
21
21
12
1
1
44
2
4
4
4
4
4
2
±=→±=
→−=
−=
=
=
=+
=+
∈−+=
+
−−
−
−
−
−
E
impar n
j E
par n
j E
j E
ee E
e
e
e
E
e j
e j
z n j
E
n
n
jn
j
j
j
j
j
j
n
n
π π
π
π
π
π
π
/esolver#&22
2 =+− j j x x
z x j =
( )
( )
( )
( ) 4024021
42
2
11
&222
)402101
2
)402101
1
)402101
40
2
π π
π
π
π
π
π
+−=+
=
=
=
±=
=
±=→±=
=+−
−
+
±+
±
jLn j Ln j
e x
e x
e x
j Ln jLnx
e x
j x j z
z
j Ln
j Ln
j Ln
j j
j
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 12/67
emostrar#
si
jsenz z e jz += *+
a<2
* jz jz
ee z +=
b<2
jz jz ee senz
−=
3< z ee
senz z e
jsenz z e
jz jz
jz
jz
*+
*+
*+
=+
+=
+=
−
−
4< senz ee
senz z e
jsenz z e
jz jz
jz
jz
=−
+=
+=
−
−*+
*+
emostrar#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 13/67
n
n
n
n
jsen jsen
sen j
sen j
n j
n j
j
j
−+=
−
+
−+=
−+
α α α α
α
α α
α
α
α
α
α
*+*+
*+1
*+1
'1(
'1
)'1(
)'1(
α
α
α
α
α
α
α
α
n j
n j
jsennxn
jsennxne
e
e
e jn
jnn
j
j
'1
'1
*+
*+
−+
=−+
=
−−
&+$-*+"0 " =)/-)>L"0 $*M'L"9)
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 14/67
na funcion es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto de )
con un valor del conjunto >
i a cada 'alor de le corresponde un unico 'alor de 5 la (uncion se llama
univoca.
0i le corresponde varios valores de ? es una funcion multivoca.
3<
8
9Z
;
91
92
$
$
$
$9
Z1
Z2
$
$
$
$Z
9 = < (.)
8
9Z
;
91
92$$
$
$
9
Z1
Z2$$
$
$
Z
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 15/67
( )
24
522
jw
z z w
z f w
−=
++=
=
4<
( )
2
21
2
2
2
21
2
2
22
22
2
2
2
2&
2
220*+
1
2
1
201240
201
jw
jw
j z
j z k
jsenk
e j
z w
k j
−+−
=
++=
−−=
+=→=
++==
+=
+ π π π π
)%()%(
)()(
y x j y xuw
jy x f z f w
jy x z
+=
+==+=
0eparar#
)22()2(
5222
5)(2)(
52
22
22
2
2
y y j y x xw
y j x xy j y xw
jy x jy xw
z z w
+++−+=
++++−=
++++=
++=
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 16/67
TRANSFOR"ACIONES
"s por de puntos del plano 1 al plano complejo ? a traves de la relacion ? 2
f@!<.
jv z F w +== &)(
'lano 1 'lano ?
"jemplo#
0i#
2)( z z F w ==
Aallar la imagen para#
)2 3 Bj
>24(j
43)2()2(
2)1()1(
2
2
j j j f B
j j j f A
−=−=−=
=+=+=
C
y
r y ;=X+jy
r ;=U / j>
x x
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 17/67
)&%1(
1)(
112
&2
&
2
1
22
222
22
22
c
vu
vvu
vvu
vu
=+++
=+++
=−++
=
"jemplo
Aallar la imagen de y 2 3 mediante la función C2!
xyv
y xu
xy j y xw
jy xw
jy x z
2
2
)(
2
22
2
=−=
++=
+=
+=
?
; j2
1;
X
3
2
/4j 1 X
/j
P# .
?
X
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 18/67
)1(4
4011
14
2
2
2
2
2
2
2
+=
=+
−=
=
=+=
uv
vu
vu
uu
xv
y xu
p v%rtice en @(3, D<
p 2 3
FUNCIONES ELE"ENTALES
&. '*L-+*M-)L
n
n z a z a z aa z P $$$$)( 2
21& +++=
&. /)$-*+)L
n
n
n
n
z b z b z ba
z a z a z aa
z Q
z P z R
$$$$
$$$$
)(
)()(
2
21&
2
21&
++++++
==
&. "E'*+"+$-)L
)(*+-
--
jseny yew
eeew
ew
jy jy
z
+=
==
=+
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 19/67
&. /-8. $-/$L)/"0
2
2*+
*+
*+
j
ee senz
ee z
jsenz z e
jsenz z e
jz jz
jz jz
jz
jz
−
−
−=
+=
−=
+=
&. A-'"/>*L-$)0
1*+@
2*+@
2
22 =−
+=
−=
−
−
z sen z
ee z
ee sena
z z
z z
-"+-)"0#
z z
z z !"
z sen z #os
22
22
22
*+**'@1
+e*1
1
=−
=−
=−
&. /-8*+*M"/-$)0 -+="/0)0
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 20/67
)1
1
(2r*'
)1(r**+
)1(
2
2
z
jz
Ln
j
z w
z z jLn z w
z jz jLnarcsenz w
−
+
−==
−+−==
−+−==
&. A-'"/>*L-$) -+="/0).
(( )
−+==
++==++==
−
−
−
z
z Ln$"%
z z Ln z e z z Ln z senw
1
1
2
1
1*+@1
1
21
21
&. L*8)/-M-$)0.
)2(
)2(
k jr Lnwer Lnw
Lnz w
k e j j
π θ
π
++==
=+
&. '*"+$-)L.
aLnz
z
ew
aw
=
=
/elaciones de las funciones trigonom%tricas circulares
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 21/67
jseny jy sen
jsenz jz sen
ee j senjz
j
j
j
ee jz sen
j
ee z sen
z z
jz j jz j
jz jz
==
−=
−=
−
=
−
−
−
)(
)(
2
2)(
2)(
)()(
"jercicios#
emostrar
z senw
arcsenz w
z jz jLnarcsenz w
=
=
−+−== )1( 2
&2
2
2
=−−
=−
=−
−
−
−
z jee
z jee
z j
ee
jw jw
jw jw
jw jw
Multiplicando#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 22/67
)1(
)1(
1
2
442
&12
&1)(
2
2
2
2
12
2
2
z jz jl& w
z jz jLn jw
z jz e
z jm
zm jm
em
e jaz e
jw
jw
jw jw
++−=
++=
++=
+−+=
=−−
=
=−−
/esolver#
e senz =+ 54
−−+−−=
−−+
−−=
−=
−=
2
2
4
51
4
5#
4
51
4
5
4
5
4
5
j j z
j jLn z
arcsen z
'enz
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 23/67
2
1
2
2
12
1
4
3
4
5#
203
jLn z
P jLn z
j jLn z
j j j z
−−
=
−=
−−=
+−−=
−
π
π
L-M-" " +) &+$-*+ " =)/-)>L" $*M'L"9)#
0ea f@!< una función univoca#
&
&)(#Am
z z
w z f
→=
0i se apro7ima !, entonces)( z f w = se apro7ima a C
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 24/67
[ ]
θ jLin
je
re z
re z
j z z
w z f
#Am#Am
)(
&
&
=
=
<−
⊂∈−
0i
11
1
−
+= n
j
n er n
z
"jercicios#
Aallar Lim 1n2F
( )( )
( )
&
2
2
2
2
4
1#Am
2517
54#Am#Am
251717
54
54
)54(
)3(
j (n
n
jn zn
n jzn jn z
jn
jn
jn
jn z
n
n
+=
++
=
+++=
−−
++
=
L-M-" " 00$"0-*+"0
3<{ } %$$$$$$$$$$$$$$$%%%: 321 nn z z z z z
sinnn jy ) z +=
si∞→n
y
.
y
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 25/67
nnn jLimy Limx jn x Lim +=+ )(
A*/-1*+)LM"+"#
&
&
&
)( -
→⇒+
→=
=
Ax
jAy Ax
A(
A) A( A) A(
)1$$$$$$$$$()(
)(
-
z z z f
Lim z f
+=
=
Ax z z ++ )(
-
="/-$)LM"+"#
&
&
)( -
→+
→
−=
=
jAy Ax
A(
jA* A(
jA* A(
en)(α
-)2( z z f +−=
'ara que e7ista limite
-)( z z f = &= z si
"jemplo#
xx
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 26/67
0i20
)1(
n
j#n
n+
=
Aallar#
21
)(21
)(2
*+
*+2
)1(
*+2
)1(
12
2
)1()1(
20
)1(201
1
eeee Liml
ee
j Liml
j
j
j
j
Liml
n j
n j
n jn j
n
nn
n
nn
n
=++=
+=
+
+
=
+−−
+−+
++
+
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 27/67
DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIABLES CO"PLEJA
"l ?2f@!< es univoca entonces la función f@!< es derivable en un dominio
definido.
z
w
Az
cz f Az z f Lim
Az
Aw Lim
∂∂=−+= )()(
"jercicios#
G0i z z z f 23)( 2 −=
27)237(
2322)(373
23)(2)(3
222
22
−=−+=
+−−−++=
+−+−+
z Az z Limdz
dw
Az
z z Az z Az zAz z Lim
dz
dw
Az
z z Az z Az z Lim
G0i#
2)( z z f =
hallar#B)( = z f
( )
)$$$$$$$$$($$$$$$$$$$)()(3
)(
$)($)(
$))(()(
)()(
)(
$
---
-----
--
-2
α Az z Az
Az Lim z f
Az
z z Az Az Az z Az z z z Lim z f
Az
z z Az z Az z Lim z f
Az
z f Az z f
Lim z f dz
dw
z z z
++
=
−+++=
−++=
−+=
=
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 28/67
FUNCIONES ANALITICAS
na función es analítica si esta determina y es derivable en un dominio d
)10(3)( 2 −= z z z f
si ! 2 3 f@7< no e7iste
f@!< no es analítica en 123
'ara que una función sea analítica debe cumplir con las condiciones de
$auchy H /ieman
si
jv z f
y x jv y x z f
+=+=
µ
µ
)(
)%()%()(
3era condición
y
v
x ∂
∂=
∂
∂ µ
4da condición
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 29/67
)1$$$$$$$$($$$$$$$$$$)(
)%()2()%()%()(
))%()%()%()(
)()()(
1
&
x
r j
x z f
Ax
y x+ Ay x Lim j
y xu y Ax xu Lim z F
jAy Ax
ycx yucx Ay y Ax x jv Ay y Ax x Lim z f
Az
z f Az z f Lim z f
y
u
x
v
∂∂
+∂∂
=
−++
−+=
++−+++++
=
−+=
∂∂
−=∂∂
µ
µ
FUNCIONES AR"ONICAS
na función real A de 7 común se dice que es armónica en un dominio dado
del plano E, I si tienen derivadas parciales continúas de primer y segundo
orden.
&2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
y
x
"jercicios#
G
xy senye yeu y x ++= *+
0i f@D<24(j J hallar f@4<
3Kdy
du y xe ye
dx
du y x =++= *+$*+$
∫ ∫ ++= )*+$*+$( y xe yedv y x
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 30/67
)(2
*+$$2
x y
xe senyev y x φ +++=
4K y
u
x
v
∂
∂−=
∂
∂
)$$()($$ x senxe senye x senxe senye y x y x ++−−=+− φ
c x
x x
dx x x
x x x
+−
=
−=∂
−=∂∂
∫ ∫ 2
)(
$)(
)(
φ
φ
φ
jc z je jee z f
jc xy j y x j jsenx x jeee z f
c x y
xe senye j xy senxe ye z f
jvu z f
jx y jy x
y jy x
y x y x
+−+=
++−−−+=
+−+++++=
+=
−+ 2
22
2
1)(
)2(201)(*+)(
)22
*+(*+)(
)(
2
201
012
1)2(
21
1)(
)(2
−−=−=
=+=+
−=++−+=
+−+= −
jc
jc
jc
c j
j jc j
jc ja f
jc z
z j jee z f jz z
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 31/67
INTEGRALES CON FUNCIONES CON VARIABLE CO"PLEJA
0ea f@!<
)nalítica en todos los puntos de una curva $ entonces f@!< es integrable a lo
largo de la curva $.
-+"8/)L " L-+")#
f@!< es analítica en /
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 32/67
jvu z f
y x jv y xu z f
dz z f I
+=+=
= ∫
)(
)%()%()(
)(
) jdydxdz
jy x z
+=+=
∫ ∫ ∫
++−=
++=
c c
vdxudy jvdyudx I
jdz dx jv x I
)()(
)((
"jercicios#
3.Aallar
∫ −c
dz z z -1
N!(3N 2 3
!(3 2 3
!23 B O
j
!23 B O(j
P!2 j O(j P
N!(3N2 N3( !N 2 3
- 2
¿¿
∫π
3 π
2
¿3 B O(j< j O(j P
- 2 j
¿¿
∫π
3 π
2
¿O jB j P<
- 2 j
¿¿
∫π
3 π
2
¿O j P< B
¿¿
∫π
3 π
2
¿P<
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 33/67
-2O jK
+¿
∫π
3 π
2
¿ o
¿¿
∫π
3 π
2
¿
- 2O j5QR4 ( O jQ H @5π
2 H Q<
- 2 (j B 3 (π
2
- 2 3 (π
2 ( j
4.(Aallar la integral
- 2 ∫c
❑
z ! P!
$# -!- 2 3 en sentido horario
12O jѳ
12O jѳ
12O(jѳ
-2 ∫0
−2π
℮ jѳ O(jѳ jO jѳ Pѳ
- 2 j ∫0
−2
π ℮ jѳ Pѳ
-2 O jѳ ∫0
−2π
¿ cosѳ B j senѳ ∫0
−2π
❑
-2 @3 H 3< 2 D
5.( Aallar la integral
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 34/67
-2 ∮c
.∂ z
z−4 c#-! H 6-2 4
@D,;< @4,;<
7 ∫0
2
. y2; Py2 D
/eempla!ando#
-4 2 ∫0
2
( x+15) P72 x
2 4 B 3; ∫0
2
¿ 54
-2 -3 B -4
-266
c<.( 9 @4,3< y @4,3< @4,;<
3K @D,3< @4,3<
7 ∫0
2
. y23 Py2 D
-52 ∫0
2
( x+3) P7 2 x
2
2 B 57 ∫0
2
¿ S
4K @4,3< @4,;<
E24 P72 D y2 3
-62 ∫1
5
( y−4) Py 2 y
2
2 ( 6y ∫1
5
¿ 25
2 ( 4D (1
2 B 6 2 (6
-2 -5 B -6
-2 6
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 35/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 36/67
P!2 j/ O jѳ Pѳ
12 ∫0
2π j R ℮
jѳ∂ѳ
R ℮ jѳ 2 j 4Q
-! H 6-2 4 O jѳ
12 6 B 4 O jѳ
P!2 j 4 O jѳ Pѳ
-2 ∮0
2π
j 4 O jѳ Pѳ
4 O jѳ
-2 ∮0
2π
∂ѳ 2 j 4Q
-+"8/)L"0 " "+*/+*
eorema 4#
∮c
.
f ( z) P!2 ∮c .
.
f ( z) P! 2 ∮c..
.
f ( z) P!
-2 ∮c
.
z ℮ zt
( z+1)3 P!
c# -!-2 3
∮c
.
¿ ∮c
.
.
-2 ∮c .
.
z ℮
zt
[ z−(−1 )]2+1 P! 2 j
2 π
2J f@(3<
f@!<2 !O!t
fV@!<2 ! t O!t B O!t
fVV@!<2 t@ O!t B O!t < Bt O!t
fVV@!<2t4 ! O!t B 4 t O!t
fVV@(3<2(t4 O(t B 4 t O(t
y2jQ@(t4
O(t
B 4 t O(t
<
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 37/67
&*/ML)0 -+"8/)L"0 " $)$AI
∫C
.f ( z )∂ z
z− zn 2 j4Q f@!D<
∮c
.f ( z )∂ z
( z− z0)n+1 2
j2 π
n ! f@!D<
∮c
. senh π
2( z )∂ z
z2( z−1)
$# -!-2 4
f@!<2senh
π
2 z
z−1
f@!<2
π
2 ( z−1 ) cosh
π
2 z−senh
π
2 z
( z−1)2
f@!D<2f@D<2 (π
2
g@!D<2senh
π
2 z
z2
g@3<2 senhπ
2
!(3 2 3
!23 B O jѳ
!23 B O(jѳ
P!2 j O(jѳ Pѳ
N!(3N2 N3( !N 2 3
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 38/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 39/67
-2 ∫0
−2π
℮ jѳ O(jѳ jO jѳ Pѳ
- 2 j ∫0
−2π
℮ jѳ Pѳ
-2 O jѳ ∫0
−2π
¿ cosѳ B j senѳ ∫0
−2π
❑
-2 @3 H 3< 2 D
W.( Aallar la integral
-2 ∮c
.∂ z
z−4 c#-! H 6-2 4
@D,;< @4,;<
7 ∫0
2
. y2; Py2 D
/eempla!ando#
-4 2 ∫0
2
( x+15) P72 x
2 4 B 3; ∫0
2
¿ 54
-2 -3 B -4
-266
c<.( 9 @4,3< y @4,3< @4,;<
3K @D,3< @4,3<
7 ∫0
2
. y23 Py2 D
-52 ∫0
2
( x+3) P7 2 x
2
2 B 57 ∫0
2
¿ S
4K @4,3< @4,;<
E24 P72 D y2 3
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 40/67
-62 ∫1
5
( y−4) Py 2 y
2
2 ( 6y ∫1
5
¿ 25
2 ( 4D (1
2 B 6 2 (6
-2 -5 B -6
-2 6
d<.( la línea que une @D,3< y @4,;<
y2m7B b
y2 47 B 3
Py 2 4P7
-2 ∫0
2
( x+3 )(2 x+1) P7 B T 47 B 3 H 47U 4P7
! 2 O jѳ
!2O(jѳ
P!2j O jѳ Pѳ
-2 ∫0
π
℮ jѳ O(jѳ j O(jѳ Pѳ
-2 ∫0
π
℮ jѳ Pѳ
-2O jѳ ∫0
π
¿ O jQ H j
-2 (3 H 32(4
Aallar el valor num%rico de#
∮c
.∂ z
z−a
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 41/67
f@a<21
z−a
∮c
.
f ( z ) P! 2 D
∮c
.∂ z
z−a 2 ∮c .
.∂ z
z−a
! H a2 / O jѳ
P!2 j/ O jѳ Pѳ
12 ∫0
2π j R ℮
jѳ∂ѳ
R ℮ jѳ 2 j 4Q
-! H 6-2 4 O jѳ
12 6 B 4 O jѳ
P!2 j 4 O jѳ Pѳ
-2 ∮0
2π
j 4 O jѳ Pѳ
4 O jѳ
-2 ∮0
2π
∂ѳ 2 j 4Q
Aallar la región de convergencia#
3
( z+1)n−1
2¿
∑n=1
∞
¿
n2( z+1)n−2
(n−1 )2n
n B 32( z+1)n−1
n3
2n+1
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 42/67
0i la serie es convergente#
limn ∞
Un+1Un X 3
limn ∞
( z+1)n−1
n32
n+1
( z+1)n−1( z+1)−1
(n−1)32n
X 3
limn ∞
(n−1)3( z+1)
n32
X 3
-! B 3- X 4
"7aminar la convergencia#
∑n=1
∞nsen jn
2n
0en jn 2 j senh n
0enh jn2 j sen n
j∑n=1
∞nsenhn
23
n 2nsenhn
2n
n B3 2( n+1 ) senh(n+1)
2n+1
L2 limn ∞
Un+1Un X 3
L2 limn ∞
(n+1 ) senh(n+1)
2n+1
n senhn
2n
X 3
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 43/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 44/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 45/67
P er i o d o
f(x)
P er i o d o
f(x)
P er i o d o
f(x)x x
Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matriceshermitianas @por ejemplo, de la laplaciana discreti!ada unidimensional conlímites periódicos<, de los que se obtiene tambi%n la propiedad deortogonalidad
%$ FUNCIONES PERIODICAS:
0e dice que una función (678 tiene un período ' o es periódica con un
período ' si para todo 7 , ( 67 9 P8 : (678; donde ' es una constante positiva. "l
valor menor de ' ]D se llama el período mínimo o simplemente el período de
(678.
E!empo #&
La función sen n7 o cos n7 tiene períodos 4%$$$%7%4% π π π
puesto que sen
@ 792 π 8;sen @ 7 9 4
π 8, sen @ 790
π 8, ^.todos son iguales a sen 7.
E!empo %&
"l período de sen n7 o cos n7; donde n es un entero positivo, 4
π
R n.
E!empo '&
"l período de tan 7 esπ
.
E!empo (&
na constante tiene cualquier número positivo como período.
*tros ejemplos de funciones periódicas se muestran en los gráficos de la fig. 4(
3.
'$ FUNCIONES CONTINUAS POR INTERVALOS
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 46/67
0e dice que una función (678 es con#inua por in#er'alos en un trayecto si
@i< %ste puede ser dividido en un número finito de sub intervalos en cada uno
de los cuales ( @7< es continua y @ii< los límites de (678 a medida que 7 se
apro7ima a los e7tremos de cada sub intervalo son finitos. *tro modo de
definirla es decir que una función continua por intervalos es aquella que tiene
un número finito de discontinuidades finitas. "n la &ig. 4(4 se da un ejemplo de
una función continua por intervalos. Las funciones de la &ig. 4(3 6a8 y @c< son
continuas por intervalos. La función de la 7 &ig. 4(3 6&8 es continua.
"l l+mi#e de (678 ,acia la derec,a o el l+mi#e del lado derec,o de (678 es llamado
generalmente límite cuando lim (67 B∈
< 2 (67 B D<, donde∈
] D. -gualmente, el
l+mi#e de (678 ,acia la i<uierda o el l+mi#e del e7#remo i<uierdo de (678 se
denomina lim (67 (∈
< 2 (67 ( D<, donde∈
] D . Los valores de (67 B D< y (67= D<
de la &ig. 4.4 en el punto 7; son como se indica. "l hecho de que∈
D y∈
] D
algunas veces se indica, tambi%n brevemente por∈
DB. "ntonces por
ejemplo lim (67 B∈
< 2 (67 B D<, lim (67 (∈
< 2 (67 ( D<.
<(x)
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 47/67
&ig.4.4 '$ DEFINICION DE SERIES DE FOURIER
"stable!camos que (678 está definida en el intervalo 6=L;L8 y determinada fuera
de este intervalo por (67 B 2L8 2 (678; esto es, asumamos que (678 tiene un
período 2L. La serie de $ourier o desarrollo de $ourier que corresponde a (678
se define como#
2
ϑ a
B
∑=
α
1n
@ an cos
) L
nx senb
L
xnn+
π
donde los coe(icien#es de $ourier an y &n son#
=
=
∫ ∫
−
−
dx L
xn sen x f
Lb
dx L
xn x f L
a
L
Ln
L
Ln
π
π
)(1
*+)(1
n: >;1;2;?..
0i (678 tiene un período 2L; los coeficientes an y &n pueden ser
determinados equivalentemente de#
=
=
∫ ∫
+
−
+
−
dx L
xn sen x f
Lb
dx L
xn x f L
a
Lc
cn
Lc
cn
π
π
)(1
*+)(1
2
2
n: >;1;2;?.
onde c es cualquier número real. "n el caso específico de c 2 = L1; @5< se
vuelve igual a @4<.
+ote que el t%rmino constante en @3< es igual a∫ −=
L
L dx x f L
a%)(2
1
2&
el cual es el
valor medio de (678 sobre un período.
0i L 21π
las series @3< y los coeficientes @4< o @5< son particularmente sencillos.
La función en este caso tiene el período 4π
.
0e debe hacer %nfasis en que la serie @3< es únicamente la serie que
corresponde a (678.
x
<(x + &)
<(x D &)
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 48/67
+o sabemos si esta serie converge o aún, si es convergente, si converge a (678.
"l problema reconvergencia fue e7aminado por irichlet, quien desarrolló las
condiciones de convergencia de las series de &ourier que vamos a considerar
ahora.
CONDICIONES DE DIRIC)LET
eorema 4.3# 0upongamos que#
@i< (678 es definida y tiene un valor único con e7cepción posiblemente
de un número finito de puntos en 6=L; L<
@ii< (678 es periódica con período 4L
@iii< (678 y (@678 son continuas por intervalos en 6=L;L8
"ntonces si la serie @3< con coeficientes @4< o @5< converge a#
6a8 (678 si 7 es un punto de continuidad
6&82
&)/<(x&)<(x ++
si 7 es un punto de discontinuidad
e acuerdo con este resultado podemos escribir
∑=
++=α
π π
1
& *+2
)(n nn L
xn senb
L
xna
a x f
"n cualquier punto de continuidad 7. 0in embargo si 7 es un punto de
discontinuidad, entonces el lado i!quierdo de la ecuación se reempla!a por
[ ])&()&( −++ x x
, de tal manera que la serie converge al valor medio de (67 B
*< y ( 67 ( *<.
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 49/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 50/67
Tel cual es la mitad del intervalo 6=L; L8; por lo cual recibe el nombre de
dis#ancia mediaB en este caso la función se especifica como par o impar, de tal
manera que este claramente en la otra mitad del intervalo, esto es 6=L; *<. "n
este caso tenemos#
=
=
∫
∫ dx
L
xn x f
Lab
dx L
xn sen x f
Lba
L
nn
L
nn
π
π
*+)(2
&
)(2
&
&%
&%
para series de loni#ud media de seno
@
;
<
para series de loni#ud media de coseno
LA IDENTIDAD DE PARSEVAL establece que#
{ } ( )∑∫ =
− ++=
α
1
22
2
&2
2)(
1
n
nn
L
Lba
adx x f
L
@W<
0i an y &n son los coeficientes de &ourier que corresponden a (678; y si
condiciones de irichlet.
CONVERGENCA UNIFOR"E
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 51/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 52/67
∫ ∑∑∫ ==
=
b
a n
nn
n
b
adx xudx xu )()(
11
α α
@`<
Teorema %*': 0i cada t%rmino de una serie infinita tiene una derivada y la
serie de derivadas es uniformemente convergente,
entonces la serie puede ser diferenciada t%rmino por
t%rmino. "sto es#
)()(11
xudxd xu
dxd n
nn
n ∑∑ ===
α α
61>8
Aay varias maneras de probar la convergencia uniforme de una serie. La
más obvia es encontrar la suma 0/ 678 en forma cerrada y despu%s aplicar la
definición directamente. na segunda y más poderosa es usar el teorema
llamado la prue&a de 5eiers#rass D.
Teorema %*(: @'rue&a de 5eiers#rass D.<# 0i e7iste un conjunto de
constantes D n n : 3,4,..., de tal manera que para todo 7 en
el intervalonn , xu ≤)(
; y si además
∑=
α
1n
n ,
converge
)(1
xun
n∑=
α
converge uniformemente en el intervalo.
-ncidentalmente, la serie es tambi%n a&solu#amen#e
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 53/67
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 54/67
sando las identidades de "uler
e
θ
2 cosθ
B i senθ
, e
θ i−
2 cosθ
( i senθ
@33<
onde i es la unidad imaginaria tal que i 4 2 (3, se puede escribir la serie de
&ourier (678 en la siguiente forma compleja.
(678 :
L xin
n
&
ec 0π α
α
∑−=
@34<
en donde#
dxe x f L
c L
L
L xin
n ∫ −−= 0)(
2
1 π
@35<
Al escribir la igualdad @34< estamos suponiendo que las condiciones de irichlet
se satisfacen y más aún que (678 es continuo en 7. 0i (678 es discontinuo en 7; el
lado i!quierdo de @34< debe reempla!arse por,2
)&()&( −++ x f x f
SERIES DOBLES DE FOURIER
La idea de desarrollo de una serie de &ourier para una función de una variable
única 7 puede e7tenderse al caso de funciones de dos variables 7 y y; esto es
(67; y8. 'or ejemplo, podemos desarrollar (67; y8 en una serie do&le de seno de
$ourier.
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 55/67
2111
)%( L
xn sen
L
xm sen B y x f mn
nm
π π α α
∑∑==
=
@36<
en donde
dxdy L
xm sen
L
xm sen y x f
L L B
L L
mn
21&&
21
)%(4 21 π π
∫ ∫ =
@3;<
0e pueden obtener resultados semejantes para series de coseno o para series
que tienen tanto senos como cosenos.
0e pueden generali!ar estas ideas para series #riples de $ourier; etc.
ransformadas de &ourier na serie de &ourier puede usarse algunas veces para representar una funcióndentro un intervalo. 0i una función esta definida sobre toda la recta real, puedeser representarse con una serie &ourier si es periódica. 0i no es periódica,entonces no puede representarse con una serie &ourier para todo 7 . )un eneste caso es posible representar la funcion en terminos de senos y cosenos,
pero la serie de &ourier se convierte en una integral de &ourier. La motivaciónproviene de considerar formalmente las series de &ourier como funciones conperíodo 4T y hacer tender T al infinito.0uponiendo
y
omando
y reemplan!ando la fórmula de la integral por los coeficientes de &ourier#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 56/67
La sumatoria se asemeja a una suma de /iemann de una integral definida, yen el límite @ < tendríamos#
"ste ra!onamiento informal suguiere la siguiente definición# De-.n./.0n 1@ransformadas de &ourier<
na función se denomina la 2rans-ormada de Four.er de ( @ 7 <, si#
@3D<
e7iste.
@33<
se denomina la 2rans-ormada .n3ersa de Four.er de La transformada
de &ourier de ( es por lo tanto una función de una nueva variable .
"sta función, evaluada en , es No2a ,
Las constantes 3 y que preceden la integral en @3D< y @33< pueden ser
reempla!adas con cualquieras dos constantes cuyo producto sea .E!empo 4 La transformada de &ourier de ( definida como#
es
La transformada inversa de &ourier se calcula así#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 57/67
Teorema 5 @La integral de &ourier<3.
0i ( @ 7 < y ( @ 7 < son funciones definidas continuas a tro!os en un intervalofinito
4.
y converge, i.e. ( @ 7 < es completamente integrable
en
"ntonces#
@34<
No2a 1 Las condiciones arriba citadas son suficientes pero no necesarias. La similitudcon los resultados obtenidos para la serie de &ourier es aparente.=eamos algunas de las propiedades de la transformada de &ourier#L.nea.dad
0i , entonces#
ado que la transformada de &ourier de ( @# < y @# < e7iste.Es/aado
0i y , entonces#
Corr.m.en2o en 2.empo
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 58/67
0i y , entonces#
Corr.m.en2o en -re/uen/.a
0i y , entonces#
S.me2r6a
0i , entonces#
sando la formula de la transformada inversa de &ourier
por lo tanto#
"odua/.0n
0i y , entonces#
sando el teorema de corrimiento en frecuencia obtemos#
Der.3ada en 2.empo
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 59/67
0ea y asumiendo que ( @n< es continua a tro!os. 0uponiendo
que . "ntonces#
"n particular#
y
n23. "l caso general puede probarse por inducción
E!empo 50i queremos#
erivamos en tiempo para obtener#
ambi%n podría integrase por partes y obtener#
endríamos entonces#
/esolviendo esta ecuacion obtenemos#
E!empo 7ueremos encontrar la solucion a#
y 8*(y 9H t $e*(t
E @# < esta dada por#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 60/67
)plicando la transformada de &ourier a la ecuación diferencial obtenemos#
efiniendo , tenemos#
"ntonces#
e la última ecuación, obtenemos#
Der.3ada en -re/uen/.a
ado y asumiendo que ( sea continua a tro!os. "ntonces#
"n particular#
y
'robaremos el teorema para n23. "l argumento para un n más grandees una repetición de este.
Con3ou/.0n
De-.n./.0n 4 @La convolución<
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 61/67
0i ( y ambas tienen transformadas de &ourier, entonces la convolució ( G delas funciones ( y se define como#
@35<
Teorema 7 @"l teorema de convolución< La transformada de &ourier de laconvolución de ( @ 7 < y @ 7 < es igual al producto de las transformadas de &ourierde ( @ 7 < y @ 7 <.
y
se desprende de la fórmula de la convolución en eltiempo
La prueba de la convolución en frecuencia es similar.La 2rans-ormada de Four.er de a -un/.0n de2a D.ra/
)lgunos problemas involucran el concepto de un impulso, el cual puedeser entendido de manera intuitiva como una fuer!a de una magnitude7tremadamente grande que se aplica durante un instante. 0e puedemodelar esta idea matemáticamente de la siguiente manera#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 62/67
ado que se hace pequeo, la duración de este pulso tiende a ceromientras que su amplitud se incrementa sin límite. "sto conlleva adefinir#
estrictamente tratada, no es un a función en el sentidoconvencional, sino una cantidad llamada distribución. 'or ra!oneshistóricas se denomina la función delta irac en homenaje al físico '. ).M. irac. La función delta tiene la siguiente propiedad fundamental#
De-.n./.0n 5 @&unción delta irac<
No2a 4 )si tenemos que la transformada de &ourier de la función delta implica 3.
E 2eorema de mues2reo
na función ( @# < se considera limitada en banda si su transformada de &ourieres diferente de cero solamente en un intervalo de longitud finita. "sto implica
que para cierto L, si $omen!ando con la integral de la
transformada inversa de &ourier#
La serie compleja de &ourier para en el intervalo T(L,LU esta dadapor
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 63/67
donde#
)hora comparando estas ecuaciones podemos concluir que#
y
0ustituyendo esta serie para en ( @# < obtenemos#
-ntercambiando la sumatoria y la serie, tenemos#
Teorema #; E 2eorema de mues2reo$
"sto implica que ( @# < se conoce para todo # solo si los valores de la función
se conoce para valores enteros de n. "sto es, si se muestrea la seal
@función< y se encuentran sus valores para , entonces laseal puede ser reconstruida completamente.
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 64/67
0
f(x)
período
x
3 5 10 15 20 25-25 -20 -15 -10 -5
APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER
Aay numerosas aplicaciones de las series de &ourier a soluciones de
problemas de valor límite. 'or ejemplo#
3. Fu!o de /aor .
4. E/ua/.0n de Lapa/e.
5. S.s2emas 3.<ra2or.os
PROBLE"AS RESUELTOS
SERIES DE FOURIER
E!empo # Aacer el gráfico de cada una de las siguientes funciones.
6a8
5 DF.7 X ;
(678 2 'eríodo 23D
(5 (; X 7 X D
&ig.4.5ado que el período es 3D, la parte de la gráfica en la cual (; X 7 X ; @indicada
en líneas continuas en la &ig. 4.5 arriba< se e7tiende periódicamente fuera de
este espacio @que se indica punteado<. %ngase en cuenta que (678 no está
definido para 7 2 D,;, (;, 3D, (3D,3;, (3;, etc. "stos valores son las
discon#inuidades de (678.
6&8
sen 7 >
π ≤≤ x
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 65/67
π 0
f(x) período
x
π 2−π 3− π π 2 π 3 π 4
-2 -4 -6 -8 -10 -12 2 0 4 6 8 10 12 14
f(x) período
x
1
(678 2 'eríodo 2 4π
> π
F 7 F2 π
=er &igura de arriba. +ótese que (678 está definida para todos los valores de 7 y
es continua a todo lo largo.
6c8
> > x≤
F2
(678: 3 4 x≤
F4 Per+odo :0
> 4 x≤
F0
+ótese que f@7< está definida por todos los valores de 7 y es discontinua para 7
2 B4, B 6J BSJ B3DJ B36, ^
E!empo %$alculando la serie de &ourier de la función ( dada por#
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 66/67
ya que ( es una función impar, esto es , y por lo tanto#
aD2D
'ara los coeficientes &n estan dados por#
0e deduce que
7/17/2019 Manual Analisis de La Variable Compleja2013
http://slidepdf.com/reader/full/manual-analisis-de-la-variable-compleja2013 67/67
)+"E*0