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55
Unidades de sUperficie. fracciones
ObjetivosdelaUnidad:
Utilizarás con seguridad las unidades de medidas de longitud,unidadesmétricasdesuperficieyunidadesagrarias,aplicandosuequivalenciapararesolverproblemasdelentorno.
Aplicarás las operaciones de números fraccionarios comunes,utilizandolasreglasyprocedimientospararealizarcorrectamentedichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tuentorno.
MATEMÁTICAUnidad 2
56 Matemática - séptimo Grado
Descripcióndelproyecto
María Inés estudia séptimo grado. De lunes a viernes y en época normal de estudio distribuye en promedio, las 24 horas del día de acuerdo a las actividades que realiza. Se desea averiguar a qué actividad dedica más tiempo, a cuál dedica menos tiempo, en qué orden dedica su tiempo a las diversas actividades, además de otras respuestas.
Las medidas desuperficie
El Sistema Internacional
El metro cuadrado(m2)
Las medidas agrarias
Vara cuadrada (v2)
Manzana (mz)Área (a)
se estudiaran pueden ser
Hectárea
se consideran en
Caballería(cab)
Fracciones
Operaciones
Propias
se transforma
de
Suma
pueden ser
Multiplicación
se representan en la se realizan
Impropias
SimplificarlosResta
Recta numérica
para
Mixtas
Ordenarlos División
séptimo Grado - Matemática 57
Segunda Unidad Lección 1Motivación
Las líneas que limitan algunas figuras como la pizarra, la puerta y la carátula de un libro, definen una característica de los cuerpos. Esta característica se llama superficie. A la medida de una superficie se llama área.
identificarás y determinarás con seguridad los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.
identificarás con destreza las unidades métricas de superficie.
convertirás con confianza unidades métricas de superficie.
resolverás problemas de conversión de unidades métricas de superficie.
Indicadores de logro:
El señor Benavides tiene un terreno de 2 km de largo y 100 m de ancho a la orilla de la playa; y quiere vender lotes que tengan 40 m de ancho a la orilla de la playa y 100 m de largo, ¿cuántos lotes tendrá el terreno?¿Qué área tendrá cada lote en m2?
Unidades de sUperficie del sisteMa internacional. (si)
Superficieyáreas
UNIDAD 2
58 Matemática - séptimo Grado
El metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 m de lado.
Dispone de una cinta métrica o de una regla de longitud 1 m y mide el patio de tu casa o del centro escolar.
Ahora dibuja en tu cuaderno el centímetro cuadrado. ¿Lo haces así?
¿Cuál es el área de esta región o superficie?
Para calcular el área de una región, colocando unidades en su interior, no siempre se calcula de forma exacta. Por ejemplo, ¿cuál es el área de los siguientes triángulos?
Para determinar el área de una región o superficie lo haces de cualquiera de estas formas.
a) Utilizas una unidad de superficie arbitraria. Por ejemplo:
Área aproximada por defecto: 6 cm2 Área aproximada por exceso: 15 cm2
Unidad de superficie
Comparación de la región con su
unidad de superficie
Área de la región
4 Unidades
Aproximadamente 12 unidades
12 43
1 cm
1 cm
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 59
Ejemplo 1
Encuentra el área de cada región. Para ello, utiliza como unidad de superficie el cuadrado que forma parte de la cuadrícula.
Solución:
Llamando A1, A2, A3 y A4 a las áreas indicadas tienes:
a) A1 = 16 unidades cuadradas (u2) c) A3 = Unas 17 ó 18 u2
b) A2 = 10 unidades cuadradas (u2) d) A4 = Unas 19 u2
Ejemplo 2
Calcula el área de las figuras del ejemplo anterior aplicando la fórmula respectiva.
Solución:
En las figuras Ai representa el área, b la base y h la altura.
a) A1 = b × h c) A3 =×
=×
=
=
b h26
218
18 2
6
u
= 4 × 4 = 16
R= 16 u2
b) A2 = b × h d) Puedes ver que la figura indicada con A4está compuesta por un rectángulo y una circunferencia formada por dos semicircunferencias. Luego:
A4 = b × h + π r 2
A4 = 2 × 3 + (3.14 × 1)
= 6 + 3.14 = 9.14 R = 9.14 u2
= 5 × 2 = 10
R = 10 u2
A2A1
A4A3
UNIDAD 2
60 Matemática - séptimo Grado
b) Copia en tu cuaderno y encuentra el área de las figuras siguientes. Hazlo contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula.
Actividad1a) En el plano de un invernadero se observan las áreas dedicadas a cada tipo de flor.
Determina su valor contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula. ¿Cuál es la unidad de superficie que utilizas?
A2
A4A5
A3
A1
1 cm1 cm
1 m
1 m
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 61
UnidadesdesuperficiedelSistemaInternacionaldeunidades,SI
¿Cuál de los dibujos de superficie se expresa en m2?
La de una moneda de $ 0.25 El mapa de El Salvador
Si dibujas en el suelo 1 m2, cada subdivisión de éste es el de 1 dm2. Luego, ¿cuántos dm2 contiene el m2?
Puedes ver que 1m2 = 100 dm2
km hm dam m dm cm mm
Observa que no todas las superficies deben medirse en metros cuadrados (m2), aunque se pueda. Así, para determinar el área de nuestro país utilizas el kilómetro cuadrado (km2).
Para determinar el área de una moneda de $ 0.25 utilizas el centímetro cuadrado (cm2).
¿Recuerdas las unidades de longitud del Sistema Internacional de unidades, SI?
Para convertir una unidad de longitud en la inmediata inferior, multiplicas por 10. Y para convertirla en la inmediata superior divides entre 10.
Ahora observa lo que sucede con las unidades de superficie.
1m
1m1dm
1dm2
Como este mismo razonamiento lo llevas a las otras unidades, concluyes que para convertir una unidad de superficie a la inmediata inferior, multiplicas por 100. Y para convertirla a la inmediata superior, divides entre 100.
UNIDAD 2
62 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 6
Un rectángulo mide 30 cm de ancho y 60 cm de largo. Expresa su área en cm2, mm2, m2 y dm2.
Solución:
Al área del rectángulo es: A = b × h
A = 60 cm × 30 cm
A = 1,800 cm2
Es decir, con los submúltiplos del metro cuadrado o m2, tienes:
1 m2 = 100 decímetros cuadrados o dm2
1 m2 = 10,000 centímetros cuadrados o cm2
1 m2 = 1 000,000 milímetros cuadrados o mm2.
Con los múltiplos del metro cuadrado, tienes:
1 km2 = 100 hectómetros cuadrados o hm2.1 km2 = 1,000 decámetros cuadrados o dam2.1 km2 = 1 000,000 metros cuadrados o m2.
Luego: 1,800 cm2 = 1,800 × 100 = 180,000 mm2
1,800 cm2 = 1,800 ÷ 100 = 18 dm2
1,800 cm2 = 18 ÷ 100 = 0.18 m2
60 cm
30 cm
40 m
100 m
Ejemplo 7
Retomando el problema del señor Benavides, como el terreno mide 2 km de largo, en metros tiene 2,000 m de playa y se divide entre 40 lotes para obtener el total de lotes:
P0: 2,000 ÷ 40 = 50
En total son 50 lotes, a la orilla de la playa.
Solución:
Para obtener el área tenemos:
A = base por altura (b × h)
= 40 × 100
= 4,000 m2
R: En total son 50 lotes y cada lote mide 4,000 m2
Puedes ver que las unidades de superficie del SI forman un sistema posicional, donde cada unidad es igual a 100 unidades del submúltiplo inmediato inferior.
Ejemplo 3
¿Cuántos hm2 hay en 5,000 m2?
Solución:
1 100
1 100
2 2
2 2 2
hm dam
hm x 100m 10,000m
=
= =
Luego, 5,000 m2 5 0005 00010 000
052 2 22,,,
.m hm hm= =
Ejemplo 4
Si la superficie de El Salvador tiene un área aproximada de 21,000 km2, ¿cuántos dam2, hm2 y m2 hay?
21,000 km2 = 21,000 × 100 = 2 100,000 dam2
= 2 100,000 × 100 = 210 000,000 hm2
= 210 000,000 × 100 = 21 000 000,000 m2
Ejemplo 5
Si el área de una moneda de $ 0.25 es de 4.52 cm2, ¿cómo podemos expresarlo en m2?
4.52 cm2 = 4.52 × 100 = 452 mm2
4.52 cm2 = 452100
004522.
.cm
=
0045200452
10000004522
22.
..cm
dmm= =
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 63
1. Completa la columna de la derecha en las siguientes tablas:
Actividad 2
Múltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2
Decámetro cuadrado dam2
Hectómetro cuadrado hm2
Kilómetro cuadrado km2
a)
Submúltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2
Decímetro cuadrado dm2 1100
Centímetro cuadrado cm2
Milímetro cuadrado mm2
b)
Resumen
La unidad de medida del área es el metro cuadrado.
2. Convierte:
a) 2 m2 a cm2 c) 1.2 cm2 a mm2 e) 5 km2 a dam2 g) 250 cm2 a m2
b) 4 m2 a dm2 d) 0.75 cm2 a mm2 f) 0.35 km2 a hm 2
3.Un cuadrado tiene un área de 7,169 cm2, y el área de otro cuadrado es de 256 dm2. ¿Cuál tiene mayor área?
km2
kilometro cuadrado
hm2
hectómetro cuadrado
dam2
decámetro cuadrado
m2
metro cuadrado
dm2
decímetro cuadrado
cm2
centímetro cuadrado
mm2
milímetro cuadrado
1
1
00
1
00 00
1
00 00 00
1
00 00 00 00
1
00 00 00 00 00
1 00 00 00 00 00 00
1 m2 = 1000000 mm2
Para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.
1 dm2 = 0.0001 dam2
Para pasar de una unidad menor a una mayor se divide por una potencia de 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.
UNIDAD 2
64 Matemática - séptimo Grado
1. c. 2. d. 3. d. 4. c. Soluciones
Autocomprobación
4 Para convertir cm2 a dam2:
a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000
2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.001 m2
1 La unidad básica de superficie del SI es:
a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
3 Expresa la siguiente área en m2:
330 mm2
a) 0.33b) 0.033c) 0.0033d) 0.00033
La figura de la derecha muestra un piso de baldosas hechas de superficies triangulares. Cada uno de los cuadrados pequeños está formado por dos baldosas, mientras que el
cuadrado mayor está formado por cuatro. Esta figura pudo haber sugerido a un personaje
anónimo de la India una de las demostraciones que existen del famoso teorema de Pitágoras,
el cual estudiarás posteriormente. Este teorema sirve de base para la demostración de la fórmula
de Herón para calcular el área de un triángulo
de lados a, b y c: A = s s a s b s c( )( )( )− − − donde s es el semiperímetro del triángulo.
CALCULANDOELÁREADEUNTRIÁNGULO
séptimo Grado - Matemática 65
Motivación
Segunda Unidad
identificarás y convertirás con interés las unidades agrarias.
Indicadores de logro:
La urbanización La Hacienda se ubica en San José Villanueva, departamento de La Libertad. La primera etapa se inició con un área de 10 manzanas. ¿Sabes cuáles son las equivalencias de esta unidad de superficie? ¿Esa área es mayor o menor que 10 hectáreas?
Unidades aGrarias
Lección 2
Ejemplo 1
resolverás con seguridad problemas de conversión de unidades agrarias.
Unlegadoespañol:lavaracuadrada
En El Salvador el área de un terreno se mide por lo general en varas cuadradas.
¿Cómo haces para convertir varas a metros? ¿Por cuánto multiplicas? ¿Cómo haces para convertir metros a varas?
1 vara = 0.836 m
O sea que: 1 metro = 1
0836. varas = 1.196 varas
¿Por cuánto multiplicas? ¿Por cuánto divides para convertir varas a metros?
A la vara la representas así: 1 vara = 1 v
Expresa las áreas del rectángulo en metros cuadrados.
Solución:
Como 1 v = 0.836 m entonces:
50 5008361
418v = vm
vm
..
=
30 008361
2508v = 3 vm
vm
..
=
Como: 50 v = 41.8 m de base (b) 30 v = 25.08 m de altura (h)El área en m2 es A = b × h A = (41.8 m)(25.08 m) = 1048.34 m2
R: El área del rectángulo es 1048.34 m2
Vendo terreno1,500 v2
50 varas
30 varas
50 varas
30 varas
UNIDAD 2
66 Matemática - séptimo Grado
Equivalenciametrocuadradovaracuadrada
¿Cómo encontrar el equivalente de una vara cuadrada y el metro cuadrado?
Como 1 v = 0.836 m, entonces una vara cuadrada (v2) equivale a:
1 v2 = (0.836 m) × (0.836 m) = 0.698896 m2
1 v2 = 0.70 m2 1 v = 0.836
1 v = 0.836 m
1 v2 = 0.698896 m2
Aproximando: 1 v2 = 0.70 m2
¿Cuánto equivale 1 m2 a v2?
Solución:
1 m2 = 1 m2 1070
2
22v
m1.42857 v
.
= Aproximando 1 m2 = 1.43 v2
Ejemplo 2
Don Jenaro tiene dos terrenos. El terreno norte mide 1,500 m2 y el sur 2,000 v2.
a) ¿Cuál es más grande?b) ¿Cuál es la diferencia entre ambos?
Solución:
Convertir 1500 m2 a v2
Como 1 m2 = 1.43 v2
1500 15001431
21452 22
22m m
vm
v=
=.
Al comparar las áreas 2145 v2 > 2000 v2 donde el terreno norte es mayor que el del sur.
La diferencia entre los dos es: 2,145 v2– 2,000 v2= 145 v2.
¿De qué otra manera resuelves este problema? Con seguridad observas que la forma de resolverlo es convirtiendo las varas cuadradas a metros cuadrados; o sea: 2,000 v2 = 2000
0701
140022
22v
mv
m.
=
En este caso, la diferencia en metros cuadrados es: 1,500 m2 – 1,400 m2 = 100 m2
Entonces: 1500 m2 > 1400 m2
El terreno norte es mayor que el del sur.
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 67
Observa
La hectárea es la unidad de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado.
Ejemplo 3
En el proyecto urbanístico "El frutal", se venden terrenos de 2,500 v2 con casas de 150 m2. El área resultante será de jardinería y árboles frutales, lo cual contribuirá a la ecología del país. ¿Cuál es esa área?
1 ha = 10,000 m2 100 m
100 m
Entonces, ¿de qué otra manera defines la hectárea?
Representando gráficamente a la hectárea, tienes:
Solución:
Convertir los metros cuadrados que mide la casa a varas cuadradas:
1501431
2145422
22m
vm
v.
.
=
Luego, el área verde es:2,500 v2 − 214.5 v2 = 2,285.5 v2
El área de jardinería y árboles frutales es 2,285.5 v2
El área (a)
Otra unidad de superficie se llama área. El área es la unidad de superficie equivalente a: 100 m2
1 área = 100 m2
Hectárea (ha)
La hectárea es la unidad de superficie agraria equivalente a cien áreas (1 hectárea = 100 área), luego:
Como 1 área = 100 Entonces: 1 ha = (100)(100) 1 ha = 10,000 m2
En otras palabras, ¿cuánto mide el lado del cuadrado que tiene por área 10,000 m2?
Para que el área mida 10,000 m2, el lado del cuadrado debe medir 100 m de lado.
Eláreaylahectárea
UNIDAD 2
68 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 4
Un terreno rectangular mide 6 km de largo por 3 km de ancho. Calcula a cuántas áreas (a) y a cuántas hectáreas (ha) equivale.
Solución:
Convertir km a hm:
1 km2 = 1,000,000 m2
18
1 000 0001
18 000 000
18
22
22km
mkm
m
k
, ,, ,
=
mm m2 218 000 000= , ,
Para calcular las áreas (a):
18 000 0001
100180 000
180
22
2
, , ,
,
mam
a
18 km
=
= 0000 a Para calcular las hectáreas (ha):
18 000 0001
10 0001 8002
2
2
, ,,
,mham
ha
18 km
=
==1800 ha
a) Dionisio va a comprar un terreno, y elige entre dos: uno a $35 v2 y el otro a $40 m2. Si están en la misma zona y presentan las mismas ventajas, ¿por cuál de los dos se decide Dionisio?
b) Una propiedad mide 50 ha, y otra mide 600,000 m2 ¿cuál es mayor?
c) Un terreno mide 15,256 v2. Calcula a cuántas hectáreas equivale.
Actividad1
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 69
1 manzana = 100 v × 100 v
1 mz = 10,000 v2
Ejemplo 5
La familia Estrada López tiene un terreno sembrado de árboles frutales y maderables. Su área es de cinco manzanas. ¿Cuántas hectáreas mide el terreno?
Solución:
510 0001
50 000
5
22mz
vmz
v
mz = 50,000
,,
=
vv2 Como: 1 v2 = 0.70 m2 50 000
0701
35 000
50 000 3
22
22
2
,.
,
,
vmv
m
v
=
= 55 000 2, m Como: 1 ha = 10,000 m2
35 0001
10 000352
2,,
.mham
ha
=
Entonces 5 mz = 3.5 ha.
El terreno mide 3.5 ha
LaManzana(mz)
Se le llama manzana a la medida de superficie equivalente a la que posee un cuadrado de 100 varas de lado.
10,000 v2 100 v
100 v
UNIDAD 2
70 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 6
Encuentra la equivalencia de la manzana con la hectárea. ¿Cuántas manzanas (mz) tiene 1 hectárea?
Solución:
1ha = 10,000 m2 y 1 m2 = 1.43 v2
1ha = 10,000 × 1.43 v2 10001431
1430022
22m
vm
v.
=
1ha = 14,300 v2
1 mz = 10,000 v2
1 ha = 14,300 v2
1 ha = 14,300 v2 1
10 000 2
mzv,
1 ha = 1.43 mz
La caballería es otra unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas. Con el crecimiento urbano de El Salvador, su uso es cada vez menor.
a) Un terreno rectangular mide 200 m por 150 m ¿cuántas manzanas tiene el terreno?
b) Calcula cuántas manzanas tiene un terreno de 40 ha.
c) ¿A cuántas manzanas equivale el kilómetro cuadrado?
d) Ahora puedes contestar la pregunta al inicio de esta lección. ¿Qué es mayor, 10 hectáreas ó 10 manzanas?
Actividad2
LaCaballería(cab)
5286434
cab.
= 8.21 cab
Se concluye que el terreno de 528 mz es mayor que el de 6.5 cab.
Si la comparación se hubiera hecho en relación a la manzana entonces:
6.5 cab = 6.5 × 64.34 mz
6.5 cab = 418.21 mz
Luego el terreno que mide 528 mz es el mayor.
Ejemplo 7
Una hacienda mide 528 manzanas y otra mide 6.5 caballerías. ¿Cuál es mayor?
Solución:
Encuentra las caballerías que tienen 528 mz.
Como 1 cab = 64.34 mz, entonces:
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 71
a) Una hacienda tiene una superficie de 2.3 cab. Si se cultivan diariamente 4.5 mz, ¿cuánto falta por cultivar después de una semana?
Actividad 3
Resumen
Las unidades agrarias sirven para medir superficies de terrenos. En el SI, se miden en áreas y hectáreas. En nuestro país también se miden en unidades heredadas de la colonia, éstas son la vara cuadrada, la manzana y la caballería.
El siguiente cuadro te muestra la equivalencia entre unidades agrarias:
Por ejemplo, si quieres saber cuántas v2 hay en 1 m2, ubicas al m2 en la fila de abajo y subes hasta llegar a v2: 1 m2 = 1.43 v2.
De igual forma obtienes que 1 ha = 14,300 v2 = 100 a, etc.
mz1
7 000,1
10 000,170
1.43 1
ha1
10 000,
0.00007 1100
1 0.70
a1100
0.007 1 100 70
v2 1.43 1 143 14,300 10,000m2 1 0.70 100 10,000 7,000
m2 v2 a2 ha mz
UNIDAD 2
72 Matemática - séptimo Grado
Autocomprobación
4 El área de un terreno de 1.5 mz, es:
a) 15,000 v2
b) 105 ha c) 105,000 m2
d) Todas las anteriores
2 De las siguientes áreas, la menor es:
a) mzb) cabc) had) km2
1 De las siguientes áreas, la mayor es:
a) 15 hab) 9 mzc) 50 ad) 5,000 v2
3 Una hectárea equivale a:
a) 10,000 v2
b) 10,000 m2
c) 100 áreasd) b y c son correctas
1. a. 2. a. 3. d. 4. a. Soluciones
Las medidas de superficie se estandarizan con el Sistema Internacional de unidades, SI, aunque en
algunos países todavía se usan otras medidas, por ejemplo en Estados Unidos, se usa con frecuencia el Acre (4,046.8 m2) en El Salvador, aún se utiliza
la manzana y cada vez se usa con menor frecuencia la caballería.
Durante la fundación de las ciudades españolas en Hispanoamérica, las construcciones se erigían
dentro de cuadrados de 100 varas por lado, a este espacio se llamo manzana. Coloquialmente, como una reminiscencia colonial se llama manzana al área delimitada por cuatro calles sin importar la
longitud de las calles ni la figura que éstas hagan.
LAMANZANA
séptimo Grado - Matemática 73
Motivación
Segunda Unidad
identificarás y presentarás con precisión y seguridad diferentes números racionales positivos y negativos en la recta numérica.
identificarás con seguridad fracciones equivalentes positivas y negativas.
Indicadores de logro:
Para el día de la madre se compraron carretes de listón para las chongas de los regalos teniendo las siguientes medidas y la cantidad de chongas por listón.a) Carrete de 5 metros para 3 chongasb)Carrete de 4 metros para 7 chongasc) Carrete de 10 metros para 9 chongasd)Carrete de 8 metros para 7 chongase) Carrete de 6 metros para 7 chongasf) Carrete de 3 metros para 3 chongasg)Carrete de 10 metros para 6 chongash) Carrete de 12 metros para 14 chongas
Representar en fracciones las medidas de los listones utilizados para cada chonga.
Hay chongas que ocuparán la misma cantidad de listón. ¿Cuáles son?
núMeros racionales
Lección 3
obtendrás con interés fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de ampliación y simplificación.
Ejemplo 1
Un entrenador decide que en su equipo 2 de los 11 jugadores jueguen la posición de carrileros. ¿Qué fracción del equipo representan los 2 jugadores?
Solución: 211
son carrileros
Ejemplo 2
De una pizza, Milena se comió 3 de las 8 partes que está dividida. ¿Qué fracción de la pizza se comió Milena?
Solución: 38
de la pizza.
En los ejemplos anteriores, las cantidades son representadas en forma de fracciones, las cuales pueden ser propias, cuando el numerador es menor que la unidad o impropia, cuando el numerador es mayor que la unidad. La fracción impropia puede transformarse en fracción mixta o la fracción mixta a impropia.
UNIDAD 2
74 Matemática - séptimo Grado
En el ejemplo anterior, observas que 74
equivale a 134
+
o sea 134
. Luego 74
134
=
El número 134
se llama mixto. ¿Por qué?, ¿cómo
conviertes la fracción 74
en número mixto?
Fracciones menores que la unidad.
Los números:12
13
14
15
16
, , , , , ......etc.
23
45
67
810
1114
, , , , , ...........etc.
son ejemplos de fracciones menores que la unidad.
Fracciones iguales a la unidad.
Los números:22
33
44
55
66
77
, , , , , , .......etc.
son ejemplos de fracciones iguales a la unidad.
Fracciones mayores que la unidad.
Los números:32
53
74
1112
, , , , ........etc.
son ejemplos de fracciones mayores que la unidad.
Fracciones
15
22
33
44
66
12
12 1
3
13
13
14
14
14
1515
15
151
4
32
53
74
1112
7 41
74
134
=−43
Númerosmixtos
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 75
¿Cómo conviertes un número mixto a fracción? Por ejemplo, si tienes la fracción,
¿Cómo la conviertes a número mixto?
Observa que se divide el entero en las partes que indica el denominador. Después, cuentas el total de partes.
123
33
23
53
= + =
También lo puedes representar de la siguiente forma:
123
33
23
1 3 23
53
+ = + =× +
=( )
Es decir: 1
23
1 3 25
53
=× +
=( )
Dibuja en tu cuaderno, la bandera de El Salvador y coloréala ¿Qué fracción le corresponde a cada color?
1. Escribe una fracción que represente cada una de las siguientes situaciones.
a) En todo el mundo, por cada 100 niñas nacen 105 niños. b) En Costa Rica se preservan ocho de cada diez de sus bosques.c) Si la superficie de la tierra se divide en 5 partes, 3 de ellas la ocupan los océanos. d) Una persona de 60 años ha dormido en promedio un total de 20 años.
2. Copia y completa el siguiente cuadro. Y presenta los números mixtos como fracciones y viceversa.
Actividad 1
Número mixto
215
327
859
423
534
Fracción187
154
125
72
173
2 1 − = 3
5= − 3
+
UNIDAD 2
76 Matemática - séptimo Grado
Dos vehículos salen de San Salvador hacia San Miguel. Acompañan a la familia Sánchez Lara, que asistirá a una boda. Luego de 30 minutos el vehículo A recorre las dos terceras partes del total, y el B ha avanzado la mitad. ¿En qué orden van los vehículos?
Para contestar la pregunta, se representan las fracciones
en la recta numérica. Para representar a 23
divides la
unidad en tres partes iguales y marcas 23
.
0 2/3 1
0-1 1 5- − 7 5 − 7
Ejemplo 3
Ubica las fracciones 57
y −57
en la recta numérica.
Solución:
Para ubicar a 57
divides la unidad en siete partes iguales y luego cuentas
cinco partes hacia la derecha. Para ubicar a −57
lo haces de forma similar,
pero trabajas a la izquierda del cero.
Representacióngeométricadelasfracciones
Para representar a 12
divides la unidad en dos partes
iguales y marcas 12
. 0 1/2 1
Puedes ver que el vehículo A, ha avanzado mayor distancia que B, ¿Cuál de las dos fracciones es menor?
¿Cuál es mayor? Como 23
está a la derecha de 12
decimos que 23
es mayor que 12
; es decir: 23
> 12
0 1/2
2/3
1
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 77
Equivalenciadefracciones
Las fracciones que representan la misma porción en los rectángulos, son fracciones equivalentes.
Observa que las regiones 12
24
510
, y representan la misma porción.
Por lo tanto, esas fracciones son equivalentes, es decir: 12
24
510
= = son iguales.
También observas que:
13
26
= ; 12
1 22 2
24
=××
= ; 12
1 32 3
36
=××
=
12
1 42 4
48
=××
= 12
1 52 5
510
=××
=
Puedes ver que dada una fracción, obtienes fracciones equivalentes si multiplicas el numerador y el denominador por el mismo número.
12
13
24
26
510
Ahora en sentido inverso, si en lugar de multiplicar dividimos entre la misma cantidad, tenemos: 4
84 28 2
24
=÷÷
= 24
2 24 2
12
=÷÷
=
Al dividir ambos miembros de una fracción entre un mismo número se ha reducido o simplificado.
Copia la figura en tu cuaderno, colorea de izquierda a derecha la fracción correspondiente a cada rectángulo.
En tu cuaderno dibuja la recta numércia y localiza las siguientes fracciones, ordénalas de menor a mayor.
a) 1222324252
, , , , , c) 122356
, ,
b) 4353231373
, , , , , d)− − − −2 112
152112
, , , ,
Actividad 2
UNIDAD 2
78 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 4
Simplifica la fracción: 4872
Solución:4872
48 272 2
2436
=÷÷
= ; 2436
24 236 2
1218
=÷÷
=
1218
12 218 2
69
=÷÷
=
69
6 39 3
23
=÷÷
= Entonces: 4872
es equivalente a 23
¿Puedes continuar simplificando a
23
? Decimos que una fracción está en su mínima
expresión cuando el numerador y el denominador sólo pueden dividirse entre la unidad. En este caso, la fracción es irreductible; así, la fracción 2
3 es irreductible.
Ésta propiedad te sirve para convertir fracciones a un común denominador, por
ejemplo, convertir al común denominador las fracciones 34
y 56
.
Para ello, encuentras el mínimo común múltiplo de los denominadores 4 y 6.
Si denotas por M4 a los múltiplos de 4 y por M6 a los múltiplos de 6, tienes:
Como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, entonces hay que convertir 34
y 56
a fracciones equivalentes con denominador 12.
Para 34
3 34 3
912
=××
= ; para 56
5 26 2
1012
=××
=
Se observa que el menor número común múltiplo de los denominadores es 12.
Observa que en 34
multiplicas sus dos términos por 3, en la fracción 56
multiplicas
ambos términos por 2.
Ahora, ya estamos listos para responder a las preguntas de la actividad de motivación. Al observar los carretes y la cantidad de chongas se puede decir que:
a) A = 53
C = 109
E = 67
G = 106
Puntodeapoyo
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.
M4 = {0, 4, 8, 12, 16. …. }M6 = {0, 6, 12, 18, 24. … }
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 79
Efectúa en tu cuaderno:
1. Escribe 4 fracciones equivalentes a:
a) 35
b) 23
c) 14
d) 77
2. Encuentra el número que falta para que las fracciones sean equivalentes:
a) 34
= 16
b) 12
7= c)
4 1227
= d)23
8=
3. Reduce cada fracción a su mínima expresión:
a) 1530
b) 4060
c) 1824
d) 714
e)4235
4. Reduce las siguientes fracciones al común denominador (cd) que te indicamos:
a) 34
y 23
; cd = 12 b) 34
y 23
; cd = 24 c)23
y 35
; cd = 15
5. Reduce las siguientes fracciones a un común denominador:
a) 35
y 34
b) 57
y 12
c) 47
y 521
d) 314
y 121
Actividad 3
Resumen
En esta lección repasaste la noción de fracción, sus elementos y las clases de fracciones que hay: menores, iguales o mayores que la unidad, cuando una fracción es mayor que la unidad, puede representarse como número mixto, además, un número mixto puede escribirse como una fracción.
Cuando representas una fracción en la recta numérica, esto se llama representación geométrica. Esta te permite decir cual de las fracciones es mayor o menor que otra. Dos fracciones son equivalentes si corresponden al mismo punto en la recta numérica, una aplicación de la equivalencia de fracción, es la ampliación y la reducción de éstas, reducir una fracción es lo mismo que simplificarla, además, las equivalencias de fracciones te permiten convertirlas a un común denominador.
B = 74
D = 87
F = 33
H =1214
b) Las chongas que tendrán la misma cantidad de listón son:
A =53
y G =106
porque son equivalentes 53
106
= y E =67
con H =1214
porque
también son equivalentes67
1214
=
UNIDAD 2
80 Matemática - séptimo Grado
Autocomprobación
4 Una fracción equivalente a 34
es:
a)1520
b)68
c)912
d) Todas son equivalentes
2 La fracción equivalente a 234
es:
a) 411
c) 104
b) 114
d) 410
a
1 En un departamento de una empresa de 15 personas, 9 son mujeres”, la fracción que representa esta situación es:
a)159
c)915
b)249
d)924
3 De las siguientes fracciones: 34
, 44
, 24
, 14
la mayor es:
a)34 c)
24
b)44
d)14
1. c. 2. b. 3. b. 4. d. Soluciones
El nombre de fracción se le debe a Juan de Luna, quién usó la palabra “fractio” para traducir el vocablo árabe
“al-kasr” que significa quebrar o romper. El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos.
Los babilonios las utilizaron teniendo como único denominador al número 60. Los egipcios por su parte
las emplearon con sólo el 1 como numerador. Por
ejemplo si querían representar 58
escribían 12
y 18
considerando que 12
equivale a 48
. Los griegos
marcaban con un acento el numerador, y con 2 el denominador.
ORIGENDELASFRACCIONES
séptimo Grado - Matemática 81
Motivación
Segunda Unidad
realizarás adiciones y sustracciones de números racionales positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.
Indicadores de logro:
La biblioteca escolar está organizada en 6 áreas:M: MatemáticaC: CienciasE: Estudios SocialesL: LenguajeI: InglésD: Deportes
sUMa y resta de fracciones
Lección 4
¿Qué parte del área total ocupa Matemática y Ciencias? Puedes ver que matemática y ciencias ocupan: 28
28
48
+ = del total.
¿Qué parte del área total ocupa Ciencias y Deportes?
En el gráfico observas que Ciencias y Deportes
ocupan: 28
18
38
+ = del total
¿Qué parte ocupa Lenguaje y Estudios Sociales? Lenguaje y Estudios Sociales ocupan 1
818
28
+ = del total.
resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos.
Continuando con la introducción puedes concluir que:
L
I
E
DM C
Ejemplo 1
Un pastel se divide en 16 partes iguales. Milena toma 2 partes y Juanita 3.
¿Cuántas partes del pastel tomaron entre las dos?
Para sumar fracciones con igual denominador, sumas los numeradores y colocas el mismo denominador.
UNIDAD 2
82 Matemática - séptimo Grado
Solución:
Como Milena tomó 2 de las 16 partes y Juanita 3, en total tomaron:
216
316
2 316
516
+ =+
= partes.
En general, si
ab
y cb
son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces,
ab
cb
a cb
+ =+
Ejemplo 2
¿Cuál es la diferencia entre las partes del pastel que tomaron Juanita y Milena?
Solución:
Como Juanita tomó 316
del pastel y Milena 216
, la diferencia entre ambas partes es:
316
216
116
− = del pastel.
En general, si
ab
y cb
son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces,
a
bcb
a cb
− =−
Ejemplo 3
Roberto y Amanda trabajan en el departamento de producción de una fábrica. Cierto
día, Roberto realiza 524
de una obra, y Amanda 724
. Sin embargo, debido a un corte
de energía eléctrica se perdió 124
del trabajo. ¿Qué parte del trabajo realizaron ese día
Roberto y Amanda?
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 83
Solución:
Como Roberto realizó 524
de la obra y Amanda 724
,
en total realizaron 524
724
+ . Como se perdió 124
, la parte de la obra que realizaron
fue: 524
724
124
5 7 124
1124
+ =+
=−− .
En total, Roberto y Amanda realizaron 1124
de la obra.
Ejemplo 4
Efectúa: 110
4710
3+ + +
Solución:
Cuando en una suma o resta de fracciones aparecen números enteros, sumas primero las fracciones y enteros por aparte y luego sumas ambos resultados. Es decir:
110
710
1 710
810
45
+ =+
= =
4 3 7+ =
Luego: 45
7 745
+ =
Otra forma de hacerlo es sumando primero los enteros y convertir la suma a fracción.
O sea, 4 3 7+ = ; pero 771
7 101 10
7010
= =××
=
Luego, 110
710
7010
7810
7810
745
+ + = = =
Efectúa mentalmente las siguientes operaciones. Anota la respuesta y simplifica si es necesario:
a) 14
24
+ c)46
16
− e)38
518
+ + g) 234
+
b) 14
34
+ d) 35
25
− f)59
29
19
− +
Actividad 1
UNIDAD 2
84 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 5
Fíjate ahora en la suma: 23
34
+
¿Cómo son los denominadores?
Solución:
Común denominador. Encontramos el mínimo común múltiplo de 3 y 4.
M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ....}
M4 = {0, 4, 8, 12, 56, ....}
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.
La fracción equivalente de:23
23
2 43 4
812
= =x
x
De 34
34
3 34 3
912
= =x
x 812
912
1712
+ = Entonces: 23
34
1712
+ =
Observa
Para sumar fracciones con diferente denominador, primero las expresas con un común denominador y luego las sumas.
SumadeFraccionescondistintodenominador
De preferencia, el común denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo 6
Resuelve la suma 235
23
+
Recuerda:
235
135
+
× 2 5 3 13× + =
Solución:
235
23
135
23
3915
1015
4915
+
+
+
223
23
4915
+ =
Fracciones equivalentes con denominadores comunes.
Ejemplo 7
Encuentra el resultado de la resta 53
38
−
Solución:
53
38
2024
924
40 924
3124
−
−
−
=
=
=
Fracciones equivalentes con igual
denominador.
Se restan los numerandos.
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 85
Operacionesdefraccionesconsigno
Para mejorar su conducción física y su figura, Lorena practica gimnasia.
Para efectuar estas operaciones con fracciones negativas aplicarás las leyes de los signos de operaciones con números enteros. Y para hacerlo con fracciones positivas, el procedimiento que acabas de estudiar. Así:
a) 35 112
351
32
702
32
+ − = + −
=
+ −
== =
672
3312
b) 80 534
801
234
+ − = + −
= + −( )320 234
= − = =320 234
2974
7414
c) 27 214
271
94
108 94
1174
2914
+ = + =+
= =
Lorena disminuyó el grosor del brazo a 3312
cm, también
la cintura a 7414
cm y aumentó la pantorilla a 2914
cm.
Observa otor ejemplo:
¿Cómo restas 32
27
− −
? De seguro lo haces así:
32
27
32
27
21 414
2514
11114
− − = + =
+= =
MedidasAntes Cambio en cm
Grosor del brazo: 35 cm −112
Cintura: 80 cm −5 34
Pantorrilla: 27 cm 214
Para averiguar cuáles son las nuevas medidas necesitas efectuar las siguientes sumas:
a)Medidas del brazo
35 112
+ −
b) Medidas de la Cintura
80 5
34
+ −
c)Medidas de la pantorrilla
27 2
14
+
¿Qué parte del cuerpo aumentó de medida? ¿Qué partes del cuerpo disminuyeron de medida? ¿Cuáles son sus medidas después de un tiempo?
Después de un tiempo cambia algunas medidas de su cuerpo como lo indica la tabla de la izquierda.
UNIDAD 2
86 Matemática - séptimo Grado
Ejemplo 8
En el receso de la clase de Educación Física, Rebeca se tomó la mitad del agua de una
botella, y al final de la clase se tomó 13
del agua de una botella. ¿Qué parte del agua
bebió en total? ¿Qué parte del agua sobró?
Solución:
La parte que se tomó es:
12
13
1 3 1 26
3 26
56
+ =× + ×
=+
=( ) ( )
Luego, la parte del agua que sobró es:
156
66
56
16
− = −
= R: El agua que sobro es
16
Observa que representamos por 1
66
= el total del agua que estaba en la botella.
Ejemplo 9
En una tarea en equipo, Ricardo digitó la tercera parte de ésta, y Ana digitó dos quintas partes. Si Marina digitó el resto.
¿Qué parte de la tarea le tocó digitar a Marina?
Solución:
La parte de la tarea que digitaron Ricardo y Ana es:13
25
1 5 2 315
5 615
1115
+ =× + ×
=+
=( ) ( )
Luego, la parte de la tarea que digitó Marina es:
11115
1515
1115
415
− = − =
R: La parte que le tocó digitar a Marina es. 415
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 87
Resumen
Para sumar o restar fracciones de igual denominador éste se mantiene y sólo se suman o restan los numeradores:
a) ab
cb
a cb
+ =+
b) ab
cb
a cb
− =−
para b ≠ 0
Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se convierten a un común denominador en base a la equivalencia de fracciones. El menor de los denominadores comunes es su mínimo común múltiplo.
1. Efectúa las operaciones siguientes y si es necesario simplifica las respuestas, hasta su mínima expresión.
a)23
35
+ c)25
12
+ e)34
12
23
+ + g) 234
223
− i) 710
45
−
b)12
34
+ d) 57
12
+ f)3 − 7 h)45
710
−
2. Patty compró 23
de metro de listón rojo, 43
de listón verde y 23
de amarillo. ¿Cuántos metros de
listón compró Patty? Expresa tu respuesta como número mixto.
3. El señor Jiménez tiene una tabla de 3 m para hacer los entrepaños de un estante. Corta dos pedazos
de 34
m cada uno y otro de 56
m. Necesita otro pedazo que mida 34
m. ¿Le alcanza la madera que
aún le queda? Da una explicación de tu respuesta.
4. Una lámina tiene una longitud de 434
m. Se le cortan dos pedazos: uno de 212
de longitud, y otro
de 113
m. ¿Cuál es la longitud de la lámina que sobra?
5. Efectúa las operaciones indicadas.
a) 312
413
514
+ + d) 758
656
34
+
− g)
34
2−
b) 516
725
313
+ − e) 315
112
2710
214
−
+ −
h) 35
423
−
c) 3313
6623
100+
−
f) 7 10− i) 212
312
−
Actividad 2
UNIDAD 2
88 Matemática - séptimo Grado
Autocomprobación
4 Joseph compró una barra de chocolate y le dio a uno de sus
hermanos 14
de ella, 16
a otro y 13
a una hermana.
La parte de la barra que le quedó a Joseph es:
a)12 b)
13
c)14
d)16
2 58
14
+ es el resultado de:
a) 117 b)
78
c)87
d) a y c son correctas.
1 34
74
+ es el resultado de:
a)52 b) 2
12
c)104
d) Todas son correctas.
3 123
112
− es igual a:
a) 16 b)1
16
c)13
d) Ninguna de las anteriores.
1. d. 2. b. 3. a. 4. c. Soluciones
En la ilustración, la unidad se ha dividido en partes iguales. Comprueba las
siguientes igualdades:12
12
1+ =
13
13
13
1+ + =
14
14
14
14
1+ + + =
Además 12
14
14
1+ + =
¿Qué otras sumas dan uno, en el dibujo?
SUMANDOFRACCIONESCONRESULTADO1
1—2
1—3
1—4
1—6
1—12
1—12
1—12
1—12
1—12
1—12
1—12
1
1—12
1—12
1—12
1—12
1—12
1—6
1—6
1—6
1—6
1—6
1—4
1—4
1—4
1—3
1—3
1—2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
séptimo Grado - Matemática 89
Motivación
Segunda Unidad
Para una presentación en el Auditórium de la Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y
540 de general. Si se ocuparon 23
de los asientos de
palco y 56
de general. ¿Cuántos asientos sobraron?
Este tipo de situaciones se resuelven mediante la multiplicación de fracciones.
MUltiplicación y división de fracciones
Lección 5
Indicadores de logro:
realizarás multiplicaciones y divisiones de números racionales positivos y negativos, valorando tu trabajo individual.
resolverás ejercicios con operaciones combinadas de números fraccionarios.
resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números racionales, positivos y negativos.
Multiplicacióndeenteroporfracción
Observa como sumamos varias mitades de naranja:
12 +
12 = 2
12
x = 22
1=
Nota que si sumas 2 mitades, obtienes la unidad:
12
+ 12
+ 12
= 312
x = 32
112
=
Fíjate que si tienes 3 mitades, obtienes una unidad más
12
UNIDAD 2
90 Matemática - séptimo Grado
12
+ 12
+ 12
+ 12
= 412
x = 42
2=
Observa que 4 mitades, obtienes 2 unidades:
12
+ 12
+ 12
+ 12
+ 12
= 512
52
212
× = =
¡Claro! con 5 mitades obtienes 2 unidades más
12
En base a los ejemplos anteriores, ¿Cómo multiplicas un entero por una fracción?
Multiplica 532
x . Lo haces así: 512
52
212
× = =
Ahora resuelve la operación 613
x = 2
Multiplicacióndefracciones
¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyo largo mide 58
m y su ancho mide 45
m?
5− m8
4− m5
1 m
1 m
Solución:58
45
5 48 5
2040
xx
x= =
Simplificando: 20
402040
12
= =÷20÷40
R: El área del rectángulo es 1
2m2
Otra forma: 1 158
45
x Simplificando 58
45
12
x =
2 1
R: 12
m2
Este ejemplo comprueba que, en general, el producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador al producto de los numeradores; y por denominador al producto de los denominadores.
Es decir: ab
cd
a cb d
× =××
con b y d diferentes de cero.
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 91
Ejemplo 1
Efectúa los siguientes productos y simplifica cuando sea necesario.
a)34
23
x
Solución: 3
423
3 24 3
612
12
× =××
= =
b)23
56
x
Solución:
23
56
2 53 6
1018
59
× =××
= =
c)163
34
x
Solución:
163
34
16 33 4
4812
4× =××
= =
d) 8 112
x
Solución:
8 112
81
32
8 31 2
242
12× = × =××
= =
Ejemplo 2
Para preparar jaleas, la mezcla ideal es: por cada kg de
fruta, agregar 34
kg de azúcar. Si Lorena quiere preparar
mermelada con 4 kg de mango. ¿cuántos kg de azúcar necesita agregar?
Solución:
Por cada kg de fruta agrega 34
kg de azúcar. Como son
4 kg de mango, necesita agregar:34
434
41
3 44
124
3× = × =×
= = kg de azúcar.
Ejemplo 3
Un filtro purifica agua a razón de 1512
litros por hora.
¿Cuántos litros purifica en 2 horas y quince minutos?
Solución:
Dos horas quince minutos son 214
horas. Luego, como
purifica 1512
litros por hora, en 214
horas purifica
1512
214
= litros. Luego:
1512
214
312
94
2798
3478
=
= =
Ejemplo 4
Para una presentación en el Auditórium de Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540
de general. Si se ocuparon 23
de los asientos de palco y 56
de general. ¿cuántos asientos sobraron?
Solución:
El número de asientos ocupados de palco es:23300( ) = 2 300
3 16003
200××
= =
El número de asientos ocupados de general es:56540( )= 5 540
6 12 7006
450××
= =,
Luego se ocuparon: 200 + 450 = 650 asientos.Y el total de asientos es: 300 + 540 = 840 asientos Luego, sobraron: 840 − 650 = 190 asientos.R: Los asientos que sobraron son 190.
UNIDAD 2
92 Matemática - séptimo Grado
1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica la respuesta cuando haya que hacerlo.
a)15
109
x c)163
34
x e)2917
5116
x g)1207
5564
x i) 314
215
x
b)23
56
x d)910
427
x f)3212
914
x h)55204
36121
x j) 527
49x
2. Una cooperativa contribuye con una obra de beneficio social, y dona 123
centavos por cada artículo
que vende. Si en un mes vende 3,200 artículos, ¿Cuánto donó La cooperativa?
DivisióndeFracciones
Cuando estudiaste las operaciones con números enteros, aprendiste que la división es la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo:
6 ÷ 3 = 2 por que 2 × 3 = 6
Cuando trabajas con fracciones aplicas esa misma propiedad de la división. Así:
1 515
÷ = porque 15
5 1× = ; 198
89
÷ = porque 89
98
1× =
12
7114
÷ = porque 114
7714
12
× = = Observa esta última división: 12
71
114
÷ =
Puedes ver que 12
71
12
17
114
÷ = × = es decir obtienes 114
Lo que se hace es dejar el dividendo igual y multiplicarlo por el inverso del divisor.
Actividad1
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 93
Ahora razona este resultado: 23
15
103
÷ = con seguridad lo harás así:
23
15
23
51
103
÷ = × = ; porque 103
15
1015
23
= =
¿Cómo divides 34
59
÷ ? ¡De seguro lo haces así!:
34
59
34
95
3 94 5
2720
÷ = × =××
=
En general para dividir fracciones multiplicas el dividendo por el inverso del divisor así:ab
cd
ab
dc
adbc
÷ = × = con b y c diferentes de cero.
Ejemplo 5
Expresa las siguientes divisiones como productos y efectúa.
a)356
53
÷ b)57
32
÷ c) 512
235
÷
Solución:
a) 356
53
356
35
35 36 5
10530
÷ = × =××
=b) 5
732
57
23
5 27 3
1021
÷ = × =××
=c) 5
12
235
112
135
112
513
11 52 13
5526
÷ = ÷ = × =××
=
Ejemplo 6
Naomi es la presidenta de su grado y junto a toda la directiva organizan una fiesta a la cual asistiran 50 personas. Necesitan averiguar cuántas botellas de 2
12
litros de refresco deben comprar.
a)¿Cuántos vasos de 14
litro pueden llenarse con una
botella de 212
litros.
b)¿Cuántos vasos de 18
de litro y cuántos de litro
pueden llenarse con una botella de 212
Solución:
a)El número de vasos de 14
de litro que se llenan es:
212
14
52
14
52
41
202
10÷ = ÷ = × = = vasos.
b)El número de vasos de 1
8 de litro que se llenan es:
212
18
52
18
52
81
402
20÷ = ÷ = × = = vasos.
R: Luego con una botella de 2
12
litros se llenan 10 vasos
de 14
de litro ó 20 vasos de 18
litro.
¿Cuántas botellas de 212
litros, debe comprar la directiva?
Solución:
Las 50 personas tomarán un total de:
5012
501
12
502
× = × = = 25 litros
Como cada botella contiene 2
12
litros, el número de
botellas que deben comprar es:
25
12
251
52
251
502
÷2 ÷ 10 botellas= = =x
UNIDAD 2
94 Matemática - séptimo Grado
1. Expresa cada división como una fracción en su mínima expresión.
a) 6 ÷ 2 c) 12 ÷ 39 e) 10 ÷ 10 g) 79
1415
÷
b) 1 ÷ 7 d)63 ÷ 21 f)37
38
÷ h) 113
412
÷
2.Se usa un recipiente de 212
litros de capacidad para llenar un tanque con 20 litros de capacidad
¿Cuántas veces se usa el recipiente para llenar el tanque?
Puntodeapoyo
(+) (+) = + (+) / (+)= +
(+) (−) = − (+) / (−) = −
(−) (+) = − (−) / (+) = −
(−) (−) = + (−) / (−)= +
Actividad2
Ejemplo 7
En una carretera de 4 km de largo se colocaron señales cada 25
de kilómetros.
¿Cuántas señales se colocaron?
Solución:
Averigua cuantos veces 25
está contenido en 4. Es decir 425
÷ es igual a:
2
425
41
52
202
10÷ = × = = R: Se colocaron 10 señales.
UNIDAD 2
séptimo Grado - Matemática 95
Para multiplicar y dividir fracciones con signos (iguales o diferentes) aplicas las mismas leyes de los números enteros.
Ejemplo 8a) 2
395
2 93 5
1815
65
× =××
= =
b) 23
95
2 93 5
1815
65
× − =
× −( )×
=− =−
c) − ÷ − = ÷ = × = =
34
56
34
56
34
65
1820
910
d)
23
12
234
35
12
411
−
÷
+
×
Solución:
Para efectuar este tipo de operaciones procedes así:
Paso1. Eliminas los paréntesis en cada término: 23
12
46
36
16
35
12
1110
− = − = + =; .
Paso2. Simplificas el numerador:
23
12
234
−
÷ = 1
6234
16
114
16
411
466
233
÷ = ÷ = × = =
Paso3. Simplificas el denominador:
35
12
411
1110
411
410
25
+
× = × = =
Paso4. Sustituyes cada resultado en la expresión, así:
233
25
233
52
1066
533
÷ = × = =
Resumen
Para sumar o restar fracciones con igual denominador, este se mantiene y sólo sumas o restas los numeradores. Si las fracciones poseen diferentes denominadores, antes de sumarlas o restarlas las conviertes a un común denominador. Para multiplicar fracciones, multiplicas numeradores y denominadores entre sí, y para dividirlas, multiplicas el dividendo por el inverso del divisor. Para operar fracciones con signos, sigues las mismas leyes de operaciones con enteros.
UNIDAD 2
96 Matemática - séptimo Grado
Autocomprobación
4 34
29
× −
es igual a:
a) 636
c)−16
b) 278
d)16
2 3 412
x es igual a:
a)272 c)1
12
b) 1312
d)a y b son correctos
1 25
23
÷ −
es igual a:
a) − ×25
23 c)
25
32
x
b) − ×25
32
d)25
23
−
3 − + −
35
25
es igual a:
a) −55
c) − 1
b)55
d)a y c son correctos
1. b. 2. d. 3. d. 4. c . Soluciones
Un famoso problema de aplicación de las fracciones dice así: Un pastor tenía tres hijos, y al morir les dejó de herencia sus 11 ovejas repartidas así: Al mayor le dejó la mitad; al
mediano la cuarta parte del rebaño. Al menor, le dejó la sexta parte de las ovejas y tú
¿cómo las repartirías? ¿Lo haces así?: Comenzó prestando una oveja, o
sea, completó 12.
12 ÷ 2 = 6 ovejas le dió al menor.12 ÷ 4 = 3 ovejas le dió al mediano.12 ÷ 6 = 2 ovejas le dió al mayor.
¿Cómo hizo para regresar la que prestó?
ONCEOVEJAS
séptimo Grado - Matemática 97
Solucionario
Lección1
Actividad 1
b) A1= 20 cm2, A2 = 49 cm2
A3 = 4 cm2 A4= 20 c m2 A5= 9.86 cm2
Actividad 23. 256 dm2 = 256 × 100 = 25,600 cm2: ésta es el área mayor.
Lección2
Actividad 1
a) Como vale $40 el m2, equivale decir que vale $40 los 1.43 v2; es decir, el precio de la v2 sería de
40143.
= $27.97, por lo que ésta sería la mejor opción.
b) Como 50 ha = 50 × 10,000 m2 = 500,000 m2: ésta es la propiedad menor.
c) 15,256 v2= 15 256143
10 668532 2,.
, .m m= ,
como 1 ha = 10,000 m2;. 10 6685310 000
10672
2
, .,
.mm
ha=
Actividad 2a) A =200 × 150 = 30,000 m2=
30 00010 000
3 3 143 429,,
. .= = × =ha mz mz
b) 40 ha = 40 × 1. 43 mz = 57.2 mz.
Actividad 3a) 4.5 × 7 = 31.5 mz; 2.3 cab = 2.3 × 64.34 mz= 147.98 mz.
Luego, el área que falta es 147.98 – 31.5 = 116.48 mz.
Lección3
Actividad 1
1. La relación es a) 100105
b)810= 4
5 c)
35
d)2060
= 13
2. En su orden: 247
; 115
; 334
; 237
225
779
312
143
523
234
; ; ; ; ; ;
98 Matemática - séptimo Grado
SolucionarioActividad 2
b) 13
23
43
53
73
; ; ; ; c) 12
23
56
; ;
Actividad 3
1. a) 610
915
1220
; ; c) 28
312
416
; ; 2. a) 12 b) 14 c) 9 d) 12
3. a) 12
b) 23
c)34
4. a) 912
; 812
b) 1824
1624
;
5.a) 1220
1520
; b) 1014
714
;
Lección4
Actividad 2
1. a) 10 915
1915
+ = b) 2 34
54
+ = c) 4 510
910
+ = d) 33 3212
112
− =
2. 83
223
= m
3.64
56
18 1012
2812
73
+ =+
= = ; luego comparas.
4. 52
43
15 86
236
+ =+
= ; luego;194
236
57 4612
1112
− = − = m
5. e) 165
32
2710
94
32 1510
54 452
−
+ −
=
−
+
−00
1710
920
34 920
4320
= + =
+=
Lección5
Actividad 1
a) 1 105 9
1045
29
××
= = ; b) 2 53 6
1018
59
××
= = i) 134
115
14320
× =
Actividad 2
1. a)62
3= c)1239
413
= f) 37
83
87
× =
b)17 d)
6321
3= h)43
29
827
× =
2. Se usa 8 veces.
séptimo Grado - Matemática 99
Proyecto
1. De lunes a viernes, en períodos normales de estudio, María Inés distribuye en promedio, las 24 horas del día de la siguiente manera:
Actividad Fracción del día
Alimentarse224
Descansar y divertirse16
Estudiar 14
Aseo personal124
Dormir13
Trabajo en casa18
a) ¿A qué actividad dedica más tiempo?
b) ¿A qué actividad dedica menos tiempo?
c) Ordena el tiempo que dedica a las diversas actividades de acuerdo a la relación "menor que" y a la relación "mayor que".
d) ¿Qué fracción de tiempo suman las actividades dormir y descansar y diversión? ¿Cuánto tiempo suman ambas actividades?
e) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre "estudio" y "dormir"?
f) Sin efectuar la operación, determina cuál es la suma de las fracciones correspondientes a las diversas actividades.
2. La familia López Rodríguez adquiere un terreno de 1,200 v2 para construir su vivienda y establecer una granja de gansos para el consumo humano y como mascotas. También planifican un área de jardinería y árboles frutales. Para ello distribuyen el terreno así:
16
Para la vivienda
13
Para la granja
112
Para veredas internas
a) ¿Cuál es la mayor de todas las áreas?
b) ¿Cuál es la menor?
c) ¿Cuál es el área que ocupará el jardín y los árboles frutales?
100 Matemática - séptimo Grado
Recursos
BALDOR, Aurelio, Aritmética, Edición Cultural Centroamericana, Edición 1968, Guatemala.
DOLCIANI, Wooton y otros, Matemáticas modernas para escuelas secundarias. Tomos 1 y 2, Publicaciones Cultural, S. A. 7ª reimpresión 1980, México.