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Curso
Matemáticas Financieras
Carlos Mario Morales C © 2009
Matemáticas Financieras
Capitulo 6
Matemáticas Financiera
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s ContenidoContenido
Capitulo 6 –Gradientes� Definición de gradiente � Gradiente aritmético� Amortización con cuota creciente
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s
� Amortización con cuota creciente� Gradiente aritmético infinito� Gradiente geométrico� Gradiente geométrico infinito � Gradientes escalonados
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s GradientesGradientesDefinición de gradiente Definición de gradiente
Serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:
� Los pagos cumplen con una ley de formación� Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
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s
� Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo
� Todos los pagos se calculan a la mista tasa de interés
� El número de pagos es igual al número de periodos
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s GradientesGradientes
Ley de Formación Ley de Formación
� Gradiente Lineal o Aritmético
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s
� Gradiente Lineal o Aritmético� Gradiente Geométrico
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s GradientesGradientes
Gradiente Lineal o AritméticoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.
A +2gCuotas Periódicas
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s
0 1 2 3 n
A
…
A +g
A +2gPeriodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+gPeriodo 3 ---- A+2g….Periodo n ---- A+(n-1)g
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s
Valor Presente Gradiente AritméticoGradientesGradientes
A +g
A +2g
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s
P = (A/i)(1-(1+i)-n)+(g/i)((1-(1+i)-n)/i)-(n(1+i)-n)
0 1 2 3 n
A
…
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s GradientesGradientes
Ejemplo 1
Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando una tasa del 5%.
14001600
1800
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s
0 1 2 3 5
800
4
1000
12001400
6 7 80 1 2 3 4 65
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s GradientesGradientes
Ejemplo 1
1. Se calcula el valor presente en 2
P2 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-(6(1+0,05)-6)
P2 = 6456,55P2 = 6456,55 + 800PP = 7256,55= 7256,55
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s
2
PP22 = 7256,55= 7256,55
2. Se calcula valor presente en 0P0 = 800(1+0,05)-1 + 7256,55(1+0,05)-2
PP00= 7.343,80= 7.343,80
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s GradientesGradientes
Valor Futuro Gradiente Aritmético
A +g
A +2g
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s
0 1 2 3 n
A
…
S = (A/i)( (1+i)-n-1)+(g/i)(((1+i)-n-1)/i)-(n))
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s GradientesGradientesEjemplo 2
Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un crecimiento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
A = 13.339,66
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cuota para cada periodo
0 1 2 3 4
A = 13.339,66
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $13.345Periodo 2 ---- $25.345Periodo 3 ---- $37.345Periodo 4 ---- $49.345
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s GradientesGradientes
Tabla de Amortización (Ejemplo 2)
Periodo Saldo de Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 100.000
1 94.655 5.345 8.000 13.345
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s
1 94.655 5.345 8.000 13.345
2 76.882 17.773 7.572 25.345
3 45.688 31.194 6.151 37.345
4 (2) 45.690 3.655 49.345
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s GradientesGradientesEjemplo 3
Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un decremento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
A = 47.040,00
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cuota para cada periodo
0 1 2 3 4
A = 47.040,00
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $47.040Periodo 2 ---- $35.040Periodo 3 ---- $23.040Periodo 4 ---- $11.040
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s GradientesGradientes
Tabla de Amortización (Ejemplo 3)
Periodo Saldo de Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 100.000
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s
1 60.960 39.040 8.000 47.040
2 30.797 30.163 4.877 35.040
3 10.221 20.576 2.464 23.040
4 (2) 10.222 818 11.040
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Gradiente Aritmético InfinitoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.
A +2gCuotas Periódicas
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s
0 1 2 3 n
A
…
A +g
A +2gPeriodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+gPeriodo 3 ---- A+2g….Periodo n ---- A+(n-1)g
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Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito (Valor Presente)
GradientesGradientes
A +g
A +2g
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0 1 2 3 n
A
…
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s GradientesGradientes
Gradiente Geométrico
Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una
tasa de crecimiento.
Cuotas PeriódicasA(1+t)2
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s
0 1 2 3 n
A
…
A(1+t)1
Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A(1+t)1
Periodo 3 ---- A(1+t)2
Periodo 4 ---- A(1+t)3
….Periodo n ---- A(1+t)n
A(1+t)
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Valor Presente Gradiente Geométrico
Se puede demostrar que el valor presente de una serie geométrica, se puede expresar como:
A(1+t)2
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0 1 2 3 n
A
…
A(1+t)1
A(1+t)
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Valor Futuro Gradiente Geométrico
Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica, se puede expresar como:
A(1+t)2
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0 1 2 3 n
A
…
A(1+t)1
A(1+t)
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s GradientesGradientesEjemplo 4
Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000=(A(1+0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (0,1-0,08)
A = 26.261
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s
crecimiento geométrico de la cuota del 10%
0 1 2 3 4
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- 26.261Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) = $28.888Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2= $31.776Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3= $34.954
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s GradientesGradientes
Tabla de Amortización (Ejemplo 4)
Periodo Saldo de Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 100.000
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s
0 100.000
1 81.739 18.261 8.000 26.261
2 59.390 22.349 6.539 28.888
3 32.365 27.025 4.751 31.776
4 1 32.365 2.589 34.954
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s GradientesGradientesEjemplo 5
Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de
1. Se calcula la cuota base (A), considerando que t = i
100.000=(Ax4)/ (1+0,08)
A = 27.000
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crecimiento geométrico de la cuota del 8%
0 1 2 3 4
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $27.000Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012
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s GradientesGradientes
Tabla de Amortización (Ejemplo 5)
Periodo Saldo de Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 100.000
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s
0 100.000
1 81.000 19.000 8.000 27.000
2 58.320 22.680 6.480 29.160
3 31.493 26.827 4.666 31.493
4 - 31.493 2.519 34.012
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s GradientesGradientesEjemplo 6
Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un decrecimiento geométrico
1. Se calcula la cuota base (A), considerando que t ≠ i
100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)
A = 34.766
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s
decrecimiento geométrico de la cuota del 10%
01 2 3 4
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $34.766Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) = $31.289Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2= $28.160Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3= $25.344
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s GradientesGradientes
Tabla de Amortización (Ejemplo 6)
Periodo Saldo de Capital
Amortización Interés Cuota (Pago)
0 100.000
1 73.234 26.766 8.000 34.766
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s
1 73.234 26.766 8.000 34.766
2 47.803 25.431 5.859 31.289
3 23.467 24.336 3.824 28.160
4 - 23.467 1.877 25.344
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Gradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)
A(1+t)2
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s
0 1 2 3 n
A
…
A(1+t)1
A(1+t)
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s GradientesGradientes
Ejemplo 7
Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es de $300
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s
primer pago es de $300
0 1 2 … n