MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Transformada de Fourier
Departamento de Matematicas
MA3002
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Transformadade Fourier
Departamentode
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Transformada de FourierDada una funcion f (x) una funcion, no necesariamenteperiodica, tal que ∫ ∞
−∞|f (x)| dx <∞
entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como
f (ω) = F (ω) = F {f (x)} =
∫ ∞−∞
f (x) e−ω i xdx
La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como
f (x) = F−1 {F (ω)} =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω) e+i x ωdω
En el contexto de las senales se usa el sımbolo j en lugar de i yse usa como variable independiente t.
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Transformadade Fourier
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Codigo en la TI para la transformada deFourier
No olvide asignar adecuadamente la variable asumes antes deejecutar este programa. Puede inicializarla haciendo:true → asumes
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
Pτ (x) = f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τ1 para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
−τ/2 τ/2
1
F {f (x)} =∫∞−∞ f (x) e−ω i x dx
=∫ τ/2−τ/2 e
−ω i x dx = − 1ω i
[e−ω i x
]x=τ/2x=−τ/2
= − 1ω i
[e−ω i τ/2 − eω i τ/2
]= − 1
ω i [(cos(ω τ/2)− sen(ω τ/2) i)−(cos(ω τ/2) + sen(ω τ/2) i)]
= 2sen( 1
2τ ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
Pτ (x) = f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τ1 para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
−τ/2 τ/2
1
F {f (x)} =∫∞−∞ f (x) e−ω i x dx
=∫ τ/2−τ/2 e
−ω i x dx = − 1ω i
[e−ω i x
]x=τ/2x=−τ/2
= − 1ω i
[e−ω i τ/2 − eω i τ/2
]= − 1
ω i [(cos(ω τ/2)− sen(ω τ/2) i)−(cos(ω τ/2) + sen(ω τ/2) i)]
= 2sen( 1
2τ ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Solucion del ejemplo 1 en la TI
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Tabla
f (x) f (ω)
Pτ (x) 2sen( 1
2τ ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Propiedad de LinealidadSi f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entoncestambien c1 f (x) + c2 g(x) la admite y
F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F {f (x)}+ c2 F {g(x)}
F−1{c1 f (ω) + c2 g(ω)
}= c1 f (x) + c2 g(x)
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Tabla
f (x) f (ω)
Pτ (x) 2sen( 1
2τ ω)
ω12 P2 a(x) sen(aω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:
f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τb para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
F {f (x)} = F {b Pτ (x)}= bF {Pτ (x)}= b 2
sen( 12τ ω)
ω
= 2 bsen( 1
2τ ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:
f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τb para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
F {f (x)} = F {b Pτ (x)}= bF {Pτ (x)}= b 2
sen( 12τ ω)
ω
= 2 bsen( 1
2τ ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Solucion del ejemplo 3 en la TI
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Matematicas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Tabla
f (x) f (ω)
Pτ (x) 2sen( 1
2τ ω)
ω12 P2 a(x) sen(aω)
ω
δ(x) 1
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) e−a x :
f (x)
f (ω) =
∫ ∞0
e−a x e−ω x i dx
=
∫ ∞0
e−(a+ω i) x dx
= limN→∞
(− 1
a + ω i
[e−(a+ω i) x
]x=N
x=0
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−(a+ω i)N − 1
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−aN (cos(ωN)− sen(ωN) i)− 1
)= 1
a+ω i = aa2+ω2 − ω
a2+ω2 i
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) e−a x :
f (x)
f (ω) =
∫ ∞0
e−a x e−ω x i dx
=
∫ ∞0
e−(a+ω i) x dx
= limN→∞
(− 1
a + ω i
[e−(a+ω i) x
]x=N
x=0
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−(a+ω i)N − 1
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−aN (cos(ωN)− sen(ωN) i)− 1
)= 1
a+ω i = aa2+ω2 − ω
a2+ω2 i
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Solucion del ejemplo 4 en la TI
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Tabla
f (x) f (ω)
Pτ (x) 2sen( 1
2τ ω)
ω12 P2 a(x) sen(aω)
ω
δ(x) 1
u(x) e−a x 1a+ω i = a
a2+ω2 − ωa2+ω2 i
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e−a |x |:
f (x)
f (x)
F (ω) = f (ω) =2 a
a2 + ω2
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e−a |x |:
f (x)
f (x)
F (ω) = f (ω) =2 a
a2 + ω2
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Solucion del ejemplo 5 en la TI
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Tabla
f (x) f (ω)
Pτ (x) 2sen( 1
2 τ ω)ω
12 P2 a(x) sen(aω)
ω
δ(x) 1u(x) e−a x 1
a+ω i = aa2+ω2 − ω
a2+ω2 i
e−a |x| 2 aa2+ω2
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Traslacion en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier xo tambien f (x − xo) la admite y
F {f (x − xo)} = e−iω xoF {f (x)} = e−iω xo f (ω)
F−1{e−iω xo f (ω)
}= f (x − xo)
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
{0 para t < 3 y t > 76 para 3 ≤ x < 7
3 7
6
5
4
Observamos que g(x) = 6P4(x − 5), y por tanto
g(ω) = F {6P4(x − 5)} = 6 e−iω 5 F {P4(x)}
=(6 e−iω 5
) (2
sen( 124ω)
ω
)= 12 e−5ω i · sen(2ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
{0 para t < 3 y t > 76 para 3 ≤ x < 7
3 7
6
5
4
Observamos que g(x) = 6P4(x − 5), y por tanto
g(ω) = F {6P4(x − 5)} = 6 e−iω 5 F {P4(x)}
=(6 e−iω 5
) (2
sen( 124ω)
ω
)= 12 e−5ω i · sen(2ω)
ω
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G (ω) =e2 iω
5 + iω
F−1 {G (ω)} = F−1{
e2 iω
5+iω
}= F−1
{e−iω (−2) · 1
5+iω
}= F−1
{1
5+iω
}x=x−(−2)
=[u(x) e−5 x
]x=x+2
= u(x + 2) e−5 (x+2)
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G (ω) =e2 iω
5 + iω
F−1 {G (ω)} = F−1{
e2 iω
5+iω
}= F−1
{e−iω (−2) · 1
5+iω
}= F−1
{1
5+iω
}x=x−(−2)
=[u(x) e−5 x
]x=x+2
= u(x + 2) e−5 (x+2)
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Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Escalamiento en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier a 6= 0 tambien f (a x) la admite y
F {f (a x)} =1
|a|F {f (x)}ω=ω/a =
1
|a|f(ωa
)
F−1{f(ωa
)}= |a| f (a x)
Otra propiedad: Simetrıa
F{f (x)
}= 2π f (−ω)
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F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
{1− |x | para − 1 ≤ x ≤ 10 otro caso
g(x) =
{1− |7 x | para − 1/7 ≤ x ≤ 1/70 otro caso
−1 1−1/7 1/7
1
De la definicion de la transformada de Fourier:
f (ω) = 2−2cos(ω)ω2
g(ω) =14−14cos( 1
7ω)
ω2
observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg(ω) = 1
7 f (17 ω).
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F {Pτ (x)}
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Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
{1− |x | para − 1 ≤ x ≤ 10 otro caso
g(x) =
{1− |7 x | para − 1/7 ≤ x ≤ 1/70 otro caso
−1 1−1/7 1/7
1
De la definicion de la transformada de Fourier:
f (ω) = 2−2cos(ω)ω2
g(ω) =14−14cos( 1
7ω)
ω2
observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg(ω) = 1
7 f (17 ω).
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F {f (x)}
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Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Traslacion en frecuenciaSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier ωo tambien e iωo x f (x) la admite y
F{e iωo x f (x)
}= F {f (x)}ω=ω−ωo
= f (ω − ωo)
Su version la la transformada de Fourier inversa queda:
F−1{f (ω − ωo)
}= e iωo x f (x)
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Ejemplo 2
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Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Diferenciacion respecto a la primera variableSea n un entero positivo. Suponga que
• f (n−1)(x) es continua,
• f (n)(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito,
• f (x)n−1 es absolutamente convergente en (−∞,+∞);
• y quelim
x→−∞f (k)(x) = 0 = lim
x→+∞f (k)(x)
para k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces
entonces
F{f (n)(x)
}= (iω)n f (ω)
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F {f (x)}
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Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
EjemploResuelva la ecuacion diferencial
y ′(x)− a y(x) = u(x) e−b x
suponga que a y b con reales positivos (a 6= b).Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:
F {y ′(x)− a y(x)} = F{u(x) e−b x
}F {y ′(x)} − aF {y(x)} = F
{u(x) e−b x
}iω f (ω)− a f (ω) = 1
b+ω i
Despejando y(ω):
f (ω) =1
(−a + ω i) (b + ω i)=
A
−a + ω i+
B
b + ω i
donde
A =1
b + (−a i) i=
1
b + ay B =
1
−a + (b i) i= − 1
a + b
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Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
De
f (ω) =1
(b + a)· 1
(−a + ω i)− 1
(a + b)
1
(b + ω i)
deducimos que
f (x) = F−1{f (ω)
}=
1
(b + a)u(x) ea x − 1
(a + b)u(x) e−b x
Ejercicio: trate el caso a = b.
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F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSea n un entero positivo. Suponga que
• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito
• xn f (x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);
entonces
F {xn f (x)} = indn
dωnf (ω)
Esta es una consecuencia de la Regla de Leibniz para ladiferenciacion bajo la integral:
d
dλ
∫f (x , λ) dx =
∫ (∂
∂λf (x , λ)
)dx
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Traslacion x
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Escalamiento
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Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
EjemploCalcule
F{x u(x) e−a x
}F{x2 e−a |x |
}suponga que a es real positivo.
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Traslacion x
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Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSuponga que
• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito
• f (x) es absolutamente convergente en (−∞,+∞);
• f (ω = 0) = 0
entonces
F
{∫ x
−∞f (y) dy
}=
1
iωf (ω)
Recuerde que si
g(x) =
∫ x
−∞f (y) dy
entonces g ′(x) = f (x). Tambien observe que
limx→−∞
g(x) = 0 = limx→∞
g(x)
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Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
ConvolucionSean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real quecumplen:
1
∫ b
af (x) dx y
∫ b
ag(x) dx existen para todo intervalo [a, b].
2 Para todo x ∫ ∞−∞|f (y) g(x − y)| dy
converge.
En este caso la convolucion f ∗ g de f (x) con g(x) se definecomo la funcion
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞−∞
f (y) g(x − y) dy
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Traslacion x
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Escalamiento
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Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
EjemplosObservando que para senales f (x) y g(x) que son cero parax < 0:
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞−∞
f (y) g(x − y) dy =
∫ x
0f (y) g(x − y) dx
Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:
http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/
Para senales que en el par no son cero calcule
e−a |x | ∗ u(x)
e−a |x | ∗ e−b |x |e−a |x | ∗ sen(b x)
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Escalamiento
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Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Convolucion en el tiempoSean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada deFourier y sean f (ω) y g(ω) sus transformadas de Fourier.Entonces
F {(f ∗ g)(x)} = f (ω) · g(ω)
Es decir, la transformada de la convolucion entre dos funcioneses el producto de las transformadas de ambas funciones. Estaformula en su version para la transformada inversa queda:
F−1{f (ω) · g(ω)
}= (f ∗ g)(x)
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Calcule:
F−1{
1
(4 + ω2) (9 + ω2)
}