Matemática Básica (Ing.) 1

Sesión 14.3

Sistema Coordenado Tridimensional y Vectoresen el espacio

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Consideraciones previas

¿ Cómo podemos determinar las coordenadas del cañón de proyección respecto a la esquina O ?

z

y

O

x

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Espacio tridimensionalEl conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio tridimensional.

x

y

z

P

x

y

z

(0; y; z)

(0; y; 0)

(x; y; 0)(x; 0; 0)

(x; 0; z)

(0; 0; z)

(0; 0; 0)

(x; y; z)

Matemática Básica (Ing.) 4

Espacio tridimensional

Planos coordenados

plano xy: z = 0

xy

z

origen

(0;0;0)

Matemática Básica (Ing.) 5

Espacio tridimensional

Planos coordenadosplano xz: y = 0

xy

z

origen

(0;0;0)

Matemática Básica (Ing.) 6

Espacio tridimensional

Planos coordenados

plano yz: x = 0

x

y

z

origen

(0;0;0)

Matemática Básica (Ing.) 7

Espacio tridimensional

x

y

z

Plano x = a Plano y = b Plano z = c

Plano x = a es alplano yz (x = 0)

x = a

Plano yz

x

y

z

Plano xy

Plano x = az = c

Plano z = c

x

y

z

y = b

Plano xz

Plano

y = b

Plano y = b es al plano xz (y = 0)

Plano z = c es al plano xy (z = 0)

Matemática Básica (Ing.) 8

Espacio tridimensional

x

y

z

(0;0;0)

Plano x = a

Plano z = cc

a

bPla

no

y =

b

La intersección de los planos x = a, y = b, z = c (paralelos a los planos coordenados), es el punto (a; b; c)

(a; b; c)

Matemática Básica (Ing.) 9

Espacio tridimensional

x y

z

(0;0;0)

Primer octante

plano xy: z = 0

plano yz: x = 0plano xz: y = 0

¿Cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenecen al primer octante?1.(4; 2; 9)2.(3; -2; 6)3.(4; 8; 0)4.(5; 1; 7)5.(0; 3; 9)

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Distancia entre dos puntos y puntomedio de un segmento en R3

x

z

Q

P P = (x1; y1; z1)

Q = (x2; y2; z2)x1

x2

y2y1

x 2 – x 1

y2 – y1 z2

– z

1

212

212

212 )()()(),( zzyyxxQPd

M

2

;2

;2

212121 zzyyxxM

z1

z2

Dado los puntos:

y

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Ejercicios1. Determine la distancia entre los puntos

P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5) y además determine elpunto medio de la línea PQ.

2. Determine la distancia entre los puntosR(-1, 2; 5) y S(3; -4; 6) y además determine elpunto medio de la línea RS.

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r

Ecuación estándar de la esfera

x

y

z

2222 )()()( rlzkyhx

C P(x; y; z)

C(h; k; l)

Una esfera es el análogo tridimensional de unacircunferencia. En el espacio, el conjunto depuntos que están a una distancia fija de un puntofijo es una esfera.

C: Centro de la esfera

P: Punto cualquiera de la esfera

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Ejercicios

1. Determine la ecuación estándar de la esferacon centro en (3; -2; 5) y radio 4.

2. Determine la ecuación estándar de la esferacuyo diámetro tiene como extremos a los

puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5).

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Planos en R3

Todo plano puede escribirse como

donde A, B y C son no todos iguales a cero.

0 DCzByAx

x

y

z

Punto de cortecon el eje x

Punto de cortecon el eje z

Punto de cortecon el eje y

traza

traza

traza

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Ejercicio1. Elabore la gráfica de la ecuación

2x + 3y + 5z = 30

x

y

z

Punto de cortecon el eje x

Punto de cortecon el eje z

Punto de cortecon el eje y

traza

traza

traza

Nota: Debe obtener los puntos de corte de la ecuación del plano con los ejes coordenados y luego hace la traza del plano.

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Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural, con ligeros cambios, en el espacio.

Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.

Matemática Básica (Ing.) 17

Vectores en el espacio

El vector v = v1; v2; v3

v1; v2; v3

x

y

z

v1

v2

v3

v

ij

k

Se definen:

Vectores unitarioscanónicos i, j, k:

Vector cero o nulo:

0 = <0; 0; 0>

v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k

i = <1; 0; 0>j = <0; 1; 0>k = <0; 0; 1>

Matemática Básica (Ing.) 18

Vectores en el espacio

x

y

z

Q1

Q2

Q3

vi

jk

Q

P

P1

P2

P3

El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:

v = PQ = OQ - OP

Matemática Básica (Ing.) 19

Vectores en el espacio

Un vector v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera:

cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3

v

cv0 < c < 1

cv

c > 1cv

c < -1

cv-1 < c < 0

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Vectores en el espacio: Propiedades

I gualdad: v

Adición v w ;

Sustracción v w

Magnitud v

Producto punto v w

Vector unitari

1

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 22 3

1 1 2 2 3 3

sí y solo sí

: ;

: ; ;

:

:

v w , v w y v w

v w v w v w

v w v w v w

v v v

v w v w v w

w

vo u v 0

v: ,

1 2 3 1 2 3Para los vectores ; ; y ; ; ,v v v w w w v w

:tiene se

Matemática Básica (Ing.) 21

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

donde es el ángulo que forman los vectores u y v

u

v

u v = v u

u (v + w)= u v + u w

c(u v) = (cu) v = u (cv)

0 u = 0 2

uuu

cosvuvu

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Son perpendiculares sí y solo sí u v = 0

La medida del ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:

vuvu

cos

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u y v son vectores no nulos

u

v

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Ejercicio de cálculo con vectores

a) 3-2; 1; 4

b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8

c) 1; -3; 4 – -2; -4; 5

d) |2; 0; -6|

e) 5; 3; -1 -6; 2; 3

Resuelva según el caso

Matemática Básica (Ing.) 24

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante