Operaciones en rgimen de simple1.1. Capitalizacin simple

1.1.1. ConceptoOperacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple.

1.1.2. Descripcin de la operacin

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuanta final (Cn) que se recuperar en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operacin se contrata (tiempo -n- y tipo de inters -i-).

Este capital final o montante se ir formando por la acumulacin al capital inicial de los intereses que genera la operacin peridicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operacin, se aaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital inicial, altanto de inters vigente en dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

1.1.4. Desarrollo de la operacin

El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho perodo. De esta forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i)

Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i)

Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i)

...

Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i

Cn = C0 x (1 + n x i)

Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin se mantiene constante todos los perodos.

A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental de la capitalizacin simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podra despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que n lo que indica es el nmero de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de inters (no importando cul sea).

EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 aos en rgimen de capitalizacin simple.

C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640

EJEMPLO 2 Se quiere conocer qu capital podremos retirar dentro de 3 aos si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de inters anual para el primer ao y cada ao nos suben el tipo de inters un punto porcentual.

En este caso la frmula general de la capitalizacin simple no es aplicable al ser diferente el tipo de inters en cada perodo. El montante ser, igualmente, el resultado de aadir al capital inicial los intereses de cada perodo, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el perodo de que se trate.

C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180

1.1.5. Clculo del capital inicial

Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters, bastar con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + n x i)

despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters anual para ese plazo?

1.1.6. Clculo de los intereses totales

Bastar con calcular los intereses de cada perodo, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in

C0 x (i1 + i2 + ... + in)

Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i

C0 x i x n

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencias entre ambos:

In = Cn - C0

EJEMPLO 4Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada perodo:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84

Tambin se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

In = 384 - 300 = 84

EJEMPLO 5 Qu inters producirn 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480

1.1.7. Clculo del tipo de inters

Si se conocen el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin simple y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + n x i)

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de inters, dividiendo por n la expresin anterior:

EJEMPLO 6Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 aos se obtenga un montante de 1.500 euros.

1.1.8. Clculo de la duracin

Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, partiendo de la frmula general de la capitalizacin simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuacin anterior):

Cn--- = 1 + n x i

C0Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Cn--- - 1 = n x i

C0Despejar la duracin n, dividiendo por i:

EJEMPLO 7Un capital de 2.000 euros colocado a inters simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

1.2. Tantos equivalentes

Normalmente los tipos de inters suelen venir expresados en trminos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayora de las ocasiones, la acumulacin de los intereses al capital inicial se hace en perodos ms pequeos (meses, trimestres, semestres, ...).

La cuestin es por el hecho de modificar la frecuencia de clculo de intereses me beneficiar o, por el contrario, me ver perjudicado? En este sentido, lo lgico es pensar que cualquiera que sea el nmero de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operacin no se vea afectado.

En consecuencia, si se cambia la frecuencia de clculo de los intereses habr que cambiar el importe del tanto de inters aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes.

1.2.1. Concepto

Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante.

1.2.2. Relacin de tantos equivalentes

Los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

i = ik x k

donde k se denomina frecuencia de capitalizacin y se define como el nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia (considerando como tal el ao), pudiendo tomar los siguientes valores:

k = 2 -> semestre i2 = tanto de inters semestral

k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de inters cuatrimestral

k = 4 -> trimestre i4 = tanto de inters trimestral

k = 12 -> mes i12 = tanto de inters mensual

EJEMPLO 8

Determinar el montante resultante de invertir 700 euros durante 3 aos en las siguientes condiciones:

a) Inters anual del 12%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,12) = 952

b) Inters semestral del 6%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,06 x 2) = 952

c) Inters mensual del 1%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,01 x 12) = 952

1.3. Descuento simple

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

1.3.1. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Grficamente:

Elementos:D: Descuento o rebaja.Cn: Valor final o nominal.C0: Valor actual, inicial o efectivo.i d: Tanto de la operacin.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresin:

D = Cn C0Adems, el descuento, propiamente dicho, no es ms que una disminucin de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el inters total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, segn cul sea el capital que se considere para el cmputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la prctica:

Descuento racional, matemtico o lgico, y

Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habr de calcular), para lo cual ser necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operacin supone.

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de inters efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operacin, igual que ocurra en la capitalizacin, resulta vlida la frmula de la capitalizacin simple, siendo ahora la incgnita el capital inicial (C0).

As pues, a partir de la capitalizacin simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

Clculo del capital inicial:

CnC0 = ------------- 1 + n x i

Clculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x iDr = Cn C0 = Cn -------------- = -------------- 1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x iDr = C0 x i x n = --------------- x i x n = ----------------- 1 + n x i 1 + n x i

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + + Cn x d = Cn x n x d

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

C0 = Cn x (1 n x d)

EJEMPLO 9 Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30

C0 = 100 30 = 70

o bien:

C0 = 100 x (1 3 x 0,1) = 70

1.3.4. Tanto de inters y de descuento equivalentes

Si el tipo de inters (i) aplicado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sera el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cmputo del clculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial ser mayor al descuento racional (Dc> Dr) como ocurre en el ejemplo 9.No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relacin entre tipos de inters y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Ser necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de inters, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i------------- = Cn x n x d1 + n x i

Y simplificando, dividiendo por Cn x n:

i------------ = d1 + n x i

Obtenindose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

id = -------------1 + n x i

Anlogamente, conocido d se podr calcular el tanto i:

di = -------------- 1 n x d

La relacin de equivalencia entre tipos de inters y descuento, en rgimen de simple, es una funcin temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de inters como valores tome la duracin (n) de la operacin y al revs (no hay una relacin de equivalencia nica entre un i y un d).

EJEMPLO 10 En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de inters es del 10% anual. Qu tipo de descuento anual deber aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%1 + 3 x 0,1

Comprobacin:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de inters del 10% (descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 1 + 3 x 0,1

Dr = 100 76,92 = 23,08

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08

C0 = 100 23,08 = 76,92

o bien:

C0 = 100 (1 0,076923 x 3) = 76,92

1. Capitalizacin compuesta

1.1. CONCEPTO

Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicacin de la ley financiera de capitalizacin compuesta.

1.2. DESCRIPCIN DE LA OPERACIN

El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulacin al capital inicial (C0) de los intereses que peridicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operacin (n), pudindose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

1.3. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los perodos siguientes.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital existente al inicio de dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIN

El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho perodo. De esta forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i) Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) == C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) == C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3Momento n:

Cn = C0 x (1 + i)n

Expresin que permite calcular el capital final o montante (Cn) en rgimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de inters (i) y la duracin (n) de la operacin.

Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin no vara. En caso contrario habr que trabajar con el tipo vigente en cada perodo.

A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental de la capitalizacin compuesta) adems de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta.

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300

La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

1.5. CLCULO DEL CAPITAL INICIAL

Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters, bastar con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + i)nde donde se despeja C0:

EJEMPLO 2 Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters anual compuesto para ese plazo?

C0 = 1.500----------------- (1 + 0,06)2= 1.334,99

1.6. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencia entre ambos:

In = Cn C0

EJEMPLO 3Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% compuesto anual?300 I4?

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 In = 393,24 300 = 93,24

1.7. CLCULO DEL TIPO DE INTERS

Si se conoce el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + i)nLos pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:Cn---- = (1 + i)nC0

Quitar la potencia (extrayendo raz n a los dos miembros):

Despejar el tipo de inters:

EJEMPLO 4

Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 aos se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

1.8. CLCULO DE LA DURACIN

Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

Punto de partida:

Pasar el C0 al primer miembro:

Extraemos logaritmos a ambos miembros:

Aplicamos propiedades de los logaritmos:

Despejar la duracin:

EJEMPLO 5 Un capital de 2.000 euros colocado a inters compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202

n =log Cn log C0----------------------log (1 + i)log 3.202 log 2.000= ------------------------------log 1,04= 12 aos

1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIN SIMPLE Y COMPUESTA

Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 aos, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada perodo en un caso y otro:

Aos123456

En simple.......... 1.100,001.200,001.300,001.400,001.500,001.600,00

En compuesta...1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 1.771,56

Donde se observa que el montante obtenido en rgimen de simple va aumentando linealmente, cada ao aumentan 100 euros (los intereses del ao, generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operacin en compuesta, cada ao se van generando ms intereses que en el perodo anterior: la evolucin no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada ao mayor (los intereses generan nuevos intereses en perodos siguientes).

Grficamente:

Transcurrido un perodo (1 ao si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regmenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.

De la misma forma, se cumple que para perodos inferiores al ao el montante es mayor en rgimen de simple y, a partir del ao, es mayor en compuesta. ste es el motivo de la preferencia de la capitalizacin simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.

2. Tantos equivalentes

La definicin de tantos equivalentes es la misma que la vista en rgimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante.

Como ya se coment cuando se hablaba del inters simple, la variacin en la frecuencia del clculo (y abono) de los intereses supona cambiar el tipo de inters a aplicar para que la operacin no se viera afectada finalmente. Entonces se comprob que los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

i = ik x k

Sin embargo, esta relacin de proporcionalidad no va a ser vlida en rgimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el clculo de intereses se hace sobre una base cada vez ms grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizacin antes se acumularn los intereses y antes generarn nuevos intereses, por lo que existirn diferencias en funcin de la frecuencia de acumulacin de los mismos al capital para un tanto de inters dado.

Este carcter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicacin de un tipo ms pequeo que el proporcional en funcin de la frecuencia de cmputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao en las siguientes condiciones:

a. Inters anual del 12%

Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b. Inters semestral del 6%

Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

c. Inters trimestral del 3%

Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizacin de los intereses se est realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalizacin, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

2.1. RELACIN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA

Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relacin:

1 + i = (1 + ik)k

donde k es la frecuencia de capitalizacin, que indica:

El nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de referencia que se tome (habitualmente el ao).

Cada cunto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cunto tiempo se acumulan los intereses, dentro del perodo, al capital para producir nuevos intereses.

Esta relacin se obtiene a partir de la definicin de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado perodo de tiempo (n aos) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulacin de intereses (i o ik):Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido ser:

Cn = C0 x (1 + i)nUtilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido ser:

Cn = C0 x (1 + ik)nkSi queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operacin es la misma ya que lo nico que ha cambiado es la frecuencia de clculo de los intereses, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nkSimplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk

Quedando finalmente:

(1 + i ) = (1 + ik)k

Expresin que indica la relacin en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.

El valor de i en funcin de ik ser:

i = (1 + ik)k 1

El valor de ik en funcin de i ser:

ik = (1 + i)1/k 1

EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:

a. Devengo anual de intereses:

i = 0,12Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b. Devengo semestral de intereses:

Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de clculo es semestral, habr que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para despus calcular el montante.

i2 = (1 + 0,12)1/2 1 = 0,05830Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00

c. Devengo trimestral de intereses:

Igual que en el caso anterior, habr que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.

i4 = (1 + 0,12)1/4 1 = 0,028737Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00

Los resultados son los mismos, debido a la utilizacin de intereses equivalentes.

3. Tanto nominal (Jk)

Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relacin anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idnticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresin de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fcilmente de su unidad habitual (en aos) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal.

El tanto nominal se define como un tanto terico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalizacin k por el tanto k-esimal:

Jk = ik x k

Expresin pensada para pasar fcilmente de un tanto referido al ao (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional.

As pues, en compuesta, los tantos de inters pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (tambin conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de l se obtienen tantos efectivos con los que s se harn los clculos necesarios.

A continuacin se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales.

Tabla de conversin de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE)La frmula de clculo es:

i = (1 + ik)k 1 = (1 + Jk/k)k 1

Frecuencia de capitalizacin

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Inters nominalAnual Semestral Trimestral Mensual

8% 8,000% 8,160% 8,243% 8,300%

9% 9,000% 9,202% 9,308% 9,381%

10% 10,000% 10,250% 10,381% 10,471%

11% 11,000% 11,303% 11,462% 11,572%

12% 12,000% 12,360% 12,551% 12,683%

El tipo de inters efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal est calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y slo en sa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habr que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie.

Tabla de conversin de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominalesLa frmula de clculo es:

Jk = ik x k = [(1 + i)1/k 1] x k

Frecuencia de capitalizacin

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Inters efectivo anual Anual Semestral Trimestral Mensual

8%8,000% 7,846% 7,771% 7,721%

9%9,000% 8,806%8,711% 8,649%

10% 10,000% 9,762% 9,645% 9,569%

11% 11,000% 10,713% 10,573% 10,482%

12% 12,000% 11,660% 11,495% 11,387%

El tipo de inters nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones anuales.

Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, ste deber ser diferente en funcin de la frecuencia de capitalizacin para la cual se haya calculado.

4. Descuento compuesto

4.1. CONCEPTO

Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

4.2. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital del perodo anterior, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Al igual que ocurra en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, segn cul sea el capital que se considera en el cmputo de los intereses que se generan en la operacin:

Descuento racional.

Descuento comercial.

4.3. DESCUENTO RACIONAL

Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un perodo el capital al inicio de dicho perodo, utilizando el tipo de inters vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: CnPerodo n1:

Cn-1 = Cn In = Cn Cn-1 x i

Cn-1 x (1 + i) = CnCnCn-1 = ------------- (1 + i)

Perodo n2:

Cn-2 = Cn-1 In-1 = Cn-1 Cn-2 x i

Cn-2 x (1 + i) = Cn-1Cn-1 CnCn-2 = ------------ = ------------(1 + i)1 (1 + i)2Perodo n3:

Cn-3 = Cn-2 In-2 = Cn-2 Cn-3 x i

Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

Cn-2 CnCn-3 = ----------- = ---------- (1 + i)1 (1 + i)3Perodo 0:

C0 = C1 I1 = C1 C0 x i

C0 x (1 + i) = C1C1 CnC0 = ---------- = ------------ 1 + i (1 + i)n

Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipacin del capital futuro. Se trata de la operacin de capitalizacin compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual.

De otra forma, partiendo de la expresin fundamental de la capitalizacin compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

CnC0 = ----------(1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dr), o descuento propiamente dicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO7 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta a un tipo de inters del 5% anual compuesto?Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 1,053

Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90

4.4. DESCUENTO COMERCIAL

En este caso se considera generador de los intereses de un perodo el capital al final de dicho perodo, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: Cn

Perodo n-1:

Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

Perodo n-2:

Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2Perodo n-3:

Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3Perodo 0:

C0 = Cn x (1 - d)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dc):

Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90

Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10

De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10

4.5. TANTOS DE INTERS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES

Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados sern diferentes segn se realice por un procedimiento u otro.

Sera conveniente encontrar la relacin que deben guardar los tantos de inters y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipacin fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relacin de equivalencia entre tantos de descuento y de inters.

Esta relacin de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc, por tanto:

simplificando, dividiendo por Cn:

Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por 1:

1---------- = (1 - d)n (1 + i)nFinalmente, extrayendo raz n a la ecuacin, queda la relacin de equivalencia buscada:

11 d = --------1 + i

El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i ser:

id = --------- 1 + i

Anlogamente, encontraremos un tipo de inters equivalente a un d:

di = --------- 1 d

Hay que tener en cuenta que la relacin de equivalencia es independiente de la duracin de la operacin. Por tanto, se cumple que para un tanto de inters solamente habr un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operacin.

EJEMPLO 9 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad tendremos que entregar si la operacin se concierta?

1.er caso: a un tipo de inters del 5% anual compuesto (descuento racional):

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 1,0532. caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):

C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00

Por tanto, aplicando un tipo de inters y de descuento idnticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (ms pequeo) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipacin.Para conseguir el mismo resultado habra que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de inters mediante la relacin de equivalencia:

0,05d = ------------ = 0,0476191 + 0,05

Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado ser:

C0 = 24.000 x (1 0,047619)3 = 20.732,10

5. Equivalencia de capitales en compuesta

Para comprobar si dos o ms capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.

El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o ms capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.

Ya vimos en las operaciones en simple la definicin y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo vlidos. La diferencia fundamental viene dada porque en rgimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operacin, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.

5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIN DE CAPITALES

La sustitucin de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores slo se podr llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudindose plantear los siguientes casos posibles:

5.1.1. Determinacin del capital comn

Es la cuanta C de un capital nico que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

5.1.2. Determinacin del vencimiento comn

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

5.1.3. Determinacin del vencimiento medio

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

C = C1 + C2 + ... + Cn

EJEMPLO 10 Un seor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 aos, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 aos.

Se pide:

Calcular el importe a pagar en ese momento si la operacin se concierta al 8% de inters compuesto anual.

1.er caso: fecha de estudio en 0:

2.000 4.000 5.000 C----------- + ---------- + ----------- = --------- 1,086 1,088 1,0810 1,089resultando:

C = 11.469,05

2. caso: fecha de estudio en 9:

5.0002.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C1,08resultando:

C = 11.469,05

EJEMPLO 11 Un seor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 aos, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno slo, acordndose la operacin a un tipo de inters del 6%, calcular el momento del cobro nico en los siguientes supuestos:

1. La cuanta a recibir fuera de 12.000 euros.

2. La cuanta a recibir fuera de 13.000 euros.

1.er caso: vencimiento comn

5.000 8.000 12.000----------- + ----------- = ----------- 1,0631,0651,06t

12.0004.198,10 + 5.978,07 = ---------- 1,06t12.00010.176,17 = ----------- 1,06t12.0001,06t = ----------------10.176,17

12.000log ---------------- 10.176,17 0,071597t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 aoslog 1,06 0,025306

2. caso: vencimiento medio

5.000 8.000 13.000---------- + --------- = ------------ 1,063 1,065 1,06t

13.00010.176,17 = ----------- 1,06t13.000log ---------------- 10.176,17 0,106359t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 aoslog 1,06 0,025306

Nota. En compuesta no se puede aplicar la frmula vista en rgimen de simple para el clculo del vencimiento medio:

C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tnt = vencimiento medio = --------------------------------------------C1 + C2 + ... + Cn1. Rentas

Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componan de un capital nico (o pocos) tanto en la prestacin como en la contraprestacin. Sin embargo, hay un gran nmero de operaciones que se componen de un elevado nmero de capitales: la constitucin de un capital, los planes de jubilacin, los prstamos, ... En todas ellas intervienen muchos capitales y sera difcil y poco prctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora.

Surge la necesidad de buscar un mtodo matemtico que nos facilite la tarea de desplazar un elevado nmero de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas frmulas que en determinados casos permitirn desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

1.1. CONCEPTO

La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.

Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

Existencia de varios capitales, al menos dos.

Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

1.2. ELEMENTOS

Fuente de la renta: fenmeno econmico que da origen al nacimiento de la renta.

Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.

Final: momento en el que termina de devengarse el ltimo capital.

Duracin: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.

Trmino: cada uno de los capitales que componen la renta.

Perodo: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.

Tanto de inters: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Grficamente:

1.3. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t (Vt)

Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los trminos de la renta a dicho momento de tiempo t.

Casos particularesSi t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los trminos de la renta en el momento cero.

Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los trminos de la renta al momento n.

1.4. CLASES

1.4.1. Segn la cuanta de los trminos

Constante: cuando todos los capitales son iguales.

Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudindose distinguir: Variables sin seguir una ley matemtica, cuando varan aleatoriamente. Variables siguiendo una ley matemtica, cuando lo hacen con un orden.- En progresin geomtrica.- En progresin aritmtica. 1.4.2. Segn el nmero de trminos

Temporal: tienen un nmero finito y conocido de capitales.

Perpetua: tienen un nmero infinito o demasiado grande de capitales.

1.4.3. Segn el vencimiento del trmino

Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada perodo de tiempo.

Prepagable: los capitales se sitan a principio de cada perodo.

1.4.4. Segn el momento de valoracin

Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final.

Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.

Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

1.4.5. Segn la periodicidad del vencimiento

Entera: el trmino de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoracin, cualquiera que sea la unidad tomada.

No entera: el trmino de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoracin.

Fraccionada: el trmino de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoracin de la renta.

1.4.6. Segn la ley financiera

Simple: emplea una ley financiera a inters simple, para desplazar los capitales.

Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalizacin compuesta.

Para el correcto empleo de las frmulas financieras de las rentas, ser necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en funcin de la combinacin que presente habr que aplicar una u otra, segn proceda.

A las diferentes rentas que estudiemos a continuacin se les va a hallar el valor actual y final y para ello bastar con recordar la frmula matemtica que permite sumar una serie de trminos que varan en progresin geomtrica, creciente o decreciente. Estas expresiones son las siguientes:

a1 - an x rS = ------------------1 - r

frmula de la suma de n trminos en progresin decreciente,

an x r - a1S = ----------------- r - 1

para el caso de la suma de n trminos en progresin creciente, donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el ltimo trmino y r es la razn que siguen los trminos.

2. Rentas constantes

Las rentas de cuanta constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

2.1. RENTA CONSTANTE, UNITARIA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA

Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).

2.1.1. Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante ms fcil, la que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuya representacin grfica es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde estn cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminologa ani, donde n representa el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn:

que se puede calcular con la siguiente expresin:

que permite sumar n trminos en progresin decreciente, donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el ltimo trmino y r es la razn.

Aplicando dicha frmula a los trminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

expresin que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre s hasta su origen al tanto de inters i.

Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos trminos fueran de cuanta c, el valor actual se representa por Ani y se obtendra de la siguiente forma:

Sacando factor comn el trmino c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n trminos, ani:

La expresin Ani indica, pues, que la renta es constante de cuanta diferente de la unidad.

EJEMPLO 1Calcular el valor actual de una renta de tres trminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inters del 10% efectivo anual.

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

EJEMPLO 2 Calcular el valor de la imposicin que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de inters efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros al final de cada uno de los prximos 5 aos.

Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposicin y los reintegros, aqulla debe coincidir con el valor actualizado de estos ltimos. As, la imposicin inicial ser el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operacin.

2.1.2. Clculo del valor final

Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal n capitales, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los trminos de la renta en su final (momento n), quedando grficamente as:

Aplicando la definicin de valor final y llevando los trminos uno a uno, capitalizando en rgimen de capitalizacin compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminologa sni siendo n el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

Que no es sino la suma de n trminos en progresin geomtrica creciente de razn r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresin:

donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el ltimo trmino y r es la razn.

Aplicando dicha frmula a los trminos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

Al mismo resultado hubisemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoracin:

por tanto el valor final de la renta ser la capitalizacin de su valor actual.

Comprobacin:

En el supuesto de ser los trminos de cuanta c, el valor final (Sni) se calcular as:

Simplificando, tomando factor comn el trmino c:

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n trminos, pospagable, inmediata y entera, sni:

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

EJEMPLO 3 Calcular el valor final de una renta de tres trminos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de inters del 10% efectivo anual.

Desplazando los capitales uno a uno:

V3 = 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331

Utilizando la renta:

Capitalizando el valor actual:

V3 = 248,69 x (1 + 0,1)3 = 331

EJEMPLO 4 Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 aos, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de inters de la cuenta el 12% efectivo anual.

El importe acumulado despus de 5 aos ser el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoracin el tipo de inters de la propia cuenta.

EJEMPLO 5 Calcular el nmero de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada ao para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual.

En este caso se conoce la cuanta a imponer peridicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el nmero de imposiciones a realizar, esto es, el nmero de trminos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.

y mediante logaritmos se despeja la incgnita n:

2.2. RENTAS PREPAGABLES

Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), prepagable (los trminos vencen al principio del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tipo de inters estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).

2.2.1. Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuya representacin grfica es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por ni:

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn:

que se puede calcular con la siguiente expresin:

Aplicando dicha frmula a los trminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

expresin que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre s hasta su origen, al tanto de inters i.

Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por separado el primer capital, que ya est en el origen, y el resto de capitales (n 1) como renta pospagable inmediata:

Para rentas constantes cuyos trminos fueran de cuanta c, el valor actual (ni) se obtiene valorando en el origen cada uno de esos capitales:

Sacando factor comn c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediata y entera, ni:

La expresin ni indica que la renta es constante de cuanta diferente de la unidad.

Nota: los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un perodo las rentas pospagables.

EJEMPLO 6 Calcular el valor actual y final de una renta de tres trminos anuales situados a principios del ao de 100 euros cada uno a un tanto de inters del 10% efectivo anual.

Valor actual

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

Valor final

Moviendo los capitales uno a uno:

V3 = 100 x (1 + 0,1)3 + 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) = 364,10

Utilizando la renta:

Capitalizando el valor actual:

V3 = 273,55 x (1 + 0,1)3 = 364,10

2.3. RENTAS PERPETUAS

Las rentas perpetuas son aquellas cuyo nmero de trminos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas slo se le podr calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc.

El valor actual de estas rentas se obtendr viendo qu ocurre si aplicamos las frmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un nmero finito de capitales (n) trabajamos con infinitos trminos (). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matemtico de los lmites, cuando la duracin de la renta (y por tanto, el nmero de capitales) tiende a infinito.

En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:

Renta unitaria:

Renta no unitaria:

Ser la cuanta del trmino multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definicin de renta perpetua, pero tambin se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable.

Renta unitaria:

Renta no unitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un trmino de 25.000 euros si el tanto de valoracin es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos:

a) Si los capitales son pospagables.

b) Si los capitales son prepagables.

a) Pospagables:

b) Prepagables:

2.4. RENTAS DIFERIDAS

Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de diferimiento de la renta.

Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido.

Grficamente quedara:

Al aplicar la definicin de valor financiero en el momento t:

Sacando factor comn:

quedar:

Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n trminos), pospagable, inmediata y entera (ani), que posteriormente se descuenta como un capital nico, al mismo tipo (i), durante el perodo de diferimiento (d). Por tanto, se obtendra el mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en rgimen de descuento compuesto al tanto de inters vigente durante el perodo de diferimiento. Grficamente sera:

Analticamente quedara as:

Expresin esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/ani, donde n representa el nmero de trminos de la renta, i, el tanto de valoracin y d, el perodo de diferimiento.

Si la renta fuera constante, pero de cuanta diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho seguira siendo vlido y bastara con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuanta del trmino.

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definicin de valor final se ratar como una renta inmediata, aunque tambin se podra obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido:

Vn = V0 x (1 + i)n = Vt x (1 + i)d+n

EJEMPLO 8 Calcular el valor actual y final de una renta cuya duracin es de 5 aos, con trminos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 aos. Tanto de valoracin 11% efectivo anual.

Se trata de una renta diferida 3 aos, con trminos prepagables y 5 trminos.

Valor actual:

Valor final:

El diferimiento no afecta al valor final, que se poda haber calculado como el de una renta inmediata de 5 trminos prepagables:

2.5. RENTAS ANTICIPADAS

Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de anticipacin de la renta.

Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido.

Grficamente quedara:

Al aplicar la definicin de valor financiero en el momento t:

Vn+h = (1 + i)h + (1 + i)h+1 + (1 + i)h+2 + ... + (1 + i) h+n-1

Sacando factor comn (1 + i)h quedar lo siguiente:

Vn+h = (1 + i)h x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1]

Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n trminos), pospagable, inmediata y entera (sni), que posteriormente se capitaliza como un capital nico, al mismo tipo (i), durante el perodo de anticipacin (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendra el mismo resultado.

Analticamente quedara as:

Expresin esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s ni, donde n representa el nmero de trminos de la renta, i, el tanto de valoracin y h, el perodo de anticipacin.

La anticipacin solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizar como si de una renta inmediata se tratara, cumplindose la siguiente relacin entre diferentes valores de la renta:

Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuanta diferente a la unidad (no unitarias).

EJEMPLO 9 Calcular el valor actual y final de una renta de 3 trminos anuales de 1.000 euros pagaderos por vencido si la valoracin al 7% anual se efecta a los 8 aos de comenzada la renta.

Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoracin se realiza 5 aos despus de haberse hecho efectivo el ltimo capital. No obstante, la anticipacin no afecta al valor actual que se resolver como una renta inmediata.

Valor actual:

Valor final:

tambin:

V8 = V0 x (1 + 0,07)8 = 2.624,32 x (1 + 0,07)8 = 4.509,06

3. Rentas variables en progresin geomtrica

Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuantas son variables siguiendo una ley en progresin geomtrica, esto es, cada trmino es el anterior multiplicado por un mismo nmero (que se denomina razn de la progresin geomtrica) y que notaremos por q.

Para calcular cualquier trmino basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razn de la progresin (q).

3.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIN GEOMTRICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA

Vamos a estudiar una renta variable (trminos que siguen una progresin geomtrica), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).

3.1.1. Clculo del valor actual

La representacin grfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Se trata de valorar en el origen todos los trminos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est cada capital hasta el origen, obtenindose el valor actual, que se nota con la siguiente terminologa: A(c; q) ni, expresin que recoge la informacin de la renta (n trminos al tanto i) y tambin datos de la progresin que siguen los capitales (primer trmino c y razn de la progresin q):

Sacando factor comn:

c---------- (1 + i)

se obtiene:

donde el corchete es la suma de n trminos en progresin geomtrica creciente de razn:

qr = --------1 + i

Aplicando la expresin que suma trminos que siguen esta ley:

a1 an x rS = ---------------------1 r

siendo a1 el primer trmino de la progresin, an, el ltimo trmino y r, la razn.

Aplicando dicha frmula a los trminos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la siguiente forma:

de donde finalmente se puede obtener:

expresin que solamente se podr utilizar cuando q 1 + i.

Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresin del valor actual quedar de la siguiente forma:

sacando factor comn:

El corchete, al simplificarse, no es ms que la suma aritmtica de n veces la unidad, quedando el valor actual as:

3.1.2. Clculo del valor final

A partir del valor actual se podr calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relacin que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final ser el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.

EJEMPLO 10 Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer ao va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 aos.

a) Suponiendo una tasa de valoracin del 7%.b) Suponiendo una tasa de valoracin del 5%.

a) Valorando al 7%:

b) Valorando al 5%:

Nota. A idnticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de estudio.

3.2. RENTAS PREPAGABLES

Para una renta variable con trminos en progresin geomtrica, temporal (n capitales), pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representacin grfica queda de la siguiente forma:

3.2.1. Clculo del valor actual

Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya est en el origen y el resto de capitales, n1, como renta pospagable inmediata de n1 trminos:

Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los trminos.

3.2.2. Clculo del valor final

Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.

3.3. RENTAS PERPETUAS

El clculo de la renta en progresin geomtrica perpetua se realiza, como las dems rentas perpetuas, a travs del lmite cuando el nmero de trminos de la renta (n) tiende a infinito:

resultando finalmente que el lmite, y por tanto el resultado del valor actual, est en funcin de la relacin existente entre el valor de la razn de la progresin (q) y (1 + i), y slo tendr sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:

3.4. RENTAS DIFERIDAS

Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de diferimiento de la renta.

Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en rgimen de descuento compuesto al tanto de inters vigente durante el perodo de diferimiento. Grficamente sera:

El resultado final quedara as:

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata.

3.5. RENTAS ANTICIPADAS

Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el perodo de anticipacin de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoracin.

Valoraremos la renta, tratndola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el perodo de anticipacin (h). Tambin se podr valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.

El resultado ser:

La anticipacin solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizar como si de una renta inmediata se tratara, cumplindose la siguiente relacin, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:

Vn Vn+hV0 = --------------- = ---------------- (1 + i)n (1 + i)n+h

EJEMPLO 11 Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los prximos 15 semestres si para el primer perodo ascienden a 500 euros y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y mantenindose constante a partir de entonces. Tipo de valoracin el 10% efectivo semestral.

Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sera aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros trminos (renta en progresin geomtrica inmediata) y a continuacin los 5 ltimos (renta constante y diferida), podremos emplear frmulas de rentas.

As:

4. Rentas variables en progresin aritmtica

Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantas van variando y lo hacen siguiendo una ley en progresin aritmtica, esto es, cada trmino es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma cuanta (que se denomina razn de la progresin aritmtica) y que notaremos por d, siempre expresada en unidades monetarias.

Para calcular cualquier trmino basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razn de la progresin (d).

4.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIN ARITMTICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA

Vamos a estudiar una renta variable en progresin aritmtica, temporal (tiene un nmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo).

4.1.1. Clculo del valor actual

La representacin grfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde estn hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminologa A(c; d) ni, expresin que adems de recoger la informacin de la renta, recoge la informacin de la progresin (c; d):

de donde finalmente se puede obtener la siguiente expresin:

que se puede convertir en esta otra frmula de clculo:

Nota: se ha prescindido del desarrollo matemtico de esta demostracin, reflejando el resultado final del mismo.

4.1.2. Clculo del valor final

A partir del valor actual se podr calcular cualquier otro valor financiero, utilizando la relacin que existe entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos de tiempo:

Valor final:

EJEMPLO 12Hallar el valor actual y final de una corriente de gastos anuales vencidos de un negocio que el primer ao van a ser 2.000 euros y se espera que aumenten 100 euros cada ao, suponiendo una tasa de valoracin del 7% y para un horizonte temporal de 4 aos.

Valor actual:

Valor final:

Nota: a idnticos resultados se hubiera llegado si valoramos uno a uno los capitales en la fecha de estudio.

4.2. RENTAS PREPAGABLES

En este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (segn proceda) de la renta pospagable.

4.3. RENTAS PERPETUAS

El clculo de la renta en progresin geomtrica perpetua se realiza, como para cualquier renta perpetua, a travs del lmite cuando la duracin (n) tiende a infinito:

resultando finalmente:

Todas las frmulas se han desarrollado suponiendo que la razn es positiva (d > 0), es decir, que los trminos van aumentando, aunque siguen siendo vlidas para el caso contrario, bastara con cambiar el signo de la razn (d) en las frmulas.

4.4. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS

Sern diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen y anticipadas cuando se valoran despus de su final.

Como en cualquier otro tipo de renta, se pueden establecer relaciones entre diferentes valores de la renta. As:

Vn Vn+hV0 = ------------ = -------------- (1 + i)n(1 + i)n+h6. Rentas continuas

Ser una renta continua todo conjunto de capitales separados entre s por perodos infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentas fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada perodo.

En la prctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del trmino sea superior a 12.

6.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y CONTINUA

Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que viene expresado el tanto, y subdividiendo los perodos en infinitos subperodos.

Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (an i), el desarrollo es el siguiente:

por otra parte:

aplicando la regla de L'Hopital:

el resultado final es:

Cuando la renta es constante de cuanta c:

Iguales resultados se obtendran si la renta se considera prepagable, puesto que al ser infinitesimal el subperodo no hay diferencias entre el inicio y el final del mismo.

El clculo del valor final se obtendra capitalizando el valor actual:

Las rentas perpetuas son aquellas cuya duracin tiende a infinito. El valor actual de estas rentas se obtendr con el concepto matemtico del lmite, cuando la duracin de la renta tiende a infinito.

Cuando la renta es constante de cuanta c:

Conclusin: las rentas continuas, a efectos de clculo, se pueden considerar como una renta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudindose aplicar todas las frmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i).

EJEMPLO 18 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por una empresa sabiendo que stos son de 100 euros diarios durante 5 aos, siendo el tanto de valoracin el 12% efectivo anual. Considrese ao comercial.

Al venir los trminos en una unidad de tiempo (das) inferior a la del tanto de valoracin (ao), se trata en principio de una renta fraccionada.

Pero, como adems, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 aos e inmediata.

Si se hubiese resuelto como renta fraccionada, a travs del tanto equivalente, en cuyo caso habra que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida, el resultado sera el siguiente:

Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido en cuenta la consideracin del lmite que las otras expresiones s que llevan implcitas.

6.2. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIN GEOMTRICA

Se trata de una renta fraccionada en progresin geomtrica con la particularidad de que ahora en lugar de haber un nmero finito de subperodos consideraremos infinitos.

Considerndola temporal e inmediata, la representacin grfica ser la siguiente:

El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedar:

EJEMPLO 19 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos de una persona, sabiendo que stos son de 100 euros diarios durante 5 aos, aumentando de manera acumulativa un 3% cada ao, siendo el tanto de valoracin el 12% efectivo anual. Considrese ao comercial.

Al venir los trminos en una unidad de tiempo (das) inferior a la del tanto de valoracin (ao), se trata, en principio, de una renta fraccionada. Pero, como adems, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 aos e inmediata.

Valor actual:

Valor final:

No obstante, se podra haber resuelto como renta fraccionada, a travs del trmino anual equivalente:

Valor actual:

Valor final:

Como se puede apreciar, al igual que en los ejemplos anteriores, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema.

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: final, perpetuo, diferido y anticipado, sin ms que tener las consideraciones ya comentadas para estos clculos en cualquier tipo de renta.

6.3. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIN ARITMTICA

Se trata de una renta fraccionada en progresin aritmtica, de razn d, con la particularidad de que ahora en lugar de haber un nmero finito de subperodos consideraremos infinitos.

Partiendo de una renta temporal e inmediata, cuya representacin grfica es la que sigue, obtendremos el resto de posibles casos que nos podemos encontrar.

El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedar:

Siendo D la razn de la progresin aritmtica:

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado.

7. Rentas a inters simple

Se trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en un determinado momento pero la duracin de la operacin no supera el ao, por tanto, se trata de operaciones a realizar en rgimen de simple.

A diferencia de lo que ocurra con las rentas valoradas en rgimen de compuesta, en las rentas en simple (que emplean leyes financieras en rgimen de simple), por las particularidades de este tipo de leyes, habr que distinguir a la hora de calcular valores actuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fciles de emplear cuando los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo de inters.

7.1. VALOR ACTUAL

Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a un tipo de descuento (d) la situacin ser:

Aplicando la definicin de valor actual empleando descuentos comerciales simples:

V0 = c x (1 d) + c x (1 2d) + c x (1 3d) + ... + c x (1 nd)

Simplificando:

V0 = c x [(1 + 1 + + 1) (d + 2d + 3d + + nd)]

Dentro del corchete el primer parntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n trminos en progresin aritmtica, por tanto:

Si, en cambio, la renta fuera prepagable, mantenindose las dems caractersticas sin cambios, el clculo ser:

Aplicando la definicin de valor actual empleando descuentos comerciales simples:

V0 = c + c x (1 d) + c x (1 2d) + c x (1 3d) + ... + c x [1 (n 1) d]

Simplificando, igual que en el caso anterior:

Finalmente:

A idnticos resultados hubiramos llegado si en lugar de calcular los valores actuales de los n capitales iguales hubiramos considerado un nico capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio.

En efecto, para el caso de trminos, n trminos pospagables, el vencimiento medio vendra dado por:

1 + 2 + 3 + + n Vm = --------------------------n

Siendo el numerador la suma de n trminos en progresin aritmtica que ser la semisuma de los extremos por el nmero de trminos, queda:

(1 + n) x n--------------- 2 (1 + n) x n n + 1Vm = ------------------ = ------------------ = --------- n 2n 2

Por tanto, habr que descontar desde ese punto un nico capital de cuanta c x n:

resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sera:

[0 + (n 1)] x n----------------------0 + 1 + 2 + 3 + + (n 1) 2 Vm = ------------------------------------- = ----------------------n n

(n 1) x n n 1Vm = ----------------------------- = ------------------- 2n 2

Por tanto, habr que descontar desde ese punto un capital nico de cuanta c x n:

Obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

EJEMPLO 20 Calcular el valor actual de la siguiente renta:

Duracin: 1 ao.

Trminos cuatrimestrales de 100 euros.

Tipo de descuento: 2% simple cuatrimestral.

a) Suponiendo trminos vencidos.b) Suponiendo trminos prepagables.

a) Trminos vencidos:

Desplazando los capitales uno a uno:

V0 = 100 x (1 0,02) + 100 x (1 2 x 0,02) + 100 x (1 3 x 0,02) = 288

Aplicando la frmula:

b) Trminos prepagables:

Desplazando los capitales uno a uno:

V0 = 100 + 100 x (1 0,02) + 100 x (1 2 x 0,02) = 294

Aplicando la frmula:

7.2. VALOR FINAL

Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situacin ser:

Aplicando la definicin de valor final empleando capitalizacin simple:

Vn = c + c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x [1 + (n 1) i]

Simplificando:

Vn = c x [(1 + + 1) + (i + 2i + 3i + + (n 1)) i]

Dentro del corchete el primer parntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n1 trminos en progresin aritmtica (semisuma de los extremos multiplicando por el nmero de trminos), por tanto:

Resultando finalmente:

En el caso de una renta prepagable, mantenindose sin cambios las dems caractersticas:

Aplicando la definicin de valor final empleando capitalizacin simple:

Vn = c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x (1 + ni)

Simplificando:

Vn = c x [(1 + + 1) + (i + 2i + 3i + + ni)]

Siendo el primer parntesis n y el segundo la suma de n trminos en progresin aritmtica i + ni/2 x n, resulta:

Finalmente:

A idnticos resultados hubiramos llegado si en lugar de calcular los valores finales de los n capitales iguales hubiramos considerado un nico capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio.

En efecto, para el caso de n trminos pospagables, el vencimiento medio vendra dado por:

1 + 2 + 3 + + n Vm = --------------------------n

Operando en el numerador:

(1 + n) x n---------------- 2 (1 + n) x n n + 1Vm = -------------------- = ------------------ = ----------------n 2n 2

Por tanto, habr que capitalizar desde ese punto un capital nico de cuanta c x n:

Resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sera:

[0 + (n 1)] x n---------------------- 0 + 1 + 2 + 3 + + (n 1) 2 (n 1) x n Vm = ------------------------------------- = -------------------------- = -------------------- n n s2n

n 1Vm = --------------2

Por tanto, habr que capitalizar desde ese punto un capital nico de cuanta c x n:

obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

Tablas de inters

1. Concepto de prstamo

El prstamo es una operacin financiera de prestacin nica y contraprestacin mltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos sealados en el contrato.

La operacin de amortizacin consiste en distribuir con periodicidad la devolucin del principal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del prstamo. Los pagos peridicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de reembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operacin de amortizacin y el de trminos amortizativos que suele asignarse a estos pagos.

1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIN DE PRSTAMOS

Segn la finalidad a la que se destinen los trminos amortizativos es posible admitir diversas interpretaciones de amortizacin, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortizacin (devolucin) del capital inicial: es lo que se denomina sistema amortizativo o sistema de amortizacin del prstamo.

a) Prstamos amortizables mediante reembolso nico del principal al final de la operacin.

Sin pago peridico de intereses: prstamo simple.

Con pago peridico de intereses: sistema americano.

b) Prstamos reembolsables mediante una serie de pagos peridicos que constituyan renta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortizacin) con vencimientos peridicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los trminos amortizativos.

Segn la cuanta de los trminos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:

Trminos amortizativos constantes.

Trminos amortizativos variables: Cuota de amortizacin constante. Trminos amortizativos variables en progresin geomtrica. Trminos amortizativos variables en progresin aritmtica.

Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada perodo.

Estudiando la evolucin de la deuda pendiente se observa que sta crece en el interior de cada uno de los perodos en los que se divide la operacin, para disminuir al final de los mismos como consecuencia de la entrega del trmino amortizativo.

Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los perodos: uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminucin por el pago del trmino amortizativo.La suma de estos dos movimientos nos da la variacin total de la deuda pendiente al final del perodo. Esta variacin supondr una disminucin de la deuda caso de ser el trmino amortizativo mayor que los intereses generados en el perodo y supondr un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de inters mayor que el trmino amortizativo. En el caso concreto de que la cuanta del trmino amortizativo coincida con la cuota de inters no habr variacin de la deuda.

El grfico de evolucin de la deuda pendiente de un prstamo y los pagos realizados durante tres perodos ser el siguiente:

1.2. NOMENCLATURA PARA PRSTAMOS DE AMORTIZACIN FRACCIONADA

La terminologa utilizada ser la siguiente:

C0: Importe del prstamo, cantidad financiada.n: Nmero de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contrada la deuda.i: Tipo de inters efectivo convenido (coste de la financiacin).ak: Trmino amortizativo al final del perodo k, pago total realizado por el prestatario en cada vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).

ak = Ik + AkIk: Cuota de inters del perodo k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el perodo correspondiente.Ak: Cuota de amortizacin del perodo k, cantidad destinada a devolver deuda en cada vencimiento.Ck: Capital pendiente de amortizacin en el momento k. Tambin se llama capital vivo, saldo de la operacin o reserva matemtica.mk: Capital total amortizado al final del perodo k.

1.3. GENERALIDADES

1. Los intereses de cada perodo se calculan sobre el capital vivo a principio del perodo.

Ik = Ck-1 x i

2. El parmetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortizacin (A), e indirectamente el trmino amortizativo.3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin.

C0 = A1 + A2 + + An4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin que queden por amortizar.

Ck = Ak+1 + Ak+2 + + AnAunque tambin se obtiene por la diferencia entre el importe del prstamo y el total amortizado hasta ese momento.

Ck = C0 (A1 + A1 + + Ak) = C0 mkSin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo ms frecuente consiste en fraccionar la devolucin de la deuda destinando los trminos amortizativos simultneamente a pagar los intereses devengados en el perodo y cancelar parte de la deuda pendiente.

En estos casos resulta til recoger en un cuadro el proceso de amortizacin del capital, reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en los diversos vencimientos de la operacin.

La denominacin ser la de cuadro de amortizacin, y en l vamos a reflejar las cuantas de los trminos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortizacin (Ak) correspondientes a cada uno de los perodos, as como las cuantas del capital vivo (Ck) y del capital amortizado (mk) referidos a cada perodo de la operacin.

El cuadro resultante es:

Perodos Trmino amortizativo inters Cuota de Cuota de amortizacin Total amortizado Capital vivo

0 1 2 n a1 a2

I1 = C0 x i1 I2 = C1 x i2

A1 = a1 I1 A2 = a2 I2

m1 = A1m2 = A1 + A2

C0C1 = C0 A1 C2 = C0 A1 A2

EJEMPLO 1 Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo:

Importe: 30.000 euros.

Devolucin del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuanta.

Tipo de inters anual del 10%.

Grficamente, el esquema de pagos de la operacin es:

Cuadro de amortizacin:

(5) (4) (1) (2) (3)

Aos Trmino amortizativo Cuota de inters Cuota de amortizacin Total amortizado Capital vivo

0 1 2 3 13.000,00 12.000,00 11.000,00 3.000,002.000,001.000,0010.000,0010.000,0010.000,0010.000,0020.000,0030.000,0030.000,0020.000,0010.000,00

Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:(1) Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento en pagos iguales del importe del prstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital a principios de cada perodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo (C0) se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo (3).(5) El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1) y (4).

2. Reembolso nico sin pago peridico de intereses prstamo simple

Se trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Grficamente:

Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del prstamo ms los intereses devengados y acumulados.

La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simple como en compuesta.

EJEMPLO 2 Se solicita el siguiente prstamo simple:

Capital prestado: 100.000 euros.

Duracin: 3 aos.

Inters del 12% anual.

Se pide: Determinar el capital a devolver.