Introduccin

Los sistemas de ecuaciones lineales son: el problema central del lgebra lineal (Strang, 1982). En efecto, los conceptos formales del lgebra lineal, como independencia y dependencia lineal, requieren de la formulacin y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Estos ltimos, adems, tienen aplicacin en distintas reas de conocimiento, como la ingeniera o la computacin; y desde luego, en reas de las ciencias econmicas.El estudio y la enseanza de los sistemas de ecuaciones lineales son esenciales y necesarios en la formacin de estudiantes. Los sistemas de ecuaciones lineales forman parte del currculum universitario.Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran importancia por su aplicacin a problemas en distintas disciplinas como la ingeniera: flujo vehicular y circuitos elctricos; la economa: curva de oferta-demanda; la computacin: los motores de bsqueda, Google o la restauracin de imgenes digitales. Su aplicacin a otras reas de la matemtica: la geometra analtica, el clculo de varias variables, ecuaciones diferenciales, estadstica, etc. Y desde luego, porque originan el desarrollo de la teora en lgebra lineal. Por esto, estudiar los sistemas de ecuaciones lineales tiene sentido, y sobre todo estudiar las ideas y argumentos matemticos propios del proceso resolucin.Es por ello que en este trabajo se investiga el origen de los sistemas de ecuaciones lineales y cuales mtodos nos ayudan a resolver los ejercicios de manera ms simple y ordenada para obtener los resultados deseados.

Objetivos:

1- Definir los mtodos utilizados para solucionar sistema de ecuaciones lineales2- Establecer diferencias y semejanzas entre cada mtodo.3- Establecer cuando un mtodo es mejor que el otro.4- Identificar trucos o atajos para hacer cada mtodo ms fcil.

INICIOS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incgnitas con palabras tales como longitud, anchura, rea, o volumen, sin que tuvieran relacin con problemas de medida. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind (1 650 a.C.) y el de Mosc (1 850 a.C.) multitud de problemas matemticos resueltos. La mayora de ellos son de tipo aritmtico y respondan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningn objeto concreto. En stos, de una forma retrica, obtenan una solucin realizando operaciones con los datos, de forma anloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Los griegos tambin resolvan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando mtodos geomtricos. Thymaridas (400 a.C.) haba encontrado una frmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incgnitas. Diophante resuelve tambin problemas en los que aparecan sistemas de ecuaciones, pero transformndolos en una ecuacin lineal. Diophante slo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolucin de ecuaciones por Diophante es que carece de un mtodo general y utiliza en cada problema mtodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen tambin en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener mtodos generales de resolucin, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemtico, de autor chino desconocido (siglo III a.C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del mtodo de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho mtodo matricial.MTODO DE GAUSSEste mtodo debe su nombre a Carl Friedrich Gauss, trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.

KARL FRIEDRICH GAUSNaci el 30 de abril de 1777 enBraunschweig, nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemticas hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria y el cualle proporcion asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios,hijo de un albail, antes de cumplir los tres aos de edad aprendi a leer y hacerclculos aritmticos mentales con tanta habilidad que descubri un error en los clculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingres a la escuela primaria antes de cumplir los siete aos y cuando tena diez, su maestro solicit a la clase que encontrara la suma de todos losnmeroscomprendidos entre uno y cien pensando que con ello la clase estara ocupada algn tiempo, qued asombrado cuando Gauss, levant en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Revel que encontr la solucin usando ellgebra.A los doce aos, critic los fundamentos de lageometraeuclidiana; a los trece le interesaban las posibilidades de la geometra no euclidiana. A los quince, entenda laconvergenciay prob elbinomio de Newton. Su genio y precocidad llamaron la atencin delduque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tena catorce aos, costear tanto su educacin secundaria como universitaria. Curs estudios en lenguas antiguas, aunque a los 17 aos se interesa definitivamente por lasmatemticas. Intent encontrar la solucin del problema clsico de la construccin de unheptgono regular, o figura de siete lados, con unareglay uncomps. Prob que era imposible y continu aportando mtodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Prob que la construccin, con regla y comps, de unpolgono regularcon un nmero de lados impar slo era posible cuando el nmero de lados era un nmero primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o ms de estos nmeros. Estudi en la Universidad de Gotinga de 1795 a 1798; para sutesis doctoralpresent una prueba de que cada ecuacin algebraica tiene al menos una raz o solucin. El teorema, que ha sido un desafo para losmatemticosdurante siglos, se sigue denominandoteorema fundamental de lgebra. Su tratado sobre lateora de nmeros,Disquisitiones arithmeticae(1801), es un clsico en el campo de las matemticas. Desarroll elteorema de los nmeros primos. En lateora de la probabilidad, desarroll el importante mtodo de losmnimos cuadradosy las leyes fundamentales de la distribucin de la probabilidad. Eldiagramanormal de la probabilidad se sigue llamandocurva de Gauss. Realiz estudiosgeodsicosy aplic las matemticas a lageodesia. Junto con el fsico alemnWilhelm Eduard Weber, investig sobre elmagnetismoy laelectricidad; una unidad deinduccinmagntica recibe su nombre. Tambin investig los sistemas delentesy se interes por laastronoma.

El asteroide Ceres haba sido descubierto en 1801 y Gauss calcul su posicin exacta, de forma que fue fcil su redescubrimiento. Tambin ide un nuevo sistema paracalcularlasrbitas de los cuerpos celestes. Otros resultados asociados a su inters por la geodesia son la invencin del heliotropo, y, en el campo de la matemtica pura, sus ideas sobre el estudio de las caractersticas de las superficies curvas que, explicitadas en su obraDisquisitiones generales circa superficies curvas(1828), sentaron las bases de la moderna geometra diferencial. Tambin mereci su atencin el fenmeno del magnetismo, que culmin con la instalacin del primer telgrafo elctrico (1833). ntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teora matemtica del potencial, que public en 1840.Otras reas de la fsica que Gauss estudi fueron la mecnica, la acstica, la capilaridad y, muy especialmente, la ptica, disciplina sobre la que public el tratadoInvestigaciones diptricas(1841), en las cuales demostr que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las caractersticas adecuadas. Fue tal vez la ltima aportacin fundamental de Karl Friedrich Gauss, un cientfico cuya profundidad de anlisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de prncipe de los matemticosEn el ao 1807 Carl Gauss fue profesor de matemticas y dirigi el observatorio deGotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su fallecimiento.

MTODO DE CRAMERLa regla de Cramer es un teorema que se aplica en lgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales. El nombre de este teorema se debe a Gabriel Cramer, que fue quien public este mtodo en uno de sus tratados. Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condicin que el nmero de ecuaciones equivalga al nmero de incgnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer. Para calcular este tipo de sistemas en necesario seguir determinados pasos. En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual est asociada al sistema de ecuaciones. Esto quiere decir que la primera columna estar formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones. Por otro lado la segunda columna estar formada por los coeficientes de la segunda incgnita. De esta forma llegaremos a la ltima de las columnas que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones.Luego de realizado esto podemos proceder a calcular el determinante de A. Aplicamos luego la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del det(A) por los trminos independientes. Luego se dividirn los resultados de dicho determinante entre el det (A) para hallar as el valor de la incgnita primera. Si continuamos sustituyendo los trminos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las incgnitas restantes. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: Elnmero de ecuacioneses igual alnmero de incgnitas. Eldeterminantede la matriz de los coeficientes esdistinto de cero.

GABRIEL CRAMERNaci en Ginebra el 31 de julio1704y muri el 4 de enero, 1752, fue un matemtico Suizo. Profesor de matemticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. Gabriel Cramer, suizo, trabaj en Anlisis y determinantes. Lleg a ser profesor de matemticas en Ginebra, escribi un trabajo donde relataba la fsica, tambin en geometra y la historia de las matemticas.Cramer es ms conocido por su trabajo en determinantes, pero tambin hizo contribuciones en el estudio de las curvas algebraicasEn 1750 ocup la ctedra de filosofa en dicha universidad. En 1731 present ante la Academia de las Ciencias de Pars, una memoria sobre las mltiples causas de la inclinacin de las rbitas de los planetas.Edit las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la Introduction lanalyse des courbes algbriques (1750), en la que se desarrolla la teora de las curvas alggricas segn los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresin:Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya haba utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incgnitas. Edit las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.Muri el 04 de enero de 1752

Diferencia entre Gauss y CramerEl mtodo de Gauss este permite eliminar las incgnitas mediante la combinacin de las ecuaciones en cambio el mtodo de Cramer da la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en trminos de determinantes en el cual se divide el determinante de las incgnitas entre el determinante del sistema.Semejanza entre Gauss y CramerAmbos mtodos buscan simplificar y ordenar los ejercicios de ecuaciones lineales para obtener el resultado deseado.

Mtodo por cramerTres incgnitasx-3y+2z=-35x+6y-z=134x-y+3z=8Delta SXYZ

1-32

56-1

4-13

1-32

56-1

(18-10+12)-(48+1-45)=16

Delta XT.IYZT.IY

-3-32-3-3

136-1136

8-138-1

(-54+24-26)-(96-3-117)=-32

Delta YXT.IZ

1-32

513-1

483

132

513-1

(39+80+12)-(104-8-45)=80

Delta ZXYT.IXT.I

1-3-31-3

561356

4-184-1

(48-156+15)-(-72-13-120)=112

X= -32/16=-2Y=80/16=5Z=112/16=7

Cuatro Incgnitas2x-y+z-2t=-52x+2y-3z+t=-1-x+y-z=-14x-3y+2z-3t=-8

2-11-2

22-31

-11-10

4-32-3

22-3

-11-1

4-32

2-11

-11-1

4-32

A= -2(-1)4+1 +1(-1)4+2

2-11

22-3

4-32

2-11

22-3

-11-1

+0(-1)4+3 +(-3)(-1)4+4

-6-1-3=-10 Delta S

-5-11-2

-12-31

-11-10

-8-32-3

Delta x= 0

2-51-2

2-1-31

-1-1-10

4-82-3

Delta Y=-10

2-1-5-2

22-11

-11-10

4-3-8-3

Delta z= -20

X= 0/-10=0Y=-10/-10=1Z=-20/-10=2

Cinco incgnitasSe aplica el mtodo por Gauss primero para reducir el ejercicio

E1-84-122016

E22-15-5-4

E326-312-9

E410-515-202

E58-16-820-24

E1E1+E2-6E1+E35E1+E416E1+E5

-21-354

00200

15015-18-33

000522

-240-5610040

0200

1515-18-33

00522

-24-5610040

A= 4(-1)

0200

55-6-11

00522

-6-142510

1/3 E2 E4

5-6-11

0522

-62510

(-4x3x4x-2)= 96

Se aplica ahora el mtodo de Cramer5-6-11

0522

-62510

5-6-11

0522

(330+2750)-(250+792)=2038

A=96x2038=195.648Mtodo de GaussCon tres incgnitas2x-3y-z= -2x-2y+3z= 93x+y-5z= -8R12-3-1-2El objetivo es volver este R21-239diagonal 1 y los dems 0R331-58

R12-3-1-2R21-239 3R1-2R3 R3R331-58

R12-3-1-2R21-239 R1-2R2 R2R301-510

R12-3-1-2R201-7-2011R2+R3 R3 R30-11710

R12-3-1-2R201-7-20R300-70-210R12-3-1-2R201-7-20 R3+R1 R1R30013

R12-301R201-7-207R3+R2 R2R30013

R12-301R201013R2+R1 R1R30013

R12004R20101R30013

xyz1002x=20101y=1comprobamos sustituyendo0013z=3los valores2(2)-3(1)-3=-22=-22-2(1)+3(3)=99=93(2)+1-5(3)=-88=-8Cuatro incgnitasx + y + z + t = 142x + y + 3z + 2t =37x + 5y+ 3z +2t =385x + 3y + 4z +6t =67E1111114E2-2E1E2213437E3-E1E3153238E4-5E1E4534667

E1111114E20-1129E2 x- 1E3042124E40-2-11-3

E1111114E201-1-2-9E3- 4E2E3042124E1+ 2E2E40-2-11-3

E1111114E201-1-2-9E3 / 6 E3042124E40-2-11-3E1111114E201-1-2-9E4+3E3E30013|210E400-3-3-21

E1111114E201-1-2-9E4 / 3/2E30013|210E40003|29

E1111114E201-1-2-9E30013|210E400016

Cinco incgnitas2x+ y + 3z - 3v + w= 43x + y - z - 3v + w= -3x + 2y - 3z - 6v + 2w= -134x + 3y + 2z - 9v + 2w= -7x + y - z - 2v + w= -3Se ordenan las ecuaciones en forma matricial y se procede a la simplificacinR1213-314R231-1-31-3R312-3-62-133R1+ 2 R2 R2R4432-92-7R511-1-21-3

R1213-314R20-1-113-1-18R312-3-62-131R1+ 2R3R4432-92-7R511-1-21-3

R1213-314R20-1-113-1-18R303-9-93-302R1+R4R4432-92-7R511-1-21-3R1213-314R20-1-113-1-18R303-9-93-301R1+ 2R5R401-4-30-15R511-1-21-3

R1213-314R20-1-113-1-18R303-9-93-303R2+ R3R401-4-30-15R501-5-11-10

R1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-84R2+R4R401-4-30-15R501-5-11-10

R1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-8415R3-42R4R400-150-1-33R500-1620-28

R1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-8416R3- 42R5R4000012126R500-1620-28

R1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-84R4000042-168R5000-840126

R1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-84R4000042-168R5000-840126XYZVWR1213-314R20-1-113-1-18R300-4200-84R4000-840-168R5000042126Obteniendo los valores de las cinco variables o incgnitas42w= 12684v=-16842z= -84w= 126|42= 3v= -168|84= 2z=-84|-42= 2y-11z+3v-w= -182x+y+3z-3v+w=4y-11(2)+3(2)-3=182x+(-1)+3(2)-3(2)+3=4y-22+6-3=182x-1+6-6+3=4-y=12x=2y=-1x=2|2=1

Conclusiones

Los sistemas de ecuaciones lineales son una serie de ecuaciones lineales que contienen n nmero de incgnitas a resolver para ello se utilizan las matrices como una forma de ordenar en filas y columnas las variables, los coeficientes y sus constantes. Para poder resolver este sistema se utilizan distintos mtodos pero en este trabajo se van a destacar dos, el mtodo de Gauss y el mtodo de Cramer. El mtodo de Gauss se presenta usualmente en lgebra, para la solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultneas, es aquel en el que se eliminan las incgnitas mediante la combinacin de las ecuaciones. El mtodo de Cramer es un teorema de algebra lineal, que da la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en trminos de determinantes en el cual se divide el determinante de las incgnitas entre el determinante del sistema.Cuando se utiliza el mtodo de Gauss este permite eliminar las incgnitas mediante la combinacin de las ecuaciones, por ejemplo tenemos cinco incgnitas cuando se va simplificando el ejercicio el nmero de incgnitas a determinar tambin van disminuyendo, en cambio el mtodo de Cramer es ms extenso porque si tenemos un ejercicio de cinco incgnitas debemos calcular las cinco determinantes ms una sexta que es la que nos va a permitir calcular cual es el valor de nuestras variables o incgnitas, lo que hace el ejercicio ms extenso. Es por ello que cuando se desea calcular incgnitas con variables mayores a tres es preferible utilizar el mtodo de gauss, este permite simplificar y ordenar el ejercicio, de manera que no hay que calcular un gran nmero de incgnitas porque el ejercicio se reduce hasta su mnima expresin.Con el mtodo de Gauss uno de sus trucos es que se debe buscar obtener una diagonal uno (1) en el primer rengln, porque es el que se le denomina elemento pivote, y sobre este es en donde hay que apoyarse para hacer ceros los nmeros debajo y a su lado por medio de operaciones algebraicas.Otro atajo es ubicar en las filas o columnas donde hay ceros para intercambiarlas y esa es otra manera de ubicar el pivote en el ejercicio pero se deben tener en cuenta las reglas que se deben aplicar cuando hay cambio de columnas o filas.Con el mtodo de Cramer el atajo para simplificar el ejercicio cuando se tiene ms de tres incgnitas es utilizar el mtodo de Gauss al principio del ejercicio para simplificar el nmero de incgnitas y cuando el ejercicio se lleva a su mnima expresin por ejemplo en tres incgnitas utilizar el mtodo de Cramer para obtener el resultado final.

Referencias bibliogrficas

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