2 PRELIMINARES Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de junio de 2010. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 11,737 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendvil Director Acadmico Profr. Julio Alfonso Martnez Romero Director de Administracin y Finanzas C.P. Jess Urbano Limn Tapia Director de Planeacin Mtro. Pedro Hernndez Pea MATEMTICAS 1 Mdulo de Aprendizaje. Copyright, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Segunda edicin 2010. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280 Registro ISBN, en trmite. COMISIN ELABORADORA: EQUIPO TCNICO EQUIPO TCNICO EQUIPO TCNICO EQUIPO TCNICO Coordinacin general: Coordinacin general: Coordinacin general: Coordinacin general: Luz Mara Grijalva Daz Elaboradores disciplinares: Elaboradores disciplinares: Elaboradores disciplinares: Elaboradores disciplinares: Alma Lorenia Valenzuela ChvezMatemticas 1 Nydia Gabriela EstrellaQumica 1 Luz Mara Grijalva DazIntroduccin a las Ciencias Sociales Diego Navarro GilTaller de Lectura y Redaccin 1 Mara del Socorro Salas Menesestica y Valores 1 Mara Enedina Duarte CamachoInformtica 1 Moiss Galaz DuarteLengua Adicional al Espaol 1 Gabriela Rivera RamosOrientacin Educativa 1 Revisin Disciplinaria: Guadalupe Borgo Valdez Jess Rolando Gutirrez Duarte Correccin de Estilo: Flora Ins Cabrera Fregoso Diseo: Joaqun Rivas Samaniego Grupo Editorial: Bernardino Huerta Valdez Cynthia Deyanira Meneses Avalos Francisco Peralta Varela Joaqun Rivas Samaniego Coordinacin Tcnica: Claudia Yolanda Lugo Peuri Coordinacin General: Profr. Julio Alfonso Martnez Romero

3 PRELIMINARES Ubicacin Curricular DATOS DEL ALUMNO DATOS DEL ALUMNO DATOS DEL ALUMNO DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Telfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ COMPONENTE: FORMACIN BSICA CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMTICAS HORAS SEMANALES: 05 CRDITOS: 10 4 PRELIMINARES

5 PRELIMINARES Presentacin .................................................................................................................................................... 7 Mapa conceptual............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1.RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS ...................................... 9 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia didcticadidcticadidcticadidctica 1 11 1. Conociendo los nmeros ........................................................................................ 10 Diferentes formas de representar nmeros............................................................................................. 11 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia didcticadidcticadidcticadidctica 2 22 2. Jerarqua de operaciones ....................................................................................... 23 Smbolos de agrupacin .......................................................................................................................... 24 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia didcticadidcticadidcticadidctica 3 33 3. Expresiones algebraicas ......................................................................................... 27 Lenguaje algebraico ................................................................................................................................ 28 BLOQUE 2: UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES ........................................................... 35 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Los nmeros reales ................................................................................................. 36 Los nmeros Naturales ............................................................................................................................ 38 Los nmeros Enteros ............................................................................................................................... 38 Los nmeros Racionales ......................................................................................................................... 39 Los nmeros Irracionales......................................................................................................................... 40 Propiedades de los nmeros Reales ...................................................................................................... 43 Operaciones de nmeros enteros ........................................................................................................... 48 Operaciones con nmeros racionales .................................................................................................... 56 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2.Razones y proporciones ........................................................................................ 62 Razones ................................................................................................................................................... 64 Proporciones ............................................................................................................................................ 66 BLOQUE 3: REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NMEROS ..................................................... 71 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Sucesiones y series................................................................................................. 72 Sucesiones ............................................................................................................................................... 74 Series ........................................................................................................................................................ 83 BLOQUE 4: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I ................................................... 91 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica1 idctica1 idctica1 idctica1. Polinomios de una variable ...................................................................................... 92 Leyes de los exponentes ......................................................................................................................... 93 Polinomios ................................................................................................................................................ 94 Operaciones con polinomios ................................................................................................................... 95 Productos Notables ............................................................................................................................... 101 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2. Factorizacin de polinomios ................................................................................. 108 Factorizacin .......................................................................................................................................... 109 BLOQUE 5: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ................................................ 117 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica idctica idctica idctica 1 11 1. Continuacin de Factorizacin de polinomios ..................................................... 118 Continuacin de Factorizacin .............................................................................................................. 119 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2. Fracciones algebraicas ......................................................................................... 127 Multiplicacin de fracciones .................................................................................................................. 128 Divisin de fracciones ............................................................................................................................ 131 BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES LINEALES I ..................................................................... 135 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Ecuaciones lineales ............................................................................................... 136 Despeje de ecuaciones lineales ............................................................................................................ 137 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2. Relacin de la ecuacin de primer grado con la funcin lineal ........................... 153 Construccin de grficas a partir de ecuaciones lineales .................................................................... 154 Construccin de la grfica de la funcin lineal ..................................................................................... 159 ndice 6 PRELIMINARES BLOQUE 7: RESUELVE ECUACIONES LINEALES II .................................................................... 169 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas (2x2) ........................... 170 Interpretacin grfica ............................................................................................................................. 172 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2. Mtodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas .......... 180 Mtodos de Reduccin.......................................................................................................................... 182 Mtodo numrico de Determinantes (Regla de Cramer) ...................................................................... 198 BLOQUE 8: RESUELVE ECUACIONES LINEALES III ................................................................... 207 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas (3 x 3) ..................................... 208 Interpretacin grfica ............................................................................................................................. 212 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 2 idctica 2 idctica 2 idctica 2. Mtodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas ........... 216 Mtodos de Reduccin.......................................................................................................................... 217 Mtodo numrico de Determinantes ..................................................................................................... 223 BLOQUE 9: RESUELVE ECUACIONES CUADRTICAS I ............................................................ 237 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didctica 1 idctica 1 idctica 1 idctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incgnita .............................................. 238 Mtodos algebraicos de resolucin de ecuaciones de segundo grado .............................................. 242 SecuenciaSecuenciaSecuenciaSecuencia d dd didcticaidcticaidcticaidctica 2 22 2. Funciones cuadrticas .......................................................................................... 265 Grfica de la funcin cuadrtica ............................................................................................................ 267 Aplicaciones de la funcin cuadrtica ................................................................................................... 286 Glosario ....................................................................................................................................................... 291 Bibliografa ................................................................................................................................................... 294 ndice (continuacin)

7 PRELIMINARES El presente Mdulo de Aprendizaje de la asignatura de: Matemticas 1, est diseado considerando el modelo de competencias y el enfoque centrado en el Aprendizaje, respondiendo as a las nuevas disposiciones establecidas enlaReformaIntegraldelaEducacinMediaSuperiorimplementadaanivelnacional.Laestructuradeeste materialdidcticointegracompetenciasgenricasydisciplinaresbsicasquedesarrollarsconaprendizajes mltiples, que permitirn apropiarte del conocimiento en forma crtica, analtica y propositiva. Conlamediacindelmaestro(a),estemduloteguiaraunanuevaexperiencia,aunreto:construirtupropio conocimiento. Esundocumentoguaqueseverenriquecidoconlasorientacionesyaportacionesdetumaestro(a),para cumplir con su cometido final, y como alumno profundices con autonoma, disciplina cientfica e inters intelectual, en tu propio conocimiento. Tuinstitucin,elColegiodeBachilleresdelEstadodeSonora,hatrabajadofuerteysinlmitealguno,para entregarte un mdulo perfectible y a la vez, de la calidad que lo requiere la Reforma, la Sociedad Mundial y sobre todo t como alumno (a). Presentacin la cual consta de MATEMTICAS 1 MATEMTICAS 1 MATEMTICAS 1 MATEMTICAS 1 LGEBRA LGEBRA LGEBRA LGEBRA RESOLVER PROBLEMAS Introduccin al lgebraPolinomios de una variable Despeje de ecuaciones lineales Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas Conocer los nmeros La jerarqua de las operaciones Expresiones algebraicas Los nmeros reales y sus propiedades Razones y proporciones Series y sucesiones Leyes de los exponentes Operaciones con exponentes Productos notables Factorizacin Simplificacin de fracciones Formas de la ecuacin lineal Relacin de la ecuacin lineal con la funcin lineal Graficas de ecuaciones y funciones lineales Interpretacin grficaMtodos de solucin ReduccinNumrico Suma o resta Sustitucin Igualacin Determinantes (Regla de Cramer) Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas Ecuaciones de segundo grado de una incgnita Graficacin Mtodos algebraicos Despeje Factorizacin Frmula general contiene con el fin de para ello requiereadquirir conocimientos deRequieren dese necesitacontieneSe resuelve mediante los cuales son y se dividen en se divide enes Resuelve problemas aritmticos y algebraicos Unidades de competencia: Construyeeinterpretamodelosaritmticos,algebraicosygrficos,aplicandolas propiedadesdelosnmerosrealesyexpresionesaritmticasyalgebraicas,relacionando magnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciny resolucindesituacionesy/oproblemasaritmticosyalgebraicosconcernientesasuvida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identificalascaractersticaspresentesentablas,grficas,mapas,diagramaotextos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 8 horas 10 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Secuencia didctica 1. Conociendo los nmeros. Inicio Evaluacin Actividad: 1Producto: Cuestionario.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica las estrategias aplicadas por su profesor de matemticas en secundaria. Reconoce las estrategias utilizadas por los profesores de matemticas en secundaria y distingue la aplicacin de las matemticas en su entorno. Se compromete con actitud propositiva a reflexionar el cuestionario que se le plantea. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 1 Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y contesta segn tu proceder y el de tus profesores de Matemticas de secundaria. 1.Se te dificultan las Matemticas? Si es as, describe por qu 2.De qu forma aplicas las Matemticas en tu entorno? 3.Qu tipo de apoyos didcticos utilizaban tus profesores de Matemticas en sus clases y cmo los usaban? 4.Marca con una la frecuencia con que el profesor utilizaba las siguientes estrategias. EstrategiasSiempreCasi siempreCasi nuncaNunca Tareas individuales Tareas en equipo Exposicin por parte del docente Exposicin por parte del alumno Investigacin Proyectos Mapas conceptuales Resumen Solucin de casos Lluvia de ideas Portafolio de evidencias 5.Qu cambiaras de la clase de Matemticas para que fuera ms significativa para ti? 11 BLOQUE 1 Desarrollo Diferentes formas de representar nmeros. La necesidad de contar seorigin entiempos primitivos, el hombre requera contar en aquellostiempossuspertenenciascomo:laspiezasdecaza,losutensilios,los miembrosdelatribu,entreotrasms.Algunasinvestigacionesantropolgicashan encontradomuescasordenadastalladasenparedesrocosasquesonevidenciade numeracin antigua.Existen vestigios de diferentes tipos de numeracin, algunos de los cuales se presentan a continuacin. CIVILIZACINSIMBOLOGA Numeracin Antigua Egipcia Numeracin Romana IVXLCDM 1510501005001000 Numeracin Antigua Griega Numeracin Antigua Griega durante el siglo III A.C. Numeracin Maya 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Evaluacin Actividad: 2 Producto: Complementacin de la tabla. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Conoce la forma de los nmeros de algunas culturas antiguas Ubicalosnombresyformasde algunos nmeros antiguos. Realizalaescrituray laidentificacin de algunos nmeros antiguos. Acepta la dificultad de la expresin de los nmeros de algunas culturas antiguas. Aprecia la necesidad de utilizar un sistema de numerologa ms prctico. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 2 CIVILIZACINNMEROREPRESENTACIN Numeracin Antigua Griega durante el siglo III A.C. Numeracin Maya14 Numeracin Antigua Griega 6860 Numeracin Egipcia 10141 MCMXCIX Completalatabla,determinandolacivilizacin,elnmeroolarepresentacin correspondiente 13 BLOQUE 1 La complejidad con la que se escriban los nmeros hizo necesaria una nueva escritura: los nmeros indoarbigos. Los nmeros son necesarios en todo lo que nos rodea, los utilizamos en el hogar, la industria,laagricultura,elcomercio,etc.,sobretodoenelcomercio,dadoque definitivamente somos una sociedad de consumo en la que se requiere estar al tanto deofertas,rebajas,cambiosmonetariosydecmofluctalaeconomaennuestro pas. El porcentaje juega un papel muy importante en el manejo de cantidades, ste es una delasexpresionesmatemticasmsutilizadas.Enlosmediosdecomunicacin existeunadiversidaddeformasdeexpresarporcentajesyconstantementelos encontraremos en grficas y tablas. DurantelosCensosEconmicos1864plantas potabilizadoras de aguaserecopilinformacinde y 632 plantas tratadoras. De ah se concluye que para cuidar esterecursoserequieredelacapacitacindehombresymujeresenlacaptacin, tratamientoysuministrodeagua.Otroresultadoindicaquedelas96,803personas que laboran en el sector, 84.8% son hombres y 15.2%, mujeres. Lasfuncionesquerealizanlostrabajadoressondemantenimientoalasredesdedistribucindeagua,controlde calidaddelaguapotable,estudiosdeimpactoenmedioambiente,emisinycobroderecibos,ascomodiversos trabajos administrativos y contables. Ejemploscomoste,existenmuchosenlosmediosdecomunicacin.Esmuy necesarioentenderelusodelosporcentajeseinterpretarlosysobretodosaber calcularlos, debido a que en cualquier momento podemos requerir de ellos.Cuandounapersonainvierteel10%desusueldoenpagarelplandesutelefona celular,segasta$10decada$100quegana.Sepuedeexpresareltantoporciento como una fraccin que tiene denominador 100, en este caso sera10010, que significa 10 de cada 100, y como sabemos, cualquier fraccin se puede expresar en forma decimal realizando la operacin de divisin. 1 http://cuentame.inegi.gob.mx/economia/parque/Agua.html Datos curiosos Existe una numeracin especial que usan los comerciantes para que el cliente no conozca el precio real del producto y a su vez est presente en la mercanca, le llaman el cdigo oculto, el cual consiste en elegir una palabra de 10 letras diferentes y asignarle los nmeros dgitos. 14 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla. PorcentajeSe leeFraccinDecimalSignificado 15 %Quince por ciento15/1000.1515 de cada 100 50 %Cincuenta por ciento50/1000.550 de cada 100 6 %Seis por ciento6/1000.066 de cada 100 Paracalcularelporcentajedecantidadessloesnecesariomultiplicarelporcentaje(ensu expresin decimal) por la cantidad, como por ejemplo: El 38% del alumnado de una preparatoria de Ciudad Obregn son mujeres, si su poblacin total es de 1230 cuntas mujeres hay? El resultado a este problema se obtiene convirtiendo primero 38% a su expresin decimal y esto seobtienedividiendo38entre100,paraposteriormentemultiplicarlopor1230obteniendoasla cantidad de mujeres que hay. 4 . 467 ) 38 . 0 ( 1230 38 . 010038= = Por lo que resulta que hay 467 alumnas en esa preparatoria. Sitios Web recomendados: En la siguiente pgina de Internet puedes practicar la obtencin de porcentajes. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_mprevelles/Calculo_porcentajes.htm 15 BLOQUE 1 Evaluacin Actividad: 3Producto: Problemas de aplicacin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica la existencia de los nmeros decimales en la aplicacin de porcentajes. Realiza la obtencin de porcentajes.Se interesa en cmo se relacionan los decimales con su vida diaria. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 3 1.Enelcolegiosellevarnacaboloseventosdeportivosyenunodelosplantelesel25%del alumnadopracticaalgndeporte;sielplanteltiene1620alumnos.Cuntosalumnospueden participar en algn evento deportivo? 2.El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. Cul es el valor total de la blusa? 3. Gustavofueacomprarunlibroquecostaba$420ycuandopasalacajaledijeronquetena descuento y slo pag $352.80. A qu porcentaje corresponde el descuento aplicado? 4.LacajadeahorrosdelaempresadondetrabajaSandraleofreceun5%anualparalos$8000que tiene ahorrados. Qu inters obtendr Sandra por su capital en un ao? Encuentra la solucin de cada uno de los siguientes problemas. 16 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Paratransformarunafraccinadecimalesmuysencillo,sloesnecesario llevar a cabo la divisin, pero para convertir de decimal a fraccin es necesario primeroidentificareltipodedecimalparadespusdecidirquprocedimiento utilizar. Ejemplo: 5 . 0105=29 . 4100429=76 . 02519= 6 1 . 7 ... 1666 . 7643= =81 . 4 ... 8181 . 41153= = A continuacin se nombrar y ejemplificar cada uno de los diferentes decimales ysus trasformaciones a fraccin.

1.Decimales finitos: Son aqullos cuya cifra decimal tiene fin. Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94 Para convertir cada uno de ellos a fraccin se requiere eliminar el punto, dividiendo entre 10 si termina en dcimas, en 100 si termina en centsimas, entre 1000 si termina en milsimas, y as sucesivamente; y posteriormente simplificar la fraccin obtenida, si acaso es simplificable. 1011 . 0 =42110052525 . 5 = =5024710049494 . 4 = = 4014310003575575 . 3 = =500031000060006 . 0 = = Algunas cantidades conocidas expresadas con decimales son: Masa del electrn: uma 10 1 . 928 Cantidad de pesticidas permitidos en agua potable: lt / mg 0005 . 0 Gravedad promedio en la tierra: 2s / m 8 . 9 Densidad del Helio:ml / g 126 . 0 17 BLOQUE 1 Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora. 2.Decimales infinitos. Son aqullos con cifras decimales que no tienen fin, es decir que siguen infinitamente; stos pueden ser infinitos peridicos o semiperidicos. Decimales infinitos peridicos. Son aqullos que tienen una o ms cifras decimales repetidas infinitamente, formando as el periodo. Paraconvertirafraccinestetipodenmeros,serequiereeliminarlaextensindecimalyrealizarun proceso de conversin. A continuacin se muestra este proceso. Ejemplos: Convertir los siguientes nmeros con extensin decimal a fraccin. 1)3 . 0ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 333 . 0 3 . 0 =Se le asigna una letra al nmero... 333 . 0 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 10 ... 333 . 3 n 10 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 3193n = =2)6 . 2ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 666 . 2 6 . 2 =Se le asigna una letra al nmero... 666 . 2 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 10 ... 666 . 26 n 10 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 38924n = = 24 n 9... 666 . 2 n... 666 . 26 n 10== =3 n 9... 333 . 0 n... 333 . 3 n 10== = 18 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS 3)25 . 4ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 2525 . 4 25 . 4 =Se le asigna una letra al nmero... 2525 . 4 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 100 ... 2525 . 425 n 100 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores 421 n 99... 2525 . 4 n... 2525 . 425 n 100== = Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 99421n =4)324 . 0ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 324324 . 0 324 . 0 =Se le asigna una letra al nmero... 324324 . 0 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 1000 ... 324324 . 324 n 1000 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores 324 n 999... 324324 . 0 n... 324324 . 324 n 1000== = Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 3712999324n = = Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora. Decimales infinitos semiperidicos. Son decimales que aparecen con una o ms cifras antes del periodo.Las cifras que no son peridicas se llaman antiperiodo. Estecasoessimilaralprocesoanterior,sloqueserequierebuscarlaformadeobtenerlamismaextensin decimal, para esto se multiplicar el nmero por 10, 100, 1000, etc. dependiendo del antiperiodo y se realizarn combinaciones de sustraccin, como se ver en los siguientes ejemplos. 19 BLOQUE 1 Ejemplos:1)5 1 . 0ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 1555 . 0 5 1 . 0 =Se le asigna una letra al nmero... 1555 . 0 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 100, debido a que hasta ah llega la primera cifra del periodo ... 555 . 15 n 100 =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 10, debido a que hasta ah llega el antiperiodo. ... 555 . 1 n 10 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores 14 n 90... 555 . 1 n 10... 555 . 15 n 100== = Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 4579014n = =2)2 25 . 0ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 25222 . 0 2 25 . 0 =Se le asigna una letra al nmero... 25222 . 0 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 1000, debido a que hasta ah llega la primera cifra del periodo ... 222 . 252 n 1000 =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 100, debido a que hasta ah llega el antiperiodo. ... 222 . 25 n 100 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 900227n = 227 n 900... 222 . 25 n 100... 222 . 252 n 1000== = 20 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS 3)45 15 . 0ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 154545 . 0 45 15 . 0 =Se le asigna una letra al nmero... 154545 . 0 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 10000, debido a que hasta ah llega el primer periodo ... 4545 . 1545 n 10000 =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 100, debido a que hasta ah llega el antiperiodo. ... 4545 . 15 n 100 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 1101799001530n = =4)6 4 . 2ProcesoTransformacin Se expresa el nmero en su forma infinita ... 4666 . 2 6 4 . 2 =Se le asigna una letra al nmero... 4666 . 2 n =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 100, debido a que hasta ah llega el primer periodo ... 666 . 246 n 100 =Con base en el primer nmero se crea otro con la misma extensin, multiplicando ste por 10, debido a que hasta ah llega el antiperiodo. ... 666 . 24 n 10 =Para eliminar la extensin se realiza una resta de los nmeros anteriores 222 n 90... 666 . 24 n 10... 666 . 246 n 100== = Se realiza el despeje y la simplificacin, si es posible 153790222n = = 3. Decimales infinitos no peridicos. Son aqullos cuya extensin decimal no se acaba y no se repiten; en este caso, estos nmeros no se pueden convertir en fraccin. Los decimales infinitos no peridicos se manejarn en el prximo bloque. Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora. 1530 n 9900... 4545 . 15 n 100... 4545 . 1545 n 10000== = 21 BLOQUE 1 Evaluacin Actividad: 4Producto: Ejercicios de conversin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica la necesidad de expresar en diferentes formas los nmeros decimales. Obtiene la conversin de los nmeros decimales en sus diferentes formas de expresin. Realiza la comprobacin (con la calculadora) de las operaciones obtenidas en la actividad. Reconoce el proceso de transformacin de los decimales. Aprecia el uso adecuado de la calculadora en el proceso de aprendizaje. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 4 De fracciones a decimales. 1)=522)=57

3) =314)=10011 5)=225826)=9041 7)=9148)=1047 De decimales a fracciones. 1)= 52 . 0 2)= 45 . 0 3)= 5 . 7 4)= 15 2 . 0 5)= 2 10 . 2 6)= 29 61 . 1 Realiza las siguientes conversiones, de fraccin a decimal y de decimal a fraccin y comprueba cada uno de los resultados en tu calculadora. 22 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Cierre Evaluacin Actividad: 5Producto: Reporte de investigacin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce los decimales y porcentajes. Realiza una bsqueda de informacin que contenga nmeros decimales, que provengan de fuentes de investigacin. Analiza porcentajes de situaciones o casos investigados. Formula juicios de la informacin obtenida de las fuentes de consultadas. AutoevaluacinCMCNCCalificacin otorgada por el docente Actividad: 5 Recomendaciones: las fuentes pueden ser del INEGI, SHCP, SECTUR, etc Dediferentes fuentesoficiales, recoleta informacin relevante entu vida cotidiana, quecontenganmerosdecimalesyporcentajes.Comntalaenclaseyentregaun reporte de tu investigacin. 23 BLOQUE 1 Secuencia didctica 2. Jerarqua de operaciones. Inicio Evaluacin Actividad: 1 Producto: Solucin de problemas con operaciones. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica la jerarqua de las operaciones de los nmeros (reales). Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de nmeros. Reconoce la importancia de la jerarqua de las operaciones y del uso de la calculadora. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 1 1)3 4 = +1 5 2)) 2 7 ( = 9 6 3)3 10 + = ) 6 4 ( 4)) 2 4 (+ = ) 3 11 ( 5) +14 8 = ) 9 2 ( 6)) 2 4 (+ = 2 6 Realizalassiguientesoperacionessinusarcalculadoray,posteriormente,sala para verificar su resultado. Comparte tu trabajo con tus compaeros y comenten las diferencias. 24 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Desarrollo Smbolos de agrupacin. Ciertasexpresionesincluyensmbolosdeagrupacin(),[],{}que,dependiendodesuordenamiento,es necesarioexpresarlascorrectamenteopuedenllevararesultadosdiferentes.Lossignosysmbolosusadosen lenguajematemticotienenunafuncinanlogaalossignosdepuntuacinusadosenellenguajecomn;por ejemplo en la siguiente frase. Mara dijo el psiclogo es incoherente en su comportamiento Mara dijo, el psiclogo es incoherente en su comportamiento Mara, dijo el psiclogo, es incoherente en su comportamiento Con esto se comprueba que las oraciones son diametralmente opuestas en significado.

Pararealizaroperacionesentrevariosnmeros,esnecesariollevarunorden.Siexisten parntesisseefectaprimerolaoperacinqueestcontenidaenstos;sino,serequiere darleprioridadalapotenciacin,seguidadelamultiplicacinyladivisin,yporltimo,ala suma y resta.Si existen parntesis anidados, la operacin se efecta de adentro hacia fuera. Si existen dos operaciones de la misma jerarqua, las operaciones se efectan de izquierda a derecha. Ejemplos: 1)3 5 + 27 2 8 = 2)) 3 5 (+ 62 2 8 = 3)3 5 + 23 ) 2 8 ( = 4)) 3 5 (+ 48 ) 2 8 ( = 5)[ ] = + + 3 4318) 2 ( 3 7 6 [ ] = + + 3 43186 7 6 [ ] = + 3 431813 6 { } = + 3 4 6 78 { } = 3 80 240 Ren Descartes(1619 D C) Crea la geometra analtica, contribuy a crear la Edad de la Razn 25 BLOQUE 1 Evaluacin Actividad: 2 Producto: Ejercicios de solucin. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica la jerarqua de las operaciones de los nmeros (reales). Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de nmeros. Aprecia la jerarqua de las operaciones para un resultado correcto. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 2 1)= + 5 3 6 18 2)( ) [ ] { }= + 5 3 6 18 3)( ) [ ] { }= 12 10 23 2 4)( ) ( ) [ ] { }= 6 5 10 4 4 12 2 3 5)( ) ( ) [ ] = 6 8 10 4 12 2 3 Realiza las siguientes operaciones siguiendo la jerarqua de las mismas. 26 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Cierre Evaluacin Actividad: 3Producto: Ejercicios de operacin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reafirma el uso de la calculadora. Realiza una prctica en la calculadora para determinar el orden de las operaciones. Ejecuta ejercicios que requieran un orden operacional. Aprecia la calculadora como una herramienta de apoyo en su aprendizaje. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Sitios Web recomendados: En las siguientes pginas de Internet puedes practicar ms sobre la jerarqua de las operaciones. http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/ejercicio_jerarquia_de_op_.html http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf Actividad: 3 Introducelosdatosdelaactividadanteriorentucalculadoraparaverificarlos resultados 27 BLOQUE 1 Secuencia didctica 3. Expresiones algebraicas. Inicio Evaluacin Actividad: 1Producto: Cuestionario.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica el concepto de lgebra. Describe sus conocimientos sobre el lgebra Reconoce sus conocimientos previos sobre lgebra. Muestra disposicin para exteriorizar sus conocimientos previos. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 1 1.Qu es lgebra? 2.Cmo la aplicaste en tus clases de matemticas? 3.Escribe, al menos, tres expresiones algebraicas que recuerdes de tus clases de secundaria. 4.Describe cmo las utilizaras en tu vida cotidiana. Respondelassiguientespreguntasapoyndotedetusconocimientospreviosde secundaria. 28 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Desarrollo Lenguaje algebraico En un juego, Carmen, Nilsa, Alma,Sandra, Nora yLetty se comunicanen eseorden lo siguiente: Carmen le dice un nmero a Nilsa; Nilsa le suma 6 y se lo dice a Alma; Alma le resta 2 y se lo dice a Sandra; Sandra lo multiplica por 4 y se lo dice a Nora; Nora le resta 8 y se lo diceaLetty,finalmenteestaltimatienequeadivinarqunmeroledioCarmena Nilsa. ElproblemaparaLettyademsdeadivinaresrecordartodaslasoperacionesquese hicieroneneltranscursodeljuego,asquedecidehacerunafrmulapararecordarel proceso mientras adivina el nmero inicial, y lo hace de la siguiente forma. Letty le pone letra al primer nmero proporcionado por Carmen C Nilsa le suma 6C+6 Alma le resta 2C+6 2 Sandra lo multiplica por 44( C +6 2 ) Nora le resta 8 4( C +6 2 ) 8 De estaforma, paraLetty es ms fciladivinar,porque expresa todas las operaciones mediante una frmulaen que fue sustituyendo nmeros. L=4( C +6 2 ) 8 As es que si Nora le comunica a Letty el nmero 38, para ella es ms fcil adivinar usando la frmula. Eneltranscursodelahistoriadelahumanidad,losindividuoshanidoconstruyendodiferenteslenguascomoel espaol, el ingls o el francs, entre muchos otros, con la principal finalidad de lograr la comunicacin. Ahora bien, en eldesarrollodelasmatemticas,ellenguajealgebraicohasidoherramientafundamental,cuyaaplicacines necesaria para facilitar el procedimiento en la solucin de problemas. Parafacilitarelprocesosedebeconvertirellenguajeverbalallenguajealgebraicoyviceversa, teniendoencuentaquelasoperacionesfundamentalesdeadicin(suma),sustraccin(resta), multiplicacin y divisin se expresan con palabras especiales tales como: Suma: Gana, aumenta, ms, se incrementa, crece, etc. Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc. Multiplicacin: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cudruplo, etc.

Divisin: Dividido por, cociente, razn, mitad, tercera parte, semi, etc. Tambin en un problema algebraico la palabra es, resulta, se obtiene etc., es dada por el smbolo de la igualdad (=). Comoseobserv,altrasladardellenguajeverbalallenguajealgebraico,serequiereelusodelalfabetoylos nmeros, los cuales adquieren nombres especiales, como son: Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar nmeros desconocidos. Sabas que Lapalabralgebratieneorigendela palabrarabeAl-jabru , originada por elmatemticoAl-khwarizmi. Al-khwarizmi. 29 BLOQUE 1 Expresin algebraica. Es una combinacin de nmeros y/o literales por medio de operaciones matemticas. Una expresin algebraica puede estar compuesta de: La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en lgebra. Lenguaje verbalLenguaje algebraico Un nmero aumentado en 44 x +La semisuma de dos nmeros 2n m+ La diferencia de dos nmerosb a El cociente de dos nmeros aumentado en 2 2yx+Un nmero parn 2El producto de dos nmeros xyLa suma de tres nmeros consecutivos ) 2 n ( ) 1 n ( n + + + +El triple de un nmeroa 3La edad del padre hace 5 aos5 x La edad de Mara es el quntuplo de la edad de Danield 5 m =El producto de los cuadrados de dos nmeros 2 2y xEl cubo de la suma de dos nmeros( )3b a +La raz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos nmeros 2 2y x + Coeficiente Trmino algebraico ExponenteVariable 2x 3 30 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Actividad: 2 Lenguaje verbalLenguaje algebraico Un nmero disminuido en 12 2n m+ La tercera parte de un nmero menos el cudruplo del mismo y xy x+ El 45% de una mezcla El producto de los cubos de dos nmeros aumentado en 9 La suma de dos nmeros pares consecutivos Susana es cuatro aos menor que Manuel Seis veces un nmero disminuido en 15 es 18Carolina tiene el triple de la mitad de la edad de Sal 2 2y x 3 2x x + Completa la siguiente tabla, escribiendo el lenguaje verbal o algebraico, segn sea el caso. 31 BLOQUE 1 Evaluacin Actividad: 2 Producto: Complementacin de la tabla. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Traduce de lenguaje verbal a lenguaje algebraico y viceversa. Analiza y practica el traslado del lenguaje verbal al lenguaje algebraico. Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Acontinuacinsemostrarnejemplosmsestructuradosyrelacionadosconalgunassituacionesquehasvistoen algnmomentodetuvidacotidiana;primerosemanejarnpasoapasoparaobtenercomoltimoresultadola expresin algebraica que los modela, y posteriormente notars que el planteamiento de los problemas es ms directo, queafindecuentasesoesloquetendrsquelograr.Enalgunoscasosdebersapoyarteendibujosparapoder visualizar mejor el planteamiento. Ejemplos. 1.La edad de Moiss el triple de la edad de Luca y la suma de sus edades es 68. Qu edad tiene cada uno? Lenguaje verbalLenguaje algebraico La edad de Lucax La edad de Moiss es el triple que la de Luca3x La suma de sus edadesx + 3x La suma de sus edades es 68x + 3x = 68 2.Lourdes y Alfonsotienen un totalde $ 342 en susalcancas. SiAlfonso tiene $105 ms que Lourdes cunto dinero tiene cada uno? Lenguaje verbalLenguaje algebraico El dinero de Lourdesm Alfonso tiene $105 ms que Lourdes m +105 El dinero de Lourdes ms el dinero de Alfonsom + m +105 El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342m + m +105 = 342 3.Cul es el permetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su anchura? Lenguaje verbalLenguaje algebraico Anchura del terrenox La longitud del terreno (triple de la anchura)3x El permetro del terreno2(x) + 2(3x) Ada Loveace(1815 1852)Fue la primera programadora en la historia de las computadoras. Ella escribi las instrucciones para la "mquina analtica" de Charles Babbage. 32 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Como se observa en los tres ejemplos anteriores, la expresin que resolvera cada uno de los problemas est dada en elltimorenglndecadarecuadro,peroadiferenciadelejemplo1y2,elejemplo3notieneunasolucinnica.Comenta con tus compaeros esta situacin. Conunpocodeprcticatedarscuentaquenoesnecesarioirformandolaexpresinalgebraicadeformatan detallada como se hizo en los ejemplos, irs adquiriendo la habilidad para expresarla de forma directa. Como por ejemplo. 1.La tercera parte de un nmero es 7 unidades menor que la mitad de l. Si x representa al nmero, entonces la expresin algebraica es: 72x3x = 2.Una persona realiz dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, peroenlaotraobtuvounaprdidade13%.Silaprdidanetafuede$495,qucantidadtenaencada inversin? Primera inversinSegunda inversin x x 000 , 10 Ganancia de la primera inversinPrdidade la segunda inversin x 1 . 0 ) x 000 , 10 ( 13 . 0 Prdida neta 495 x 1 . 0 ) x 000 , 10 ( 13 . 0 = 3.Unaenfermeramezcl50onzasdeunasolucindesalal8%con40onzasdelamismasolucinal5%dela misma solucin. Cul es el porcentaje de sal en la mezcla? ) 90 (100x) 40 ( 05 . 0 ) 50 ( 08 . 0 = + 50 onzas40 onzas 0.08 (50)0.05 (40) Solucin al 8%Solucin al 5%+= 90 onzas Solucin al x %100x (90) Cantidad de sal 33 BLOQUE 1 Posteriormente, podrs resolver estos problemas, pero por ahora lo ms importante es que adquieras la habilidad de cambiar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico. Cierre Actividad: 3 1.En una mquina de golosinas slo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas que suman $720 cuntas monedas de cada denominacin hay en la mquina? 2.Una computadora cost $12,000. Cul es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho precio? 3.Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinacin pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo Cuntos kilos de cada clase forma la mezcla? 4.Jostieneactualmente 31delaedaddesupadre.Dentrodediezaostendrlamitaddelaedad correspondiente de su padre. Cul es la edad actual de Jos? 5.Labasedeunapinturaalleorectangularesde5pulgadasmenorqueeldobledesualtura,yel permetro es de 62 pulgadas. Qu dimensiones tiene el cuadro? Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones 34 RESUELVE PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS Evaluacin Actividad: 3Producto: Problemas de aplicacin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Traduce de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico Realiza ejercicios de situaciones que se modelarn con expresiones algebraicas Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Gottfried Wilhem Leibnitz(1646 - 1716) Fsico, filsofo y matemtico alemn. Construy una mquina para multiplicar. No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicrselo a tu abuela. Albert Einstein Utiliza magnitudes y nmeros Reales Unidades de competencia: Construyeeinterpretamodelosaritmticos,algebraicosygrficos,aplicandolas propiedadesdelosnmerosrealesyexpresionesaritmticasyalgebraicas,relacionando magnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciny resolucindesituacionesy/oproblemasaritmticosyalgebraicosconcernientesasuvida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identificalascaractersticaspresentesentablasgrficas,mapas,diagramaotextos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 10 horas 36 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Secuencia didctica 1. Los nmeros reales. Inicio Evaluacin Actividad: 1Producto: Registro de acuerdos.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica la diversidad de nmeros. Clasificacin de los nmeros. Expresa con claridad la notacin numrica. Interioriza en sus conocimientos previos para expresarlos. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Muestra disposicin para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicacin. Coevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 1 Realiza la siguiente actividad en equipo. 1.Haz una lista en tu cuaderno de los nombres y tipos de nmeros que conoces. 2.Conrespetoytolerancia,intercambienopinionesacercadelosnmerosqueconocecadaunodelos integrantes del equipo y anota los nmeros que piensen que estn correctos. Nombre del nmeroRepresentacin numrica 37 BLOQUE 2 Actividad: 2 Enequipo,intercambiaopinionescontuscompaerosacercadelautilidady aplicacindelosdiferentesnmeros.Anotaacontinuacinlalistaqueacordaronen el equipo. Nombre del nmeroEjemplo de aplicacin Desarrollo Evaluacin Actividad: 2 Producto: Registro de observaciones. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica los nmeros. Identifica la utilidad de los nmeros. Ubicalaaplicacindelos nmeros en el hogar. Aprecia el uso y aplicacin de los nmeros en su vida cotidiana. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicacin. Coevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente 38 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Los nmeros Naturales. Losnmerossurgierondelanecesidaddecontarpertenencias,objetos,personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. Qu tan grande es esteconjuntodenmeros?,imaginemosqueestamosenlaplayaytomamosuna pizcadearenaylacolocamosennuestramano,podramoscontarelnmerode granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podramos contar, por darunejemplo34granosdearena,iniciandolacuentaen1,2,3,4,.,34.Pero luego imaginemos que quisiramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el procesoseralaborioso,peroalfindecuentanoimposible;algosimilarsetienecon lasestrellas,peroenestecasoseraimposibleelcontarlastodas.Estonosdauna ideadeloqueeselinfinito,debidoaqueelconjuntodenmerosnaturalesnotiene fin. Existeunapolmicaacercadeconsideraralcerocomoelementodelosnmeros naturales;comoseinventaronparacontarobjetos,Qurepresentaraelcero?, precisamenteeso,laausenciadeobjetosdiranlosespecialistasenteorade conjuntos(probabilidadylgica),entoncesalgunosconsideranalcerocomo elemento de los nmeros naturales, y otros ms conservadores como los especialistas en teora de nmeros que no lo reconocen como tal as es que no lo incluyen. Elconjuntodenmerosqueseutilizareseldemayortendencia:elconjuntoenel que se excluye el cero como uno de sus elementos. Los nmeros naturales se representan con la letra N y su notacin de conjunto es: Los nmeros Enteros. Estossonconocidoscomonmerosdeudos,dadoquenacencomounanecesidadderepresentardeudas.Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prcticas, los que estn por encima del nivel del mar seran los nmeros positivos y los que estn por debajo del nivel del mar son los nmeros negativos. Estosnmerostienenlassiguientescaractersticas:soninfinitos,numerablesysirvenparacontarunidades completas, es decir,podemos tomar dos nmeros consecutivos y no existe unnmero intermedio.Al igualque los nmeros naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda. El conjunto se describe de la siguiente forma: { } .... , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...., Z = N{ } .... , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =Sabas que la cruz roja utiliza un smbolo + y no una cruz en su emblema? La explicacin matemtica a esto es que los griegos daban mucha importancia a los nmeros y smbolos, en este caso el smbolo ms (+) significaba "vida", as pues es sinnimo de la accin que representa la cruz roja. 39 BLOQUE 2 Los nmeros Racionales. Investigandolosjeroglficosdediferentescivilizacionescomolosegipcios,babilonios,griegos,entreotros,se encontrque dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos;alanalizar los jeroglficos egipcios se encontr que las utilizaban para la construccin y la agrimensura. Losnmerosracionalesseexpresancomoelcocientededosnmerosenteros,deahqueseledenomineconla letra Q por quotient, que significa cociente. El trmino racional proviene de razn. Alnmeroracionalseleconocecomofraccin,porquepuedeserexpresadocon numeradorydenominadordenmerosenteros,aexcepcindelcerocomo denominador. Por ejemplo: , 0 , 6 ,45,23 etc.Enlasdosprimerasfraccionesseobservadeformaclarala estructura de fraccin. Recordemosquecualquiernmeroenterosepuedeescribircomounafraccincon denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma. As que al generalizar la definicin en su forma de fraccin de los nmeros racionales, tendramos que expresarlo de la siguiente forma: Tambinsesabequecuandotenemosunnmerofraccionariopodemosrealizarladivisinentreelnumeradoryel denominador, como en los siguientes ejemplos.

Como se ve en los ejemplos, los nmeros se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinitos peridicos como en el caso c), d) ye). De aqu que, se enuncia la definicin de nmeros racionales con base en la forma de su desarrollo decimal. Q)` = 0 b , Z b , Z aba 4 0 . 1 .... 0444 . 14547) e571428 . 3 ..... 28 5714285714 . 3725) d6 . 1 .... 66666 . 135) c5 . 021) b0 . 6 616) a= == == === =23

Numerador Denominador 166 = Numerador Denominador Pitgoras de Samos (580 500 A C) Fue un metafsico, moral, religioso y cientfico. El saber geomtrico de los pitagricos estaba en la geometra elemental. 40 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Los nmeros racionales (Q): Son nmeros con desarrollo decimal finito o infinito peridico. Javierfueacomprar2/3dekilodeCarneparaasar,peroKarla,ladependientadel lugar,ledijoquenopodadarleesacantidad,Javierextraadoporquesabaque tenansuficienteproductosemolestalrecibirlarespuestadeKarla,sequed pensando por que la negativa de su solicitud. CulfueelmotivoporelqueKarlanopodadarlelacantidaddecarnequeJavier peda? Los nmeros Irracionales. Losantiguosgriegosnotaronquelarectanoestabacompletaconlosnmeros Racionales,alidentificarciertospuntosenellaaloscualesslosepodanaproximar con fracciones. ElfilsofomatemticoPitgorasdeSamos,quienestudiandoeltringulorectngulo encontrquedichosnmerosnopuedenserexpresadoscomouncociente,se estabaenfrentandoaotrotipodenmerosqueporserdesconocidos desconcertarondemaneraalarmantealosestudiososdadoquemuchas suposicionesydemostracionesgeomtricaseranfalsasoincompletas,incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecan su doctrina. Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar nmero irracional a los nmeros con desarrollodecimalinfinitonoperidico.Algunosdeellossepuedenencontraral resolver un problema. Como por ejemplo. .... 9793 1415265348 . 3.... 5904 7182818284 . 2 e.... 07 4422495703 . 1 3.... 73 4142135623 . 1 2= = ==

Comoseobservaenlosejemplos,eldesarrollodecimalquepresentanestos nmeros es infinito no peridico y con base a la definicin planteada en los nmeros racionales, no podramos expresarlos como un cociente de dos nmeros enteros. Analizandotodoslosconjuntosquesemencionaronanteriormente,seobservaque los Naturales estn incluidos en los nmeros Enteros, y stos a su vez estn incluidos enlosRacionales.PeroellosnotienenningunarelacinconlosIrracionales,pues bien,todosellosformanpartedelosnmerosReales,comosemuestraenel siguiente diagrama. R IQ Z N Sabas que Fue el filsofo y matemtico Euclides de Megara quien demostr que el nmero irracional 2no puede expresarse como un nmero racional. Johan Lambert (1761 D C)Dice que el numero Pi es irracional. 41 BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 3 Producto: Complementacin de la tabla. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica elementos de los subconjuntos de los nmeros reales. Ubicar los nmeros reales. Esboza en una grfica los nmeros reales. Acepta la variedad de los nmeros. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Ejemplos. 1.Juan,esestudiantedeprimeraodearquitectura,yquierecomprobarquelamedidadela alturaquetienedivididaentrelamedidadesuombligoalospies,cumpleconelnmero ureo, el cual es un nmero irracional. 2.Alcontarelnmerodeniosqueasistieronparairaunpaseoescolar,lamaestrautiliza nmeros naturales. Actividad: 3 IdentificalossiguientesnmerosconlaletraNsisonnaturales,Zparalosenteros,conQalosRacionales,conIsisonIrracionales.Completalatabla colocando un nmero del conjunto indicado. Represntalos en la recta numrica. Nmero4- 6 34 1021ConjuntoI ZQ Grfica 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES 3.Una persona que se traslada de un piso a otro en un edificio, donde los pisos que estn por encima de la planta baja seran los positivos y los que se encuentran por debajo de la planta baja, seran los negativos. 4.Don Javier requiere repartir $ 2565.00 entre sus 4 hijos para que compren material para sus estudios. Evaluacin Actividad: 4 Producto: Registro de observaciones. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Concepto de los nmeros Reales. Identifica la utilidad de los nmeros Reales. Ubicalaaplicacindelos nmeros Reales en el hogar. Expresa correctamente la notacin de conjunto de los nmeros Reales. Aprecia el uso y aplicacin de los nmeros en su vida cotidiana. Se compromete con s mismo a buscar la utilidad de los nmeros Reales en su vida cotidiana. Admite la importancia de los nmeros Reales para expresar todo tipo de magnitudes (variables, constantes, discretas o continuas). Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 4 Observadentroyfueradetucasaparaqueenlistesloselementosqueserelacionan conlosnmerosReales,anotalalistaenelsiguienteespaciodeterminandoaqu conjunto pertenece, N, Z, Q, I. 43 BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 5 Producto: Tabla de clasificacin. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica los subconjuntos de nmeros Reales. Identifica la utilidad y aplicacin de los nmeros. Ubicalaaplicacindelos nmeros en el hogar. Relacionalossubconjuntos de los nmeros reales con las aplicaciones. Aprecia el uso y aplicacin de los nmeros en su vida cotidiana. Disposicin para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicacin. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Propiedades de los nmeros Reales. El deporte es una actividad muy importante en nuestras vidas, nos proporciona salud, vitalidad, integracin social y retos. En los deportes existen reglas que permiten organizar a los jugadores, ascomotambin,establecerrolesycondicionesenlasquesellevarnacabo,comola medida de los espacios en los que se desarrollan y el tipo de aditamentos. Actividad: 5 Comenta en el grupo el resultado de tus observaciones y anota en el siguiente espacio los elementos que te resulten ms interesantes, adems marca con al conjunto(s) al cual pertenece cada ejemplo. EJEMPLOSNZQIR 44 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Evaluacin Actividad: 6Producto: Texto.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce la importancia de las reglas Aplicaelreglamentoenel deporte Muestra respeto a las reglas Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Como se observa, las reglas dan la pauta a seguir en muchas actividades; de igual forma, las Matemticas no son la excepcin.Existenreglasenlosnmerosrealesquepermitenrealizaroperaciones,selesconocencomo propiedades de los nmeros reales. A continuacin se enuncian algunas de las propiedades de los nmeros reales, tomando en cuenta queR c y b , a , esto se lee,a, b y c pertenecen a los nmeros reales. Actividad: 6 Escribe en el siguiente espacio las reglas ms importantes de tu deporte favorito. 45 BLOQUE 2 PropiedadOperacinDefinicinSignificadoEjemplo Cerradura Suma Multiplicacin R ) b a ( + R ) ab ( El resultado de sumar o multiplicar dos nmeros reales, tambin es nmero real. R 8 5 3 = + R 24 ) 6 )( 4 ( = Conmutativa Suma Multiplicacin a b b a + = + ba ab =El orden al sumar o multiplicar los nmeros reales, no afecta el resultado. 5 3 3 5 + = + (2)(9) (9)(2) = Asociativa Suma Multiplicacin ) c b ( a c ) b a ( + + = + + ) bc ( a c ) ab ( =No importa el orden al asociar la suma o multiplicacin de tres o ms nmeros reales, el resultado siempre ser el mismo. ) 2 3 ( 6 2 ) 3 6 ( + + = + + | | | | ) 7 )( 4 ( 5 7 ) 4 )( 5 ( = Neutro Suma Multiplicacin a 0 a = + a ) 1 )( a ( = Si a un nmero real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual. Si un nmero real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual. 8 0 8 = + 13 ) 1 )( 13 ( =Inverso Suma Multiplicacin 0 ) a ( a = + 1a1) a ( = |.|

\| Si a un nmero se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo). Si un nmero se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo). 0 ) 9 ( 9 = + 121) 2 ( = |.|

\| Distributiva Suma respecto a la multiplicacin ac ab ) c b ( a + = +El factor se distribuye a cada sumando ) 4 )( 5 ( ) 3 )( 5 ( ) 4 3 ( 5 + = + Todaslaspropiedadesantesmencionadasseutilizanenoperaciones,peroenpocasocasionesseperciben. Tambinseusanotraspropiedadesdelosnmerosrealesquesedenominanpropiedadesdelaigualdaddelos nmeros reales, las cuales son: 46 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES PropiedadDefinicinSignificado Aditiva Si b a = , entonces,c b c a + = + Si dos nmeros son iguales, podemos sumar un mismo nmero a ambos lados de la igualdad y sta se sigue cumpliendo. MultiplicativaSi b a = , entonces,bc ac =Si dos nmeros son iguales, podemos multiplicar un mismo nmero a ambos lados de la igualdad y sta se sigue cumpliendo. Reflexivaa a = Un nmero es igual a s mismo. SimtricaSi b a = , entonces,a b =Si tenemos la igualdad de dos nmeros, podemos cambiar el lado izquierdo con el derecho y no afectara la igualdad. TransitivaSic b y b a = = , entonces,c a =Si tenemos dos igualdades y uno de los trminos es el mismo para las dos igualdades, entonces podemos establecer una igualdad entre los trminos restantes. A continuacin se mostrarn algunos ejemplos en donde puedes visualizar las propiedades de la igualdad. Reflexiva. Esta es una de las propiedades que se podra decir que es obvia, en el sentido de que un elemento es igual a s mismo. Una persona es igual a ella misma y a nadie ms. Simtrica. La simetra se encuentra en la naturaleza,pero unejemplo muy claro es cuandotenemos el resultadodeunaecuacin,ymuchasveceselalumnotienedudadecmoreportarel resultado, sin tomar en cuenta que es la misma. 5 x =sera lo mismo si se dejara comox 5 = Transitiva. Si el peso de 5 botellas es igual al peso de 2 libros, y el peso de estos 2 libros equivale al peso de una caja de regalo, entonces decimos que las 5 botellas pesan lo mismo que la caja de regalo. 47 BLOQUE 2 Otras propiedades muy importantes son: Aditiva. Si se pone en una balanza dos libros que pesan lo mismo, al aadirle una manzana de igual peso en ambos lados, la balanza sigue en equilibrio. Multiplicativa. Siahorasetieneunabalanzaenequilibriocondosobjetos,yrecordandoquela multiplicacineslasimplificacindelasuma,entonces,multiplicarpordosaamboslados significara tener el mismo objeto dos veces por lo que resultara la balanza en equilibrio. Actividad: 7 Realiza el siguiente crucigrama utilizando las propiedades de los nmeros reales. 1 2 3

4

5

6

7

8

9

48 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Evaluacin Actividad: 7Producto: Crucigrama.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identificalaspropiedadesde los nmeros reales. Selecciona los ejemplos correspondientes a las propiedades de los nmeros reales. Realiza con veracidad el crucigrama. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Operaciones con nmeros enteros. Desdelainfancia,losniosrealizanoperacionesfundamentales,paracompraralgndulce,paraintercambiar canicas,parahacerreparticionesequitativasenlosjuegos;peroamedidaqueavanzanenlasoperaciones, parecieran ser complicadas, pero no lo es tanto, slo es conocera fondo las operaciones fundamentales y darles el orden correcto. Un ejemplo muy divertido y que causa mucha polmica es el siguiente problema. Tresamigoscomenenunrestaurante,elmeserolescomunicaqueelimportedesucuentaesde30 pesos, por lo que cada uno aporta 10 pesos. Sin embargo, el mesero regresa y ofrece una disculpa porque al revisar la cuenta el dueo del restaurante descubre que existe un error y que en realidad deberan pagar 25 pesos, por lo que el mesero les regresa 5 pesos; los amigos deciden repartirlos de la siguiente manera: 1pesoparacadaunodeellosy2pesosparaelmeserocomopropina.Unodelosamigosalanalizarla situacindescubrequefaltaunpesoyargumentaqueseguramenteeldueosequedconl;estaesla forma en que hizo su cuenta: Actividad: 7 (continuacin) Horizontales: 1)( )( ) 2 1 2 = es un ejemplo de 3)R ) 5 ( + es un ejemplo de la propiedad 4)Almultiplicarambosladosdeunaigualdadstase conserva. 5)04343= |.|

\| + ejemplifica a la propiedad 6)Alsumarelceroacualquiernmeroreal,stenose modifica. 8)) 3 ( 2 ) x ( 2 ) 3 x ( 2 + = + , ejemplo de la propiedad 9)Eslapropiedadquepermitecambiarelordenenquese asociaalsumaromultiplicartresomsnmerosreales sin que el resultado cambie. Verticales:2)Eslapropiedadaditivaque permitecambiarelordendelos sumandossinquelarespuesta se vea afectada. 7)En6 2 6 6 x 3 + = + seest aplicando la propiedad 49 BLOQUE 2 Cada uno de nosotros dio 10 pesos, pero como nosregresaron 1, entonces aportamos 9 cada uno, lo que representa 27 pesos entotal, ms 2 que le dimos al mesero da como resultado29, demanera que falta 1 peso. Esta situacin es confusa porque estn planteando el problema de dos formas diferentes. Cul es la justificacin para encontrar el peso perdido? Evaluacin Actividad: 8 Producto: Descripcin.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Interpreta el lenguaje verbal.Contrasta diferentes planteamientos de problemas con nmeros enteros. Descubre y explica la importancia del planteamiento de los nmeros enteros. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Estoayudaapriorizarlasoperacionesfundamentales,porloqueserequiererepasarlasysalvarlasdificultades que puedas tener en el transcurso de tu vida acadmica. Lasoperacionesdesumayrestadenmerosenteroseslamsusadaennuestrasvidas,comolossiguientes ejemplos. Juan se encuentra a su prima Sofa y entre la pltica, le pregunta. - Oye Juan, y mi to cmo se encuentra de salud? - Bien, afortunadamente sali de la gripa tan fuerte que lo tena en cama. -Mi to Pedro es mayor que mi mam verdad?, cuntos aos tiene? -Djame ver, mmm mi pap naci en Octubre de 1945. Actividad: 8 Escribe cul es la justificacin para encontrar el peso perdido. 50 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Este es un caso claro en el que se realiza la resta sin tener que formalizar la operacin, y ejemplos como ste se tienen todos los das sin darse cuenta. A continuacin se plantea una serie de problemas en los que tendrs que utilizar las operaciones fundamentales de suma y resta para conocer su respuesta. Evaluacin Actividad: 9 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritmticas. Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritmticas en la resolucin de problemas tipo. Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones aritmticas en ejemplos de la vida cotidiana. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 9 Leeconcuidadocadaunadelassituacionesqueseteplanteanyrealizalas operaciones correspondientes para conocer la respuesta correcta. 1.Santiagoestabahaciendounrecuentodesusgastos,recordquetenaenunprincipio$5689, posteriormente le pagaron $1453que le deban, tuvo que pagar $2561 en deudas, compr un regalo a su novia, el cual le cost $562 y pag $2500 en asistencia debido a que estudia en Tijuana. Cunto le qued para sus gastos personales? 2.Sandrasecasteniendo24aosen1994.Enquaocumplir85aos?Quedadtieneahora mismo? 3.Uno de los operadores de transporte de la lnea La Costa, realiza su recorrido a Baha Kino 4 veces en viaje redondo, transportando en promedio 35 personas, de las cuales 12 son de medio boleto y el resto deboletoentero,cadaboletocuesta$100.Cuntotendrqueentregarelconductoralcabodesu jornada? 4.Enunedificio,lospisosseenumerancomosigue:plantabaja,1er.piso,2do.piso,etc.Luisest buscando a un amigo, pero no sabe exactamente en qu piso est trabajando, as que decide buscarlo segn su intuicin, sigui esta secuencia: primero decide irde la planta bajaaltercer piso, luego baja dos, sube 5 y finalmente baja 4 y ah lo encontr, en qu piso se encuentra trabajando su amigo? 5.Un da de invierno la temperatura en la madrugada era de 7 C. Durante la maana subi 13 C, en la tarde descendi 6 C y en la noche baj 4 C. Qu temperatura haba en la noche? 51 BLOQUE 2 Si se te dificultaron algunos problemas de la actividad anterior, puede ser debido a que no leste con detenimiento, obienportenerdificultadesenlasoperacionesfundamentales;parasuperarlasserepasarnalgunas operaciones de suma y resta, sobre todo para observar el signo del resultado de cada una de ellas. Suma: La suma de dos nmeros positivos es positivo y la suma de dos nmeros negativos resulta negativo. Ejemplos: 1)12 5 7 = + 2)12 ) 5 ( 7 = + recordando lo visto en la secundaria, lo podemos visualizar como12 5 7 = Resta: Esta se lleva a cabo entre dos nmeros de signos diferentes. Ejemplos: 1)2 5 7 = 2) 2 5 7 = + 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1313 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 212 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 24 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Actividad: 10 Efecta las operaciones indicadas. 1)= + + + + 10 63 3 45 85 2)= 54 18 7 4 3)= + 26 39 12 6 43 4)= + + 12 14 3 15 25 5) La duea de una pequea empresa de comida registra las entradas y salidas de efectivo durante la ltima semana del mes. DaLunesMartesMircolesJuevesViernesSbadoDomingo Entrada$ 1256$ 156 $ 2210$ 0$ 2158$ 1116$ 1325 Salida$ 324$ 316$ 536$ 123$ 538$ 560$ 478 Cunto qued en efectivo en caja para inicio de la siguiente semana? 6) Un submarino est sumergido a 257 m bajo el nivel del mar, dispar un cohete en forma vertical y subi 650 m. A qu altura sobre el nivel del mar lleg el cohete? 7) A Sandra su pap le proporcion una tarjeta de crdito con un saldo a favor de $2500, con la condicin dequenogastaramsdeloquehabadepositado,encasocontrario,ellatendrquepagar.Sandra cuenta con $1436 en efectivo, tambin para utilizarlo en sus compras. ArtculoPrecio Blusa Aeropostal$ 450 Pantaln Levis$ 560 Mochila para computadora$ 750 Tenis Vans$ 650 tiles escolares$356 Tendr Sandra que pagar de su dinero a la tarjeta?, si es as, cunto dinero le quedar? 8) Si te ofrecieran aumentar el sueldo en forma sucesiva$500cadaquincena o $1,500 cada mes qu escogeras? Justifica tu respuesta. 9) Problema curioso: Cmo podemos medir 9 minutos con dos relojes de arena de 4 y 7 minutos? 53 BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 10 Producto: Solucin de problemas. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconocelaspropiedades fundamentalesdelas operaciones aritmticas. Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritmticas en la resolucin de problemas tipo. Aprecialaimportanciadelrolque jueganlasoperacionesaritmticasen ejemplos de la vida cotidiana. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Tambin existen situaciones en las que no importa el signo del nmero sino la cantidad que representa, como por ejemplo: Jaime se encuentra en una disyuntiva, su jefe le habl por telfono y le dijo que colocara el reglamento de la empresa a 2m de una fotografa que est colocada en la pared de su oficina, el problema que tiene es que no proporcion informacin de colocarlo a la derecha o izquierda. Enestecaso,sloseleproporcionladistancia,sinningnsentido.Siserepresentaesteproblemaenlarectase tendr una situacin especial, llamada valor absoluto. El valor absoluto de un nmero es su distancia al nmero cero en la recta numrica. Se simboliza mediante las barras con el nmero en su interior. Ejemplos: 1)5 5 = 2)7 7 = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 2 1 0 1 2 3 54 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES 3)0 0 = 4)9 9 = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Actividad: 11 Enloscasinosvendentarjetasparajugarenlasmquinasdeazar.Unapersona tieneunsaldode10dlaresensutarjetaydecidejugardeundlaralavez,si slotienetiempodejugar5vecesyencadaocasinganaopierdeeldlar apostado. 1.Escribe 6 posibles maneras de que se desarrolle el juego.2.Realiza el recorrido de los 6 juegos en la recta numrica. 55 BLOQUE 2 Evaluacin Actividad: 11 Producto: Representacin grfica. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Ubica en la recta numrica: nmeros Reales y sus simtricos, considerando el concepto de valor absoluto. Establece hiptesis para el desarrollo del juego. Se interesa en el proceso de soluciones posibles. Acepta la presencia de las Matemticas en el juego azaroso. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Evaluacin Actividad: 12Producto: Ejercicios.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identificaelconceptodevalor absoluto. Practica ejercicios de valor absoluto. Muestraintersenlarealizacinde ejercicios. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 12 Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. 1)= 2 2)= 19 3)= 19 10 4)= 3 14 5)= 18 8 6)= + 23 4 7)= 4 20 8)= 34 19 9)= 56 21 10)= 13 32 56 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Operaciones con nmeros racionales. Te dars cuenta que en este segundo bloque has estado repasando temas que viste en la secundaria, sobre todo en operaciones bsicas. Ahora se retomarn las operaciones con racionales, tambin conocidos como fracciones. En los prximos bloques requerirs generalizar estas operaciones, es decir, no slo con nmeros sino con literales. Un problema muy conocido que puedes encontrar en el libro El hombre que calculaba es, los 35 camellos. Haca pocas horas que viajbamos sin interrupcin, cuando nos ocurri una aventura digna de ser referida, en la cual mi compaero Berems puso en prctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.Encontramos,cercadeunaantiguaposadamedioabandonada,treshombresquediscutan acaloradamente al lado de un lote de camellos.Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:- No puede ser!- Esto es un robo!- No acepto!El inteligente Berems trat de informarse de que se trataba.-Somoshermanosdijoelmsviejo-yrecibimos,comoherencia,esos35camellos.Segnlaexpresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el ms joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada divisinqueunoproponeprotestanlosotrosdos,pueslamitadde35es17ymedio.Cmohallarla tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones? Evaluacin Actividad: 13Producto: Diseo de problema.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce las operaciones con nmeros racionales en problemas comunes. Disea ejemplos con operaciones de nmeros racionales. Muestracreatividadeneldiseodel problema. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Actividad: 13 Elabora un problema parecido al de los 35 camellos el cual se resuelva con fracciones diferentes. 57 BLOQUE 2 Adicin o suma de racionales. Recordandolaestructuraquetienenloracionales, badondeb y a sonnmerosenterosybnopuedesercero.A continuacin se ejemplificarn cada uno de los casos desuma de fracciones. Igual denominador. bc abcba += + Ejemplos: 1) 71379 47974=+= + 2) 58511 351153=+ = + 3) 3732 53235 = = Diferente denominador. bdbc addcba += + Ejemplos: 1)1522) 3 )( 5 () 5 )( 2 ( ) 3 )( 4 (3254=+= + 2)6391) 9 )( 7 () 7 )( 5 ( ) 9 )( 14 (95714 =+ = + Como te dars cuenta, en los dos casos anteriores, los denominadores no son trminos que tengan algn divisor en comn (a excepcin del 1), y aplicar la tcnica de multiplicar cruzado los nmeros para encontrar la respuesta es muy sencillo.EnelcasodequesusdenominadorestenganfactoresencomnseobtieneelMnimoComnMltiplo (MCM) de ellos. Sitios Web recomendados: EstesitioesendondeencontrarsellibroElhombreque calculaba http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo03.html Eudoxo de Cnido (406 a 315 A C )Establece la teora de la semejanza 58 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Ejemplos: 1)151415) 2 )( 1 ( ) 4 )( 3 (15254=+= + 2)241124) 5 )( 3 ( ) 1 )( 4 (8561 =+ = + En cuanto a la multiplicacin y divisin de fracciones el procedimiento a seguir es el siguiente: Multiplicacin. Semultiplicanumeradorconnumeradorydenominadorcondenominador,para obtener el numerador y el denominador respectivamente. Se puede multiplicar directo ysimplificarlaoperacindespus,siesposible,obien,sitienenfactoresquese puedan simplificar con anterioridad antes de llevar a cabo la operacin, en este caso, primero se eliminan y despus se multiplica. Ejemplos: 1) 4027) 8 )( 5 () 9 )( 3 (8953 == 2) 1094036) 8 )( 5 () 9 )( 4 (8954= = = |.|

\||.|

\|o bien Divisin. En el caso de la divisin de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones. Al igual que la multiplicacin una vez hecho el cruce, se puede simplificar primero antes de llevar a cabo la multiplicacin. Ejemplos: 1) 356) 7 )( 5 () 3 )( 2 (3752= = obien, si est expresada como cociente de fracciones 2) 152456) 5 )( 9 () 3 )( 2 (3592= = = o bien 3) 109) 2 )( 4 )( 5 () 9 )( 4 (8954= = |.|

\||.|

\|3131) 3 )( 3 )( 2 () 2 )( 3 (2923 ===152) 5 )( 3 )( 3 () 3 )( 2 (3592= = 3131) 3 )( 3 )( 2 () 2 )( 3 (2923 ===Recuerda la ley de los signos para la multiplicacin y divisin. ( )( ) + = + + + =++ ( )( ) + = + = ( )( ) = + =+ ( )( ) = + =+ 59 BLOQUE 2 Actividad: 14 Resuelve las siguientes operaciones simplificando la respuesta en caso de ser posible. 1)= +117113 2) = + 8957 3)= + + 3328153 4)= +4385203 5)= + + 22537541502 6)= |.|

\||.|

\|2583 7) = 229113 8)= |.|

\||.|

\|101145 9)( ) = |.|

\| |.|

\| |.|

\| 51516443 10)=310245 11)=++321321321321 60 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Evaluacin Actividad: 14Producto: Ejercicios.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones. Practica ejercicios de operaciones con fracciones. Muestraintersenlarealizacinde ejercicios. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Cierre Actividad: 15 Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resulvelos. 1.Soniatena8tazasdeharinaparahornearpastel,sitienequeechar 213 tazasenunrecipientey 312 en otro. Cuntas tazas de harina le quedan? 2.Alejandra est siguiendo unadietaparaadelgazar. El primermesbaj 312 kilos, el segundo perdi 511 kilos, el tercero recuper 85 kilos y el cuarto mes perdi212 . Si su peso inicial fue de 78 kilos, cunto pes al finalizar el cuarto mes? 3.Sepresentaronaspirantesa3carrerasenlauniversidadpararealizarelexamendeadmisin, 4625 deellosquiereningresaraIngenieraIndustrialenSistemas(IIS), 2310 deellosdeseaningresara IngenieraIndustrialAdministrador(IIA)ylos60restantesquerepresentan 461 quiereningresara geologa. a)Cuntos alumnos en total se presentaron al examen? b)Cuntos alumnos aspiran a las carreras de IIS e IIA? 61 BLOQUE 2 Actividad: 15 (continuacin) 4.Elprofesordedeporterequieresustituirlosbalonesdefutbolporestarenmalestado,si hay 10 balones nuevos ms que los viejos, y estos 10 son 41 del total, Cuntos balones viejos haba? 5.Diegoprometiestudiar8horasenlasemanadeexmenes,sihastaahorahaestudiado323 . Cuntas horas ms tiene que estudiar? 6.Luz Mara confeccionar un vestido y compr 412 m de tela, el primer da ocup 211m, el segundo da ocup 83 m, si todava le falta 811m para terminar, Cunto ms tiene que comprar para terminar el vestido? Evaluacin Actividad: 15 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones. Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones en la resolucin de problemas tipo. Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones con fracciones en ejemplos de la vida cotidiana. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente 62 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Secuencia didctica 2. Razones y proporciones. Inicio Actividad: 1 Observa el video El nmero de oro, (Phi), la divina proporcin y trae a la clase la siguiente lista de elementos. 1.Una cinta mtrica. 2.Una flor (margarita, rosa, girasol, etc.) que cumpla con los nmeros de Fibonacci. O bien, cualquier otro objeto de la naturaleza que lo cumpla. 3.En equipo de 5 personas, reportar los datos siguientes. ObjetoNmero de Fibonacci 4.Realizar las siguientes medidas de tu cuerpo y reportarlo en la siguiente tabla. Lugares de medicinMedida en centmetros Estatura Longitud de los brazos extendidos Anchura mayor de los hombros Del codo a la punta de la mano Del codo al ngulo de la axila Longitud del pie Del Pie hasta debajo de la rodilla Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz Desde el nacimiento del pelo a las cejas Desde el pie hasta el ombligo La altura entre la distancia desde el pie hasta el ombligo 63 BLOQUE 2 Actividad: 1 (continuacin) 5.Verifica las medidas que establece el arquitecto Marcus Vitruvio Pollio. ProporcionesResultado Longitud de los brazos extendidoses igual estatura Anchura mayor de los hombros es 41 de la estatura Del codo a la punta de la mano es 51 de la estatura Del codo al ngulo de la axila es 81 de la estatura Del pie hasta debajo de la rodilla 41 de la estatura Desdelaparteinferiordelabarbillaalanarizesigualdesdeel nacimiento del pelo a las cejas Evaluacin Actividad: 1 Producto: Registro de observaciones y mediciones. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Identifica formas distintas de comparacin y relacin entre nmeros reales, tales como: razones, proporciones y variaciones. Selecciona elementos que cumplen con la serie de Fibonacci. Realiza mediciones para la asignacin de proporciones. Se compromete a proporcionar los materiales para la actividad. Reconoce la existencia de las matemticas en la naturaleza.Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Sitios Web recomendados: El video lo puedes encontrar en http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc 64 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Desarrollo Razones. En la naturaleza hay mltiples coincidencias matemticas incluso en el cuerpo humano. Te habrsdado cuenta, que en el ltimoejercicio de la parte cuatrode laactividadanterior, que es muy cercano al nmero ureo del cual se habl en el video. ... 618034 . 125 1=+= Otro ejemplo de este nmero tan especial se encuentra en las espirales de la pia del pino. Tambin en el caracol y en otros animales. Se ha estado comentando sobre la razn y proporcin, ahora se formalizar esta informacin. Razn. Es una comparacin de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como cociente de las cantidades. Ejemplo.Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. Cunto ms rpido lee Diego? Para poder encontrar la relacin, se divide: 57250350= Esto es, por cada 5 palabras que lee un lector promedio, Diego lee 7. 65 BLOQUE 2 Las comparaciones pueden ser denotadas de diferentes formas. 1)5 : 72)5 7 3) 57 4) 7 a 5 Las comparaciones por medio de una razn estn limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relacin entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben escribirse en trminos de la misma unidad. Entonces, la forma quedebenserrelacionadasesm 35 . 0 : m 9 ,porconvencionalismoyademscomoestnexpresadasenlamisma unidad, se eliminan las unidades y se expresa35 . 0 : 9 . Como la razn tambin es una fraccin, se pueden utilizar todas las operaciones y propiedades de stas. Actividad: 2 Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resulvelos. 1.EntreSocorroyNidiajuntaron$3500parahacerleunpresenteasuamigaquesecasar prximamente. Si Nidia aport $1500. Cul es la razn entre lo aportado por Socorro y lo aportado por Nidia para el regalo? 2.En una carrera derelevos,Abel corre un tramo de 120 m y Hctor corre un segundo tramo de 140 m. Cul es la razn entre la distancia recorrida por Abel y la recorrida por Hctor? 3.Parapintarunacasasemezclpinturablancaconpinturaverde.Siseutilizaron3galonesde pintura blanca y 2 galones de pintura verde. Cul es la razn entre la cantidad de pinturas usadas? 4.En un examen hay 25 preguntas de correspondencia y 10 preguntas de desarrollo. Cul es la razn entre la cantidad de preguntas de desarrollo y las de correspondencia? 66 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Evaluacin Actividad: 2 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinal Interpreta la razn en problemas de la vida cotidiana. Analiza ejemplos de la vida cotidiana para establecer relaciones entre varios elementos. Aprecia la utilidad de los modelos matemticos para describir situaciones que se resuelven con proporciones. Autoevaluacin CMCNC Calificacin otorgada por el docente Proporciones. Proporcin. Es la igualdad de dos razones. Proporcin directa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera correspondedoble,triple...delasegunda,entoncessedicequeesasmagnitudesson directamente proporcionales. Cuando se tiene una relacin dos elementos entre cuyas cantidades prevalece una razn, utilizando proporciones se pueden calcular cantidades que no estn contempladas. Ejemplo 1. EnunlaboratoriodeFisiologa,almedirduranteciertotiempoloslitrosdesangreque bombeaelcorazndeunapersonacuyopesoesde70kg,seobtuvieronlossiguientes datos: Litros de sangre que bombea al corazn20355060 Tiempo en minutos471012 Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre que bombea el corazn. Y viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el bombeo de sangre.Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones. 5420=,5735= ,51050= ,51260= Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, as se construyen las proporciones. 735420= , 12601050=y otras posibles combinaciones. Dos o ms cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual. Leonardo Pisano Fibonacci (1170 1250) Introduce los nmeros de Fibonacci y la serie de Fibonacci. Aproxim las races cbicas obteniendo una respuesta que en la notacin decimal es correcta en 9 dgitos. 67 BLOQUE 2 Para comprobar una proporcin es necesario reordenarla utilizando la regla de 3 simple directa que dice, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. sta se obtiene a partir de las propiedades de los nmeros reales (multiplicativa e inversomultiplicativo), que posteriormente seabordar con detenimiento en eltemadedespejes de ecuaciones. cb ad = Cuando se desea obtener informacin a partir de una proporcin se requiere de la conocida regla de 3 simple. Ejemplo 2.Un saco de papas pesa 40 kg, entonces dos sacos de papas pesan 80 kg. De un cargamento de papas con 1040 kg Cuntos sacos se podrn hacer?

Nmero de sacos12...x... Peso en kg4080...1040...

En este caso se establecen las proporciones 1040x802401= = Cualquier relacin que se tome cumple con la misma razn, as que se elige en este caso: 1040x401= En este momento aplicamos la regla de 3 simple 2640) 1040 )( 1 (x = = La proporcionalidad directa se observa de la siguiente forma. 2(40) 2(1) 26(40) 26(1) Nmero de sacos12...26... Peso en kg4080...1040... dcba=d bc a 68 UTILIZA MAGNITUDES Y NMEROS REALES Proporcin inversa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. En este caso si se tiene: La regla a utilizar es la regla de 3 simple inversa. cd ab = Ejemplo 1. Si 3 hombres necesitan 24 das para enyesar una casa, cuntos das emplearn 18 hombres pararealizar el mismo trabajo?

Hombres369...18 Das24128...x Se utiliza la regla de 3 simple inversa para comprobar los datos obtenidos en la tabla y de la misma forma obtener el dato faltante. Utilizando el mismo procedimiento para resolver el problema, se tiene: ( )( ) ( )( )( )( )x 4x1824 3x 18 24 3=== La proporcionalidad inversa se visualiza mejor de la siguiente forma. 21(24) 2(3) 3(3) Hombres369...18 Das24128...4 31(24) 6(3) 61(24) Un Matemtico que no es tambin algo de poeta, nunca ser un matemtico completo. Karl Weierstrass d bc a12 246 372 72) 12 )( 6 ( ) 24 )(