Matematicas

UNIDAD EDUCATIVA SEMIIPRESENCIAL A DISTANCIA JUAN RAMN JIMENEZ HERRERA DE SUCUMBIOS

PLAN DE CONTINGENCIA PARA LOS TERCERO DE BACHILLERATOS Responsables: COMISIN PEDAGGICA Ao lectivo: 2014 -2015

PROPOSITO.- Orientar, capacitar y prever a los estudiantes del tercero de bachillerato para las evaluaciones de grado previstas por el INEVAL, para la adquisicin del titulo de bachiller 1. BASE LEGAL La Ley Orgnica de Educacin Intercultural (LOEI) establece que los alumnos, docentes y directivos, adems de la gestin y la infraestructura escolar, sean evaluados a partir de los estndares de calidad de la educacin emitidos por el Ministerio de Educacin (MinEduc), y el INEVAL la toma como base para la construccin de las pruebas. Adems, el instituto ha desarrollado otras pruebas que indagan sobre algunos procesos cognitivos ms complejos que permiten identificar si el evaluado ha adquirido la habilidad para resolver problemas a travs de razonamientos tales como el verbal, matemtico y abstracto. Por otro lado los resultados de estas pruebas son complementados con informacin de encuestas de factores asociados que permiten contextualizarlos y as tener un mejor panorama de la calidad de la educacin. y/o Respaldados en el Art. 199 de la (LOEI) determina que: Los exmenes de grado, son pruebas acumulativas del nivel de Bachillerato que rinde un estudiante que aprob el tercer ao de este nivel como requisito previo para la obtencin del ttulo de bachiller.

El Acuerdo Ministerial 382 en su Art. 1 dispone la aplicacin obligatoria a nivel nacional de exmenes estandarizados a todos los estudiantes de tercer ao de bachillerato en modalidad presencial, semipresencial y a distancia que han aprobado las asignaturas del respectivo currculo y en su Art. 3 Requiere al Instituto Nacional de Evaluacin Educativa (INEVAL) su colaboracin para la elaboracin de los instrumentos de evaluacin para los exmenes de grado estandarizados, as como para su respectiva recepcin, calificacin y la publicacin de sus resultados a nivel nacional para todas las instituciones educativas del pas.

2. LINEAMIENTOS GENERALES

Los exmenes de grado comprenden dos fases: La primera fase consta de una prueba de factores asociados (DATOS GENERALES DE CADA ESTUDIANTE) con una duracin de 1 hora con 30 minutos.

La segunda fase consta de cuatro pruebas en dos sesiones. La primera sesin evaluar los campos de Matemtica y Lengua y Literatura, con una duracin de 1 hora con 30 minutos para cada prueba y un receso de 30 minutos entre ellas. La segunda sesin se realizar al da siguiente y evaluar los campos de Estudios sociales y Ciencias naturales, con la misma duracin de las pruebas anteriores.

Las evaluaciones se aprobaran de forma individual con un mnimo de (7/10); la misma que equivale a (700/100) y/o en caso de no aprobar en una de las asignaturas de las pruebas estandarizadas, el estudiante deber presentarse a la segunda convocatoria que se efectuar a los tres meses de la primera. Durante ese lapso las instituciones educativas que ofertan educacin para personas con escolaridad inconclusa deben proporcionarle el apoyo pedaggico requerido; si al rendir las pruebas estandarizadas convocadas por segunda ocasin no las aprueba, el estudiante deber matricularse en el Tercer Ao de Bachillerato en otra institucin Educativa. Se trabajar en cada rea o asignatura de las evaluaciones estandarizadas de acuerdo al distributivo de la carga horaria de la extensin considerando el PERFIL PROFESIONAL DEL DOCENTE, y/o previa organizacin interna de la extensin; Si en el establecimiento educativo no constan con docentes acorde a los requerimientos de las evaluaciones estandarizadas del (INEVAL) los estudiantes debern asistir a las extensiones que cumplan con los requisitos de los docentes.

Las asignaturas con los contenidos emitidos en el Plan de Contingencia, trabajadas durante el segundo quimestre en el tercero de bachillerato tendr la valencia de las notas en las asignaturas correspondientes al segundo quimestre.

3. CONVALIDACIN DE ASIGNATURAS MODELO ESTRUCTURAL DE LA EVALUACIN 3.1 BACHILLERATO EN CIENCIASCAMPOGRUPO TEMTICOTPICOASIGNATURAS A TRABAJAR

LENGUA Y LITERATURAComprensin de textos escritos.Textos literariosLENGUA Y LITERATURA

Textos no literarios

Elementos de la LenguaGramticaLENGUA EXTRANJERA

Ortografa

Vocabulario

MATEMTICASALGEBRADesigualdadesMATEMTICAS

Ecuaciones

Progresiones aritmticas

Progresiones geomtricas

Sistemas de desigualdades

Sistemas de ecuaciones

Vectores

ESTADSTICA Y PROBABILIDADCombinacionesMATEMTICAS

Medidas de dispersin

Probabilidad

FUNCIONESFuncin cuadrticaFSICA

Funcin lineal

GEOMETRAElipseFSICA

Hiprbola

Parbola

PROGRAMACIN LINEALAplicaciones FSICA

Elementos

CIENCIAS NATURALESECOSISTEMASFlujo de energa entre los seres vivos BIOLOGA

Fotosntesis y respiracin celular

Niveles de organizacin de las especies

Teora de la evolucin de las especies

LA TIERRA COMO NUESTRO HBITATConservacin de los recursos naturales BIOLOGA

Mecanismos fsicos qumicos QUMICA

Origen de la tierra BIOLOGA

Planes de contingenciaEDUCACIN FSICA

SISTEMAS DE VIDAAvances cientficos y salud EDUCACIN FSICA

Funciones vitales y defensas de los organismos

Procesos metablicos y homeostticos

TRANSFERENCIA ENTRE MATERIA Y ENERGACambios de la materia y leyes estequiometrias QUMICA

Efectos de los desechos qumicos

Interaccin de los cuerpos

Leyes de conservacin

ESTUDIOS SOCIALESCONSTRUCCIN HISTRICA DE LA SOCIEDADIdentidad cultural HISTORIA Y CIENCIAS SOCIALES

Sociedades histricas

CONVIVENCIA SOCIALDerechos y deberes EDUCACIN PARA LA CIUDADANA

Problemas sociales del Ecuador y del Mundo

RELACIN ENTRE LA SOCIEDAD Y EL ESPACIO GEOGRFICODesarrollo territorial DESARROLLO DEL PENSAMIENTO FILOSFICO

Dinmica territorial

Equilibrio ecolgico

3.2 Bachillerato tcnico industrial Especializacin Industria de la Confeccin

CAMPOGRUPO TEMTICOTPICOASIGNATURAS A TRABAJAR




Ortografa

Vocabulario


Ecuaciones





Vectores



Probabilidad


Funcin lineal

GEOMETRAElipseFSICA

Hiprbola

Parbola


Elementos


Fotosntesis y respiracin celular PIEL Y CUERO

Niveles de organizacin de las especies PRODUCTOS Y PROCESOS DE CONFECCIN

Teora de la evolucin de las especies BIOLOGA




Planes de contingenciaPIEL Y CUERO







Leyes de conservacinPIEL Y CUERO






3.3 BACHILLERATO TCNICO INDUSTRIAL ESPECIALIZACIN INSTALACIONES, EQUIPOS Y MQUINAS ELCTRICASCAMPOGRUPO TEMTICOTPICOASIGNATURAS A TRABAJAR




Ortografa

Vocabulario


Ecuaciones





Vectores

ESTADSTICA Y PROBABILIDADCombinacionesINSTALACIONES DE SERVICIOS ESPECIALES EN VIVIENDAS Y EDIFICIOS


Probabilidad


Funcin lineal

GEOMETRAElipseMANTENIMIENTO DE MAQUINAS ELCTRICAS

Hiprbola

Parbola

PROGRAMACIN LINEALAplicaciones ELECTROTECNIA

Elementos















Leyes de conservacin






3.4 BACHILLERATO TCNICO AGROPECUARIO ESPECIALIZACIN PRODUCCIN AGROPECUARIACAMPOGRUPO TEMTICOTPICOASIGNATURAS A TRABAJAR




Ortografa

Vocabulario


Ecuaciones





Vectores



Probabilidad


Funcin lineal

GEOMETRAElipseFSICA

Hiprbola

Parbola


Elementos





LA TIERRA COMO NUESTRO HBITATConservacin de los recursos naturales PRODUCCIN Y PROGRAMACIN DE CULTIVOS DE CICLO CORTO





Funciones vitales y defensas de los organismos CRIANZA Y MANEJO TECNIFICADO DE ANIMALES MENORES

Procesos metablicos y homeostticos MANEJO INTEGRAL DE UNA UNIDAD DE PRODUCCIN UPA



Interaccin de los cuerpos BIOLOGA

Leyes de conservacinPRODUCCIN DE CULTIVOS PERENNES Y VIVEROS




Problemas sociales del Ecuador y del Mundo DESARROLLO DEL PENSAMIENTO FILOSFICO

RELACIN ENTRE LA SOCIEDAD Y EL ESPACIO GEOGRFICODesarrollo territorial FORMACIN Y ORIENTACIN LABORAL FOL.

4. ESQUEMA DE CONTENIDO CAMPO: MATEMTICA Se define como el proceso de abstraccin e interpretacin de signos, conceptos, smbolos, figuras, los mismos que se utilizan en el clculo, conteo y mediciones de estructuras y espacios, a travs del razonamiento lgico y la resolucin de problemas aritmticos.

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

Representa e interpreta los datos de grficos de barras, as como el establecimiento de combinaciones simples de tres por tres.

GEOMETRAReconoce las figuras planas y sus ngulos considerando el criterio de amplitud; as como la medida de su permetro.

NMEROS

Identifica los nmeros naturales y los procedimientos para resolver problemas utilizando la suma, resta y multiplicacin; as como la nocin de reparticin de iguales.

RELACIONES Y FUNCIONES Aplica la suma, resta o multiplicacin en la formacin de sucesiones numricas; as como la representacin de puntos en el plano cartesiano.

UNIDADES DE MEDIDA plica las conversiones de longitudes, montos y monedas as como de valores temporales.lgebra

Resuelve operaciones con vectores y de progresiones aritmeticas, resolucion de problemas de ecuaciones, desigualdades y sus sistemas.

Desigualdades

Ecuaciones

Progresiones aritmeticas

Progresiones geometricas

Sistema de desigualdades

Sistema de ecuaciones

Vectores

DesigualdadesTambin llamada inecuacin para resolverla se debe encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Una desigualdad puede tener un nmero infinito de soluciones que se representan en la recta numrica o en intervalos.

Se resuelven igual que las ecuaciones aislando la incgnita aplicando operaciones iguales en ambos lados, con la diferencia que al multiplicar ambos lados por un valor negativo la desigualdad cambia de sentido Ejm: 4x 3 < 2x + 5 Desigualdad continua 4 3x+5 > -1 Desigualdad racional 4 / (3x+2) 0

Desigualdad con valor absoluto

PROPIEDADES

|a| < b equivale a b < a < b

|a| > b equivale a a < b o a > b

Ejemplo:

|x+5| < 3, |x+5| > 3 y |x+5| = 3

Desigualdad Cuadrtica

Factorar y utilizar diagrama de signos

Ejemplo 25x2 9 < 0Una inecuacin o desigualdad es lo mismo que una ecuacin pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.Los signos de desigualdad son

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuacin lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad

3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 83 + 8 > x - 8 + 811 > x

Una regla importante en las desigualdades es quecuando se multiplica o divide por un nmero negativo, el signo de desigualdad cambia.

Ejemplo:

ECUACIONESSon expresiones algebraicas (igualdades) que contienen al menos un valor desconocido incgnita tienen una sola solucin; para resolverla se debe obtener expresiones equivalentes y para esto se debe sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuacin o tambin se puede multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad, tratando de aislar la incgnita a un solo lado de la ecuacin

Las ecuaciones ms bsicas donde la incgnita esta elevada a potencia 1 ose denominan Ecuaciones Lineales son de la forma ax + b = 0 para resolverla aplicamos resolucin de las ecuaciones Ejemplo ax + b - b = 0 b

ax / a = -b / a

x = -b / aEcuacin

El primer uso del signo igualdad, la ecuacin equivale a la notacin moderna 14x+15=71, tomado deThe Whetstone of WittedeRobert Recorde(1557).

Unaecuacines unaigualdad matemticaentre dosexpresiones algebraicas, denominadasmiembros, en las que aparecen valores conocidos odatos, y desconocidos oincgnitas, relacionados medianteoperaciones matemticas. Los valores conocidos pueden sernmeros,coeficientesoconstantes; y tambinvariablescuya magnitud pueda ser establecida a travs de las restantes ecuaciones de unsistema, o bien mediante otros procesos.Las incgnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuacin:

la variablerepresenta la incgnita, mientras que el coeficiente 3 y los nmeros 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuacin ser cierta o falsa dependiendo de los valores numricos que tomen las incgnitas; se puede afirmar entonces que una ecuacin es unaigualdad condicional, en la que slo ciertos valores de las variables (incgnitas) la hacen cierta.

Se llamasolucinde una ecuacin a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solucin es:

Tipos de ecuacionesLas ecuaciones pueden clasificarse segn el tipo de operaciones necesarias para definirlas y segn el conjunto de nmeros sobre el que se busca la solucin. Entre los tipos ms frecuentes estn:

Ecuaciones algebraicas De primer gradoolineales De segundo gradoocuadrticas Diofnticaso diofantinas

Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente depolinomios Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinmicas, como lasfunciones trigonomtricas,exponenciales,logartmicas, etc.

Ecuaciones diferenciales Ordinarias En derivadas parciales Ecuaciones integrales Ecuaciones funcionalesEcuacin algebraicaUnaecuacin algebraica, polinmica o polinomial es una igualdad entre dospolinomios. Por ejemplo:

Se llamaecuacin algebraicacon una incgnita la ecuacin que se reduce a lo que sigue

0xn+ 1xn-1+ 2xn-2+ ...n-1x + n= 0.

donde n es un nmero entero positivo; 0, 1, 2, ...,n-1, nse denominancoeficientesoparmetrosde la ecuacin y se toman dados;xse nombraincgnitay es buscada. El nmero n positivo se llamagradode la ecuacin1Para definir un nmero algebraico se consideran como coeficientes, nmeros racionales.

Forma cannicaRealizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuacin, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si adems se ordenan los trminos segn los exponentes a los que se encuentran elevadas las incgnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresin denominadaforma cannicade la ecuacin. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones polinmicas a partir de su forma cannica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

GradoSe denominagradode una ecuacin polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incgnitas. Por ejemplo

Es una ecuacin de tercer grado porque la variablexse encuentra elevadaal cuboen el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinmicas de gradonde una sola variable sobre los nmeros reales o complejos, pueden resolverse por el mtodo de los radicales cuandon< 5 (ya que en esos casos elgrupo de Galoisasociado a las races de la ecuacin essoluble). La solucin de la ecuacin de segundo grado es conocida desde la antigedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el mtodo de radicales. La solucin de la ecuacin de quinto grado no puede hacerse mediante el mtodo de radicales, aunque puede escribirse en trminos de lafuncin theta de Jacobi.

Ecuacin de primer gradoSe dice que una ecuacin algebraica es de primer grado cuando la incgnita (aqu representada por la letra x) est elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma cannica:

donde a y b estn en un conjunto numrico (, ) conadiferente de cero.

Su solucin es sencilla:. Exige la resolucin, la existencia de inversos multiplicativos.

Resolucin de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones polinmicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposicin, simplificacin y despeje, desarrollados a continuacin mediante un ejemplo.

Dada la ecuacin:

Ecuaciones CuadrticasUna ecuacin cuadrtica posee la incgnita a la segunda potencia, su forma general es: ax2+bx+c = 0;a0 Esta ecuacin tiene a lo sumo dos races (soluciones).

Para resolverla se puede aplicar:

Factorizacin que consiste en transformar a la ecuacin cuadrtica en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener as las soluciones. Completar el trinomio cuadrado perfecto mtodo que consiste en agregar la mitad del coeficiente del trmino en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuacin, obtenindose as un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el mtodo de la raz cuadrada

El mtodo ms fcil y ms sencillo es el de aplicar la frmula cuadrtica: x=(bb24ac)/2a donde b24ac es el discriminante de la ecuacin si es mayor a cero las soluciones son dos races reales y diferentes, y si es menor a cero la solucin no est en los nmeros reales

Ejemplo:

1.- x2 3x 4 = 0

1.-Se trata de unaecuacin cuadrtica completa. Primer paso definir quines son los coeficientes a,b y c. Segundo paso aplicar frmula cuadrtica para resolverla.

a= 1; b= -3 y c= 4

Resolucin:


Unaprogresin aritmticaes unasucesin de nmerostales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior ms un nmero fijo llamadodiferenciaque se representa pord.

Diferencia

d = an- an-1Trmino general de una progresin aritmtica

an= a1+ (n - 1) dan= ak+ (n - k) dInterpolacin de trminos

Sean losextremos a y b, y el nmero demediosa interpolarm.

Suma de trminos equidistantes

ai+ aj= a1+ an

a3+ an-2=a2+ an-1=a1+ anSuma de n trminos consecutivos

1El cuarto trmino de una progresin aritmtica es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesin.

a4= 10; a6= 16

an= ak+ (n - k) d16 = 10 + (6 - 4) d;d= 3

a1= a4- 3d;

a1= 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...2Escribir tres medios artmticos entre 3 y 23.a= 3, b= 23;

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3,8, 13, 18,23.

3Interpolar tres medios aritmticos entre 8 y -12.

8,3, -2, -7, -12.


Unaprogresin geomtricaes unasucesinen la que cada trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fijar, llamadarazn.

Trmino general de una progresin geomtrica

an= a1 rn-1an= ak rn-kInterpolacin de trminos

Suma de n trminos consecutivos

Suma de los trminos de una progresin geomtrica decreciente

Producto de dos trminos equidistantes

ai. aj= a1. an

a3 an-2=a2 an-1= ... =a1 anProducto de n trminos equidistantes

Ejercicios

El cuarto trmino de unaprogresin aritmticaes 10, y el sexto es 16. Escribir la progesin.

a4= 10; a6= 16

an= ak+ (n - k) d16 = 10 + (6 - 4) d;d= 3

a1= a4- 3d;

a1= 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...Interpolar tres medios aritmticos entre 8 y -12.

8,3, -2, -7, -12.

El primer trmino de unaprogresin aritmticaes -1, y el dcimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros trminos.

a1= 1; a15= 27;

an= a1+ (n - 1) d27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d;d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 =195Hallar los ngulos de un cuadriltero convexo, sabiendo que estn enprogresin aritmtica, siendo d= 25.La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es 360.

360= ( a1+ a4) 4/2

a4= a1+ 3 25

360= ( a1+ a1+ 3 25) 4/2

a1= 105/2 = 52 30'a2= 77 30'a3= 102 30'a4= 127 30'El cateto menor de un tringulo rectngulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del tringulo forman unaprogresin aritmtica.

a2= 8 + d; a3= 8 + 2d

(8 + 2d)2= (8 + d)2+ 64

d = 8

8, 16, 24.

Calcula tres nmeros enprogresin aritmtica, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.

Trmino central x

1x - d

3 x + d.

x d + x + x + d = 27

x = 9

(9 d)2+ 81 + (9 + d)2= 511 / 2

d = 5 / 2

13 / 2, 9, 23/223 / 2, 9, 13/2El 2 trmino de unaprogresin geomtricaes 6, y el 5 es 48. Escribir la progesin.

a2= 6; a5= 48;

an= ak rn-k48 = 6 r5-2; r3= 8; r = 2.

a1= a2/ r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ...El 1ertrmino de unaprogresin geomtricaes 3, y el 8 es 384. Hallar la razn, y la suma y el producto de los 8 primeros trminos.

a1= 3; a8= 384;

384 = 3 r8-1;r7= 128;r7= 27;r= 2.S8= (384 2 - 3 ) / (2 1) = 765

Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

a = 3; b = 48;

3, 6, 12, 24,48

Juan ha comprado 20 libros, por el 1 ha pagado $1, por el 2 $2, por el 3 $ 4, por el 4 $8 y a sucesivamente. Cunto ha pagado por los libros.

a1= 1 r= 2;n = 20;S= (1 220-1- 1) / (2 - 1) =1048575 $ .

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operacin, y as se continua indefinidamente. Calcular la suma de las reas de los infintos cuadrados.

Sistemas de desigualdades o inecuacionesLa solucin de una inecuacin de dos incgnitas es un semiplano.

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso:representar la recta (cambiamos el smbolo por un igual)

2 paso:elegir un punto del plano (que no est en la recta anterior) y estudiar cmo responde a la inecuacin.

3er paso:colorear el semiplano solucin.Resuelva la inecuacin

Represento la recta

Despejo la variable y:

Tabla de valores: xy

1-1

3-6

Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est es la solucin.

La solucin de un sistema de inecuaciones de dos incgnitas es una regin (si existe).

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso:representar la recta (cambiamos el smbolo por un igual)

2 paso:elegir un punto del plano (que no est en la recta anterior) y estudiar cmo responde a la inecuacin.

3er paso:colorear el semiplano solucin.

Resuelve el sistema de inecuaciones:

Represento la recta:


Tabla de valores:

xy

14

-2-5


Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est NO ES LA SOLUCIN.

Resuelve el sistema de inecuaciones:

1er paso: Tengo el semiplano solucin de la primera inecuacin

2 paso: Busco el semiplano solucin de la segunda inecuacin

Represento la recta:


Tabla de valores:

xy

21

-23


Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est NO ES LA SOLUCIN.

Problemas de texto con inecuaciones

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso:plantear el sistema de inecuaciones.

2 paso:resolver el sistema dibujando la regin solucin.

3er paso:resolver el problema, dando la solucin con una frase si es posible.

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azcar, qu cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

SISTEMA DE ECUACIONES

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.Tipos de sistemas:

Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitasMtodo de sustitucin

1 Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.

3 Se resuelve la ecuacin.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo

sistema

1 Despejamos una de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

despejar

2 Sustituimos en la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

ecuacin

3 Resolvemos la ecuacin obtenida:

ecuacin ecuacin

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

solucin

5 Solucin

solucin

Mtodo de igualacin

1 Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.

3 Se resuelve la ecuacin.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.


Ejemplo

sistema

1 Despejamos, por ejemplo, la incgnita x de la primera y segunda ecuacin:

despejar

despejar

2 Igualamos ambas expresiones:

ecuacin

3 Resolvemos la ecuacin:

ecuacin

ecuacin

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

solucin

5 Solucin:

solucin

Mtodo de reduccin

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incgnitas.

3 Se resuelve la ecuacin resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.


Ejemplo

sistema

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

sistema

Restamos y resolvemos la ecuacin:

operaciones

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

solucin

Solucin:

solucin

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas

Mtodo de Gauss

Este mtodo consiste en utilizar el mtodo de reduccin de manera que en cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.

1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el cmo coeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminar el trmino en x.

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminar el trmino en y.

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontrar las soluciones.

Ejemplo

Sistema

1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el cmo coeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

sistema

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

E'2 = E2 3E1

sistema

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminar el trmino en x.

E'3 = E3 5E1

sistema

sistema

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminar el trmino en y.

E''3 = E'3 2E'2

sistema

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

sistema

6 Encontrar las soluciones.

z = 1

y + 4 1 = 2 y = 6

x + 6 1 = 1 x = 4

Sistemas de ecuaciones no linealesLa resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1 Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

2 Se sustituye el valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin.


4 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.

Ejemplo

sistema

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1 Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 x

2 Se sustituye el valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin.

x2 + (7 x)2 = 25


x2 + 49 14x + x2 = 25

2x2 14x + 24 = 0

x2 7x + 12 = 0

solucin

4 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.

x = 3 y = 7 3 y = 4

x = 4 y = 7 4 y = 3EJEMPLO DE SISTEMAS POR SUSTITUCIN EJEMPLO DE SISTEMAS POR IGUALACIN

EJEMPLO DE SISTEMAS POR MTODO DE REDUCCIN

Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. Mtodo de Gauss

Ejercicios y problemas resueltos de sistemas no lineales

VECTORES

Un vector fijoes unsegmento orientadoque va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

1Direccin de un vector:Ladirecccon del vectores ladireccin de la rectaque contiene al vector o de cualquierrecta paralelaa ella.

2Sentido de un vector:Elsentido del vectores el que va desde elorigen Aalextremo B.

3Mdulo de un vector:

Elmdulo del vectores la longitud del segmento AB, se representa por.

Elmdulode unvectores unnmerosiemprepositivoocero.

3.1.Mdulo de un vector a partir de sus componentes:

3.2.Mdulo a partir de las coordenadas de los puntos:

4Coordenadas de un vector:

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Lascoordenadas del vectorson lascoordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Clases de vectores

1Vectores equipolentes:

Dos vectores sonequipolentescuando tienen igualmdulo, direccin y sentido.

2Vectores libres:

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llamavector libre. Cadavector fijoes un representante delvector libre.

3Vectores fijos:

Unvector fijoes un representante delvector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismomdulo,direccin,sentidoyorigen.

4Vectores ligados:

Losvectores ligadosson vectoresequipolentesque actan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismomdulo,direccin,sentidoy se encuentran en la mismarecta.

5Vectores opuestos:

Losvectores opuestostienen el mismomdulo,direccin, y distintosentido.

6Vectores unitarios:

Losvectores untariotienen demdulo, launidad.

Para obtener un vector unitario, de lamisma direccinysentidoque elvectordado sedivideste por sumdulo.

7Vectores concurrentes:

Losvectores concurrentestienen el mismoorigen.

8Vectores de posicin:

Elvectorque une elorigende coordenadasOcon unpuntoPse llamavector de posicindel punto P.

9Vectores linealmente dependientes:

Variosvectores libresdel plano sonlinealmente dependientessi existe unacombinacin linealde ellos que sea igual alvector cero, sin que seancerotodos loscoeficientesde lacombinacin lineal.

10Vectores linealmente independientes:

Variosvectores libressonlinealmente independientessi ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros.

a1= a2= = an= 011Vectores ortogonales:

Dosvectoressonortogonalesoperpendicularessi suproducto escalarescero.

12Vectores ortonormales:

Dosvectoressonortonormalessi:

1.Suproducto escalarescero.

2.Los dosvectoressonunitarios.

Suma de vectores

Parasumardosvectores libresyse escogen como representantes dos vectores tales que elextremode uno coincida con elorigendel otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dosvectorescon elorigen en comn, se trazanrectas paralelasa losvectoresobtenindose unparalelogramocuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libresyse sumacon el opuesto de.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Producto de vectores

Elproducto de un nmero kpor unvectores otrovector:

1Deigual direccinque el vector.

2Delmismo sentidoque el vectorsi k es positivo.

3Desentido contrariodel vectorsi k es negativo.

4DemduloLas componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Ejemplo:

Combinacin lineal de vectores

Dadosdos vectores:y, ydos nmeros:ayb, elvectorse dice que es unacombinacin linealdey.

Unacombinacin linealde dos o ms vectores es elvectorque se obtiene alsumaresosvectoresmultiplicadospor sendosescalares.

Cualquiervectorse puede poner comocombinacin linealde otros dos que tengandistinta direccin.

Esta combinacin lineal es nica.

Dados los vectores, hallar elvector combinacin lineal

El vector, se puede expresar comocombinacin linealde los vectores?

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinacin lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

Propiedades

1Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los dems.

Tambin se cumple el reciproco: si unvectorescombinacin linealde otros, entonces todos losvectoressonlinealmente dependientes.

2Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y slo si, son paralelos.

3Dosvectores libresdel plano= (u1, u2) y= (v1, v2) sonlinealmente dependientessi sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinacin lineal de los restantes.

a1= a2= = an= 0Losvectores linealmente independientestienendistinta direcciny suscomponentesno sonproporcionales.

Ejemplo:Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:

= (3, 1) y= (2, 3)

Linealmente independientes

Dos vectoresycon distinta direccin forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinacin lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Ejemplo:

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

Ejemplos:Qu pares de los siguientes vectores forman una base:

Clasificacin de bases

1Base ortogonal

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s.

2Base ortonormal

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s, y adems tienen mdulo 1.

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s, y adems tienen mdulo 1.

Esta base formada por los vectoresyse denominabase cannica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se est trabajando en esa base.

Ejemplos:1Qu pares de los siguientesvectoresforman unabase:

2Sean los vectores libres= (2, 1),= (1, 4) y= (5, 6). Determinar:

1Si forman una basey.

2Expresarcomo combinacin lineal de los de la base

3Calcular las coordenadas de C respecto a la base.

Las coordenadas derespecto a la base son: (2, 1)

Un vectortiene de coordenadas (3, 5) en la base cannica. Qu coordenadas tendr referido a la base= (1, 2),= (2, 1)?

(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)

3 = a + 2b

a = 3 - 2b

a = 7/35 = 2a + b

5 = 2 (3 - 2b) + b

b = 1/3Las coordenadas deen la base B son(7/3, 1/3).

En el plano, un sistema de referencia est constituido por un punto O del plano y una base (,).

El punto O del sistema de referencia se llama origen.

Los vectores,no paralelos forman la base.

1Ortogonal

Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto mdulo.

2Ortonormal

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir, de mdulo 1.

Se representan por las letras.

Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenadosCoordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

Ejemplo:Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Condicin para que tres puntos estn alineados

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) estn alineados siempre que los vectorestengan la misma direccin. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo:Calcular el valor de a para que los puntos estn alineados.

Simtrico de un punto respecto de otro

Si A' es el simtrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificar igualdad:

Ejemplo:Hallar el simtrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, - 11).

Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de gravedad de un tringulo es el punto de interseccin de sus medianas.

Las coordenadas del baricentro son:

Ejemplo:Dados los vrtices de un tringulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), hallar las coordenadas del baricentro.

Divisin de un segmento en una relacin dada

Dividir un segmento AB en una relacin dadares determinar un puntoPde la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, estn en la relacin r:

Ejemplo:Qu puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

El producto escalar de dos vectores es un nmero real que resulta al multiplicar el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman.

Ejemplo:

1Expresin analtica del producto escalar

Ejemplo:

2Expresin analtica del mdulo de un vector

Ejemplo:

3Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Ejemplo:

4Condicin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:

Interpretacion geomtrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.

Ejemplo:Hallar la proyeccin del vector= (2, 1) sobre el vector= (3, 4).

Propiedades del producto escalar

1Conmutativa

2Asociativa

3Distributiva

4El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

Interpreta datos simples o agrupados con el uso de las medidas de dispersin, aplicacin de la regla de conteo para el clculo de combinaciones y el teorema de Bayes en la bsqueda de probabilidades.

Combinaciones


Probabilidad

COMBINACIONESSe llamacombinaciones de m elementos tomados de n en n (m n)a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

Noentran todos los elementos.

Noimporta el orden.

Nose repiten los elementos.

Tambin podemos calcular lascombinacionesmediantefactoriales:

Lascombinacionesse denotan porEjemplos:

1.Calcularel nmero de combinacionesde 10 elementos tomados de 4 en 4.

2.En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?


Noimporta el orden: Juan, Ana.

Nose repiten los elementos.

Lascombinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n (m n),son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:


Noimporta el orden.

Sse repiten los elementos.

Ejemplo:

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?

Noentran todos los elementos. Slo elije 4..

Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.

Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

El nmero se llama tambinnmero combinatorio. Se representa pory se lee "m sobre n".

Ejemplo:

Propiedades de los nmeros combinatorios1.2.Los nmeros de este tipo se llamancomplementarios.

3.Ejemplo:Hallar el nmero de combinaciones de 75 elementos de orden 72.

Eltringulo de nmeros combinatorios de Tartaglia o de Pascal(debido a que fue este matemtico quien lo populariz) es un tringulo de nmeros enteros, infinito y simtrico, del que podemos ver sus primeras lneas:

Propiedades del Tringulo de Pascal o de Tartaglia

1.El nmero superior es un 1, la segunda fila corresponde a los nmeros combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y as sucesivamente.

2.Todas la filas empiezan y acaban en 1.

3.Todas las filas son simtricas.

4.Cada nmero se obtiene sumando los dos que estn situados sobre l.

Aplicando estas propiedades podemos escribir eltringulo de Pascal:

Eltringulo de Pascal o de Tartaglianos ser muy til para calcular los coefecientes delbinomio de Newton.

Lafrmulaque nos permite hallar laspotencias de un binomiose conoce comobinomio de Newton.

Podemos observar que:

Elnmero de trminosesn+1.

Loscoeficientessonnmeros combinatoriosque corresponden a la fila ensima deltringulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes deavandisminuyendo, de uno en uno, den a cero; y los exponentes debvanaumentando, de uno en uno, decero a n, de tal manera que lasuma de los exponentes de a y de ben cada trmino es igual an.

En el caso que uno de lostrminosdel binomio seanegativo, sealternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1.

2.

Clculo del trmino que ocupa el lugar k

Ejemplos:1.El trmino quinto del desarrollo dees:

2.El trmino cuarto del desarrollo dees:

3.Hallar el trmino octavo del desarrollo de

MEDIDAS DE DISPERSIN

Lasmedidas de dispersinnos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.

Lasmedidas de dispersinson:

Rango o recorrido

Elrangoes ladiferenciaentre elmayory elmenorde losdatosde una distribucin estadstica.

Desviacin media

Ladesviacin respecto a la mediaes ladiferenciaentre cadavalorde la variable estadstica y lamedia aritmtica.

Di= x -xLadesviacin mediaes lamedia aritmticade losvalores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Ladesviacin mediase representa por

Ejemplo

Calcular ladesviacin mediade la distribucin:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviacin media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en unatabla de frecuencias, la expresin de ladesviacin mediaes:

Ejemplo

Calcular ladesviacin mediade la distribucin:

xifixi fi|x -x||x -x| fi

[10, 15)12.5337.59.28627.858

[15, 20)17.5587.54.28621.43

[20, 25)22.57157.50.7144.998

[25, 30)27.541105.71422.856

[30, 35)32.526510.17421.428

21457.598.57

Varianza

Lavarianzaes lamedia aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la mediade una distribucin estadstica.

La varianza se representa por.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar elclculo de la varianzavamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianzade la distribucin:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianzade la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza

1Lavarianzaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmerolavarianza no vara.

3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmerolavarianzaquedamultiplicadapor elcuadradode dichonmero.

4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasvarianzasse puede calcular lavarianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza

1Lavarianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar lavarianza.

3Lavarianzano viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

Desviacin tpica

Ladesviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.

Ladesviacin tpicase representa por.

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviacin tpica para datos agrupados

Ejercicios de desviacin tpica

Calcular ladesviacin tpicade la distribucin:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviacin tpicade la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 60)55844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la desviacin tpica

1Ladesviacin tpicaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmeroladesviacin tpica no vara.

3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmeroladesviacin tpicaquedamultiplicadapor dichonmero.

4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasdesviaciones tpicasse puede calcular ladesviacin tpica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la desviacin tpica

1Ladesviacin tpica, al igual que la media y la varianza, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar ladesviacin tpica.

3Cuanta ms pequea sea ladesviacin tpicamayor ser laconcentracin de datosalrededor de lamedia.

PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso es un nmero, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajar. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subir durante un determinado intervalo de tiempo; pero despus bajar.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que ste depende delazar.

Ejemplos:Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teora de probabilidades

Lateora de probabilidadesse ocupa deasignarun ciertonmeroa cadaposible resultadoque pueda ocurrir en unexperimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro. Con este fin, introduciremos algunasdefiniciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos:Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ).

Ejemplos:Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorioes cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:Tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completoUna bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1.El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2.El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3.El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4.El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

TEORA DE PROBABILIDADES

Lateora de probabilidadesse ocupa deasignarun ciertonmeroa cadaposible resultadoque pueda ocurrir en unexperimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ).

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elementales cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Suceso aleatorio

Suceso compuestoes cualquier subconjunto del espacio muestral.

Suceso seguro

Suceso seguro, E,est formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Suceso imposible

Suceso imposible,, es el que no tiene ningn elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuacin igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, sonincompatiblescuando no tienen ningn elemento en comn.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por.

Unin de sucesos

Launin de sucesos, AB, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Interseccin de sucesos

Lainterseccin de sucesos, AB, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Diferencia de sucesos

Ladiferencia de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Sucesos contrarios

El suceso= E - Ase llamasuceso contrarioo complementario de A.

Axiomas de la probabilidad

1.0 p(A) 12.p(E) = 13.p(AB) = p(A) + p(B)Propiedades de la probabilidad

12345Si A1,A2, ...,Akson incompatibles dos a dos entonces:

6Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ...,xn} entonces:

Ley de Laplace

Probabilidad de la unin de sucesos incompatibles

AB =p(AB) = p(A) + p(B)Probabilidad de la unin de sucesos compatibles

AB p(AB) = p(A) + p(B) p(AB)Probabilidad condicionada

Probabilidad de la interseccin de sucesos independientes

p(AB) = p(A) p(B)Probabilidad de la interseccin de sucesos dependientes

p(AB) = p(A) p(B/A)Teorema de la probabilidad total

Si A1, A2,... , Ansonsucesos incompatibles 2 a 2,cuya unin es el espacio muestral (A1A2...An= E) y B es otro suceso, resulta que::

p(B) = p(A1) p(B/A1) + p(A2) p(B/A2) + ... + p(An) p(B/An)Teorema de Bayes

Si A1, A2,... , Ansonsucesos incompatibles 2 a 2,cuya unin es el espacio muestral (A1A2...An= E) y B es otro suceso, resulta que::

Funciones

Representa las funciones lineales y cuadraticas asi como la identificacion de sus propiedades en la comprobacion de resultados.

Funcion cuadratica

Funcion lineal

Funcin cuadrticaSon funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola.

f(x) = ax + bx + cRepresentacin grfica de la parbola

Podemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola.

La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax + bx + c = 0Resolviendo la ecuacin podemos obtener:

Dos puntos de corte:(x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0Un punto de corte:(x1, 0) si b 4ac = 0Ningn punto de corte si b 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c)

EjemploRepresentar la funcin f(x) = x 4x + 3.

1. Vrtice

xv= (4) / 2 = 2 yv= 2 4 2 + 3 = 1

V(2, 1)2. Puntos de corte con el eje OX

x 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

FUNCIN LINEAL

La funcin lineal es del tipo:

y = mxSu grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x01234

y = 2x02468

Pendiente

mes la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas.

Sim > 0la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Sim < 0la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Funcin identidad

f(x) = xSu grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

GEOMETRIA

Identifica las conicas, su representacion grafica y a traves de ecuaciones.

Elipse

Hiperbola

ParabolaELIPSEEs el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:

1Focos:Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal:Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario:Es la mediatriz del segmento FF'.

4Centro:Es el punto de interseccin de los ejes.

5Radios vectores:Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6Distancia focal:Es el segmentode longitud2c,ces el valor de la semidistancia focal.

7Vrtices:Son los puntos de interseccin de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8Eje mayor:Es el segmentode longitud2a,aes el valor del semieje mayor.

9Eje menor:Es el segmentode longitud2b,bes el valor del semieje menor.

10Ejes de simetra:Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11Centro de simetra:Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de interseccin de los ejes de simetra.

Relacin entre la distancia focal y los semiejes

La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo:Hallar los elementos caractersticos y la ecuacin reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

1Semieje mayor:2Semidistancia focal:3Semieje menor:4Ecuacin reducida:5Excentricidad:Si el eje principal est en el de ordenadas se obtendr la siguiente ecuacin:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, c) y F(0, c)

Ejemplo:Dada la ecuacin reducida de la elipse, hallar las coordenadas de los vrtices de los focos y la excentricidad.

Si el centro de la elipseC(x0, y0)y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadasF(x0+c, y0) y F'(x0c, y0). Y la ecuacin de la elipse ser:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

DondeA y B tienen el mismo signo.

Ejemplos:1Hallar la ecuacin de la elipse de foco F(7, 2), de vrtice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

2Dada la elipse de ecuacin, hallar su centro, semiejes, vrtices y focos.

Si el centro de la elipseC(x0, y0)y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadasF(x0, y+c) y F'(x0, y0c). Y la ecuacin de la elipse ser:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

DondeA y B tienen el mismo signo.

PROGRAMACION LINEAL

Reconoce las restricciones de un modelo y la determinacion de la maximizacion o minimizacion de la funcion objetivo.

Aplicaciones

ElementosPROGRAMACIN LINEAL

La programacin lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economa, la estrategia militar, etc.

Funcin objetivo

En esencia la programacin lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una funcin objetivo, que es una funcin lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La funcin objetivo est sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y c1

a2x + b2y c2

... ......

anx + bny cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solucin factible

El conjunto interseccin, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de regin de validez o zona de soluciones factibles.

Solucin ptima

El conjunto de los vrtices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles bsicas y el vrtice donde se presenta la solucin ptima se llama solucin mxima (o mnima segn el caso).

Valor del programa lineal

El valor que toma la funcin objetivo en el vrtice de solucin ptima se llama valor del programa lineal.

PASOS PARA RESOLVER UNA PROGRAMACION LIEAL

1. Elegir las incgnitas.

2Escribir la funcin objetivo en funcin de los datos del problema.

3Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando grficamente las restricciones.

5Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6Calcular el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices para ver en cul de ellos presenta el valor mximo o mnimo segn nos pida el problema (hay que tener en cuenta aqu la posible no existencia de solucin si el recinto no est acotado).

EJEMPLO DE PROGRAMACIN LINEALUnos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a $30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a $ 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

1Eleccin de las incgnitas.

x = n de lotes de A

y = n de lotes de B

2Funcin objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3Restricciones

ABMnimo

Camisas13200

Pantalones11100

x + 3y 200

x + y 100

x 20

y 10

4Hallar el conjunto de soluciones factibles

5Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6Calcular el valor de la funcin objetivo

f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 $f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 $f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600 $f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 $ Mximo

Con50 lotes de cada tipose obtiene unaganancia mxima de 4000 $.5. MODELO DE EVALUACIN DE MATEMTICAS 6.- CRONOGRAMA DE NIVELACIN A ESTUDIANTES PARA LOS EXMENES DE GRADOCAMPO/ ASIGNATURAGRUPO TEMTICOMARZOABRILMAYOJUNIO

MATEMTICAS1234123412341234

Algebra.

Evaluacin primer parcial

Estadstica y probabilidad

Funciones

Geometra

Programacin lineal

Evaluacin segundo parcial

Evaluacin tercer parcial

Primera simulacin de los exmenes de grado

Evaluacin quimestral (Segunda simulacin de exmenes de grado)

7.- EXTENSIONES SEDESExtensin DistritoCantn Direccin Nmero de alumnos

BAJO SUCUMBIOS 1GONZALO PIZARROLUMBAQUIU 8

AMERICANO1GONZALO PIZARRODORADO DE CASCALE S8

EUGENIO ESPEJO 2LAGO AGRIONUEVA LOJA BARRIO AMAZONAS 94

ISRAEL 2LAGO AGRIO NUEVA LOJA BARRIO AMAZONAS33

JUVENTUD PROIGRESISTA 2LAGO AGRIO PACAYACU 11

NUEVO RUMBO 2LAGO AGRIODURENO 16

NUEVA CREACION 2LAGO AGRIO NUEVA LOJA BARRIO AMAZONAS56

CUYABENO 3CUYABENO TARAPOA 26

Y DE TIPISHCA 3PUTUMAYOPALMA ROJA 21

8 DE ENERO4SHUSHUFINDISHUSHUFINDI CENTRAL 19

ISMAEL PEREZ PAZMIIO4SHUSHUFINDILA VICTORIA 9

SAGRADA FAMILIA 4SHUSHUFINDISHUSHUFINDI CENTRAL 14

JUAN MONTALVO 4SHUSHUFINDI RECINTO EL MIRADOR 7

8. ACTIVIDADES A REALIZARSE PARA LA EVALUACIN DEL PROCESO DEL PLAN DE CONTINGENCIA

PARA DOCENTES

1.- EVALUACIN DIAGNOSTICA DE DOMINIO DE CONOCIMIENTOS SOBRE EL CONTENIDO DEL PLAN DE CONTINGENCIA

2. ELABORACIN Y PRESENTACIN DE LAS MICRO PLANIFICACIONES MENSUALES (MARZO, ABRIL, MAYO Y JUNIO) EN LA QUE SE DEBE INCLUIR CON NFASIS LAS ACTIVIDADES QUE DEBEN REALIZAR SEMANALMENTE LOS ESTUDIANTES, A LA COMISIN PEDAGGICA

3. PRESENTAR LAS DISTRIBUCIONES DE LAS ASIGNATURAS DEL LAN DE CONTINGENCIA (ELABORAR FORMATO)

4. PRESENTACIN DE LAS EVALUACIONES PARCIALES PARA SU RESPECTIVA APROBACIN (COMISIN PEDAGGICA)

5. PRESENTACIN (SUBIDAS AL SISTEMA) DE NOTAS PARCIALES (COMISIN PEDAGGICA)

6. SE REALIZARA UNA CAPACITACIN DE NIVELACIN DE CONOCIMIENTOS POR ASIGNATURAS EN ABRIL

COMISIN PEDAGGICA

1. LA COMISIN ESTAR INTEGRADA POR EL RECTOR, VICERRECTOR Y CUATRO JEFES DE REA

2. LA COMISIN ES LA ENCARGADA DE MONITOREAR, RECIBIR, APOYAR Y DAR SEGUIMIENTO SEMANALMENTE AL CUMPLIMIENTO AL PLAN DE CONTINGENCIA.

3. LA COMISIN PEDAGGICA ES LA ENCARGADA DE TOMAR LOS CORRECTIVOS NECESARIOS EN CASO DE FALENCIAS EN LA EJECUCIN DEL PLAN DE CONTINGENCIA

PARA ESTUDIANTES

1.- DEBERN SER EVALUADOS AL INICIO DEL PROCESO

2. DEBERN CUMPLIR CON LAS TAREAS O ACTIVIDADES QUE EL DOCENTE ENVI EN LAS TUTORAS SEMANALES

3. LOS ESTUDIANTES DEBERN RENDIR EVALUACIONES PERIDICAS DEL DOMINIO DE CONOCIMIENTO Y AVANCE CURRICULAR EN CADA PARCIAL

4. LOS ESTUDIANTES RENDIRN PRUEBAS DE SIMULACIN EN EL MES DE ABRIL Y JUNIO SOBRE EL PROCESO DE EXMENES DE GRADO

EMBED Equation.3

Tarta

Cantidad

Azcar (kg)

Huevos (u.)

Chocolate

x

05x

5x

Manzana

y

1y

6y

Disponible

9

60

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_1487155178.unknown

_1487155180.unknown

_1487155181.unknown

_1487155182.unknown

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Date post:	02-Oct-2015
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Matematicas

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