1. En esta nueva edicin, nos hemos esforzado por presentar el
lgebra, las matemticas finitas y el clculo diferencial e integral,
en forma tal que resulten de mximo provecho a estudiantes cuyo
campo de especializacin son la administracin, la economa y las
ciencias sociales. El libro est orientado a la enseanza de las
aplicaciones y a la utilizacin de las matemticas; no se hace
hincapi en las demostraciones de los teoremas. Por lo regular,
despus de enunciar un teorema procedemos a ilustrarlo y a analizar
su importancia con varios ejemplos y aplicaciones. El contenido de
este libro se ha escogido de tal manera que incluya aquellas partes
de las matemticas bsicas que son de mayor inters para estudiantes
que se especializan en administracin y economa, as como para
estudiantes de ciencias sociales. Las aplicaciones referidas a
estas reas se han integrado por completo en el desarrollo de la
obra; a veces, una aplicacin particular se utiliza para motivar
ciertos conceptos matemticos; en otros casos, determinado resultado
matemtico se aplica, ya sea de inmediato o en una seccin
subsecuente, a un problema concreto, digamos de anlisis
empresarial. Las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercana con el
tratamiento del concepto matemtico especfico en cuestin. El libro
se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra previa al
clculo; la Parte Dos, las matemticas finitas que incluyen el lgebra
lineal y sus aplicaciones; y la Parte Tres, el clculo propiamente
dicho. Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes
entre s y pueden estudiarse en orden indistinto. Al inicio de cada
captulo se incluye una aplicacin o problema interesante y al final
se agrega un repaso del captulo y un caso de estudio. Se hace un
uso amplio de cuadros para enfatizar las frmulas y los resultados
principales. Quiz lo ms til de todo para el estudiante, es la
inclusin en el margen de cuadros de repaso a lo largo de toda la
obra. stos contienen preguntas sencillas que se relacionan de forma
directa con los conceptos adyacente. Los asteriscos (*) preceden a
los ejercicios que constituyen un reto. Agradecemos al M. en C.
Vctor Hugo Ibarra, Universidad Anhuac; al Maestro Jos Luis
Villalobos, Universidad Autnoma de Guadalajara, y al Doctor Macario
Schettino, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, Campus Ciudad de Mxico, las secciones con que inicia
cada captulo y los casos de estudio. OTRAS OBRAS DE INTERS
PUBLICADAS POR PEARSON: BERENSON, LEVINE, KREHBIEL: Estadstica para
administracin, segunda edicin HAEUSSLER, PAUL: Matemticas para la
administracin y economa, octava edicin LEVIN, RUBIN: Estadstica
para administradores, sexta edicin LIAL: Matemticas para la
administracin y economa, sptima edicin MILLER: Matemtica:
Razonamiento y aplicaciones, octava edicin PURCELL: Clculo, octava
edicin VILLALOBOS: Matemticas financieras, segunda edicin
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3. MATEMTICAS APLICADAS a la Administracin y a la Economa
Jagdish C. Arya Robin W. Lardner Departament of Mathematics, Simon
Fraser University Con la colaboracin de Vctor Hugo Ibarra Mercado
Universidad Anhuac Jos Luis Villalobos Prez Universidad Autnoma de
Guadalajara Macario Schettino Yez Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico TRADUCCIN
Y REVISIN TCNICA: Vctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anhuac
ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:30 - 1 - ( ) www.FreeLibros.me
4. Versin en espaol de la obra titulada Mathematical analysis
for business, economics, and the life and social sciences, de
Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, publicada originalmente en
ingls por Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey,
E.U.A. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Original
English language title by Prentice Hall Inc. Copyright 1993 All
rights reserved ISBN 0-13-564287-6 Edicin en espaol: Editor:
Guillermo Trujano Mendoza E-mail: [email protected]
Editor de desarrollo: Lorena Pontones Durand Supervisor de
Produccin: Jos D. Hernndez Garduo Edicin en ingls: Editor-in-chief:
Tim Bozik Design director: Florence Dara Silverman Senior editor:
Steve Conmy Interior design: Patricia McGowan Executive editor:
Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula Massenaro Senior managing
editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori Bulwin Production
editor: Nicholas Romanelli CUARTA EDICIN, 2002 D.R. 2002 por
Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Calle 4 No. 25-2do. piso
Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jurez, Edo. de
Mxico E-mail: [email protected] Cmara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Prentice-Hall es
una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta
publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un
sis- tema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por
ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o
electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso
previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier
otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la
autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 968-444-437-0
Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 05 04 03
02 968-444-437-0 856Formato: 20 25.5 cm Mxico, 2002 ARYA, JAGDISH
C. y LARDNER, ROBIN W. Matemticas aplicadas a la administracin y a
la economa ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:30 - 2 - ( )
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5. A Niki y Shanti ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:31 - 3 - ( )
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7. PREFACIO xiii PARTE UNO LGEBRA 1 REPASO DE LGEBRA 1 1-1 Los
nmeros reales 2 1-2 Fracciones 10 1-3 Exponentes 18 1-4 Exponentes
fraccionarios 23 1-5 Operaciones algebraicas 29 1-6 Factorizacin 38
1-7 Fracciones algebraicas 46 Repaso del captulo 55 Ejercicios de
repaso 56 CASO DE ESTUDIO 58 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 59 2-1
Ecuaciones lineales 60 2-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68
2-3 Ecuaciones cuadrticas 73 2-4 Aplicaciones de ecuaciones
cuadrticas 81 Repaso del captulo 88 Ejercicios de repaso 88 CASO DE
ESTUDIO 91 v Contenido ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:31 - 5 - ( )
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8. 3 DESIGUALDADES 92 3-1 Conjuntos e intervalos 93 3-2
Desigualdades lineales de una variable 99 3-3 Desigualdades
cuadrticas de una variable 106 3-4 Valores absolutos 112 Repaso del
captulo 118 Ejercicios de repaso 119 CASO DE ESTUDIO 122 4 LNEAS
RECTAS 123 4-1 Coordenadas cartesianas 124 4-2 Lneas rectas y
ecuaciones lineales 132 4-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 142
4-4 Sistemas de ecuaciones 150 4-5 Aplicaciones a administracin y
economa 160 Repaso del captulo 170 Ejercicios de repaso 170 CASO DE
ESTUDIO 174 5 FUNCIONES Y GRFICAS 176 5-1 Funciones 177 5-2
Funciones cuadrticasy parbolas 191 5-3 Ms funciones elementales y
sus grficas 197 5-4 Operaciones de funciones 208 5-5 Relaciones
implcitas y funciones inversas 213 Repaso del captulo 219
Ejercicios de repaso 219 CASO DE ESTUDIO 222 6 LOGARITMOS Y
EXPONENCIALES 224 6-1 Inters compuesto y temas relacionados 225 6-2
Funciones exponenciales 236 6-3 Logaritmos 242 6-4 Aplicaciones y
propiedades adicionales de los logaritmos 253 Repaso del captulo
265 Ejercicios de repaso 265 CASO DE ESTUDIO 269 vi CONTENIDO
ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:31 - 6 - ( ) www.FreeLibros.me
9. PARTE DOS MATEMTICAS FINITAS 7 PROGRESIONES Y MATEMTICAS
FINANCIERAS 271 7-1 Progresiones aritmticas e inters simple 272 7-2
Progresiones geomtricas e inters compuesto 279 7-3 Matemticas
financieras 286 7-4 Ecuaciones en diferencias 296 7-5 Notacin de
sumatoria (seccin opcional) 311 Repaso del captulo 318 Ejercicios
de repaso 319 CASO DE ESTUDIO 321 8 LGEBRA DE MATRICES 323 8-1
Matrices 324 8-2 Multiplicacin de matrices 330 8-3 Solucin de
sistemas lineales por reduccin de renglones 341 8-4 Sistemas
singulares 350 Repaso del captulo 355 Ejercicios de repaso 356 CASO
DE ESTUDIO 359 9 INVERSAS Y DETERMINANTES 361 9-1 La inversa de una
matriz 362 9-2 Anlisis insumo-producto 369 9-3 Cadenas de Markov
(opcional) 376 9-4 Determinantes 387 9-5 Inversas por determinantes
395 Repaso del captulo 401 Ejercicios de repaso 402 CASO DE ESTUDIO
405 10 PROGRAMACIN LINEAL 406 10-1 Desigualdades lineales 407 10-2
Optimizacin lineal (enfoque geomtrico) 414 10-3 Tabla smplex 425
10-4 Mtodo smplex 434 CONTENIDO vii ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:31 -
7 - ( ) www.FreeLibros.me
10. Repaso del captulo 444 Ejercicios de repaso 444 CASO DE
ESTUDIO 446 PARTE TRES CLCULO 11 LA DERIVADA 448 11-1 Incrementos y
tasas 449 11-2 Lmites 457 11-3 La derivada 467 11-4 Derivadas de
funciones elevadas a una potencia 473 11-5 Anlisis marginal 480
11-6 Continuidad y diferenciabilidad (seccin opcional) 489 Repaso
del captulo 498 Ejercicios de repaso 499 CASO DE ESTUDIO 501 12
CLCULO DE DERIVADAS 503 12-1 Derivadas de productos y cocientes 504
12-2 La regla de la cadena 510 12-3 Derivadas de funciones
exponenciales y logartmicas 518 12-4 Derivadas de orden superior
527 Repaso del captulo 531 Ejercicios de repaso 532 CASO DE ESTUDIO
534 13 OPTIMIZACIN Y BOSQUEJO DE CURVAS 536 13-1 La primera
derivada y la grfica de la funcin 537 13-2 Mximos y mnimos 542 13-3
La segunda derivada y la concavidad 550 13-4 Bosquejo de curvas
polinomiales 559 13-5 Aplicaciones de mximos y mnimos 564 13-6
Mximos y mnimos absolutos 578 13-7 Asntotas 583 Repaso del captulo
593 Ejercicios de repaso 594 CASO DE ESTUDIO 599 14 MS SOBRE
DERIVADAS 601 14-1 Diferenciales 602 14-2 Diferenciacin implcita
608 viii CONTENIDO ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:32 - 8 - ( )
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11. 14-3 Diferenciacin logartmica y elasticidad 615 Repaso del
captulo 623 Ejercicios de repaso 624 CASO DE ESTUDIO 626 15
INTEGRACIN 628 15-1 Antiderivadas 629 15-2 Mtodo de sustitucin 637
15-3 Tablas de integrales 644 15-4 Integracin por partes 648 Repaso
del captulo 652 Ejercicios de repaso 653 CASO DE ESTUDIO 656 16 LA
INTEGRAL DEFINIDA 658 16-1 reas bajo curvas 659 16-2 Ms sobre reas
668 16-3 Aplicaciones en la administracin y la economa 677 16-4
Valor promedio de una funcin 688 16-5 Integracin numrica (seccin
opcional) 691 16-6 Ecuaciones diferenciales: una introduccin 697
16-7 Ecuaciones diferenciales separables 706 16-8 Aplicaciones a
probabilidad (seccin opcional) 712 Repaso del captulo 721
Ejercicios de repaso 722 CASO DE ESTUDIO 725 17 FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES 727 17-1 Funciones y dominios 728 17-2 Derivadas
parciales 738 17-3 Aplicaciones para anlisis en la administracin
745 17-4 Optimizacin 753 17-5 Multiplicadores de Lagrange (seccin
opcional) 759 17-6 Mtodo de mnimos cuadrados 767 Repaso del captulo
774 Ejercicios de repaso 775 CASO DE ESTUDIO 779 Apndices 781
Respuestas a los ejercicios impares 799 ndice 833 CONTENIDO ix
ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:32 - 9 - ( ) www.FreeLibros.me
13. En esta nueva edicin, nos hemos esforzado por presentar el
lgebra, las matemticas finitas y el clculo diferencial e integral,
en forma tal que resulten de mximo pro- vecho a estudiantes cuyo
campo de especializacin no sean las matemticas ni las ciencias
fsicas. La orientacin principal del libro es hacia aplicaciones en
la admi- nistracin y la economa, aunque en esta edicin se incluyen
una significativa can- tidad de ejercicios y aplicaciones
concernientes a diversas reas de las ciencias sociales y biolgicas,
lo cual ampla la utilidad del texto. Aunque en esta edicin el marco
bsico general no ha cambiado, se ha reali- zado una gran cantidad
de revisiones. Hemos agregado una seccin en el captulo 7 sobre
ecuaciones en diferencias y sus aplicaciones en matemticas
financieras y en el captulo 16 hemos expandido a dos secciones la
cobertura de ecuaciones diferen- ciales. Se han revisado
completamente el captulo 6, sobre funciones exponenciales y
logartmicas; el tratamiento de desigualdades cuadrticas en el
captulo 3 y las pri- meras cuatro secciones en el captulo 13, sobre
optimizacin. Y las aplicaciones en los captulos 2 y 4 se han
dividido y colocado ms prximas al lgebra que las rela- ciona. Adems
de estas revisiones y adiciones importantes, se han hecho una gran
cantidad de otras a lo largo de todo el libro, las cuales consisten
en ejemplos adicio- nales desarrollados o aplicaciones del anlisis.
La mayor parte de los conjuntos de ejercicios se han modificado,
con la adicin de varios cientos de ejercicios nuevos. Varias
herramientas pedaggicas son nuevas en esta edicin. Al inicio de ca-
da captulo se incluye una aplicacin o problema interesante y al
final se agrega un repaso del captulo y un caso de estudio. Se hace
un uso amplio de cuadros para en- fatizar las frmulas y resultados
principales. Quiz lo ms til de todo para el estu- diante, es la
inclusin en el margen de cuadros de repaso a lo largo de toda la
obra. stos contienen preguntas sencillas que ligan de forma directa
al anlisis adyacen- te. Los asteriscos (*) preceden a los
ejercicios que constituyen un reto. PREFACIO xi Prefacio
ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:32 - 11 - ( ) www.FreeLibros.me
14. Como antes, el libro est orientado a la enseanza de las
aplicaciones y a la utilizacin de las matemticas ms que a las
matemticas puras. No se hace hinca- pi en las demostraciones de los
teoremas, ni se da a stas un lugar prominente en el desarrollo del
texto. Por lo regular, despus de enunciar un teorema procedemos a
ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego
se da la demos- tracin. Las demostraciones ms difciles, adems, se
han omitido por completo. Este relativo desinters por los
pormenores matemticos da a los estudiantes cuya principal motivacin
es la aplicacin de las matemticas, el tiempo nece- sario para
mejorar sus habilidades en el uso de diversas tcnicas. Segn nuestra
experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las tcnicas por
lo comn de- sarrollan una intuicin razonablemente clara del
proceso, y la carencia de un com- pleto rigor matemtico no
constituye una grave deficiencia. El contenido de este libro se ha
escogido de tal manera que incluya aquellas partes de las
matemticas bsicas que son de mayor inters para estudiantes que se
especializan en administracin y economa, as como para estudiantes
de ciencias sociales y biolgicas. Las aplicaciones referidas a
estas reas se han integrado por completo en el desarrollo de la
obra; a veces una aplicacin particular se utiliza pa- ra motivar
ciertos conceptos matemticos; en otros casos determinado resultado
matemtico se aplica, ya sea de inmediato o en una seccin
subsecuente, a un pro- xii CAPTULO 1 PREFACIO 1,2 Y 3 REPASO DE
LGEBRA 4 LNEAS RECTAS 5 Y 6 FUNCIONES Y GRFICAS, LOGARITMOS Y
EXPONENCIALES 8 7 MATRICES PROGRESIONES Y MATEMTICAS FINANCIERAS 9
10 DETERMINANTES PROGRAMACIN LINEAL 11-14 CLCULO DIFERENCIAL 15-16
17 CLCULO FUNCIONES DE INTEGRAL VARIAS VARIABLES LGEBRA UNIVERSITA-
RIA ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:32 - 12 - ( ) www.FreeLibros.me
15. blema concreto, digamos de anlisis empresarial. Por lo
general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercana con el
tratamiento del concepto matemtico especfico en cuestin. No
obstante, cabe aclarar que las matemticas de esta obra se presen-
tan en un estilo limpio, es decir fuera del contexto de cualquier
aplicacin par- ticular. Slo despus de establecer cada resultado en
un nivel puramente algebraico, se aplica ste a un problema prctico.
El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra
previa al cl- culo; la Parte Dos, las matemticas finitas, y la
Parte Tres el clculo propiamente di- cho. Las partes Dos y Tres son
casi totalmente independientes entre s y pueden es- tudiarse en
orden indistinto. El lgebra previa al clculo abarca los primeros
seis captulos del libro. En los primeros tres de ellos presentamos
un repaso bastante detallado del lgebra de nivel intermedio y de la
solucin de ecuaciones y desigualdades en una variable. Los es-
tudiantes que estn familiarizados con estos temas quizs prefieran
empezar direc- tamente con el captulo 4, que trata las ecuaciones y
los sistemas lineales. El resto de la primera parte consta de un
captulo sobre funciones y otro sobre exponencia- les y logaritmos.
La parte del libro dedicadas a las matemticas finitas se compone
por s mis- ma en dos partes casi independientes: el captulo 7,
sobre matemticas financieras; y los captulos 8, 9 y 10 sobre
matrices, determinantes y programacin lineal. El ca- ptulo 10,
dedicado a la programacin lineal, exige conocer un poco lo tratado
en el captulo 8, pero no requiere lo referente al captulo 9. Los
captulos 11 a 14 tratan el clculo diferencial en una variable. Los
prime- ros dos de estos captulos se explican las antiderivadas, y
se ofrece una opcin so- bre cmo enfocar la integracin. Despus de
exponer el mtodo de sustitucin, de inmediato se presentan las
tablas de integrales de modo que el profesor que desee pasar
rpidamente a las aplicaciones pueda hacerlo. Por otra parte, si el
profesor desea dedicar ms tiempo a las tcnicas de inte- gracin,
puede posponer la seccin sobre las tablas y tratar primero la
seccin final del captulo 15. El segundo de estos captulos estudia
la integral definida y sus apli- caciones al clculo de reas;
anlisis gerencial y ecuaciones diferenciales. El captulo final
constituye una introduccin al clculo diferencial de funcio- nes de
varias variables. Seleccionando captulos y/o secciones de captulos
en forma apropiada, el li- bro puede adaptarse a una gran variedad
de cursos. Por ejemplo, puede impartirse adecuadamente cursos de
lgebra superior, lgebra y matemticas finitas, lgebra y clculo o
matemticas finitas y clculo si se seleccionan los captulos
pertinentes. El diagrama ilustra la estructura del libro en cuanto
a requisitos previos de conoci- mientos, y con base en l resultar
evidente cmo estos diversos cursos pueden pla- nearse haciendo las
elecciones temticas apropiadas. Para los profesores est disponible
un Manual del Instructor. Escrito por los autores, este suplemento
contiene las soluciones completas para todos los proble- mas.
Deseamos expresar nuestros agradecimientos a las siguientes
personas quie- nes revisaron el manuscrito de la revisin y
proporcionaron valiosos comentarios y sugerencias: Michael J.
Bradley, Merrimack College; Richard Weimer, Frotsburg State
University; Karen Mathiason, West Texas State University; Ronald
Edwards, Westfield State University; Yoe Itokawa, University of
Alabama, Birmingham y a Greg Taylor, Wake Forest University.
Agradecemos al M. en C. Vctor Hugo Ibarra, Universidad Anhuac e
Institu- to Politcnico Nacional; al Maestro Jos Luis Villalobos,
Universidad Autnoma de PREFACIO xiii ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:32 -
13 - ( ) www.FreeLibros.me
16. Guadalajara y al Doctor Macario Schettino, Instituto
Tecnolgico y de Estudios Su- periores de Monterrey Campus Ciudad de
Mxico, las secciones con que inicia cada captulo y los casos de
estudio al final de los mismos. El editor de este libro agra- dece
al ingeniero Abelardo de Anda Fernndez de Castro sus acertadas
observacio- nes y correcciones con las cuales se enriqueci esta
edicin. J.C.A. R.W.L. xiv PREFACIO ARYA-00.pdf 29/7/08 18:16:33 -
14 - ( ) www.FreeLibros.me
17. 1 CAPTULO 1 Repaso de lgebra 1-1 LOS NMEROS REALES 1-2
FRACCIONES 1-3 EXPONENTES 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 1-5
OPERACIONES ALGEBRAICAS 1-6 FACTORIZACIN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS
REPASO DEL CAPTULO Este captulo revisa las tcnicas fundamentales de
lgebra. Est dirigido a los estudiantes que, por una u otra razn, lo
necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas bsicas. T E M
A R I O Objetivo del captulo Una compaera nos sorprendi cuando en
una clase necesi- tbamos calcular el rea de un cuadrado de 75 cm
por lado y ella de inmediato respondi que el rea era de 5625 cm2.
El profesor intrigado le pregunt cmo haba hecho la ope- racin tan
rpido, a lo que ella contest que al siete le su- mo uno, cuyo
resultado es ocho, multiplic ste (el ocho) por siete y obtuvo 56, y
coloc el 56 adelante del nmero 25, obteniendo as la respuesta.
Nuestra compaera agre- g que este mtodo slo serva para nmeros que
termi- naran en cinco. El profesor se qued pensativo probando con
varios nmeros, y despus de un rato nos explic lo siguiente: Para
representar un nmero que termine en cinco, podemos indicar con d al
nmero de decenas y as formar el nmero: 10d 5. Al elevar este nmero
al cuadrado recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado,
obtenemos: (10d 5)2 100d2 100d 25. Si factorizamos los primeros dos
trminos del lado derecho, cuyo factor comn es 100d, tenemos: (10d
5)2 100d(d 1) 25. Con esto podemos entender la regla para elevar
rpidamente al cuadrado un nmero que termine en cinco. Hagmoslo con
un ejemplo: Elevemos (65)2. a) Nos fijamos en el nmero de decenas:
seis. b) ste lo multiplicamos por el dgito que es uno mayor que l,
siete. c) Formamos el nmero que inicia con el resultado anterior,
42, y termina con 25, es decir, 4225. Al emplear esta regla,
realicemos las operaciones si- guientes: i) 252. ii) 552. iii) 952.
iv) 1152. v) 7.52. vi) 1052. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:26 - 1 - ( )
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18. Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los
nmeros reales. Los nmeros 1, 2, 3, etc., se denominan nmeros
naturales. Si sumamos o multiplica- mos dos nmeros naturales
cualesquiera, el resultado siempre es un nmero natural. Por
ejemplo, 8 5 13 y 8 5 40; la suma 13 y el producto 40 son nmeros
naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos nmeros naturales,
el resultado no siempre es un nmero natural. Por ejemplo, 8 5 3 y 8
2 4 son nme- ros naturales, pero 5 8 y 2 7 no son nmeros naturales.
As, dentro del sistema de nmeros naturales, siempre podemos sumar y
multiplicar pero no siempre pode- mos restar o dividir. Con objeto
de superar la limitacin de la sustraccin, extendemos el sistema de
los nmeros naturales al sistema de los nmeros enteros. Los enteros
incluyen los nmeros naturales, los negativos de cada nmero natural
y el nmero cero (0). De este modo podemos representar al sistema de
los enteros mediante . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . Es claro
que los nmeros naturales tambin son enteros. Si sumamos,
multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado
tambin es un entero. Por ejemplo, 3 8 5, (3)(5) 15 y 3 8 5 son
enteros. Pero an no podemos dividir un entero entre otro y obtener
un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 (2) 4 es un
entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis- tema de los
enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre
podemos dividir. Para superar la limitacin de la divisin extendemos
el sistema de los enteros al sistema de los nmeros racionales. Este
sistema consiste de todas las fracciones a/b, donde a y b son
enteros con b 0. Un nmero es racional si podemos expresarlo como la
razn de dos enteros con denominador distinto de cero. As 8 3 , 5 7
, 0 3 y 6 6 1 , son ejemplos de nmeros racio- nales. Podemos sumar,
multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos nmeros racionales
(exceptuando la divisin entre cero)* y el resultado siempre es un
nme- ro racional. De esta manera las cuatro operaciones
fundamentales de la aritmtica: adicin, multiplicacin, sustraccin y
divisin son posibles dentro del sistema de los nmeros racionales.
Cuando un nmero racional se expresa como un decimal, los decimales
termi- nan o presentan un patrn que se repite indefinidamente. Por
ejemplo, 1 4 0.25 y 9 8 3 0 1.1625 corresponden a decimales que
terminan, mientras que 1 6 0.1666. . . y 4 7 0.5714285714285. . .
corresponden a decimales con patrones que se repiten. Tambin
existen algunos nmeros de uso comn que no son racionales (es de-
cir, que no pueden expresarse como la razn de dos enteros). Por
ejemplo, 2, 3 y no son nmeros racionales. Tales nmeros se denominan
nmeros irraciona- les. La diferencia esencial entre los nmeros
racionales y los irracionales se advier- te en sus expresiones
decimales. Cuando un nmero irracional se presenta por me- 2 CAPTULO
1 REPASO DE LGEBRA 1-1 LOS NMEROS REALES *Vase el pargrafo final de
esta seccin. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:26 - 2 - ( )
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19. dio de decimales, los decimales continan indefinidamente
sin presentar ningn pa- trn repetitivo. Por ejemplo, con diez
cifras decimales 2 1.4142135623. . . y 3.1415926535. . . No importa
con cuntos decimales expresemos estos nmeros, nunca presentarn un
patrn repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el
caso de los nmeros racionales. El trmino nmero real se utiliza para
indicar un nmero que es racional o irracional. El sistema de los
nmeros reales consta de todas las posibles expresiones decimales.
Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los
nme- ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los
nmeros irracionales. 1 Geomtricamente, los nmeros reales se pueden
representar por los puntos so- bre una lnea recta denominada recta
numrica. Con el fin de hacer esto, seleccio- nemos un punto
arbitrario O sobre la lnea que represente al nmero cero. Los nmeros
positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de O
y los ne- gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un
punto a la derecha de O tal que OA1 tiene longitud unitaria,
entonces A1 representa al nmero 1. Los enteros 2, 3, . . . , n, . .
. estn representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . ,
estn a la de- recha de O y son tales que OA2 2OA1, OA3 3OA1, . . .
, OAn nOA1, . . . De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . ,
son los puntos a la izquierda de O tales que las distancias OB1,
OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . ,
OAn, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . .
, Bn, . . . , representan a los nmeros negativos 1, 2, 3, . . . ,
n, . . . En esta forma, todos los enteros pueden representarse
mediante puntos sobre la recta numrica. (Vase la figura 1.) SECCIN
1-1 LOS NMEROS REALES 3 Los nmeros racionales pueden representarse
por puntos sobre la recta num- rica que estn situados un nmero
apropiado de unidades fraccionarias a partir de O. Por ejemplo, el
nmero 9 2 est representado por el punto situado cuatro unidades y
media a la derecha de O y 7 3 est representado por el punto que est
situado dos unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera
similar, todo nmero racional puede representarse por un punto sobre
la lnea. Se deduce que todo nmero irracional tambin puede
representarse por un punto sobre la recta numrica. En consecuencia,
todos los nmeros reales, tantos los racionales como los
irracionales, pueden representarse por tales puntos. Ms an, cada
punto sobre la recta numrica corresponde a uno y slo un nmero real.
Debi- do a esto, es bastante comn el uso de la palabra punto con el
significado de nme- ro real. Bn B3 B2 A1 A2 A3 AnB1 O 1 2 3On n3 2
1 FIGURA 1 1. Qu tipo de nmero es cada uno de los siguientes?: (a)
2 3 ; (b) (2)2; (c) 2 . Respuesta (a) racional, real; (b) natural,
entero, real; (c) irracional, real. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:26 -
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20. Propiedades de los nmeros reales Cuando dos nmeros reales
se suman, el resultado siempre es un nmero real; de manera similar,
cuando dos nmeros reales se multiplican, tambin el resultado es un
nmero real. Estas dos operaciones de adicin y multiplicacin son
fundamenta- les en el sistema de los nmeros reales y poseen ciertas
propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por s
mismas parecen ser ms bien elementales, quizs aun obvias, pero son
vitales para entender las diversas manipulaciones al- gebraicas que
efectuaremos despus. PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos
nmeros reales cualesquie- ra, entonces a b b a y ab ba. Por
ejemplo, 3 7 7 3, 3 (7) (7) 3, 3 7 7 3 y (3)(7) (7)(3). Estas
propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos nme-
ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con
cualquier or- den que sigamos). Se conocen como propiedades
conmutativas de la adicin y de la multiplicacin, respectivamente.
PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres nmeros reales
cualesquiera, entonces (a b) c a (b c) y (ab)c a(bc). Por ejemplo,
(2 3) 7 2 (3 7) 12 y (2 3) 7 2 (3 7) 42. Estas propiedades se
conocen como propiedades asociativas de la adicin y de la mul-
tiplicacin, respectivamente. Establecen que, si tres nmeros se
suman (o se multi- plican) a la vez, no importa cules dos de ellos
se sumen (o se multipliquen) en pri- mer trmino. Obtenemos la misma
respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es
innecesario escribir los parntesis en las ex- presiones anteriores.
Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c y abc para
su producto sin ninguna ambigedad. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a,
b y c son nmeros reales cualesquiera, entonces a(b c) ab ac y (b
c)a ba ca. Por ejemplo, 2(3 7) 2(3) 2(7) 6 14 20. Esto es sin duda
cierto por- que 2(3 7) 2 10 20. Por otra parte, (2)[3 (7)] (2)(3)
(2)(7) 6 14 8. Podemos evaluar la expresin dada directamente,
obtenien- do la misma respuesta: (2)[3 (7)] (2)(4) 8. 4 CAPTULO 1
REPASO DE LGEBRA ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:26 - 4 - ( )
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21. La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad
se sigue de la primera dado que, por la propiedad conmutativa (b
c)a a(b c) y tambin ba ca ab ac. Puesto que los segundos miembros
son iguales uno a otro en virtud de la primera pro- piedad
distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales. Las
propiedades distributivas son particularmente importantes en los
clculos al- gebraicos. Como veremos, stas sustentan muchas
operaciones incluidas en la simplifi- cacin de expresiones y, si se
leen hacia atrs, esto es, de derecha a izquierda, forman la base
para los mtodos de factorizacin. 2 Los ejemplos siguientes ilustran
algunos usos elementales de estas propiedades de los nmeros reales
al simplificar las expresiones algebraicas. EJEMPLO 1 (a) x(y 2) xy
x(2) (propiedad distributiva) xy 2x (propiedad conmutativa) (b) 2x
3x (2 3)x (propiedad distributiva) 5x (c) 2(3x) (2 3)x (propiedad
asociativa) 6x (d) (2x)(3x) [(2x) 3]x (propiedad asociativa) [3
(2x)]x (propiedad conmutativa) [(3 2)x]x (propiedad asociativa)
(6x)x 6(x x) (propiedad asociativa) 6x2 donde x2 denota x x. Esta
respuesta final pudo obtenerse agrupando los trminos semejantes en
el producto original: los nmeros 2 y 3 multiplicados dan 6 y las
dos x multiplicadas dan x2. La parte siguiente ilustra este
procedimiento. (e) [5(3ab)] (2a) (5 3 2)(a a)b 30a2b. Esta
respuesta puede justificarse mediante una sucesin de pasos que
emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte (d).
(f) 2x (3y x) 2x (x 3y) (propiedad conmutativa) (2x x) 3y
(propiedad asociativa) (2x 1x) 3y (2 1)x 3y (propiedad
distributiva) 3x 3y SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 5 2. Cules
propiedades de los nmeros reales son utilizadas en cada una de las
siguientes igualdades? (a) 2 3 4 2 4 3; (b) 2 3 4 3 4 2; (c) 2 (3
4) (3 4) 2; (d) 2 (3 4) 4 (2 3); (e) 3x 3x (3 3)x; (f) 3x xy x(3
y). Respuesta (a) conmutativa; (b) conmutativa; (c) conmutativa;
(d) ambas, conmutativa y asociativa; (e) distributiva; (f) ambas,
distributiva y conmutativa. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 5 - ( )
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22. (g) 2x(4y 3x) (2x)(4y) (2x)(3x) (propiedad distributiva) (2
4)(x y) (2 3)(x x) (propiedades asociativa y conmutativa como en la
parte (a)) 8xy 6x2. La propiedad distributiva puede usarse en el
caso en que ms de dos cantida- des se sumen dentro de los
parntesis. Esto es, a(b c d) ab ac ad, etctera. EJEMPLO 2 4(x 3y
4z) 4x 4(3y) 4(4z) (propiedad distributiva) 4x (4 3)y (4 4)z
(propiedad asociativa) 4x 12y 16z ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un
nmero real cualquiera, entonces a 0 a y a 1 a. Es decir, si 0 se
suma a a, el resultado an es a y si a se multiplica por 1, el
resul- tado de nuevo es a. Por esta razn, los nmeros 0 y 1 a menudo
se conocen como elementos identidad para la adicin y la
multiplicacin, respectivamente, porque no alteran nmero alguno bajo
sus respectivas operaciones. INVERSOS Si a es un nmero real
arbitrario, entonces existe un nico nmero real denominado el
negativo de a (denotado por a) tal que a (a) 0. Si a no es cero,
entonces tambin existe un nico nmero real denominado el rec- proco
de a (denotado por a1) tal que a a1 1. Obsrvese la similitud entre
las dos definiciones: cuando a se suma a a, el resul- tado es el
elemento identidad para la edicin y cuando a1 se multiplica por a,
el re- sultado es el elemento identidad para la multiplicacin. A
menudo nos referiremos a a como el inverso aditivo de a y a a1 como
el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces a1 se denomina
simplemente inverso de a.) 6 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA ARYA-01.pdf
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23. EJEMPLO 3 (a) El inverso aditivo de 3 es 3 dado que 3 (3)
0. El inverso aditivo de 3 es 3 puesto que (3) 3 0. Como el inverso
aditivo de 3 se denota por (3), se sigue que (3) 3. En realidad, un
resultado correspondiente vale pa- ra cualquier nmero real a: (a)
a. (b) El inverso multiplicativo de 3 es 31 dado que 3 31 1. El
inverso mul- tiplicativo de 31 sera denotado por (31)1 y estara
definido por el requerimiento de que 31 (31)1 1. Pero dado que 31 3
1, se sigue que 3(1)1 es igual a 3. De nuevo este resultado puede
generalizarse para cualquier nmero real a dis- tinto de cero: (a1)1
a. (El inverso del inverso de a es igual a a.) Una vez que hemos
definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po- demos
definir lo que entenderemos por las operaciones de sustraccin y
divisin. Definimos a b como el nmero a (b), es decir, a ms el
negativo de b. De manera similar, definimos a b como el nmero ab1,
es decir, a multiplicado por el recproco de b. La expresin a b est
definida slo cuando b 0. Tambin se indica por la fraccin a/b y
tenemos que Definicin de a b : a b ab1. (1) Haciendo a 1 en la
ecuacin (1), resulta que 1 b 1 b1 b1. De aqu, la fraccin 1/b
significa lo mismo que el inverso multiplicativo b1. Por ejemplo,
31 1 3 . Por tanto, se sigue de la ecuacin (1) que a b a 1 b dado
que b1 1/b. 3 SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 7 3. Cules propiedades
de los nmeros reales se utilizan en cada una de las igualdades
siguientes? (a) x 3x 1x 3x (1 3) x 4x; (b) (2 1) (1) 2 [1 (1)] 2 0
2; (c) 3 1 3 1. Respuesta (a) propiedad del elemento idntico
multiplicativo y propiedad distributiva; (b) propiedad asociativa,
inverso aditivo y neutro aditivo; (c) idntico multiplicativo y
definicin de 1 a . ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 7 - ( )
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24. EJEMPLO 4 (a) 7 1 3 1 (Ecuacin (1), con a 7 y b 1 3 )
7(31)1 7(3) 21 Este resultado se extiende a cualesquiera pares de
nmeros reales a y b (b 0): 1 a /b ab. (b) Para cualquier nmero
real, (1)b b. Esto se debe a que b (1)b 1 b (1)b [1 (1)]b
(propiedad distributiva) 0 b 0 Por tanto, (1)b debe ser el inverso
aditivo de b, es decir b. (c) a(b) a[(1)/b] (por la parte (b))
(1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) (ab) Por
ejemplo, 3(7) (3 7) 21. (d) 3(x 2y) 3[x (2y)] (definicin de
sustraccin) 3x 3(2y) (propiedad distributiva) 3x [3(2y)] (de la
parte (c)) 3x [(3 2)y] (propiedad asociativa) 3x 6y En general, la
propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos
negativos. Por ejemplo, a(b c) ab ac. De esa manera podemos
resolver este ejemplo en forma directa. 3(x 2y) 3x 3(2y) 3x 6y
Obsrvese que cuando una expresin dentro de parntesis debe
multiplicarse por una cantidad negativa, todo trmino dentro del
parntesis cambia de signo. (a b) (1)(a b) (1)a (1)b a b EJEMPLO 5
2(x 3y) (2)x (2)(3y) 2x 6y Ntese que tanto x como 3y que estn
dentro de los parntesis cambian de signo, quedando como 2x y 6y,
respectivamente. 7 (1 3 ) 8 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA ARYA-01.pdf
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25. 1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es
vlida o no. Reemplace cada proposicin falsa por una que sea co-
rrecta. a. 3x 4x 7x b. (3x)(4x) 7x c. 2(5 4y) 10 4y d. (x y) x y e.
5x (2 3x) 2x 2 f. 5 2x 3x g. 3(x 2y) 3x 6y h. (a)(b)(c) (d) (abc d)
i. a (b c) (ac) b j. a (b c) (a c) b k. (x)(y) xy l. a b a b m. 0 x
0 para todos los nmeros reales x (2-60) Simplifique las expresiones
siguientes. 2. 5 (3) 3. 7 (3) 4. 5(3) 5. (3)(7) 6. 8 (2) 7. (9) (3)
8. (2 6) 9. (4 3) 10. (3)(2)(4) 11. (5)(3)(2) 12. 3(1 4) 13. 2(2 3)
14. 2(4 2) 15. 4(3 6) 16. 6 2(3 2) 17. 3(x 2y) 18. 4(2x z) 19. 2(2x
y) 20. 3(4z 2x) 21. (x 6) 22. (x 3) 23. 3(x 4) 24. 2(x 3) 25. 2(x
2) 26. 4(x 6) 27. x(y 6) 28. x(y 6) 29. 2(x y) 4x 30. 3y 4(x 2y)
31. 2z 3(x 2z) 32. 4x 2(3z 2x) 33. (x y) 4(x y) 34. 3(y 2x) 2(2x
2y) 35. 5(7x 2y) 4(3y 2x) 36. 4(8z 2t) 3(t 4z) 37. x(y)(z) 38.
(x)(y)(z) 39. (2)(x)(x 3) 40. (x)(y)(2 3z) 41. 2(a)(3 a) 42. (37
p)(2q)(q p) 43. x(2)(x 4) 44. (2x)(3)(y 4) 45. x(x 2) 2(x 1) 46.
2(3x)(2y 1) (y)(4 5x) 47. 2x 5 2(x 2) 48. 3x t 2(x t) 49. 2(x y) x
50. 4x(x y) x2 51. 4[2(x 1) 3] 52. x[3(x 2) 2x 1] 53. x[3(4 5) 3]
54. 4[x(2 5) 2(1 2x)] 55. x1 (x 2) 56. x1 (2x 1) 57. (2x)1 (3x 1)
58. (3x)1 (6 2x) 59. (xy)1 (x y) 60. (xy)1 (2x 3y) SECCIN 1-1 LOS
NMEROS REALES 9 Observacin sobre la divisin entre cero. La
afirmacin a/b c es cierta si y slo si la proposicin inversa a b c
es vlida. Consideremos una fraccin en la cual el denominador b es
cero, tal como 3 0 . sta no puede ser igual a ningn n- mero real c
porque la afirmacin inversa 3 0 c no puede ser vlida para ningn
real c. Por tanto 3 0 no est bien definido. Asimismo, 0 0 no es un
nmero real bien de- finido porque la proposicin inversa 0 0 c es
vlida para cada nmero real c. As, concluimos que cualquier fraccin
con denominador cero no es un nmero real bien definido o, en forma
equivalente, que la divisin entre cero es una operacin que carece
de sentido. Por ejemplo, x/x 1 es cierto slo si x 0. 4 4. Estn
definidas las expresiones siguientes? (a) b (3 a b 4b) ; (b) b (3b
a 4b) . Respuesta (a) no; (b) s, siempre y cuando a 0. EJERCICIOS
1-1 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 9 - ( ) www.FreeLibros.me
26. En la seccin 1-1, vimos que la fraccin a/b est definida
como el producto de a y el inverso de b: a b ab1 (b 0). En
particular, 1 b b1. Con base en la definicin anterior es posible
deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En
esta seccin nos detendremos un poco a examinar es- te tipo de
operaciones.* Multiplicacin de fracciones El producto de dos
fracciones se obtiene multiplicando en primer trmino los dos
numeradores y luego los dos denominadores. a b d c b a d c EJEMPLO
1 (a) 2 3 5 9 2 3 5 9 1 2 0 7 (b) 2 3 x 4 y ( 3 2x ) y 4 8 3 x y
(c) 3x 5 4 y 3 1 x 5 4 y 1 5 2 y x 5 Divisin de fracciones Con el
propsito de dividir una fraccin entre otra, la segunda fraccin se
invierte y despus se multiplica por la primera. En otras palabras,
a b d c a b d c a b d c . (3x) 4 1 (5y) 10 CAPTULO 1 REPASO DE
LGEBRA 1-2 FRACCIONES 5. Evale (a) 2 3 7 3 ; (b) 2 x 7 5 .
Respuesta (a) 1 9 4 ; (b) 1 7 0 x . *Las demostraciones de las
propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de
teoremas al final de esta seccin. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 10
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27. EJEMPLO 2 (a) 3 5 7 9 3 5 9 7 2 3 7 5 (b) 3 2 x 4 y 3 2 x 4
y 3 8 xy (c) 5y 5 6 x 5 1 y 5 6 x 25 6 xy (d) 2 3 x (2y) 2 3 x 2 1
y 2 3 x 2 1 y 4 3 xy (e) a b 1 1 a b 1 b a b a (Es decir, el
recproco de cualquier fraccin se obtiene intercambiando el numera-
dor y el denominador de la fraccin.) 6. En vista de este ltimo
resultado, podemos reescribir la regla anterior para la divisin:
para dividir entre una fraccin, debe multiplicar por su recproco.
Cancelacin de factores comunes El numerador y el denominador de
cualquier fraccin pueden multiplicarse o divi- dirse por un nmero
real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac-
cin. a b a b c c (c 0) EJEMPLO 3 (a) a b 2 2 a b (b) 3 5 1 6 0 1 9
5 1 2 2 0 (c) 5 6 x 1 1 0 2 x x 2 (con tal que x 0) Esta propiedad
de las fracciones puede usarse con el fin de reducir una frac- cin
a su mnima expresin, lo que significa dividir al numerador y al
denomina- dor por todos los factores comunes. (Esto se llama tambin
simplificacin de la fraccin.) SECCIN 1-2 FRACCIONES 11 6. Evale (a)
2 3 3 2 ; (b) 2 x 7 5 . Respuesta (a) 4 9 ; (b) 1 5 4 x .
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28. EJEMPLO 4 (a) 7 8 0 4 2 2 2 5 3 7 7 Obsrvese que tanto el
numerador como el denominador se escriben primero en tr- minos de
sus factores primos y luego el numerador y el denominador se
dividen por aquellos factores que son comunes a ambos nmeros, como
el 2 y el 7. (Este proce- so algunas veces se denomina cancelacin.)
(b) 6 8 x x 2 y y 2 3 4 x y (xy 0) En este ejemplo, el numerador y
el denominador fueron divididos entre 2xy en la simplificacin. (c)
2 4 x y ( ( x x 1 1 ) ) 2 x y (x 1 0) Aqu el factor comn 2(x 1) fue
cancelado del numerador y del denominador. 7 Adicin y sustraccin de
fracciones Cuando dos fracciones tienen un comn denominador, pueden
sumarse simplemen- te sumando sus numeradores. a c b c a c b Una
regla similar se aplica a la sustraccin: a c b c a c b . EJEMPLO 5
(a) 1 5 2 1 1 1 2 5 12 11 1 1 6 2 4 3 (b) 2 3 x 2 5 x 3 2 x 5 2x 2
1 x (Ntese la cancelacin de factores comunes al llegar a las
respuestas finales.) Cuando dos fracciones con denominadores
distintos deben sumarse o restar- se, las fracciones deben en
primer lugar reescribirse con el mismo denominador. 2 3 x x y 2 2 2
x y y 2 3 x x y 2 2 2 x y y 5 6 5 2 3 2 5 7 2 2 3 7 12 CAPTULO 1
REPASO DE LGEBRA 7. Evale (a) 2 3 1 4 5 , (b) 2 x 3 8 x y Respuesta
(a) 5 2 ; (b) 4 3 y . ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 12 - ( )
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29. EJEMPLO 6 Simplique: (a) 5 6 1 2 ; (b) 5 6 3 4 . Solucin
(a) Podemos escribir 1 2 3 6 . Entonces ambas fracciones tienen el
mismo denominador, de modo que podemos sumarlas. 5 6 1 2 5 6 3 6 5
6 3 8 6 4 3 (b) En la parte (a), multiplicamos el numerador y el
denominador de 1 2 por 3 para obtener un denominador igual al de la
otra fraccin. En esta parte, ambas frac- ciones deben modificarse
para que tengan un factor comn. Escribimos 5 6 1 1 0 2 y 3 4 1 9 2
. Por tanto, 5 6 3 4 1 1 0 2 1 9 2 10 1 2 9 1 1 2 . En general,
cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife-
rentes, primero reemplazamos cada fraccin por una equivalente que
tenga un de- nominador comn. Con el propsito de mantener los nmeros
tan pequeos como sea posible, elegimos el ms pequeo de tales
denominadores comunes, denomina- do el mnimo comn denominador
(m.c.d.). An obtendramos la respuesta correcta utilizando un
denominador comun ms grande, pero es preferible usar el mnimo
denominador posible. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6,
pudimos emplear 24 como un denominador comn: 5 6 3 4 2 2 0 4 1 2 8
4 20 2 4 18 2 2 4 1 1 2 . La respuesta final es la misma, pero
habramos tenido que trabajar con nmeros ms grandes. Para calcular
el m.c.d. de dos o ms fracciones, los denominadores deben es-
cribirse en trminos de sus factores primos. El m.c.d. se forma
entonces tomando to- dos los factores primos que aparezcan en
cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores
debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los
denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 5 6 y 3 4 , se encuentra
escribiendo los denominadores en la forma 6 2 y 4 2 2. Los factores
primos que ocurren son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un
denominador. De modo que el m.c.d. es 2 2 3 12. Como un segundo
ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Es- cribimos
12x 2 2 3 x y 10x2y 2 5 x x y. Tomando cada factor el mayor nmero
de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x2y. 8 1
3 2 3 SECCIN 1-2 FRACCIONES 13 8. En cada caso, cul es mnimo comn
denominador? (a) 2 3 y 5 6 ; (b) 2 1 xy y 8 x y . Respuesta (a) 6.
(b) 8xy. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 13 - ( )
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30. EJEMPLO 7 Simplifique: (a) 6 x 3 4 y ; (b) 9 1 x 1 6 ; (c)
a c b d ; (d) ; (e) 3x 3 1 x2 4 3 xy Solucin (a) El m.c.d. es 12. 6
x 1 2 2 x y 3 4 y 3( 1 3 2 y) 1 9 2 y Por tanto 6 x 3 4 y 1 2 2 x 1
9 2 y 2x 1 2 9y (b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que 9 1
x 1 2 8x y 1 6 1 3 8 x x . Entonces 9 1 x 1 6 1 2 8x 1 3 8 x x 2 1
8x 3x . (c) El m.c.d. es cd. a c b d a cd d b cd c ad c d bc 9 (d)
Aqu tenemos una fraccin cuyo denominador a su vez incluye una frac-
cin. Primero simplificamos el denominador: 5b b 3 15b 3 b 14 3 b .
Entonces la expresin dada es 14 4 b a 3 4a 14 3 b 1 4a 1 3 4b 6 7 a
b . (e) Primero simplificamos la expresin que se encuentra entre
parntesis. El mnimo comn denominador es 12x2y. 3 1 x2 4 3 xy 12 4 x
y 2y 12 9 x x 2y 4y 12 x2y 9x . 4a 5b b 3 14 CAPTULO 1 REPASO DE
LGEBRA 9. Evale y simplifique (a) 2 3 5 4 ; (b) 2 x y 8 7 y x
Respuesta (a) 2 1 3 2 ; (b) 3 8 x y . ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27
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31. Por tanto la expresin dada es igual a 3x 4y 12 x2y 9x 3 1 x
4y 12 x2y 9x 4y 36 x3y 9x (en donde x3 x x2 x x x). Demostraciones
de los teoremas Concluimos esta seccin demostrando las propiedades
bsicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos
anteriores. TEOREMA 1 1 b 1 d b 1 d DEMOSTRACIN Por definicin, 1 b
b1 y 1 d d1, de modo que 1 b 1 d b1 d1. Como, (b1 d1) (bd) (b1 b)
(d1 d) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) 1 1 1. Por
tanto b1 d1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir, b1
d1 b 1 d . como se requera. Observacin Este resultado puede
reescribirse en la forma (bd)1 b1 d1. TEOREMA 2 a b d c b a d c
DEMOSTRACIN a b ab1 a 1 b y tambin d c c 1 d . SECCIN 1-2
FRACCIONES 15 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 15 - ( )
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32. Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa,
podemos escribir a b d c a 1 b c 1 d ac 1 b 1 d ac b 1 d (por el
teorema 1) b a d c como se peda. TEOREMA 3 a b 1 b a DEMOSTRACIN
Por definicin, a/b ab1. Por tanto, por el teorema 1, a b 1 (ab1)1
a1(b1)1. Pero (b1)1 b, de modo que a b 1 a1b ba1 b a como se
requera. TEOREMA 4 a b d c a b d c DEMOSTRACIN Por definicin, x y
xy1. Por tanto, tenemos las igualda- des: a b d c a b d c 1 a b d c
(por el teorema 3) TEOREMA 5 a b a b c c (c 0) DEMOSTRACIN Para
cualquier c 0, la fraccin c/c 1, puesto que, por de- finicin c/c
cc1. Por tanto, por el teorema 2, a b c c a b c c a b 1 a b como se
peda. 16 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 -
16 - ( ) www.FreeLibros.me
33. 1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es
vlida o no. Reemplace cada proposicin falsa por una verdadera. a. 3
x 4 x 7 x b. 3 x 4 x 7 x c. a b d c b a d c d. a b d c e f a b c d
e f e. a b d c e f b a c d e f f. a b d c e f b a c d e f g. 1 a 1
b a 1 b h. 1 1 y i. 6 7 8 9 j. 1 2 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 6 9 7 8 7 9
x x y (2-58) Evale cada una de las expresiones siguientes. Escriba
las respuestas en los trminos ms simples. 2. 2 9 6 5 3. 8 3 1 4 5
4. 3 4 8 5 4 9 5. 2 5 3 6 1 7 0 6. 2 3 5 x 2 9 5 x 7. 1 1 4 5 x y 2
2 5 4 y 8. 7x2 2 6 1 y x 9. 2 3 x y (5xy) 10. 1 1 8 1 3 8 3 11. 1 3
4 1 6 5 12. 4 9 2 3 8 13. 1 2 2 5 1 7 5 2 7 0 14. 1 7 0 x 2 5 1x
15. (2x) 3 5 xy 16. 4 9 8 x 17. 8 3 x 1 4 5 x 18. 3 2 x 0 2 4y 6 2
x 5 y 19. 5 2 x 3 4 y x 1 2 2 y 20. 8xy 2 3 x 2 5 x y 21. 6x2 4 y x
3 2 y2 SECCIN 1-2 FRACCIONES 17 TEOREMA 6 a c b c a c b (c 0)
DEMOSTRACIN Por definicin, a c ac1 y b c bc1. Por tanto, a c b c
ac1 bc1 (a b)c1 (por la propiedad distributiva) a c b como se
requera. EJERCICIOS 1-2 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 17 - ( )
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34. 22. 9 8 t 3 1 st 4 s 23. 4 3 xy x y 2 9 xy 24. 2 x 2 z 4 z
25. 2 3 xt 4 x t 2 3 t 26. 2 z 2 z 4 z 27. 2 3 xt 4 x t 2 3 t 28. 1
6 1 2 29. 1 1 0 1 1 5 30. 4 5 x 1 x 0 31. 1 x 2 1 x 32. 2 x 3 x 33.
2 y x 3 1 x 34. 6 a b 2 a b 35. 6 a b 2 9 a b 36. 6 7 x 4 3 x2 37.
1 3 0 y x2 6 1 x 38. p x 2 p y q 39. x y y z x z 40. x y y x 41. 3
x y 2 4y 42. 1 6 2 x 2 x 43. 1 6 2 x 2 x 44. 3 a b 2 a b 2 b a 45.
2 x 2 x 6 x 46. 9 x y 6 1 xy 3 1 xy 47. 1 4 2 5 1 2 1 5 48. 2 3 1 1
2 1 7 0 1 4 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. a b 2 3 a b 3 8 x 9
x 1 4 58. x 6 y 2 3 6 x 3 4 x 5 2 p q p 3 8 p q 2 4p 1 p 2 2 3 a b
4 5 b a 2b 1 b 5 2 1 x 3 1 x 4 1 y 5 1 y 7x 2 3 x 15y 3 y 2 3 4 3 1
8 1 3 1 4 1 5 1 6 8 5 2 3 2 4 7 1 2 1 3 1 4 1 5 18 CAPTULO 1 REPASO
DE LGEBRA Si m es un entero positivo, entonces am (lase a a la
potencia m o la m-sima po- tencia de a) se define como el producto
de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que am a a a a. En
este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo, 24 2 2 2 2
16 (cuatro factores de 2) 35 3 3 3 3 3 243 (cinco factores de 3).
En la expresin am, m se llama la potencia o exponente y a la base.
As en 24 (la cuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia
o exponente; en 35, 3 es la ba- se y 5 el exponente. Esta definicin
de am cuando el exponente es un entero positi- vo es vlida para
todos los valores reales de a. Obsrvese el patrn en la tabla 1, en
la cual se dan varias potencias de 5 en orden decreciente. Tratemos
de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex- poente
disminuye en 1, el nmero de la derecha se divide entre 5. 1-3
EXPONENTES ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 18 - ( )
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35. Esto sugiere que la tabla se completara continuando la
divisin entre 5 con cada re- duccin del exponente. De esta manera
llegamos a las igualdades siguientes: TABLA 1 51 5 50 1 51 1 5 5 1
1 52 2 1 5 5 1 2 53 1 1 25 5 1 3 54 6 1 25 5 1 4 Este patrn en
forma natural nos conduce a la definicin siguiente de am en el caso
de que el exponente m sea cero o un nmero negativo. DEFINICIN Si a
0, entonces a0 1 y si m es un entero positivo cualquiera (de modo
que m es un entero negativo), am a 1 m. Por ejemplo, 40 1, 3 7 0 1,
(5)0 1, etc. Asimismo, 34 3 1 4 8 1 1 y (2)5 ( 1 2)5 1 32 3 1 2 .
10 De estas definiciones, es posible establecer una serie de
propiedades denomi- nadas las leyes de los exponentes, las cuales
se enuncian a continuacin. Propiedad 1 am an amn Esto es, cuando
dos potencias de una base comn se multiplican, el resulta- do es
igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este
resultado vale para cualquier nmero real a, excepto en el caso de
que m o n sea negativo, reque- rimos que a 0. EJEMPLO 1 (a) 52 53
523 55 Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las
dos potencias del producto. 52 53 (5 5) (5 5 5) 5 5 5 5 5 55 SECCIN
1-3 EXPONENTES 19 10. Evale (a) (1 5 )0; (b) (1 2 )3 Respuesta (a)
1; (b) 23 8. 54 625 53 125 52 25 51 5 50 ? 51 ? 52 ? 53 ? 54 ?
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36. (b) x5 x3 x5(3) x2 De nuevo, podemos verificar este
resultado desarrollando las dos potencias. x5 x3 (x x x x x) x 1 x
x x x x2 11 Propiedad 2 a a m n amn (a 0) Esto es, cuando una
potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es
igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del
exponente que es- t en el numerador y el exponente del denominador.
EJEMPLO 2 (a) 5 5 7 3 573 54 (b) 4 4 3 2 43(2) 432 45 (c) 3 3 2 3 3
1 2 321 33 (d) x2 x x 3 4 x x 2 3 4 x24(3) x1 x 12 Propiedad 3
(am)n amn (a 0 si m o n es negativo o cero) Es decir, una potencia
elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc- to de
los dos exponentes. EJEMPLO 3 (a) (33)2 33 2 36. Podemos comprobar
que esto es correcto, dado que (33)2 33 33 333 36. (b) (42)4
4(2)(4) 48 (c) x5(x2)1 x5 x(2)(1) x5 x2 x52 x7 (d) ( ( x x 2 2 ) )
2 2 x x ( (2 2 )( ) ( 2 2 ) ) x x 4 4 x44 x8 (e) x 1 p (xp)1
x(p)(1) xp 13 20 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 11. Simplifique (a) 43
45; (b) x4 x6 x2. Respuesta (a) 1 1 6 ; (b) 1. 12. Simplifique (a)
33 32; (b) x4 (x6 x2). Respuesta (a) 35 243; (b) x8. 13.
Simplifique (a) 33 (32)2; (b) (x4)4 (x3)3. Respuesta (a) 31 1 3 ;
(b) x7. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 20 - ( )
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37. En una expresin, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si
necesitamos que la base sea 3c, debemos encerrarla entre parntesis
y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 23 3 8 24, no es lo mismo que (3
2)3 63 216. Para el caso de que la base es un producto, tenemos la
propiedad siguiente. Propiedad 4 (ab)m ambm (ab 0 si m 0) Esto es,
el producto de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al
pro- ducto de las m-simas potencias de los dos nmeros. 14 EJEMPLO 4
(a) 64 (2 3)4 24 34 (b) (x2y)4 (x2)4y4 x8y4 (c) (3a2b3)2
32(a2)2(b3)2 9a4b6 (d) x x 2 8 y y 6 4 x2(8)y6(4) x6y2 Propiedad 5
a b m a b m m (b 0 y a 0 si m 0) Es decir, el cociente de dos
nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al co- ciente de las
m-simas potencias de tales nmeros. EJEMPLO 5 (a) 3 2 4 3 2 4 4 (b)
x y 5 x y 5 5 x5y5 (c) x3 x y 2 2 x3 (x y 2 ) 2 2 x3 y x 2 4
x3(4)y2 x7y2. 15 EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones siguientes,
eliminando parntesis y ex- ponentes negativos. (a) ( x a x) 7 5 (b)
( ( x x 2 z 2 3 ) ) 2 3 (c) x4(2x 3x2) (d) (x1 y1)1 (e) x ( 1 xy )
y 1 1 Solucin (a) ( x a x) 7 5 a x 5 x 7 5 a5x5(7) a5x12 y6 y4 x2
x8 x2(y3)2 (x2)4y4 (xy3)2 (x2y)4 SECCIN 1-3 EXPONENTES 21 14. Evale
(a) 2 23 y (2 2)3; (b) 3 22 y (3 2)2. Respuesta (a) 16 y 64; (b) 3
4 y 3 1 6 . 11. Simplifique (a) 33 (3x)2; (b) x 2 4 2 (4x2)2.
Respuesta (a) x 3 2 ; (b) 4x4. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 21 -
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38. 22 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA (b) Ntese que si deseamos
evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el
denominador. (c) x4(2x 3x2) x4(2x) x4(3x2) 2x41 3x42 2x5 3x2 (d)
Primero debemos simplificar la expresin dentro de los parntesis. El
denominador comn es xy. x1 y1 Ahora recordando que el recproco de
una fraccin se obtiene intercambian- do el numerador y el
denominador. De modo que (x1 y1)1 1 . (e) y x. Solucin alterna (x1
y1) xy x1 xy y1 xy (propiedad distributiva) 1 y 1 x y x. 16 x1 y1
(xy)1 1 x1 1 y1 y1 x1y1 x1 x1y1 x1 y1 x1y1 x1 y1 (xy)1 xy y x y x
xy y x xy x xy y xy 1 y 1 x 1 x10z9 x4 x6z9 x(2)(2) (x2)3(z3)3
(x2)2 (x2z3)3 16. Sera incorrecto por completo en el ejemplo 6(d)
si hubisemos escrito (x1 y1)1 (x1)1 (y1)1 x y. Puede ver por qu
esto es incorrecto? Pruebe dando dos valores para x y y, tales como
2 y 4. (1-61) Simplifique las expresiones siguientes. No use
parntesis o exponentes negativos en la respuesta final. 1. (25)2 2.
(34)3 3. (a3)7 4. (x4)5 5. (x2)5 6. (x5)2 7. y2 y5 8. x7 x4 9. a3
a5 10. b2 b6 11. (3x)2x7 12. (4x)2x4 13. (2x)2(2x1)3 14. x 2 3
(4x1)2 15. (x2yz)3(xy)4 16. (3yz2)2(y3z)3 17. (x2y)2 18. (ab3)1 19.
(xy2z3)1(xyz)3 20. (x2pq2)2(xp2)1 21. (2 4 4 2 )2 22. (3 3 3 5 )2
23. 1 3 2 34 24. 1 5 3 52 25. x x 5 2 26. y y 3 7 27. (x x 2 4 )3
28. ( z z 2) 8 4 29. ( ( a a 4) 2 )6 3 30. ( ( b b 3 7 ) ) 3 2 31.
( ( x x ) 3 )2 3 32. ( ( y y 2 1 ) ) 2 3 EJERCICIOS 1-3 ARYA-01.pdf
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39. 33. (x (x 2y y ) ) 2 3 34. (a a b 2b 2) 1 1 35. ( x 2 3 x y
y)3 36. 37. ( 3 3 x x ) 2 2 38. ( ( 2x 2 2 x y 2 ) y 3) 1 2 39. (2
( a a 3b 1b )3 2)2 40. ( (x 3 x 3 2 y y 4 )3 2)2 41. x2(x4 2x) 42.
x3(x1 x) 43. 2x(x5 3x1) 44. 3x2(x4 2x3) 45. x4(2x2 x 3x2) 46.
2x3(x5 3x4 x) 47. (21 x1)1 48. [(2x)1 (2y)1]1 49. (xy)1(x1 y1)1 50.
(a2 b2)1 51. 7 x 1 3 4x 2 3 x 2 52. x3 5 6 x 1 2 1 x 2 53. 1 3 0 y
x3 15 2 xy 54. 12 5 x3 15 2 x2 55. 2x 1 2 3x 1 2 56. 4y 1 4 3y 1 4
57. x 4 3y 4 x y 6 3 58. x 4 x 3 6 x x5 59. y5 2xy 3 x y2 60. 2 x
x1 x 2 2 5x 1 2 61. x1 (x x1)1 (ab2c)1 a2bc1 SECCIN 1-4 EXPONENTES
FRACCIONARIOS 23 Hemos definido am cuando m es cualquier entero,
ahora extenderemos la definicin al caso en que m es un nmero
racional arbitrario. Nos gustara hacer esta extensin en tal forma
que las propiedades 1 a 5 de la seccin 1-3 continen siendo vlidas
aun en el caso de que m y n no sean enteros. En primer trmino
consideraremos la definicin de a1/ n cuando n es un ente- ro
distinto de cero. Para que la propiedad 3 contine vigente cuando m
1/n, debe ser vlido que (a1/ n)n a(1/ n)n a1 a. De este modo, si
hacemos b a1/n, es necesario que bn a. EJEMPLO 1 (a) 81/3 2 ya que
23 8. (b) (243)1/5 3 ya que (3)5 243. En el caso de que n sea un
entero par, surgen dos dificultades con esta defini- cin de a1/n.
Por ejemplo, sea n 2 y a 4. Entonces, b 41/ 2 si b2 4. Pero hay dos
nmeros cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b 2 y b 2. De modo que
necesitamos decidir qu entenderemos cuando escribamos b 41/ 2. En
realidad, de- finiremos 41/ 2 como 2. En segundo lugar, supngase
que a es negativo. En tal caso, b a1/ 2 si b2 a. Sin embargo, el
cuadrado de cualquier nmero negativo (positivo, negativo o cero)
nunca es negativo. Por ejemplo, 42 16 y (3)2 9, y ambos son
positivos. En consecuencia b2 nunca es negativo para cualquier
nmero real b, de modo que cuan- do a 0, a1/ 2 no existe en los
nmeros reales. As, (1)1/ 2 o (4 3 )1/ 2 carecen de sentido como
nmeros reales. Adoptaremos la siguiente definicin. 1-4 EXPONENTES
FRACCIONARIOS ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:27 - 23 - ( )
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40. DEFINICIN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o
6) y si a es un nme- ro real no negativo, entonces se dice que b es
la n-sima raz principal de a si bn a y b 0. As, la n-sima raz de a
es el nmero no negativo el cual, al elevarse a la n-sima potencia,
da el nmero a. Denotamos la n-sima raz principal por b a1/n. Si n
es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un nmero
real cualquiera, entonces b es la n-sima raz de a si bn a,
expresada una vez ms co- mo a1/n. Es decir b a1/n si bn a; b 0 si n
es par. Las races impares estn definidas para todos los nmeros
reales a, pero las races pares slo estn definidas cuando a no es
negativo. EJEMPLO 2 (a) 321/5 2 porque 25 32. (b) (216)1/3 6 ya que
(6)3 216. (c) 161/4 2 porque 24 16 y 2 0. (d) (729)1/6 3 ya que 36
729 y 3 > 0. (e) 11/n 1 para todo entero positivo n, porque 1n
1. (f) (1)1/n 1 para todo entero positivo impar n, debido a que
(1)n 1 cuando n es impar. (g) (81)1/4 no existe, porque los nmeros
negativos slo tienen races n-si- mas cuando n es impar. El smbolo n
a tambin se utiliza en lugar de a1/n. El smbolo se deno- mina signo
radical y n a a menudo se llama radical. Cuando n 2, a1/2 se denota
simplemente por a ms bien que por 2 a: se llama la raz cuadrada de
a. Tam- bin, 3 a a1/3 es la tercera raz de a, por lo regular se le
llama raz cbica, 4 a a1/4 es la raz cuarta de a, etc. Los
resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formular utilizando
esta notacin: (a) 5 32 2; (b) 3 216 6; (c) 4 16 2; (d) 6 729 3; (e)
n 1 1 para n un entero positivo; (f) n 1 1 para n un entero
positivo impar; (g) 4 81 no existe. 17 Ahora estamos en posicin de
definir am/n para un exponente racional m/n. 24 CAPTULO 1 REPASO DE
LGEBRA 17. Evale lo siguiente, si existen: (a) (27)1/3; (b)
(64)1/6, (c) 5 32; (d) ( 1 1 6 )1/4; (e) 6 729; (f) 101 1.
Respuesta (a) 3; (b) 2; (c) 2; (d) y (e) no existen; (f) 1.
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41. DEFINICIN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de
cero y a un nme- ro real. Entonces. am/n (a1/n)m Es decir, la
(m/n)-sima potencia de a es la m-sima potencia de la raz n-sima de
a. Observacin Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es
negativo, a no de- be ser cero. EJEMPLO 3 (a) 93/2 (91/2)3 33 27
(b) 41/2 (41/2)1 21 1 2 (c) 163/4 (161/4)3 23 1 8 De la parte (b)
del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente: a1/n
Esto se sigue dado que a1/n (a1/n)1 a 1 1/n . TEOREMA Si am/n
existe, entonces am/n (am)1/n Es decir, la (m/n)-sima potencia de a
es igual a la raz n-sima de la m-sima po- tencia de a. Este
teorema, el cual no probaremos, ofrece un mtodo alternativo de
calcu- lar cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO 4 (a) 163/4
(161/4)3 23 8, o 163/4 (163)1/4 (4096)1/4 8 (b) 363/2 (361/2)3 63
216, o 363/2 (363)1/2 (46,656)1/2 216 Observacin Si m/n no est en
su mnima expresin, entonces (am)1/n puede existir mientras que am/n
no. Por ejemplo, sea m 2, n 4 y a 9. Entonces (am)1/n [(9)2]1/4
811/4 3, pero am/n (9)2/4 [(9)1/4]2 no existe. Segn los ejemplos 3
y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es ms fcil ex- traer la
raz n-sima primero y despus elevar a la m-sima potencia; de esa
mane- 1 n a SECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 25 ARYA-01.pdf
29/7/08 12:48:28 - 25 - ( ) www.FreeLibros.me
42. ra trabajamos con nmeros ms pequeos. En otras palabras, en
la prctica calcula- mos am/n usando la definicin (a1/n) en lugar de
(am)1/n. Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes
de los exponentes, que se establecieron en la seccin 1-3, tambin
son vlidas para exponentes fraccio- narios. Las volvemos a escribir
y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie- mos estas leyes,
ya que son muy importantes. 1. am an amn 2. a a m n amn 3. (am)n
amn 4. (ab)m ambm 5. a b m a b m m Al utilizar estas leyes, debemos
recordar que tienen algunas restricciones: en cual- quier potencia,
si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el
expo- nente contiene una raz par, la base no debe ser negativa.
EJEMPLO 5 (a) 53 57/2 537/2 513/2 (b) 42 47/3 427/3 41/3 (c) ( 4 4
7 ) / 3 2 /2 47/23/2 42 16 (d) 9 9 1 / 2 2 91/2(2) 95/2 (91/2)5 35
243 (e) x x 9 4 /4 x9/44 x7/4 (f) (53)7/6 53(7/6) 57/2 (g)
(34/3)6/5 3(4/3)(6/5) 38/5 (h) am (am)1 a 1 m para cualquier nmero
racional m (i) (36)1/2 (4 9)1/2 41/2 91/2 2 3 6 (j) (x2y)1/2
(x2)1/2y1/2 x2(1/2)y1/2 xy1/2 (k) (3a2/5b4)1/2 31/2(a2/5)1/2(b4)1/2
31/2a1/5b2 (l) 4 ab (ab)1/4 a1/4b1/4 4 a 4 b (m) x/y x y 1/2 x y 1
1 / / 2 2 1 4 (n) 2 8 7 2/3 2 8 7 2 2 / / 3 3 ( ( 2 8 7 1 1 / / 3 3
) ) 2 2 2 3 2 2 1 4 9 1 9 4 18 1 9 x y 26 CAPTULO 1 REPASO DE
LGEBRA 18. Simplifique (a) 31/3 32/3; (b) 31/3 (32/3)2; (c) (x1/2)3
x; (d) (x1/3)1/2 x7/6; (e) (8x)2/5 4 x 3/5 . Respuesta (a) 3; (b)
31; (c) x2; (d) x1; (e) x. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 26 - ( )
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43. EJEMPLO 6 Encuentre m tal que 3m. Solucin Expresamos ambos
lados como potencia de 3. 9 3 1 3 /3 (3 3 2) 3 1/3 3 3 2 3 /3
3(2/3)3 37/3 Por tanto, m 7 3 . EJEMPLO 7 Evale: (a) 1 2 6 2 4 5
1/2 ; (b) 64 7 x3 2/3 Solucin (a) 1 2 6 2 4 5 1/2 2 2 8 2 9 5 1/2 1
1 7 5 2 2 1/2 1 1 7 5 2 1/2 (por la ley 5) 1 1 7 5 2 (1/2) (por la
ley 3) 1 1 7 5 1 1 1 2 5 (b) 6 2 4 7 x3 2/3 4 3 3x 3 3 2/3 4 3 x 3
2/3 (por la ley 5) 4 3 x 2 (4x 1 /3)2 (por la ley 3) 16x 1 2/9 16 9
x2 EJEMPLO 8 Simplifica la expresin siguiente Solucin En
expresiones tales como sta, por lo general conviene escribir todas
las bases en trminos de sus factores primos. (por las leyes 3 y 5)
(combinando trminos con bases iguales) 1 24p 33p 53p 24p 33p 53p
(22p 22p)(3p 32p) 53p (2p 23p)(33p) 53p 22p 33p/3 53p 22p 32p
23(p/3) 32(3p/2) 23p 53p (22)p (33)p/3 (53)p (23)2p (23)p/3
(32)3p/2 (2 5)3p 4p 27p/3 125p 62p 8p/3 93p/2 103p 4p 27p/3 125p
62p 8p/3 93p/2 103p 3 9 27 3 9 27 SECCIN 1-4 EXPONENTES
FRACCIONARIOS 27 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 27 - ( )
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44. (1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean
ver- daderas. 1. 8 3 2 2m 2. 3 8 2 2m 3. 3 2 8 2m 4. 33 3 3 3m 5. 2
4m 6. 4 3 2 2m (7-26) Evale las expresiones siguientes. 7. 81 8. 3
27 9. 1 19 6 10. 3 33 8 11. 5 32 12. 3 0.125 13. (3)2 14. (2 5 )2
15. (81)3/4 16. ( 2 8 7 )4/3 17. (0.16)1/2 18. (0.16)3/4 19.
0.1252/3 20. 0.00163/4 21. (93 163/2)1/6 22. 93/4 31/2 23. 164/5
82/5 24. 251/3(1 5 )4/3 25. (27)2/3 (16)1/4 26. ( 3 1 6 )1/8 (6)5/4
(27-56) Simplifique las expresiones siguientes. 27. (16x4)3/4 28. 2
6 7 4 x3 2/3 29. (32x5y10)1/5 30. 3 2 8 7 a b 3 3 31. 4 x3/2 16x1/2
32. (x1/3 x2/5)3 33. (x1/2 x1/3)2 34. (16x4)1/2 (8x6)1/3 28 CAPTULO
1 REPASO DE LGEBRA EJEMPLO 9 Simplifique (27 75)/2 12. Solucin
Observemos que los tres radicales en esta expresin pueden
simplificar- se factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de
los nmeros. 27 9 3 9 3 33 75 25 3 25 3 53 12 4 3 4 3 23 Por tanto,
8 4 2. EJEMPLO 10 Simplifique: (a) x(x3 3 x2); (b) x 3 x 2x Solucin
Exprese los radicales en trminos de exponentes fraccionarios y
luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los
exponentes. (a) x(x3 3 x2) x1/2(x3/2 x2/3) x1/2 x3/2 x1/2 x2/3 x2
x7/6 (b) x 3 x 2x x1/2 x1 /3 2x (x1/2 2x)x1/3 x1/2 x1/3 2x1 x1/3
x1/6 2x2/3 19 83 43 33 53 2(23) 27 75 212 19. Simplifique (a) 3 4 3
16; (b) 3 3 ( 3 9)2; (c) 4 x3 x; (d) x(x3 3x). Respuesta (a) 4; (b)
31; (c) x; (d) x2 3x. EJERCICIOS 1-4 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 -
28 - ( ) www.FreeLibros.me
45. 35. x x 3 1 /7 /7 y y 2 1 / / 5 5 36. a a 4 2 / / 9 9 b b 3
1 / / 4 2 37. p p 3 1 / / 5 5 q q 2 2 / / 5 5 10 38. 39. 2 y x 3 5
/ / 4 2 3 x y 2 2 / / 3 5 40. (2x2y)1/5(41xy2)2/5 41. 345 20 42.
224 54 43. 218 32 44. 45. 63 175 4112 46. 112 63 47. 220 48. 2 3 16
3 54 49. a2/3 a3/4 (a2)1/6 (a1 1 /12)5 50 125 20 5 224 28 82 48 32
(x2y)1/3(xy)1/4 (xy2)1/12 50. a2/3 b5/7 a b 7/8 a b 1 2 1 3 / / 2 5
4 6 51. 52. 53. x x a b c a x x c a b 54. x x a 2 b b x x b 2 c c
55. 56. 57. Establezca si las proposiciones siguientes son
verdaderas o falsas. a. 5 2 3 b. 8 2 2 c. 21 7 3 d. (3)2 3 e. 9 3
f. a2 a para todo real a g. a2 b2 a b si a 0 y b 0 h. am an amn i.
a a m n am/n j. 3 3 a a1/6 k. a2 a si a 0 28m 35m 103m 85m/3 49m
252m (27)2n/3 (8)n/6 (18)n/2 xca x2a xb xc (xab)2(yab)2 (xy)2ab 23m
32m 5m 6m 8m 93m/2 10m SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29
Cantidades del tipo 2x2 3x 7, 5y3 y2 6y 2 y 2x 3/y 4 se denomi- nan
expresiones algebraicas. Los bloques de construccin de una expresin
alge- braica se llaman trminos. Por ejemplo, la expresin 2x2 3x 7
tiene tres trmi- nos, 2x2, 3x y 7. La expresin x2y/3 y/x tiene dos
trminos, x2y/3 y y/x. En el trmino 2x2, el factor 2 se denomina el
coeficiente numrico (o simple- mente el coeficiente). El factor x2
se denomina la parte literal del trmino. En el trmino 3x, el
coeficiente es 3 y la parte literal x. En el trmino x2y/3, el
coefi- ciente es 1 3 y la parte literal es x2y. El trmino 7 no
tiene parte literal y se llama tr- mino constante. El coeficiente
es 7. Una expresin algebraica que contiene un solo trmino se
denomina mono- mio. Una expresin que contiene exactamente dos
trminos se llama binomio y la que contiene precisamente tres
trminos se denomina trinomio. Los siguientes son unos cuantos
ejemplos de expresiones de estos tipos. Monomios: 2x3, 5y2, 7/t, 3,
2xy/z Binomios: 2x 3, 3x2 5/y, 6x2y 5zt Trinomios: 5x2 7x 1, 2x3 4x
3/x, 6y2 5x t En general una expresin que contiene ms de un trmino
se denomina multinomio. 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS ARYA-01.pdf
29/7/08 12:48:28 - 29 - ( ) www.FreeLibros.me
46. Adicin y sustraccin de expresiones Cuando 4 manzanas se
suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma forma, 4x 3x
7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva,
dado que 4x 3x (4 3)x 7x. Si usted compara con la seccin 1-1 ver
que aqu utilizamos la ley distributiva ha- cia atrs, esto es, de
derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumar
cualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales.
Simplemente su- mamos los dos coeficientes numricos. EJEMPLO 1 (a)
2x 9x (2 9)x 11x (b) 4ab 3ab (4 3)ab 7ab (c) 2 y x 2 x y 2 x y 1 2
x y 2 1 2 x y 5 2 x y 5 2 x y Dos o ms trminos de una expresin
algebraica se dice que son semejantes si tienen las mismas partes
literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado que sus
partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los
tres trminos 3x2yz3, 7x2z3y y z3x2/2 son trminos semejantes. En
general, dos trminos seme- jantes slo pueden diferir en sus
coeficientes numricos o en el orden en que apare- cen las
variables. Dos o ms trminos semejantes pueden sumarse o restarse
usando la propie- dad distributiva, como se ilustr en el ejemplo 1.
A continuacin ejemplos adicio- nales. EJEMPLO 2 (a) 2x3 7x3 (2 7)x3
5x3 (b) 5x2y 3x2y 2yx2 (5 3 2)x2y 4x2y Los trminos que no son
semejantes no pueden combinarse de la manera que acaba de verse.
As, los trminos en la expresin 2x2 5xy no pueden combinarse para
dar un trmino individual. Cuando sumamos dos o ms expresiones
algebraicas, reagrupamos los trmi- nos de tal manera que dos
expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. 20 EJEMPLO 3 Sume
5x2y3 7xy2 3x 1 y 6 2x 4xy2 3y3x2. Solucin La suma requerida es
5x2y3 7xy2 3x 1 (6 2x 4xy2 3y3x2) 5x2y3 7xy2 3x 1 6 2x 4xy2 3x2y3.
30 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 20. Simplifique las expresiones
siguientes: (a) 2ab2 4ab2a; (b) x3 2x (2x3 2x). Respuesta (a) 2ab2
(b) x3 4x. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 30 - ( )
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47. Reagrupando los trminos, de tal manera que los trminos
semejantes estn agrupa- dos juntos, obtenemos la suma en la forma
siguiente: 5x2y3 3x2y3 7xy2 4xy2 3x 2x 1 6 (5 3)x2y3 (7 4)xy2 (3
2)x (1 6) 8x2y3 (3)xy2 1x 5 8x2y3 1 3xy2 x 5 EJEMPLO 4 Reste 3x2
5xy 7y2 a 7x2 2xy 4y2 6. Solucin En este caso, buscamos 7x2 2xy 4y2
6 (3x2 5xy 7y2). Despus de suprimir los parntesis, cada trmino
dentro de los parntesis cambia de signo. En consecuencia, la
expresin anterior es equivalente a la siguiente: 7x2 2xy 4y2 6 3x2
5xy 7y2dddd 7x2 3x2 2xy 5xy 4y2 7y2 6 (7 3)x2 (2 5)xy (4 7)y2 6 4x2
3xy (3)y2 6 4x2 3xy 3y2 6 Multiplicacin de expresiones La expresin
a(x y) denota el producto de a y x y. Para simplificar esta expre-
sin suprimiendo los parntesis, multiplicamos cada trmino dentro del
parntesis por el nmero que est afuera, en este caso a: a(x y) ax
ay. Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera
similar, este mtodo funciona siempre que una expresin algebraica se
multiplique por cualquier mono- mio. EJEMPLO 5 (a) 2(x 3y 7t2) (2)x
(2)(3y) (2)(7t2) 2x 6y 14t2. (b) x2y(x2 3x 5y3) x2y x2 x2y 3x x2y
5y3 x4y 3x3y 5x2y4. 21 Cuando multiplicamos dos expresiones
algebraicas a la vez, la propiedad dis- tributiva puede usarse ms
de una vez con el fin de suprimir los parntesis. Consi- deremos el
producto (x 2)(y 3). Podemos emplear la propiedad distributivas pa-
ra quitar los primeros parntesis. (x 2)(y 3) x(y 3) 2(y 3) SECCIN
1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 31 21. Simplifique las expresio- nes
siguientes eliminando los pa- rntesis: (a) 3(x 2) x(x 3); (b) x3 2x
2x(x2 1). Respuesta (a) x2 6; (b) x3. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28
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48. Para ver esto, slo haga y 3 b. Entonces (x 2)(y 3) (x 2)b x
b 2 b x(y 3) 2(y 3). En general, las propiedades distributivas de
la seccin 1-1 funcionan con a, b, c reemplazadas por cualesquiera
expresiones (como se hace con las otras propiedades de los nmeros
reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa-
rntesis restantes. x(y 3) xy x 3 xy 3x y asimismo 2(y 3) 2y 2 3 2y
6. Por tanto (x 2)(y 3) xy 3x 2y 6. En la figura 2 los cuatro
trminos (productos) de la derecha pueden obtener- se multiplicando
cada uno de los trminos de los primeros parntesis sucesivamen- te
por cada uno de los trminos de los segundos parntesis. Cada trmino
de los pri- meros parntesis est unido por un arco a cada trmino de
los segundos parntesis y el producto correspondiente tambin
aparece. Los cuatro productos dan entonces el desarrollo completo
de la expresin. 22 32 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 22. Utilice la
propiedad distri- butiva (o mtodo de los arcos) para eliminar los
parntesis: (a) (x 2)(x 3); (b) (x2 2)(x2 2). Respuesta (a) x2 5x 6;
(b) x4 4. Tambin pudo hacer lo que se pide con el mtodo PIES de
multiplicacin de dos expresiones binomiales. (PIES se establece por
Primeros, Internos, Externos, Segundos.) Eso es equivalente al
mtodo de los arcos descrito aqu. Sin embargo, el mtodo de arcos es
mucho mejor ya que puede utilizarlo para multiplicar cuales- quiera
dos multinomios. EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x 4)(6x2 5x 2).
(Esto significa su- primir los parntesis.) Solucin Usamos la
propiedad distributiva: (3x 4)(6x2 5x 2) 3x(6x2 5x 2) 4(6x2 5x 2)
(3x)(6x2) (3x)(5x) (3x)(2) (4)(6x2) (4)(5x) (4)(2) 18x3 15x2 6x
24x2 20x 8 18x3 15x2 24x2 6x 20x 8 (agrupando trminos semejantes)
18x3 (15 24)x2 (6 20)x 8 18x3 39x2 26x 8 2y 232y xy 3x 23 (x 2) (y
3) xy 3x FIGURA 2 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 32 - ( )
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49. De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando
arcos que conecten cada trmino en el primer parntesis con cada
trmino dentro del segundo. En este caso, existen seis de tales
arcos, dando lugar a seis productos en la expansin en el lado
derecho. (Vase la figura 3.) EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 3x] 7[3
2(x 4)]}. Solucin Con objeto de simplificar una expresin en la cual
intervienen ms de un conjunto de parntesis, siempre empezamos con
los parntesis que estn ms adentro. 3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]} 3{5x[2
3x] 7[3 2x 8]} 3{10x 15x2 21 14x 56} 3{15x2 10x 14x 21 56} 3{15x2
4x 77} 45x2 12x 231 Existen ciertos tipos de productos especiales
que aparecen con tanta frecuen- cia que pueden manejarse como
frmulas estndar. Inicialmente, consideremos el producto (x a)(a b).
(x a)(x b) x(x b) a(x b) x2 bx ax ab x2 (b a)x ab Por tanto, (x
a)(x b) x2 (a b)x ab. (1) EJEMPLO 8 (a) Tomando a 2 y b 7 en la
ecuacin (1), tenemos que (x 2)(x 7) x2 (2 7)x 2 7 x2 9x 14. (b) (x
3)(x 2) (x 3)(x (2)) x2 [3 (2)]x 3(2) x2 x 6 SECCIN 1-5 OPERACIONES
ALGEBRAICAS 33 (3x 4) (6x2 5x 2) 6x 24x2 20x 8 15x2 18x3 18x3 15x2
6x 24x2 20x 8 FIGURA 3 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 33 - ( )
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50. En la ecuacin (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos (x
a)(x a) x2 (a a)x a a o bien (x a )2 x2 2ax a2. (2) Este resultado
da el desarrollo del cuadrado de un binomio.El cuadrado de la suma
de dos trminos es igual a la suma de los cuadrados de los dos
trminos ms el do- ble de su producto. EJEMPLO 9 (a) (2x 7)2 (2x)2
2(2x)(7) 72 4x2 28x 49 (b) 3x 4 y 2 (3x)2 2(3x) 4 y 4 y 2 9x2 24 y
x 1 y 6 2 Si reemplazamos a a por a en la frmula (2), obtenemos
otra frmula. (x a)2 x2 2ax a2 (3) Esto expresa el cuadrado de la
diferencia de dos trminos como la suma de los cua- drados de los
dos trminos menos el doble de su producto. Por ltimo, si
reemplazamos a b por a en la ecuacin (1), obtenemos (x a)(x a) x2
(a a)x a( a) x2 0x a2. En consecuencia, tenemos que (x a)(x a) x2
a2. (4) Este resultado establece que el producto de la suma y la
diferencia de dos trminos es la diferencia de los cuadrados de los
dos trminos. EJEMPLO 10 (a) (2x 3)(2x 3) (2x)2 32 4x2 9 (b) (3 2)(3
2) (3)2 (2)2 3 2 1 (c) (3x 4y)(3x 4y) (3x)2 (4y)2 9x2 16y2 23
Divisin de expresiones En el teorema 6 de la seccin 1-2 vimos que
la ley distributiva se extiende a la divi- sin y tenemos las
expresiones generales siguientes. a c b a c b c 34 CAPTULO 1 REPASO
DE LGEBRA 23. Utilice las frmulas estndar (1)-(4) para eliminar los
parntesis: (a) (x 2)(x 3); (b) (x2 y)(x2 y); (c) (x x1)2. Respuesta
(a) x2 x 6; (b) x4 y2; (c) x2 2 x2. ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 -
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51. Esta propiedad es til cuando dividimos una expresin
algebraica entre un mono- mio, dado que nos permite dividir cada
trmino por separado entre el monomio. EJEMPLO 11 (a) 2x2 2 x 4x 2 2
x x 2 4 2 x x x 2 Obsrvese que dividimos cada trmino entre el
factor comn 2x. (b) 2 x x 2 3 5 x x 2 2y 7 x x 2 x 3 2 2x 5y 7 x x
3 2 (c) 2 3 5 t t3 25 3 t2 4t 5 2 t En una fraccin, el nmero o
expresin algebraica del numerador a menudo se denomina el dividendo
(lo cual significa que es la cantidad que est siendo divi- dida) y
el nmero o expresin por la que es dividido se llama divisor. En la
parte (b) del ejemplo 11, 2x3 5x2y 7x 3 es el dividendo y x2 es el
divisor, mientras que en la parte (c), 25t3 12t2 15t 6 es el
dividendo y 3t el divisor. Cuando queremos dividir una expresin
algebraica entre un divisor que con- tiene ms de un trmino, con
frecuencia usamos un procedimiento denominado di- visin larga.
Describiremos este procedimiento para expresiones que slo contie-
nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales
expresiones se cono- cen por polinomios.) EJEMPLO 12 Divida 23 11x2
2x3 entre 2x 3. Solucin Aqu 23 11x2 2x3 es el dividendo y 2x 3 es
el divisor. Antes de que empecemos la divisin, los trminos en el
dividendo y en el divisor deben arre- glarse en orden decreciente
de las potencias de x y llenar con coeficientes cero las potencias
faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3
11x2 0x 23. x2 4x 6 Cociente Divisor 2x 32x3 11x2 0x 23 Dividendo
Residuo 2x3 3x2 8x2 0x 23 8x2 12x 12x 23 12x 18 5 6 3t 15t 3t 12t2
3t 25t3 12t2 15t 6 3t 2x3 5x2y 7x 3 x2 SECCIN 1-5 OPERACIONES
ALGEBRAICAS 35 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 35 - ( )
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52. Los detalles de la divisin larga se acaban de mostrar y se
explican de la manera si- guiente: en primer lugar, dividimos 2x3
(el primer trmino en el dividendo) entre 2x (el primer trmino en el
divisor), obteniendo 2x3/2x x2.Esto da el primer trmino del
cociente. Multiplicamos el divisor, 2x 3, por el primer trmino del
cociente, x2, para obtener 2x3 3x2. Restamos esto al dividendo,
obtenemos la diferencia 8x2 0x 23. Para obtener el siguiente trmino
del cociente, dividimos el pri- mer trmino de esta diferencia, 8x2,
entre 2x, el primer trmino del divisor. Esto da 8x2/2x 4x, el cual
se convierte en el segundo trmino del cociente. Multi- plicamos
otra vez el divisor por este segundo trmino, 4x, con lo que
obtenemos 8x2 12x; restamos esto a 8x2 0x 23, los cuales nos dan la
siguiente dife- rencia, 12x 23. Continuamos este procedimiento
hasta que obtengamos una diferencia cuya mxima potencia sea menor
que la correspondiente al divisor. Llamamos a este ltima diferencia
el residuo. La respuesta puede escribirse en la forma 2x3 2x 11 x2
3 23 x2 4x 6 2x 5 3 . 24 En general, tenemos Cociente . Observacin
Esta forma de escribir el resultado de la divisin larga es la misma
que usamos en aritmtica.Por ejemplo, consideremos la fraccin
627/23, en la cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por
divisin larga ordinaria encontra- mos que el cociente es 27 y el
residuo es 6. Divisor Divisor Cociente Residuo Por tanto,
escribimos 6 2 2 3 7 27 2 6 3 . Ahora, en lugar de dividir 627
entre 23, intente dividir 6x2 2x 7 entre 2x 3. Cuando x 10 estas
cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x 7 y un
residuo de 6. La divisin algebraica larga es un reflejo de la
divisin aritmtica. Si multiplicamos ambos lados de este clculo por
23, obtenemos el resultado 627 (27 23) 6. 161 6 46 167 27 23627
Residuo Divisor Dividendo Divisor 36 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 24.
Por medio del uso de la divisin larga, simplifique (3x2 11x 4) (x
3). Respuesta Cociente 3x 2; residuo 2. ARYA-01.pdf 29/7/08
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53. (1-56) En los ejercicios siguientes, efecte la operacin
indica- da y simplifique. 1. (5a 7b 3) (3b 2a 9) 2. (3x2 5x 7) ( 2
6x 7x2 x3) 3. (2a 5b) (3a 2b) 4. (4xy 5x2y 6x3) (3y3 6xy2 7xy x3
2x2y) 5. (7t2 6t 1) (3t 5t2 4 t3) 6. (x2 3xy 4y2) (2x2 xy 3y2 5) 7.
(2x 2y) (x 22y) 8. (5xy 3) (2 4xy) 9. 4(2x 3y) 2(5y 3x) 10. 2(x 4y)
3(2x 3y) 11. (x 7y) 2(2y 5x) 12. 3(x2 2xy y2) (2xy x2 2y2) 13.
x(2x2 3xy y2) y(5x2 2xy y2) 14. a2b(a3 5ab b3) 2ab(a4 2a2b b3a) 15.
(x 3)(y 2) 16. (x 4)(y 5) 17. (2x 1)(3y 4) 18. (5x 2)(2y 5) 19. (a
2)(3a 4) 20. (x 3y)(2x y) 21. (x 3)(2x2 5x 7) 22. (a 2b)(a2 2ab b2)
23. (x 4)(x 4) 24. (y2 2)(y2 2) 25. (2t 5x)(2t 5x) 26. (a b)(a b)
27. (x 3y)(x 3y) 28. (5x 2y)(5x 2y) 29. (x y z)(x y z) 30. (x 2y
z)(x 2y z) 31. (x2 1)(x3 2) 32. (y2 2y)(y3 2y2 1) 33. x2 1 x (x3
2x) 34. 2xy x y xy2 2 x y 35. (y 6)2 36. (x 5)2 37. (2x 3y)2 38.
(4x 5y)2 39. (2x 3y)2 40. (x 2y)2 41. (2x 3y)2 (2x 3y)2 42. 3[(x
y)2 (x y)2] 43. xy[(x y)2 (x y)2] 44. (3a b)2 3(a b)2 SECCIN 1-5
OPERACIONES ALGEBRAICAS 37 Este es un ejemplo del resultado general
Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo. Este es un resultado til,
porque nos permite verificar la respuesta de cual- quier divisin
larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo
12. 2x3 11x2 23 (x2 4x 6)(2x 3) 5 Dividendo (Cociente)(Divisor)
Residuo 25 25. Verifique si es correcta la siguiente divisin larga:
3x2 x 3x 2 10 3x 3 x 4 2 . Respuesta Debe verificar que 3x2 3x 10
(3x 3)(x 2) 4. Esto no es correcto. (El residuo debe ser 4.)
EJERCICIOS 1-5 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 37 - ( )
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54. 45. 3{x2 5[x 2(3 5x)]} 46. 2{a2 2a[3a 5(a2 2)]} 7a2 3a 6
47. 2a{(a 2)(3a 1) [a 2(a 1)(a 3)]} 48. (a 3b)(a2 3ab b2) (a b)2(a
2b) 49. 4x3 2 x 3x2 50. 15x5 5 x2 25x3 51. x3 7x2 x 2 5x 4 52. 53.
54. t3 2t2 3t 1 tt t2 2t 7 t y4 6y3 7y2 9y 3 3y2 55. 6x2y 2 xy 8xy2
x3y2 x 2y 2 2 x2y3 56. 3x4 3 x3 9 y x2y2 4x3 2 x2y 8xy2 (57-64)
Simplifique por medio de la divisin larga: 57. (x2 5x 6) (x 2) 58.
(6x2 x 1) (3x 1) 59. (t2 1) (t 1) 60. (6x2 5x 1) (2x 3) 61. (x3 2x2
x 5) (x 2) 62. x3 (x 1) 63. (2x3 3x2 4x 6) (2x 1) 64. (6x3 11x2 19x
5) (3x 2) 38 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 1-6 FACTORIZACIN Si el
producto de dos enteros a y b es c, es decir, c a b, entonces a y b
se lla- man factores de c. En otras palabras, un entero a es un
factor de otro entero c si a divide exactamente a c. Por ejemplo, 2
y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son facto- res de 12; etctera.
Esta terminologa tambin se emplea para expresiones algebraicas. Si
dos (o ms) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas
expresiones se dice que son factores de la expresin que se obtuvo
como producto. Por ejemplo, la expre- sin 2xy se obtuvo
multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de
2xy. Ms an, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede
obtenerse mul- tiplicando 2y por x. De manera similar, x es un
factor de la expresin 2x2 3x puesto que pode- mos escribir 2x2 3x
x(2x 3) y x2 es un factor de 6x2 9x3 ya que podemos escribir 6x2
9x3 x2(6 9x). El proceso de escribir una expresin dada como el
producto de sus factores se llama factorizacin de la expresin. En
esta seccin, examinaremos ciertos mto- dos mediante los cuales
podemos factorizar expresiones algebraicas. La primera etapa en la
factorizacin de una expresin algebraica es extraer to- dos los
monomios que sean comunes a todos los trminos.El ejemplo siguiente
ilus- tra esto. EJEMPLO 1 Factorice todos los monomios comunes de
las expresiones siguien- tes. (a) x2 2xy2 (b) 2x2y 6xy2 (c) 6ab2c3
6a2b2c2 18a3bc2 ARYA-01.pdf 29/7/08 12:48:28 - 38 - ( )
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