Material distribuido a establecimientos educacionales del Programa Escuelas Arriba y a escuelas rurales.
SEMANA 2
Matemática
GUÍA PARA ESTUDIANTES
Guía de actividades de apoyo
Estimado y estimada estudiante:
Las actividades que desarrollarás en la siguiente guía te permitirán comprender los productos notables, transformando productos en sumas, aplicándolos en situaciones concretas y revisando su utilidad en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.
OBJETIVO DE LA GUÍA:
Conocer qué son los productos notables y poder realizar operaciones en que ellos se vean involucrados
NOMBRE:
CURSO: LETRA: FECHA:
ESTABLECIMIENTO:
II MEDIO
2
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 1
Los productos notables son resultados de multiplicaciones entre expresiones algebraicas que ya conoces y trabajaste en años anteriores.
Estas semanas trabajaremos con algunos de ellos.
• Multiplicación de un binomio por sí mismo 2 o 3 veces (cuadrado y cubo de binomio respectivamente).
• Producto de binomios con un término común. • Multiplicación de dos binomios, que difieren en un signo
(suma por su diferencia).
a) Qué es un cuadrado o cubo de binomio.
i. Calcula el área del cuadrado y volumen del cubo si cada uno de sus lados mide:
Medida área volumen
• 4 cm
• 5 cm
• (2 + 6) cm
• x cm
3
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ii. Calcula de manera gráfica el área de un cuadrado cuyos lados miden:
1. Cada lado mida (8 + 2)
(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 100
3. Cada lado mide (x + 3)
(x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) =
2. Cada lado mide (9 +3)
(9 + 3) • (9 + 3) =(9 + 3) • (9 + 3) =(9 + 3) • (9 + 3) =
4. Cada lado mide (x + y)
(x + y) • (x + y) = (x + y) • (x + y) = (x + y) • (x + y) =
8
x
9
x
64 818
x
9
x
16 27+2
+3
+3
+y
+ 2
+ 3
+ 3
+ y
16
4
4
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
iii. Representa de manera gráfica el volumen de un cubo cuyos lados miden:
i. Cada lado mida (2 + 8)
((2 + 8)3 = 23+ 3 • (22 • 8) + 3 • (2 • 82)+83
(8 + 2)3 = 8 + 3 • (4 • 8) + 3 • (2 • 64)+512 (8 + 2)3 = 8 + 3 • 32 + 3 • 128 + 512 (8 + 2)3 = 8 + 96 + 384 + 512 (8 + 2)3 = 1.000
iii. Cada lado mide (3 + x)
(3+x)3 = (3+x)3 = (3+x)3 = (3+x)3 =
ii. Cada lado mide (3 + 9)
(3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 =
iv. Cada lado mide (y + x)
(y+x)3 = (y+x)3 = (y+x)3 =
• •
• •
5
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
iv. Completa el siguiente diagrama sumando los números que se indican:
v. Completa el siguiente diagrama incorporando los exponentes que acompañan a las variables:
vi. Reemplaza los siguientes valores en el triángulo de Pascal y compara los resultados con los obtenidos en los ejercicios anteriores.
• (8+2)2 =
• (9+3)2 =
• (2+8)3 =
• (3+9)3 =
v. Conociendo este diagrama, conocido como el triángulo de Pascal, ¿podrás definir cómo se desarrolla la multiplicación de (x+y)7?
11
1 1
1 1
11
1
661 1
10101 1
(x+y)0
(x+y)2
(x+y)4
(x+y)1
(x+y)3
(x+y)5
1y41
1 1y3
1 1y2
1y1
1
661 1y6
10101 1y5
(x+y)0
x
(x+y)2
x3
(x+y)4
x5
(x+y)1
x2 x1y1
(x+y)3
x4
(x+y)5
x6
x y
x y
x y x y x y x y
x yx y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
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MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 2
El día de ayer trabajaste el cuadrado de binomio y desarrollaste el ejemplo siguiente:Determinaste el área del cuadrado cuyos lados miden (8 +2).
(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 100
i. Calculemos el área de un rectángulo cuyos lados serán (8+4) y (8+2).
(8 + 4)•(8 + 2) = 64 + 16 + 32 + 8 (8 + 4)•(8 + 2) = 120 (12) • (10) = 120
8
648
32+4
+ 2
16
8
648
16+2
+ 2
16
4
8
7
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ii. Usando el mismo método calcula el área de los rectángulos cuyos lados son:
• (9 + 3) y (9 + 6)
• (3 + x) y (x + 7)
• (x + y) y (x + z)
Con estos ejemplos has podido descubrir uno de los productos notables: Producto de binomios con un término común.
(9 + 3) • (9 + 6) = (9 + 3)•(9 + 6) = (12) • (15) =
(3 + x) • (x + 7) = (3 + x) • (x + 7) = (3 + x) • (x + 7) =
(x + y) • (x + z) =
8
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 3
Hoy te invitamos a conocer la multiplicación de dos binomios que difieren en un signo.Por ejemplo, (8 + 2) • (8 - 2), sabemos que el resultado de esta multiplicación es 10 • 6 =60.Este tipo de multiplicaciones no reviste una mayor dificultad, pero ¿podrías hacer la multiplicación de forma rápida si te preguntaran por 23 • 17 o 29 • 31?
Si nos fijamos en los números dados, entre ellos se esconde la siguiente información: 23 • 17 = (20 + 3) • (20 - 3) 29 • 31 = (30 - 1) • (30 + 1)
A simple vista no es algo importante, pero veremos que nos ayudará mucho a resolverlos de manera más sencilla.
volvamos al ejemplo de (8 + 2) • (8 - 2) = 10 • 6 = 60Miremos cómo se conforma esta multiplicación de manera gráfica.
PASO 1: Miremos y grafiquemos el área del primer término de ambos factores, que es 8.
Buscaremos el área que cubre un cuadrado de lado 8 = 64.
PASO 2: El primer término me pide que se le sume 2.
Lo representaremos con el área que cubre el rectángulo pintado de color gris oscuro.
1 11 1
3 3
5 5
7 7
1
2 2
4 4
6 6
8 8
2
5 53 37 72 26 64 48 8
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MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
PASO 5: Pintamos de color gris el área pintada de color negro
Nos faltará un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?
PASO 3: El segundo término señala que le reste 2.
Lo representaremos eliminando el área que corresponde a 2, lo que quedará pintado de blanco.
PASO 6: Pintamos de color gris el área pintada de color negro
Nos queda un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?
PASO 4: Reordenemos
Cambiamos de posición el área pintada de color gris oscruo.
1 1
1 1
1 1
1 1
3 3
3 3
5 5
5 5
7 7
7
1
7
2 2
2 2
4 4
4 4
6 6
6 6
8 8
8
2
8
5 5
5 5
3 3
3 3
7 7
7 7 1
2 2
2 2
6 6
6 6
4 4
4 4
8 8
8 8 2
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MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
i. Usando el procedimiento anterior, calcula el producto de las siguientes sumas por su diferencia.
ii. Calcula el valor de las siguientes sumas por su diferencia.
(x + 1) • (x - 1)=
x
a
a
y 1
1
11
11
y
(a + 4) • (a - 4)=
(y - 11) • (y + 11)=
12
12+ -• =x x( ( ) )•
15
15+ -• =a
3 a3( ( ) )•
• =110+y( )2 110-y( )2•
11
MATEMáTICASEMANA 2
GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 4
Utilizando los recursos con los que has trabajado en los días anteriores responde los siguientes ejercicios.
i. Determina si los siguientes ejercicios corresponden a “cuadrado de binomio”, “cubo de binomio”, “suma por su diferencia” o “producto de binomios con un término común”.
(z3 + 14 )2
(a + 3) • (a - 3)
(w2 - b) • (w2 + b)
(1 15
+ x)3
( a2 + 3) • ( a2 + 4)
(bn - 3a) • (bn - 2a)
ii. Completa cada recuadro según corresponda.
(5 + y) • (12 + y) = 60 + +y2
(12 + z) • (12 - z) = - z2
( +15)•( - 15) = b4 - 225
(x+ 12 )2 = x2 +
(2x - 3)2 = 4x2 +
iii. Encuentra el error cometido y corrígelo.
(y + 9a) (y - 9a) = y2+9a2
(a + 2) (a - 7) = a2 + 28a + 9
(x2 + 2)2 = x
2
2 + 2x + 4
(2x + 4)^3 = 6x3 + 24x2 + 32x + 64
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 1
Los productos notables son resultados de multiplicaciones entre expresiones algebraicas que ya conoces y trabajaste en años anteriores.
Estas semanas trabajaremos con algunos de ellos.
• Multiplicación de un binomio por sí mismo 2 o 3 veces (cuadrado y cubo de binomio respectivamente).
• Producto de binomios con un término común. • Multiplicación de dos binomios, que difieren en un signo
(suma por su diferencia).
a) Qué es un cuadrado o cubo de binomio.
i. Calcula el área del cuadrado y volumen del cubo si cada uno de sus lados mide:
Medida área volumen
• 4 cm 16 cm2 64 cm3
• 5 cm 25 cm2 125 cm3
• (2 + 6) cm 64 cm2 512 cm3
• x cm x2 cm2 x3 cm3
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ii. Calcula de manera gráfica el área de un cuadrado cuyos lados miden:
1. Cada lado mida (8 + 2)
(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 100
3. Cada lado mide (x + 3)
(x + 3) • (x + 3) = x2 + 2 • (3x) + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9
2. Cada lado mide (9 +3)
(9 + 3) • (9 + 3) = 81 + 27 + 27 + 9(9 + 3) • (9 + 3) = 81 + 2 • (27) + 9(9 + 3) • (9 + 3) = 144
4. Cada lado mide (x + y)
(x + y) • (x + y) = x2 + 2 • (xy) +y2(x + y) • (x + y) = x2 + 2xy + y2(x + y) • (x + y) = x2 + 2xy + y2
8
x
9
x
64
x2
81
x2
8
x
9
x
16
3x
27
xy
+2
+3
+3
+y
+ 2
+ 3
+ 3
+ y
16
3x
27
xy
4
9
9
y2
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
iii. Representa de manera gráfica el volumen de un cubo cuyos lados miden:
i. Cada lado mida (2 + 8)
((2 + 8)3 = 23+ 3 • (22 • 8) + 3 • (2 • 82)+83
(8 + 2)3 = 8 + 3 • (4 • 8) + 3 • (2 • 64)+512 (8 + 2)3 = 8 + 3 • 32 + 3 • 128 + 512 (8 + 2)3 = 8 + 96 + 384 + 512 (8 + 2)3 = 1.000
iii. Cada lado mide (3 + x)
(3+x)3 = 33+3•(32•x)+3•(3•x2)+x3
(3+x)3 = 27+3•(9•x)+3•(3•x2)+x3
(3+x)3 = 27+3•(9x)+3•(3x2)+x3
(3+x)3 = 27+27x+9x2+x3
ii. Cada lado mide (3 + 9)
(3+9)3 = 33+3•(32•9)+3•(3•92 )+93
(3+9)3 = 27+3•(32•9)+3•(3•92 )+729(3+9)3 = 27+3•(9•9)+3•(3•81)+729(3+9)3 = 27+3•81+3•243+729(3+9)3 = 1.728
iv. Cada lado mide (y + x)
(y+x)3 = y3+3•(y2•x)+3•(y•x2)+x3
(y+x)3 = y3+3•(y2x)+3•(yx2)+x3
(y+x)3 = y3+3y2x+3yx2+x3
• •
• •
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
iv. Completa el siguiente diagrama sumando los números que se indican:
v. Completa el siguiente diagrama incorporando los exponentes que acompañan a las variables:
vi. Reemplaza los siguientes valores en el triángulo de Pascal y compara los resultados con los obtenidos en los ejercicios anteriores.
• (8+2)2 = 82+2•(8•2)+22=64+32+4=100• (9+3)2 = 92+2•(9•3)+32=81+54+9=144 • (2+8)3 = 23+3•(22•8)+3•(2•82)+83=
8+3•(4•8)+3•(2•64)+512=8+3•32+3•128+512=8+96+384+512=1.000• (3+9)3 = 33+3•(32•9)+3•(3•92)+93=27+3•(9•9)+3•(3•81)+729=
27+3•81+3•243+729=27+243+729+729=1.728
v. Conociendo este diagrama, conocido como el triángulo de Pascal, ¿podrás definir cómo se desarrolla la multiplicación de (x+y)7?
(x+y)7=x7+7x6y+21x5y2+35x4y3+35x3y4+21x2y5+7xy6+y7
4 46 11
3 31 1
21 1
11
1
15 6152061 1
5 510101 1
(x+y)0
(x+y)2
(x+y)4
(x+y)1
(x+y)3
(x+y)5
4 46 1y41
3 31 1y3
21 1y2
1y1
1
15 6152061 1y6
5 510101 1y5
(x+y)0
x
(x+y)2
x3 x2y xy2
(x+y)4
x5 x4y x3y2 x2y3 xy4
(x+y)1
x2 x1y1
(x+y)3
x4 x3y x2y2 xy3
(x+y)5
x6 x5y x4y2 x3y3 x2y4 xy5
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SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 2
El día de ayer trabajaste el cuadrado de binomio y desarrollaste el ejemplo siguiente:Buscaste Determinaste el área del cuadrado cuyos lados miden (8 +2).
(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 100
i. Calculemos el área de un rectángulo cuyos lados serán (8+4) y (8+2).
(8 + 4)•(8 + 2) = 64 + 16 + 32 + 8 (8 + 4)•(8 + 2) = 120 (12) • (10) = 120
8
648
32+4
+ 2
16
8
648
16+2
+ 2
16
4
8
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ii. Usando el mismo método calcula el área de los rectángulos cuyos lados son:
• (9 + 3) y (9 + 6)
• (3 + x) y (x + 7)
• (x + y) y (x + z)
Con estos ejemplos has podido descubrir uno de los productos notables: Producto de binomios con un término común.
(9 + 3) • (9 + 6) = 81 + 54 + 27 + 18(9 + 3)•(9 + 6) = 180(12) • (15) = 180
(3 + x) • (x + 7) = 3x + 21 + x2 + 7x(3 + x) • (x + 7) = x2 + 3x + 7x + 21(3 + x) • (x + 7) = x2 + 10x + 21
(x + y) • (x + z) = x2 + xy + zx + zy
9
x
81
x2
9
x
54
zx
x
3x
x2
6
+z
3
+x
+3
+y
27
xy
18
zy
+7
21
7x
18
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SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 2
Hoy te invitamos a conocer la multiplicación de dos binomios que difieren en un signo.Por ejemplo, (8 + 2) • (8 - 2), sabemos que el resultado de esta multiplicación es 10 • 6 =60.Este tipo de multiplicaciones no reviste una mayor dificultad, pero ¿podrías hacer la multiplicación de forma rápida si te preguntaran por 23 • 17 o 29 • 31?
Si nos fijamos en los números dados, entre ellos se esconde la siguiente información: 23 • 17 = (20 + 3) • (20 - 3) 29 • 31 = (30 - 1) • (30 + 1)
A simple vista no es algo importante, pero veremos que nos ayudará mucho a resolverlos de manera más sencilla.
volvamos al ejemplo de (8 + 2) • (8 - 2) = 10 • 6 = 60Miremos cómo se conforma esta multiplicación de manera gráfica.
PASO 1: Miremos y grafiquemos el área del primer término de ambos factores, que es 8.
Buscaremos el área que cubre un cuadrado de lado 8 = 64.
PASO 2: El primer término me pide que se le sume 2.
Lo representaremos con el área que cubre el rectángulo pintado de color gris oscuro.
1 11 1
3 3
5 5
7 7
1
2 2
4 4
6 6
8 8
2
5 53 37 72 26 64 48 8
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SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
PASO 5: Pintamos de color gris el área pintada de color negro
Nos faltará un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?
PASO 3: El segundo término señala que le reste 2.
Lo representaremos eliminando el área que corresponde a 2, lo que quedará pintado de blanco.
PASO 6: Pintamos de color gris el área pintada de color negro
Nos queda un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?
PASO 4: Reordenemos
Cambiamos de posición el área pintada de color gris oscuro.
1 1
1 1
1 1
1 1
3 3
3 3
5 5
5 5
7 7
7
1
7
2 2
2 2
4 4
4 4
6 6
6 6
8 8
8
2
8
5 5
5 5
3 3
3 3
7 7
7 7 1
2 2
2 2
6 6
6 6
4 4
4 4
8 8
8 8 2
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
i. Usando el procedimiento anterior, calcula el producto de las siguientes sumas por su diferencia.
ii. Calcula el valor de las siguientes sumas por su diferencia.
(x + 1) • (x - 1)=
x
a
a
y 1
1
11
11
y
(a + 4) • (a - 4)=
(y - 11) • (y + 11)=
x2
a2
y2
1
16
112= 121
12
12
14+ - -• =x x x
2( ( ) )•15
15
125+ - -• =a
3 a3 a6( ( ) )•1
100-• = y1
10+y( )2 110-y( )2•
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MATEMáTICASEMANA 2
SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO
ACTIVIDAD N° 4
Utilizando los recursos con los que has trabajado en los días anteriores responde los siguientes ejercicios.
i. Determina si los siguientes ejercicios corresponden a “cuadrado de binomio”, “cubo de binomio”, “suma por su diferencia” o “producto de binomios con un término común”.
(z3 + 14 )2 Cuadrado de binomio
(a + 3) • (a - 3) Suma por su diferencia
(w2 - b) • (w2 + b) Suma por su diferencia
(1 15
+ x)3 Cubo de binomio
( a2 + 3) • ( a2 + 4) Producto de binomios con un término común
(bn - 3a) • (bn - 2a) Producto de binomios con un término común
ii. Completa cada recuadro según corresponda.
(5 + y) • (12 + y) = 60 + 17y +y2
(12 + z) • (12 - z) = 144 - z2
( b2 +15)•( b2 - 15) = b4 - 225
(x+ 12 )2 = x2 + x + 14
(2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9
iii. Encuentra el error cometido y corrígelo.
(y + 9a) (y - 9a) = y2+9a2 y2 - 81a2
(a + 2) (a - 7) = a2 + 28a + 9 a2-5a-14
( x2
+ 2)2 = x 2
2 + 2x + 4 x
2
4+2x+4
(2x + 4)3 = 6x3 + 24x2 + 32x + 64 8x3 + 48x2 + 48x + 64