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By Miguel Pérez Fontenla, December 20111
ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO II
Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.
El espacio euclídeo ℝ3
Coordenadas de un vector en ℝ3
3 34
1 4, , / , , 0,0,0 , 3, 1,2 , 7 , , , 2, , ,...
3 5x y z x y z e
Coordenadas de un vector en ℝ3
Sistemas de referencia en ℝ3
Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por donde
•O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas• son los vectores de su base canónica de V3
, , ,R O i j k
, ,i j k
Ecuaciones de la recta en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación continua
• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Ecuación implícita o cartesiana
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación vectorial
OP OA u
1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación paramétrica
1 1
1 2 3 1 2 3 2 2
3 3
, , , , , ,
x a u
x y z a a a u u u y a u
z a u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación continua
1 1
1 2 3 1 2 3 2 2
3 3
, , , , , ,
x a u
x y z a a a u u u y a u
z a u
1
11 1
32 1 22 2
2 1 2 3
3 3
3
3
x a
ux a u
z ay a x a y ay a u
u u u uz a u
z a
u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuación implícita (o cartesiana)
1 2
1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 131 2
3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2321 2 3
2 3
0
0
x a y a
u u u x u a u y u a u x u y u a u az ax a y a
u y u a u z u a u y u z u a u az ay au u u
u u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
EjemploCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director 1,2,1u
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ejemplo. SoluciónCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director •Vectorial •Paramétrica
•Continua
•Implícita
1,2,1u
, , 3,1,2 1,2,1x y z
3 1
1 2
2 1
x
y
z
33 1
1 11 2 3 2
2 22 1
2
xx
y yy x z
zz
4 1
3 12 5 5 3 5 7 05 3
1 1 3 6 3 7 02
3
x y
x y x y
y y z y zz
Ecuaciones de la recta en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación General o implícita
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuación general o implícita.
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Ecuaciones del plano en ℝ3
Plano que pasa por 3 puntos