Date post: | 14-Jun-2015 |
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Grado de Ingeniería Civil
Profesor: Eduardo Mena Caravaca
Definición
Una matriz A de orden mxn es un conjunto deelementos pertenecientes a un cuerpo conmutativodispuestos en m filas y n columnas.
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35 3 5
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
Una matriz se denota con letra mayúscula
( ) donde 1,2,...... 1,2,......ij
A a i m j n
El primer subíndice corresponde a la fila a la que pertenece y el segundo a la columna
NOMENCLATURA
Si 1 se llama matriz fila
Si n 1 se llama matriz columna
Si se llama matriz rectangular
Si se llama matriz cuadrada de orden n
m
m n
m n
NOTACIONES
Al conjunto de matrices de orden mxn se denota por m nM
Al conjunto de matrices de orden n se denota por n nM
De esta forma anotamos 4 3
B M
1 0 1
2 1 0
5 3 7
0 1 1
B
Definiciones
Matriz NULA:
0 1,2..... 1,2......ija i m j nAquella que verifica
La denotamos por
Matrices IGUALES:
( ) ( ) es ,ij ij ij ij
A a B b A B si a b i j
Matriz TRASPUESTA
Dada una matriz A, la traspuesta, es la matriz que resulta al cambiar
las filas por las columnas y se denota por tA
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
TRIANGULAR SUPERIOR,
Si 0i ja i j
2 1 0
0 1 5
0 0 2
A
TRIANGULAR INFERIOR,
Si 0i ja i j
2 0 0
2 1 0
7 5 0
B
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
DIAGONAL,
Si 0 siendo i ja i j
2 0 0
0 1 0
0 0 3
A
ESCALAR: Es una matriz diagonal donde ,i ia i
4 0 0
0 4 0
0 0 4
A
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
MATRIZ UNIDAD: Es una matriz escalar donde
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
SIMÉTRICA Si tA A
5 1 0
1 4 3
0 3 0
A
,1
i ia i
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
ANTISIMÉTRICA
0 1 0
1 0 2
0 2 0
A
PERIÓDICA 1Si p / pA A
0 1
1 0A
Si tA A
Si p es el menor número que cumple la igualdad , p es el periodo
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
IDEMPOTENTE
0 3
0 1A
NILPOTENTE Si p / pA O
3 1
9 3A
2Si A A
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
REGULAR: Si tiene inversa
2 3
0 1A
SINGULAR: Si no tiene inversa
3 1
9 3A
ORTOGONAL1Si tA A cos sin
sin cosA
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
INVOLUTIVA
1 0
0 1A
INVERSA
1 1 1 se dice la inversa de si A A A A A A I
2Si A I
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA
Sean siendo m n ij
m n m n m n ij ij ij
m n ij
A aC A B c a b
B b
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sean siendo bm n ijm n m n ij ij
A aB A a
PRODUCTO DE MATRICES
1
Sean siendo n
m n ij
m p m n n p ij ik kjkn p ij
A aC A B c a b
B b
PROPIDADES DE LA TRASPOSICIÓN
ttA A
t t tA B A B
t tA A
t t tA B B A
PROPIDADES DE LA INVERSA
11A A
11t
tA A
1 1 1A B B A
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
ijF
Se definen tres transformaciones elementales sobre las filas o las columnas:
1. Intercambiar la fila i por la fila j, la denotamos por :
2. Multiplicar la fila i por un número k≠ 0, la denotamos por : ( )iF k
3. Sumar a la fila i la j multiplicada por un número k : ( )ijF k
Análogamente las transformaciones elementales de columnas son :
ijC ( )
iC k ( )
ijC k
Ejemplo
21
1 2 0 1 2 0
3 1 1 ( 3) 0 5 1
1 0 2 1 0 2
A F B
NOTASi en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna,la matriz obtenida se dice que es equivalente y se denota por:
A B
1
3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 (2) 0 0 2
I F
F
NOTA
A la matriz resultante la designamos por iF
MATRIZ ELEMENTALEs la matriz que resulta al aplicar una transformación elemental a la matriz unidad.
si es por fila y iC
si es por columna .
Toda matriz elemental es regular. Y el producto de matrices regulares es otra matriz regular.
2 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 (3) 0 3 0
0 0 1 0 0 1
I F F
Observa
1 1F C
MATRIZ ELEMENTAL
, y ( ), ( )ij ij i iF C F k C k
2(3)
1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 3 0
0 0 1 0 0 1
C
I C
Las transformaciones en I dan la misma matriz.
Nota
1B FA
A
133 1 0 1 (3) 0 4 0 10
2 1 1 0 2 1 1 0
1 1 0 3 1 1 0 3
F
A B
La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental
en la matriz de orden m n por filas (columnas) coincide
con la matriz obtenida al multiplicar por la izquierda (derecha) la
matriz A por la matriz elemental correspondiente.
13
1
1 0 0 (3) 1 0 3
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
F
I F Vemos que
Recuerda
2 1 1 2r pB F F F A C C C
,A BDos matrices son equivalentes si se obtiene una de otra por
Si
una sucesión de transformaciones elementales .
Siendo
Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna, la matriz obtenida se dice que es equivalente .
Definición equivalente a esta otra:
,m n
A B M son equivalentes, entonces se verifica:
y i jF C las matrices elementales que representan las
transformaciones aplicadas a las filas y las columnas de A
2 1 1 2r pB F F F A C C C
Por tanto como
Otra definición de matrices equivalente s:
,m n
A B M son equivalentes, si y sólo sí
y i jF C son matrices elementales su producto
es una matriz regula r y la expresión:
, regulares /P Q B PAQ
La podemos escribir de esta forma : B P A Q
A las matrices y m m n n
P M Q M se les llaman
matrices de PASO
Dada una matriz
FORMA CANÓNICA , NORMAL o de HERMITE
equivalente, en la que los únicos elementos no nulos son los
Hay cuatro formas de HERMITE :
|
; | ; ; |
|
r r
r r
I O I
I I O
O O O
A r se le llama rango de la matriz m m
A M
m nA M su matriz de HERMITE es una matriz
1iia
( )Rg A r
El rango es el número de filas o columnas no nulas en la matriz de HERMITE
Obtener la matriz de Hermite de :
Ejemplo de cómo obtener la matriz de HERMITE
11 2
521 212
131 412
2 4 0 6 2 4 0 6 2 0 0 0 1 0 0 0
5 10 0 15 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03
C
F C
F C
2 4 0 6
5 10 0 15
1 2 0 3
A
( ) 1Rg A
La matriz de Hermite de una matriz A es única
La matriz de Hermite es equivalente a la matrizA
La matriz de Hermite tiene la misma dimensión y rango que la matriz ATeorema
Dos matrices y A B son equivalentes si y solo sí tienen igual dimensión y rango.
Demostración
c.n
y A B son equivalentes
** * *además H RAS
H HH TBU H TPAQU H VAY
B PAQ
Si tienen la misma matriz de HERMITE tienen la misma dimensión y rango.
Propiedades
Por tanto y A B son equivalentes c.q.d.
c.s.
A y B
de Hermite1 1
H RASTBU RAS B T RASU PAQ
H TBU
Si tienen la misma dimensión y rango, tienen la misma matriz
1) Toda matriz regular nA M puede obtenerse a partir de n
I mediante
transformaciones elementales de filas y columnas, o de filas solamente, o
columnas solamente.
2) Cualquier par de matrices regulares n
A y B M se pueden obtener
una de la otra mediante operaciones elementales únicamente de filas o
únicamente de columnas.
Aplicación : Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jordan
Sea nA M /
n nI A P regular I PA
nP M
una matriz regular
1 1 1
n nSi I PA I A PAA A P
con matriz de paso por filas, ya que está multiplicando a la izquierda.
De igual forma se obtendría por columnas.
Ejemplo: Hallar la inversa de 0 1
1 3A
12 11 0 | 0 1 0 1 | 1 3 ( 1) 0 1 | 1 3
0 1 | 1 3 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1
F F
12 10 1 | 1 3 (3) 3 1 | 1 0 3 1
1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
FA
DETERMINANTES
A la agrupación
33! 3 2 1 6P
1,2,3 una permutación es una agrupación de
esos tres elementos. Por ejemplo:
Consideremos el conjunto
Conceptos iniciales:
321
123 , le llamamos permutación base .
El número de agrupaciones o permutaciones que se pueden obtener es:
Anotaremos las permutaciones por:j
En nuestro ejemplo:
1 2 3 4 5 6123 132 213 231 312 321
Anotaremos el elemento i de la permutación j por: ( )ji
1 3 6(2) 2 (1) 2 (3) 1
DETERMINANTES
Llamamos trasposición al cambio de dos elementos de un permutación entre sí.
Conceptos iniciales:
123 132 312una trasposición otra trasposición
Una permutación se dice PAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle
para pasarla a la permutación base es PAR.
5312
Se dice que es IMPAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle para
pasarla a la permutación base es IMPAR.
312 132 123primera trasposición segunda trasposición
PAR
2132 132 123
primera trasposiciónIMPAR
DETERMINANTES
Para n>1 el número de permutaciones es un número par.
Conceptos iniciales:
La mitad de ellas son PARES y la otra mitad son IMPARES.
A cada permutación le asociamos un signo: + si es PAR y - si es IMPAR
Dada una matriz
2( )sg
5( )sg
n nA M anotaremos su determinante por A
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
1 2 5 1 2 5
A A
DETERMINANTES
Valor de un determinante de una matriz cuadrada:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )1
1 2 3
.
.
( )
. . . . .
.
j j j j
n
n n
n j n nj
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a aA sg a a a a
a a a a
Observa:
El determinante de orden n es la suma de todos los productos , afectados con signo + ó - de n elementos que se pueden formar tomando un elementode cada fila y de cada columna, sin que haya dos elementos que pertenezcan a la misma fila o columna.
DETERMINANTES
Definiciones:
Si en un determinante de orden n suprimimos la fila i y la columna j se obtiene un determinante de orden n-1 que se llama menor complementariodel elemento y se representa por
ija ij
13 32
1 2 10 1 1 1
0 1 31 2 0 3
1 2 5
A
Se denomina adjunto del elemento y lo representamos por a su menor complementario afectado del signo + ó - según que i+j sea par o impar.
ija
ijA
( 1)i jij ijA
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
1) Si en un determinante todos los elemento de una línea (fila o columna) son
nulos entonces 0A
1 2 1
0 0 0 1 0 5 2 0 1 0 2 1 1 0 1 2 0 5 0 2 1 0
1 2 5
A
En efecto, ya que en cada producto de cada uno de los sumandos hay un elemento de dicha línea.
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
2) Si se cambian entre sí dos línea paralelas, el determinante cambia de signo.
1 2 1 1 2 5
1 0 3 8 1 0 3 8
1 2 5 1 2 1
A B
En efecto, ya que al intercambiar entre sí dos elementos de una permutación , ésta cambia de paridad y al cambiar dos línea paralelas entre sí los productos aparecen asociados ahora a la permutación resultante de intercambiar los correspondientes elementos, todos los productos cambian de signo, por lo que el determinante también lo hace.
PROPIEDADES de los DETERMINANTES3) Si un determinante tiene dos línea paralelas iguales, entonces vale cero.
2 0 0A A A A
Por la propiedad anterior, al cambiar las dos filas iguales el determinante cambia de signo, pero dicho determinante sigue siendo del mismo valor, por tanto vale cero.
4) Si se multiplican todos los elementos de una línea por un número el valor
del determinante queda multiplicado por ese número.
Al multiplicar todos los elementos de una línea por un número, dicho número aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos sacarlo factor común.
1 2 1 1 2 1
1 0 3 8 3 0 9 24 3 8
1 2 5 1 2 5
A B
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
5) Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos
el determinante se puede descomponer en suma de dos determinantes.
Si en todos los elementos de una línea aparece un factor de la forma (a+b) dicho factor aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos aplicar la propiedad distributiva y descomponerlo en suma de dos determinantes.
1 3 2 0 1 2 1 2 1 3 0 2
1 0 3 1 0 3 1 0 3
1 2 5 1 2 5 1 2 5
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
6) Si una línea es combinación lineal de otras paralelas el determinante es nulo.
12 1 12 1 12 12 1 1 12 1
22 2 22 2 22 22 2 2 22 2
2 2 2 2 2
. . .
. . .0
. . . . . . . . . . . .
. . .
n n n n n
n n n n n
n nn n nn n n nn nn n nn
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
7) Si a una línea le sumamos una combinación lineal de otras paralelas el
determinante no varía.
11 12 12 1 11 12 1 12 12 1 11 12 1
21 22 22 2 21 22 2 22 22 2 21 22 2
1 2 2 1 2 2 2 1 2
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
n n n n
n n n n
n n n nn n n nn n n nn n n nn
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
8) Si en un determinante una línea es de ceros salvo un elemento, el valor de dicho
determinante es el producto de dicho elemento por su adjunto.
11 22 23 2
21 22 2 32 33 3
11 11 11
1 2 2 3 ( 1) ( 1)
0 . 0 .
. .
. . . . . . . .
. .
n
n n
n n nn n n nnn n n n
a a a a
a a a a a aa a A
a a a a a a
11
21 22 2
1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) 11 2 (2) 3 (3) ( )1 1
1 2
0 . 0
.( ) ( )
. . . .
.
j j j j j j j
n nn
j n n j n nj j
n n nn n n
a
a a asg a a a a a sg a a a
a a a
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
9) El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea por sus adjuntos respectivos.
11 12 1
1 21
1 2 3
. .
. . . . .
0 .. 0 0 .. 0 . . 0 0..
. . . . .
.
n
n
i i in ij ijj
n n n nn
a a a
a a aA a A
a a a a
Aplicamos las propiedades 5 y 8 al siguiente determinante:
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
10) La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de
otra línea paralela a ella, es cero.
Sea el determinante :
11 12 1
21 22 2
1 2
.
.
. . . .
.
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
Formamos el determinante con dos filas iguales:
11 12 1
11 12 1
11 21 12 22 1 2 11 21 12 22 1 2
1 2
.
... .. 0
. . . .
.
n
n
n n n n
n n nn
a a a
a a aB a B a B a B a A a A a A
a a a
PROPIEDADES de los DETERMINANTES
11) El determinante de una matriz es igual a la de su traspuesta.
En efecto, ya que un determinante está formado por todos los productos en los queintervienen un elemento de cada fila y de cada columna, al cambiar filas por columnas se obtendrán los mismos productos aunque la permutación base está ahora referida a las columnas y no a las filas.
tA A
1 2 1 1 1 1
1 0 3 8 2 0 2 8
1 2 5 1 3 5
tA A
REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
11 12
11 22 12 2121 22
a aa a a a
a a
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
31 32 33
( )
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
Determinantes de orden 2
Determinantes de orden 3 Regla de Sarrus
REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de orden n
11 12 1
1 21
1 2 3
. .
. . . . .
. .
. . . . .
.
n
n
i i in ij ijj
n n n nn
a a a
a a aA a A
a a a a
Aplicando la propiedad número nueve.
El determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n-1.
Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea.
REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de orden n
12 1
1 2 1 1
2
0 . .
. . . . .
. .
. . . . .
0 . .
n
i i in i i
n nn
a a
a a aA a A
a a
Regla de Chio o método pivote
Consiste en fijar en una fila o una columna un elemento llamado pivote
(por comodidad suele ser un elemento que vale 1) y hacer 0, utilizando
las propiedades, todos los elementos de dicha fila o columna. Posteriormentese desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna.
El determinante de orden n se reduce a calcular un determinante de orden n-1.
REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES
Determinantes de matrices triangulares de orden n
11 12 13 14
22 23 2422 23 24 33 34
11 11 11 33 34 11 22 11 22 33 4433 34 44
4444
00
0 0 00 0
0 0 0
a a a aa a a
a a a a aA a A a a a a a a a a a
a a aa
a
El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igualal producto de los elementos de la diagonal principal.
El determinante de un producto de matrices es igual al productode los determinante
A B A B
APLICACIONES de los DETERMINANTES
Cálculo del rango de una matriz
1 2 0 1 1 2 0 1 2 11 2
2 0 3 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 ( ) 22 0
4 4 3 3 4 4 3 4 4 3
A Rg A
Es el orden del mayor determinante (menores) no nulo que se puede formar confilas y columnas de la matriz.
Al determinante formado por las r primeras filas y las r primeras columnas se le llama menor principal de orden r.
El menor principal de orden dos es distinto de cero y los demás menores de ordentres que podemos ampliar son nulos luego el rango es dos.
APLICACIONES de los DETERMINANTES
Cálculo de la matriz inversa
Dada una matriz cuadrada
Se llama matriz ADJUNTA a la matriz formada por los adjuntos de cada elemento.
11 12 1
1 2
1 2
. .
. . . . .
. .
. . . . .
. .
n
i i in
n n nn
a a a
a a aA
a a a
11 12 1
1 2
1 2
. .
. . . . .
. .( )
. . . . .
. .
n
i i in
n n nn
A A A
A A AAdj A
A A A
APLICACIONES de los DETERMINANTES
El producto de una matriz por la traspuesta de la matriz adjunta es igual al determinante de la matriz por la matriz unidad.
11 12 1 11 21 1
1 2 1 2
1 2 1 2
. . . . 0 . . 0
. . . . .. . . . . . . . . .
0 0 . . 0. . . .
. . . . .. . . . . . . . . .
. . . . 0 0 . .
n n
i i in i i ni
n n nn n n nn
a a a A A A A
a a a A A A
a a a A A A A
nA I
Por tanto :
11 1Adj( ) Adj( ) Adj( )
t t t
n nA A A I A A I A A
A A