Date post: | 26-Jul-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | anthony-guerrero-facio |
View: | 72 times |
Download: | 4 times |
3.1. MATRICES, OPERACIONES CON MATRICES
Objetivos 1. Aprender efectuar la suma,
multiplicación por un escalar y la
multiplicación matricial. 2. Comprender las propiedades
básicas de estas operaciones.
MATRICES
Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo, el matemático inglés James Joseph Sylvester(1814-1897)
fue el primero que uso el término “matriz” en 1850, para distinguir las
matrices de los determinantes. De hecho, que la intención era que el
término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”.
Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la
Universidad Johns Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Jornal
of Mathematics.
Definición 1 MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenadas en filas y
columnas del modo:
mna.........m2am1a
2n..a..........22a21a1n.a..........12a11a
.....
Notaciones: Las matrices se denotan, con letras mayúsculas, tal como A, B, C,... etc. Y abreviadamente se puede expresar por
mnijaA
Los subíndices: el primero de ellos “i” indica la fila en la que está la
componente y el segundo, “j”, la columna correspondiente. Así, el elemento
a32 ocupa la tercera fila y la segunda columna. En general, el elemento
aij, ocupa la intersección de la i-esima fila y la j-ésima columna.
Definición 2 ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado mxn,
donde m indica el número de filas y n el número de columnas.
Ejemplo 1 Los siguientes arreglos son matrices.
A=
25-1
510
23ln3
, B=
7z
y
x5
, C= 3810
El orden de la matriz A, es:3x3
El orden de la matriz B, es: 3x1
El orden de la matriz C, es: 1x4
Ejemplo 2. Se presentan matrices de diferentes tamaños:
010
16-7A es una matriz de orden 2x3
119
1B
12 es una matriz de orden 2x2
C=
141041032130017421 es una matriz de orden 3x6
D=
yxqmwxv
xypnzwx es una matriz de orden 2x7
E=
yxx
yxxcz
yxxy
exyx
xsenxxx
3
2
tan
tancos
ln
es una matriz de orden 5x3
Nota: El conjunto de matrices de orden mxn, con coeficientes en ℝ o ℂ, se
denotará ℳmxn(ℝ) y ℳmxn(ℂ) respectivamente.
Definición 3 IGUALDAD DE MARICES
Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus
componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son
idénticas. Formalmente
[aij]mxn=[bij]mxn aij = bij, i=1,2,m, j=1,2,,n
Si A no es igual a B se nota: A B
Ejemplo 3. Si las matrices A=
35
13y
3y3x
1yx
B son iguales, hallar el
valor de M=2x+5y
Solución. En primer lugar las dos matrices son del mismo orden, luego:
3y3x
1yx
35
13 (x–y=3) (3x–y=5)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x=1, y=-2.
Por tanto M= 2(1)+5(-2)=-8.
Definición 4: TIPOS DE MATRICES
1. La matriz de orden mxn, con mn recibe el nombre de matriz rectangular.
2. La matriz de orden 1xn se denomina matriz fila o vector fila.
3. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de
orden mx1.
4. Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0, j;,i
recibe el nombre de matriz cero o nula.
5. La matriz que tiene el mismo número de filas y columnas se llama matriz
cuadrada. Esto es,
[aij]mxn es cuadrada m=n
se le representa por An ℳnxn,
Ejemplo 4.
La matriz
8-07
1-1
A
0
, es una matriz rectangular de orden 2x3.
La matriz A = [6 -9 1 1] es una matriz o vector fila de orden 1x4.
La matriz
5
3
1/2
A es una matriz columna de orden 3x1
La matriz
000
000
A es una matriz cero de orden 2x3.
La matriz
33a32a31a
23a22a21a
13a12a11a
A es una matriz cuadrada de orden 3
La matriz A= 6301 es una matriz fila de orden 1x4.
OPERACIOENES ENTRE MATRICES
Definición 5 (SUMA DE MATRICES)
Dadas dos matrices del mismo orden A=[aij]mxn y B=[bij]mxn, se llama suma de A
y B a otra matriz C=[cij]mxn tal que
cij=aij+bij i1,2,3, …,m,j1,2,3, …,n
Formalmente A+B= [aij+bij]mxn
Ejemplo 5. Sean las matrices
14
52
Cy
21x
x2y5
B,
2y3
y12x
A
Hallar A+C, sabiendo que A=B
Solución: Si A=B
2yx1xy3
6y2xy512x
Entonces x=4, y=-2
Efectuando:
19
35
1245
5227
14
52
2 5
27CA
Teorema 1
Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
1. A,Bℳmxn, (A+B) ℳmxn Clausura
2. A+B = B+A Conmutatividad
3. A+(B+C)= (A+B)+C Asociatividad
4. Aℳmxn,0mxn /A+0 = 0+A = A Elemento neutro aditivo
5. Aℳmxn,(-A)ℳmxn / A+(-A)=(-A)+A = 0 Elemento inverso aditivo
Definición 6 Producto de un Escalar por una Matriz
Dados una matriz A=[aij]nxm y un número kℂ, el producto de k por A se define
por
kA = [kaij]nxm
Cada componente de A se multiplica por el escalar k.
Ejemplo 6 Si k=3 y
63
9-2
A , entonces
189-
276
6333
9-323
kA
Ejemplo 7 Si
1i
1iBy
i1
i1A hallar la matriz X=(1+i)A+(1–i)B, i= 1
Solución: Obsérvense que los coeficientes de A y B son números complejos, entonces, se tiene:
i1i1i
i1i1i
i1ii1
i1ii1
1i
1ii1
i1
i1i1X
2i20
02i2
i11i
i11i
1ii1
1ii1X
Definición 7. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Si A=[aij]mxp y B=[bik]pxn, el producto de AxB, en este orden, es la matriz
C=[cik]mxn cuyos elementos se obtienen de los elementos A y B siguiendo el
desarrollo.
cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + aipbpk
La multiplicación de matrices solo está permitido si la cantidad de
columnas de la primera matriz es igual al cantidad de filas de la segunda
matriz. En cualquier otro caso sería indefinida.
Ejemplo 8 Si
420
013-
By
53
1-0
A , hallar: a)AB, b)BA
Solución: Empleando el método del producto escalar se tiene:
a)
4
0
.53,
2
1
.53,
0
3-
.53,
4
0
.1-0,
2
1
.1-0,
0
3-
.1-0,
AB
2079-
4-2- 0
45032513053-3
41-0021-1001-3-0
b) En este caso, B tiene tres columnas y A dos filas, por tanto BA no
está definido.
Teorema 3
Si A, B y C son matrices, entonces:
1. A(BC) = (AB)C Asociatividad
2.
BCACCBA
ACABCBA
Distributividad
3. AB BA
4. AB = 0 A = 0 ó B = 0
5. AB = AC B = C
Ejemplo 9. Hallar la matriz Aℳ2x2 tal que, a22 =5 y A2=
2821
77
Solución: Sea la matriz
5c
ba
A
Entonces
2821
77
25bc5cac
5babbc2
a
5c
ba
5c
ba2
A
Por igualdad de matrices: a2 + bc = 7 (1)
ab + 5b = 7 b = 5a
7
(2)
ac + 5c = 21 c = 5a
21
(3)
bc + 25 = 28 bc = 3 (4)
Sustituyendo (4) en (1) obtenemos: a2+3 =7a2=4 a=2 ó a=-2
En (2) y (3):Para a=2 b=1, c=3; si a=-2 b=7/3, c=7. La segunda
alternativa no satisface bc=3, por lo que
53
12
A
Ejemplo 10 Hallar la matriz P= ABCD, donde
0101
2212
1101
D,
013
200
141
311
012
C,02101
01010B,
12
11
01
A
Solución: Se tiene A3x2.B2x5.C5x3.D3x4= P3x4
Efectuamos primero el producto CD=E, luego BE=F y finalmente AF=P.
CD=
0101
2212
1101
013200141
311012
=
1115
0202
7848
3612
0014
=E
BE=
0210101010
1115
0202
7848
3612
0014
=
71230
3814=F
AF=
71230
3814
12
11
01
=
141844243814=P
Ejemplo 11. Si
b175
0a511
1100
0030
2103
0211
1c2a
d1b2, hallar a+b+c+d.
Solución: Efectuando el producto:
b175
0a511
3-1-2a3ca6-a
d2bdb453b2
Usando la igualdad de matrices: a=1, b=3, c=2, d=-6.
Entonces: a+b+c+d=0.
Ejemplo 12. Si
3
5
1
z
y
x
013
102
120
, hallar x+y+z:
Solución: Efectuando el producto:
z
y
x
013
102
120
=
3
5
1
y3x
z2x
z2y
, entonces x=0, y=3, z=5. Por tanto x+y+z=8.
Definición 1 . DETERMINATE
Determinante es un número real o escalar asociado a una matriz cuadrada A, que
se denota por:
A , det (A), D(A)
El determinante de una matriz es un solo número real y su cálculo depende
del orden de la matriz cuadrada en particular.
Caso 1.
Si A=
2221
1211
aa
aa. El determinante es el número:
det(A)= 12212211 aaaa
Ejemplo 1. Hallar el determinante de la matriz
21
34A
Solución
1138312421
34AD
Caso 2.
El cálculo del determinante de una matriz de orden 3 es un tanto más
complicada, y se puede escribir en términos de 2x2.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=a113332
2322
aa
aa-a12
3331
2321
aa
aa+a13
3231
2221
aa
aa
o en forma explícita
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= a11(a22a33- a32a23)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32- a31a22).
Ejemplo 2. Hallar el determinante de la matriz A=
402314211
PRÁCTICA
1 11 3.1
1. Calcular los productos:
a)
12
05-
63
32
53
31
b)
5
2
11
20
15
112-
321
110
03-1
2. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación
4891
6601
0100
0010
1100
0201
2941
dcba
3. Si ,
1
4
1
z
y
x
012
101
210
calcular 2x-y+3z
4. Si
b134
0a411
2200
0030
1205
0117
1c2a
d1b2, hallar S=a+b+c+d
5. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que AX =2X,donde A=
93
15
6. Comprobar que las identidades algebraicas:
(A+B)2=A2+2AB+B2 y (A+B)(A–B)=A2–B2
no son ciertas para las matrices A =
21
01By
20
11
7. Sean a11, a12, a21 y a22 números reales tales que a11a22-a12a210.
Encuentre los valores b11, b12, b21 y b22 tales que
2221
1211
aa
aa
2221
1211
bb
bb=
1001
8. Verifique la ley asociativa para la multiplicación de las matrices
A=
601412, B=
023212101 y C=
504261.
9. Sea A una matriz cuadrada. Entonces A2 se define simplemente como
AA. Calcule
2
5312
10. Calcula los determinantes siguientes
a) 020111
422 b)
110111011 c)
053462
521
d)
010115107032
8242
e)
103320223011
1201
f)
1003030400211007221000211
11. Calcula los determinantes siguientes
a)
815
274
543
b)
415
252
631
c)
10i1
01i
i1i1
d)
xcxx
xxbx
xxxa
e)
1coscsenc
1cosbsenb
1cosasena
f)
c2
cos1c2
sen
b2
cos1b2
sen
a2
cos1a2
sen
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS: MATRIZ INVERSA
Para matrices de cualquier orden, existen operaciones simples con las
filas (o columnas) sin que se llegue a cambiar el orden de la matriz. El
objetivo fundamental es aplicar estas operaciones a las matrices para
transformarlas en matrices mas simples y así facilitar algunos cálculos
(rango, determinantes, traza, solución de sistemas de ecuaciones
lineales, etc) sobre matrices. Nuestra atención se limita al estudio de
tres operaciones elementales de filas.
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
1. Sea A una matriz cuyas filas son F1,F2,F3, ...,Fm
2. Multiplicación de una fila de A por un escalar c no nulo.
3. Reemplazo de la r-ésima fila de A por la fila r más c veces la fila
s, donde c es cualquier escalar y rs;
4. Intercambio de dos filas de A.
Ejemplos 1. Para la matriz
3152
1403
2011
A se tiene:
1. Intercambio de la primera y segunda filas:
3152
2011
1403
A12F
2. Multiplicación por -2 la segunda fila
3152
2806
2011
3152
12420232
2011
A22F
3. Reemplazo de la primera fila por la primera fila más 2 veces la
segunda fila.
2 3 1 2 0 1 2 4 0 2 1 2
1F 2 3 0 4 -12
2 5 1 3
1 8 0
3 0 4 1
2 5 1 3
7
A
Matrices Inversas
Definición Se llama matriz identidad a una matriz I que cumple con AI= IA= A ,
y es una matriz diagonal con unidad en cada elemento de la diagonal.
La identidad 2x2 es I=
0101
,la identidad 3x3 es I=
100010001
y asi sucesivamente;
existen matrices identidad de 4x4, y en general de orden nxn.
Definición la inversa de una matriz A es otra matriz A-1 que cumple con
AA-1 = A
-1A = I.
Por ejemplo, si A = 3 2
2 1
entonces.
A-1 =
1 2
2 3
porque
AA-1=
3 2
2 1
1 2
2 3
=
1 0
0 1
= I
A-1A =
1 2
2 3
3 2
2 1
= 1 0
0 1
= I
Cuando se conoce la inversa de la matriz de un sistema de ecuaciones se puede
resolver fácilmente mediante el siguiente procedimiento:
Sea el sistema cuadrado AX=b, tal que A-1 existe y se conoce, entonces podemos
premultiplicar por A-1:
A-1AX= A
-1b IX= A
-1b X= A
-1b
Es decir, la solucion del sistema se obtiene rápidamente como el resultado de
multiplicar A-1b
Un método para calcular la inversa es por medio de operaciones elementales,
constituyendo una matriz ampliada con la identidad y usando el siguiente
procedimiento .
Supongamos que queremos encontrar la inversa de la matriz:
A=
nnan2an1a
2na22a21a
1na12a11a
1. Formamos la matriz aumentada con la matriz identidad del mismo orden, como
se indica:
100nna2nan1a
1
0102na22a21a
0011na12a11a
2. Aplicando operaciones elementales de filas transformar la matriz aumentada,
si fuera posible, en una matriz aumentada de la forma:
nnb
n2b
n1b100
1
2nb
22b
21b010
1nb
12b
11b001
1
3. Entonces A-1 =
nnbn2bn1b
2nb22b21b
1nb12b11b
Ejemplo 1. Determine la matriz inversa de la matriz:
A=
214
321
112
Solución
(1) Primero escribimos la matriz aumentada:
100214
010321
001112
(2) Comencemos aplicar operaciones elementales de filas,
Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos:
100214
001112
010321
(3) Obtenemos ceros en el resto de la primera columna. Multiplicamos la
primera fila por –2 y sumamos el resultado a la segunda fila. Acto seguido
multiplicamos la primera fila por –4 y sumamos el resultado a la tercera
fila.
14-010-90
02-15-30
010321
(4) Multiplicamos por 1/3 a la segunda fila, obtenemos:
14-010-90
02/3-1/35/3-10
010321
(5) Obtenemos ceros en el resto de la segunda columna. Multiplicando
la segunda fila por 2 y sumamos el resultado con la primera fila.
Luego multiplicamos por –9 a la segunda fila y sumamos el
resultado con la tercera fila.
123-500
02/3-1/35/3-10
01/3-2/31/3-01
(6) Multiplicamos por 1/5 a la tercera fila, obtenemos:
1/52/53/5-100
02/3-1/35/3-10
01/3-2/31/3-01
Obtenemos ceros en el resto de la tercera columna. Multiplicando la
tercera fila por 5/3 y sumamos el resultado con la segunda fila. Luego
multiplicamos por 1/3 a la tercera fila y sumamos el resultado con la
primera fila.
1/52/53/5-100
1/302/3-010
1/151/5-7/15001
Por tanto A-1=
1/52/53/5
1/302/3
1/151/57/15
.
Ejemplo 2. Determinar si
111
100
111
A es invertible.
Si así lo fuera, calcular su inversa.
Solución. Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a
una matriz escalonada E. empezaremos formando la matriz A = (A I)
(A I )=
100111
010100
001111
F13(-1)
101220
010100
001111
F23
010100
101220
001111
Como A ha sido reducida a la matriz escalonada
E=
100
220
111
, que no tiene cero en la diagonal principal, la matriz A es
invertible.
Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para
reducir la matriz A a la identidad, se tiene:
F23
110100
101220
001111
F21(1/2)
010100
101220
1/201/2001
F2(1/2)
010100
1/201/2110
1/201/2001
F32(1)
1 0 1/2 0 1/2
0 1 0 1/2 1 1/2
0 0 1 0 1 0
=( I B)
Por tanto A-1
=
1 102 2-1 1
2 2
0 0
1
1
.
Podemos comprobar que
AA-1
=
100
220
111
1 102 2-1 1
2 2
0 0
1
1
=
100010001
Ejemplo 3. Hallar A-1
para la matriz
412
254
123
A
Solución.
(A I) =
100412
010254
001123
F1(1/3)
100412
010254
001/31/32/31
F12(-4)
102/310/31/30
014/32/37/30
001/31/32/31
F2(3/7)
102/310/31/30
03/74/72/710
001/31/32/31
F21(-2/3)=
11/76/724/700
03/74/72/710
02/75/71/701
F3(7/24)
101/4100
03/74/72/710
02/75/71/701
F31(-1/7)=
7/241/241/4100
1/125/121/2010
1/247/243/4001
= (I B)
Por tanto A-1
=
716
21012
1718
24
1
F13(-2)
F23(1/3)
F32(-2/7)
Ejemplo4 determine la inversa de
A= a b
c d
Solucion
Aunque el procedimiento anterior vale para matrices cuadradas de
cualquier tamaño, en el caso de matrices 2x2 la regla para encontrar es
muy sencilla: los elementos de la diagonal principal se les intercambia y
a los valores de la contradiagonal se les cambia de signo y luego se
multiplica a la matriz por el inverso de su determinante, es decir,
A-1 = 1
det( )
d b
c aA
- Utilizando el procedimiento anterior, calcular A-1 si: A= 4 5
2 3
Solucion
A-1 =
3 53 51 2 22 42 1 2