Matrices y Determinantes

2º Bachillerato

Presentación elaborada por docente Edgar P. Vaca

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Concepto de matriz. Igualdad de matrices

Definición de matríz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Expresión matricial: ejemplo

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

2 z 4y - x

1352 zyxEl sistema

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

Matriz columna: A =

2

4 6

jiij aa

Diagonalsecundaria

Diagonal principal

Matriz cuadrada: A=

1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

Clasificación de matrices: Forma

jiij -aa

A = AT

A = –AT

Clasificación de matrices: Elementos

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000

000

000

O

23

00

00

00

O

400

320

631

T

100

030

002

D

100

010

001

I3

200

020

002

A

453

023

001

T

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas

Operaciones con matrices I

1.- Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces At =

1 4

2 5 3 6

Operaciones con matrices II

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

2.- Suma y diferencia de matrices

                                                      

Sin embargo,                            no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Suma de matrices: ej de orden 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Propiedades de la adición de matrices

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

Operaciones con matrices III

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

3.- Producto de un número por una matriz

Propiedades con la suma y el producto por un número

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Operaciones con matrices IV

4.- Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que

deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,

no se pueden multiplicar

Ejemplos:

Pij = aik · bkj con k=1,….n

Matemáticas

2.º BachilleratoMatrices y determinantes

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Matemáticas

2.º BachilleratoMatrices y determinantes

Producto de matrices: Desarrollo

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

El producto de la matriz

A = (a ij) =

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B =

2 1 –1

3 –2 0 .

1 2 0

1 0 –3

0 1 –2

=

3 3 –1

1 6 6

Propiedades del producto de matrices (I)

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.

A . (B . C) = (A . B) . C

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C

las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y

Im =

1......000

..........

0......100

0......010

0......001

e I n =

1 0 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. ..

0 0 0 ...... 1

Propiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.

II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.

III. Si A . C = B . C y C 0, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque

0 2

0 0 .

0 –3

0 0 =

0 0

0 0 ninguno de los factores que

forman el producto es la matriz nula.