Date post: | 22-Jan-2016 |
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MATRICES
Y
DETERMINANTES
MATRICESUna matriz es todo arreglo rectangular
de números reales definidos en filas y/o columnas entre paréntesis o
corchetes. Así tenemos:
5 1
7 2
3 8
A
1 0 3
2 1 0B
0 5 1
3 2 0
4 1 1
C
NOTACION MATRICIAL
Las matrices se denotan por letras mayúsculas y los elemento se designan con aij.
Donde:
i = es la i – ésima fila o renglón
j= es la j – ésima columna
NOTACION MATRICIAL
Así notamos: En la matriz A:
a11=5
Columna 1
Fila 1
5 1
7 2
3 8
A
Así notamos:
En la matriz B:
b21 =2
Columna 1
Fila 2
NOTACION MATRICIAL
1 0 3
2 1 0B
FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ
El arreglo de los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón o fila de la matriz.
Ej:
5 1
2 2
3 8
A
Renglón o fila 1
Renglón o fila 2
Renglón o fila 3
FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ
El arreglo de los elementos en cualquier línea vertical forman un columna de la matriz. Ej:
5 1
2 2
3 8
A
Columna 1
Columna 2
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:
5 1
2 2
3 8
A
A tiene 3 filas y 2 columnas
3 2( )ij xA aDe: tenemos:
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:
2 3( )ij xB b
B tiene 2 filas y 3 columnas
De: tenemos:1 0 3
2 1 0B
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:
0 5 1
3 2 0
4 1 1
C
A tiene 3 fila y 3 columnas
3 3( )ij xC cDe: tenemos:
En las siguientes alternativas entre paréntesis ponga V si es verdadero y F si es falso
2 3 7
1 0 4A
1 3
1 0B
a) a22 = b22
b) a12 < b21
c) a23 + b12= a13
d) a12+ a23 > b12
e) A (aij)3x2
f) B (bij))2x2
g) Los elementos del primer renglón de la matriz A son 2y 1
(V)
(V)
(V)
(V)
(F)
(F)
(F)
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ VECTOREs un arreglo que tiene únicamente un renglón o
una columna. Ej:
2 3 1R
4
0
1
C
Matriz renglón
Matriz
columna
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ RECTANGULAREs una matriz cuyo número de renglones es
diferentes de las columnas, es decir m n
3 1A 2
1C
4 1
2 0
1 1
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ NULA O CERO
Es una matriz con todos los elementos ceros. Ej:
0 0 0A 0 0
0 0C
0
0
0
B
0 0 0
0 0 0D
0 0
0 0
0 0
E
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ CUADRADA
Es una matriz que tiene el mismo número de renglones y columnas es decir m=n. Ej:
2A3 3 3
2 0 1
4 1 2
C
1 0
1 2B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR
Estas matrices se dividen en:Matriz Triangular superiorMatriz Triangular Inferior.
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los
elementos bajo la diagonal principal o secundaria iguales a cero. Esto es aij=0 si i > j.
Ej:
3 3
1 3 5
0 2 4
0 0 6xA
2 1 0
5 4 0
1 0 0
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a
cero. Esto es aij=0 si i < j. Ej:
3 3
1 0 0
5 4 0
3 2 6xA
0 0 1
0 1 0
2 4 2
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ SIMETRICA
Toda matriz cuadrada es simétrica, si los elementos opuestos respecto a la diagonal principal o
secundaria son iguales, es decir a12=a21 , a32 = a23. etc . Ej:
3 3
1 2 1
2 3 0
1 0 6xA
3 3
5 0 3
0 1 4
3 4 8xB
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero.
Esto es aij=0 si i = j. Toda matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior a la vez. Ej:
3 3
1 0 0
0 3 0
0 0 6xA
2 2
1 0
0 4xB
Nota: Algún elemento de la diagonal principal puede ser cero, pero no todos
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero, y los elementos de la
diagonal principal son iguales entre sí. Esto es aij=0 si i = j, aij=k con k
Ej:
3 3
2 0 0
0 2 0
0 0 2xA
2 2
4 0
0 4xB
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se
denota Inxn. Ej:
2 2
1 0
0 1xI
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1xI
4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
xI
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ TRANSPUESTA
Sea A una matriz de orden m x n, la transpuesta “A” es de orden n x m, es decir las filas se
transforman en columnas. La matriz transpuesta se denota Ej:
Sea hallar
F1 = C1F2 = C2F3 = C3
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ ANTISEMETRICA
Es una matriz cuadrada cuyos elementos opuestos a la diagonal principal, son valores opuestos. Los
elementos de la diagonal son todos cero
En la matriz antisimétrica se cumple que:
1.
2.
IGUALDAD DE MATRICESMATRIZ ANTISEMETRICA
Dos matrices son iguales si:
1. Tienen igual dimensión.
2. Los elementos correspondientes son iguales.
TALLER DE MATRICES 3.docx