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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
MATEMATICA III
APLICACIONES DE LA DERIVADA
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADALos máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADASea una función
Se dice que tiene un máximo absoluto en A si existe por lo menos un punto en A tal que:
Sea se dice que tiene un máximo relativo en si existe un intervalo abierto que contiene a tal que
RAf : RA
Axafxf
RAf : fAaI
AIx a
MÁXIMOS DE UNA FUNCIÓN
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADADiremos que tiene un mínimo absoluto en A si existe tal que
MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
fAb
xfbfAx ,
Una función tiene un mínimo o un máximo relativo en un punto c cuando c es un valor crítico de f.
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
NINGUNO--
NINGUNO++
MÍNIMO +-
MÁXIMO -+
c, f(c)Signo de
f ‘ en (c,b)GRÁFICO
a c b
Signo de
f ‘ en (a,c)
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
1) Se deriva la función y = f( x ) y se iguala a cero la derivada.
2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raíces
encontradas se llaman valores críticos y son los que por tener
tangente con pendiente cero (tangentes horizontales), pueden
ser máximos o mínimos.
3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo:
a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y se
sustituye en la derivada. Luego se toma un valor un
poco mayor y se sustituye en la derivada.
b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo,
el valor crítico en análisis es un máximo; si cambia de
negativo a positivo, es un mínimo.
REGLA PARA ENCONTRAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
EJEMPLOS
Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y=x2 −4x+7Graficando la función anterior se obtiene la parábola de la figura . Lo que deberá confirmarse aplicando el procedimiento.
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
Paso 1: Derivando la función e igualando a cero:
dy /dx = 2x – 4=0
Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que
x = 2. - Este es el valor crítico.
Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada: dy/ dx = 2(1) -4 =2
luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en la derivada: dy /dx = 2(3)- 4 =2
Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2.
RESPUESTA: Tiene solamente un mínimo.
SOLUCIÓN
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
EJEMPLOS
Halla los extremos de la función
SOLUCIÓN
Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
Resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto crítico de la función.Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).
Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de un mínimo.
El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS
INTEGRANTES
CABALLERO CRUZ, IVONNE CÁRDENAS GONZÁLEZ RAQUEL CORNEJO URBINA, ESTRELLA GALLARDO GABRIEL, FLAVIO LÓPEZ DOMINGUEZ, DONATILA SEVILLANO TALAVERA, RENATO TIRADO CUENCA, HENRY QUILICHE ZELADA, LUIS
DOCENTE: GARCÍA POLANCO LUIS