1. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09
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2. Bola Superficie sin friccin Fuerza con lnea de accin
conocida (una incgnita) Fuerza con lnea de accin conocida (una
incgnita) Cable F F Rodillo sobre superficie rugosa Superficie
rugosa Junta o unin universal Bisagra y cojinete que soportan slo
carga radial Rueda sobre riel Dos componentes de fuerza Tres
componentes de fuerza Tres componentes de fuerza y un par Tres
componentes de fuerza y tres pares Dos componentes de fuerza (y dos
pares; vase la pgina 192) Dos componentes de fuerza (y dos pares;
vase la pgina 192) Fy Fx Fx Mx Fz Fy Fz Fx Fy Fz Fy Fz Fy Fz My
(Mz) (My) (Mz) (My) Mz Rtula (bola y cuenca) Apoyo fijo Bisagra y
cojinete que soportan empuje axial y carga radialPasador y mnsula
Fx Mx Fy Fz Reacciones en los soportes y conexiones para una
estructura tridimensional 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER
Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina i
3. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09
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4. MECNICAVECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica
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5. REVISIN TCNICA ARGENTINA Ricardo Bosco Universidad
Tecnolgica Nacional, Buenos Aires COLOMBIA Carlos Eduardo Muoz
Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, Bogot Jaime Guillermo
Guerrero Casadiego Universidad Nacional de Colombia Rubn Daro
Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, Medelln Wilson
Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, Bogot MXICO Antonio Rubn
Bentez Gasca Universidad Veracruzana Carlos Mellado Osuna Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus La Marina
Constantino Anaya Hill Instituto Tecnolgico de Culiacn Danelia
Hernndez Surez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Ciudad Obregn Eduardo Soberanes Lugo Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa
Francisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de Chihuahua
Gerardo Gaytn Guerra Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Toluca Gladys Karina Ruiz Vargas Universidad
Anhuac, campus Norte Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y
de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo Jos Antonio
Corona Lpez Instituto Tecnolgico de Veracruz Jos Luis Carranza
Santana Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto
Politcnico Nacional Juan Abugaber Francis Escuela Superior de
Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Juan
Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de Mxico Klara Goiz
Hernndez Universidad Autnoma de Sinaloa Luis Adolfo Torres Gonzlez
Universidad Iberoamericana, campus Len Martn Daro Castillo Snchez
Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto
Politcnico Nacional Ral Escalante Rosas Universidad Nacional
Autnoma de Mxico Ral Soto Lpez Universidad de Occidente, campus
Culiacn Roberto Carlos Tinoco Guevara Universidad Iberoamericana,
campus Ciudad de Mxico 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER
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6. Novena edicin MECNICAVECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica
FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh University E. RUSSELL
JOHNSTON, JR. University of Connecticut DAVID F. MAZUREK U.S. Coast
Guard Academy ELLIOT R. EISENBERG The Pennsylvania State University
Revisin tcnica: Javier Len Crdenas Universidad La Salle, campus
Ciudad de Mxico Felipe de Jess Hidalgo Cavazos Instituto Tecnolgico
y de Estudios Superiores de Monterrey campus Monterrey MXICO BOGOT
BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO
SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO
SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina v
7. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vzquez Coordinadora editorial:
Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga
Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin:
Jess Elmer Murrieta Murrieta MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS
ESTTICA Novena edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de
esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del
editor. DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en
espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Corporativo Punta
Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17,
Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376,
Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial
Mexicana, Reg. Nm. 736 La seccin de crditos de este libro comienza
en la pgina 603 y es considerada como una extensin de la pgina
legal. ISBN-13: 978-607-15-0277-3 (ISBN: 970-10-6103-9 edicin
anterior) Traducido de la novena edicin de Vector mechanics for
engineers. Statics, ninth edition. Copyright 2010 by The
McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN:
0-07-352923-0 1234567890 109876543210 Impreso en Mxico Printed in
Mexico 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09
09:01 AM Pgina vi
8. Acerca de los autores Los autores de esta obra con
frecuencia son cuestionados acerca de cmo fue que, estando uno en
Lehigh y otro en la University of Con- necticut, empezaron a
escribir sus libros juntos y cmo logran seguir colaborando en las
revisiones subsecuentes. La respuesta a estas preguntas es
sencilla. Russ Johnston inici su carrera acadmica en el
departamento de ingeniera civil y mec- nica de Lehigh University y
all conoci a Ferd Beer, quien haba co- menzado a trabajar en ese
departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cursos de
mecnica. Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven
contratado para impartir cursos de ingeniera estructural a nivel de
posgrado no s- lo estaba dispuesto, sino tambin ansioso por
ayudarlo a reorganizar los cursos de mecnica. Ambos crean que
dichos cursos deberan impar- tirse a partir de unos cuantos
principios bsicos, y que los distintos con- ceptos involucrados
seran mejor comprendidos y recordados por los estudiantes si se les
presentaban en forma grfica. Juntos escribieron apuntes para las
clases de esttica y dinmica, a los cuales posterior- mente
agregaron problemas que supusieron resultaran interesantes para los
futuros ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la
primera edicin de Mecnica para ingenieros. Al publicarse la segunda
edicin de Mecnica para ingenieros y la primera de Mecnica vectorial
para ingenieros, Russ Johnston estaba en el Worcester Polytechnic
Institute y para las ediciones subsecuen- tes en la University de
Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asumido funciones
administrativas en sus respectivos departamentos y se dedicaban a
la investigacin, la consultora, y a asesorar estudiantes de
posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y vibraciones
aleatorias y Russ en la de estabilidad elstica y en diseo y anlisis
es- tructurales. Sin embargo, su inters por mejorar la enseanza de
los cursos bsicos de mecnica no haba disminuido y continuaron
impar- tindolos mientras revisaban sus libros y comenzaban a
escribir el ma- nuscrito de la primera edicin de Mecnica de
materiales. La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado
muchos aos y muchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las
contribuciones de Ferd y Russ a la educacin en ingeniera los han
hecho acreedo- res de numerosas distinciones y reconocimientos.
Recibieron el Wes- tern Electric Fund Award por parte de sus
respectivas secciones re- gionales de la American Society for
Engineering Education por su excelencia en la instruccin de
estudiantes de ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award
de la divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001,
el reconocimiento denominado New Mechanics Educator Award de la
divisin de mecnica ha sido nombrado Beer and Johnston en honor a
estos autores. vii 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd
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9. viii Acerca de los autores Ferdinand P. Beer. Nacido en
Francia y educado en Francia y Sui- za, obtuvo una maestra en La
Sorbona y un doctorado en ciencias en el rea de mecnica terica en
la Universidad de Ginebra. Emigr a Estados Unidos despus de servir
en el ejrcito francs durante la pri- mera parte de la Segunda
Guerra Mundial, e imparti clases por cua- tro aos en el Williams
College en el programa conjunto de ingenie- ra y artes
Williams-MIT. Despus de su servicio en el Williams College, Ferd
ingres al profesorado de Lehigh University donde en- se durante 37
aos. Ocup varios puestos, incluyendo el de profe- sor distinguido
de la universidad y director del departamento de me- cnica e
ingeniera mecnica. En 1995 recibi un grado honorario de Doctor en
Ingeniera por la Lehigh University. E. Russell Johnston, Jr. Nacido
en Filadelfia, Russ posee un ttulo de ingeniero civil de la
University of Delaware y un doctorado en ciencias en el rea de
ingeniera estructural del Massachusetts Insti- tute of Technology.
Imparti clases en Lehigh University y en Worces- ter Polytechnic
Institute antes de ingresar al profesorado de la Uni- versity of
Connecticut, donde ocup el puesto de director del departmento de
ingeniera civil y ense durante 26 aos. En 1991 recibi el
Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecticut, que otorga la
American Society of Civil Engineers. David F. Mazurek. Posee una
licenciatura en ingeniera ocenica y una maestra en ingeniera civil
del Florida Institute of Technology, adems de un doctorado en
ingeniera civil de la University of Con- necticut. Fue empleado por
la Electric Boat Division of General Dy- namics Corporation e
imparti clases en Lafayette College antes de pertenecer a la U. S.
Coast Guard Academy, en donde ha estado desde 1990. Ha prestado sus
servicios en American Railway Engineering y Maintenance of Way
Associations Committee 15Steel Structures durante los ltimos 14
aos. Su inters profesional incluye la inge- niera de puentes,
torres esbeltas, ciencia forense estructural y diseo resistente a
explosiones. Elliot R. Eisenberg. Posee una licenciatura y una
maestra en in- geniera, ambas de la Cornell University. Elliot ha
enfocado sus ac- tividades en el servicio profesional y la
enseanza; en 1992 su trabajo fue reconocido por la American Society
of Mechanical Engineers al distinguirlo con la medalla Ben C.
Sparks por sus contribuciones a la ingeniera mecnica y a la
educacin en tecnologa de la ingeniera mecnica, as como por sus
servicios en la American Society for En- gineering Education.
Elliot imparti clases durante 32 aos, in- cluyendo 29 en Penn State
donde se le han otorgado premios por en- seanza y asesora.
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10. Contenido Prefacio xiv Lista de smbolos xxi 1 INTRODUCCIN 1
1.1 Qu es la mecnica 2 1.2 Conceptos y principios fundamentales 2
1.3 Sistemas de unidades 5 1.4 Conversin de un sistema de unidades
a otro 10 1.5 Mtodo para la solucin de problemas 11 1.6 Exactitud
numrica 13 2 ESTTICA DE PARTCULAS 15 2.1 Introduccin 16 Fuerzas en
un plano 16 2.2 Fuerza sobre una partcula. Resultante de dos
fuerzas 16 2.3 Vectores 17 2.4 Adicin o suma de vectores 18 2.5
Resultante de varias fuerzas concurrentes 20 2.6 Descomposicin de
una fuerza en sus componentes 21 2.7 Componentes rectangulares de
una fuerza.Vectores unitarios 27 2.8 Adicin de fuerzas sumando sus
componentes x y y 30 2.9 Equilibrio de una partcula 35 2.10 Primera
ley del movimiento de Newton 36 2.11 Problemas relacionados con el
equilibrio de una partcula. Diagramas de cuerpo libre 36 Fuerzas en
el espacio 45 2.12 Componentes rectangulares de una fuerza en el
espacio 45 2.13 Fuerza definida en trminos de su magnitud y dos
puntos sobre su lnea de accin 48 ix
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Pgina ix
11. x Contenido 2.14 Adicin de fuerzas concurrentes en el
espacio 49 2.15 Equilibrio de una partcula en el espacio 57 Repaso
y resumen del captulo 2 64 Problemas de repaso 67 Problemas de
computadora 70 3 CUERPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZA 73
3.1 Introduccin 74 3.2 Fuerzas externas e internas 74 3.3 Principio
de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes 75 3.4 Producto vectorial
de dos vectores 77 3.5 Productos vectoriales expresados en trminos
de componentes rectangulares 79 3.6 Momento de una fuerza con
respecto a un punto 81 3.7 Teorema de Varignon 83 3.8 Componentes
rectangulares del momento de una fuerza 83 3.9 Producto escalar de
dos vectores 93 3.10 Producto triple mixto de tres vectores 95 3.11
Momento de una fuerza con respecto a un eje dado 97 3.12 Momento de
un par 107 3.13 Pares equivalentes 108 3.14 Adicin o suma de pares
110 3.15 Los pares pueden representarse por medio de vectores 110
3.16 Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza en O y un par
111 3.17 Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par
122 3.18 Sistemas equivalentes de fuerzas 123 3.19 Sistemas
equipolentes de vectores 124 3.20 Otras reducciones de un sistema
de fuerzas 124 *3.21 Reduccin de un sistema de fuerzas a una llave
de torsin o torsor 127 Repaso y resumen del captulo 3 146 Problemas
de repaso 151 Problemas de computadora 154 4 EQUILIBRIO DE CUERPOS
RGIDOS 157 4.1 Introduccin 158 4.2 Diagrama de cuerpo libre 159
Equilibrio en dos dimensiones 160 4.3 Reacciones en los puntos de
apoyo y conexiones de una estructura bidimensional 160 4.4
Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones 162 4.5 Reacciones
estticamente indeterminadas. Restricciones parciales 163 4.6
Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas 182 4.7 Equilibrio de
un cuerpo sujeto a tres fuerzas 183 Equilibrio en tres dimensiones
190 4.8 Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones 190
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12. xiContenido4.9 Reacciones en puntos de apoyo y conexiones
para una estructura tridimensional 190 Repaso y resumen del captulo
4 211 Problemas de repaso 213 Problemas de computadora 216 5
FUERZAS DISTRIBUIDAS : CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD 219 5.1
Introduccin 220 reas y lneas 220 5.2 Centro de gravedad de un
cuerpo bidimensional 220 5.3 Centroides de reas y lineas 222 5.4
Primeros momentos de reas y lneas 223 5.5 Placas y alambres
compuestos 226 5.6 Determinacin de centroides por integracin 236
5.7 Teoremas de Pappus-Guldinus 238 *5.8 Cargas distribuidas en
vigas 248 *5.9 Fuerzas sobre superficies sumergidas 249 Volmenes
259 5.10 Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. Centroide
de un volumen 259 5.11 Cuerpos compuestos 262 5.12 Determinacin de
centroides de volmenes por integracin 262 Repaso y resumen del
captulo 5 274 Problemas de repaso 278 Problemas de computadora 281
6 ANLISIS DE ESTRUCTURAS 285 6.1 Introduccin 286 Armaduras 287 6.2
Definicin de una armadura 287 6.3 Armaduras simples 289 6.4 Anlisis
de armaduras mediante el mtodo de los nodos 290 *6.5 Nodos bajo
condiciones especiales de carga 292 *6.6 Armaduras en el espacio o
espaciales 294 6.7 Anlisis de armaduras por el mtodo de secciones
304 *6.8 Armaduras formadas por varias armaduras simples 305
Armazones y mquinas 316 6.9 Estructuras que contienen elementos
sujetos a fuerzas mltiples 316 6.10 Anlisis de un armazn 316 6.11
Armazones que dejan de ser rgidos cuando se separan de sus soportes
317 6.12 Mquinas 332 Repaso y resumen del captulo 6 345 Problemas
de repaso 348 Problemas de computadora 350
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13. xii Contenido 7 FUERZAS ENVIGASY CABLES 353 *7.1
Introduccin 354 *7.2 Fuerzas internas en elementos 354 Vigas 362
*7.3 Diferentes tipos de cargas y apoyos 362 *7.4 Fuerza cortante y
momento flector en una viga 363 *7.5 Diagramas de fuerza cortante y
de momento flector 365 *7.6 Relaciones entre carga, fuerza cortante
y momento flector 373 Cables 383 *7.7 Cables con cargas
concentradas 383 *7.8 Cables con cargas distribuidas 384 *7.9 Cable
parablico 385 *7.10 Catenaria 395 Repaso y resumen del captulo 7
403 Problemas de repaso 406 Problemas de computadora 408 8 FRICCIN
411 8.1 Introduccin 412 8.2 Leyes de la friccin seca. Coeficientes
de friccin 412 8.3 ngulos de friccin 415 8.4 Problemas que
involucran friccin seca 416 8.5 Cuas 431 8.6 Tornillos de rosca
cuadrada 431 *8.7 Chumaceras. Friccin en ejes 440 *8.8 Cojinetes de
empuje. Friccin en discos 442 *8.9 Friccin en ruedas. Resistencia a
la rodadura o rodamiento 443 8.10 Friccin en bandas 450 Repaso y
resumen del captulo 8 461 Problemas de repaso 464 Problemas de
computadora 467 9 FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA 471 9.1
Introduccin 472 Momentos de inercia de reas 473 9.2 Segundo
momento, o momento de inercia, de un rea 473 9.3 Determinacin del
momento de inercia de un rea por integracin 474 9.4 Momento polar
de inercia 475 9.5 Radio de giro de un rea 476 9.6 Teorema de los
ejes paralelos o teorema de Steiner 483 9.7 Momentos de inercia de
reas compuestas 484 *9.8 Producto de inercia 497 *9.9 Ejes
principales y momentos principales de inercia 498 *9.10 Crculo de
Mohr para momentos y productos de inercia 506
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14. xiiiContenidoMomentos de inercia de masas 512 9.11 Momento
de inercia de una masa 512 9.12 Teorema de los ejes paralelos 514
9.13 Momentos de inercia de placas delgadas 515 9.14 Determinacin
del momento de inercia de un cuerpo tridimensional por integracin
516 9.15 Momentos de inercia de cuerpos compuestos 516 *9.16
Momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario
que pasa por el punto O. Productos de inercia de masa 531 *9.17
Elipsoide de inercia. Ejes principales de inercia 532 *9.18
Determinacin de los ejes y los momentos principales de inercia de
un cuerpo de forma arbitraria 534 Repaso y resumen del captulo 9
545 Problemas de repaso 551 Problemas de computadora 554 10 MTODO
DELTRABAJOVIRTUAL 557 *10.1 Introduccin 558 *10.2 Trabajo de una
fuerza 558 *10.3 Principio del trabajo virtual 561 *10.4
Aplicaciones del principio del trabajo virtual 562 *10.5 Mquinas
reales. Eficiencia mecnica 564 *10.6 Trabajo de una fuerza durante
un desplazamiento finito 578 *10.7 Energa potencial 580 *10.8
Energia potencial y equilibrio 581 *10.9 Estabilidad del equilibrio
582 Repaso y resumen del captulo 10 592 Problemas de repaso 595
Problemas de computadora 598 Apndice FUNDAMENTOS PARA LA
CERTIFICACIN EN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS 601 Crditos de las
fotografas 603 ndice analtico 605 Respuestas a problemas 615
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15. xiv Prefacio OBJETIVOS El objetivo principal de un primer
curso de mecnica debe ser desa- rrollar en el estudiante de
ingeniera la capacidad de analizar cual- quier problema en forma
lgica y sencilla, y la de aplicar para su so- lucin unos cuantos
principios bsicos perfectamente comprendidos. Se espera que este
texto, diseado para un primer curso de esttica, as como el libro
complementario, Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica,
permitirn que el profesor alcance este objetivo. ENFOQUE GENERAL En
la parte inicial del texto se introduce el anlisis vectorial, el
cual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios
funda- mentales de la mecnica. Los mtodos vectoriales se usan
tambin para resolver diversos problemas, especialmente en tres
dimensiones, donde estas tcnicas permiten obtener la solucin de un
modo ms conciso y simple. Sin embargo, el nfasis del libro se
mantiene en el correcto aprendizaje de los principios de la mecnica
y su aplica- cin para resolver problemas de ingeniera, por lo que
el anlisis vectorial se presenta, primordialmente, como una
herramienta prc- tica. Se introducen aplicaciones prcticas desde
una etapa ini- cial. Una de las caractersticas del enfoque usado en
estos tomos es que la mecnica de partculas se ha separado en forma
clara de la me- cnica de cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible
considerar apli- caciones prcticas simples en una etapa inicial y
posponer la intro- duccin de los conceptos ms avanzados. Por
ejemplo: En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero
(captulo 2), despus de haber presentado las reglas para la suma y
resta de vectores, y el principio de equilibrio de una partcula se
aplica inmediatamente a situaciones prcticas que involucran slo
fuerzas concurrentes. La esttica de cuerpos rgidos se considera en
los captulos 3 y 4. En el captulo 3 se introducen los produc- tos
escalar y vectorial de dos vectores y se utilizan para definir el
momento de una fuerza con respecto a un punto y a un eje. La
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Pgina xiv
16. xvPrefaciopresentacin de estos nuevos conceptos es seguida
por la exposi- cin rigurosa y completa de los sistemas de fuerzas
equivalentes que conducen, en el captulo 4, a muchas aplicaciones
prcticas que involucran el equilibrio de cuerpos rgidos bajo la
accin de sistemas generales de fuerzas. En Dinmica se observa la
misma divisin. Se introducen los con- ceptos bsicos de fuerza, masa
y aceleracin, de trabajo y ener- ga, y de impulso y momentum, y se
aplican en primera instancia a la resolucin de problemas que slo
involucran partculas. De esta forma, los estudiantes pueden
familiarizarse por s mismos con los tres mtodos bsicos utilizados
en dinmica, y aprender sus respectivas ventajas antes de enfrentar
las dificultades asocia- das con el movimiento de cuerpos rgidos.
Los conceptos nuevos se presentan en trminos simples. Como este
texto est diseado para un primer curso sobre esttica, los conceptos
nuevos se presentan en trminos simples y cada paso se explica en
forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una madurez
definitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los pro-
blemas considerados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad gene-
ral. Por ejemplo, los conceptos de restricciones parciales y de
inde- terminacin esttica se introducen al principio del texto para
ser usados en todo el libro. Los principios fundamentales se ubican
en el contexto de aplicaciones simples. Se enfatiza el hecho de que
la mecnica es, esencialmente, una ciencia deductiva que se basa en
algunos princi- pios fundamentales. Las derivaciones se presentan
siguiendo su se- cuencia lgica y con todo el rigor requerido a este
nivel. Sin embar- go, en virtud de que el proceso de aprendizaje es
primordialmente inductivo, las aplicaciones ms simples se
consideran primero. Por ejemplo: La esttica de partculas antecede a
la esttica de cuerpos rgidos, y los problemas que involucran
fuerzas internas se posponen has- ta el captulo 6. En el captulo 4
se consideran primero los problemas de equili- brio que involucran
slo a fuerzas coplanares, y se resuelven por medio del lgebra
ordinaria, mientras que los problemas que in- volucran fuerzas
tridimensionales, los cuales requieren el uso completo del lgebra
vectorial, se exponen en la segunda parte de dicho captulo. Se
emplean diagramas de cuerpo libre para resolver pro- blemas de
equilibrio y expresar la equivalencia de sistemas de fuerzas. Los
diagramas de cuerpo libre se introducen al principio y se enfatiza
su importancia a lo largo de todo el texto. No slo se em- plean
para resolver problemas de equilibrio sino tambin para expre- sar
la equivalencia de dos sistemas de fuerzas o, de modo ms gene- ral,
de dos sistemas de vectores. La ventaja de este enfoque se vuelve
evidente en el estudio de la dinmica de cuerpos rgidos, donde se
utiliza para resolver problemas tridimensionales y bidimensionales.
Se pudo lograr una comprensin ms intuitiva y completa de los
princi- 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09
09:01 AM Pgina xv
17. pios fundamentales de la dinmica al poner mayor nfasis en
las ecua- ciones de diagramas de cuerpo libre en lugar de en las
ecuaciones algebraicas estndar de movimiento. Este enfoque,
introducido en 1962 en la primera edicin de Mecnica vectorial para
ingenieros, ha obtenido hasta la fecha una amplia aceptacin entre
los profesores de mecnica en Estados Unidos. Por tanto, para la
resolucin de todos los problemas resueltos de este libro, se
prefiere su utilizacin en lu- gar del mtodo de equilibrio dinmico y
de las ecuaciones de movi- miento. Se utilizan presentaciones en
distintos tonos para distin- guir los vectores. El color se ha
usado no slo para mejorar la ca- lidad de las ilustraciones, sino
tambin para ayudar a los estudiantes a distinguir entre los
diversos tipos de vectores que pueden encon- trar. En virtud de que
no haba intencin de establecer un cdigo de color para el texto, en
un captulo dado se utiliza el mismo color pa- ra representar el
mismo tipo de vector. Por ejemplo, a lo largo del to- mo de
Esttica, el rojo se utiliza en forma exclusiva para representar
fuerzas y pares, mientras que los vectores de posicin se muestran
en azul y las dimensiones en negro. Esto vuelve ms fcil para los
estu- diantes identificar las fuerzas que actan sobre una partcula
o cuer- po rgido dados y comprender los problemas resueltos y otros
ejem- plos proporcionados en el libro. Se mantiene, en forma
consistente, un cuidadoso balance entre las unidades SI y unidades
de uso comn en Estados Uni- dos. Debido a la tendencia que existe
en la actualidad en el gobier- no y la industria estadounidenses de
adoptar el Sistema Internacional de Unidades (unidades mtricas SI),
las unidades SI que se usan con mayor frecuencia en mecnica se
introducen en el captulo 1 y se em- plean en todo el libro.
Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y 60 por ciento
de los problemas de tarea estn planteados en este sistema de
unidades, mientras que el resto se proporciona en las unidades de
uso comn en Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque es
el que se adecuar mejor a las necesidades de los es- tudiantes,
quienes, como ingenieros, tendrn que dominar los dos sis- temas de
unidades. Tambin se debe reconocer que el uso de ambos sistemas de
uni- dades significa ms que aplicar factores de conversin. Como el
sis- tema de unidades SI es absoluto basado en el tiempo, la
longitud y la masa, mientras que el sistema ingls es un sistema
gravitacional ba- sado en el tiempo, la longitud y la fuerza, se
requieren diferentes en- foques para la solucin de muchos
problemas. Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, por lo
general, un cuerpo se especifica me- diante su masa expresada en
kilogramos; en la mayor parte de los pro- blemas de esttica ser
necesario determinar el peso del cuerpo en newtons, para lo cual se
requiere un clculo adicional. Por otro lado, cuando se aplican las
unidades de uso comn en Estados Unidos, un cuerpo se especifica
mediante su peso en libras y, en problemas de dinmica, se requerir
un clculo adicional para determinar su masa en slugs (o lb . s2
/ft). Por tanto, los autores creen que los problemas que se les
asignen a los estudiantes deben incluir ambos sistemas de unidades.
xvi Prefacio 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd
24/11/09 09:01 AM Pgina xvi
18. xviiPrefacioEn las secciones opcionales se tratan temas
avanzados o especializados. En el libro se incluye un gran nmero de
secciones opcionales identificadas mediante asteriscos y, por
tanto, se distinguen fcilmente de aquellas que constituyen la parte
fundamental de un curso bsico de esttica. Estas secciones pueden
omitirse sin perju- dicar la comprensin del resto del texto. Entre
los temas cubiertos en las secciones adicionales se encuen- tran la
reduccin de un sistema de fuerzas a una llave de torsin, apli-
caciones a hidrosttica, diagramas de fuerza cortante y momento
flec- tor, equilibrio de cables, productos de inercia y crculo de
Mohr, la determinacin de los ejes principales y momentos de inercia
de un cuerpo en forma arbitraria, y el mtodo del trabajo virtual.
Las sec- ciones sobre vigas son especialmente tiles cuando el curso
de est- tica es seguido inmediatamente por un curso de mecnica de
mate- riales, mientras que las partes que tratan acerca de las
propiedades de inercia de cuerpos tridimensionales fueron pensadas
primordial- mente para los estudiantes que despus estudiarn, en
dinmica, el movimiento tridimensional de cuerpos rgidos. El
material presentado en el libro y la mayor parte de los pro- blemas
no requieren conocimiento matemtico previo superior al l- gebra, la
trigonometra y el clculo elemental; todos los conocimien- tos de
lgebra elemental necesarios para comprender el texto se presentan
con detalle en los captulos 2 y 3. En general, se pone mayor nfasis
en la comprensin adecuada de los conceptos matemticos bsicos
incluidos que en la manipulacin de frmulas matemticas. Al respecto,
se debe mencionar que la determinacin de los centroides de reas
compuestas precede al clculo de centroides por integracin, lo cual
posibilita establecer firmemente el concepto de momento de un rea
antes de introducir el uso de integrales. ORGANIZACIN DE LOS
CAPTULOS Y CARACTERSTICAS PEDAGGICAS Introduccin del captulo. Cada
captulo comienza con una intro- duccin que establece el propsito y
los objetivos del mismo, y en donde se describe en trminos
sencillos el material que ser cubier- to y sus aplicaciones en la
resolucin de problemas de ingeniera. Los lineamientos del captulo
proporcionan a los estudiantes una visin previa de los tpicos que
ste incluye. Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est
dividido en unidades, cada una de las cuales consiste en una o ms
secciones de teora, uno o varios problemas resueltos, y una gran
cantidad de pro- blemas de tarea. Cada unidad corresponde a un tema
bien definido que, por lo general, puede ser cubierto en una
leccin. Sin embargo, en ciertos casos el profesor encontrar que es
deseable dedicar ms de una leccin a un tpico en particular.
Problemas resueltos. Los problemas resueltos se plantean de manera
muy similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvan los
problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplen el
doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de traba-
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina xvii
19. jo clara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en
sus propias soluciones. Resolucin de problemas en forma
independiente. Entre los problemas resueltos y los de tarea, para
cada leccin se incluye una sec- cin titulada Resolucin de problemas
en forma independiente. El pro- psito de estas secciones es ayudar
a los estudiantes a organizar mental- mente la teora ya cubierta en
el texto y los mtodos de resolucin de los problemas resueltos, de
manera que puedan resolver con mayor xito los problemas de tarea.
Adems, en estas secciones tambin se incluyen sugerencias y
estrategias especficas que les permitirn enfrentar de ma- nera ms
eficiente cualquier problema que se les asigne. Series de problemas
de tarea. La mayora de los problemas son de naturaleza prctica y
deben llamar la atencin del estudiante de ingeniera. Sin embargo,
estn diseados para ilustrar el material presentado en el texto y
para ayudar a los estudiantes a comprender los principios de la
mecnica. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las partes
del material que ilustran y se presentan en or- den de dificultad
creciente. Los problemas que requieren atencin especial estn
sealados con asteriscos. Al final del texto se proporcio- nan las
respuestas correspondientes a 70 por ciento de los problemas
propuestos; y aquellos para los cuales no se da respuesta se
indican en el libro escribiendo su nmero en cursivas. Repaso y
resumen del captulo. Cada captulo finaliza con un repaso y un
resumen del material cubierto en el mismo. Las notas al margen se
utilizan para ayudar al estudiante a organizar su trabajo de
revisin, adems se han incluido referencias cruzadas para ayudar-
los a encontrar las partes de material que requieren atencin
especial. Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye
un grupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los
estudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms
importantes presentados en el captulo. Problemas de computadora.
Cada captulo incluye un grupo de problemas diseados para ser
resueltos mediante programas de computadora. Muchos de estos
problemas son importantes para el proceso de diseo. En esttica, por
ejemplo, pueden implicar el an- lisis de una estructura para
diferentes configuraciones y cargas o la de- terminacin de las
posiciones de equilibrio de un mecanismo que puede requerir un
mtodo iterativo de solucin. El desarrollo del al- goritmo necesario
para resolver un problema de mecnica dado bene- ficiar a los
estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayudar a lo- grar una
mejor comprensin de los principios de la mecnica involu- crados; 2)
les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habilidades con la
computadora para encontrar la solucin de un problema rele- vante de
ingeniera. MATERIALES DE APOYO Esta obra cuenta con interesantes
complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje,
as como la evaluacin de stos, xviii Prefacio
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina xviii
20. xixPrefaciomismos que se otorgan a profesores que adoptan
este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la
poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante
McGraw-Hill. CONEXIN CON LA INGENIERA DE McGRAW-HILL La conexin de
McGraw-Hill con la ingeniera (McGraw-Hill Con- nect Engineering) es
una plataforma de tareas y evaluacin que pro- porciona a los
estudiantes los medios para conectarse de mejor ma- nera con su
curso, sus profesores y los conceptos importantes que necesitarn
conocer para su xito en la actualidad y en el futuro. Me- diante la
Conexin con la Ingeniera, los profesores pueden entregar con
facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Los estudiantes pue- den
practicar habilidades importantes a su propio ritmo y de acuerdo
con su propio programa. La Conexin con la Ingeniera de Mecnica
vectorial para inge- nieros est disponible en
www.mhhe.com/beerjohnston e incluye problemas algortmicos del
texto, presentaciones en PowerPoint, un banco de imgenes y
animaciones. OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICO Los libros electrnicos
son una forma innovadora de ahorrarle dinero a los estudiantes y al
mismo tiempo crear un medio ambiente ms verde. Un libro electrnico
puede ahorrarles a los estudiantes cerca de la mitad del costo de
un libro de texto tradicional y ofrece carac- tersticas nicas como
un poderoso dispositivo de bsqueda, texto re- saltado y la
capacidad de compartir notas con compaeros de clase que usan libros
electrnicos. McGraw-Hill ofrece dos opciones de libros electrnicos:
la com- pra de un libro descargable de VitalSource o una suscripcin
al libro de CourseSmart. Para conocer ms acerca de las opciones de
libros electrnicos, contacte a su distribuidor de McGraw-Hill o
visite los sitios en www.vitalsource.com y www.coursesmart.com.
AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer de manera especial a
Amy Mazurek del Williams Memorial Institute que verific las
soluciones y respuestas de todos los problemas de esta edicin y
despus prepar las solu- ciones del Manual para el instructor y de
soluciones adicional al texto; Yohannes Ketema de la University of
Minnesota; David Oglesby de la University of Missouri-Rolla; y
Daniel W. Yannitell de la Lousiana State University. Es un placer
reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine Line Illustrations
por las artsticas ilustraciones que contribuyen en gran medida a la
efectividad del texto. Los autores agradecen a las diferentes
compaas que propor- cionaron fotografas para esta edicin. Tambin
desean reconocer el esfuerzo determinado y la paciencia de Sabina
Dowell, quien selec- cion las fotografas. Un agradecimiento tambin
a los miembros de la organizacin de McGraw-Hill por su apoyo y
dedicacin durante la preparacin de
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina xix
21. xx Prefacio esta nueva edicin. En particular se agradecen
las contribuciones del editor responsable Bill Stenquist, la
editora de desarrollo Lora Neyens y la gerente de proyecto Sheila
Frank. Por ltimo, los autores desean expresar su gratitud por los
nu- merosos comentarios y sugerencias que han sido proporcionados
por los usuarios de las ediciones anteriores de Mecnica vectorial
para in- genieros. E. Russell Johnston, Jr. David F. Mazurek Elliot
R. Eisenberg 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd
24/11/09 09:01 AM Pgina xx
22. xxi Lista de smbolos a Constante; radio; distancia A, B, C,
. . . Reacciones en apoyos y uniones A, B, C, . . . Puntos A rea b
Ancho; distancia c Constante C Centroide d Distancia e Base de
logaritmos naturales F Fuerza; fuerza de friccin g Aceleracin de la
gravedad G Centro de gravedad; constante de gravitacin h Altura;
flecha de un cable i, j, k Vectores unitarios a lo largo de los
ejes coordenados I, Ix, . . . Momentos de inercia I Momento de
inercia centroidal Ixy, . . . Productos de inercia J Momento polar
de inercia k Constante de un resorte kx, ky, kO Radios de giro k
Radios de giro centroidal l Longitud L Longitud; claro m Masa M
Momento par MO Momento con respecto al punto O MO R Momento
resultante con respecto al punto O M Magnitud de un par o de un
momento; masa de la Tierra MOL Momento con respecto al eje OL N
Componente normal de una reaccin O Origen de coordenadas p Presin P
Fuerza; vector Q Fuerza; vector r Vector de posicin r Radio;
distancia; coordenada polar R Fuerza resultante; vector resultante;
reaccin 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09
09:01 AM Pgina xxi
23. R Radio de la Tierra s Vector de posicin s Longitud de
arco; longitud de un cable S Fuerza; vector t Espesor T Fuerza T
Tensin U Trabajo V Producto vectorial; fuerza constante V Volumen;
energa potencial; cortante w Carga por unidad de longitud W, W
Peso; carga x, y, z Coordenadas rectangulares; distancias x, y, z
Coordenadas rectangulares del centroide o centro de gravedad , ,
ngulos Peso especfico Elongacin r Desplazamiento virtual U Trabajo
virtual Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia
Coordenada angular; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin
Densidad ngulo de friccin; ngulo xxii Lista de smbolos
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina xxii
24. MECNICAVECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica
00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM
Pgina xxiii
25. A finales del siglo XVII, Sir Isaac Newton estable- ci los
principios fundamentales de la mecni- ca, los cuales constituyen la
base de gran parte de la ingeniera moderna. xxiv BEER 01-ok:BEER 01
08/10/09 08:10 PM Pgina xxiv
27. CAPTULO 1 INTRODUCCIN 1.1 Qu es la mecnica? 1.2 Conceptos y
principios fundamentales 1.3 Sistemas de unidades 1.4 Conversin de
un sistema de unidades a otro 1.5 Mtodo para la solucin de
problemas 1.6 Exactitud numrica 1.1. QU ES LA MECNICA? La mecnica
se puede definir como la ciencia que describe y predice las
condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de
fuerzas. Se divide en tres partes: la mecnica de cuerpos rgidos, la
mecnica de cuerpos deformables y la mecnica de fluidos. La mecnica
de cuerpos rgidos se subdivide en esttica y dinmi- ca; la primera
estudia los cuerpos en reposo y la segunda los cuerpos en
movimiento. En esta parte del estudio de la mecnica se supone que
los cuerpos son perfectamente rgidos. Sin embargo, las estructuras
y las mquinas reales nunca lo son y se deforman bajo las cargas a
las que estn sometidas. Estas deformaciones casi siempre son
pequeas y no afectan de manera apreciable las condiciones de
equilibrio o de movi- miento de la estructura en consideracin. Pero
son importantes cuando se tiene en cuenta la resistencia de la
estructura a las fallas y se estudian en la mecnica de materiales,
que es una parte de la mecnica de cuer- pos deformables. La tercera
parte de la mecnica, la de fluidos, se sub- divide en el estudio de
los fluidos incompresibles y el de los fluidos com- presibles. La
hidrulica es una subdivisin importante en el estudio de los fluidos
incompresibles y trata problemas relativos a los lquidos. La
mecnica es una ciencia fsica puesto que estudia fenmenos f- sicos.
Sin embargo, algunos la asocian con las matemticas, mientras que
otros la consideran un tema de ingeniera. Ambos puntos de vista se
jus- tifican parcialmente. La mecnica es la base de la mayora de
las cien- cias de la ingeniera y es un requisito indispensable para
estudiarlas. Sin embargo, no tiene el carcter emprico propio de
algunas ciencias de la ingeniera, es decir, no se basa slo en la
experiencia u observacin; por su rigor y la importancia que da al
razonamiento deductivo se parece a las matemticas. Pero tampoco es
una ciencia abstracta, ni siquiera una ciencia pura; es una ciencia
aplicada. Su propsito es explicar y prede- cir los fenmenos fsicos
y poner las bases para aplicarlas en ingeniera. 1.2. CONCEPTOS Y
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Aunque el estudio de la mecnica se remonta
a los tiempos de Arist- teles (384-322 a.C.) y de Arqumedes
(287-212 a.C.), se tuvo que es- perar hasta Newton (1642-1727) para
encontrar una formulacin satis- factoria de sus principios
fundamentales, los cuales fueron expresados despus en forma
modificada por dAlembert, Lagrange y Hamilton. Su validez permaneci
inclume hasta que Einstein formul su teora de la relatividad
(1905). Si bien ahora se han reconocido las limitacio- nes de la
mecnica newtoniana, sta an es la base de las actuales cien- cias de
la ingeniera. Los conceptos bsicos que se emplean en la mecnia son
espacio, tiempo, masa y fuerza. Estos conceptos no pueden ser
definidos en for- ma exacta; deben aceptarse sobre las bases de
nuestra intuicin y ex- periencia y emplearse como un marco de
referencia mental en el es- tudio de la mecnica. El concepto de
espacio se asocia con la nocin de posicin de un punto P. La posicin
de ste puede definirse por tres longitudes me- didas desde cierto
punto de referencia u origen, en tres direcciones da- das. Estas
longitudes se reconocen como coordenadas de P. Para definir un
evento, no es suficiente con indicar su posicin en el espacio sino
que debe darse tambin el tiempo del evento. El concepto de masa
tiene la funcin de caracterizar y comparar los cuerpos con base en
ciertos experimentos mecnicos fundamenta- 2 BEER 01-ok:BEER 01
08/10/09 08:10 PM Pgina 2
28. les. Por ejemplo, dos cuerpos que tengan la misma masa
seran atra- dos por la Tierra de igual forma; tambin presentarn la
misma resis- tencia a un cambio en su movimiento traslacional. Una
fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro y puede
ejercerse por contacto real o a distancia, como en el caso de las
fuer- zas gravitacionales y magnticas. Una fuerza se caracteriza
por su pun- to de aplicacin, magnitud y direccin y se representa
con un vector (seccin 2.3). En la mecnica newtoniana, espacio,
tiempo y masa son concep- tos absolutos e independientes entre s
(esto no es as en la mecnica relativista, donde el tiempo de un
evento depende de su posicin y la masa de un cuerpo vara con su
velocidad). Por otra parte, el concep- to de fuerza no es
independiente de los otros tres. En realidad, uno de los principios
fundamentales de la mecnica newtoniana, que se enun- cian ms
adelante, indica que la fuerza resultante que acta sobre un cuerpo
se relaciona con la masa de ste y con la forma en que vara su
velocidad en el tiempo. Se estudiarn las condiciones de reposo o
movimiento de partcu- las y cuerpos rgidos a partir de los cuatro
principios bsicos que se han expuesto. Por partcula se entiende una
pequesima cantidad de ma- teria que ocupa un punto en el espacio.
Un cuerpo rgido es la combi- nacin de un gran nmero de partculas
que ocupan posiciones fijas entre s. El estudio de la mecnica de
las partculas es un requisito pre- vio al de los cuerpos rgidos.
Adems, los resultados obtenidos para una partcula pueden usarse
directamente en muchos problemas que tra- tan de las condiciones de
reposo o movimiento de cuerpos reales. El estudio de la mecnica
elemental descansa sobre seis principios fundamentales basados en
la evidencia experimental. La ley del paralelogramo para la adicin
de fuerzas. Esta- blece que dos fuerzas que actan sobre una
partcula pueden ser susti- tuidas por una sola fuerza llamada
resultante, que se obtiene al trazar la diagonal del paralelogramo
que tiene los lados iguales a las fuerzas dadas (seccin 2.2). El
principio de transmisibilidad. Establece que las condicio- nes de
equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido permanecern
inalteradas si una fuerza que acta en un punto del cuerpo rgido se
sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma direccin,
pero que acte en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas
ten- gan la misma lnea de accin (seccin 3.3). Las tres leyes
fundamentales de Newton. Fueron formula- das por Sir Isaac Newton a
finales del siglo XVII y pueden enunciarse como sigue: PRIMERA LEY.
Si la fuerza resultante que acta sobre una par- tcula es cero, la
partcula permanecer en reposo (si originalmente es- taba en reposo)
o se mover con velocidad constante en lnea recta (si originalmente
estaba en movimiento) (seccin 2.10). SEGUNDA LEY. Si la fuerza
resultante que acta sobre una par- tcula no es cero, la partcula
tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y
en la direccin de sta. Como se ver en la seccin 12.2 esta ley puede
expresarse as F ma (1.1) 1.2. Conceptos y principios fundamentales
3 La alusin a la seccin 11 y posteriores corresponde al tomo
Dinmica, del mismo autor. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM
Pgina 3
29. 4 Introduccin donde F, m y a representan, respectivamente,
la fuerza resultante que acta sobre la partcula, la masa de sta y
la aceleracin de la misma, expresadas en un sistema consistente de
unidades. TERCERA LEY. Las fuerzas de accin y reaccin de cuerpos en
contacto tienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y senti-
dos opuestos (seccin 6.1). La ley de gravitacin de Newton.
Establece que dos partcu- las de masa M y m se atraen mutuamente
con fuerzas iguales y opues- tas F y F (figura 1.1), de magnitud F
dada por la frmula F G (1.2) donde r la distancia entre las dos
partculas G la constante universal llamada constante de gravitacin
La ley de gravitacin de Newton introduce la idea de una accin ejer-
cida a distancia y extiende el alcance de aplicacin de la tercera
ley: la accin F y la reaccin F en la figura 1.1 son iguales y
opuestas y tie- nen la misma lnea de accin. Un caso de gran
importancia es el de la atraccin que la Tierra ejer- ce sobre una
partcula situada en su superficie. La fuerza F ejercida por la
Tierra sobre la partcula se define como el peso W de la partcula.
To- mando M igual a la masa de la Tierra, m igual a la masa de la
partcula, y r igual al radio R de la Tierra e introduciendo la
constante g (1.3) la magnitud W del peso de una partcula de masa m
puede expresar- se como W mg (1.4) El valor de R en la frmula (1.3)
depende de la elevacin del punto considerado; tambin depende de su
latitud, puesto que la Tierra no es realmente esfrica. As que el
valor de g vara con la posicin del punto en cuestin. Mientras el
punto permanezca sobre la superficie de la Tierra, en la mayora de
los clculos de ingeniera es suficiente- mente preciso suponer que g
es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2 . Los principios que se acaban de
enunciar se irn explicando en el curso del estudio de la mecnica
conforme sea necesario. El estudio de la esttica de partculas se
realiza en el captulo 2 y se basa slo en la ley del paralelogramo
para la adicin y en la primera ley de New- ton. El principio de
transmisibilidad se expondr en el captulo 3, al comenzar el estudio
de la esttica de cuerpos rgidos, y la tercera ley de Newton se
expone en el captulo 6, cuando se analicen las fuerzas ejercidas
entre los diferentes elementos que forman una estructura. En el
estudio de la dinmica se introducirn la segunda ley de Newton y la
ley de gravitacin. All se mostrar que la primera ley de Newton es
un caso particular de la segunda ley (seccin 12.2), y que el
principio de transmisibilidad podra derivarse de los otros
principios y por lo mis- GM R2 Mm r2 Figura 1.1 Una definicin ms
precisa del peso W debe tomar en cuenta la rotacin de la Tierra. M
F F m r Fotografa 1.1 Cuando estn en la rbita terrestre, se dice
que las personas y los objetos no tienen peso, aun cuando la fuerza
gravitacional que acta sobre ellos es aproximadamente 90% de la que
se experimenta en la superficie de la Tierra. Esta aparente
contradiccin se resolver en el captulo 12, cuando se aplica la
segunda ley de Newton al movimiento de partculas. BEER 01-ok:BEER
01 08/10/09 08:10 PM Pgina 4
30. 1.3. Sistemas de unidades 5mo quedar eliminado (seccin
16.5). Por ahora, las primera y tercera leyes de Newton, la ley del
paralelogramo para la adicin y el princi- pio de transmisibilidad
proporcionarn las bases necesarias y suficien- tes para el estudio
completo de la esttica de partculas, de cuerpos r- gidos y de
sistemas de cuerpos rgidos. Como se dijo antes, los seis principios
fundamentales enunciados antes se basan en la evidencia
experimental. A excepcin de la primera ley de Newton y el principio
de transmisibilidad, todos son principios in- dependientes y no se
pueden obtener matemticamente de los dems ni de cualquier otro
principio fsico elemental. En ellos descansa la mayor parte de la
intrincada estructura de la mecnica newtoniana. La aplica- cin de
estos principios fundamentales ha permitido resolver, por ms de dos
siglos, un gran nmero de problemas relacionados con las condi-
ciones de reposo y movimiento de cuerpos rgidos, cuerpos
deformables y fluidos. Muchas de las soluciones obtenidas pueden
comprobarse me- diante experimentos que proporcionan una
verificacin ulterior de los principios en que se basaron. Fue slo
hasta el siglo pasado que se en- contr que la mecnica de Newton
tiene deficiencias en el estudio del movimiento de los tomos y en
el de ciertos planetas, y que debe com- plementarse con la teora de
la relatividad. Pero en la escala humana o en la escala de la
ingeniera, donde las velocidades son mucho ms pe- queas que la
velocidad de la luz, la mecnica de Newton an no ha si- do refutada.
1.3. SISTEMAS DE UNIDADES Con los cuatro conceptos fundamentales
introducidos en la seccin an- terior se asocian las llamadas
unidades cinticas, es decir, las unidades de longitud, tiempo, masa
y fuerza. Estas unidades no pueden escoger- se de manera
independiente si la ecuacin (1.1) ha de satisfacerse. Tres de ellas
pueden definirse en forma arbitraria; se les llama unidades b-
sicas. La cuarta unidad, en cambio, debe escogerse de acuerdo con
la ecuacin (1.1) y se le identifica como unidad derivada. Se dice
que las unidades cinticas as seleccionadas forman un sistema
consistente de unidades. Sistema Internacional de Unidades
(Unidades del SI). En este sistema, que ser de uso universal cuando
Estados Unidos com- plete su conversin, las unidades bsicas son las
de longitud, masa y tiempo, y se llaman, respectivamente, metro
(m), kilogramo (kg) y se- gundo (s). Las tres estn definidas de
manera arbitraria. El segundo, que de manera original se eligi para
representar 1/86 400 del da so- lar medio, se define ahora como la
duracin de 9 192 631 770 ciclos de la radiacin emitida en la
transicin entre dos niveles del estado fundamental del tomo de
cesio-133. El metro, definido en forma ori- ginal como la
diezmillonsima parte de la distancia del ecuador a un polo, se
define ahora como 1 650 763.73 longitudes de onda de la luz
naranja-roja correspondiente a cierta transicin en un tomo de crip-
tn-86. El kilogramo, que es aproximadamente igual a la masa de
0.001 m3 de agua, se define como la masa de un patrn de
platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos
y Medidas en Svres, cerca de Pars, Francia. La unidad de fuerza es
una unidad derivada y se llama newton (N). Se le define como la
fuerza que proporciona una SI significa Systme International dUnits
(francs). BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 5
31. 6 Introduccin aceleracin de 1 m/s2 a una masa de un
kilogramo (figura 1.2). A par- tir de la ecuacin (1.1) se escribe 1
N (1 kg)(1 m/s2 ) 1 kg m/s2 (1.5) Se dice que las unidades del SI
forman un sistema absoluto de unida- des; esto significa que las
tres unidades bsicas seleccionadas son in- dependientes del lugar
en donde se utilicen las medidas. El metro, el kilogramo y el
segundo se pueden usar en cualquier lugar de la Tierra; incluso
pueden usarse en otro planeta y siempre tendrn el mismo sig-
nificado. El peso de un cuerpo, o la fuerza de gravedad ejercida
sobre l, debe expresarse en newtons, como cualquier otra fuerza. De
la ecua- cin (1.4) se obtiene que el peso de un cuerpo de masa 1 kg
(figura 1.3) es W mg (1 kg)(9.81 m/s2 ) 9.81 N Los mltiplos y
submltiplos de las unidades fundamentales del SI se pueden obtener
con el uso de los prefijos que se definen en la ta- bla 1.1. Los
mltiplos y submltiplos de las unidades de longitud, ma- sa y fuerza
de mayor uso en ingeniera son, respectivamente, el kil- metro (km)
y el milmetro (mm); el megagramo (Mg) y el gramo (g); y el
kilonewton (kN). De acuerdo con la tabla 1.1, se tiene 1 km 1 000 m
1 mm 0.001 m 1 Mg 1 000 kg 1 g 0.001 kg 1 kN 1 000 N La conversin
de estas unidades a metros, kilogramos y newtons, res-
pectivamente, puede realizarse con slo recorrer el punto decimal
tres lugares a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, para
convertir 3.82 km en metros, se recorre el punto decimal tres
lugares a la dere- cha: 3.82 km 3 820 m En forma semejante, 47.2 mm
se convierten en metros recorriendo el punto decimal tres lugares a
la izquierda: 47.2 mm 0.0472 m Con el uso de la notacin cientfica,
se puede escribir 3.82 km 3.82 103 m 47.2 mm 47.2 103 m Los
mltiplos de la unidad de tiempo son el minuto (min) y la hora (h).
Puesto que 1 min 60 s y 1 h 60 min 3 600 s, estos mlti- plos no
pueden convertirse tan fcilmente como los otros. Con el uso del
mltiplo o submltiplo adecuado de cierta unidad, se puede evitar la
escritura de nmeros muy grandes o muy pequeos. Figura 1.2 Figura
1.3 Tambin conocida como tonelada mtrica. a = 1 m/s2 m = 1 kg F = 1
N a = 9.81 m/s2 m = 1 kg W = 9.81 N BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09
08:10 PM Pgina 6
32. 1.3. Sistemas de unidades 7 Por ejemplo, por lo general se
escribe 427.2 km en lugar de 427 200 m, y 2.16 mm en lugar de 0.002
16 m. Unidades de rea y volumen. La unidad de rea es el metro
cuadrado (m2 ), que representa el rea de un cuadrado de 1 m de la-
do; la unidad de volumen es el metro cbico (m3 ), que es igual al
vo- lumen de un cubo de 1 m de lado. Para evitar valores numricos
ex- cesivamente pequeos o demasiado grandes en el clculo de reas y
volmenes, se usan sistemas de subunidades que se obtienen elevan-
do, respectivamente, al cuadrado y al cubo no slo el milmetro sino
tambin dos submltiplos intermedios del metro, llamados decmetro
(dm) y centmetro (cm). Entonces, por definicin, 1 dm 0.1 m 101 m 1
cm 0.01 m 102 m 1 mm 0.001 m 103 m los submltiplos de la unidad de
rea son 1 dm2 (1 dm)2 (101 m)2 102 m2 1 cm2 (1 cm)2 (102 m)2 104 m2
1 mm2 (1 mm)2 (103 m)2 106 m2 y los submltiplos de la unidad de
volumen son 1 dm3 (1 dm)3 (101 m)3 103 m3 1 cm3 (1 cm)3 (102 m)3
106 m3 1 mm3 (1 mm)3 (103 m)3 109 m3 Tabla 1.1. Prefijos del SI
Factor multiplicativo Prefijo Smbolo 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G 1 000 000 106 mega M 1 000 103 kilo k 100
102 hecto* h 10 101 deca* da 0.1 101 deci* d 0.01 102 centi* c
0.001 103 mili m 0.000 001 106 micro 0.000 000 001 109 nano n 0.000
000 000 001 1012 pico p 0.000 000 000 000 001 1015 femto f 0.000
000 000 000 000 001 1018 ato a *Debe evitarse el uso de estos
prefijos, excepto en las medidas de reas y volmenes y para el uso
no tcnico del centmetro, como en las medidas referentes a la ropa y
al cuerpo. Debe observarse que cuando se usan ms de cuatro dgitos a
ambos lados del punto de- cimal para expresar una cantidad en
unidades del SI (como en 427 200 m o en 0.002 16 m) deben usarse
espacios, no comas, para separar los dgitos en grupos de tres. Esto
es con el fin de evitar confusiones con la coma, que se usa en
muchos pases en lugar del punto de- cimal. BEER 01-ok:BEER 01
08/10/09 08:10 PM Pgina 7
33. 8 Introduccin Debe notarse que cuando se mide el volumen de
un lquido, el dec- metro cbico (dm3 ) se conoce en forma usual como
un litro (L). En la tabla 1.2 se muestran otras unidades derivadas
del SI, que se usan para medir el momento de una fuerza, el trabajo
de una fuer- za, etc. Aunque estas unidades se introducirn en
captulos posterio- res conforme se vayan necesitando, es necesario
describir una regla im- portante en esta fase: cuando se obtiene
una unidad derivada con la divisin de una unidad bsica entre otra
unidad bsica, debe usarse un prefijo en el numerador de la unidad
derivada pero no en su denomi- nador. Por ejemplo, la constante k
de un resorte que se elonga 20 mm bajo una carga de 100 N se
expresar como k 5 000 N/m o k 5 kN/m pero nunca como k 5 N/mm.
Unidades de uso comn en Estados Unidos. La mayora de los ingenieros
practicantes estadounidenses todava utiliza un sistema en el que
las unidades bsicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo.
Estas unidades son, respectivamente, el pie (ft), la libra (lb) y
el segundo (s). El segundo es idntico a la correspondiente unidad
del SI. El pie se define como 0.3048 m. La libra se define como el
peso de un patrn de platino, llamado libra estndar, que est en el
National Institute 100 N 0.020 m 100 N 20 mm Tabla 1.2. Principales
unidades del SI usadas en mecnica Cantidad Unidad Smbolo Frmula
Aceleracin Metro por segundo . . . m/s2 al cuadrado ngulo Radin rad
Aceleracin angular Radin por segundo . . . rad/s2 al cuadrado
Velocidad angular Radin por segundo . . . rad/s rea Metro cuadrado
. . . m2 Densidad Kilogramo por . . . kg/m3 metro cbico Energa
Joule J N m Fuerza Newton N kg m/s2 Frecuencia Hertz Hz s1 Impulso
Newton-segundo . . . kg m/s Longitud Metro m Masa Kilogramo kg
Momento de una fuerza Newton-metro . . . N m Potencia Watt W J/s
Presin Pascal Pa N/m2 Esfuerzo Pascal Pa N/m2 Tiempo Segundo s
Velocidad Metro por segundo . . . m/s Volumen Slidos Metro cbico .
. . m3 Lquidos Litro L 103 m3 Trabajo Joule J N m Unidad
suplementaria (1 revolucin 2 rad 360). Unidad bsica. BEER
01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 8
34. 1.3. Sistemas de unidades 9of Standards and Technology en
las afueras de Washington, su masa es de 0.453 592 43 kg. Como el
peso de un cuerpo depende de la atraccin gravitacional de la
Tierra, la cual vara con la ubicacin, se especifica que la libra
estndar debe estar localizada al nivel del mar y a una la- titud de
45 para definir en forma apropiada una fuerza de una libra. Es
claro que las unidades de uso comn en Estados Unidos no forman un
sistema de unidades absoluto. Por su dependencia de la atraccin
gravitacional de la Tierra constituyen un sistema de unidades
gravita- cional. Aun cuando la libra estndar se emplea tambin como
unidad de masa en transacciones comerciales en Estados Unidos, no
puede usar- se as en clculos de ingeniera, debido a que no sera
consistente con las unidades bsicas definidas en el apartado
anterior. De hecho, cuan- do una fuerza de 1 lb acta sobre la libra
estndar, es decir, cuando es- t sujeta a la gravedad, recibe la
aceleracin de la gravedad, g 32.2 ft/s2 (figura 1.4), sta no es la
unidad de aceleracin que se requiere segn la ecuacin (1.1). La
unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la
masa que recibe una aceleracin de 1 ft/s2 al aplicrsele una fuerza
de 1 lb (figura 1.5). Esta unidad, algunas veces llamada slug,
puede derivarse de la ecuacin F ma despus de sus- tituir 1 lb y 1
ft/s2 para F y a, respectivamente. Se escribe (1 slug 32.216). F ma
1 lb (1 slug)(1 ft/s2 ) y se obtiene 1 slug 1 lb s2 /ft (1.6)
Comparando las figuras 1.4 y 1.5 se concluye que el slug es una
masa 32.2 veces mayor que la masa de la libra estndar. El hecho de
que en el sistema de uso comn en Estados Unidos, los cuerpos se
caractericen por su peso en libras en lugar de por su ma- sa en
slugs, ser ventajoso en el estudio de la esttica, en donde se tra-
tar en forma continua con pesos u otras fuerzas, y slo en ocasiones
con masas. Sin embargo, en el estudio de la dinmica, donde
intervie- nen fuerzas, masas y aceleraciones, la masa m de un
cuerpo se expre- sar en slugs cuando su peso W est dado en libras.
Recordando la ecuacin (1.4) se escribe m (1.7) donde g es la
aceleracin de la gravedad (g 32.2 ft/s2 ). Otras unidades de uso
comn en Estados Unidos que se presen- tan en forma frecuente en
problemas de ingeniera son la milla (mi), igual a 5 280 ft; la
pulgada (in.), igual a 1 1 2 ft, y la kilolibra (kip), igual a una
fuerza de 1 000 lb. La tonelada se usa con frecuencia para re-
presentar una masa de 2 000 lb pero, al igual que la libra, debe
con- vertirse a slugs en los clculos de ingeniera. La conversin en
pies, libras y segundos de cantidades expresadas en otras unidades
de uso comn en Estados Unidos, en forma general es ms complicada y
requiere mayor atencin que la operacin corres- pondiente en las
unidades del SI. Por ejemplo, si se da la magnitud de W g 1 lb 1
ft/s2 Figura 1.4 Figura 1.5 a = 1 ft /s2 m = 1 slug (= 1 lb s2/ft)
F = 1 lb a = 32.2 ft /s2 m = 1 lb F = 1 lb En este caso se alude a
la tonelada corta, ya que la tonelada larga equivale a 2 240 lb.
BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 9
35. 10 Introduccin una velocidad como v 30 mi/h, se convierte
en ft/s de la siguiente manera. Primero se escribe v 30 Puesto que
se quieren convertir millas en pies, se debe multiplicar el miembro
derecho de la ecuacin por una expresin que contenga mi- llas en el
denominador y pies en el numerador. Pero, como no se quie- re
cambiar el valor del miembro derecho, la expresin implicada debe
tener un valor igual a uno; el cociente (5 280 ft)(1 mi) es una
expre- sin de este tipo. Haciendo una operacin semejante para
transformar la unidad hora en segundos, se escribe v 30 Realizando
los clculos numricos y cancelando las unidades que apa- recen tanto
en el numerador como en el denominador, se obtiene v 44 44 ft/s
1.4. CONVERSIN DE UN SISTEMA DE UNIDADES A OTRO Existen muchas
situaciones en las que un ingeniero necesita convertir en unidades
del SI un resultado numrico obtenido en unidades de uso comn en
Estados Unidos o viceversa. Como la unidad de tiempo es la misma en
ambos sistemas, slo se necesita convertir dos unidades cinticas
bsicas y, puesto que todas las otras unidades cinticas pue- den
derivarse de estas unidades bsicas, slo se requiere recordar dos
factores de conversin. Unidades de longitud. Por definicin, la
unidad de longitud de uso comn en Estados Unidos es 1 ft 0.3048 m
(1.8) De aqu se tiene que 1 mi 5 280 ft 5 280(0.3048 m) 1 609 m o
bien 1 mi 1.609 km (1.9) Tambin 1 in. 1 1 2 ft 1 1 2 (0.3048 m)
0.0254 m o bien 1 in. 25.4 mm (1.10) Unidades de fuerza. Recordando
que la unidad de fuerza de uso comn en Estados Unidos (la libra) se
define como el peso de una libra estndar (de masa 0.4536 kg) al
nivel del mar y a una latitud de 45 (donde g 9.807 m/s2 ) y usando
la ecuacin (1.4), se escribe W mg 1 lb (0.4536 kg)(9.807 m/s2 )
4.448 kg m/s2 mi h ft s 1 h 3 600 s 5 280 ft 1 mi mi h BEER
01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 10
36. 1.5. Mtodo para la solucin de problemas 11o, recordando la
ecuacin (1.5), 1 lb 4.448 N (1.11) Unidades de masa. La unidad de
masa de uso comn en Es- tados Unidos (el slug) es una unidad
derivada. As, con el uso de las ecuaciones (1.6), (1.8) y (1.11),
se puede escribir 1 slug 1 lb s2 /ft 14.59 N s2 /m y por medio de
la ecuacin (1.5), 1 slug 1 lb s2 /ft 14.59 kg (1.12) Aunque no
puede usarse como unidad consistente de masa, recordan- do que la
masa de la libra estndar es, por definicin, 1 libra masa 0.4536 kg
(1.13) Esta constante se puede usar para determinar la masa en
unidades del SI (kilogramos) de un cuerpo que est caracterizado por
su peso en unidades de uso comn en Estados Unidos (libras). Para
convertir una unidad derivada de uso comn en Estados Uni- dos en
unidades del SI, simplemente se multiplica o se divide por los
factores de conversin apropiados. Por ejemplo, para convertir la
mag- nitud del momento de una fuerza que ha sido encontrada como M
47 lb in. en unidades del SI, se usan las frmulas (1.10) y (1.11) y
se es- cribe M 47 lb in. 47(4.448 N)(25.4 mm) 5 310 N mm 5.31 N m
Los factores de conversin dados en esta seccin se pueden usar
tambin para convertir un resultado numrico obtenido en las unida-
des del SI a unidades de uso comn en Estados Unidos. Por ejemplo,
si la magnitud del momento de una fuerza se encontr como M 40 N m,
con el procedimiento usado en el ltimo prrafo de la seccin 1.3, se
escribe M 40 N m (40 N m) Al realizar los clculos numricos y
cancelar las unidades que apare- cen tanto en el numerador como en
el denominador, se obtiene M 29.5 lb ft Las unidades de uso comn en
Estados Unidos que se emplean con mayor frecuencia en la mecnica, y
sus equivalentes en las unida- des del SI, se enlistan en la tabla
1.3. 1.5. MTODO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS Un problema en mecnica
debe abordarse de la misma manera en que se planteara un problema
real de ingeniera. Si se toma como base la experiencia y la
intuicin propias, ser ms fcil entender y formular el problema. Sin
embargo, una vez que el problema se ha establecido en for- ma
clara, no hay sitio para suposiciones particulares. La solucin se
debe basar en los seis principios fundamentales establecidos en la
seccin 1.2 o 1 ft 0.3048 m 1 lb 4.448 N 4.448 N 0.3048 m/s2 1 lb 1
ft/s2 BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 11
37. 12 Introduccin en los teoremas derivados de stos. Cada paso
debe estar justificado con estas bases. Deben seguirse reglas
estrictas que conduzcan a la solucin de una manera casi automtica,
sin dejar lugar para la intuicin o senti- mientos particulares.
Despus de obtener una respuesta, sta debe veri- ficarse. Aqu, de
nuevo, se puede utilizar el sentido comn y la experien- cia
personal. Si el resultado obtenido no es completamente
satisfactorio, debe verificarse en forma cuidadosa la formulacin
del problema, la vali- dez del mtodo utilizado para su solucin y la
exactitud de los clculos. El planteamiento de un problema debe ser
claro y preciso y con- tener los datos proporcionados, as como
indicar la informacin que se requiere. Debe incluirse un dibujo
claro que muestre todas las canti- dades involucradas, as como un
diagrama para cada uno de los cuer- pos que participan, que indique
en forma clara las fuerzas que actan sobre ellos. A estos diagramas
se les conoce como diagramas de cuer- po libre y se describirn en
detalle en las secciones 2.11 y 4.2. Los principios fundamentales
de la mecnica que se enlistan en la seccin 1.2 se emplean para
escribir ecuaciones que expresen las con- Tabla 1.3. Unidades de
uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SI
Cantidad Unidad de uso comn en EU Equivalente del SI Aceleracin
ft/s2 0.3048 m/s2 in./s2 0.0254 m/s2 rea ft2 0.0929 m2 in.2 645.2
mm2 Energa ft lb 1.356 J Fuerza kip 4.448 kN lb 4.448 N oz 0.2780 N
Impulso lb s 4.448 N s Longitud ft 0.3048 m in. 25.40 mm mi 1.609
km Masa oz masa 28.35 g lb masa 0.4536 kg slug 14.59 kg short ton
(tonelada corta) 907.2 kg Momento de una fuerza lb ft 1.356 N m lb
in. 0.1130 N m Momento de inercia de un rea in.4 0.4162 106 mm4 de
una masa lb ft s2 1.356 kg m2 Cantidad de movimiento lb s 4.448 kg
m/s Potencia ft lb/s 1.356 W hp 745.7 W Presin o esfuerzo lb/ft2
47.88 Pa lb/in.2 (psi) 6.895 kPa Velocidad ft/s 0.3048 m/s in./s
0.0254 m/s mi/h (mph) 0.4470 m/s mi/h (mph) 1.609 km/h Volumen ft3
0.02832 m3 in.3 16.39 cm3 Lquidos gal 3.785 L qt 0.9464 L Trabajo
ft lb 1.356 J BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 12
38. 1.6. Exactitud numrica 13diciones de reposo o movimiento de
los cuerpos considerados. Cada ecuacin debe estar relacionada en
forma clara con uno de los diagra- mas de cuerpo libre. Despus se
proceder a resolver el problema, ob- servando en forma estricta las
reglas usuales de lgebra y con el regis- tro minucioso de los
diferentes pasos dados. Despus de haber obtenido la respuesta, sta
debe comprobarse con todo cuidado. Con frecuencia se pueden
detectar errores en el ra- zonamiento mediante la verificacin de
las unidades. Por ejemplo, pa- ra determinar la magnitud del
momento de una fuerza de 50 N sobre un punto a 0.60 m de su lnea de
accin, se escribira (seccin 3.12) M Fd (50 N)(0.60 m) 30 N m La
unidad N m que se obtiene al multiplicar newtons por metros es la
unidad correcta para el momento de una fuerza; si se hubiera obte-
nido alguna otra unidad, se sabra que se cometi un error. Los
errores de clculo por lo general se encontrarn al sustituir los
valores numricos en una ecuacin que no haya sido usada y verificar
si la ecuacin es correcta. No es posible exagerar la importancia de
los clculos correctos en ingeniera. 1.6. EXACTITUD NUMRICA La
exactitud en la solucin de un problema depende de dos factores: 1)
la exactitud de los datos proporcionados y 2) la de los clculos de-
sarrollados. La solucin no puede ser ms exacta que el menos exacto
de es- tos dos factores; por ejemplo, si se sabe que la carga de un
puente es de 75 000 lb con un posible error de 100 lb, el error
relativo que mide el grado de precisin del dato es 75 10 0 0 00 lb
lb 0.0013 0.13 por ciento Entonces, al calcular la reaccin en uno
de los soportes del puente no tendra sentido anotarla como 14 322
lb. La exactitud de la solucin no puede ser mayor de 0.13 por
ciento, sin importar con qu exacti- tud se realicen los clculos, y
el error posible en la respuesta puede ser tan grande como
(0.13100)(14 322 lb) 20 lb. La respuesta debera escribirse como 14
320 20 lb. En los problemas de ingeniera los datos rara vez se
conocen con una exactitud mayor a 0.2 por ciento, por lo que casi
nunca se justifi- ca escribir las respuestas a dichos problemas con
una exactitud mayor a 0.2 por ciento. Un criterio prctico es
utilizar cuatro cifras para re- gistrar nmeros que inicien con un 1
y tres cifras en todos los otros casos. A menos que se indique otra
cosa, los datos proporcionados en un problema deben asumirse como
conocidos con un grado de exacti- tud comparable. Por ejemplo, una
fuerza de 40 lb se debera leer 40.0 lb, y una fuerza de 15 lb se
debera leer 15.00 lb. Los ingenieros y estudiantes de ingeniera
comnmente usan las calculadoras electrnicas de bolsillo. La
exactitud y velocidad de stas facilita los clculos numricos en la
solucin de muchos problemas. Sin embargo, los estudiantes no deben
registrar ms cifras significativas de las que se pueden justificar,
slo porque stas se pueden obtener fcil- mente. Como se mencion con
anterioridad, una exactitud mayor que 0.2 por ciento rara vez es
necesaria o significativa en la solucin de pro- blemas prcticos de
ingeniera. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 13
39. Muchos problemas de ingeniera se resuelven al tomar en
cuenta el equilibrio de una partcula. En el caso de esta
excavadora, que se estiba en un barco, puede obtenerse una relacin
entre las tensiones de los diferentes cables empleados, al
considerar el equilibrio del gancho con el que se unen los cables.
14 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina
14
41. 16 2.1. INTRODUCCIN En este captulo se estudiar el efecto
de las fuerzas que actan so- bre las partculas. Primero se aprender
a sustituir dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula por una
sola fuerza que tenga el mis- mo efecto que ellas. Esta fuerza
equivalente sola es la resultante de las fuerzas varias que actan
sobre la partcula. Despus se derivarn las relaciones que existen
entre las distintas fuerzas que actan sobre una partcula en un
estado de equilibrio y se usarn para determinar algu- nas de las
fuerzas que actan sobre dicha partcula. El uso de la palabra
partcula no significa que este captulo se li- mite al estudio de
pequeos corpsculos. Quiere decir que el tamao y la forma de los
cuerpos en consideracin no afectar en la solucin de los problemas
tratados en este captulo, y que todas las fuerzas ejercidas sobre
un cuerpo dado se supondrn aplicadas en un mismo punto. Puesto que
tal suposicin se verifica en muchas aplicaciones prcticas, se podrn
resolver un buen nmero de problemas de inge- niera. La primera
parte de este captulo est dedicada al estudio de las fuerzas
obtenidas en un mismo plano y la segunda al anlisis de las fuer-
zas en el espacio tridimensional. FUERZAS EN UN PLANO 2.2. FUERZA
SOBRE UNA PARTCULA. RESULTANTE DE DOS FUERZAS Una fuerza representa
la accin de un cuerpo sobre otro y se caracte- riza por su punto de
aplicacin, magnitud o mdulo y direccin. Pero las fuerzas sobre una
partcula tienen el mismo punto de aplicacin. Por tanto, cada fuerza
considerada en este captulo estar completa- mente definida por su
magnitud o mdulo y direccin. La magnitud o mdulo de una fuerza se
caracteriza por cierto n- mero de unidades. Como se indic en el
captulo 1, las unidades del SI usadas por los ingenieros para medir
la magnitud de una fuerza son el newton (N) y su mltiplo el
kilonewton (kN), igual a 1 000 N, mien- tras que las unidades del
sistema de uso comn en Estados Unidos, empleadas con el mismo fin,
son la libra (lb) y su mltiplo la kilolibra (kip), igual a 1 000
lb. La direccin de una fuerza se define por la l- nea de accin y el
sentido de la fuerza. La lnea de accin es la lnea recta infinita a
lo largo de la cual acta la fuerza; se caracteriza por el ngulo que
forma con algn eje fijo (figura 2.1). CAPTULO 2 ESTTICA DE
PARTCULAS 2.1 Introduccin 2.2 Fuerza sobre una partcula. Resultante
de dos fuerzas 2.3 Vectores 2.4 Adicin o suma de vectores 2.5
Resultante de varias fuerzas concurrentes 2.6 Descomposicin de una
fuerza en sus componentes 2.7 Componentes rectangulares de una
fuerza. Vectores unitarios 2.8 Adicin de fuerzas sumando sus
componentes X y Y 2.9 Equilibrio de una partcula 2.10 Primera ley
del movimiento de Newton 2.11 Problemas relacionados con el
equilibrio de una partcula. Diagramas de cuerpo libre 2.12
Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio 2.13 Fuerza
definida en trminos de su magnitud y dos puntos sobre su lnea de
accin 2.14 Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio 2.15
Equilibrio de una partcula en el espacio Figura 2.1 a) A 30 10 lb
b) A 30 10 lb 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09
08:23 PM Pgina 16
42. 2.3. Vectores 17 Figura 2.2 La fuerza en s se representa
por un segmento de esa lnea; me- diante el uso de una escala
apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para
representar la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la
fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definicin de
una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las
mostradas en las figuras 2.1a y b, que tienen la misma mag- nitud y
la misma lnea de accin pero diferente sentido, tendrn efec- tos
opuestos sobre una partcula. La evidencia experimental muestra que
dos fuerzas P y Q que actan sobre una partcula A (figura 2.2a)
pueden sustituirse por una sola fuerza R que produce el mismo
efecto sobre la partcula (figura 2.2c). A esta fuerza se le llama
resultante de las fuerzas P y Q y puede obtenerse, como se muestra
en la figura 2.2b, constru- yendo un paralelogramo con P y Q como
lados. La diagonal que pasa por A representa la resultante. Esto se
conoce como la ley del paralelogramo para la adicin de dos fuerzas,
y se basa en la eviden- cia experimental; no puede probarse ni
derivarse de manera matem- tica. 2.3. VECTORES En apariencia las
fuerzas no obedecen las reglas de la adicin defini- das en la
aritmtica o en el lgebra ordinaria. Por ejemplo, dos fuer- zas que
actan formando un ngulo recto, una de 4 lb y otra de 3 lb, suman
una fuerza de 5 lb y no una de 7 lb. La fuerzas no son las ni- cas
cantidades que siguen la ley del paralelogramo para la adicin. Co-
mo se ver ms adelante, los desplazamientos, velocidades,
aceleracio- nes y momentos son otros ejemplos de cantidades fsicas
que poseen magnitud y direccin y que se suman siguiendo la ley del
paralelogra- mo. Estas cantidades pueden representarse
matemticamente por vec- tores, mientras que aquellas cantidades
fsicas que no tienen direc- cin, como volumen, masa o energa se
representan por nmeros ordi- narios o escalares. Los vectores se
definen como expresiones matemticas que po- seen magnitud, direccin
y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del
paralelogramo. Los vectores se representan por fle- chas en las
ilustraciones y se distinguen de las cantidades escalares en este
texto mediante el uso de negritas (P). En la escritura a mano, un
vector puede caracterizarse dibujando una pequea flecha arriba de
la letra usada para representarlo (P) o subrayando la letra (P). El
l- timo mtodo es preferible puesto que el subrayado tambin puede
usarse en una mquina de escribir o computadora. La magnitud de un
vector determina la longitud de la flecha correspondiente. En este
li- bro se usarn letras cursivas para representar la magnitud de un
vec- tor. As, la magnitud del vector P se representa como P. Un
vector con el que se representa una fuerza que acta sobre una
partcula tiene un punto de aplicacin bien definido, a saber, la
part- cula misma. A tal vector se le llama vector fijo o ligado, y
no puede cambiarse su posicin sin modificar las condiciones del
problema. Sin embargo, otras cantidades fsicas, como los pares
(vase captulo 3), se pueden representar por vectores que pueden
moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les conoce
como libres. Existen otras can- tidades fsicas, como las fuerzas
sobre un cuerpo rgido (vase captu- A P Q a) A P R Q b) A R c)
02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina
17
43. 18 Esttica de partculas lo 3), que estn representadas por
vectores que pueden moverse o res- balar a lo largo de su lnea de
accin; a stos se les conoce como vec- tores deslizantes. Dos
vectores de la misma magnitud, direccin y sentido se dice que son
iguales, tengan o no el mismo punto de aplicacin (figura 2.4); los
vectores iguales pueden representarse por la misma letra. El vector
negativo de un vector P se define como aquel que tiene la misma
magnitud que P y una direccin opuesta a la de P (figura 2.5); el
negativo del vector P se representa por P. A los vectores P y P se
les llama vectores iguales y opuestos. Se tiene P (P) 0 2.4. ADICIN
O SUMA DE VECTORES En la seccin anterior se vio que, por definicin,
los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. As,
la suma de dos vectores P y Q se obtiene uniendo los dos vectores
al mismo punto A y cons- truyendo un paralelogramo que tenga por
lados a P y a Q (figura 2.6). La diagonal que pasa por A representa
la suma vectorial de P y Q, y se representa por P Q. El hecho de
que el signo se use para re- presentar tanto la suma vectorial como
la escalar no debe causar nin- guna confusin, si las cantidades
vectoriales y escalares siempre se dis- tinguen con cuidado. De
esta manera, se debe notar que la magnitud del vector P Q no es, en
general, igual a la suma P Q de las mag- nitudes de los vectores P
y Q. Puesto que el paralelogramo construido con los vectores P y Q
no depende del orden en que P y Q se seleccionen, se concluye que
la adicin de dos vectores es conmutativa, y se escribe P Q Q P
(2.1) A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro m-
todo para determinar la suma de dos vectores. Este mtodo llamado
Figura 2.5 Figura 2.4 Figura 2.6 Algunas expresiones tienen
magnitud y direccin pero no se suman de acuerdo con la ley del
paralelogramo. Aunque tales expresiones se pueden representar por
medio de fle- chas, no se pueden considerar vectores. Un grupo de
expresiones de este tipo son las rotaciones finitas de un cuerpo
rgido. Coloque un libro cerrado enfrente de usted sobre una mesa de
manera que se encuentre en la forma habitual, con la portada hacia
arriba y el lomo hacia la izquierda. Ahora rote el libro 180 con
respecto a un eje paralelo al lomo (figura 2.3a); esta rotacin
puede ser re- presentada por una flecha orientada, como se muestra
en la figura, cuya longitud es igual a 180 unidades. Tomando el
libro tal y como se encuentra en su nueva posicin, rtelo P P P P A
P P+Q Q = = a) b) 180 180 Figura 2.3 Rotaciones finitas de un
cuerpo rgido 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09
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44. 2.4. Adicin o suma de vectores 19regla del tringulo se
obtiene como sigue: considrese la figura 2.6, donde la suma de los
vectores P y Q ha sido determinada por la ley del paralelogramo.
Puesto que el lado del paralelogramo opuesto a Q es igual a Q en
magnitud y direccin, se podra dibujar slo la mitad del
paralelogramo (figura 2.7a). De esta manera, la suma de los dos
vectores puede encontrarse colocando P y Q de punta a cola y
uniendo la cola de P con la punta de Q. En la figura 2.7b se con-
sidera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el mismo resul-
tado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial es conmuta-
tiva. La resta de un vector se define como la adicin del vector
negati- vo correspondiente. De manera que el vector P Q que
representa la diferencia de los vectores P y Q se obtiene
agregndole a P el vec- tor negativo Q (figura 2.8). Se escribe P Q
P (Q) (2.2) Aqu se debe observar otra vez que aunque se usa el
mismo signo pa- ra representar tanto la sustraccin vectorial como
la escalar, se evita- rn confusiones si se tiene cuidado en
distinguir entre cantidades vec- toriales y escalares. Ahora se
considerar la suma de tres o ms vectores. La suma de tres vectores
P, Q y S se obtendr por definicin, sumando primero los vectores P y
Q y agregando el vector S al vector P Q. De mane- ra que P Q S (P
Q) S (2.3) En forma semejante, la suma de cuatro vectores se
obtiene agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros.
Por consiguiente, la su- ma de cualquier nmero de vectores se puede
obtener al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a
pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean
sustituidos por uno solo. Figura 2.8 Figura 2.7 ahora 180 alrededor
de un eje horizontal perpendicular al lomo (figura 2.3b); esta
segunda rotacin puede ser representada por medio de una flecha cuya
longitud es igual a 180 unidades, orientada como se muestra en la
figura. Sin embargo, el libro podra haberse colocado en esta
posicin final aplicando una sola rotacin de 180 con respecto a un
eje vertical (figura 2.3c). Se concluye que la suma de las dos
rotaciones de 180 representadas por flechas rgidas,
respectivamente, a lo largo de los ejes z y x, es una rotacin de
180 representada por una flecha dirigida a lo largo del eje y
(figura 2.3d). Es obvio que las rota- ciones finitas de un cuerpo
rgido no obedecen la ley del paralelogramo para la adicin; por
tanto, stas no pueden ser representadas por medio de vectores. = =
y x z y x z c) d) 180 180 180 180 A A P P Q Q P + Q P + Q a) b) PQ
P P Q Q a) b) 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09
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45. 20 Esttica de partculas Si los vectores dados son
coplanares, es decir, si estn contenidos en el mismo plano, su suma
puede obtenerse fcilmente en forma gr- fica. En ese caso, se
prefiere la aplicacin repetida de la regla del trin- gulo en vez de
la ley del paralelogramo. En la figura 2.9 la suma de los tres
vectores P, Q y S se obtuvo de esta forma: la regla del tringulo se
aplic primero para obtener la suma P Q de los vectores P y Q; y
volvi a aplicarse para obtener la suma de los vectores P Q y S. Sin
embargo, la determinacin del vector P Q pudo haberse omiti- do;
obtenindose directamente la suma de los tres vectores, como se
muestra en la figura 2.10, acomodando los vectores en la forma de
cola a punta y conectando la cola del primer vector con la punta
del ltimo. sta se conoce como la regla del polgono para la adicin
de vectores. Se observa que el resultado obtenido permanecer sin
cambio si, como se muestra en la figura 2.11, los vectores Q y S se
hubieran reem- plazado por la suma de Q S. Entonces se puede
escribir P Q S (P Q) S P (Q S) (2.4) esta ecuacin expresa el hecho
de que la adicin de vectores es aso- ciativa. Es importante
recordar que ya se demostr que la suma vec- torial de dos vectores
es tambin conmutativa, por lo que se escribe P Q S (P Q) S S (P Q)
S (Q P) S Q P (2.5) Esta expresin, junto con otras que pudieran
obtenerse en la misma forma, muestra que el orden en que se sumen
varios vectores no im- porta (figura 2.12). Producto de un escalar
y un vector. Como es conveniente representar la suma P P como 2P, a
la suma P P P como 3P, y en general a la suma de n vectores P
iguales como el producto nP, se definir el producto nP de un entero
positivo n y un vector P, co- mo un vector que tiene la misma
direccin que P y magnitud nP (la- se n veces P). Al ampliar esta
definicin para incluir a todos los esca- lares y si recordamos la
definicin de un vector negativo dada en la seccin 2.3, se define el
producto kP de un escalar k y un vector P co- mo un vector que
tiene la misma direccin y sentido que P (si k es po- sitivo), o la
misma direccin pero sentido opuesto al de P (si k es ne- gativo) y
una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k
(figura 2.13). 2.5. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES
Considrese una partcula A sujeta a varias fuerzas coplanares, es
de- cir, a varias fuerzas contenidas en el mismo plano (figura
2.14a). Co- mo todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son
concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas que actan
sobre A pueden su- marse con la regla del polgono (figura 2.14b).
Puesto que el uso de la regla del polgono es equivalente a la
aplicacin repetida de la ley del paralelogramo, el vector R
obtenido representa la resultante de las fuer- zas concurrentes que
intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre
la partcula A que las fuerzas dadas. Como se in- Figura 2.10 Figura
2.9 Figura 2.11 Figura 2.12 Figura 2.13 A P Q S P + Q P + Q + S P Q
S P + Q + S A A P Q S Q + S P + Q + S P P Q Q S S P + Q + S = S + Q
+ P A P 1.5 P 2 P 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09
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46. dic antes, no importa el orden en el que se sumen los
vectores P, Q y S que representan las fuerzas sobre la partcula.
2.6. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES Se ha visto que
dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula pue- den sustituirse
por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partcula.
De la misma manera, una sola fuerza F que acta so- bre una partcula
puede reemplazarse por dos o ms fuerzas que pro- duzcan juntas el
mismo efecto sobre la partcula. A estas fuerzas se les llama
componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas
en lugar de F se le llama descomposicin de la fuerza F en sus
compo- nentes. En este sentido, para cada fuerza F existe un nmero
infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos
componentes P y Q son los ms importantes en cuanto a aplicaciones
prcticas se refiere. Pero aun en este caso, el nmero de formas en
las que una fuerza F puede descomponerse en sus componentes es
ilimitado (figura 2.15). Dos casos son de especial inters: 1. Una
de las dos componentes, P, se conoce. La segunda com- ponente, Q,
se obtiene aplicando la regla del tringulo y uniendo la punta de P
a la punta de F (figura 2.16); la magnitud, la direccin y el
sentido de Q se determinan grficamente o por trigonometra. Una vez
que Q se ha determinado, ambas componentes P y Q deben aplicarse en
A. 2. Se conoce la lnea de accin de cada una de las componentes. La
magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la
ley del paralelogramo y trazando lneas, por la pun- ta de F,
paralelas a las lneas de accin dadas (figura 2.17). De esta forma
se obtienen dos componentes bien definidas P y Q, que pueden
determinarse grficamente o por trigono- metra aplicando la ley de
los senos. Pueden encontrarse muchos otros casos; por ejemplo,
cuando la direccin de una de las componentes se conoce y se busca
que la mag- nitud de la otra sea lo ms pequea posible (vase
problema resuelto 2.2). En todos los casos se traza un tringulo o
un paralelogramo ade- cuado que satisfaga las condiciones. Figura
2.14 Figura 2.15 Figura 2.16 Figura 2.17 A A P P Q Q S S a) R b) A
A A P P P Q Q Q F F F a) b) c) A P Q F A P Q F 2.6. Descomposicin
de una fuerza en sus componentes 21
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47. PROBLEMA RESUELTO 2.1 Las dos fuerzas P y Q actan sobre el
perno A. Determnese su resultante. SOLUCIN Solucin grfica. Dibuje a
escala un paralelogramo con lados iguales a P y Q. La magnitud y la
direccin de la resultante se miden y se encuen- tra que son R 98 N
35 R 98 N a35 Tambin puede usarse la regla del tringulo. La