MECANICA DE FLUIDOS. – FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL Primera evaluación. Solución
Problema 1.- Entra aire a una tobera a 0.2 MPa, 350 K, y velocidad de 150 m/s. Considere flujo isentrópico y determine la presión y la temperatura del aire en la posición donde la velocidad del aire es igual a la del sonido. ¿Cuál es la razón del área en esta posición al área de la entrada?
p1= 200 kPa
T1= 350 K
V1=150m/s
Para el aire: R= 287 J/kg.K; k =1,4 Hipótesis: i) Flujo permanente ii) Flujo isentrópico en la tobera. iii) Gas ideal
Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2 (1)
Ecuación de continuidad
𝑝1𝐴1 − 𝑝2𝐴2 = 𝜌1𝑉1𝐴1(𝑉2 − 𝑉1) (2)
Primera ley de la termodinámica
0
2
11
2
22
22h
Vh
Vh h02=h01 (3)
Ecuación del gas ideal
p= 𝜌𝑅𝑇 (4)
Calculo de M1; T01 y p01
𝑀1 =𝑉1
𝑐1=
𝑉1
√𝑘𝑅𝑇1
=150
√1.4 ∙ 287 ∙ 350= 0.4
𝑇01 = 𝑇1 (1 +𝑘 − 1
2𝑀1
2) = 350 (1 +1.4 − 1
20.42) = 361.2𝐾
𝑝01 = 𝑝1 (1 +𝑘 − 1
2𝑀1
2)
𝑘𝑘−1
= 200 (1 +1.4 − 1
20.42)
1.41.4−1
= 223.31𝑘𝑃𝑎
Calculo de la temperatura, T2 .- Por tratarse de un flujo adiabático, de la ecuación (3) se tiene que para calores específicos constantes: T01=T02. Entonces como el flujo, en esta sección, es sónico M2=1, T2 se puede calcular a partir de
𝑇2 =𝑇02
(1 +𝑘 − 1
2𝑀2
2)=
361.2
(1 + 0,2 ∗ 12)= 301.0 𝐾
Calculo de la presión p2
Como es un flujo isentrópico p01 = p02; entonces la presión será:
𝑝2 =𝑝02
(1 +𝑘 − 1
2𝑀2
2)
𝑘𝑘−1
=223.31
(1 + 0,2 ∗ 12)1.4
1.4−1
= 118.0 𝑘𝑃𝑎
La razón de áreas A2/A1; se calcula a partir de la ecuación (1), combinándola con la ecuación del gas ideal (4).
𝐴2
𝐴1=
𝜌1𝑉1
𝜌2𝑉2=
𝑝1
𝑝2
𝑇2
𝑇1
𝑉1
𝑉2
La velocidad (sónica) en la sección 2, será:
𝑉2 = 𝑐2 = √𝑘𝑅𝑇2 = √1.4 ∙ 287 ∙ 301 = 347.8 𝑚/𝑠
Finalmente:
𝐴1
𝐴2=
𝑝1
𝑝2
𝑇2
𝑇1
𝑉1
𝑉2=
200 ∙ 301 ∙ 150
117.97 ∙ 350 ∙ 347.8= 0.629
* Obsérvese que no fue necesario utilizar la ecuación de cantidad de movimiento (2).
1 2
M2=1
p2 =?
T2 =?
A2/A1 =?
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Problema 2.- Se aproxima aire a una onda de choque normal a V1= 951 m/s, con T01=700 K y p1= 125 kPa (abs); M1=3.0. Aguas debajo de la onda de choque, p2=1.29 MPa(abs). Determine la velocidad y la temperatura aguas abajo. Muestre los puntos de estado estático y de estancamiento, así como el proceso sobre un diagrama T-s. Análisis
Para el aire: R= 287 J/kg k ; k=1.4; cp=1.0 kJ/kgK Hipótesis: i) Consideramos el aire como gas ideal ii) Flujo permanente iii) Flujo adiabático, irreversible y sin fricción en la
onda de choque.
Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1 = 𝜌2𝑉2 (1)
Ecuación de cantidad de movimiento.
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) (2)
Primera ley de la termodinámica:
0
2
11
2
22
22h
Vh
Vh T02=T01=T0 (3)
Ecuación del gas ideal p= 𝜌𝑅𝑇 (4)
-----------------------------------------------------------------------------------
Cálculos preliminares: con las condiciones antes de la onda de choque, conocidas, se puede calcular la temperatura estática T1 y la velocidad V1 en la sección 1, que serán muy útiles en los cálculos posteriores.
De la relación de temperatura de estancamiento y estática, aplicada en la sección 1, se tiene:
𝑇1 =𝑇01
(1 +𝑘 − 1
2 𝑀12)
=700
(1 +1.4 − 1
23.02)
= 250𝐾
A partir de la definición de número de Mach, calculamos la velocidad antes del choque:
𝑉1 = 𝑐1𝑀1 = √𝑘𝑅𝑇1𝑀1 = √1.4 ∙ 287 ∙= 951𝑚/𝑠
De la ecuación del gas ideal (4)
𝜌1 =𝑝1
𝑅𝑇1=
125
0.287 ∙= 1,74 𝑘𝑔/𝑚3
Cálculo de V2 Con la ecuación (2) y con los datos conocidos de las secciones 1 y 2, se puede calcular la velocidad después de la onda de choque.
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) → 𝑉2 = 𝑉1 +𝑝1 − 𝑝2
𝜌1𝑉1= 𝑉1 +
(125 − 1290)
1.74 ∙ 951= 247.5 𝑚/𝑠
Cálculo de T2 Usamos la ecuación (3) –segunda ley de la termodinámica- para calcular la temperatura después del choque.
ℎ0 = ℎ2 +𝑉2
2
2 → 𝑇2 = 𝑇0 −
𝑉22
2𝑐𝑝 = 700 −
247.52
2 ∙ 1000= 670 𝐾
Para dibujar el diagrama T-s de las condiciones de estado antes y después de la onda de choque, es necesario
calcular las presiones de estancamiento p01 y p02, usamos para ello la relación p0/p=(1 +𝑘−1
2𝑀2 )
𝑘
𝑘−1
𝑝01 = 125 (1 +1.4 − 1
232)
1.41.4−1
= 4.59 𝑀𝑃𝑎
𝑀2 =𝑉2
𝑐2=
𝑉2
√𝑘𝑅𝑇2
=247.5
√1.4 ∙ 287 ∙ 670= 0.48
𝑝02 = 1290 (1 +1.4 − 1
20.482)
1.41.4−1
= 1.51𝑀𝑃𝑎
1
T01= 700 K p1 = 125 kPa M1=3.0
2
p2=1.29MPa
V2=?
T2=?
T1=250
T2=670
T0=700
T [K] p01
p1
p2
p02
s1 s2
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Problema 3.- Entra aire a un ducto rectangular a P1= 420 kPa, T1= 300 K y M1 =2. El aire se enfría a razón de 55 kJ/kg mientras que fluye a través del ducto. Desprecie las pérdidas por fricción y determine la temperatura y el número de Mach a la salida del ducto. ANALISIS
Para el aire: R= 287 J/kg k ; k=1.4; cp=1.005 kJ/kgK Hipótesis: i) Consideramos el aire como gas ideal ii) Flujo permanente iii) Flujo sin fricción.
Ecuaciones fundamentales de flujo.- para las hipótesis planteadas las ecuaciones de flujo se pueden escribir así; Ecuación de continuidad: 𝜌1𝑉1 = 𝜌2𝑉2 (1)
Ecuación de cantidad de movimiento.
𝑝1−𝑝2 = 𝜌1𝑉1(𝑉2 − 𝑉1) (2)
Primera ley de la termodinámica:
01022
21
12
22
2hh
Vh
Vhq
(3)
Ecuación del gas ideal p= 𝜌𝑅𝑇 (4)
En este problema aplicaremos una estrategia distinta a la de relacionar sólo las secciones inicial y final del volumen de control mediante las ecuaciones de flujo, involucraremos a la sección en la que el flujo se bloquea, es decir la sección en la que el número de Mach alcanza su valor crítico, M=1, como medio de relacionar las condiciones de flujo en 1 con las condiciones de flujo en la sección 2. Así:
Con los datos de entrada calculamos la temperatura de estancamiento, T01,
𝑇01 = 𝑇1 (1 +𝑘 − 1
2𝑀1
2) = 300 (1 +1.4 − 1
222) = 540.0𝐾
Con T01 y de la ecuación (3), primera ley, para calores específicos constantes, se puede calcular la temperatura de estancamiento en la sección 2.
−𝑞 = ℎ02 − ℎ01 = 𝑐𝑝(𝑇02 − 𝑇01) → 𝑇02 = 𝑇01 −𝑞
𝑐𝑝= 540 −
55
1= 485.0𝐾
Reescribiendo la ecuación (2) y combinándola con la ecuación (4) y la definición de número de Mach, para una sección genérica con: Mach M, temperatura T, presión p, densidad ρ y velocidad v, se obtiene:
𝑝 − 𝑝∗ = 𝜌𝑉(𝑉∗ − 𝑉) = 𝜌∗(𝑉∗)2 − 𝜌𝑉2 = 𝜌∗𝑘𝑅𝑇∗ − 𝜌𝑘𝑅𝑇𝑀2
𝜌𝑅𝑇 − 𝜌∗𝑅𝑇∗ = 𝜌∗𝑘𝑅𝑇∗ − 𝜌𝑘𝑅𝑇𝑀2 → 𝜌∗𝑇∗
𝜌𝑇=
1 + 𝑘𝑀2
1 + 𝑘 (5)
De la ecuación de continuidad:
𝜌∗
𝜌=
𝑉
𝑉∗=
𝑀𝑐
𝑐∗= 𝑀 (√
𝑇
𝑇∗) (6)
Combinando (5) y (6)
𝑇∗
𝑇= [
1 + 𝑘𝑀2
(1 + 𝑘)𝑀]
2
(7)
Ahora aplicamos la formula (7) a la sección (1) y calculamos T*
𝑇∗ = 𝑇1 [1 + 𝑘𝑀1
2
(1 + 𝑘)𝑀1
]
2
= 300 [1 + 1.4 ∙ 22
(1 + 1.4) ∙ 2]
2
= 567𝐾
Aplicando nuevamente la ecuación (7) ahora la sección 2, con T* conocido, calculamos T2
𝑇2 = 𝑇∗ [(1 + 𝑘)𝑀2
1 + 𝑘𝑀22 ]
2
𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑇2 =𝑇02
1 +𝑘 − 1
2 𝑀22
De donde
𝑇02
𝑇∗=
485
567= [
(1 + 𝑘)𝑀2
1 + 𝑘𝑀22 ]
2
(1 +𝑘 − 1
2𝑀2
2) → 0.855 = [2.4𝑀2
1 + 1.4𝑀22]
2
(1 + 0.2𝑀22) (8)
Resolviendo la última ecuación se tiene M2 ≈2.48
1
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Ahora podemos calcular la temperatura T2,
𝑇2 =𝑇02
1 +𝑘 − 1
2𝑀2
2=
485
1 + 0,2 ∗ 2.48^2= 218 𝐾
Nota: este problema se puede también resolverse mediante el uso de tablas.