S rioE i r l ev i d oi c ta U IE SD DD L ASV S O NV R IA E P A C

Ag a e Z riu ri l n eb z a tp t E S A H R IO U IE T IA E U K L E RK NB R ST T A

Mecnica de Fractura

Mecnica de FracturaJos Luis Arana Javier Jess Gonzlez

eman ta zabal zazu

Universidad del Pas Vascoservicio editorial

Euskal Herriko Unibertsitateaargitalpen zerbitzua

CURSOS de Derechos Humanos de Donostia-San Sebastin / Volumen I : San Sebastin, 22 de abril de 1998 Bilbao: Servicio Editorial. Universidad del Pas Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea, 1999. 000 p. ; 24 cm. (Derecho) D.L.: BIISBN: 841. Europa - Religin. 2. Libertad religiosa - Europa. 3. Tratado de la Unin Europea (1992) 342.731(4) 341.17(4)

Servicio Editorial de la Universidad del Pas Vasco Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua ISBN: 84-8373-455-9 Depsito legal/Lege gordailua: BI - 2.150-02 Fotocomposicin/Fotokonposizioa: Ipar, S. Coop. Particular de Zurbaran, 2-4 - 48007 Bilbao Impresin/Inprimatzea: Itxaropena, S.A. Araba Kalea, 45 - 20800 Zarautz (Gipuzkoa)

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ndice

Tema 1. Introduccin y Revisin Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La rotura frgil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antecedentes histricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Los Buques Liberty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Accidentes Actuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. La historia de la Mecnica de Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. La Armonizacin con la Deformacin Plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tema 2. Mecanismos de Fractura Elstica Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El balance de energa de Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Placa sin grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Placa con grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Energa superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Anlisis atmico de la Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modificacin de la ecuacin de Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La tasa de liberacin de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La inestabilidad de la curva R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. La forma de la curva R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Control de la carga vs. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tema 3. Planteamiento Tensional de la Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 15 15 16 19 20 22 25 25 25 28 29 30 31 33 35 39 42 43 43 47 47 9

3.2. La funcin de tensin de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. El factor de intensidad de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Relacin con la Tasa de Liberacin de Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Placa Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Principio de Superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. La plasticidad en el frente de grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 3.4.4. La Correccin de Irwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La Correccin de Dugdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparacin de las Correcciones de la Zona Plstica . . . . . . . . . . . . . Forma de la Zona Plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 49 54 55 59 62 63 67 69 70 73 76 78 83 83 83

3.5. Tensin Plana versus Deformacin Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Efecto del Espesor en la Resistencia a la Fractura Frgil . . . . . . . . . . 3.5.2. Condiciones de Tensin Plana y Deformacin Plana . . . . . . . . . . . . . . Tema 4. Metodologa Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Medida de la tenacidad en rgimen elstico lineal y condiciones de deformacin plana y carga esttica (KIC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.2.5. 4.2.6. 4.2.7. 4.2.8. 4.2.9.

Probeta de flexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Probeta de traccin compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Dimensiones de la Probeta a Ensayar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Orientacin del Plano de Agrietamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Caractersticas Exigidas a la Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Realizacin del Ensayo de Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Clculo e Interpretacin de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Discusin sobre la Aplicabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Evaluacin de la Tenacidad en Condiciones Dinmicas . . . . . . . . . . . 104

Tema 5. Mecnica de Fractura Elasto-Plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2. El desplazamiento de la Apertura del Frente de Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1. Determinacin de la Apertura del Frente de Grieta CTOD . . . . . . . . . 110 5.2.2. Diseo Basado en el Parmetro CTOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.3. La Integral J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 10 Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definicin de la Integral J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos o Singularidad HRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medida Experimental de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 118 120 125 130 132 135 136

Relacin entre J y CTOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas R de resistencia del material en Fractura Elasto-Plstica . . . . . . . . . . Clculo de J con grieta creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensayos de tenacidad a fractura para caracterizar JIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tema 6. Comportamiento en Fractura de Materiales Metlicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2. Fractura por Clivaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.1. Fractografa del Clivaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2.2. Iniciacin del Clivaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3. Fractura Dctil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1. Crecimiento Dctil de la Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4. Transicin Dctil-Frgil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5. Agrietamiento intergranular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Tema 7. Comportamiento en Fractura de Polmeros y Cermicas . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2. Polmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5. 7.2.6. Comportamiento Viscoelstico y Viscoplstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plastificacin Generalizada y Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluencia Tangencial y Crazing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamiento en el Fondo de Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fractura Viscoelstica de los Polmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plsticos Reforzados con Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 165 166 169 171 173

7.3. Cermicos y compuestos de matriz cermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Tema 8. Fatiga de Materiales. Aplicacin de la Mecnica de Fractura . . . . . . . . . . . . 181 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proceso general de fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagacin de grietas por fatiga en regimen elstico, Ley de Paris . . . . . . . . Lmites de validez de la ecuacin de propagacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 183 184 187

8.4.1. Fase I: Propagacin en Planos de Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.4.2. Fase II: Crecimiento con Estras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.4.3. Fase III: Propagacin Final de Grietas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.5. Fatiga de polmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.6. Medida del Crecimiento de Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.6.1. Efecto de R en el Crecimiento de Grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.6.2. Efecto de R en Kth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.7 Clculo de la vida a fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Tema 9. Corrosin bajo Tensin, Corrosin Fatiga. Aplicacin de la Mecnica de Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.2. Mecanismos de iniciacin y avance de la CBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.3. Propagacin sub-crtica de grietas, KISCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11

9.4. Ensayos de caracterizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.4.1. Las Probetas de CBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.4.2. Determinacin de KISCC por el mtodo de detencin de la fisuracin . . 212 9.4.3. Determinacin de KISCC por la iniciacin de la fisura . . . . . . . . . . . . . . 215 9.5. Diseo y seguridad en CBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.6 Corrosin-Fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.6.1. Relacin entre CF y CBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.7 La Mecnica de Fractura en el anlisis de CF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.7.1. El Efecto de la Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Tema 10. Aplicaciones de la Mecnica de Fractura. Resistencia a Fractura . . . . . . . . 225 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseo frente a Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fractura frente a Plastificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterio de Fuga frente a Rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseo y seleccin de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 228 232 235 237

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 ndice Temtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12

Tema 1

Introduccin y Revisin Histrica

1.1. Introduccin Este libro se ha preparado pensando en que sirva de texto para la enseanza de la asignatura de Mecnica de Fractura. Aunque esta materia ha estado presente en los ltimos aos en la formacin de las Escuelas de Ingeniera: Industriales, Caminos, Navales y Aeronuticos, y en la actualidad un gran nmero de componentes de obra civil, aeronutica, plataformas off-shore y recipientes a presin se disean y analizan con criterios de Mecnica de Fractura, la nueva carrera de segundo ciclo de Ingeniero de Materiales contiene esta asignatura especfica enfocada al conocimiento de las bases tericas de la Mecnica de Fractura y al anlisis de las aplicaciones ingenieriles ms importantes y hemos pensado preparar un texto especfico para esta enseanza. La Mecnica de Fractura se ha impulsado desde los materiales metlicos, tradicionales de ingeniera, que siendo magnficos para la construccin de componentes de mquinas y como elementos estructurales, han dado a lo largo de su historia importantes roturas frgiles, que han obligado al estudio y modelizacin de su comportamiento. En la nueva Titulacin de Ingeniera de Materiales tambin se incluyen los materiales naturales como la madera, la piedra y la arcilla, como los petreoartificiales y cermicos: hormigones, ladrillos, refractarios y los polimricos y compuestos que tambin son objeto de estudio. Este libro resultar de especial inters para todos los Ingenieros que deseen tener una introduccin al conocimiento fundamental y aplicado de esta interesante disciplina. Este campo de trabajo ha llegado a ser de gran importancia en la comunidad ingenieril ya que permite aumentar la seguridad de los diseos de estructuras y componentes de todo tipo en la industria, adems de permitir el anlisis y control de componentes estructurales. Para el correcto entendimiento de la Mecnica de Fractura es necesario e imprescindible una base razonable que cubra suficientes conocimientos de las materias clsicas de Geometra y Matemticas: anlisis vectorial, tensional, clculo diferencial e integral. De especial importancia es el conocimiento la Mecnica general en los temas tradicionales como son el anlisis de los efectos de los13

esfuerzos o cargas sobre los cuerpos, y los temas referentes al slido deformable, tratados en la Mecnica de Medios continuos: elasticidad, plasticidad y resistencia de materiales y la Termodinmica. En cuanto a las propiedades y el comportamiento mecnico de los materiales es necesario conocer bien las propiedades elsticas, plsticas, viscoelsticas y viscoplsticas, con un conocimiento preciso del diagrama de tensin-deformacin. Finalmente se supone que el lector debe estar familiarizado con los ensayos clsicos de resistencia al impacto, particularmente el ensayo Charpy realizado a varias temperaturas, que sigue utilizndose masivamente como ensayo cualitativo. Una vez ms, vamos a modelizar lo que sucede en la naturaleza (fluidos y geotecnia) o en los materiales artificiales, como es el caso de los polmeros, las aleaciones metlicas, los vidrios, etc., mediante ecuaciones matemticas y modos lgicos. Este intento de modelizacin es muy interesante pero el xito obtenido es siempre relativo. 1.2. El Programa Despus del Tema 1 introductorio, donde tambin se incluyen los antecedentes histricos de esta materia, en el Tema 2 se estudia la mecnica de fractura elstica lineal, que incluye el balance de energa de Griffith y el anlisis atmico de la fractura, con la modificacin de la ecuacin de Griffith que permite conocer la tasa de liberacin de energa y la curva R, analizando su forma y control de la carga vs. desplazamiento. En el Tema 3 se estudia el planteamiento tensional de la fractura; el conocimiento de la funcin de tensin de Airy para poder introducir el factor de intensidad de tensiones. Como complemento en este captulo se ve la relacin con la tasa de liberacin de energa y algunos aspectos prcticos como el principio de superposicin. La plasticidad en el frente de grieta, la correccin de Irwin, la correccin de Dugdale y la comparacin de las correcciones de la zona plstica. La forma de la zona plstica y la comparacin de la situacin de tensin plana versus deformacin plana se estudian a continuacin con el efecto del espesor en la resistencia a la fractura frgil. El Tema 4 contempla la metodologa experimental de la medida de la tenacidad en rgimen elstico lineal y condiciones de deformacin plana y carga esttica (KIC). Se estudian las dimensiones de la probeta a ensayar, la orientacin del plano de agrietamiento, las caractersticas exigidas a la grieta y la realizacin del ensayo de fractura con el clculo, interpretacin de los resultados y discusin sobre su aplicabilidad. En la ltima parte de este tema se contempla la evaluacin de la tenacidad en condiciones dinmicas. El Tema 5 corresponde a la mecnica de fractura elsto-plstica, estudiando el desplazamiento de la apertura del frente de grieta y la determinacin de la apertura del frente de grieta CTOD con el diseo basado en el parmetro CTOD. La segunda parte de este tema estudia la integral J con los principios y la definicin de la integral J, los campos o singularidad HRR y la medida experimental de J. Para terminar el tema incluye la relacin entre J y CTOD, las curvas R de14

resistencia del material en fractura elsto-plstica y el clculo de J con grieta creciente. En la segunda parte que comprende los Temas 6 a 10 se presentan las aplicaciones de la Mecnica de Fractura, particularmente el estudio de la fatiga y la corrosin bajo tensin utilizando los criterios y herramientas de la Mecnica de Fractura.

1.3. La rotura frgil En trminos generales, decimos que un material es frgil, si no podemos realizar una deformacin apreciable sin provocar su rotura. Esto no implica necesariamente que su resistencia a la rotura sea dbil, (entendiendo por resistencia, la que normalmente definimos en el ensayo de traccin o de compresin, como resultado de la tensin mxima que puede soportar un material justamente antes de la rotura); sino ms bien lo contrario, ya que de hecho los materiales cermicos y ptreos de gran dureza presentan una rotura frgil, como es bien conocido, y algunos de los tratamientos endurecedores de los materiales se acompaan a menudo de un alto grado de fragilidad. Esta definicin no es precisa en absoluto, sino incompleta ya que la ductilidad (propiedad inversa de la fragilidad) depende de las condiciones a las cuales el material se ha deformado, es decir es necesario definir: temperatura a la que se ha deformado el material y la velocidad de dicha deformacin. La fractura frgil es un tipo de fallo, generalmente de los materiales estructurales, que normalmente se produce sin una deformacin plstica previa y a velocidades enormemente elevadas, del orden de 2000 m/s en los aceros por ejemplo. La fractura se caracteriza generalmente por una hendidura con superficie plana con mnimos labios de deformacin plstica. Las fracturas frgiles no son tan comunes como las de fatiga o de plastificacin generalizada, pero cuando ocurren, son generalmente catastrficas y suponen importantes costos en daos materiales y desgraciadamente tambin a veces en vidas humanas. Recientes estudios econmicos en diversos pases revelan que el coste anual estimado de los casos de fractura de componentes, alcanza aproximadamente el 4% de Producto Interior Bruto de un Pas; es decir en Espaa alcanzara un coste anual de 2500 M.

1.4. Antecedentes histricos A lo largo de los aos la aplicacin de los materiales en el diseo ingenieril ha dado origen a no pocos problemas y dificultades. En la Edad de Piedra los problemas ms importantes derivaban de la dificultad en el conformado de los materiales. En los primeros tiempos de la Edad de Bronce y en la Edad de Hierro las dificultades eran tanto de produccin de los materiales como de conformacin. Durante muchos siglos el conformado de los metales fue una tarea extre15

madamente laboriosa y costosa, para su utilizacin en armamento y en defensas blicas, herramientas y ornamentos. Con el desarrollo del conocimiento en el procesado se aument progresivamente el uso de los metales en las estructuras, junto a la madera, pero ello origin que a veces las estructuras no se comportaran satisfactoriamente y se producan fallos inesperados, particularmente en ingenios armamentsticos y elementos blicos de defensa. Tambin son notables en esta poca los problemas derivados de roturas catastrficas en uniones de estructuras de madera. El diseo de estructuras para evitar la fractura no es una idea nueva; recordemos las disposiciones de Julio Cesar en el segundo libro de La Guerra de las Galias para evitar la fractura de las fortificaciones, y las innumerables estructuras erigidas por los Faraones del antiguo Egipto, con la idea de la perpetuacin. En nuestra vieja Europa muchos puentes y edificios construidos durante el Renacimiento estn todava en perfecto uso. Los problemas que se han producido en la sociedad como consecuencia de la fragilidad de los materiales, no son recientes y de hecho aparecen las primeras observaciones sobre la prdida de plasticidad por efecto del fro en los trabajos realizados por ingenieros a mediados del siglo XIX. A partir de esta poca, en particular con la aparicin de las estructuras soldadas, se produjeron un gran nmero de accidentes espectaculares. Los ladrillos y el mortero son materiales relativamente frgiles y no son adecuados para soportar cargas de traccin, por ello las estructuras fabricadas durante la poca previa a la Revolucin Industrial se diseaban bsicamente para soportar esfuerzo de compresin y uno de los mejores ejemplos es el arco que tantas veces hemos visto en nuestros puentes romanos. El cambio de ladrillos y mortero a estructuras de acero, trabajando a traccin, gener muchos problemas, ya que ocasionalmente se produjeron roturas que aparecan como fallos a tensiones bastante menores que los lmites utilizables de los aceros estructurales empleados. La causa de los fallos, fue un misterio para el estado del conocimiento de la poca y de hecho en la primera edicin del tratado de elasticidad de Love1, publicado en 1944, se indicaba que las condiciones de rotura eran vagamente entendidas y consecuentemente los ingenieros aplicaban coeficientes de seguridad de 10 o ms en un intento de evitar este tipo de fallos. El caso de la Industria Naval ha sido de particular inters en el desarrollo de la Mecnica de Fractura, como consecuencia de la gran concentracin de accidentes acaecidos entre los aos 40 y 50. 1.4.1. Los Buques Liberty El problema de la fractura frgil se hizo particularmente notable como consecuencia de los fallos en la construccin de buques durante la Segunda Guerra Mundial, un problema que puso a prueba a la profesin ingenieril.

1 LOVE A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Dover Publications. New York, 1944.

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Como consecuencia de la necesidad urgente de buques, los astilleros navales americanos, decidieron adoptar la tcnica de fabricacin, mucho ms rpida, de cascos de buque enteramente soldados, bajo la direccin de Henry Kaiser, un famoso ingeniero, quien desarroll un revolucionario procedimiento para la construccin rpida de buques. Estos buques fueron conocidos con el nombre de Liberty y se fabricaban mediante soldadura, como novedad frente a la tecnologa tradicional de construccin roblonada. Se fabricaron en torno a 3000 buques Liberty y 500 petroleros T2, todos ellos soldados. De los 4694 buques mercantes construidos durante la segunda guerra mundial, 1289 presentaron roturas importantes, 233 presentaron roturas frgiles graves y 12 de estos ltimos se rompieron espectacularmente en dos partes. La mayor parte de las fracturas en los Liberty empezaban en las escotillas que presentaban importantes concentraciones de tensiones en situaciones lmite de esfuerzos cortantes. Se realizaron cambios en el diseo, producindose inmediatas reducciones en la incidencia de fallos. Muchas de las fracturas de los petroleros T2 tenan localizado su origen en soldaduras a tope, de forma que se hicieron cambios en el diseo, pero tambin se observaron importantes incidencias atribuidas a la calidad del acero como factor primordial en la fractura frgil observada en los buques soldados. Algunos de estos barcos se rompieron en los muelles, sin ninguna sobrecarga, simplemente por la accin del fro. La Figura 1.1 representa la rotura del petrolero Schenectady, ejemplo de una rotura que tuvo lugar una noche de invierno y de hecho las estadsticas de incidentes recogen entre los accidentes ocurridos entre Octubre de 1941 y Mayo de 1942, 38 casos se produjeron en los meses de invierno de Diciembre y Enero y solamente 20 casos en el conjunto de los otros seis meses y uno de ellos solamente en los meses de Abril a Mayo.

Figura 1.1 Rotura del petrolero Schenectady 17

El acero en cuestin haba sido adecuado por muchos aos para la construccin de buques roblonados, pero no era adecuado para responder a las nuevas tecnologas de soldadura. En el ao 1947 la sociedad naval de clasificacin American Bureau of Shipping (ABS) introdujo importantes restricciones en las especificaciones de composicin qumica de los aceros y en el ao 1949, la sociedad de clasificacin inglesa Lloyds Register (LR) estableci la aprobacin 2 previa del acero a utilizar en la construccin de buques, total o parcialmente soldados. Afortunadamente, gracias a todas estas medidas, este tipo de fallos se han convertido en historia, aunque lgicamente se siguen produciendo en menor medida. Entre 1960 a 1965 se han registrado 10 casos publicados, aparte de los casos no publicados y ms recientemente tambin se siguen produciendo, y como ejemplo tenemos en la Figura 1.2 el buque MV Kurdistan, que se fractur en el ao 1979, segn el informe de la Divisin Marina del LR, que informa que en el perodo desde 1986 a 1995, solamente se han producido cinco incidentes en los buques de ms de 90 m de eslora, clasificados por LR, que corresponde a una tasa de incidencias del 1 por 10.000.

Figura 1.2 Seccin de rotura del MV Kurdistan (Lloyds Register)

2 When the main structure of ship in intended to be wholly or partially welded, the committee may require parts of primary structural importance to be steel, the properties and process of manufacture of which have been specially approved for this purpose. LR, 1949.

18

1.4.2. Accidentes Actuales Actualmente los accidentes ms importantes han acaecido en puentes, plataformas petrolferas, oleoductos, recipientes a presin, turbogeneradores elctricos, fuselaje de aviones. Como ejemplo tenemos en la Figura 1.3 la fractura de la chapa de aluminio del ala de una jet de pasajeros.

Figura 1.3 Fractura de la chapa del ala de un jet de pasajeros

A mediados de los aos 50 dos aviones Comet De Havilland fallaron catastrficamente a elevada altitud y las investigaciones exhaustivas llevadas a cabo, revelaron que los fallos se originaron a partir de grietas de fatiga muy pequeas cerca de las aberturas de las ventanas en el fuselaje. Otros numerosos fallos en la industria aeronutica, en relacin con los trenes de aterrizaje, y en los motores se han atribuido a fatiga y a corrosin bajo tensin y en el caso de los fallos del F-111 se dedujo que las fracturas frgiles se deban a la presencia de grietas preexistentes. Los fallos en el perno del motor de los DC-10 que ocasionaron varios accidentes aeronuticos catastrficos y el espectacular accidente del trasbordador espacial Challenger del ao 1986 son algunos de los ltimos ejemplos de accidentes actuales. En la Figura 1.4 se puede ver el fallo en el tren de aterrizaje de un avin de pasajeros que ocurri en 2001, como consecuencia de la fractura del eje. En el momento actual los sectores industriales afectados directamente son el Energtico y el de Transporte y distribucin de gases, particularmente los gases licuados a muy bajas temperaturas; la industria Naval y Aeronutica ya mencionadas y la Qumica y Petroqumica. De especial inters son las estructuras singulares de Ingeniera Civil, en las que se desarrollan importantes tareas en el diseo y anlisis.19

Figura 1.4 Fallo en el tren de aterrizaje de un avin de pasajeros como consecuencia de la fractura del eje

1.5. La historia de la Mecnica de Fractura Los primeros experimentos en Fractura se deben a Leonardo da Vinci, que nace en el ao 1452 en el pequeo pueblo de Vinci, situado en la orilla derecha del ro Arno, entre Florencia y Pisa. Leonardo proporcion varias reglas que establecan los indicios de la causa de la fractura. Leonardo midi la resistencia de alambres de hierro, que fabricaba en su trefiladora3 y encontr que la resistencia variaba de forma inversa a la longitud de los alambres. Este resultado implicaba que los defectos del material gobernaban la resistencia de los alambres; un alambre ms largo corresponda a un mayor volumen de material y consecuentemente a una mayor probabilidad de encontrar una zona defectuosa del alambre. Aunque estos resultados eran meramente cualitativos, Griffith estableci la conexin entre la fractura y el tamao de los defectos en su primer trabajo publicado en el ao 1920, aplicando el anlisis de tensiones a un agujero elptico, previamente tratado por Inglis siete aos antes. Griffith utiliza el Primer Principio de Termodinmica para formular la teora de la fractura, basada en el balance simple de energa. De acuerdo con esta teora una grieta se hace inestable y se produce la fractura, cuando el cambio de la energa tensional que resulta de un incremento de la grieta es suficiente para superar la energa superficial del material.

3 La trefiladora de Leonardo da Vinci aparece referenciada, con sus correspondientes dibujos, en el Cdice de Madrid I, folio 84 (recto).

20

Griffith estableci un modelo de buena aplicacin para materiales muy frgiles como el vidrio o las materiales cermicos, pero no pudo aplicar su teora a los metales, ya que teniendo en cuenta que el trabajo de fractura proviene exclusivamente de la energa superficial del material, el modelo de Griffith solamente se puede aplicar a slidos idealmente frgiles. La modificacin del modelo de Griffith tuvo que esperar ms de 20 aos para poder ser aplicada a los metales. El nacimiento de la Mecnica de Fractura se debe a un grupo de investigadores del Laboratorio de Investigacin Naval de Washington D.C. que estudiaron el problema de la fractura en detalle. En los aos 50, el Dr. G.R. Irwin lider este grupo de investigacin, que despus de estudiar los trabajos previos de Griffith, Inglis y otros, desarroll un importante trabajo para extender los postulados de Griffith a los metales, incluyendo la disipacin de energa local por flujo plstico local. Independientemente de Irwin, el investigador E. Orowan propuso una modificacin similar a la teora de Griffith y en el mismo periodo N. F. Mott extendi la teora de Griffith a la propagacin rpida de grietas. En el ao 1956, Irwin desarrolla su concepto de la tasa de liberacin de energa, que se relaciona con la teora de Griffith, pero de forma ms til para resolver problemas de ingeniera. Varios colegas de Irwin llamaron su atencin sobre un trabajo de H. M. Westergaard, publicado bastantes aos antes, en 1938, que desarrollaba una tcnica semi-inversa para analizar las tensiones y desplazamientos por delante de una grieta aguda. Irwin utiliza la aproximacin de Westergaard para mostrar que las tensiones y desplazamientos cerca del frente de grieta pueden presentarse mediante una simple constante que est relacionada con la tasa de liberacin de energa. Este interesantsimo parmetro que caracterizaba el frente de grieta result ser el que ms tarde hemos conocido como el factor de intensidad de tensiones. Inmediatamente se produjeron varios xitos en la aplicacin de esta nueva ciencia en el anlisis de varias roturas catastrficas, particularmente en el ao 1956 Wells utiliz la Mecnica de Fractura para explicar los fallos del fuselaje de los aviones Comet, citados anteriormente, como resultado de grietas de fatiga que alcanzaban un tamao crtico. La segunda aplicacin notable de la Mecnica de Fractura tuvo lugar en General Electric en el ao 1957; Winne y Wundt aplicaron la tasa de liberacin de energa de Irwin para explicar el fallo de los rotores de grandes turbinas de gas, llegando incluso a prevenir la fractura en los rotores existentes. Como todas las grandes ideas, la Mecnica de Fractura no fue una excepcin y se produjo un cierto escepticismo y reticencias a la aceptacin de sus postulados por parte de ciertos sectores, pases y algunos centros de enseanza. En 1960, P. C. Paris y sus colaboradores encontraron una gran oposicin al establecer una base para la aplicacin de los principios de la Mecnica de Fractura al anlisis y estudio de la fatiga de los materiales, ya que los ingenieros de diseo no estaban convencidos a abandonar las tpicas curvas S-N para el diseo de los componentes a fatiga. La oposicin fue tan intensa que Paris y sus colegas no consiguieron encontrar una revista tcnica cualificada que les permitiera publicar su manuscrito, optando finalmente por su publicacin en una revista21

peridica de la Universidad de Washington titulada The Trend in Engineering. La Figura 1.5 muestra una rotura por fatiga, que se nuclea y crece en el interior de un cilindro de laminacin, a partir de una inclusin no metlica.

Figura 1.5 Rotura por fatiga, que se nuclea en el interior de un cilindro de laminacin, a partir de una inclusin no metlica

1.5.1. La Armonizacin con la Deformacin Plstica La Mecnica de Fractura Elstica Lineal (MFEL) deja de ser vlida cuando se produce una deformacin significativa previamente al fallo. Durante los aos 1960-61 varios investigadores desarrollaron anlisis para corregir la plastificacin del frente de grieta, incluidos Irwin, Dugdale, Barenblatt y Wells. La correccin de la zona plstica de Irwin fue una extensin relativamente simple de la MFEL. Wells propuso el desplazamiento de las caras de la grieta como un criterio de diseo alternativo cuando se produca una importante plastificacin del frente de grieta. Wells que realiz un ao sabtico en el Laboratorio de Investigacin Naval regres a Inglaterra e intent aplicar la MFEL a los aceros estructurales de bajo y medio carbono. Como estos materiales son muy dctiles para la aplicacin de la MFEL, Wells not que las caras de la grieta se movan aparte con deformacin plstica y esta observacin le permiti desarrollar un parmetro que actualmente es conocido como el desplazamiento de la apertura del frente de grieta (CTOD4).

4

Crack Tip Opening Displacement.

22

En 1968 Rice desarrolla otro parmetro para caracterizar materiales con comportamiento no lineal, idealizando la deformacin plstica como elstica no-lineal. De esta manera establece el parmetro conocido como Integral J, evaluando a lo largo de un contorno arbitrario la tasa de liberacin de energa no-lineal. Los trabajos de Wells fueron relegados al ostracismo hasta que en los aos 70 la Industria Nuclear Norteamericana y particularmente Westinghouse decidieron aplicar el estado del arte a la evaluacin de los componentes crticos de la industria Nuclear y consecuentemente introdujeron la utilizacin de la Mecnica de Fractura. El problema que tuvieron los investigadores Bebley y Landes en 1981 fue que los materiales utilizados en la industria Nuclear eran de extraordinaria tenacidad y resultaba prcticamente imposible su caracterizacin mediante la MFEL, entre otras cosas por el tamao exagerado de las probetas a utilizar. Ante esta situacin desempolvaron el trabajo de Rice, para caracterizar estos materiales de alta tenacidad mediante la Integral J, con gran escepticismo por parte de sus colegas. Sus experimentos fueron tan exitosos que la metodologa empleada se convirti diez aos despus en la Norma ASTM para la determinacin del parmetro J. La caracterizacin de la tenacidad es solamente un aspecto de la Mecnica de Fractura; con objeto de aplicar la Mecnica de Fractura al diseo de componentes, se debe establecer una relacin matemtica entre la tenacidad, el tamao de grieta y las tensiones. A pesar de que estas relaciones estn bien establecidas para los problemas elsticos, hasta el ao 1976 Shih y Hutchinson no proporcionaron un marco terico que permitiera dar coherencia a un anlisis del diseo basado en la integral J. Unos aos ms tarde el Electric Power Research Institute (EPRI) public un libro de diseo, basado en la metodologa de Shih y Hutchinson. Gran Bretaa se encontraba dominada por el inters en el desarrollo de los recursos petrolferos del Mar del Norte y la caracterizacin fractogrfica de componentes, que trabajan con muy altas solicitaciones de seguridad, dadas las caractersticas de bajas temperaturas y de situacin geogrfica de los ingenios para la industria off-shore. En este contexto Wells, que haba retornado de Estados Unidos, continuaba en la aplicacin de su parmetro CTOD para el anlisis de estructuras soldadas. En el ao 1971 F.M. Burdekin y M.G. Dawes aplicaron algunas de las ideas de Wells y desarrollaron la curva de diseo con el parmetro CTOD, que consiste en una metodologa semi-emprica para las estructuras de acero soldadas. En el mismo contexto la industria del petrleo Nrdica adopt el parmetro CTOD como criterio de anlisis y diseo en fractura, para sus importantes explotaciones petrolferas en el Mar del Norte. Shih demostrara ms tarde la relacin entre la integral J y el parmetro CTOD, estableciendo que ambos parmetros son igualmente vlidos para la caracterizacin de la fractura. Los ensayos basados en la integral J en Estados Unidos y los que se han trabajado en Gran Bretaa, basados en CTOD, tienen muchos aspectos en comn y ambos parmetros se estn aplicando actualmente a lo largo del mundo de los materiales. Aunque la mayor parte de los desarrollos y aplicaciones de la Mecnica de Fractura se basaron en los materiales metlicos y preferentemente dentro de es23

tos en los aceros de uso estructural, el cuerpo de doctrina que se ha consolidado en la comunidad ingenieril, se est comenzando a aplicar a los materiales polimricos en los que el comportamiento en fractura tiene caractersticas propias para incluir aspectos tan caractersticos de los plsticos como la viscoelasticidad y la viscoplasticidad. Para terminar esta sntesis, sobre la reciente historia de los desarrollos de la Mecnica de Fractura, es preciso comentar la enorme importancia que tiene actualmente el anlisis por elementos finitos de los componentes estructurales con las potentes herramientas informticas de que disponemos. El anlisis por elementos finitos ha confirmado muchos de los clculos empricos que se haban desarrollado en los aos 50 y 60 y nos permite analizar con rigor las situaciones de cargas y geometras complejas, que no sera posible analizar mediante mtodos simples, convirtindose en una herramienta de ingeniera, complementaria de la Mecnica de Fractura, de gran inters para conocer con rigor los puntos crticos de los componentes estructurales.

24

Tema 2

Mecnica de Fractura Elstica-Lineal

2.1. Introduccin Los conceptos de Mecnica de Fractura, establecidos con anterioridad a 1960, son solamente aplicables a materiales que cumplen la Ley de Hooke. A pesar de las correcciones introducidas a principios de 1948, incluyendo la plasticidad a pequea escala, estos anlisis estn restringidos a estructuras en las que el comportamiento es elstico lineal. Desde 1960, las teoras de mecnica de fractura se han desarrollado teniendo en cuenta varios tipos de comportamiento no-lineal (i.e. plasticidad, viscoplasticidad y viscoelasticidad) as como los efectos dinmicos. No obstante, todos estos resultados recientes son extensiones de la mecnica de fractura elstica lineal (MFEL). Por lo tanto un slido conocimiento de los fundamentos de la MFEL es esencial para entender los conceptos ms avanzados de la Mecnica de Fractura. En primer lugar contemplaremos los antecedentes del planteamiento energtico, llevados a cabo por Inglis (1904) y Griffith (1924) para continuar con el planteamiento energtico ms moderno para los metales. 2.2. El balance de energa de Griffith De acuerdo con el Primer Principio de Termodinmica, cuando un sistema pasa de un estado de no-equilibrio a un estado de equilibrio, se produce una disminucin de la energa del sistema. A partir de este principio, Griffith estudi las condiciones de fractura de cuerpos slidos frgiles con grietas y estableci en el ao 1923 la teora inicial en la que se sustenta la Mecnica de la Fractura. Se puede formar una grieta (o una grieta existente puede crecer) solamente si el proceso origina una disminucin de la energa total o esta permanece constante. La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracin de tensiones en las grietas fue enunciada por Inglis, el cual analiz los agujeros elpticos25

en placas planas. Inglis analiz una placa plana con un agujero elptico, de longitud 2a y de ancho 2b, a la que se le aplica una tensin perpendicular al eje mayor de la elipse (Figura 2.1). Inglis asumi que el agujero no est influenciado por las condiciones de contorno de la placa; i.e. la anchura de la placa >> 2a y la altura >> 2b.

Figura 2.1 Agujero elptico de una placa plana

A partir de este enunciado la tensin en el extremo del eje mayor (Punto A de la Figura 2.1) est dada por: 2a A = 1 + b (2.1)

La relacin A/ se define como el factor de concentracin de tensiones, kt. Cuando a = b, el agujero es circular y en este caso kt = 3, cifra bien conocida y que aparece en gran nmero de manuales.26

Cuando el eje mayor a, aumenta respecto a b, el agujero elptico comienza a tener la apariencia de una grieta aguda. Para este caso, Inglis encontr ms conveniente que la expresin anterior (2.1) una nueva ecuacin en funcin del radio de curvatura : A = 1 + 2 donde: = b2 a (2.3) a (2.2)

Cuando a >> b, la ecuacin (2.2) pasa a ser: A = 2 a (2.4)

Inglis demostr que esta ecuacin (2.4) da una buena aproximacin para la concentracin de tensiones en una placa con una entalla que no es elptica excepto en la punta. Si aplicamos la ecuacin (2.4) a una placa infinita con un radio = 0 resulta un valor de tensin infinito. Este resultado caus un alto grado de preocupacin cuando se descubri, ya que no existe un material capaz de soportar una tensin infinita, de forma que un material que contiene una grieta aguda, tericamente fallara simplemente por la aplicacin de una carga infinitesimal. Esta paradoja anim a Griffith a desarrollar una teora de la fractura basada en la energa en vez de en la concentracin de tensiones. Supongamos una placa de grandes dimensiones (infinita) de espesor B, sometida a una tensin constante , que contiene una grieta pasante de longitud 2a (Figura 2.2). Griffith establece que para que esta grieta introducida en el slido, cargado elsticamente, aumente de tamao, la energa potencial disponible para la propagacin en la placa debe ser suficiente para superar a la energa superficial del material, de forma que se establece un equilibrio entre la disminucin de la energa elstica almacenada en el cuerpo y el incremento de la energa superficial total, como consecuencia de la formacin de la superficie libre de la grieta, de forma que la grieta existente crecer y se producir una fractura si la energa requerida para propagar la grieta (suma del trabajo desarrollado por la tensin aplicada y la energa elstica liberada al extenderse la grieta) puede ser suministrada por el sistema. Pasaremos a evaluar la disminucin de energa elstica en una placa finita con y sin grieta, en un material no dctil, de las siguientes caractersticas: longitud = L0; ancho = W; espesor = B y posteriormente extenderemos el estudio a la placa plana infinita27

Figura 2.2 Placa de grandes dimensiones (infinita), con una grieta pasante de tamao 2a

2.2.1. Placa sin grieta En la placa de la Figura 2.3 sin grieta tenemos:

rigidez ( stiffness); S =

P P = L0 E BW = 1 E L0 BW

flexibilidad (compliance); C =

Figura 2.3 Energa elstica en una placa sin grieta sometida a una tensin 28

UE = Energa elstica total:

1 1 P = ( B W ) L0 2 2

1 2 B W L0 UE = ( B W ) L0 = 2 2E E

(2.5)

2.2.2. Placa con grieta En la placa de la Figura 2.4 con grieta tenemos:

S =

P c

= rigidez menor c P = 1 E 2 a2 L0 + BW W 1

C = flexibilidad =

Figura 2.4 Energa elstica en una placa con grieta sometida a una tensin

Deformacin1;

2 a2 c = 0 ( L0 + L0 ) = 0 L0 + W

(2.6)

1 La demostracin del valor de L ha necesitado resolver los problemas de elasticidad mediante el 0 mtodo de la funcin de tensin, para encontrar una funcin algebraica o trigonomtrica de dos variables (x1, x2 o r, ) que satisfaga las ecuaciones resultantes de las condiciones de contorno que se obtienen. Resulta matemticamente conveniente expresar la funcin de tensin como una funcin de variable compleja de dos variables para resolver este problema. Se puede consultar la pgina 46 y siguientes del libro Fundamentals of Fracture Mechanics de J.F. KNOTT, Editorial Butterworths, London 1973.

29

Energa elstica total: UE = UE = UE = 1 1 P c = ( B W ) L0 + L0 2 2

[(

)]

1 2 a2 2 B = W L0 + 2 a 2 ( B W ) L0 + 2 2E E W

[

](2.7)

2 B W L0 + 2 a 2 B 2E

[

]

U E = U E ,sin fisura +

2 a2 B E

2.2.3. Energa Superficial La energa superficial s (energia/unidad de superficie, constante caracterstica de un slido) se interpreta por el hecho de que los tomos que se encuentran en la superficie de cualquier slido tienen un nmero de tomos vecinos inferior al correspondiente a los tomos interiores. La Figura 5 permite entender la ecuacin del parmetro correspondiente a la energa total superficial.

Figura 2.5 Evaluacin de la energa superficial s

La energa superficial debida a la presencia de la grieta en la placa de la Figura 2.5, ser igual al producto del rea total libre de la grieta por la energa superficial del slido. Es = (2a B) 2 s30

(2.8)

Llamando entonces U0, a la energa del slido sin grieta y U a la correspondiente al mismo cuerpo con grieta, el cambio energtico total lo podemos expresar como sigue: U = U U0 = 2 a2 B + 4 a B s E (2.9)

Condicin de equilibrio energtico durante la rotura: disponible se consume en propagar la grieta

d U = 0 ; la energa da

d U 2 2 a B = + 4 B s = 0 da E

(2.10)

De esta manera llegamos a calcular la tensin de rotura de un slido agrietado: 2 a = 2 s f = E 2 E s a

(2.11)

Por lo tanto, segn el planteamiento de Griffith: f = 2 E s a

(2.12)

2.3. Anlisis atmico de la fractura Los resultados de la ecuacin de Griffith son coherentes con otros trabajos a nivel atmico en los que se calculan las fuerzas de rotura del enlace interatmico. La Figura 2.6 muestra esquemticamente la tensin de enlace en funcin de la distancia de separacin entre tomos. Se necesita una fuerza para incrementar la distancia de separacin desde el punto de equilibrio; esta fuerza tiene que ser mayor que la fuerza cohesiva para romper por completo el enlace. Es posible estimar la resistencia cohesiva, a nivel del enlace atmico, idealizando la relacin fuerza-desplazamiento del enlace interatmico a un semiperiodo de la funcin seno: 2 x = c sen (2.13)31

Figura 2.6 Tensin necesaria para desunir los planos del enlace a una distancia x x0, siendo x0 la distancia de equilibrio para = 0, y l la longitud de la onda de la curva desplazamiento. La fractura se produce para = c

donde la distancia /2 est definida en la Figura 2.6. Si x0 es la distancia de equilibrio de los tomos para = 0, esta tensin seguir la ecuacin del seno para la distancia de separacin de tomos x x0. Para pequeos desplazamientos, la relacin fuerza-desplazamiento es lineal: 2x = c teniendo en cuenta que los desplazamientos siguen la ley de Hooke: = E = x E x0

(2.14)

(2.15)

De esta forma la tensin se obtiene como: c = E 2 x0

(2.16)

asumiendo que /2 es aproximadamente igual que la distancia interatmica. c 32

E

(2.17)

La energa superficial puede estimarse de la siguiente forma: 2 s =/2 0

c sen

2x dx = c

2 s = c

(2.18)

La energa de superficie por unidad de rea s, es igual a la mitad de la energa de fractura porque cuando se rompe el material se crean dos superficies. Sustituyendo la ecuacin (2.16) en la (2.18) obtenemos: s =2 c x0 E

(2.19)

Si hacemos que el radio en el extremo de la grieta , sea del orden de magnitud que x0, y aplicamos el valor de concentracin de tensiones de Inglis, ecuacin (2.4) la tensin de rotura ser entonces: c = 2 a x0 (Inglis)

s = f = 1 2

4 a 2 f E E s a

(2.20)

(2.21)

Este expresin, mucho ms actual (1970) es semejante, aunque no coincide exactamente, a la obtenida de acuerdo al criterio de energa de Griffith, demostrando la coherencia de su trabajo. Recientemente la aplicacin de mtodos numricos por elementos finitos, ha permitido obtener expresiones muy semejantes a las de Griffith que confirman nuevamente la validez de sus postulados. 2.4. Modificacin de la ecuacin de Griffith La ecuacin de Griffith es una condicin necesaria, pero no suficiente para el fallo del material, dado que adems la grieta existente en el slido debe ser lo suficientemente aguda en sus extremos como para crear la concentracin de ten33

siones en su entorno, suficiente para sobrepasar la resistencia cohesiva del material (fuerzas de enlace interatmicas), de forma que la ecuacin de Griffith es vlida solamente para slidos frgiles, Griffith obtuvo un buen compromiso entre la resistencia a fractura experimental y los clculos de su ecuacin para el caso de vidrios, cermicas, pero su ecuacin no puede interpretar el comportamiento de los metales, en los que la energa necesaria para su fractura result ser varios rdenes de magnitud mayor que sus energas superficiales respectivas. Ello se debe a que en estos casos la concentracin de tensin, existente en los frentes de grieta, crea una zona plstica de tamao importante, de manera que la ecuacin que expresa la tensin de rotura debe corregirse, introduciendo el trmino energtico debido a la deformacin plstica. En el ao 1948, Irwin y Orowan independientemente, modificaron la expresin de Griffith para incluir el comportamiento plstico, la expresin revisada sera la siguiente: f = 2 E ( s + p ) a

(2.22)

donde: p es el trabajo plstico por unidad de rea, que normalmente es mayor que s. En un slido frgil ideal, una grieta puede formarse y explicarse simplemente por la rotura de enlaces atmicos y precisamente s refleja la energa total de los enlaces rotos por unidad de rea. Sin embargo, cuando una grieta se propaga a travs de un metal, se produce un movimiento de dislocaciones en la proximidad de la punta de grieta, originando una disipacin adicional de energa. Aunque Irwin y Orowan plantean la ecuacin (2.22) solamente para los metales, es posible generalizar el modelo de Griffith teniendo en cuenta todo tipo de disipacin de energa: f = 2 E Wf a

(2.23)

donde: Wf es la energa de fractura, que puede incluir los efectos plsticos, viscoelsticos o viscoplsticos, dependiendo del material. La energa de fractura puede tambin estar influenciada por el serpenteo o por las ramificaciones que aumentan la superficie. La Figura 2.7 muestra varios tipos de comportamiento de materiales con la correspondiente energa de fractura. Cuando aplicamos la ecuacin (2.23) y obtenemos la tensin de rotura para materiales que presentan deformacin no-lineal es preciso tomar precauciones. El modelo de Griffith, particularmente la 1. ecuacin, que solo incluye s, se aplica solamente al comportamiento elstico lineal. Cualquier efecto no-lineal, como la plasticidad, debe quedar limitado a una pequea regin cerca del borde34

Figura 2.7 Propagacin de la grieta en varios tipos de materiales, con la correspondiente energa de fractura

de la grieta. Adicionalmente la ecuacin modificada asume que Wf es constante; sin embargo, en muchos materiales dctiles, la energa de fractura aumenta con el crecimiento de grieta, como se ver ms adelante. 2.5. La tasa de liberacin de energa En 1956 Irwin propone una solucin, esencialmente equivalente al modelo de Griffith, pero ms conveniente para resolver los problemas de Ingeniera, extendiendo a los metales la ecuacin de Griffith. Irwin define el concepto de tasa35

de liberacin de energa G, que es la medida de la energa disponible para la propagacin de un incremento de grieta da (Figura 2.8). El incremento de longitud de la grieta a carga constante, se traduce en una tensin constante; el trabajo suministrado al sistema se transforma en un incremento de energa elstica UE y en energa consumida en la propagacin UR

Figura 2.8 Incremento de longitud da de la grieta

El trabajo suministrado al sistema es:

dU = P d 1 P d 2 (2.24)

La parte transformada en energa elstica: dU E =

dU = P d

1 P c + d 2

(

)

1 P c 2

=

1 P d 2

Figura 2.9 Esquema del clculo de energa elstica y energa consumida en la propagacin 36

Por lo tanto la energa consumida en la propagacin ser: dU R = dU dU E dU R = P d Entonces: 2 2 a dU R = dU E = d B W L0 + 2 a 2 = 2 B da E 2E 1 P d = 2 1 P d 2 (2.25)

(

)

(2.26)

La placa finita pasa a placa infinita de espesor B y la energa consumida en la propagacin (total y absoluta) se relaciona con la s de Griffith, Irwin estableci la resistencia a fractura del material, definida con la variable R, que ser la energa superficial por el rea de grieta nueva aparecida por propagacin da de la grieta, como se puede ver en el esquema de la Figura 2.9. El material rompe si la tasa de liberacin de energa G: G = dU R 1 = dA 2B dU R da = = 2 a E

(2.27)

Tasa de liberacin de energa G

2 a E 2 s

Resistencia a fractura del material R =

Luego finalmente el criterio de equilibrio del sistema ser: R = G. Igualando estos factores, nuevamente encontramos el valor de la tensin en rotura de Griffith: G = R 2 a E = 2 s f = 2 E s a (2.28)

El trmino G definido como tasa de liberacin de energa tambin se llama fuerza de extensin de la grieta o fuerza motriz. Consideremos una placa agrietada, como se presenta en la Figura 2.10, en la que se pueden dar dos escenarios a partir del crecimiento da de la grieta: Crecimiento da de la grieta a carga y tensin constantes (P = cte) Crecimiento da de la grieta a deformacin constante (c = cte)37

Figura 2.10 Clculo de la energa G, en el caso de incremento de la grieta a carga constante P y a desplazamiento constante

Veamos el clculo de G en ambos casos: dU R = dU dU E G = dU R 1 dU R = dA B da (2.29)

En el primer caso tenemos P = cte y lo que se produce es un aumento de la deformacin: + d; en este caso: dU R = 1 P d 2 G = 1 B 1 d P 2 da (2.30)

teniendo en cuenta la definicin de flexibilidad: C = P = CP d = P dC (2.31)

P 2 dC G = 2 B da38

Esta expresin (2.31) es de gran importancia en la MFEL. En el segundo caso, tenemos = cte y lo que se produce es una relajacin de la carga: P P dP; en este caso: 1 1 1 dP dP dP G = = 2 B 2 da 2 B da

dU R = 0 dU E =

(2.32)

teniendo en cuenta la definicin de rigidez: S = P P = S dP = dS (2.33)

2 dS G = 2 B da donde sabemos que dS es negativo. Si tenemos en cuenta que: S = G = 1 C dS 1 dC = 2 da C da P2 dC 2B da

1 dC 2 2 2B C da

(2.34)

2.6. La inestabilidad y la curva R Como hemos explicado, Irwin y Orowan plantean la ecuacin (2.23) teniendo en cuenta todo tipo de disipacin de energa, en la que Wf es la energa de fractura, que puede incluir los efectos plsticos, viscoelsticos o viscoplsticos, dependiendo del material. La propagacin de la grieta se produce cuando G = 2Wf, pero esta propagacin de grieta puede ser estable o inestable, dependiendo de cmo varan G y Wf en funcin del crecimiento de grieta. Para estudiar el comportamiento estable o inestable, es conveniente reemplazar 2Wf por R que como hemos visto es la resistencia del material a la propagacin de la grieta. La curva que representa G versus la propagacin de grieta, es la curva de fuerza motriz. Consideremos una placa con una grieta pasante de tamao inicial 2a, como la que se representa en la Figura 2.5, sometida a una tensin, , lejos de la grieta; la tasa de liberacin de energa G vara linealmente respecto al tamao de grieta.39

Los valores de G se pueden presentar para los casos de pequeos espesores (tensin plana) o de grandes espesores (deformacin plana) en la placa plana infinita: Tensin plana: Deformacin plana: G = 2 a E 2 a E

G = (1 2 )

Figura 2.11 Diagramas esquemticos de las curvas de fuerza motriz y de R para dos materiales con distinto tipo de comportamiento

En la Figura 2.11 representamos esquemticamente, las curvas de fuerza motriz G y de tenacidad R para dos materiales con distinto tipo de comportamiento, con un valor inicial de longitud de grieta a0. En el primer caso, representado en la Figura 2.11(a), se muestra un material con una curva R plana, cuando la resistencia del material a la propagacin de la grieta es constante con respecto al crecimiento de grieta. En este caso cuando la placa est sometida a la tensin = 1, la grieta es estable, pero cuando la tensin alcanza el valor 2, la propagacin de la grieta es inestable porque la fuerza motriz crece cuando crece el tamao de grieta, pero la resistencia del material permanece constante. La Figura 2.11(b) muestra un material con una curva R creciente. La grieta crece ligeramente cuando la tensin crece desde 1 a 2, pero no puede crecer ms mientras no aumente la tensin. Cuando la tensin es fija en 2, la fuerza motriz aumenta en menor proporcin que la resistencia R y el crecimiento estable continua hasta que la tensin alcanza el valor 3. Finalmente, cuando la tensin alcanza el valor 4, la fuerza motriz es tangente a la curva R. Con un crecimiento adicional de la grieta la placa es inestable porque la tasa de crecimiento de la fuerza motriz es mayor que la pendiente de la curva R.40

La condicin de la grieta estable puede ser expresada por: G = R y dG dR da da (2.35)

La propagacin de grieta puede ser estable o inestable cuando: Inestable G>R G>R dG dR > da da dG dR < da da (2.36)

Estable

(2.37)

Cuando la curva de resistencia R es plana, como en la Figura 2.11(a), se puede definir un valor crtico de G sin ambigedad, sin embargo, un material con una curva R creciente no permite ser caracterizado con un nico valor de tenacidad, como en el caso de los metales de alta ductilidad. De acuerdo con la ecuacin (2.36), una estructura agrietada falla cuando la curva de fuerza motriz es tangente a la curva R, pero este punto de tangencia depende de la forma de la curva de fuerza motriz, en razn de su dependencia de la configuracin de la estructura. La fuerza motriz para la configuracin de una placa con una grieta pasante es lineal, pero normalmente G(a) no es lineal, como se puede ver en el ejemplo de la Figura 2.12, en la que la fuerza motriz G vara en funcin de a2; estas dos configuraciones pueden originar

Figura 2.12 Diagrama esquemtico de la fuerza motriz y la curva R que compara el control de la carga y el control del desplazamiento 41

valores de Gc diferentes para una curva R(a) dada, que por otro lado tampoco es lineal ya que la mayor parte de los materiales presentan comportamiento elasto-plstico. Los materiales con una curva R creciente, pueden ser caracterizados por el valor de G, que inicia el crecimiento de grieta. A pesar de que el valor de tenacidad en la iniciacin no es normalmente sensible a la geometra estructural, sin embargo, existen otros problemas con esta medida. En gran nmero de materiales es virtualmente imposible determinar el momento preciso en que se produce la iniciacin de la grieta; normalmente se necesita una definicin ingenieril de la iniciacin, anloga a la definicin de lmite elstico convencional del 0,2% en los ensayos de traccin. Otra limitacin de la tenacidad de iniciacin est en el hecho de que solamente caracteriza el principio del crecimiento de grieta, sin proporcionar informacin sobre la forma de la curva R. 2.6.1. La forma de la curva R Algunos materiales presentan una curva R creciente, mientras que la curva R para otros materiales es plana. La forma de la curva R depende del comportamiento del material y, en menor medida de la configuracin de la estructura agrietada. La curva R para un material idealmente frgil es plana porque la energa de superficie es una propiedad invariante del material. Sin embargo, cuando la fractura se acompaa de comportamiento no lineal del material, la curva R puede adoptar diversas variedades de formas. Por ejemplo, la fractura dctil en los metales usualmente da como resultado un crecimiento de la curva R; la zona plstica del borde de la grieta aumenta en tamao al mismo tiempo que la grieta crece, aumentando de esta manera la energa p. La fuerza motriz G debe aumentar en estos materiales para mantener el crecimiento de grieta. Si el cuerpo agrietado es infinito (i.e. si la zona plstica es pequea comparada con las dimensiones importantes del cuerpo) el tamao de la zona plstica y R eventualmente crecen a valores de un estado estable, y la curva R se transforma en plana con otro crecimiento. Algunos materiales pueden presentar una curva R descendente. Cuando un metal falla por clivaje, por ejemplo, la resistencia del material est proporcionada por la energa de superficie y la disipacin plstica local, como se puede ver en la Figura 2.7 b). La curva R puede ser relativamente plana si el crecimiento de grieta fuera estable. Sin embargo, la propagacin por clivaje es normalmente inestable; el material cerca del vrtice de la grieta de crecimiento est sometido a deformaciones muy altas, que impiden la deformacin plstica. Consecuentemente la resistencia de un grieta de clivaje, que crece rpidamente, es menor que la resistencia inicial en el inicio de la fractura. El tamao y la geometra de la estructura agrietada puede ejercer cierta influencia en la forma de la curva R. Una grieta en una chapa delgada tiende a producir una curva R ms empinada que una grieta en una placa gruesa porque la chapa delgada est sometida predominantemente a una forma de tensin plana, mientras que el material cerca del vrtice de la grieta en una placa gruesa puede encontrarse generalmente en forma de deformacin plana. La curva R puede tambin estar afectada si el crecimiento de la grieta se aproxima a un borde libre de la42

estructura. En este caso una placa gruesa puede presentar una resistencia al crecimiento de la grieta algo diferente que en una placa estrecha del mismo material. Idealmente, la curva R, as como otras medidas de la tenacidad a fractura, deben ser una propiedad solamente del material y no depender del tamao y forma del componente agrietado. Gran parte de la mecnica de fractura esta basada en la asuncin de que la tenacidad a fractura es una propiedad del material. No obstante, pueden darse efectos de configuracin y casi siempre ocurre esto; un profesional de la mecnica de fractura debe tener en cuenta estos efectos y su influencia potencial en la precisin del anlisis. 2.6.2 Control de la Carga vs. Control del Desplazamiento. La estabilidad del crecimiento de la grieta depende de la relacin de cambio de G, i.e. la segunda derivada de la energa potencial. Adems la fuerza motriz (G) es la misma tanto para el control de la carga como para el control de desplazamiento, la proporcin de cambio de la curva de fuerza motriz depende de cmo este cargada la estructura. Si tras a = a + a G < R detencin G > R aceleracin

El control del desplazamiento tiende a ser mas estable que el control de la carga. Con algunas configuraciones, la fuerza motriz decrece realmente con el crecimiento de grieta en el control del desplazamiento. Un ejemplo tpico se presenta en la Figura 2.12. Con referencia a esta Figura 2.12, consideremos una estructura agrietada con una carga P3 y un desplazamiento 3. Si la estructura est controlada por carga, es precisamente en el punto de inestabilidad, donde se produce que la curva de fuerza motriz es tangente a la curva R. En el control por desplazamiento, sin embargo, la estructura es estable porque la fuerza motriz disminuye con el crecimiento de grieta; el desplazamiento debe aumentarse para prolongar el crecimiento de grieta. Cuando una curva R se determina experimentalmente, la probeta normalmente se ensaya mediante el control del desplazamiento (o tan prximo a un control puro de desplazamiento y si es posible en la mquina de ensayo). Como la mayor parte de las geometras de las probetas de ensayo presentan cadas en las curvas de fuerza motriz en control por desplazamiento, es posible obtener una gran cantidad de crecimiento estable de grieta. Si se produce una inestabilidad durante el ensayo, la curva R no puede ser definida a partir del punto del ltimo fallo. 2.7. Flexibilidad Como ejemplo de la aplicacin de la flexibilidad a continuacin se evala la estabilidad relativa correspondiente a una probeta con doble voladizo (DCB) (Figura 2.13) en el control de la carga y el control del desplazamiento.43

Figura 2.13 Probeta con doble voladizo (DCB)

Solucin: A partir de la teora de una viga en doble voladizo y considerando tambin el esfuerzo cortante, tenemos:

= A P a2donde A representa un parmetro que engloba las propiedades del material y la geometra de la estructura. La flexibilidad elstica est dada por: C = = A a2 P

Para determinar la energa utilizamos la ecuacin: G = P2 2B dC da

dC = 2 Aa da Sustituyendo C en la ecuacin tenemos: G = P2 P2 A 2 Aa = a 2B B

Esta ecuacin es lineal en a y viene representada en la Figura 2.14, como ecuaciones de rectas para distintos valores de P (P1, P2, P3, etc.)44

A partir de la derivada de esta ecuacin obtenemos la pendiente de curva de la fuerza motriz en el control de la carga dada por: A P2 dG = da P B = cte = G (lnea recta) a

Con objeto de evaluar el control desplazamiento , es necesario expresar G en trminos de y a. A partir de la ecuaciones de vigas, la carga se relaciona con el desplazamiento de la siguiente forma: = A P a2 ; G= P = A a2 = 2 A B a3

P2 A 2 A a a = B A2 a 4 B

Se trata de una especie de hiprbolas representadas en la Figura 2.14 para distintos valores crecientes del desplazamiento (1, 2, 3, etc).

Figura 2.14

Y por lo tanto derivando obtenemos: 3 2 3 G dG = = 4 da AB a a45

Por lo tanto, la fuerza motriz aumenta con el crecimiento de grieta en el control de la carga y decrece en el control del desplazamiento. Para una curva R plana, el crecimiento de grieta en el control de carga es siempre inestable, mientras que el control del desplazamiento es siempre estable. Adicionalmente, si tomamos K I = E G ; tenemos: 1 2 a

K I = A1 P

K I = A2 a 1, 5 donde los parmetros A1 y A2 contienen: Material: E y Geometra: B, h, entallado lateral si lo hubiere, etc.

46

Tema 3

Planteamiento Tensional de la Fractura

3.1. Introduccin Recordemos los planteamientos de la elasticidad clsica, a partir de la primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracin de tensiones en las grietas, que fue enunciada por Inglis, el cual analiz los agujeros elpticos en placas planas. Inglis analiz una placa plana con un agujero pasante elptico, de longitud 2a y de ancho 2b, a la que se le aplica una tensin perpendicular al eje mayor de la elipse (Figura 2.1). Inglis asumi que el agujero no est influenciado por las condiciones de contorno de la placa; i.e. la anchura de la placa >> 2a y la altura >> 2b y como se vio anteriormente: A = 2 a (2.4)

1 i = f

Si aplicamos la ecuacin (2.4) a una placa infinita con un radio = 0 resulta un valor de tensin A infinito y todas las tensiones i en la seccin por A de la placa, lo cual es falso: Un vidrio con una fisura no se rompe con una pequesima, y adems en un vidrio de gran tamao, que podemos considerar como una placa infinita (), cuando nos alejamos lo suficiente de la fisura yy = ; quiere decir que la zona en cuestin no se entera de que hay una fisura en la placa. 3.2. La funcin de tensin de Airy Consideremos las coordenadas X, Y, Z en un slido tensionado. En cada punto (x, y, z) podemos definir las tensiones x, y, z, x, y, z.47

Condicin de tensin plana: Condicin de deformacin plana:

z = xz = yz = 0 z = 0 ; z = (x + y)

Para los problemas planos las ecuaciones de equilibrio son: xy x + = 0, x y y y + xy x = 0, (3.1)

Si los desplazamientos en las direcciones x e y son u y v respectivamente, las expresiones de las deformaciones son: x = u , x y = v , y xy = u v + y x (3.2)

y las relaciones de tensin-deformacin son: E x = x v y , E y = y v x , xy = xy (3.3)

donde el mdulo de cortadura de Lam (similar al mdulo de elasticidad transversal G de Hooke) est relacionado con el mdulo de Young E, mediante: = E , siendo el coeficiente de Poisson. 2 (1 + )

Las ecuaciones de equilibrio (3.1) se cumplen automticamente si sucediese que: x = 2 , y 2 y = 2 , x 2 xy = 2 xy (3.4)

La funcin se llama funcin de tensin de Airy. Sustituyendo las ecuaciones (3.2) y (3.4) en la (3.3) y diferenciando dos veces, obtenemos las condiciones de compatibilidad: 4 4 4 + 2 + =0 x 4 x 2 y 2 y 4 2 2 = 048

(3.5)

(

)

(3.6)

En general un problema tensional plano en elasticidad lineal puede resolverse encontrando una funcin de tensin que satisfaga la ecuacin (3.6). Tambin, las tensiones calculadas a partir de la ecuacin (3.4) deben satisfacer las condiciones de contorno del problema. La funcin de tensiones para un problema particular debe ser estimada sobre la base de una experiencia.

3.3. El factor de intensidad de tensiones La Figura 3.1 representa esquemticamente un elemento cerca del frente la grieta en un material elstico y en dicha figura estn representadas las tensiones en el plano de dicho elemento.

Figura 3.1 Tensiones cerca del fondo de una grieta, en un material elstico

Para un anlisis ms acertado consideramos las coordenadas polares de los puntos (r,). La tensin A (2.4) se transforma en ij en el fondo de la grieta. El 1 valor de tensin A = ka es aprovechable, y puesto que el radio es nulo, se sustituye, a partir del anlisis dimensional (Bridgman, Langhaar, Palacios) por 1 , incluyndose tambin que es adimensional. r49

La teora de la elasticidad permite obtener el estado de tensiones existente en un elemento dxdy de la placa, situado delante de la grieta, en una posicin genrica (r,). a ij = f1 f2 () r ij = k a f2 () r (3.7)

siendo k el parmetro dependiente finalmente de la geometra del problema. El anlisis dimensional, utilizando la funcin de tensiones de Airy, conduce al clculo de las tensiones, con las condiciones de contorno. Tomando las coordenadas polares desde el origen (Figura 3.1), la solucin de la funcin Airy para esta placa infinita con una grieta central, fue encontrada por Westergaard, a partir de las condiciones de contorno: Cuando (x, y) En la superficie de la grieta:

yy = aplicado; xx = xy = 0 yy = xy = 0

quedando establecido que los esfuerzos alrededor de la grieta son: ij = a fij () 2r (3.8)

Una grieta en un slido puede presentar un estado de tensiones en tres modos diferentes, como se ve en la Figura 3.2. La tensin normal perpendicular al plano de la grieta, que se conoce con el nombre de modo de apertura o Modo I. Cuando los desplazamientos de la superficies de la grieta son perpendiculares al plano de la grieta y los esfuerzos cortantes son paralelos al plano de la grieta se denomina como el Modo II y cuando los esfuerzos cortantes son paralelos al

Figura 3.2 Modos de deformacin de grieta (Norma UNE 7540:1998) 50

plano de la grieta y los labios de esta se mueven en direccin paralela el modo de crecimiento de grieta es de desgarramiento y se denomina Modo III. La superposicin de los modos descritos describe el caso general de tensiones de un slido. El Modo I es tcnicamente el ms importante y las discusiones se centran generalmente en este Modo I de fractura. El Modo II, menos frecuente, se produce cuando tenemos grietas sobre planos que forman ngulos de 90 y finalmente el Modo III aparece en barras con grietas que estn sometidas a esfuerzos de torsin. Irwin obtuvo en 1951 las siguientes expresiones, para los distintos modos de fractura que se que se indican a continuacin, referidas al Modo I de fractura en placa plana infinita con grieta pasante: Modo I xx = yy = xy = KI cos 2 2r 3 1 sen sen 2 2 (3.9)

KI 3 cos 1 + sen sen 2 2 2 2r KI 3 cos sen cos 2 2 2 2r zz = 0

Tensin plana (T.P.):

Deformacin plana (D.P.): zz = xx + yy = 2 xz = yz = 0 ux = Desplazamientos: K uy = I 2 Donde: KI 2 r cos 2 2

(

)

KI cos 2 2r

2 1 + 2 sen 2

r sen + 1 2 cos2 2 2 2 E 2 ( 1 + )

(3.10)

es mdulo de cortadura =

= 3 4 (deformacin plana) =

(3 )( 1 + )

(tensin plana)51

Cada uno de los diferentes modos de fractura tiene diferentes expresiones para ij:I ij =

KI 2r K II 2r K III 2r

fijI () fijII () fijIII () (3.11)

II ij =

III ij =

Y para el total, aplicando el principio de superposicin de la elasticidad lineal, tenemos:TOTAL I II III ij = ij + ij + ij

(3.12)

En estas expresiones para = 0 podemos representar los valores de xx y yy, como se puede ver en la Figura 3.3.

Figura 3.3 Resultado del estado de tensiones en el borde de la grieta para = 0

Para r = 0 se presenta un punto singular en que todava este desarrollo matemtico no representa con rigor la realidad de las tensiones en el frente de grieta. Estas expresiones indican que las tensiones toman valores muy extremos cuando r tiende a 0. En realidad las tensiones en una zona variable, situada en el52

frente de la grieta, superarn el lmite elstico del material (si este es metlico o polimrico) y se producir una plastificacin de esta zona. Ntese que cada componente de la tensin, en las ecuaciones (3.9), es proporcional a un parmetro KI. Este parmetro se llama Factor de Intensidad de Tensiones, y caracteriza completamente las condiciones, tensionales y deformacionales, del fondo de grieta en un material elstico lineal. Para los Modos de fractura II y III tambin se presentarn los factores de intensidad de tensiones KII y KIII, en placa plana infinita con grieta pasante siguientes: Modo II xx = yy = xy = K II sen 2 2r 3 2 + cos sen 2 2 (3.13)

K II 3 sen cos cos 2 2 2 2r K II cos 2 2r zz = 0 xz = yz = 0 ux = K II 2 r sen + 1 + 2 cos2 2 2 2 r cos 1 2 sen 2 2 2 2 1 sen sen 2 2

Tensin plana (T.P.):

Deformacin plana (D.P.): zz = (xx + yy)

Desplazamientos:

(3.14)

K uy = II 2 Modo III xx = yzx = K III

K III sen 2 2r K III cos 2 2r r sen 2 2

(3.15)

Desplazamientos:

uz =

(3.16)

53

Posteriormente se demostr que estas expresiones, obtenidas en placas planas infinitas con grieta pasante, eran aproximadamente generalizables a otras configuraciones geomtricas, agrupando hacia los factores de intensidad de tensiones, KI, KII, KIII todas las variaciones asociadas a la geometra. Si asumimos que el material falla localmente como consecuencia de una combinacin crtica de tensin y deformacin en Modo I, quiere decir que la fractura se producir para un valor crtico de intensidad de tensiones KIC, de forma que KIC es una medida alternativa de la tenacidad a fractura del material. Para una placa plana de tamao infinito () en Modos I y II, el factor de intensidad de tensiones est dado por: KI = K II = a a

(3.17)

El fallo en Modo I se produce cuando KI = KIC. En este caso KI es la fuerza motriz para la fractura y KIC es una medida de la resistencia del material. 3.3.1. Relacin con la Tasa de Liberacin de Energa Las expresiones de la fuerza motriz, para la placa plana infinita con grieta pasante, enunciadas en el captulo anterior, se pueden identificar y relacionar. Podemos sustituir G por KI y R por KIC, reemplazando las variables flexibilidad y rigidez por r y , de forma que G se relaciona con KI de la siguiente forma: G = 2 a E 2 a E E 0, 9 G = K I2 E K I2 E

TP

(3.18)

DP

G =

G =

(3.19)

donde E =

E (1 2 )

y en metales E =

La anlisis de la Mecnica de Fractura, tanto de la energa como la intensidad de tensiones, son esencialmente equivalentes para los materiales elstico lineales con validez general segn demostr Irwin: G =542 2 K I2 K II K III + + 2 E E

(3.20)

3.3.2. Placa Finita Las grietas en placas planas son de gran inters prctico, pero para estos casos no existen siempre soluciones exactas. Estos problemas tienen dificultades debido a las condiciones de contorno. Se puede obtener una solucin aproximada para una banda de tamao finito cargada con una tensin y que contiene una grieta en el borde o una grieta central.

Figura 3.4 Placa infinita con grietas alineadas

En primer lugar consideremos una banda infinita con un conjunto de grietas infinitas alineadas y espaciadas regularmente como se presentan en la Figura 3.4. Las soluciones para este caso han sido planteadas por Westergaard, Irwin y Koiter. El resultado es el siguiente: W a a tan W a1 2

KI =

(3.21)

Si cortamos la placa a lo largo de las lneas AB y CD obtenemos una banda de ancho finito W, que contiene una grieta central de tamao 2a y de esta manera es como si la solucin de la ecuacin (3.21) fuera vlida para la banda. En este caso de grietas alineadas en una banda de anchura W el estado tensional, (tngase en cuenta que las tensiones de cortadura son nulas debido a la simetra) a lo largo de sus bordes AB y CD viene representada en la Figura 3.5. Supuestamente, las tensiones paralelas a la grieta no contribuyen demasiado al factor KI y consecuentemente la ecuacin (3.21) puede ser usada como una solucin55

aproximada para la banda de tamao finito. Si observamos la ecuacin (3.21) vemos que se transforma en KI = a si a/W se aproxima a cero. Esto significa que la banda de tamao finito se comporta como una placa infinita si las grietas son pequeas.

Figura 3.5 Tensiones en los bordes de una banda cortada de una placa infinita con grietas alineadas

Isida ha desarrollado unas funciones grficas para calcular los factores de concentracin de tensiones. Normalmente el resultado se presenta como: KI = Y a KI = (3.22)

donde Y, dependiente de la geometra de la placa, es un polinomio en a/W. El factor est incorporado en , en forma de = Y/. Fedddersen descubri a que la solucin de Isida es muy aproximada a sec . Por lo tanto una frmula W conveniente para el factor de intensidad de tensiones de una banda, siendo la tensin remota y a es la longitud de la semi-grieta es: a W

KI =

a sec

(3.23)

56

Figura 3.6 Factores para una placa finita agrietada en el centro

En la Figura 3.6 se presenta una comparacin entre los factores de correcin de Irwin, Isida y Feddersen. Si cortamos la banda con grietas alineadas (Figura 3.4) a lo largo de las lneas EF y CD, llegamos a una solucin similar para una banda con una grieta en su frente. De forma anloga al problema de la grieta central, la solucin de la ecuacin (3.21) se puede utilizar como una aproximacin para la grieta en su frente. Nuevamente KI se reduce a KI = a para pequeos valores de a/W. Sin embargo, las tensiones actan en el borde EF tendiendo ligeramente a cerrar la grieta, de forma que la ausencia de estas tensiones en la banda de tamao finito da como resultado que el desplazamiento de los extremos sea algo ms largo que el de los labios de la grieta. KI es algo mayor debido a estos frentes libres de la grieta. El factor de correccin es del orden del 12%. Por lo tanto para una pequea grieta en el frente el factor K esta dado por: K I = 1, 12 a (3.24)

En la Tabla 3.1 se presentan diversos factores y los factores polinmicos para diversas configuraciones.

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Tabla 3.1 Factores para el clculo de K de diversas geometras comunes Fisura pasante en placa finitaKI = Y a1/ 2

W a Y = tan W a Y = sec a W

; a = 0 KI = a ; a = + 0, 06 a4 W4

W 2

K I es muy grande

a2 1 0, 025 W2

Probeta de flexin a a a a2 + 2, 7 1, 99 1 2, 15 3, 93 W W W W2 a 3/ 2 W a a 1 + 2 1 W W

KI =

P B W

3

s

2 W

Probeta compacta

a a a2 a3 a4 W KI = 13, 32 + 14, 72 5, 60 3 / 2 0, 866 + 4, 64 W W2 W3 W4 B W a 1 W P 2+

Fisuras no pasantes en placasKI = a s f ( Q) Q1, 65

a Q = 1 + 1, 464 c

a 2 s = 1, 13 0, 09 1 + 0, 1 (1 sen ) c 2 a f () = sen 2 + cos c 1/ 4

[

]

58

3.3.3. Principio de Superposicin Para los materiales con comportamiento elstico-lineal, las componentes de tensin, deformacin y desplazamiento son sumatorias. Por ejemplo, dos tensiones normales en la misma direccin X debidas a diferentes fuerzas externas se pueden sumar para obtener la tensin total xx, pero una tensin normal no se puede sumar con una tensin de cortadura. De la misma manera los factores de intensidad de tensiones se pueden sumar siempre que el modo de fractura sea el mismo, es decir: K Itotal = K IA + K IB + K IC + . . . . pero Ktotal K I + K II + K III En muchas ocasiones el principio de superposicin permite resolver casos, aparentemente complejos, a partir de configuraciones sencillas para las cuales tenemos soluciones tabuladas o bien conocidas. Consideremos, por ejemplo, el caso de una grieta con presin interna, que aparece en el caso de depsitos o tuberas que conducen fluidos a presin. La Figura 3.7 muestra una placa sin grietas y lgicamente su factor de intensidad de tensiones KIa = 0. Realizamos un corte de tamao 2a en el centro de la placa y aplicamos una tensin exactamente de sentido contrario en la zona del corte, que compensa la tensin general, por lo que nuevamente el factor de intensidad de tensiones KIb = 0. El caso b es la superposicin de una placa con una grieta central bajo tensin uniaxial y

Figura 3.7 Ejemplo del principio de superposicin 59

una placa con grieta que tiene unas fuerzas distribuidas en sus extremos (d). Por lo tanto: K Ic + K Id = K Ib = 0 K Id = K Ic = a (3.25)

El caso de la grieta con una presin interna p es equivalente a la Figura 3.7d, pero la presin acta en direccin opuesta a . Por lo tanto el signo de K para una grieta con presin interna es opuesto: KI = p a (3.26)

Figura 3.8 Grieta con fuerzas en cua

Un grieta producida en un agujero de tornillo o remache bajo la accin de la carga del tornillo, se puede ejemplificar para el uso del principio de superposicin. En la Figura 3.8 se puede ver el esquema de la grieta con la fuerza P que acta en sus frentes, originando su abertura. La solucin general para una fuerza que acta en un punto excntrico est dada por: K IA = P a a+x ax ; K IB = P a ax a+x (3.27)

donde KIA y KIB son los factores de intensidad de tensiones para los extremos A y B respectivamente. Para una fuerza localizada en el punto x = 0 las ecuaciones se reducen a: K IA , B =60

P a

(3.28)

teniendo en cuenta que P es la fuerza por unidad de espesor, tenemos que el factor de intensidad de tensiones decrece a medida que aumenta el tamao de grieta. Esto ltimo introduce la posibilidad de que la grieta, que comienza cuando KIA = KIC se pare despus de crecer hasta un tamao en que la intensidad de tensiones es menor que KIC.

Figura 3.9 Grieta originada en un agujero de remache

El factor de intensidad de tensiones para una grieta que se origina en el agujero de un remache se puede calcular, aplicando el principio de superposicin, como se indica en la Figura 3.9, segn la cual: K Ia = K Ib + K Ic K Id resulta obvio que KIa = KId, por lo tanto: K Ia = 1 2 (3.29)

(K

Ib

+ K Ic =

)

1 W a + 2 2 a P a 1 1 = + 2 a W (3.30)

K Ia

1 + W a = a 2

y curiosamente, si a = nalmente

W , lo cual es posible, como caso particular, resulta fi P W

K Ia = a =

a

(3.31)61

3.4. La plasticidad en el frente de la grieta De acuerdo con las soluciones elsticas, discutidas en el punto anterior, en el frente de la grieta se dan unas condiciones singulares. En los aceros y otros materiales que desarrollan una pequea plasticidad en el frente de la fisura se puede aplicar la MFEL con pequeas correcciones, respecto a la formulacin del captulo anterior. El anlisis elstico-lineal de una grieta predice tensiones infinitas en el frente de grieta: En la prctica, todos los materiales, incluso ptreos, cermicos y vidrios, son capaces de desarrollar un cierto grado de plasticidad en el frente de las grietas, por pequeo que sea en el caso de los tres citados. En la medida en que se desarrolla esta plasticidad, se amortigua el valor extremo de la tensin en frente de grieta, y se mejora la resistencia frente a la fractura frgil. Los materiales reales presentan tensiones finitas en el frente de las grietas; precisamente la deformacin de los materiales inelsticos, como la plasticidad en los metales y el crazing en los polmeros, proporciona un enromamiento (blunting) geomtrico y una relajacin de las tensiones en el frente de grieta. Esto significa que siempre hay una regin, alrededor del frente de grieta, en la que se produce una deformacin plstica y consecuentemente no puede existir una tensin singular. La regin plstica es conocida como la zona plstica del frente de grieta. El anlisis elstico de tensiones es cada vez menos exacto a medida que aumenta la regin no elstica y crece la zona plstica del frente de grieta. Se pueden encontrar correcciones simples de la MFEL para plasticidades moderadas del frente de grieta, pero para plasticidades ms acusadas se deben tener en cuenta parmetros alternativos del comportamiento no lineal de los materiales. Una primera aproximacin del tamao de la zona plstica puede hacerse de forma muy simple, como se expone a continuacin. La Figura 3.10 muestra la * magnitud de la tensin yy en el plano para = 0. Hasta una distancia rp desde el frente de grieta en la que la tensin es ms alta que la tensin de lmite elsti* co ys, por lo tanto la primera aproximacin de la distancia rp es el tamao de la zona plstica que se obtiene sustituyendo ys, en la ecuacin por yy.

Figura 3.10 Estimacin simple de la zona plstica 62

En el caso de tensin plana con zz = 0, cuando = 0, las ecuaciones de tensin del campo elstico se simplifican en: xx = yy = KI* 2 rp

(3.32)

zz = xy = yz = zx = 0 como todas las componentes de cortadura a lo largo de = 0, son cero, xx, yy y zz son las tensiones principales. En este caso, tanto la tensin tangencial de cortadura de Tresca, como la de octadrica de Von Mises son iguales, de forma * que la distancia rp se puede calcular como: 1 KI = 2 ys 2

ys =

KI* 2 rp

* rp

Tensin plana

(3.33)

Para el caso de deformacin plana, en estado de triaxialidad, la tensin zz 0, y esto hace ele